Кодирование и передача информации на основе хаотических динамических систем с дискретным временем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Дмитриев, Андрей Александрович

• Дмитриев, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дмитриев, Андрей Александрович

Введение

Глава 1. Кодирование информации на основе динамического хаоса

1.1. Криптография

1.1.1. Криптографическая система

1.1.2. Классификация шифров по различным признакам

1.1.3. Энтропия и избыточность языка

1.1.4. Системы шифрования

1.2. Хаос и Криптография

1.2.1. Хаотическая система

1.2.2. Показатель Ляпунова

1.2.3. Эргодичность

1.2.4. Перемешивание

1.2.5. Самосинхронизация

1.2.6 Арифметика с плавающей запятой

1.2.7. Практическое приложение

1.2.8. Выбор хаотического отображения

1.3. Выводы

Глава 2. Схема кодирования на основе схемы с нелинейным подмешиванием информационного сигнала в хаотический

2.1. Схема с нелинейным подмешиванием

2.2. Алгоритм построения системы шифрования на основе схемы с нелинейным подмешиванием

2.3. Анализ схемы шифрования

2.4. Выводы

Глава 3. Хаотические последовательности, содержащие заданную информацию

3.1. Хаотические последовательности, содержащие заданную информацию для сдвига Бернулли и tent-отображения

3.2. Несимметричные отображения

3.2.1. Построение хаотических последовательностей с помощью функции кодирования

3.2.2. Кодирование через прообразы

3.3. Выводы

Глава 4. Хаотическая синхронизация в системах с конечным числом состояний

4.1. Схемы синхронизации с однонаправленной связью

4.2. Информационно-открытые системы

4.3. Идентификация состояния и синхронизация для симметричного тент-отображения

4.4. Идентификация состояния и синхронизация для несимметричного тент-отображения

4.4.1. Модифицированный алгоритм

4.4.2. Вероятность установления синхронизации

4.5. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кодирование и передача информации на основе хаотических динамических систем с дискретным временем»

Открытие динамического хаоса [1-17] и дальнейшее его изучение привели к пересмотру многих привычных представлений в различных областях науки и техники. В середине 80-х годов, после обнаружения явлений хаотической синхронизации [103-108] и хаотического синхронного отклика [109] стало понятно, что нелинейная динамика может найти свое место в теории связи и теории информации [18-20].

В классической теории информации [21-23], где основным является вопрос об условиях надежной передачи сообщений, рассматриваются три типа сигналов:

• информационные, характеризуемые полосой частот, отношением сигнал-шум и/или необходимой скоростью передачи информации в бит/с;

• случайные (как правило это шумы), обладающие бесконечной энтропией (информацией);

• детерминированные (например, синусоидальные несущие сигналы), информационное содержание которых равно нулю.

Шумы ограничивают точность воспроизведения информационных сигналов и тем самым ограничивают пропускную способность каналов связи.

Уже в конце 50-х годов прошлого века начало возникать понимание того, что теория информации не является аксиоматически замкнутой, а допускает и даже требует введения новых элементов, чтобы более полно отражать информационные процессы в естественных и искусственных системах [24]. К началу 80-х годов благодаря фундаментальным открытиям в области нелинейных явлений (самоорганизация и динамический хаос [25-32]) и осознанию возможности обработки информации на квантовом уровне [3334] созрели предпосылки для дополнения, развития, а в ряде случаев и пересмотра некоторых положений классической теории.

Хаотические колебания представляют собой специфический вид сигналов, информационное содержание которых отлично от нуля. В связи с этим они могут рассматриваться как носители информации, а детерминированные нелинейные динамические системы, порождающие такие сигналы, как особые источники информации. Важным свойством хаотических колебаний как информационных сигналов является то, что средний объем информации в единицу времени у них строго определен. Отсюда следует, например, что они могут быть переданы без искажений по каналу с ограниченной пропускной способностью. Для других видов аналоговых сигналов, содержащих информацию, например для речевых сигналов или белого шума, это невозможно.

Существует ряд других свойств хаотических сигналов, делающих их потенциально привлекательными для использования в системах передачи информации. К этим свойствам можно отнести:

• Возможность получения сложных колебаний с помощью простых по структуре электронных устройств.

К настоящему времени предложено и исследовано значительное количество динамических систем, генерирующих хаотические сигналы. "Минимальные" хаотические генераторы описываются всего тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями и, по меньшей мере, часть из них представляют собой генераторы, построенные путем добавления одного или нескольких элементов в стандартные генераторы регулярных колебаний. Другие источники хаоса не так просто связать с традиционными электронными генераторами, однако они также могут быть реализованы с помощью современной элементной базы либо схемотехнически, либо в виде аналоговой интегральной микросхемы, либо на основе цифровых сигнальных процессоров. В качестве примеров источников хаоса с полутора степенями свободы можно привести систему Лоренца [2] систему Ресслера [35], генератор с туннельным диодом [36], цепь Чуа [37-38]. Первые из двух систем первоначально были предложены в областях далеких от электроники, однако как уже говорилось, на базе этих моделей можно реализовать генераторы хаоса, точно также как это делается с генераторами, более близкими по своему виду к традиционным. Выбор модели и ее реализации определяется конкретной задачей, которая предъявляет (или может предъявить) к источнику хаоса специфические требования. Причем разнообразие моделей источников хаоса, конечно, не исчерпывается только системами с полутора степенями свободы.

• В одном источнике хаоса может быть реализовано большое количество различных хаотических мод.

Траектории хаотических систем чрезвычайно чувствительны к начальным условиям. В то же время сами колебательные режимы источников хаоса демонстрируют богатство разнообразия при изменении параметров системы. Причем, если число существенных параметров в системе несколько, то это, как правило, приводит к увеличению разнообразия динамических режимов. Типичным примером является цепь Чуа [37-37]. Разнообразие хаотических режимов может возрастать также с увеличением размерности динамической системы.

Большое количество различных мод представляет интерес для коммуникационных систем, использующих хаос, поскольку потенциально позволяет организовать большое число отдельных каналов связи, определяемых совокупностью значений параметров и тем самым определенной долей приватности. Грубо говоря, для того чтобы пара "посылающий сообщение - принимающий сообщение" могла нормально работать, оба и абонент, посылающий сообщение, и принимающий абонент должны знать этот набор параметров. Другим потенциальным абонентам, не знающим конкретную совокупность параметров (даже если они обладают приемником на основе той же самой по структуре динамической системой) информация пересылаемая упомянутой парой абонентов будет недоступна.

• Управление хаотическими режимами может производиться путем малых изменений параметров системы.

Большое количество различных колебательных мод в одной и той же системе означает, что изменение режима происходит при малом изменении параметров системы. Этот факт в зависимости от конкретной ситуации может иметь как отрицательное, так и положительное значение для систем передачи информации, использующих хаос. Отрицательное влияние: слишком высокая чувствительность к значениям параметров приводит к жестким требованиям по идентичности параметров, требованиям высокой температурной стабильности и т.д. С другой стороны эти же свойства позволяют управлять хаотическими системами на уровне мощностей намного более низких, чем мощность самого хаотического сигнала, что, несомненно, полезно для достаточно мощных источников хаоса. Это же свойство при прочих равных условиях обеспечивать более высокую скорость модуляции хаотических колебаний по сравнению со скоростью модуляции в классических системах. В целом, за счет возможности управления хаотическими режимами путем малых изменений параметров системы можно ожидать улучшения энергетической эффективности коммуникационных систем с хаосом по сравнению с традиционными системами.

• Хаотические сигналы обладают в среднем постоянной энтропией (информацией) на отсчет (в единицу времени).

Это свойство хаотических систем уже упоминалось выше. К сказанному стоит добавить, что поскольку информационное содержание хаотических сигналов в среднем постоянно, то его можно количественно измерить. Поэтому они могут, например, быть использованы как тестовые сигналы при анализе информационных свойств коммуникационных систем и их компонентов.

• Возможность "вложения" большого количества информации в хаотический сигнал.

По своей природе хаотические сигналы обладают сплошным спектром, простирающимся в широкой полосе частот. Как известно информационное содержание сигналов-сообщений прямо пропорционально занимаемой ими полосе частот. Современные методы модуляции позволяют в принципе обеспечить полосу передаваемого сигнала на высокой частоте до 10-20% по отношению к частоте несущего колебания. Однако это достигается за счет специальных достаточно сложных технических решений. Такие системы относятся к широкополосным системам. Хаотические сигналы являются широкополосными по своей природе. Они могут в принципе даже не иметь выделенных в спектре частот. Это позволяет вводить в них информационные сигналы, с полосой вплоть до полосы самих хаотических сигналов, практически без изменения их полосы и формы спектра. Тем самым появляется возможность достаточно простой реализации не только широкополосных, но и сверхширокополосных систем связи с полосами частот до октавы.

• Разнообразие методов ввода информационного сигнала в хаотический.

Введение информации в несущий сигнал осуществляется в классических системах связи путем модуляции амплитуды, фазы или частоты несущих колебаний. Это - те три параметра несущих колебаний, которые являются "свободными" для ввода информации.

Ситуация с хаотическими колебаниями принципиально иная. Они разнообразны по форме и их параметризация не может быть сведена к таким внешним признакам как амплитуда, фаза и частота. Изменение одного или нескольких параметров приводит к изменению структуры колебаний, причем эти изменения, как правило, не сводятся к изменению внешнего вида колебаний, которые могут быть легко зафиксированы "невооруженным взглядом". Структура вида колебаний при небольшом изменении параметра может измениться незначительно, но это будет уже другая хаотическая мода и факт ее смены может быть надежно зафиксирован специально разработанными методами. Если в системе имеется несколько изменяемых параметров, то варьирование каждым из них в отдельности или одновременно будет приводить к изменению типа хаотической моды. Поэтому ввод информации может осуществляться с помощью изменения параметра (параметров). Извлечение же информации в приемнике осуществляется за счет выбора параметров приемника, синхронизующих работу приемника с работой передатчика. Оценки значений этих параметров и будут определять информационный сигнал модулирующий хаотическую систему. Более того, проводились исследования, показавшие, что таким образом можно передавать и извлекать в приемнике не только один сигнал, но и несколько независимых сигналов, модулируя этими сигналами разные параметры хаотической системы.

Таким образом, уже только модуляция параметров хаотической системы дает большое разнообразие возможностей для ввода информации в хаотический сигнал. Однако она далеко не исчерпывает эти возможности. Существует целый ряд других подходов, среди которых: нелинейное подмешивание информационного сигнала к хаотическому, возмущение траекторий хаотической системы малыми отклонениями, использование тонкой структуры аттрактора и другие.

• Увеличение скорости модуляции по отношению к традиционным методам модуляции.

Как уже отмечалось, неустойчивость траекторий хаотических систем делает их чрезвычайно чувствительными к управлению. Например, при необходимости перевести фазовую траекторию из одной точки аттрактора в другую, требуемый результат может быть получен за счет одного или серии малозаметного, незначительного возмущения траектории. Каждое из этих возмущений лишь слегка меняет траекторию системы, но через некоторое время накопление и экспоненциальное усиление малых возмущений приводит к достаточно сильной коррекции траектории и при соответствующем выборе уровня и направления возмущений позволяет решить поставленную задачу. При этом траектория системы остается на хаотическом аттракторе. Таким образом, системы с хаосом демонстрируют одновременно и хорошую управляемость и удивительную пластичность: система чутко реагирует на внешние воздействия, при этом сохраняя тип движения.

Из сказанного следует, что скорость модуляции в хаотических системах при одном и том же уровне коэффициента модуляции может достигать существенно больших значений, чем в системах с регулярной динамикой. При этом в силу отмеченной пластичности будет сохраняться структурная устойчивость динамических режимов.

• Самосинхронизация передатчика и приемника.

Обнаружения явления хаотической синхронизации [39] и хаотического синхронного отклика [40] обусловили возникновение острого интереса к использованию хаоса для передачи информации. Особенно это относится к хаотическому синхронному отклику. Было показано, что для широкого класса систем с хаосом возможно построить некие "сопряженные" к этим системам нелинейные устройства, которые обладают следующими двумя свойствами:

1) при подаче на вход такого устройства хаотического сигнала сопряженной ему хаотической системы, сигнал на выходе этого устройства идентичен сигналу на его входе;

2) для всех других сигналов это свойство не выполняется.

Таким образом, устройство, реализующее хаотический синхронный отклик, представляет собой нелинейный фильтр, позволяющий в частности распознавать сигналы данного источника хаоса среди сигналов, порождаемых другими источниками.

Принцип хаотического синхронного отклика используется в значительной части предложенных к настоящему времени схем связи, использующих хаос.

• Нетрадиционные методы мультиплексирования.

Вопрос о том, как обеспечить одновременное использование каналов связи несколькими или даже многими потребителями является чрезвычайно важным в современных системах связи. Только при его решении возможно построение многопользовательских систем, примерами которых являются: магистральные системы связи (в том числе информационные "highways"), спутниковые системы связи, системы обычной и сотовой телефонии, интернет и др. Совместное использование "пространства - времени" в них обеспечивается различными способами, среди которых наиболее широко распространенными являются: пространственное разделение сигналов (например, обслуживание спутником одновременно нескольких территорий за счет применения многолучевых направленных антенн), частотное разделение каналов (frequency division), разделение каналов по времени (time division), кодовое разделение каналов (code division).

Хаотические сигналы обладают рядом свойств, которые позволяют создать схемы разделения (мультиплексирования) сигналов принципиально отличающиеся от перечисленных, например, на основе хаотической синхронизации и хаотического синхронного отклика. Важно отметить, что подобные схемы разделения невозможно реализовать для других типов сигналов.

• Конфиденциальность при передаче сообщений.

Конфиденциальность передачи информации по эфиру определяется следующими факторами:

- вероятностью перехвата;

- сложностью сигнала, который используется для расширения спектра;

- 12- сложностью шифра, который может быть использован для обычного текстового сообщения.

Из-за малой спектральной плотности мощности, ассоциируемой с передачей в расширенном спектре, что является достаточно типичным для хаотических систем связи, переданный сигнал трудно зафиксировать (принять). Вероятность приема может быть дополнительно снижена путем использования коротких интервалов передачи.

Повышенная конфиденциальность может. быть получена путем кодирования сообщений перед передачей. Проблема кодирования в практических системах (особенно использования блочных кодов) становится все более тяжелой по мере увеличения скорости передачи потоков данных. Следовательно, потоковые схемы кодирования становятся более привлекательными при высоких скоростях передачи данных. В конечном счете, объем потока данных ограничивается общим количеством шифруемой и кодируемой информации.

Интерес к хаотическим схемам связи в значительной степени определяется тем, что даже простейшие из них обладают определенной степенью конфиденциальности. Речь идет о том, что посторонний наблюдатель должен обладать достаточно подробной информацией об используемой в передатчике хаотической системе, чтобы иметь потенциальную возможность для организации перехвата этой информации.

Исходя из перечисленных свойств хаотических колебаний, можно говорить о целесообразности их выделения в рамках теории информации в отдельную группу сигналов. В соответствие с этим должны появится новые разделы, посвященные взаимодействию таких пар сигналов, как информационный сигнал - хаотический сигнал, хаотический сигнал — шумовой сигнал, хаотический сигнал — регулярный сигнал, а также более сложным видам взаимодействия с участием динамического хаоса.

-13В настоящей диссертации хаотические сигналы рассматриваются и используются как носители информации, а их свойства применяются для построения и исследования алгоритмов кодирования и передачи данных.

Актуальность работы определяется существующим в настоящее время повышенным интересом со стороны специалистов самых различных научных направлений к динамическому хаосу, а также ролью информационных технологий в жизни современного общества.

Целью настоящей работы является изучение и исследование информационных свойств хаотических сигналов и их применение в задачах кодирования и передачи данных.

Основные задачи, решаемые в работе:

- разработка требований и критериев, которым должны удовлетворять криптографические алгоритмы, основанные на динамическом хаосе;

- построение алгоритма хаотического кодирования информации и исследование его производительности и криптостойкости;

- повышение эффективности использования пропускной способности каналов связи при передаче информации с помощью хаотических носителей;

- синхронизация хаотических систем при наличие шума в канале. Научная новизна результатов работы заключается в том, что

- исследована взаимосвязь криптографических алгоритмов и хаотических систем; сформулированы требования и критерии по построению алгоритмов кодирования на хаосе;

- на основе разработанных критериев построен алгоритм кодирования информации и исследована его производительность и криптостойкость;

- предложены алгоритмы, позволяющие управлять динамикой хаотической системы. Это дает возможность вкладывать полезную информацию в хаотический сигнал таким образом, чтобы, во-первых, она содержалась в нем самом, и, во-вторых, ее объем соответствовал объему естественного хаотического сигнала;

- задача синхронизации хаотических систем рассмотрена с точки зрения объема информации, который необходимо передавать от ведущей к ведомой системе, чтобы постоянно поддерживать их в синхронном состоянии. Для класса систем с конечным числом состояний - когда мы имеем дело уже не с хаотическими, а псевдохаотическими системами -предложены алгоритмы, позволяющие организовать синхронизацию между ведущей и ведомой системами без постоянной передачи ведомой системе информации о состоянии ведущей. То есть в пределе (когда t —> оо) поток передаваемой информации, необходимый для синхронизации, уменьшается до нуля.

Достоверность научных выводов подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами численного моделирования и их сопоставления с известными в литературе данными.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Требования и критерии по построению и анализу криптографических систем, основанных на динамическом хаосе.

2. Алгоритм хаотического кодирования информации и его исследование на предмет производительности и криптостойкости.

3. Метод ввода информации в хаотический сигнал, позволяющий повысить эффективность использования пропускной способности каналов связи при передаче данных с помощью хаотических носителей.

4. Алгоритм синхронизации хаотических систем, основанный на передаче ведомой системе информации о состоянии ведущей. Научно-практическое значение.

Результаты диссертации могут найти практическое применение при разработке и анализе систем кодирования; в различных задачах, связанных с созданием систем связи, основанных на динамическом хаосе; а также могут использоваться в учебном процессе при чтении соответствующих курсов в Высших учебных заведениях.

Работа выполнялась в рамках исследований, проводимых при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-02-16747).

Апробация работы, публикации, внедрение и использование результатов. Материалы диссертационной работы докладывались на Международном симпозиуме SCS'2001 (The International Symposium on Signals Circuits and Systems, Iasi, Romania, July 10-11, 2001), на 9-й Международной школе ND&CS'2001 (The 9th International Workshop & School "Nonlinear Dynamics & Complex Structures", Minsk, Belarus, September 23-26, 2001), на Международной конференции SYNCHRO'2002 (The International Workshop on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Chemistry, Biology and Medicine, SYNCHRO-2002, Саратов, Сентябрь 22-28, 2002), на 11-й Международной конференции NDES'2003 (The 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Scuol, May 18-22, 2003), на Всероссийской научной конференции СРСА'2003 (Сверхширокополосные Сигналы в Радиолокации, Связи и Акустике, Муром, Июль 1-3, 2003), на Международном симпозиуме SCS'2003 (The International Symposium on Signals Circuits and Systems, Iasi, Romania, July 10-11, 2003) докладывались на научных семинарах в Институте космических исследований РАН, Институте радиотехники и электроники РАН, Московском физико-техническом институте.

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ [46-55].

Структура и объем работы: диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Содержит 153 страницы текста, 40 рисунков, две таблицы. Список цитированной литературы содержит 143 наименования.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Дмитриев, Андрей Александрович

4.5. Выводы

Для псевдохаотических систем с конечным числом состояний предложен подход к задаче синхронизации при наличие шума в канале пары ведущая-ведомая системы, основанный на точной идентификации состояния ведущей системы по наблюдаемой в ведомой системе зашумленной последовательности. После установления синхронизации связь между ведущей и ведомой системами может быть разорвана. При этом псевдохаотические системы остаются в синхронизованном состоянии.

Разработаны два алгоритма позволяющих осуществить такой подход к синхронизации и проведено численное исследование качества синхронизации на примере тент-отображения. Получена зависимость вероятности точной синхронизации от уровня шума в канале для различных значений параметра //тент-отображения.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрен ряд вопросов, связанных с кодированием и передачей информации на основе динамического хаоса. В ходе проведенных исследований получены следующие основные результаты.

1. Проведено сопоставление свойств хаотических систем и криптографических алгоритмов. Выделены критерии, на которые стоит обращать внимание при разработке и анализе хаотических систем шифрования. Даны рекомендации по выбору хаотических отображений для применения их в криптографических целях. Составлен перечень требований, которым должен удовлетворять алгоритм шифрования на основе нелинейной динамики.

2. На основе сформулированных требований разработан хаотический алгоритм шифрования информации. Исследован вопрос о его производительности и устойчивости к основным видам криптоатак (на основе известного шифртекста — "грубой силой", и на основе известного открытого текста).

3. Проведен анализ возможности передачи информации с помощью хаотических сигналов при минимально допустимой пропускной способности канала. Для различных хаотических отображений предложены алгоритмы, позволяющие сопоставить динамике произвольной динамической системы, без нарушения ее структуры, требуемую информационную последовательность.

4. Рассмотрен и исследован вопрос об уменьшении объема передаваемой информации, необходимой для синхронизации двух хаотических систем при наличии шума в канале. Предложен алгоритм синхронизации двух псевдохаотических систем с конечным числом состояний, в котором ведущей и ведомой системам не требуется постоянно обмениваться информацией об их состояниях. Это позволяет существенно сократить поток передаваемых через канал данных, расходуемых на синхронизацию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дмитриев, Андрей Александрович, 2003 год

1. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс // Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. 1959.

2. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Science. 1963. V. 20. pp. 130. Русский перевод: Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы / Ред. Синай Я.Г., Шильников Л.П. М.: Мир. 1981. с. 88.

3. Пуанкаре А. О науке // М.: Наука. 1983.

4. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями//М.: Гостехиздат. 1947.

5. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Communes Math. Phys. 1971. V. 20. №2. pp. 167.

6. Анисимова Ю.В., Дмитриев A.C., Залогин H.H., Калинин В.И., Кислов В.Я., Панас А.И. Об одном механизме перехода к хаосу в системе "электронный пучок-электромагнитная волна" // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37. №8. с. 387.

7. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1985.

8. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах // М.: Наука. 1990.311 с.

9. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации // Горький: ИПФ РАН СССР. 1989.

10. Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. О классификации двухкомпонентных систем в окрестности точки бифуркации // ДАН СССР. 1984. Т. 279. № 3. с. 591.

11. Берже П., Помо М., Видаль К. Порядок в хаосе // М.: Мир. 1991. 387 с.

12. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. Сб. статей под ред. X. Суинни и Дж. Голлаба // М.: Мир. 1984. 344.

13. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // М.: Наука. 1989. 278 с.

14. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика // М.: Мир. 1984. 528 с.

15. Мун Ф. Хаотические колебания // М.: Мир. 1990. 311 с.

16. Неймарк Ю.Н., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания // М.: Наука. 1987.423 с.

17. Странные аттракторы. Сб. статей под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова//М.: Мир. 1981.

18. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. № 10. с.4.

19. Дмитриев А.С. Динамический хаос и информация // Нелинейные волны'2002. Нижний Новгород. ИПФ РАН. 2003. с. 53.

20. Дмитриев А.С. Динамический хаос как носитель информации. Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие // М.: Наука (Информатика: неограниченные возможности и возможные ограничения). 2002. с. 82.

21. Шеннон К. Математическая теория связи. В кн.: Работы по теории информации и кибернетике // М.: ИИЛ. 1963. с. 243.

22. Стратанович Р.П. Теория информации // М.: Сов. радио. 1975.

23. Фано Р. Передача информации. Статистическая теория связи // М.: Мир. 1965.

24. Бриллюэн Л. Наука и теория информации // М.: Физматгиз. 1959.

25. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова // М.: Мир. 1981.

26. Неймарк Ю.Н., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания // М.: Наука. 1987.

27. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение // М.: Мир. 1988.

28. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике//М.: Наука. 1989.

29. Мун Ф. Хаотические колебания // М.: Мир. 1990.

30. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах // М.: Наука. 1990.

31. Берже П., Помо М., Видаль К. Порядок в хаосе // М.: Мир. 1991.

32. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос // М.: Наука. 1992.

33. Feyman R.P. Feyman lecture on computation // Leading Massachusets, Addisson Wesley Publishing Company Inc. 1996.

34. Steanc A. Quantum computing // Rev. Prog. Phys. 1998. V. 61. pp. 117.

35. Ressler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. 1976. V. 57. № 5, pp. 397.

36. Пиковский A.C., Рабинович М.И., Простой автогенератор со стохастическим поведением // ДАН СССР. 1978. Т. 239. Т. 1-2. с. 301.

37. Matzumoto Т. A chaotic attractor from Chua circuit // IEEE Trans. Circuits and Syst. V. CAS-32. 1984. № 12. pp. 1055.

38. Matzumoto Т., Chua L., Komuro M. The double Scroll // IEEE Trans. Circuits and Syst. V. CAS-32. 1985. № 8. pp. 797.

39. Fujizaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems // Progr. Of Theor. Phys. 1983. V. 69, № 1, pp. 32.

40. Caroll Т., Pecora L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. №8. pp. 821.

41. Hayes S., Grebogi C., Ott E. Communicating with chaos // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. №20. pp.3031.

42. Lai Y.-Ch., Bollt E., Grebogi C. Communicating with chaos using two-dimensional symbolic dynamics // Phys. Lett. A 255. 1999. pp. 75.

43. Bollt E., Lay Y.-Ch., Grebogi C. // Rev. Lett 1997. V. 79. № 19. pp. 3787.

44. Rosa E., Hayes S., Grebogi C. Noise filtering in communication with chaos // Phys. Rev. Lett 1997. V. 78. № 7. pp. 1247.

45. Jacobs J., Ott E., Hunt B. // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. № 6. pp. 6577.

46. Андреев Ю.В., Булушев А.Г., Дмитриев А.А. Кодирование информации на основе динамического хаоса // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. № 11. с. 27.

47. Андреев Ю.В., Балабин A.M., Дмитриев А.А и др. Использование динамического хаоса в коммуникационных системах и компьютерных сетях // Препринт ИРЭ РАН. Москва. 2000. № 2(626). 76 с.

48. Andreyev Yu.V., Dmitriev А.А. A Cryptosystem based on chaotic dynamics // Proceedings SCS'2001. Iasi. Romania. 2001. pp. 57.

49. Dmitriev A.A. Design of message-carrying chaotic sequences // Nonlinear phenomena in complex systems. 2002. V. 5. № 1. pp. 78.

50. Дмитриев А.А. Хаотические последовательности, содержащие заданную информацию // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 11. с. 1370.

51. Dmitriev А.А. Perfect synchronization in pseudochaotic systems // Proceedings NDES'2003. Scuol. Switzerland. 2003. pp. 69.

52. Дмитриев А.А. Хаотическая синхронизация через точную идентификацию состояния ведущей системы // Сборник докладов СРСА'2003. Муром. 2003. с. 126.

53. Dmitriev А.А. Chaotic synchronization in communication systems with finite number of states// Proceedings SCS'2001. Iasi. Romania. 2003. V. 1. pp. 13.

54. Дмитриев А.А. Хаотическая синхронизация на основе идентификации состояния ведущей системы // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. № 5.

55. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии: Учебное пособие // М.: Гелиос АРВ. 2002. 480 с.

56. Молдовян А.А., Молдовян Н.А., Гуц Н.Д., Изотов Б.В. Криптография: скоростные шифры // СПб.: БХВ-Петербург. 2002.496 с.

57. Kocarev L. Chaos-based cryptography: A brief overview // IEEE Circuit and Systems Magazine. 2001. V. 1. № 3. pp. 6.

58. Яглом A.M., Яглом И.М. Вероятность и информация // М.: Наука. 1973.

59. Brown R., Chua L. Clarifying chaos: examples and counterexamples // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. V. 6. № 2. pp.219.

60. Птицын H. Приложение детерминированного хаоса в криптографии // МГТУ им. Баумана. Дипломный проект. 2002.

61. Oseledec V.I. A multiplicative ergodic theorem: Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems // Trans. Mosc. Math. Soc. 1968. V. 19. № 197.

62. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории // РХД. Ижевск. 1999.

63. Cornfeld I.P., Fomin S.V., Sinai Ya. G. Ergodic theory // Berlin: Springer. 1982.

64. Carol 1 T. and Pecora L. Driving systems with chaotic signals // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. №.4. pp. 2374.

65. Caroll T. and Pecora L. A Circuit for Studying the Synchronization of Chaotic Systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1992. V. 2. № 3. pp. 659.

66. Caroll T. and Pecora L. Cascading Synchronized Chaotic Systems // Physica D. 1993. V. 67. pp. 126.

67. Cuomo K.M. and Oppenheim A.V. Communication Using Synchronized Chaotic Systems //US Patent No. 5,291,555. Mar. 1. 1994.

68. Cuomo K.M. and Oppenheim A.V. Circuit Implementation of Synchronized Chaos with Applications to Communications // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 71. №. 1. pp. 65.

69. Murali K. and Lakshmanan M. Transmission of Signals by Synchronization in a chaotic Van der Pol-Duffing Oscillator // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. №. 3. pp. R1624.

70. Parlitz et al. Transmission of Digital Signals by Chaotic Synchronization // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1992. V. 2. №. 3. pp. 973.

71. Papadimitriou S., Bezerianos A., and Bountis T. Secure Communication with Chaotic Systems of Difference Equations // IEEE Trans. Сотр. 1997. V. 46. №. l.pp. 27.

72. Matthews R. On the Derivation of a 'Chaotic' Encryption Algorithm // Cryptologia. 1989. V. XIII. №. 1. pp. 29.

73. Wheeler D.D. Problems with Chaotic Cryptosystems // Cryptologia. 1989. V. XII. №. 3. pp. 243.

74. Habutsu Т., Nishio Y., Sasase I., and Mori S. A Secret Cryptosystem by Iterating a Chaotic Map in: Advances in Cryptology // EUROCRYPT' 91. ed. D. W. Davies. LNCS 547 (Springer-Verlag, Berlin). 1991. pp. 127.

75. Biham E. Cryptanalysis of the Chaotic-Map Cryptosystem Suggested at EUROCRYPT' 91 in: Advances in Cryptology // EUROCRYPT' 91. ed. D. W. Davies. LNCS 547 (Springer-Verlag, Berlin). 1991. pp. 532.

76. Bianco M.E. and Reed D.A. Encryption System Based on Chaos Theory // US Patent No. 5,048,086. Sep. 10. 1991.

77. Bianco M.E. and Mayhew G.L. High Speed Encryption System and Method // US Patent No. 5,365,588. Nov. 15. 1994.

78. Fridrich J. and Geer J. Reconstruction of Blurred Orbits Under Finite Resolution //J. Appl. Math, and Сотр. 1995. V. 71. pp. 227.

79. Fridrich J. and Geer J. Reconstruction of Chaotic Orbits Under Finite Resolution //J. Appl. Math, and Сотр. 1995. V. 80. pp. 129.

80. Fridrich J. Discrete-Time Dynamical Systems Under Observational Uncertainty // J. Appl. Math, and Сотр. 1997. V. 83. pp. 181.

81. Jackson E.A. Perspectives in Nonlinear Dynamics (Cambridge University Press, Cambridge). 1991. V. 2. pp. 33.

82. Protopopescu V.A., Santoro R.T., and Tolliver J.S. Fast and Secure Encryption- Decryption Method Based on Chaotic Dynamics // US Patent No. 5,479,513. Dec. 26. 1995.

83. Deffeyes, K.S. Encryption System and Method // US Patent No. 5,001,754. Mar. 19. 1991.

84. Gutowicz H.A. Cryptography with Dynamical Systems // in: Cellular Automata and Cooperative Systems eds. N. Boccara, et al. (Kluwer Acad. Publ., Boston). 1993. pp. 237.

85. Gutowicz H.A. Method and Apparatus for Encryption, Decryption and Authentication Using Dynamical Systems // US Patent No. 5,365,589. Nov. 15. 1994.

86. Bernstein G.M. and Lieberman M.A. Method and Apparatus for Generating Secure Random Numbers Using Chaos // US Patent No. 5,007,087. Apr. 9. 1991.

87. Schneier B. Applied Cryptography // (Wiley, New York). 1996.

88. Fridrich J. Symmetric Ciphers Based on Two-dimensional Chaotic Maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1998. V. 8. № 6. pp. 1259.

89. He R. and Vaidya P.G. Implementation of chaotic cryptography with chaotic synchronization // Physical Review E. 1998. V. 57. № 2. pp. 1532.

90. Zhou H. and Ling X.T. Problems with the chaotic inverse system encryption approach // IEEE Transactions on Circuits and Systems-I. 1997. V. 44. № 3. pp. 268.

91. Fridrich J. Methods for data hiding // Center for Intelligent Systems & Department of Systems Science and Industrial Engineering. SUNY. 1997. working paper.

92. Palis J. and Takens F. Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations // Cambridge: University Press. 1993.

93. Волковский A.P., Рульков H.B. Синхронный хаотический отклик нелинейной системы передачи информации с хаотической несущей // Письма в ЖТФ. 1993. Т. 9. № 3. с.71.

94. Dmitriev A.S., Panas A.I., and Starkov S. О. Experiments on speech and music signals trasmission using chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1995. V. 5. № 4. pp. 1249.

95. Dmitriev A., Panas A., Starkov S. & Kuzmin L. Experiments on RF band communications using chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. V. 7. № 11. pp. 2511.

96. Дмитриев A.C. Использование записи информации на отображениях в коммуникационных системах с расширением спектра // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. № 11. с. 1350.

97. Дмитриев А.С., Кузьмин JI.B., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал. Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 9. с. 1115.

98. Дмитриев А.С., Кузьмин JI.B. Передача последовательности хаотических отсчетов через радиоканал // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 8. с. 973.

99. Shaw R. //Naturforsch. 1981. V. 36А. P. 80.

100. Fujisaka H., Yamada Т. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems // Prog. Theor. Phys. 1983. V. 69. № 1. pp. 32.

101. Pikovsky A.S. On the iteration of strange attractors // Z. Phyzik. 1984. V. 55. № 1. pp. 149.

102. Анищенко B.C., Постнов Д.Э. Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. № 6. с. 569.

103. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Экспериментальное исследование биффуркаций на пороге стохастической синхронизации // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15. №7. с. 5.

104. Pecora L.M., Caroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. № 8. pp. 821.

105. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova M.A. Synchronization of chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1992. V. 2. № 3. pp. 633.

106. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова M.A. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса // РЭ. 1991. Т. 36. № 2. с. 338.

107. Belykh V.N., Verichev N.N., Kocarev L.J., Chua L.O. On chaotic synchronization in a linear array of Chua's circuits // J. of Circuits, Systems and Computers. 1993. V. 3. № 2. pp. 579.

108. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators //Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. pp. 1804.

109. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов A.K., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление // Зарубеж. радиоэлектроника. Усп. современной радиоэлектроники. 1997. № 10. с. 27.

110. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом // РЭ. 2002. Т. 47. № 2. с. 133.

111. Chua L., Itoh M., Kocarev L., Eckert K. Chaos synchronization in Chua's circuit // Chua's Circuit: A Paradigma for Chaos/ Ed. R.N. Madan. Singapore: World Scientific. 1993. pp. 309.

112. Kocarev L., Parlitz U. Generalized synchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. №11. pp. 1816.

113. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos. The auxiliary system approach // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. pp. 4528.

114. Astakhov V., Hasler M., Kapitaniak Т., Shabunin A., Anishchenko V. The effect of parameter mismathch on the mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. № 5. pp. 5620.

115. Maistrenko Y., Kapitaniak T. Different types of chaos synchronization in two coupled piecewise linear maps // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. pp. 3285.

116. Rosa E., Ott E., Hess M.H. Transition to phase synchronization of chaos// Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. № 8. pp. 1642.

117. Pecora L.M. Synchronization conditions and desynchronizing patterns in coupled limit-cycle and chaotic systems // Phys. Rev. E. 1998. V. 58., № 1. pp. 347.

118. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in unidirectionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. pp. 980.

119. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. Effect of phase synchronization in driven chaotic oscillators // IEEE Trans. CAS-I. 1997.

120. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving // Physica D. 1997. V. 79. №3. pp. 219.

121. Дмитриев A.C., Старков C.O., Широков M.E. Синхронизация ансамблей связанных отображений // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4. №4-5. с. 40.

122. Dmitriev A.S., Shirokov M.E., Starkov S.O. Chaotic Synchronization in Ensembles of Coupled Maps // IEEE Trans. CAS. 1997. V. 44. №10. pp. 918.

123. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса // Изв. вузов. Сер. радиофизика. 1991. Т. 34. № 10-12. с. 1079.

124. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Влияние возмущающих факторов на работоспособность системы передачи информации с хаотической несущей // РЭ. 1995. Т. 40. № 2. с. 265.

125. Hasler М., Maistrenko Yu.L. An introduction to the synchronization of chaotic systems: coupled skew tent maps// IEEE Trans. CAS-1. 1997. V. 44 № 10. pp. 856.

126. Lorenzo M.N., Kennedy M.P., Kolumban G., Kis G. A comparison of the noise performance of Pecora-Caroll and H synchronization // Proc. NDES'98. Budapest. 1998. pp. 249.

127. Johnson G.A., Ma D.J., Caroll T.L., Pecora L.M. Synchronization and imposed bifurcations in the presence of large parameter mismatch // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. № 18. pp. 3956.

128. Stoyanovski Т., Kocarev L., and Harris R. Application of symbolic dynamics in chaos synchronization // IEEE Trans. CAS-1. 1997. V. 44. № 10. pp. 1014.

129. Lai Y.C., Bollt E., Grebogi C. Communication with chaos using two-dimentional symbolic dynamics // Phys. Lett. A 255. 1999. pp. 75.

130. Дмитриев А.С. Хаотическая синхронизация как информационный процесс // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. 41. № 12. с. 1497.

131. Dmitriev A.S., Kassian G.A., Khilinsky A.D. Chaotic synchronization. Information viewpoint// Int. J. Bif. Chaos. 2000. V. 10. № 2. pp. 749.

132. Дмитриев A.C., Касьян Г., Хаслер М., Хилинский А. Хаотическая синхронизация двумерных динамических систем на основе передачи информации об их состояниях // РЭ. 2001. Т. 46. № 4. с. 566.

133. Дмитриев А.С., Касьян Г., Хилинский А., Широков М.Е. Предельная эффективность очистки хаотического сигнала от шума // РЭ. 1999. Т. 44. №9. с. 1120.

134. Дмитриев А.С. Динамический хаос и информация // Нелинейные волны'2002. Нижний Новгород. ИПФ РАН. 2003. с. 53.

135. Дмитриев А.С. Динамический хаос как носитель информации. Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие // М.: Наука (Информатика: неограниченные возможности и возможные ограничения). 2002. с. 82.

136. Дмитриев А.С. Прикладной динамический хаос: Курс лекций. Ч. II. Ярославль. ЯрГУ. 2000.

137. Rosa Е., Hayes S., Grebogi С. Noise Filtering in Communication with Chaos //Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. № 7. pp. 1247.

138. Чмора A.JI. Современная прикладная криптография // М.: Гелиос АРВ, 2001.256 с.