Компьютерная математическая модель кинетики спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной изотропной расширяющейся плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Аль-Самади Халид Аднан

• Аль-Самади Халид Аднан
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аль-Самади Халид Аднан

Введение

Глава I. Релятивистская кинетическая модель однородной изотропной Вселенной

1.1 Канонический формализм.

1.2 Релятивистское фазовое пространство.

1.3 Общерелятивистские кинетические уравнения 1.4 Симметрии б'-матрицы и кинетическая теория.

1.5 Н-теорема Больцмана.

1.6 Уравнения переноса.

1.7 Законы сохранения.

1.8 JITP плазмы в гравитационном поле.

1.9 Глобальное термодинамическое равновесие.

1.10 Асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории.

1.11 Космологическая эволюция бесстолкновительных частиц

1.12 4 Кинетика космологического расширения плазмы в условиях ЛТР.

Глава II. Кинетическая модель спонтанного нарушения барионной симметрии

II. 1 Алгебра взаимодействий.

II.2 Кинетические уравнения для кварково-глюонной плазмы

11.3 Кинетические уравнения для фермионов

11.4 Кинетические уравнения для Х-бозонов.

11.5 Законы сохранения.

И.6 Слабое нарушение зарядовой симметрии в стандартной SU(5) модели.

Глава III. Комплексное исследование кинетической мо

III. 1 Необходимость комплексного применения аналитических и численных методов исследования.

111.2 Исследование решения.

111.3 Функция Ф в больцмановском приближении.

111.4 Отклонение Х-бозонов от равновесия.

II 1.5 Преобразование к безразмерным переменным

111.6 Вычисление функций Ф(£) и Q(t).

111.7 Вычисление функции отклонения от равновесия, Sf(y, £)

111.8 Вычисление конечной удельной энтропии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерная математическая модель кинетики спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной изотропной расширяющейся плазме»

Процесс космологического расширения плазмы является фундаментальным для всей теоретической и наблюдательной космологии, определяющим как пространственную структуру современного мира, так и современный состав материи. На стадиях космологического расширения, когда реакции элементарных частиц протекают в состоянии локального термодинамического равновесия (J1TP), описание процесса расширения плазмы становится достаточно простым и сводится к термодинамической модели. Однако, если некоторая группа реакций нарушает J1TP, то для описания процесса космологического расширения плазмы необходимо привлекать гораздо более сложную кинетическую модель плазмы. С другой стороны, именно кинетические, неравновесные процессы важны для наблюдательной космологии, так как они сохраняют информацию о весьма ранних процессах, происходивших во Вселенной.

Фактором, выводящим систему из термодинамического равновесия в космологии, являются массы частиц. Важным примером нарушения локального термодинамического равновесия массивными частицами в ходе космологического расширения является процесс производства барионов (ба-риогенеза) в первоначально барионно-симметричной Вселенной. В [1], [2] была высказана гипотеза о том, что наблюдаемая барионная асимметрия Вселенной = ~ ю-9 (1) п7 вызвана CP- неинвариантными процессами, нарушающими сохранение барионного заряда. Примером такого процесса является распад сверхмассивных Х- бозонов, к которым приводят модели Великого объединения:1

2) где q - символ кварка, I - лептона. В [3], однако, показано, что если данные процессы протекают в условиях JITP, то даже наличие CP - неинвариантности и нарушение сохранения барионного заряда недостаточно для возникновения избытка барионов над антибарионами. Для производства барионного заряда в первоначально барионно - симметричной Вселенной кроме указанных факторов требуется нарушение J1TP в реакциях типа (2) и вывод барионов из состояния статистического равновесия. Такая возможность: > t (3) тх - время полураспада X - бозона, t - космологическое время) реализуется при условии [4]: тпх > axmplVN, (4) mx - масса Х-бозона, mpi — - планковская масса, N - число степеней свободы). Условие (4) жестко ограничивает снизу допустимые значения масс Х- бозонов.

В работах [4], [6] (см. также [7], [8] и др.) были сделаны оценки барионной асимметрии вселенной в предположении нарушения JITP. Для отношения плотности числа барионов к плотности полной энтропии, S, было получено:

4503№ s S 4тг4 N '

5) где - С - функция Римана, Nx - число типов сверхмассивных Х- бозонов, А г - разность относительных вероятностей распадов в каналах

X q + lnX g + Г,

1 Здесь и далее а означает античастицу а.

Введение возникающая вследствие нарушения CP - инвариантности. Далее в работах [9]-[11] на основе релятивистской кинетической теории были проведены численные расчеты отношения пв/S, в основном, подтвердившие вышеуказанные оценки. В цитированных выше работах на основании проведенных расчетов был установлен нижний предел массы X - бозона: тх > 1016Гэв, (6) который создал значительные трудности для стандартной SU(5) теории.

Указанные работы, однако, имеют существенный недостаток - вместо прямого решения кинетических уравнений для X - бозонов в условиях существенного нарушения JITP бозонные функции распределения моделируются квазиравновесными распределениями, параметры которых определяются из гидродинамических уравнений для моментов функции распределения, т.е., в этих работах фактически используется гидродинамический метод Энскога-Чемпена-Града. Как следует из результатов релятивистской кинетической теории [12], [13], [14], [15], глобальное термодинамическое равновесие в однородной изотропно расширяющейся плазме достигается лишь в крайнем нерелятивистском пределе - либо в крайнем ультрарелятивистском. В области промежуточных энергий частиц и при условии нарушения JITP распределение частиц не аппроксимируется равновесным распределением. В работах [16]-[17] Ю.Г.Игнатьева в рамках кинетической модели была найдена неравновесная функция распределения X - бозонов и показано, что эта функция может существенно отличаться от равновесной. Поэтому результаты полученные в [9]-[11], правильные при выполнении сильного неравенства (4), нуждаются в уточнении в других областях. Оценка (5) хотя и является, по-видимому, достаточно надежной, ничего не говорит о тех ситуациях, когда условие (4) не выполняется, тогда как ширина перекрытия экспериментальных и теоретических значений 6s допускает возможность, когда барионный заряд производится в условиях менее выгодных, чем (4).

Ответить на вопрос, какова будет величина 5s при тх < axmPiVN, может лишь детальный кинетический анализ. При условии доверия к гипотезе изначально барионно- и зарядово-симметричной Вселенной такой анализ с другой стороны позволил бы более определенно очертить область возможных значений фундаментальных констант Великого объединения. В середине 80-х - начале 90-х годов Ю.Г.Игнатьевым была сформулирована кинетическая модель описания процессов нарушения симметрии и были получены некоторые оценки, вытекающие из предложенной модели [16]-[18]. В частности, на основе сделанных оценок было высказано предположение, что учет кинетики процесса бариогенезиса позволит снизить нижнюю оценку массы сверхмассивных бозонов до величины порядка 5 • 1014Гэв. Однако детальный анализ этой модели в этих работах произведен не был и исследования в этом направлении не были завершены. Не были также построены на основе кинетической теории и численные модели процесса бариогенезиса.

Таким образом возникает задача построения на основе релятивистского кинетического подхода Ю.Г.Игнатьева математической модели спонтанного нарушения симметрии в кварково - глюонной плазме и построения на основе ее численной компьютерной модели процесса спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме. Целью настоящей работы как раз и является проведение более детального анализа кинетической модели бариогенезиса и построение его математической и численной компьютерной модели рассматриваемых явлений.

Следует заметить, что несмотря на то, что в данной работе приведены результаты для конкретной модели взаимодействий, основанной на минимальной SU(5) симметрии, обобщение результатов на другие аналогичные полевые модели или аналогичные модели спонтанного нарушения симметрии в результате Т-несимметричного распада любых типов распадающихся частиц не представляет труда - оно сводится к построению соответствую

Введение щей алгебры взаимодействий и простому арифметическому пересчету соответствующих кинетических коэффициентов.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Приложения, Заключения и Списка Литературы. Первая глава диссертации носит подготовительный, обзорный характер. В этой главе, с одной стороны, кратко изложены основные понятия, положения и уравнения общерелятивистской кинетической теории плазмы, необходимые как для построения математического аппарата модели спонтанного нарушения барионной симметрии, так и для понимания материала диссертации. Особое внимание в этой главе уделено дифференциальным законам сохранения общерелятивистской кинетической теории, теории локального и глобального термодинамического равновесия а также трансформационным свойствам общерелятивистских кинетических уравнений по отношению к конформным преобразованиям.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Аль-Самади Халид Аднан

1. На основе общерелятивистской кинетической теории и минимальной

8и(5) модели взаимодействия частиц построена математическая мо дель спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной и изотропной расширяющейся плазме. Полученная модель сведена к замкнутой системе нелинейных интегро - дифференциальных уравне ний относительно функций распределения частиц двух переменных.Доказано, что следствиями полученной системы уравнений являются интегральные законы сохранения электрических и цветовых зарядов.2. Доказано, что функции распределения свермассивных X -бозонов опи сываются обыкновенными линейными дифференциальными уравне ниями и найдено формальное решение этих уравнений в квадратурах.3. Построена математическая модель слабого нарушения Т - симмет рии, когда относительная разность вероятностей распада X - бозонов и их античастиц мала. Показано, что в этом случае система интегро -

дифференциальных уравнений, описывающих спонтанное нарушение симметрии, становится существенно линейной. Данная система урав нений формально проинтегрирована и найдено выражение конечной удельной энтропии барионов, сохранившихся в ходе космологической эволюции плазмы. Полученное выражение представлено в виде пя тикратного интеграла от известных функций и определяется двумя безразмерными параметрами, зависящих от констант конкретной по левой модели взаимодействия элементарных частиц.А.5. Создание процедуры вычисления удельной энтропии

4. Поскольку полное аналитическое исследование полученного выраже ния для удельной энтропии провести не представляется возможным, а прямое численное интегрирование приводит к формальным расхо димостям и неприемлемо большим временам вычислений, проведено комплексное аналитическое и численное исследование модели спон танного нарушения симметрии. При этом созданы специальные про цедуры в системе компьютерной математики аппроксимации подынте гральных выражений, позволивших на несколько порядков сократить времена вычислений.5. На основе проведенного комплексного исследования построена числен ная модель бариогенезиса в расширяюш,ейся однородной и изотропной плазме и выявлены основные закономерности этой модели. Провере но качественное совпадение результатов с результатами других авто ров. Выявлено супдественная зависимость конечной удельной энтро пии от числа типов Х-бозонов в модели взаимодействия. Выявлено суш;ественное отличие результатов кинетической модели от результа тов квазигидродинамической теории в области малых значений масс Х-бозонов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аль-Самади Халид Аднан, 2007 год

1. Сахаров А.Д. Нарушение CP-инвариантности, С-асимметрия и ба-рионная асимметрия Вселенной/А.Д.Сахаров// Письма в ЖЭТФ, -1967. -т. 5 - С. 32-35.

2. Кузьмин В.А. СР-неинвариантность и барионная асимметрия Вселенной/В.А.Кузьмин// Письма в ЖЭТФ, 1970. - т. 12. - С. 335-337.

3. Okun L.B., Zeldovich Ja.B. /L.B.Okun, Ja.B.Zeldovich// Comments on Nucl. and Part. Physics, 1976. - Vol. 6. - P. 69-73.

4. Ignat'ev A.Yu., Krasnikov N.V., Kuzmin V.A., Tavhelidze A.N. /A.Yu.Ignat'ev, N.V.Krasnikov, V.A.Kuzmin, A.N.Tavhelidze// Phys. Letters, 1978. - V. 76B. - P. 436 - 439.

5. Yoshimura H. Unified Gauge Theories and Baryon Number of the Universe/H.Yoshimura// Phys. Rev. Lett., 1978. - V.41. - P.281-284.

6. Weinberg S. Cosmological Production of Baryons/S.Weinberg// Phys. Rev. Lett., 1979. - V.42. - P. 850-853.

7. Weinberg S. Beyond the first Three Minutes/S.Weinberg// Physics Scripta, 1981. - V.21. - P.773-791.

8. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б Космология и элементарные частицы/А.Д.Долгов, Я.Б.Зельдович// Успехи физ. наук, 1980. - Т. 130. - С.559-614.Литература

9. Fry J.M., Olive К.A., Turner M.S. Evolution of cosmological Baryon asymmetric. I. The role of gauge bosons/J.M.Fry, K.A.Olive, M.S.Turner// Phys. Rev.D, 1980. - V. 22. - P.2953-2976.

10. Fry J.M., Olive K.A., Turner M.S Evolution of cosmological Baryon asymmetric. II. The role of Higgs bosons/J.M.Fry, K.A.Olive, M.S.Turner// Phys. Rev.D, 1980. - V.22. - P. 2977-2988.

11. Fry J.M., Olive K.A., Turner M.S. Hierarchy of cosmological Baryons Generation/J.M.Fry, K.A.Olive, M.S.Turner// Phys. Rev. Lett, 1980. -V.45. - P.2074-2077.

12. Игнатьев Ю.Г. О кинетическом уравнении в общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1979. - т.22. -Ж2. - С.72-76.

13. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения и космология/Ю.Г.Игнатьев// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией К.П.Станюковича - М.: - Атомиздат.- 1980. - Выпуск 11 - С. 113-124.

14. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. I /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. - 23. - №.8, 1980, с. 42-47.

15. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. II /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. - 23. - №.9. - С. 27-32.

16. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика бариогенезиса в горячей Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Астрономический журнал, 62, Ж 4, 1985, с. 633-638.

17. Lichnerovich A., Marrot R. Proprietes statistiques des ensembles de particulesen relativite restreinte/A.Lichnerovich,R.Marrot// C.R., 1940.- V.210. P. 759-761.

18. Климонтович Ю.Л. Релятивистское уравнение для квантовой функции распределения/Ю.Л.Климонтович// Доклады Акад. Наук СССР,- 1952. т. 87. - Вып. 6. - С.927-930.

19. Климонтович Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы.1./Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1959. - т.37. С.735-746.

20. Климонтович Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы.1../Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960. - т.38. С.1212-1224.

21. Черников Н.А. Релятивистское кинетическое уравнение и равновесное состояние газа в статическом сферически-симмметричном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1960.- т. 133. С.333-336.

22. Tauber G.E., Weinberg J.W. Internal state of a gravitating gas/G.E.Tauber, J.W.Weinberg// Phys. Rev., 1961. - V. 122. -P. 1342-1365.Литература

23. Черников Н.А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.89-92.

24. Черников Н.А. Вектор потока и тензор массы релятивистского идеального газа/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.314-317.

25. Черников Н.А. Релятивистское распределение Максвелла-Больцмана и интегральная форма законов сохранения/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.544-547.

26. Chernikov N.A. The macroscopic foudation of the relativistic hydrodynamics/A.N.Chernikov// Acta Phys. Polon., 1965. - V. 27. - P.723-739.

27. Власов А.А. Статистические функции распределения /А.А.Власов -М.: Наука,1966. 356 е.

28. Игнатьев Ю.Г. Дисперсия гравитационных волн в релятивистском газе/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1974. - т. 17. - № 12. -С. 136-142.

29. Ignatyev Yu.G. The propagation of Electromagnetic plasma Oscillations in the Gravitational field/Yu.G.Ignatyev// Acta Physica Polonica , 1975. - Vol. B6. - № 2. -P.203-221.

30. Игнатьев Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением I. Общая теория/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. -т. 18, №. 6, - С.7-15.Литература

31. Игнатьев Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением II. Нерелятивистские температуры/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. - т. 18. - № 6. -С.109-119.

32. Игнатьев Ю.Г. Волны в релятивистском газе, находящемся в гравитационном поле/Ю.Г.Игнатьев// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 1986. - Казань, Казанский государственный университет. - 127с.

33. Захаров А.В., Игнатьев Ю.Г. О распространении излучения в плазме, находящейся в гравитационном поле. II. Электромагнитные волны в приближении геометрической оптики/А.А.Захаров, Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1976. - т. 19. - № 9. -С.62-69.

34. Игнатьев Ю.Г. Равновесные состояния релятивистского заряженного газа в рамках общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физ. журнал, 1976. - т.18. - № 12. -С. 1971-1977.

35. Захаров А.В., Игнатьев Ю.Г. К методу кинетического уравнения в общей теории относительности/А.В. Захаров, Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1976. - Выпуск 13. - С. 49-56.

36. Ignat'ev Yu.G., Zakharov A.V. The reflection of gravitational waves from compact stars/Yu.G. Ignat'ev, A.V. Zakharov// Phys. Letters, -1978. V0I.66A. - Ж 1. - с. 3-7.Литература

37. Игнатьев Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО/Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1978. - Выпуск 14. - С. 90-107.

38. Игнатьев Ю.Г. Локальные свойства релятивистского максвеллов-ского распределения частиц в гравитационном поле /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакциейB.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 16. C. 65-72.

39. Игнатьев Ю.Г. Локальная температура статистической системы в общей теории относительности /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ - 1980. - Выпуск 16. - С. 73-75.

40. Игнатьев Ю.Г. Равновесные макроскопические движения релятивистского гравитирующего газа заряженных частиц /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакциейB.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 17. C. 56-70.

41. Игнатьев Ю.Г., Балакин А.Б. Нелинейные гравитационные волны в плазме/Ю. Г. Игнатьев, А. Б. Балакин// Известия ВУЗов, Физика, -1981. т.24. - Ж7. -С. 20-24.

42. Игнатьев Ю. Г., Фазлеева А. 3. Столкновительное затухание гравитационных волн в ультрарелятивистской плазме/Ю. Г. Игнатьев, А. 3. Фазлеева// Украинский физический журнал, 1981. - т.26. - Ж 1. С. 28-38.

43. Игнатьев Ю. Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Журнал эксперим. и теоре-тич.физики, 1981. - т.81- № 1. - С. 3-12.

44. Игнатьев Ю. Г. Космология, кинетика и масса покоя нейтрино/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1981. - Выпуск 18. - С. 73-75.

45. Игнатьев Ю. Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. -№.4.- С. 92-96.

46. Балакин А. Б., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения однородной электронно-фотонной плазмы/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. - №.9. - С. 53-57.

47. Балакин А. Б., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения оптически прозрачной плазмы на комптонов-ской стадии/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. - №.10, - С. 82-85.

48. Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. -№.10. -С. 85-92.

49. Игнатьев Ю.Г. Движение идеальной жидкости в поле плоской гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, -1982. -т. 25. №.11. - С. 96-99.104Литература

50. Игнатьев Ю. Г. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - 25. - Ж11. - С.99-102.

51. Игнатьев Ю. Г. Кинетическое уравнение и массовая поверхность/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1983. - Выпуск 19. - С. 79-88.

52. Игнатьев Ю. Г. Статистическая динамика ансамбля классических частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1983. - Выпуск 20. - С. 50-109.

53. Игнатьев Ю. Г. Действие плоских гравитационных волн на плазмо-подобные среды и жидкости/Ю.Г.Игнатьев// Космические исследования на Украине / Под редакцией Писаренко Г.С. - Киев: Наукова Думка. - 1983. - Выпуск 17,С. 65-66.

54. Balakin А.В., Ignat'ev Yu.G. The effect of a gravitational wave at the contact of conductors/A.B.Balakin, Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters., -1983. Vol. 96A. -P. 10-11.

55. Игнатьев Ю.Г. Релятивистский канонический формализм и инвариантная одночастичная функция/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - Ж8. - С. 15-19.

56. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - №.8. - С. 19-23.

57. Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействуЛитературающих частиц/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - №.12. - С. 9-14.

58. Игнатьев Ю.Г. Идеальная жидкость с коротким скалярным взаимодействием в поле плоской гравитационной волны/ Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. - т.26. - №.12. - С. 7-9.

59. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Действие гравитационных волн на радиационно-доминированную плазму/Ю. Г. Игнатьев,B.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. - №.1532-84. - Деп., - 34с.

60. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Затухание гравитационных волн в ранней Вселенной/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. - № 1531-84. - Деп., - Юс.

61. Игнатьев Ю.Г., Кузеев P.P. Термодинамическое равновесие самогра-витирующей плазмы со скалярным взаимодействием/Ю.Г. Игнатьев, P.P. Кузеев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - №.7.C. 1021-1025.

62. Игнатьев Ю.Г. Магнитоактивная бесстолкновительная плазма в поле длинноволнового гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - №.7. - С. 1025-1029.

63. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика анизотропной плазмо-подобной среды с затуханием в поле гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1984. - т.27. 12. -С. 70-74.Литература

64. Игнатьев Ю.Г. Резонансная генерация плазменных колебаний плоской гравитационной волной/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1985. - т.28. - № 1. -С.74-77.

65. Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов Действие плоских гравитационных волн на однородную магнитоактивную плазму/Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов// Украинский физический журнал, 1986. - т.31. -№.5. -С.707-715.

66. Игнатьев Ю.Г. Возможность нарушения термодинамического равновесия в ранней Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1986. - т.29. - №.2. - С. 27-32.

67. Игнатьев Ю.Г. Кинетические процессы в релятивистских полях тя-готения/Ю.Г. Игнатьев// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Казань, Казанский государственный педагогический институт. - 1986. - 359 С.

68. Игнатьев Ю.Г., Смирнов А.В. Колебания анизотропной ограниченной плазмы в поле слабой гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев, А.B.Смирнов// Украинский физический журнал, 1987. - т.32. - №. 6. C.1917-1925.

69. Игнатьев Ю.Г. Космологические последствия скейлинга/Ю. Г. Игнатьев, А. А. Попов// Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной / Под редакцией Игнатьева Ю.Г. -Издательство КГПИ. - Казань. - 1988.- С. 62-84.

70. Игнатьев Ю.Г., Попов А.А. О статистическом описании ансамбля ультрарелятивистских частиц в пространственно плоской Вселен-ной/Ю. Г. Игнатьев, А. А. Попов// Известия ВУЗов, Физика, - 1989.- т.31. №.5. - С. 82-87.

71. Ignat'ev Yu.G. Excitation of Magnetohydrodynamic Shock Waves by a Gravitational Wave/Yu. G. Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1995.- Vol.1. №.4. -P. 287-300.

72. Ignat'ev Yu.G., PopovA.A. Spherically symmetric perturbation of a ultrarelativistic fluid in a homogeneous and isotropic universe/Yu.G.Ignat'ev, A.A.Popov// Physics Letters, 1996. - Vol.A.220.- P. 22-29.Литература

73. Ignat'ev Yu.G. About on the magnetohydrodynamic shock waves/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1996. - Vol.2, №.2. - P. 174.

74. Ignat'ev Yu.G. Gravimagnetic shock waves and gravitational -waves experimenttes/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1996. Vol.2.- №.4. -P. 167-174.

75. Ignat'ev Yu.G. Gravitational magnetic shocks as a detector of a gravitational waves/Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters A, 1997. - Vol.230.- P.171-176.

76. Ignat'ev Yu.G. Kinetic model of GMSW in an anisotropic plasma/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1997. - T.3. -№.4. - P. 254-260.

77. Ignat'ev Yu.G., Gorokhov D.N. Gravimagnetic shock waves in an anisotropic plasma/Yu.G.Ignat'ev, D.N.Gorokhov// Gravitation Sz Cosmology, 1997. - Vol.3. - Ж 4, - P.261-265.

78. Ignat'ev Yu.G., Markov V.A. Local GMSW -response of a magnetoactive plasma to the gravitational wave/Yu.G.Ignat'ev, V.A. Markov// Gravitation & Cosmology, 1998. - Vol.4. - Ж1. -P. 40-48.

79. Игнатьев Ю.Г., Чепкунова Е.Г. Точное плоско-симметричное нестационарное решение самосогласованных уравнений Эйнштейна Максвелла для плазмы/Ю.Г.Игнатьев , Е.Г. Чепкунова// Вестник. КГПУ,- Казань. Изд-во КГПУ. вып.2. - 2004. - С. 40-49.

80. Yu. G. Ignat'ev, E.G.Chepkunova Exact plane symmetric non-stationary solution to the Einstein Maxwell equations for a magneto active plasma/Yu. G. Ignat'ev, E.G.Chepkunova// Gravitation & Cosmology,- 2004. Vol.10. - № 3. - P. 1-6.Литература

81. Ignat'ev Yu.G., Chepkunova E.G. The moving semibounded magnetoactive plasma in field of a plane gravitational wave/Yu. G. Ignat'ev, E.G.Chepkunova// Gravitation & Cosmology, 2004. - Vol.10.- №4. P. 123-127.

82. Ландау Л.Д. и Лифшиц E.M. Статистическая физика/Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц 1964. - М.: Наука. 568 е.

83. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика/А. И. Ахиезер, В.Б.Берестецкий 1969. - М.: Наука. 624 е.

84. Alvares E.J. On the transport equations for a one component relativistic gas/E.J.Alvares// J. Phys. and Math. Gen., 1976. - Vol.9. - P.1861-1875.

85. Иванов Г. Г. Уравнение Улинга Уленбека и квантовая статистика идеальных газов в ОТО/Г.Г.Иванов // Гравитация и теория относительности / Под редакцией - В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ.- 1978. Выпуск 14. - С. 80-89.

86. Syng J.L. Relativity: The General Theory/J.L.Syng North-Holland Publishing Company: Amsterdam. - 1960. - 432 p.

87. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности/А.З.Петров 1966. - М.: Наука. - 496с.

88. Cartan Е. Les espaces de Finsler/E. Cartan 1934.- Paris. - 234 p.Литература

89. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Принцип конформной инвариантности. /Н.А.Черников, Н.С.Шавохина// Новейшие проблемы гравитации, Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума, 1973. - М: Изд-во ВНИИФТРИ. - С.40-42.

90. Ehlers I., Geren P., Sachs R. К. Isotropic solutions of the Einstein -Liouville equstions /I.Ehlers, P.Geren, R.K.Sachs// J. Math.Phys., 1968. - Vol.9. - P. 1344-1361.

91. Орлов С.В. Релятивистское расширение бозе- конденсата/Орлов С.В.// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией Станюковича К.П. -М.: Энергоатомиздат. -1985. - Выпуск 16. - С.119-122.

92. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной /Я.Б.Зельдович Я.Б., И.Д.Новиков М.: Наука. -1975. -736с.

93. Козик B.C., Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З., Третьяков Е.Ф. Об оценке массы ve по спектру (3 распада трития в валине/В.С.Козик, В.А.Любимов, Е.Г.Новиков, В.3.Нозик, Е.Ф.Третьяков// Ядерная физика, - 1980. -Т.32. - С. 301-303.

94. Магалинский В.Б. Кинетика малых возмущений пространственно-однородной гравитирующей среды/В.Б.Магалинский// Астрономический журнал, 1972. - Т.49. - вып. 5. - С. 1017-1025.

95. Pilkuhn Н.М. Relativistic Particle Physics/H.M.Pilkuhn New York-Heidelberg-Berlin. - Springer-Verlag. - 1982. - 544p.

96. Ignatyev Yu.G., Alsmadi К. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. I. Exact model/Yu.G.Ignatyev, K.Alsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005. -Vol. 11. - No 3. - P. 252-258.

97. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. II. Numerical model/Yu.G. Ignatyev, K.Alsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005. - Vol. 11. - No 4. - P.363-368.

98. Ignatyev Yu.G., Alsmadi К. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. III. Cpecific Entropy Calculation/Yu.G. Ignatyev, K. Alsmadi// Gravitation & Cosmology, -2007. Vol. 13. - No 2. - P.114-118.

99. Аль-Смади X. Кинетическая модель производства барионов в горячей Вселенной/Х. Аль-Смади// Материалы Российской школы семинара по гравитации и космологии "Gracos-2007" / Под редакцией -Игнатьева Ю.Г. - 2007. - Казань: Изд-во "Фолиант". - С. 137-142.

100. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения/Н.Н.Лебедев- 1963. Москва-Ленинград. - ГИФМЛ. - 360 с.

101. Janke Е., Emde F., Losch F. Tafeln Hoherrer Funktionen/E. Janke, F. Emde, F.Losch 1960. - Stuttgart. - B.G.Teubner Verlagsgesellschaft.

102. А.Д.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев Интегралы и ряды. Дополнительные главы/А. Д.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев 1986. - М.: Наука. - 800 с.