Комплекс процедур, расширяющих возможности компьютерно-алгебраической системы Maple для решения задач линейной алгебры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат физико-математических наук Мисуркина, Наталья Вячеславовна

• Мисуркина, Наталья Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мисуркина, Наталья Вячеславовна

Введение.

Глава 1. Инвариантные подпространства матричных алгебр.

1.1. Наличие общих собственных векторов.

1.1.1. Одновременная триангуляризация.

1.1.2. Критерий Шемеша.

1.2. Инвариантные подпространства размерности >1.

1.2.1. Полиномиальные тождества.

1.2.2. Критерии квазидиагонализуемости.

1.3. Семейства и классы матриц, обладающие общими инвариантными подпространствами.

1.4. Описание Марк-процедур.

1.5. Особенности практического применения процедур.

Глава 2. Условно знакоопределенные матрицы.

2.1. /^-определенность матриц.

2.1.1. Критерии и алгоритмы ^-определенности.

2.1.2. Особенности Мар1е-реализации алгоритмов.

2.1.3. Способы построения ^-определенных матриц.

2.1.4. Сравнительный анализ алгоритмов ^-определенности

2.2. Коположительность матриц.

2.2.1. Внутренние и внешние критерии коположительности

2.2.2. Способы повышения эффективности критериев.

2.2.3. Построение тестовых коположительных матриц и сравнительные тесты с Maple-процедурами.

Глава 3. Разделение корней алгебраических уравнений.

3.1. Постановка задач разделения корней и алгоритмы их решения.

3.2. Особенности реализации и способы усовершенствования алгоритмов.

3.3. Комплекс Марк-процедур для задач разделения корней и сравнение эффективности реализованных алгоритмов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комплекс процедур, расширяющих возможности компьютерно-алгебраической системы Maple для решения задач линейной алгебры»

Характерная черта развития практически всех современных отраслей знания — интенсивное использование компьютерных технологий. Не является исключением и образовательная сфера, где компьютеры все шире привлекаются к процессу обучения различным дисциплинам (в особенности это относится к математическим наукам). В связи с этим возникает необходимость в совершенствовании традиционных или подготовке новых учебных курсов, ориентированных на использование компьютеров, в создании компьютерных учебных пособий.

Одним из возможных подходов к решению такого рода образовательных задач является разработка учебных курсов на базе существующих специализированных пакетов прикладных программ [1]. Очевидны преимущества такого подхода при изучении математических дисциплин. Прежде всего, появляется возможность передать рутинные вычисления компьютеру, что позволяет увеличить число содержательных примеров и задач для самостоятельного решения, рассматривать более интересные и сложные модели, уделять больше внимания качественным аспектам. Кроме того, в процессе изучения накапливаются полезные практические навыки работы с самим математическим пакетом.

В рамках упомянутого подхода весьма перспективно использование компьютерно-алгебраических систем при разработке различных курсов высшей математики. Отличительная особенность систем компьютерной алгебры (систем символьных вычислений) — возможность проведения расчетов в символьном виде; в развитых системах пользователь имеет и возможность работы в безошибочной арифметике при действиях с рациональными числами. К таким системам относятся, например, хорошо известные пакеты Mathematica, Maple, REDUCE, Axum, Derive.

Одну из ведущих позиций среди перечисленных систем занимает

Maple. Ее отличают богатая математическая библиотека (около 2000 процедур), в составе которой имеются специализированные пакеты, соответствующие ряду математических разделов; хорошо структурированный Help; лаконичный и удобный интерфейс; широкие возможности визуализации информации и ее вывода в различных форматах. Стандартная библиотека может пополняться собственными программами пользователя, написанными на Мар1е-языке, что позволяет расширить возможности того или иного раздела Maple для решения нестандартных задач.

Перечисленные свойства делают систему удобным инструментом для сопровождения математических учебных курсов. В настоящей работе Maple используется как инструментальное средство поддержки курсов линейной алгебры.

На решение линейно-алгебраических задач ориентирован пакет linalg из стандартной библиотеки. Набор его процедур вполне охватывает круг вопросов, рассматриваемых в элементарном курсе, но не рассчитан на поддержку более или менее продвинутого курса линейной алгебры. Таким образом, существует необходимость расширить возможности системы для разделов линейной алгебры, выходящих за рамки стандартного учебного курса, реализовать средствами Maple алгоритмы решения типичных задач, возникающих при изучении таких разделов.

Предметом исследования в настоящей работе стали следующие разделы:

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Мисуркина, Наталья Вячеславовна

Заключение

Основной результат настоящей работы — расширение линейно-алгебраических возможностей системы компьютерной алгебры Maple, позволяющее решать задачи из следующих специальных разделов линейной алгебры:

1. Инвариантные подпространства матричных алгебр.

2. Условная знакоопределенность матриц.

3. Разделение корней алгебраических уравнений.

В каждом из разделов выделен класс задач, допускающих решение рациональными процедурами, т.е. процедурами, требующими для своего выполнения конечного числа арифметических операций.

Для всех таких задач:

• выделены конечные рациональные алгоритмы решения;

• предложены способы повышения эффективности некоторых алгоритмов;

• полученные алгоритмы реализованы средствами компьютерно-алгебраической системы Maple.

Впервые в практике компьютерно-алгебраических исследований предложен и реализован Марк-процедурами комплекс тестовых матриц, обслуживающий выделенные классы задач. По своему составу и свойствам матриц он кардинально отличается от аналогичных комплексов в вычислительной линейной алгебре.

Полученное пополнение линейно-алгебраических возможностей системы Maple делает ее удобным средством для сопровождения учебных курсов, включающих указанные выше разделы, а также, в некоторой степени, инструментом их дальнейшего теоретического исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мисуркина, Наталья Вячеславовна, 2000 год

1. Сливина Н. Универсальные математические пакеты в математическом образовании инженеров // КомпьютерПресс. — 1997. — N8. — С.78-85

2. Икрамов Х.Д., Савельева Н.В., Чугунов В.Н. О рациональных критериях существования общих собственных векторов или инвариантных подпространств // Программирование. — 1997. — N3. — С. 43-57

3. Икрамов Х.Д., Савельева Н.В., Чугунов В.Н. О компьютерно-алгебраических процедурах, проверяющих наличие общих собственных векторов или инвариантных подпространств / Методы математического моделирования. — М.: Изд-во МГУ, 1998. — С. 5-23

4. McCoy N. Н. On the characteristic roots of matrix polynomials // Bull. Amer. Math. Soc. — 1936. — V. 42. — P. 592-600

5. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ. — M.: Мир, 1989

6. Laffey Т. J. Simultaneous triangularization of matrices — low rank cases and the nonderogatory case // Linear and Multilinear Algebra. — 1978.— V,6 — P. 269-305

7. McCoy N. H. On quasi-commutative matrices // Trans. Amer. Math. Soc. — 1934. — V. 36. — P. 327-340

8. Shemesh D. Common eigenvectors of two matrices // Linear Algebra Appl. — 1984. — V. 62. — P. 11-18

9. George A., Ikramov Kh.D. Common invariant subspaces of two matrices 11 Linear Algebra Appl. — 1999. — V. 287. — P. 171-179

10. Amitsur S.A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. — 1950. — V. 1. — P. 449-463

11. Levitzki J. A theorem on polynomial identities // Proc. Amer. Math. Soc. — 1950. — V. 1. — P. 334-341

12. Barker G.P., Eifler L.Q., Kezlan T.P. A non-commutative spectral theorem // Linear Algebra Appl. — 1978. — V. 20. — P. 95-100

13. Дренский B.C. Минимальный базис для тождеств матричной алгебры порядка 2 над полем характеристики нуль // Алгебра и Логика.1981. — Т. 20. — С. 282-290

14. Laffey Т. J. Simultaneous quasidiagonalization of complex matrices // Linear Algebra Appl. — 1977. — V. 16. — P. 189-201

15. Булатович P.M. Одновременное приведение симметрической и косо-симметрической матриц к каноническому виду // Мат. Црне Горе.1997.— Т. 8.— С. 33-36

16. Gover M.J.С. A ring of Brownian matrices // Linear Algebra Appl. — 1988.— V. 103. — P. 87-102

17. Икрамов Х.Д. Несколько замечаний о брауновских матрицах / Библиотеки и пакеты прикладных программ. — М.: Изд-во МГУ, 1996.1. С.127-132

18. Martignon L. F. Doubly stochastic matrices with prescribed positive spectrum // Linear Algebra Appl. — 1984. — V.61. — P. 11-13

19. Bell С. L. Generalized inverses of circulant and generalized circulant matrices // Linear Algebra Appl. — 1981. — V.39. — P. 133-142

20. Chao C.-Y. On a type of circulants // Linear Algebra Appl. — 1973. — V. 6. — P. 241-248

21. Aitken A.C. Two notes on matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. — 1961. — V.62. — N5. — P. 109-113

22. Smith. R. L. The Moore-Penrose inverse of a retro circulant / / Linear Algebra Appl. — 1978. — V. 22. — P. 1-8

23. Икрамов Х.Д., Савельева H.B. О некоторых квазидиагонализуемых семействах матриц // ЖВМиМФ. — 1998. — Т. 38. — N7. — С. 1075-1084

24. Икрамов X. Д. О численном решении линейных систем квазицирку-лянтной структуры / Пакеты прикладных программ. — М.: Изд-во МГУ, 1997.— С. 120-123

25. Bozzo Е. Algebras of higher dimension for displacement decompositions and computations with Toeplitz plus Hankel matrices // Linear Algebra Appl. — 1995. — V. 230. — P. 127-150

26. Икрамов X. Д. Каноническая форма Шура унитарно квазидиагонали-зуемой матрицы // ЖВМиМФ. — 1997. — Т. 37. — N. 12. — С. 14111415

27. Икрамов Х.Д., Савельева Н.В. Условно знакоопределенные матрицы. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 1998. Т. 52. Алгебра-9. Итоги науки и техники. ВИНИТИ.

28. Икрамов Х.Д., Савельева Н.В. Компьютерно-алгебраические процедуры для проверки матричного свойства знакоопределенности на подпространстве // ЖВМиМФ. — 1999. — V.39. — N3. — С. 35737029