К постановке начальной задачи в классической электродинамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Кирпичев, Сергей Борисович

• Кирпичев, Сергей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кирпичев, Сергей Борисович

1 Введение

2 Электродинамика Уилера-Фейнмана

2.1 Мотивация

2.2 Уравнения движения.

2.2.1 Двухмерная модель

2.3 Лучевые координаты.

2.4 Параметризация.

3 Возмущения точного решения

3.1 Одномерный атом Томпсона

3.1.1 Два заряда.

3.1.2 Решетка.

3.2 Задача рассеяния.

4 Непертурбативные алгоритмы

4.1 Метод сжимающих отображений.

4.1.1 Оценки скоростей.

4.1.2 Регуляризованное отображение.

4.1.3 Сходимость.

4.2 Редукция дифференциального порядка.

4.3 Лестничная параметризация.

4.3.1 Рассеяние.

4.3.2 Связанное состояние.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К постановке начальной задачи в классической электродинамике»

В области классической электродинамики [1, 2] зародилась одна из фундаментальных концепций современной науки: представление о поле как необходимой [1, §15] составляющей описания взаимодействий. Тем не менее, прямое следование теоретическому аппарату электродинамики зачастую приводит к логическим противоречиям. В качестве примера можно привести проблему расчета самодействия для точечной частицы. И в этом смысле классическая (неквантовая) электродинамика резко отличается от, например, ньютоновой механики. Проблемы имеют свое преломление и в квантовой области, поэтому представляет интерес анализ трудностей с позиции классической физики.

Данная работа посвящена менее известному вопросу классической теории: формулировке начальной задачи для системы точечных заряженных частиц с током1 и электромагнитного ноля. Традиционно к этой проблеме подходят с точки зрения теории уравнений в частных производных, например [3, 4]. Значения электромагнитного поля в начальный момент времени2 (t = 0)

Мировые линии частиц записываются латинскими буквами а, Ь. Ограничимся случаем постоянной метрики в М?: ab = а^Ы1 = g^a^b", аналогично: а2п = (аа)п. Точками обозначаются производные по параметру.

2Во введении предполагается, что метрика — diag(+, —, —, —) и траектории параметризованы координатным временем t — xq. l.i) рассматриваются как ?1езависимые данные, необходимые для определения поведения системы в будущем. Действительно, для построения решения уравнений поля в неограниченном пространстве можно воспользоваться интегральной формулой Кирхгоффа [5, сс. 417-418]. Вклад векторного потенциала поля, сгенерированного частицами приводит к появлению в уравнениях движения заряженных частиц интегральных операторов типа Вольтерра и фиксация обычных ньютоновых начальных данных достаточна для единственности решения.

Данная постановка задачи имеет ряд вариаций и в любой из них система в целом трактуется как бесконечномерная. Например, поле может быть разложено на гармонические составляющие, осцилляторы, и место уравнений в частных производных заменит счетный набор зацепляющихся ОДУ. Можно заметить здесь, что часть расходимостей квантовой электродинамики (бесконечная энергия вакуума) возникает как раз в этой парадигме [6, §3], [7, гл. 9 §3].

Рассмотренный подход, к сожалению, не свободен от принципиальных трудностей. Дело в том, что при решении конкретных задач поле исследуемой системы физически представлет собою суперпозицию как полей внешних источников (излучателей, на которые сама система зарядов оказывает пренебрежимо малое влияние) так и созданных зарядами

1.2) ni(0), сц(0) }

1.3) системы в прошлом, при t < 0. Поля, сгенерированные самой системой (в том числе, в ходе отклика на действие внешних нолей), не являются произвольными. Нельзя утверждать, что движение заряженных частиц в соответствии с физическими законами и иод действием известных внешних нолей (и иных сторонних сил) позволит получить произвольное, наперед заданное электромагнитное иоле к интересующему нас моменту времени.

Например, поле зарядов имеет сингулярности вдоль их мировых линий. Для нерелятивистской системы, «разогреваемой» начальный момент времени мощным электромагнитным импульсом, с достаточной степенью точности можно использовать кулоново иоле. Оно не произвольно и зависит от начального распределения частиц. Таким образом, задание значений поля как независимых данных не отражает адекватно размерность задачи, реальное число степеней свободы системы.

Исходя из физической постановки задачи, правильнее задавать падающее на систему внешнее излучение [1, §62]. Поле, возникающее в результате взаимодействия этого излучения с системой можно получить, устремляя в (1.2) начальный момент времени в —со. Это приводит к известным выражениям для запаздывающих потенциалов Лиенара—Ви-херта

Остальные слагаемые в выражении для потенциалов поля зависят только от заданного внешнего излучения и эта часть аналогична внешней силе в ньютоновой механике.

1.4) еаеь = +1

Рис. 1.1. Задача о лобовом столкновении двух заряженных частиц в релятивистской электродинамике.

В более общем случае, постановка задачи может допускать добавление полей зарядов, движущихся заданным образом внутри системы. Например, электрическое ноле статического распределения зарядов. Но так или иначе, само понятие электромагнитного поля в данном подходе играет вспомогательную роль: в уравнениях движения заряженных частиц взаимодействие описывается полностью в терминах их мировых линий.

Законно спросить, имеет ли электродинамическая система дополнительные степени свободы [8, 9] (но сравнению с ньютоновой механикой), если учесть проведенную выше декомпозицию поля на внешнее и самосогласованное, зависящее от истории движения зарядов? Это основной вопрос, поставленный в данной работе. Нетривиальность его связана с тем, что уравнения движения являются функционально-дифференциальными [10, 11, 12, 13, 14] (ФДУ). В изучаемой здесь модели это ФДУ точечного типа, называемые также иногда дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями (ДРУ).

ДРУ, описывающие процессы с последействием, появились в литературе еще в XVIII веке, в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако их активное изучение началось только в 50-х годах XX века, в рамках развития теории автоматического регулирования [15, 16], когда выяснилось, что для описания практических систем необходимо привлекать такой параметр, как время реакции. До этого периода, не существовало даже четкой постановки начальной задачи [10]. ДРУ получили распространение в иммунологии, химии, электронике [17, 18]. В основном использовались модели с постоянным запаздыванием, как наиболее изученные.

Хотя можно предложить ряд контрпримеров (приложение А), демонстрирующих возможность выделения решения конечномерным набором начальных данных, в теории ДРУ единственность обычно обеспечивается заданием поведения неизвестных функций на некотором отрезке изменения независимой переменной, «времени» [14]. Такие начальные данные представляют собою точку в фазовом пространстве системы [16], являющемся, таким образом, функциональным пространством.

Для релятивистской электродинамики подобная «траекторная» постановка начальной задачи была впервые применена в работах Драйвера, Норриса и Тревиса [19, 20]. В частности, для классической задачи о лобовом столкновении двух одноименно заряженных частиц, известной как задача Синга [21], Рис. 1.1. Для определения движения в будущем, достаточно задать ограниченные фрагменты мировых линий, в качестве начальных данных (Рис. 1.2). В ряде работ но численному моделированию [22, 23, 24, 25, 26, 27] использовались различные варианты этого подхода, например, «разрывные» начальные условия: частицы удержи

Рис. 1.2. Постановка начальной задачи для пары частиц а и b с использованием выделенных частей мировых линий в качестве начальных данных; граничные точки соединены светоиодобными интервалами (нунктир). ваются в покое до момента t = 0, в который их «отпускают» с некоторыми «затравочными» (возможно, нулевыми) значеними импульсов. Также, Уилером и Фейнманом утверждалось [28] (без доказательства), что спецификация некоторых отрезков мировых линий частиц будет представлять «естественные» начальные данные в теории, включающей опережающие и запаздывающие потенциалы. Вариантом рассматриваемого подхода является задачние нолей в начальный момент времени на некоторой поверхности, наряду с ньютоновскими начальными данными (1.3), рассмотренное в модельной задаче со скалярным нолем Айхельбургом и Гроссом [29].

Наряду с этим, в задаче Синга была продемонстрирована [30,31, 32, 8, 33, 34, 35, 24, 23, 36] достаточность обычных «ньютоновых» начальных данных Коши для выделения единственного решения, как и в нерелятивистском случае. Более того, неоднократно утверждалось [21, 37, 38], что (1.3) являются достаточным набором начальных данных для задач релятивистской механики.

Аналогичная проблема выбора подходящих начальных данных возникает и в электродинамике Уилера—Фейнмана [39, 28, 40, 41, 42, 43, 44, 41, 45], когда заряды взаимодействуют полусуммой опережающих и запаздывающих потенциалов. Теорема существования и единственности решения для задачи о симметричном лобовом столкновении двух одинаковых (та = ть = т) частиц была доказана Драйвером [46] при кинетических энергиях е Z 10~3т в системе центра масс. Недавние результаты численного моделирования, проведенные Никитиным с соавторами

47, 48, 9], демонстрируют бифуркации (распад на три ветви) единственного в нерелятивистской области решения при е ~ 3.7т и выше.

Далее в качестве математической модели будет использоваться именно двухмерная (ограничение движения на прямую) формулировка электродинамики Уилера—Фейнмана [39, 28, 49, 49, 44]. Выбор обусловлен, в первую очередь, трудностями обычной Максвелл—Лоренце-вой электродинамики в областии учета самодействия. Консервативность динамики в этой модели также позволяет проанализировать примеры движения частиц с релятивистскими энергиями в ограниченной области. Соответствующая задача в обычной электродинамике потребовала бы нестационарных внешних условий: накачки системы энергией, для компенсации радиационных потерь. В первой главе приведена подробная формулировка теории и обсуждаются ее физические аспекты.

В главе 3 рассмотрен спектр линейных возмущений точного решения равновесного состояния системы N зарядов на однородном противоположно заряженном фоне (одномерный атом Томпсона). Показано, что при увеличении плотности системы в спектре собственных значений линейной теории возмущений появляются новые моды, отвечающие ограниченным решениям. В контрасте с этим, проведено также доказательство единственности ограниченного решения в линейной теории возмущений для задачи о лобовом столкновении частиц.

Последняя глава посвящена непертурбативным методам решения задачи iV-тел. Принцип сжимающих отображений [50, гл. II §4] использован при доказательстве теоремы существования и единственности решения в разделе 4.1 для задачи тина рассеяния с достаточно низкими энергиями налетающих частиц. Редукция дифференциального порядка системы в разделе 4.2 позволяет расширить этот результат на случай движения зарядов в ограниченной области для слабого релятивизма. Использование лестничной параметризации [47] в разделе 4.3 позволяет свести задачу о финитном движении двух тел к счетному набору зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений (решетка) и набору алгебраических уравнений сшивки (механика со связями). Для эффективного обрыва цепочки уравнений можно использовать граничное условие Борна—Кармана. Анализ возмущений точного решения задачи двух тел в этом случае позволяет строго подтвердить вывод главы 3 о повышении размерности системы, возникновении новых коллективных «степеней свободы».

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кирпичев, Сергей Борисович, 2007 год

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Классическая теория ноля. — 7 изд. — М.: Наука, 1988.-512 с.

2. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля.— М.: УРСС, 1999.-336 с.

3. Pritchet P. L. Particle-in-cell simulation of plasmas — a tutorial // Space Plasma Simulation / Ed. by J. Biicher, С. T. Dum, M. Scholer.— Berlin: Springer-Verlag, 2003. — Lecture Notes in Physics. — 372 pp.

4. Хокни P., Иствуд Д. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. / Под ред. Р. Сагдеев, В. Шевченко. — М.: Мир, 1987. — 640 с.

5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — 5 изд. — Москва: Наука, 1977. — 735 с.

6. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — 3 изд. — М.: Наука, 1989. — 728 с.

7. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы но траекториям. М.: Мир, 1968. - 380 с.

8. Zhdanov V. I. Heredity and the degrees of freedom in the relativistictwo-body problem // Physics Letters A. — 1991. —Dec. — Vol. 160.— Pp. 401-405.

9. Klimenko S., Nikitin I., Urazmetov W. Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in wheeler-feynman electrodynamics // Computer Physics Communications. — 2000. — Apr. — Vol. 126. Pp. 82-87.

10. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — 2 изд. — М.: Наука, 1972. — 352 с.

11. Элъсголъц Л., Норкин С. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.— М.: Наука, 1971.— 296 с.

12. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967.- 548 с.

13. Бекларян Л. А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой подход.— М.: Факториал Пресс, 2007.-С. 288.

14. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984.-421 с.

15. Янушевский Р. Управление объектами с запаздыванием. — М.: Наука, 1978. 416 с.

16. Красовский Н. Н. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.

17. Белых JI., Асаченков А. Моделирование инфекционных заболеваний // Вычислительные процессы и системы. — М.: Наука, 1985.— Т. 3.

18. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. - 288 с.

19. Driver R. D., Norris М. J. Note on uniqueness for a one-dimensional two-body problem of classical electrodynamics // Annals of Physics. — 1967. Apr. - Vol. 42. - Pp. 347-351.

20. Travis S. P. A one-dimensional two-body problem of classical electrodynamics // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1975. — Vol. 28, no. 3.-Pp. 611-632.

21. Synge J. L. On the electromagnetic two-bodies problem // Proc. R. Soc.(London). 1941. - Vol. A177. - Pp. 118-199.

22. Kasher J. C., Schwebel S. L. Two-body problem in classical relativistic electrodynamics, i. unlike charges // Phys. Rev. D.— 1971. —Nov.— Vol. 4, no. 10.- Pp. 2956-2962.

23. Kasher J. C. Taylor-series method for two-body problems in classical electrodynamics: One-dimensional repulsive motion with retarded fields and no radiation reaction // Phys. Rev. D.— 1975. —Sep. — Vol. 12, no. 6.-Pp. 1729-1732.

24. Numerical solutions to two-body problems in classical electrodynamics: Straight-line motion with retarded fields and no radiation reaction /J. Huschilt, W. E. Baylis, D. Leiter, G. Szamosi // Phys. Rev. D.— 1973. May. - Vol. 7, no. 10. - Pp. 2844-2850.

25. Ильин А. С., Кулагин В. В., Черепенин В. А. О возможности лазерного ускорения плоского слоя электронов // Журнал радиоэлектроники. — 2000. — № 9.

26. Ильин А. С., Кулагин В. В., Черепенин В. А. Модель электронных листов: классические и неклассические радиационные эффекты. // Журнал радиоэлектроники. — 1999.— Р 1.

27. Взаимодействие мощной электромагнитной волны с тонким плазменным слоем / С. JI. Зиглин, А. С. Ильин, В. В. Кулагин, В. А. Черепенин // Журнал радиоэлектроники. — 2000. — № 8.

28. Wheeler J. A., Feynman R. P. Classical electrodynamics in terms of direct interparticle action // Rev. Mod. Phys. — 1949.— Jul. — Vol. 21, no. 3.-Pp. 425-433.

29. Aichelburg P. C., Grosse H. Exactly soluble system of relativistic two-body interaction // Phys. Rev. D.— 1977.— Sep. — Vol. 16, no. 6.— Pp. 1900-1911.

30. Driver R. D. A «backward» two-body problem of classical relativistic electrodynamics // Phys. Rev. — 1969. — Feb. — Vol. 178, no. 5. — Pp. 2051-2057.

31. Hsing D.-p. K. Existence and uniqueness theorem for the onedimensional backwards two-body problem of electrodynamics // Phys. Rev. D. 1977. - Aug. - Vol. 16, no. 4. - Pp. 974-982.

32. Zhdanov V. I. Convergence of iteration method in the relativistic two-body problem, taking into account the retardation of interactions // Journal of Physics A: Mathematical and General — 1991.— Vol. 24, no. 21.-Pp. 5011-5027.

33. Zhdanov V. I. Relativistic two-body problem: Existence and uniqueness of two-sided solutions to functional-differential equations of motion // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 1996. — Sep. — Vol. 3. — Pp. 379-384.

34. Huschilt J., Baylis W. E. Numerical solutions to two-body problems in classical electrodynamics: Head-on collisions with retarded fields and radiation reaction, i. repulsive case // Phys. Rev. D. — 1976. — Jun. — Vol. 13, no. 12.-Pp. 3256-3261.

35. Baylis W. E., Huschilt J. Numerical solutions to two-body problems in classical electrodynamics: Head-on collisions with retarded fields and radiation reaction, ii. attractive case // Phys. Rev. D. — 1976. — Jun. — Vol. 13, no. 12.- Pp. 3262-3268.

36. Travis S. P. Existence theorem for a backwards two-body problem of electrodynamics // Phys. Rev. D.— 1975, —Jan. — Vol. 11, no. 2.— Pp. 292-299.

37. Van Dam H., Wigner E. P. Instantaneous and asymptotic conservationlaws for classical relativistic mechanics of interacting point particles // Phys. Rev. 1966. - Feb. - Vol. 142, no. 4. - Pp. 838-843.

38. Van Dam H., Wigner E. P. Classical relativistic mechanics of interacting point particles // Phys. Rev. — 1965. — Jun.— Vol. 138, no. 6B.— Pp. B1576-B1582.

39. Wheeler J. A., Feynman R. P. Interaction with the absorber as the mechanism of radiation // Rev. Mod. Phys. — 1945. — Apr. — Vol. 17, no. 2-3.-Pp. 157-181.

40. Feynman R. P. A relativistic cut-off for classical electrodynamics // Phys. Rev.- 1948.-Oct. Vol. 74, no. 8.- Pp. 939-946.

41. Buksman Hollander E., De Luca J. Two-degree-of-freedom hamiltonian for the time-symmetric two-body problem of the relativistic action-at-a-distance electrodynamics // Phys. Rev. Е,— 2003. —Feb. — Vol. 67, no. 2.-P. 026219.

42. Andersen С. M., von Baeyer H. C. Solutions of the two-body problem in classical action-at-a-distance electrodynamics: Straight-line motion // Phys. Rev. D. 1972. - May. - Vol. 5, no. 10. - Pp. 2470-2476.

43. Hoag J. T., Driver R. D. A delayed-advanced model for the electrodynamics two-body problem // Nonlinear Analysis. — 1990. — Vol. 15. — Pp. 165-184.

44. Hoyle F., Narlikar J. V. Cosmology and action-at-a-distance electrodynamics // Rev. Mod. Phys. 1995. - Jan. - Vol. 67, no. 1. - Pp. 113155.

45. Luca J. D. Covariant hamiltonian for the electromagnetic two-body problem // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2005. - Vol. 15, no. 3. - P. 033107.

46. Driver R. D. Can the future influence the present? // Phys. Rev. D. — 1979. Feb. - Vol. 19, no. 4. - Pp. 1098-1107.

47. Nikitin I. N. Hamiltonian formulation of two-body problem in wheeler-feynman electrodynamics // Nuovo Cim.— 1995.— Vol. В110.— Pp. 771-792.

48. Klimenko S. V., Nikitin I. N., Urazmetov W. F. On structure of solutions of 1-dimensional 2-body problem in wheeler-feynman electrodynamics // Nuovo Cim.- 1998.-Vol. Alll.- Pp. 1281-1292.

49. Pegg D. T. Absorber theory of radiation // Reports on Progress in Physics. 1975. - Vol. 38, no. 12. - Pp. 1339-1383.

50. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4 изд. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

51. Kerner Е. Н. Electromagnetism and gravitation: an action-at-a-distance confluence // Phys. Rev. — 1962. — Mar. — Vol. 125, no. 6. — Pp. 2184-2188.

52. Ramond P. Action- at- a distance theories and dual models // Phys. Rev. D. - 1973. - Jan. - Vol. 7, no. 2. - Pp. 449-458.

53. Schwebel S. L. Advanced and retarded solutions in field theory // International Journal of Theoretical Physics. — 1970. — Oct. — Vol. 3. — Pp. 347-353.

54. Желтухин А., Тугай В. Суперсимметрия и принцип действия на расстоянии // Письма в ЖЭТФ.- 1993.- по. 4.- Pp. 246-250.

55. Желтухин А., Тугай В. Супермультиплет Максвелла в подходе Уилера-Фейнмана // Письма в ЖЭТФ. 1994. - по. 5. - Pp. 305310.

56. Kalb М., Ramond P. Classical direct interstring action // Phys. Rev. D. 1974. - Apr. - Vol. 9, no. 8. - Pp. 2273-2284.

57. Клепиков H. П. Силы торможения излучением и излучение заряженных частиц // УФН. 1985. - Т. 146, № 2. - С. 317-337.

58. Dirac P. А. М. Classical theory of radiating electrons // Proc. R. Soc. (London). 1938. - Vol. A167. - Pp. 148-168.

59. Feynman R. P. Relativistic cut-off for quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1948. - Nov. - Vol. 74, no. 10. - Pp. 1430-1438.

60. Feynman R. P. The theory of positrons // Phys. Rev. — 1949. — Sep. — Vol. 76, no. 6.-Pp. 749-759.

61. Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. - Apr. - Vol. 20, no. 2. - Pp. 367387.

62. Feynman R. P. Space-time approach to quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1949. - Sep. - Vol. 76, no. 6. - Pp. 769-789.

63. Feynman R. P. Mathematical formulation of the quantum theory of electromagnetic interaction // Phys. Rev.— 1950.— Nov. — Vol. 80, no. 3.-Pp. 440-457.

64. Cramer J. G. Generalized absorber theory and the einstein-podolsky-rosen paradox // Phys. Rev. D. 1980. - Jul. - Vol. 22, no. 2. -Pp. 362-376.

65. Cramer J. G. The transactional interpretation of quantum mechanics // Rev. Mod. Phys.- 1986. -Jul. -Vol. 58, no. 3.-Pp. 647-687.

66. De Luca J. Simple dynamical system with discrete bound states // Phys. Rev. E- 2000. Aug. - Vol. 62, no. 2. - Pp. 2060-2067.

67. De Luca J. Electrodynamics of helium with retardation and self-interaction effects // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Jan. — Vol. 80, no. 4. — Pp. 680-683.

68. De Luca J. Stiff stability of the hydrogen atom in dissipative fokkerelectrodynamics // Phys. Rev. E.— 2005. —May. — Vol. 71, no. 5.— P. 056210.

69. Кирпичев С. БПоляков П. А. О постановке начальной задачи системы релятивистских заряженных частиц // Труды IX Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн.».— М.: Изд-во физического факультета МГУ, 2003. — С. 55.

70. Кирпичев С. Б., Поляков П. А. Постановка начальной задачи для системы релятивистских заряженных частиц // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2004. — Т. 9, № 6.

71. Schild A. Electromagnetic two-body problem // Phys. Rev. — 1963. — Sep. — Vol. 131, no. 6.- Pp. 2762-2766.

72. Andersen С. M., von Baeyer H. C. Almost circular orbits in classical action-at-a-distance electrodynamics // Phys. Rev. D. — 1972. — Feb. — Vol. 5, no. 4.-Pp. 802-813.

73. Nikitin I. N., De Luca J. Numerical methods for the 3-dimensional 2-body problem in the action-at-a-distance electrodynamics // Int. J. Mod. Phys. 2001. - Vol. C12. - Pp. 739-750.

74. Nigam В. P. Hamiltonian formulation of action at a distance in electrodynamics // Phys. Rev. 1966. - May. - Vol. 145, no. 4. - Pp. 10261034.

75. Николов П. H., Тодоров И. Т. Пространственно-временное описание движения и гамильтонов подход к динамике релятивистских частиц // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1983. — Т. 14, № 5.

76. Currie D. G., Jordan Т. F., Sudarshan Е. С. G. Relativistic invariance and hamiltonian theories of interacting particles // Rev. Mod. Phys. — 1963.-Apr. Vol. 35, no. 2. - Pp. 350-375.

77. Havas P. The classical equations of motion of point particles, i // Phys. Rev. 1952. - Jul. - Vol. 87, no. 2. - Pp. 309-318.

78. Havas P. The classical equations of motion of point particles, ii // Phys. Rev. 1953. - Aug. - Vol. 91, no. 4. - P. 997.

79. Beil R. G. Alternate formulations of classical electrodynamics // Phys. Rev. D. 1975. - Oct. - Vol. 12, no. 8. - Pp. 2266-2268.

80. Rohrlich F. Time reversal invariance and the arrow of time in classical electrodynamics If Phys. Rev. E.— 2005. —Nov. — Vol. 72, no. 5.— P. 057601.

81. Villecco R. A. Instantaneous action-at-a-distance representation of field theories // Phys. Rev. E.- 1993.-Nov. Vol. 48, no. 5.- Pp. 40084026.

82. Dettman J. W., Schild A. Conservation theorems in modified electrodynamics // Phys. Rev. 1954. - Aug. - Vol. 95, no. 4. - Pp. 1057-1060.

83. Schild A. A new modification of classical electromagnetic theory // Phys. to. 1953.-Nov. - Vol. 92, no. 4.- Pp. 1009-1014.

84. Boyer Т. H. Retarded van der waals forces at all distances derived from classical electrodynamics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. A. 1973. - Jun. - Vol. 7, no. 6. - Pp. 18321840.

85. Boyer Т. H. Temperature dependence of van der waals forces in classical electrodynamics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. A. — 1975. — May. — Vol. 11, no. 5.-Pp. 1650-1663.

86. Boyer Т. H. Random electrodynamics: The theory of classical electrodynamics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. D. 1975. - Feb. - Vol. 11, no. 4. - Pp. 790-808.

87. Boyer Т. H. General connection between random electrodynamics and quantum electrodynamics for free electromagnetic fields and for dipole oscillator systems // Phys. Rev. D.— 1975.— Feb. — Vol. 11, no. 4.— Pp. 809-830.

88. Boyer Т. H. Derivation of the blackbody radiation spectrum from the equivalence principle in classical physics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. D. — 1984. — Mar. — Vol. 29, no. 6. — Pp. 1096-1098.

89. Puthoff H. E. Source of vacuum electromagnetic zero-point energy // Phys. Rev. A. 1989. - Nov. - Vol. 40, no. 9. - Pp. 4857-4862.

90. Staruszkiewicz A. An example of a consistent relativistic mechanics of point particles // Annalen der Physik.— 1970.— Vol. 25, no. 4,— Pp. 362-367.

91. Stephas P. One-dimensional motion for classical relativistic two-body systems in time-asymmetric lorentz scalar potentials // Phys. Rev. D. — 1985. Jan. - Vol. 31, no. 2. - Pp. 319-324.

92. Bruhns B. Time-asymmetric two-body problem in special relativity // Phys. Rev. D.— 1973.-Oct. Vol. 8, no. 8.- Pp. 2370-2376.

93. Darwin C. G. Dynamical motions of charged particles // Phil. Mag. — 1920.-Vol. 39.

94. Кирпичев С. БПоляков О. П., Поляков П. А. Ленгмюровские волны в тонкой плазменной нити // Труды X Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». — М.: Физический факультет МГУ, 2006. С. 30-32.

95. Силин В. П., Урсов В. Н. Об окончании спектра ленгмюровских волн ультрарелятивистской плазмы // Краткие сообщения по физике ФИАН. 1982. - № 1. - С. 34-40.

96. Поляков П. А. Новый вид колебаний релятивистской плазмы // ЖЭТФ.- 1983.- Т. 85, № 11,- С. 1585-1590.

97. Кирпичёв С. Б., Поляков П. А. О постановке начальной задачи для системы релятивистских частиц // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. И, № 1. — С. 211-226.

98. Kirpichev S. В., Polyakov P. A. On the formulation of initial-value problems for systems consisting of relativistic particles // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - Feb. - Vol. 141.-Pp. 1051-1061.

99. Кролл H., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. — M.: Мир, 1975.

100. Болтасова Ю. В., Поляков П. А., Русаков А. Е. Релятивистское вырождение гибридного резонанса магнитоактивной плазмы // Известия РАН. Серия Физическая. 2001.- Т. 65, 12,- С. 17231726.

101. Релятивистские особенности электромагнитного отклика плазменной среды / Ю. В. Болтасова, С. Б. Кирпичев, П. А. Поляков, А. Е. Русаков // Радиотехника и электроника.— 2003.— Т. 48, № 6.