Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Кузьмин, Павел Александрович

• Кузьмин, Павел Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузьмин, Павел Александрович

1 Введение

1.1 Актуальность проблемы.

1.2 Цель работы

1.3 Методы исследования.

1.4 Научная новизна.

1.5 Практическая и теоретическая ценность.

1.6 Апробация работы.

1.7 Публикации.

1.8 Структура и объем диссертации.

2 Модели турбулентности в бозе-конденсате

3 О некоторых свойствах решений уравнения Гросса-Питаевского

4 Уравнение марковской эволюции при нулевой температуре

4.1 Обзор модели Немировского

4.2 Точные решения уравнения нестационарной эволюции вихревого клубка.

5 Уравнение марковской эволюции в присутствии нормальной компоненты

6 Другие точно решаемые модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате»

1.1 Актуальность проблемы.

Данная работа посвящена важной и быстро развивающейся области теории сверхтекучести - теории сверхтекучей турбулентности. Теория сверхтекучей турбулентности важна для многих прикладных проблем, связанных с гелием-П. Действительно, присутствие вихревого клубка оказывает значительное воздействие на поток тепла, который не может описываться простой двухжидкостной моделью Ландау. [1] Использование гелия-П в таких проектах, как охлаждение сверхпроводящих магнитов, или в космических приложениях, требует глубоких исследований. В последние годы, ввиду использования гелия в качестве жидкости для экспериментов при очень высоких числах Рейнольдса, возобновился интерес к проблеме соотношения классической и квантовой турбулентности.

В дополнение к важности сверхтекучей турбулентности в перечисленных случаях, теория хаотического вихревого клубка в Не II представляет большой интерес с точки зрения общей физики.

Как часть теории сверхтекучести, теория сверхтекучей турбулентности тесно связана с другими областями теории сверхтекучести: теорией образования вихрей, теорией взаимодействия сближающихся вихревых нитей, с проблемой критических скоростей, и вопросом о роли, которую играют квантовые вихри в фазовых переходах. Изучение сверхтекучей турбулентности позволяет получать нестандартные решения, проливающие свет на обозначенные проблемы.

Важной задачей гидродинамики является выяснение механизма распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости. При температурах Т > 1К основными факторами диссипации оказываются вязкость нормальной компоненты и взаимное трение. В случае низких (Т < 0.1 К) температур названные источники рассеяния энергии турбулентного состояния отсутствуют, так как плотность нормальной компоненты мала. Эксперимент, однако, обнаруживает не зависящую от температуры диссипацию квантовой турбулентности [2, 3]. Указана возможность распада турбулентности за счет излучения звуковых волн в акте перезамыкания вихрей (vortex reconnection) и при распространении азимутальных волн вдоль вихревых нитей. В численном эксперименте установлена средняя мощность излучения возмущенного вихревого кольца, показано образование волны разрежения при перезамыкании вихрей. До сих пор, однако, остаются неясными как механизмы возникновения звуковых волн, так и относительные вклады двух названных способов излучения в эффективную кинематическую вязкость. В связи с этим представляет интерес изучение спектральных характеристик акустических волн, излучаемых турбулентной сверхтекучей жидкостью, и динамики хаотического вихревого клубка.

1.2 Цель работы

Целью настоящей работы является изучение некоторых свойств решений уравнения Гросса-Питаевского, а также развитие предложенной Немировским модели вихревого клубка в сверхтекучем гелии. В частности, перед автором стояли следующие задачи:

• Изучение влияния уменьшения длины нити при перезамыкании вихревых петель на динамику вихревого клубка и распад турбулентного состояния;

• Установление границ применимости модели Немировского и связей с известными гидродинамическими моделями турбулентности;

• Изучение спектра звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами при их перезамыкании;

• Изучение существенно нестационарных режимов эволюции и распада вихревого клубка в сверхтекучей жидкости;

• Учет влияния нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучение различных режимов эволюции;

• Выяснение применимости модели случайного блуждания вихревых петель к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке;

• Рассмотрение других возможных моделей турбулентности в бозе-конденсате.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Кузьмин, Павел Александрович

7 Заключение

Перечислим основные результаты работы.

• Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании. Отмечено сходство с классическим случаем.

• Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей. Установлены границы применимости модели и ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности.

• В предложенной модели обнаружены точные решения. Таким образом, найдена еще одна нелинейная интегрируемая система, представляющая собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных.

• Впервые исследованы быстрые, существенно нестационарные режимы распада турбулентности в бозе-конденсате.

• Изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции.

• Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучениы различные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее.

• Установлена неприменимость модели случайного блуждания вихревых нитей к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке.

• При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых петель изучены процессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Определены времена и законы релаксации.

• Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полу прямого произведения групп Гейзенберга и Вирасоро. Тем самым получен ряд интегрируемых обобщений уравнения Камассы-Холма, вероятно, описывающих турбулентное движение в капиллярах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузьмин, Павел Александрович, 2009 год

1. Е. М. Лифшиц Л. Д. Ландау. Статистическая'физика. Часть 1. М.: Наука, 1995.

2. В. V. Svistunov. Superfluid turbulence in the low-temperature limit. Phys. Rev., B52:3647, 2005.

3. S. L. Davies, P. C. Hendry, and P. V. E. McClintock. Decay of quantized vorticity in superfluid He at mK temperatures. Physica, B280:43, 2000.

4. П. А. Кузьмин. Механизм распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости и спектральные характеристики звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., (3): 11, 2006.

5. П. А. Кузьмин. Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате. Письма в ЖЭТФ, 84:238, 2006.

6. P. A. Kuzmin. On the full rate of reconnection in the nonstationary vortex tangle: A master equation approach. Phys. Lett., A362:84, 2007.

7. P. A. Kuzmin. Two-component generalizations of the Camassa-Holm equation. Math. Notes, 81:149-152, 2007.

8. P. Kuzmin. Exactly solvable models of nonstationary turbulence in Bose-condensate. Phys. Lett., A372:2123, 2008.

9. R. P. Feynman. Application of quantum mechanics to liquid helium. In C. J. Gorter, editor, Progress in Low Temperature Physics, volume 1, page 17. North-Holland, Amsterdam, 1955.

10. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.1. experiments on steady heat currents. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 240:114, 1957.

11. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.1.. experiments on transient effects. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 240:128, 1957.

12. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.

13. I. theory of the mutual friction. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 242:493, 1957.

14. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.1.. critical heat currents in wide channels. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 243:400, 1958.

15. K. W. Schwarz. Three-dimensional vortex dynamics in superfluid 4He: Line-line and line-boundary interactions. Phys. Rev., B31:5782, 1985.

16. К. W. Schwarz. Three-dimensional vortex dynamics in superfluid AHe: Homogeneous superfluid turbulence. Phys. Rev., B38:2398, 1988.

17. T. Araki, M. Tsubota, and S. K. Nemirovskii. Energy spectrum of superfluid turbulence with no normal-fluid component. Phys. Rev. Lett., 89:145301, 2002.

18. J. Koplik and H. Levine. Vortex reconnection in superfluid helium. Phys. Rev. Lett, 71:1375, 1993.

19. M. Leadbeater, T. Winiecki, D. C. Samuels, C. F. Barenghi, and C. S. Adams. Sound emission due to superfluid vortex reconnections. Phys. Rev. Lett., 86:1410, 2001.

20. M. Leadbeater, D. C. Samuels, C. F. Barenghi, and C. S. Adams. Decay of superfluid turbulence via Kelvin-wave radiation. Phys. Rev., A67:015601, 2003.

21. V. F. Kopiev and S. A. Chernyshev. Vortex ring eigen-oscillations as a source of sound. J. Fluid Mech., 341:19, 2000.

22. M. Ю. Зайцев, В. Ф. Копьев, А. Г. Мунин, and А. А. Пото-кин. Излучение звука турбулентным вихревым кольцом. ДАН СССР, 35:1080, 1990.

23. Б. J. Copeland, Т. W. В. Kibble, and D.A. Steer. Evolution of a network of cosmic string loops. Phys. Rev., D58:043508, 1998.

24. J. Magueijoa, H. Sandvik, and D. A. Steer. Statistical physics of cosmological networks of string loops. Phys. Rev., D60:103514, 1999.

25. S. K. Nemirovskii. Evolution of a network of vortex loops in He — II: exact solution of the rate equation. Phys. Rev. Lett., 96:015301, 2006.

26. T. Winiecki and C. S. Adams. Motion of an object through a quantum fluid. Europhys. Lett., 52:257, 2000.

27. H.H. Калиткин. Численные методы. M.: Наука, 1978.

28. N. G. Berloff. Interactions of vortices with rarefaction solitary waves in a Bose-Einstein condensate and their role in the decay of superfluid turbulence. Phys. Rev., А69Ю53601, 2004.

29. D. C. Samuels and C. F. Barenghi. Vortex heating in superfluid helium at low temperatures. Phys. Rev. Lett., 81:4381, 1998.

30. W. F. Vinen. Classical character of turbulence in a quantum liquid. Phys. Rev., B61:1410, 2000.

31. W. F. Vinen and J. J. Niemela. Quantum turbulence. J. Low Temp. Phys., 516:167, 2002.

32. S. K. Nemirovskii. Reconnections of vortex loops in the turbulent superfluid Helium: Rates of the breakdown and fusion processes. Journal of Low Temperature Physics, 142:769, 2006.

33. S. K. Nemirovskii. Kinetics of a network of vortex loops in Hell and a theory of superfluid turbulence. Phys. Rev., B77:214509, 2008.

34. D. A. Steer. PhD thesis, University of London, 1997.

35. V. S. L'vov, S. V. Nazarenko, and G. E. Volovik. Energy spectra of developed superfluid turbulence. JETP Lett., 80:479, 2004.

36. G. E. Volovik. Classical and quantum regimes of the superfluid turbulence. JETP Lett., 78:1021, 2003.

37. V. S. L'vov, S. V. Nazarenko, and L. Skrbek. Energy spectra of developed turbulence in helium superfluids. nlin.CD/0606002.

38. A. P. Finne, V. B. Eltsov, R. Hanninen, N. B. Kopnin, J. Kopu, M. Krusius, M. Tsubota, and G. E. Volovik. Novel hydrodynamic phenomena in superfluid 3He. cond-mat/0606619.

39. J. R. Abo-Shaeer, C. Raman, and W. Ketterle. Formation and decay of vortex lattices in Bose-Einstein condensates at finite temperatures. Phys. Rev. Lett., 88:070409, 2002.

40. W. F. Vinen. Theory of quantum grid turbulence in superfiuid He B. Phys. Rev., B71:024513, 2005.

41. S. K. Nemirovskii. Evolution of a network of vortex loops in the turbulent superfiuid helium; Derivation of the Vinen equation. Journal of Low Temperature Physics, 148:257, 2007.

42. S. K. Nemirovskii. Gaussian model of vortex tangle in Hell. Phys. Rev., B57:5972, 1997.

43. C. F. Barenghi and D. C. Samuels. Scaling laws of vortex reconnections. J. Low Temp. Phys., 136:281, 2004.

44. Chen S., Foias C., Holm D.D., Olson E., Titi E.S., and Wynne S. The Camassa-Holm equations and turbulence. Physica, D 133:49, 1999.

45. Chen S., Foias C., Holm D.D., Olson E., Titi E.S., and Wynne S. Camassa-Holm equations as a closure model for turbulent channel and pipe flow. Phys. Rev. Lett., 81:5338 5341, 1998.

46. Camassa R. and Holm D. An integrable shallow water equation with peaked solitons. Phys. Rev. Lett., 71:1661-1664, 1993.

47. Camassa R., Holm D., and Hyman J.M. A new integrable shallow water equation. Advances in Applied Mechanics, 31:1-33, 1994.

48. Fuchssteiner B. and A.S. Fokas. Symplectic structures, their Backlund transformations and hereditary symmetries. Physica, D4:47-66, 1981.

49. Liu S-Q. and Zhang Y. Deformations of semisimple bihamiltonian structures of hydrodynamic type. J. Geom. Phys., 54:427-453, 2005.

50. Oliver P.J. and Rozenau P. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary waves having compact support. Phys. Rev., E53:1900-1906, 1996.

51. Aratyn H., Gomes J.F., and Zimerman A.H. On negative flows of the AKNS hierarchy and a class of deformations of a bihamiltonian structure of hydrodynamic type. J. Phys. A: Math. Gen., 39:10991114, 2006.

52. Falqui G. On a Camassa-Holm type equation with two dependent variables. J. Phys. A: Math. Gen., 39:327-342, 2006.

53. Ming Chen, Si-Qi Liu, and Youjin Zhang. A two-component generalization of the Camassa-Holm equation and its solutions. Lett. Math. Phys., 75:1-15, 2006.

54. Kirillov A.A. Infinite dimensional Lie groups: Their orbits, invariants and representations. The geometry of moments. Led. Notes in Math., 970:101-123, 1982.

55. Marcel P., Ovsienko V., and Roger C. Extensions of the Virasoro and Neveu-Schwarz algebras and generalized Sturm-Liouville operators. Lett. Math. Phys., 40:31-39, 1997.

56. Ovsienko V.Yu. and Roger C. Extension of Virasoro group and Virasoro algebra by modules of tensor densities on S1. Fund. Anal. Appl., 31, 1996.

57. Arbarello E., De Concini C., Kac V.G., and Procesi C. Moduli spaces of curves and representation theory. Commun. Math. Phys., 117:1-36, 1988.