Конечно-разностный метод решения неклассических краевых задач для многомерных параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бештокова Зарьяна Владимировна

• Бештокова Зарьяна Владимировна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Бештокова Зарьяна Владимировна

Введение

ГЛАВА 1. Локально-одномерная разностная схема для

нагруженного уравнения параболического типа

1.1. Постановка задачи

1.2. Построение локально-одномерной разностной схемы

1.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

1.4. Устойчивость локально-одномерной схемы

1.5. Оходимость локально-одномерной схемы

1.6. Алгоритм численного решения задачи

ГЛАВА 2. Локально-одномерная разностная схема для

уравнения параболического типа с краевыми условиями специального вида

2.1. Постановка задачи

2.2. Построение локально-одномерной разностной схемы

2.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

2.4. Устойчивость локально-одномерной схемы

2.5. Оходимость локально-одномерной схемы

2.6. Алгоритм численного решения задачи

ГЛАВА 3. Локально-одномерная разностная схема для

уравнения параболического типа с нелокальным (интегральным) источником

3.1. Постановка задачи

3.2. Построение локально-одномерной разностной схемы

3.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

3.4. Устойчивость локально-одномерной схемы

3.5. Оходимость локально-одномерной схемы

3.6. Алгоритм численного решения задачи

ГЛАВА 4. Локально-одномерная разностная схема для

параболического уравнения в средах, обладающих «памятью»

4.1. Постановка задачи

4.2. Построение локально-одномерной разностной схемы

4.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

4.4. Устойчивость локально-одномерной схемы

4.5. Оходимость локально-одномерной схемы

4.6. Алгоритм численного решения задачи

ГЛАВА 5. Локально-одномерные разностные схемы для уравнения параболического типа с нелокальны-

ми граничными условиями

5.1. Нелокальная краевая задача А

5.1.1. Постановка нелокальной задачи А

5.1.2. Построение локально-одномерной разностной схемы

5.1.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

5.1.4. Устойчивость локально-одномерной схемы

5.1.5. Сходимость локально-одномерной схемы

5.1.6. Алгоритм численного решения задачи

5.2. Нелокальная краевая задача Б

5.2.1. Постановка нелокальной задачи Б

5.2.2. Построение локально-одномерной разностной схемы

5.2.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

5.2.4. Устойчивость локально-одномерной схемы

5.2.5. Сходимость локально-одномерной схемы

5.2.6. Алгоритм численного решения задачи

Заключение

Литература

Приложение А.

Тестовая задача и численные результаты к первой главе

Приложение Б.

Тестовые задачи и численные результаты ко второй главе. . . . 125 Приложение В.

Тестовые задачи и численные результаты к третьей главе. . . . 127 Приложение Г.

Тестовые задачи и численные результаты к четвертой главе. . .129 Приложение Д.

Тестовые задачи и численные результаты к пятой главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно-разностный метод решения неклассических краевых задач для многомерных параболических уравнений»

Введение

Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием физических процессов, приводящих к математическим моделям, в основе которых лежит уравнение параболического типа.

Среди таких задач наиболее сложными с точки зрения численной реализации считаются многомерные (по пространственным переменным) задачи. Сложность заключается в значительном увеличении объёма вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальна задача построения экономичных разностных схем, которые обладают возможностью достаточно эффективной стабилизации решений (устойчивостью) и требуют для перехода со слоя на слой затратить Q арифметических действий, пропорциональных числу узлов сетки, так что Q = O (^p), где

h = min hi, p— размерность пространства, hi — шаг сетки по направлению

l<i<p

xi .

Диссертационная работа посвящена построению локально-одномерных разностных схем для численного решения неклассических краевых задач для многомерных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, основная идея которых состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом каждая из промежуточных задач исходную дифференциальную задачу может не аппроксимировать, а в совокупности и в специальных нормах имеет место такая аппроксимация. Указанные методы названы методами расщепления, которые были развиты в работах Douglas J., Peaceman D.W., ЯасЬГоЫ H.H. [73], [75], Н.Н. Яненко [68], А.А. Самарского [44]-[51], Г.И. Марчука [40], Е.Г. Дьяконова [28], [29], Сухинова А.И. [54]-[57] и др.

Важным разделом в теории дифференциальных уравнений являются нагруженные уравнения. Большой вклад в разработку теории нагруженных дифференциальных уравнений внесли: Ю.А. Анохин, А.Б. Горстко, Л.Ю. Да-мешек и др. [8], A.B. Бородин [14], Б.М. Будак, А.Д. Искендеров [13], A.M. Нахушев [42], [43], М.Х. Шхануков [5], [65], А.М. Krall [74].

В обзорных работах A.M. Нахушева на многочисленных примерах показана практическая и теоретическая важность исследований нагруженных дифференциальных уравнений. Одним из методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный A.M. Нахушевым метод редукции интегро-дифференциальных уравнений к нагруженным дифференциальным уравнениям. В работе [42] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности эквивалентно редуцированы к локальным задачам для нагруженных диффе-

ренциальных уравнений.

Численным методам решения различных краевых задач для нагруженных параболических уравнений посвящены работы [3], [4], [5], [65]. Построению локально-одномерной разностной схемы для нагруженного уравнения теплопроводности в р-мерном параллелепипеде посвящена работа [66], в которой рассматривается третья краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности в р-мерном параллелепипеде. Получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы, и доказана ее сходимость.

Исследованию различных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка посвящены работы [1] - [7], [23], [24] - [32], [40], [44] - [49], [60] - [62], [66], [67]. Построению локально-одномерных схем для численного решения многомерных параболических уравнений посвящены работы: [2], [46] - [49], [60], [66], [67], а построению локально-двумерных схем для численного решения многомерных уравнений параболического типа в декартовых, цилиндрических, сферических и тороидальных координатах - работы [54]-[57].

Так в работе [2] исследуются экономичные (локально-одномерные) разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений с неограниченной нелинейностью. Доказаны существование, единственность и сходимость решений рассматриваемых разностных схем к решению исходной дифференциальной задачи. В [11] рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде. Получена априорная оценка для решения локально-одномерной разностной схемы и доказана ее сходимость. В [47] в произвольной области G рассматривается локально-одномерная схема для решения линейных и квазилинейных параболических уравнений. Доказана устойчивость разностной схемы по правой части, краевым и начальным данным, а также сходимость со скоростью O(h2 + т). В [48] рассматриваются локально-одномерные схемы на произвольных «неравномерных сетках» для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа с «коэффициентом теплопроводности» ka = ka(x,t,u), зависящим от «температуры» u = u(x,t). Эти схемы сходятся на произвольных неравномерных сетках ¡¡h В [49] изучены локально-одномерные разностные схемы для уравнений гиперболического типа в произвольной области G. Эти схемы сходятся на произвольных неравномерных сетках ¡¡h

В [60] рассматривается локально-одномерная разностная схема для уравнения параболического типа в р-мерном прямоугольном параллелепипеде и для гиперболического уравнения при р = 2,3 c краевыми условиями III рода.

Работа [67] посвящена построению локально-одномерных схем для параболического уравнения с нестационарным краевым условием, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость разностной схемы на кубической сетке.

Работы Сухинова А.И. [54]-[57] посвящены построению локально-двумерных схем для решения многомерных уравнений параболического типа в декартовых, цилиндрических, сферических и тороидальных координатах. По сравнению с локально-одномерными схемами локально-двумерные схемы показывают улучшение скорости сходимости в криволинейных координатах и уменьшение времени обменов информацией в многопроцессорных системах при численной реализации схемы на больших сетках.

Цель диссертационной работы:

1. Исследование неклассических краевых задач для многомерных параболических уравнений с переменными коэффициентами;

2. Построение локально-одномерных схем для исследуемых задач;

3. Доказательство устойчивости и сходимости локально-одномерных схем;

4. Разработка алгоритмов приближенных решений в двумерном случае и проведение тестовых расчетов.

Методы исследования

В работе применяется метод суммарной аппроксимации для построения локально-одномерных схем для изучаемых задач, а также метод энергетических неравенств для получения априорных оценок.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Впервые построены локально-одномерные разностные схемы для численного решения многомерного:

- нагруженного уравнения параболического типа с граничными условиями третьего рода;

- параболического уравнения с краевыми условиями специального вида;

- уравнения параболического типа с нелокальным (интегральным) источником и граничными условиями третьего рода;

- параболического уравнения в средах, обладающих «памятью», с граничными условиями третьего рода;

- параболического уравнения с нелокальными граничными условиями;

2. Впервые для построенных локально-одномерных разностных схем доказаны устойчивость и сходимость схем;

3. Впервые для исследуемых задач разработаны алгоритмы приближенных решений в двумерном случае, проведены численные расчеты тестовых примеров.

Положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся: обоснование актуальности, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, а также следующие положения, которые подтверждаются результатами исследования, представленными в Заключении диссертации.

1. Построение локально-одномерных схем для численного решения многомерного:

- нагруженного уравнения параболического типа с граничными условиями третьего рода;

- уравнения параболического типа с краевыми условиями специального вида;

- уравнения параболического типа с нелокальным (интегральным) источником и граничными условиями третьего рода;

- параболического уравнения в средах, обладающих «памятью», с граничными условиями третьего рода;

- параболического уравнения с нелокальными граничными условиями.

2. Доказательство устойчивости и сходимости построенных локально-одномерных схем;

3. Алгоритмы приближенных решений исследуемых в диссертации задач в двумерном случае.

Теоретическая значимость

Диссертационная работа носит в основном теоретический характер. Её результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для параболических уравнений с переменными коэффициентами, могут найти применение в области теории разностных схем, в области вычислительной математики, а также в области численного моделирования.

Практическая значимость

Построенные для каждой из рассматриваемых задач локально-одномерные разностные схемы, могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к многомерным параболическим уравнениям, например, при математическом моделировании облачных процессов, при рассмотрении проблемы активного воздействия на конвективные облака с целью предотвращения

града и искусственного увеличения осадков, а также в задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает загрязняющее вещество определенной интенсивности. Задачи с интегральным (нелокальным) источником возникают при описании функции распределения по массам капель за счет микрофизических процессов конденсации, коагуляции, дробления и замерзания капель в конвективных облаках.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем диссертации составляет 134 страницы. Список литературы содержит 96 наименований.

Публикации

Автором по теме диссертационного исследования опубликованы 16 научных статей и тезисов выступлений на конференциях [76]-[91], в которых отражены его основные результаты. Из них работы [79], [80], [84], [87]-[91] опубликованы в рецензируемых научных изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России. Получены 5 свидетельств о Государственной регистрации программы для ЭВМ [92]-[96].

В совместных работах [76], [77], [79], [80], [90] соавторам принадлежат постановки задач, некоторые идеи доказательств, а диссертанту - доказательства основных теорем, разработка алгоритмов численных методов решения, а также программных средств для проведения тестовых расчетов.

Апробация результатов

Результаты диссертационной работы автор освещал в своих докладах на международных и всероссийских конференциях [1]-[7]:

1. Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и автоматизации» и XIV Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и современные проблемы анализа и информатики». (Терскол, 17-22 октября 2016 года);

2. Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и физики». (Нальчик-Терскол, 17-21 мая 2017 года);

3. Международная научная конференция «Алгебра, теория чисел и математическое моделирование динамических систем». (Нальчик-Терскол, 29 июня-3 июля 2019 года);

4. XV Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». (с.Цей, Алагирского района, РСО-Алания, 15-20 июля 2019 года);

5. Международная конференция «Устойчивость, управление, дифференциальные игры», посвященная 95-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского. (Екатеринбург, 16-20 сентября 2019 года);

6. XX Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения - 2022». (Новополоцк, Белоруссия, 31 мая — 3 июня 2022 года);

7. III Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики, информатики и механики». (п. Эльбрус, 23-26 июня 2022 года).

Результаты, полученные в диссертационной работе [76] - [91], докладывались и обсуждались неоднократно на научно-исследовательских семинарах:

- по вычислительной математике и математической физике Института физики и математики Кабардино-Балкарского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Лафи-шева М.Х.

- по актуальным проблемам прикладной математики Института прикладной математики и автоматизации под руководством кандидата физико-математических наук Алиханова А.А.

- по современному анализу, информатике и физике Института прикладной математики и автоматизации под руководством доктора физико-математических наук Псху А.В.

- отдела прикладных задач Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН под руководством доктора физико-математических наук, профессора Короткого А.И.

- кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством доктора физико-математических наук, профессора Кобелькова Г.М.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется корректным использованием современных численных методов (сеточных методов), математического аппарата и вычислительными экспериментами.

Автор выражает искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Лафишеву Мухамеду Хабаловичу за предложенную тематику исследований, постоянную помощь и внимание к работе.

Основное содержание работы

Первая глава посвящена изучению начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Рассмотрен случай, когда уравнение учитывает т точек нагружения.

Отметим, что для численного решения каждой из рассмотренных в диссертации дифференциальных задач строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации 0(|К|2 + т), где |К|2 = К + К2 + ... + Крр. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной разностной схемы, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью равной порядку аппроксимации локально-одномерной разностной схемы. В двумерном случае построен алгоритм численного решения и проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные теоретические выкладки.

Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений возникают при изучении движения почвенной влаги, в теории теплопроводности (см. [14], [42], [43]), в задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает загрязняющее вещество из т источников определенной интенсивности (см. [8, с. 26]).

Разностным методам решения различных краевых задач для нагруженных параболических уравнений посвящены работы [3], [4], [5], [65], [66].

Вторая глава посвящена изучению многомерного параболического уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями специального вида.

Задачи такого рода возникают, например, в случае, когда на конце ха = 0 стержня помещена сосредоточенная теплоемкость С1 (например, тело с большой теплопроводностью, вследствие чего температуру по всему объему этого тела можно считать постоянной) и происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Тогда краевое условие при ха = 0 (выражающее уравнение теплового баланса) будет иметь вид [58, с. 189]:

ди ди , Л

С1 т = дХ — К(и — ио)

где ио — температура внешней среды. Данное условие содержит || (или Ьи + /(ж,£), если учесть само уравнение || = Ьи + /(ж,£)).

Третья глава посвящена третьей начально-краевой задаче для многомерного дифференциального уравнения параболического типа с переменными коэффициентами и нелокальным источником.

Краевые задачи для параболических уравнений c нелокальным (интегральным) источником возникают при описании функции распределения по массам капель и ледяных частиц, с учетом микрофизических процессов конденсации, коагуляции (объединение мелких капель в большие по размеру агрегаты), дробления и замерзания капель в конвективных облаках [9], [34].

Четвертая глава посвящена изучению третьей краевой задаче для многомерного параболического уравнения в средах, обладающих «памятью», с переменными коэффициентами, когда решение зависит от значения t во все предшествующие времена.

В работе [38] рассматриваются двумерные параболические уравнения с эффектами запаздывании по временной переменной. Для приближенного решения параболических уравнений построена разностная схема переменных направлений. Исследуются порядок погрешности аппроксимации для схемы переменных направлений, устойчивость и порядок сходимости.

Пятая глава посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами.

Математическое моделирование многих процессов и явлений природы нередко приводит к нелокальным задачам. Например, краевые задачи для параболических уравнений с нелокальными условиями возникают при изучении переноса влаги в почвогрунтах, распространения тепла в тонком нагретом стержне с заданным законом изменения общего количества тепла стержня.

Нелокальными задачами в литературе принято называть такие задачи, в которых вместо обычных точечных ("локальных") граничных условий задаются условия, связывающие значения искомого решения и (или) его производных в различных точках границы, либо же в точках границы и в каких-либо внутренних точках [27], [42, с. 135].

К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы Carleman T. [71], Canon J.R. [72], Камынина Л.И. [33] и Чудновского А.Ф. [64]. Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечалась ещё В.А.Стекловым [53].

В [35] рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка

Lv(u) = ut - uxx - vUxxt + c(x,t)u = q(x,t), с краевыми условиями

t

u(0, t) = a(t)u(1,t) + J h(t,T )u(l, т )dr, 0 <t<T, (*)

0

ux(1,t) = 0, 0 <t<T,

u(x, 0) = u0(x), 0 < x < 1.

Исследуемая в данной работе нелокальная задача содержит нелокальные граничные условия интегрального вида (*).

Различные классы нелокальных краевых задач изучались в работах [11], [12], [19], [20], [25]-[27], [30] - [33], [35], [53], [64], [69], [70], [72] и др.

Отметим, что при изучении многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами

du

— = Lu + f(x,t), (x,t) e Qt, (**)

где

^ д i du \ du . , Lu = Lau, Lau = dx^ ( ka(x, t) dx^ ) + Ta(x,t) —--qa(x,t)u,

a=1 a \ a/ a

следует обратить внимание на соотношение между процессами конвекции и диффузии, определить который из этих процессов доминирует и каким образом доминирующий процесс влияет на аппроксимацию и устойчивость локально-одномерной схемы [15]-[17], [52].

В случае доминирования процессов диффузии, т.е. когда оператор имеет вид

p

Lu = Lau,

a=l

dl du \ du Lau = ß^ ( ka(x,t) ix) + Га (x,t) d^--qa(x,t)u, ^ (x,t) ^ 0

или равновесности процессов конвекции и диффузии нетрудно заметить, что численные свойства локально-одномерной разностной схемы (аппроксимация, устойчивость) сохраняются.

Проблемы в основном могут возникнуть при доминировании в среде процессов конвекции. Задачи такого типа возникают во многих областях науки и техники, т.к. связаны с быстрым движением среды (или объекта в среде). Тогда оператор многомерного уравнения конвекции-диффузии (**) в случае

с преобладающей конвекцией принимает вид:

p

Lu = Lau,

a=l

d du du

Lau = ~d^\a (x,t) gX^J + ra(x,t) d^--qa(x,t)u, k£a (x,t) ^ 0. (* * *)

Появление в (***) малого параметра £ (е > 0) в виде сомножителя при старшей производной в случае несогласование с краевыми условиями и правой частью уравнения может привести к возникновению особенности типа

пограничного слоя [18], [22], т.е. к резкому изменению решения ("скачку") в очень небольшой области расчета, что может существенно повлиять на численные свойства предложенной разностной схемы.

В случае, когда условие к£а(х,Ь) ^ 0 согласовано с краевыми условиями и правой частью уравнения, изучение разностных схем для уравнения с преобладающей конвекцией требует более обширного анализа, т.к. при высоких числах Рейнольдса Яа = °'5/Ь|Га| предложенная локально-одномерная схема становится неустойчивой.

Сохранение численных свойств локально-одномерной схемы возможно, если к£а > 0.5\та|, Яа = 0{На).

В диссертационной работе не приводится сравнение локально-одномерной разностной схемы с другими методами для выявления эффективности применения того или иного метода для приближенного решения рассматриваемых задач. Данный вопрос представляет собой самостоятельный научный интерес в виду того, что требует построение и глубокого анализа эффективных разностных схем высокого порядка аппроксимаций.

Глава 1.

Локально-одномерная разностная схема для нагруженного уравнения параболического типа

В настоящей главе исследуется начально-краевая задача для многомерного нагруженного параболического уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Рассмотрен случай, когда уравнение учитывает m точек нагружения.

Здесь и далее в последующих главах для численного решения исходной дифференциальной задачи строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации O(|h|2 + т), где |h|2 = hf + h2> + ... + h2. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной разностной схемы, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. В двумерном случае построен алгоритм численного решения и проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные теоретические выкладки.

1.1. Постановка задачи.

В замкнутой области QT = G х [0,T], основанием которой является p-мерный прямоугольный параллелепипед G = {x = (x\,x2,...,xp) : 0 < xa < la,a = 1, 2, ...,p} с границей Г, G = G U Г, рассматривается задача

д- = Lu + f (x,t), (x,t) e Qt, ka(x,t) du = ß-aU - V-a (x,t), xa = 0, 0 < t < T,

ka (x,t) d)x~ = ß+aU — ß+a(x,t), xa = la, 0 < t < T,

u(x, 0) = uo(x), x e G,

(1.1)

(1.2) (1.3)

где

Lu = Lau, L

a=1

д i ( \ du \ ( .du

au I ka.(x, ) + ra(x, t)"ö

dxa \ dxa J dxa

m

^ ^ qsa (xi t)u(x1, ..., xa—1, ^a, xa+1, ..., xpi t) ,

s=1

u(x,t) e C4,2 (Qt) , ka(x,t) e C3,1 (Qt) , ra(x,t), qSa(x,t), f(x,t) e C2,1 (Qt)

0 < Co < ka(x,t) < C1,

m

|Га (x,t)|, |kxa (x,t)|, |Гха (x,t)|, qSa (x,t)|, | ß±a. (x,t)|< C2, (1.4)

s=1

e±a(x,t), ц±a(x,t), u0(x) — непрерывные функции, a = 1, 2,...,p,

Cm,n - класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка m по x и n по t, CSS., (s = 1, 2, ...,m) — фиксированные точки интервала (0,la) ■ 0 < Ca < ... < Cm < 1a, c0,c1,c2 — положительные постоянные, QT = G x (0,T}, x = (x1,x2, ...,xp).

С помощью выбора коэффициентов qSa (x,t) можно регулировать интенсивность источников (стоков) в точках Ca.

В дальнейшем изложении будем обозначать через Mi (i = 1, 2,...,) положительные постоянные, зависящие только от входных данных исходной дифференциальной задачи.

1.2. Построение локально-одномерной разностной схемы.

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Oxa с шагом ha = j^-, a = 1, 2, ...,p ■

üh = П , ü>ha = <j x^ = iaha : ia = 1, ...,Na — = 0,xONa) = Na'—

a=1

ha 2

По аналогии с [50] на отрезке [0,Т] также введём равномерную сетку йт = {Ь^ = ]т, ] = 0,1,...,с шагом т = Т/]0. Каждый из отрезков +1] разобьем на р частей, введя точки а = + т^, а = 1, 2, ...,р — 1, и обозначим через Да = а— а] полуинтервал, где а = 1, 2,...,р. Уравнение (1.1) перепишем в виде

£u = dU — Lu — f = 0, dt J

или

t £au = 0 £au = 11 - Lau - Д,

p dt

a=l

где fa(x,t), (a = 1, 2,...,p)- произвольные функции, обладающие той же

p

гладкостью, что и f (x,t), удовлетворяющие условию нормировки ^ fa = f.

a=l

На каждом полуинтервале Aa, a = 1, 2,...,p будем последовательно решать задачи:

1 , \

£a$a =--^--La a) - fa = 0, X G G, t G Aa, a = 1, 2,...,p, (1.5)

p dt v '

ka Qx ß—a'(a) ß—a{x,t), xa °

a (1.6)

ka gx ß+a'(a) ß+a(x,t), xa la,

полагая при этом [50, с. 501]

0(1) (х, 0) = ио(х), 0(1)(х,Ь3) = $(р)(х,г3), э = 1, 2, ...,]о _ 1, 0(а)(х,^-+) = 0(а_1)(х,^^+), а = 2, 3,...,р, э = 0,1, 2, ...,Эо _ 1.

Аналогично [50, с. 401] получим для уравнения (1.5) номера а монотонную схему второго порядка аппроксимации по На. Для этого рассмотрим уравнение (1.5) номера а с возмущенным оператором Ьа

1 д$

"= Ьа$(а) + Iа, Ь € Да, (1.7)

р дЬ v '

д Л , .,90(а) \ ,лд0(а)

где

La$(a) = — (k«(x,t) -г^г) + T'a(x,t)

дха

^ ^ qsа$(a) (x1, xa-1, Са, xa+1, xp, t) ,

Ja

m

-s

аа - (a) 1 í 'l — 1 , Sa

s=1

1 0.5ha|ra| (1 ) k« = i-, R =-7--разностное число Рейнольдса, a(a) = aa;i a+1,

1 + Ra ka

r + r

ra = r++r-, r+ = 0.5(ra+ |r«|) > 0, г- = 0.5(г«-|г«|) < 0, b+ = f, b- = f,

aa = ka \ ^ , ra = Г , dsa = qsa (x, , ^a = fa(x, t) ,

x ) (x1,...,xa-1, xa 0.5ha, xa+1, ..., xp) , x (x1, x2, ..., xp) , t ^j+1.

Аппроксимируем каждое уравнение (1.6), (1.7) номера а двухслойной неяв-

ной схемой на полуинтервале \ tj+a-i ,tj+a номерных разностных уравнений:

• i a -i a—1

, тогда получим цепочку из p од-

У " У — = AaVj+ P + j Р, xa G Uha, (1.8)

T

m

LaL/ ' P _L_ п/ ' P "

Aay = KaUayí+a ") + b+a«+1a) yx+a P + ^0^ P dSa (y^- + y^^)

\ / X Г\1 ^ '

aayx a I 1 ba aa yx a +ba aa.yx a / ^ds a

x

x(ias + ^ _ SS SS — x(Ías )

x- = x«_S« x+ = Sa xa x(ias) < ts < x(ias +1)

xias = h , xias = h , xa < Sa < xa .

Отметим, что используемое нами выражение

, ,x(ias + СS С^ x(ias )

(a) xa_s« , (a) Sa xa

b. + yi a s + 1

s

ka i a s + 1 hr

для аппроксимации и(х1,..., ха-1 , ха+]_,..., хр,Ь) было ранее введено в работах [5], [30], [66] для аппроксимации нагруженной части.

К уравнению (1.8) надо присоединить граничные и начальное условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (1.2):

аа. Ух о = Р—аУо Р М—a, Ха = 0,

7+р 7+р (1.9)

— Оа а ухпN = в+ауМ„Р — М+а, Ха = 1а.

Условия (1.9) имеют порядок аппроксимации 0(На). Повысим порядок аппроксимации до 0(к2а) на решениях уравнения (1.5) при каком-либо а :

• I СХ • сх

Ч Л = в—а$0 Р — М—а + О(На),

ь ь^

а1а)=№=ко+к ^+к +о(ьа),

$1 — ь

(а) - (а) = $(а)ха,0 = $(а) + $1)у + 0{Ы),

(

ьа

= к(а) $;а),о+(к(а%)У ^+о(ьа),

к(а)${а)0 = О-Ы <+3 — 05ка(к(а%))' + 0(к2а) = ^ ^

1 д$7+р д$ —0.ЪНА-----г

(а)

р дЬ дха

г а в=1

"а \ т ^ ' а ^^ + ^ ^ Ява $(а) (х1-) Ха—1, Са, Ха+1, Хр1 Ь) 1аЛ +

+ 0(Ь2а).

Итак,

1 7 +а

а{а°<о1 — 05На{ р$ Р — Га$(а)х а,0 +

+ ^ ^ Яв а $(a)(x1, Ха—1, ^а, Ха+1, ...,Хр,^/) — (3 — а$о Р

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бештокова Зарьяна Владимировна, 2024 год

Литература

[1] Абрашин В.Н., Муха В.А. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики // Диффе-ренц. ур-ния, 1992. Т.28. №10. С.1786-1799.

[2] Абрашин В.Н., Асмолик В.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений // Диф-ференц. ур-ния, 1982. Т.18. №7. С.1107-1117.

[3] Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. Конечноразностные методы решения нагруженных параболических уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т.56. №1. С.99-112.

[4] Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. Подход к численному решению задач оптимального управления нагруженными дифференциальными уравнениями с нелокальными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т.59. №5. С.739-751.

[5] Алиханов А.А., Березгов А.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.48. №9. С.1619-1628.

[6] Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ., 1968. Т.8. №6. С.1218-1231.

[7] Андреев В.Б. О равномерной сходимости разностных схем для задачи Неймана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т.9. №6. С.1285-1298.

[8] Анохин Ю.А., Горстко А.Б., Дамешек Л.Ю. и др. Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом. Новосибирск: Наука. 1987, 198 с.

[9] Ашабоков Б.А., Шаповалов А.В., Шаповалов В.А., Гучаева З.Х., Численное моделирование термодинамических и микроструктурных параметров конвективного облака в процессе его эволюции // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2018. №154. С.22-31.

[10] Ашабоков Б.А., Шаповалов А.В. Конвективные облака: численные модели ирезультаты моделирования в естественных условиях и при актив-номвоздействии. Нальчик. 2008, 254 с.

[11] Баззаев А.К., Гутнова Д.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т.52. №6. С.1048-1057.

[12] Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР, 1969. Т.185. №4. С.739-740.

[13] Будак Б.М., Искендеров А.Д. Об одном классе краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1967. T.175. №1. С.13-16.

[14] Бородин A.B. Об одной оценке для эллиптических уравнений и ее приложении к нагруженным уравнениям //Дифференц. ур-ния. 1977. Т.13. №1. С.17-22.

[15] Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции-диффузии // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30, №3. С.503-513.

[16] Вабищевич П.Н., Самарский А.А. Об устойчивости разностных схем для задач конвекции-диффузии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т.37. №2. С.188-192.

[17] Вабищевич П.Н., Самарский А.А. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. №2. С.207-219.

[18] Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференицальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1967. Т.12. №5. С.3-122.

[19] Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Диффе-ренц. ур-ния. 1982. Т.18. №2. С.280-285.

[20] Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М. Нахушева // Дифференц. ур-ния. 1983. Т.19. №1. С.163-166.

[21] Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем / Под ред. Яненко Н.Н. Новосибирск: Наука, Сиб. отд - ние. 1981. 208 с.

[22] Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.:Наука. 1977, 439 с.

[23] Гордезиани Д.Г., Меладзе Г.В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области

одномерными уравнениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974. Т.14. №1. С.246-250.

[24] Гордезиани Д.Г. Об одном варианте использования принципа аддитивности для решения эволюционных уравнений второго порядка // Анн. докл. семинара ИПМ Тбилисск. гос. ун-та, 1971, №4. С.23-26.

[25] Гулин А.В., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Разностные схемы для нелокальных задач // Изв. вузов. Матем. 2005. №1. С.40-51.

[26] Гулин А.В., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной двумерной разностной задачи // Дифференц. ур-ния, 2001. Т.37. №7. С.926-932.

[27] Дезин А.А. Операторы с первой производной по «времени» и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1967. Т.31. №1. С.61-86.

[28] Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для нестационарных уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т.144. №1. С.29-32.

[29] Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962. Т.2. №4. С.549-568.

[30] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и в разностной трактовках // Докл. АН СССР. 1986. Т.291. №3. С.534-539.

[31] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода // Дифференц. ур-ния. 1988. Т.24. №5. С.795-804.

[32] Ионкин Н.И., Морозова В.А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Дифференц. ур-ния. 2000. Т.36. №7. С.884-888.

[33] Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4. №6. С.1006-1024.

[34] Коган Е.Л., Мазин И.П., Сергеев Б.Н.,Хворостьянов В.И. Численное моделирование облаков. Гидрометеоиздат. 1984, 186 с.

[35] Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Диффе-ренц. ур-ния. 2004. Т.10. №6. С.763-774.

[36] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964, 632 с.

[37] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 407 с.

[38] Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием. // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. T.16, №1. C.102-118.

[39] Мазин И.П., Шметер С.М. Облака, строение и физика образования. Л.: Гидрометеоиздат. 1963, 280 с.

[40] Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988, 264 с.

[41] Нахушев А.М. Уравнение математической биологии. М.: Высшая школа. 1995, 301 с.

[42] Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. ур-ния. 1983. Т.19. №1. С.86-94.

[43] Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги //Дифференц. ур-ния. 1979. Т.15. №1. С.96-105.

[44] Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т.3. №2. С.266-298.

[45] Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. ур-ния. 1980. Т. 16. №11. С.1925-1935

[46] Самарский А.А. О сходимости и точности однородных разностных схем для одномерных и многомерных параболических уравнений // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. Т.2. №4. 1962. С.603-634.

[47] Самарский А.А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. Т.2. №5. 1962. С.787-811.

[48] Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т.3. №3. С.431-466.

[49] Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа произвольной области // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1964. Т.4. №4. С.638-643.

[50] Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983, 616 с.

[51] Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука. 1973, 415 с.

[52] Самарский АА., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.

[53] Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983, 432 с.

[54] Сухинов А.И. Локально-двумерные схемы для решения многомерных параболических уравнений на вычислительных системах матричного типа // Изв. вузов. Матем. 1984. Т.11. С. 45-53.

[55] Сухинов А.И. Об аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности локально-двумерными схемами в цилиндрических и сферических координатах // Изв. вузов. Матем. 1987. Т.8. С. 66-74.

[56] Николаев ИА., Сухинов А.И. Аддитивные схемы для моделирования трехмерных уравнений теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №12. С. 21222132.

[57] Сухинов А.И., Васильев В.С. Локально-двумерные схемы для аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности в тороидальных координатах // Изв. вузов. Матем. 1996. Т.3. С. 58-67.

[58] Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977, 735 с.

[59] Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз. 1960, 656 с.

[60] Фрязинов И. В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4. №6. С.1106-1112.

[61] Фрязинов И.В. Экономичные схемы повышенного порядка точности для решения многомерного уравнения параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т.9. №6. С.1316-1326.

[62] Фрязинов И.В. Экономичные схемы для уравнения теплопроводности с краевым условием III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т.12. №3. С.612-626.

[63] Чудновский А.Ф.Теплофизика почв. М.: Наука. 1976. 353 с.

[64] Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве // Сб. трудов АФИ. 1969. №23. С.41-54.

[65] Шхануков М.Х., Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа // Дифференц. ур-ния. 1977. Т.13. №1. С.163-167.

[66] Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т.49. №7. С.1223-1231.

[67] Шхануков-Лафишев М. Х., Лафишева M. M., Нахушева Ф. М., Мамбето-ва А. Б. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью // Владикавк. матем. журн. 2013. Т.15. №4. С.58-64.

[68] Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1967, 196 с.

[69] Alikhanov A.A. Stability and convergence of difference schemes approximating a nonlocal Steklov boundary value problem of the second class // Differ. Equ. 2015. Vol.51(1). pp.95-107.

[70] Alikhanov A.A. Nonlocal boundary value problems in differential and difference settings. Differ. Equ. 2008. Vol.44(7), pp.952-959.

[71] Carleman T. Sur la theorie des equations integrates et ses applications // Verh. Internat. Math. Kongr. 1932. Vol. 1. pp. 138-151.

[72] Canon J.R. The solution of the heat equation subject to the speciation of energy // Quart Appl.Math. 1963. Vol. 21. pp. 155-160.

[73] Douglas J., Rachford H.H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 82. №2. pp.421-439.

[74] Krall A.M. The development of general differential and general differential boundary systems // Rock. Moun. J. Math. 1975. Vol.5. №4. pp.493-542.

[75] Peaceman D.W., R^^ford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations //J. Industr. Math. Soc. 1955. Vol. 3. №1. pp.28-41.

[76] Бештокова З.В., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным источником // Материалы тезисов Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и автоматизации». Терскол. 2016. С.65-67.

[77] Бештокова З.В., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником // Материалы Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики». Нальчик-Терскол. 2017. С.49-50.

[78] Бештокова З.В. Локально-одномерная схема для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником // Известия КБНЦ РАН. 2017. №3(77). С.3-12.

[79] Бештокова З.В., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная разностная схема третьей краевой задачи для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником // Дифференц. ур-ния. 2018. Т.54. № 7. С.891-901.

[80] Бештокова З.В., Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т.58. №9. С.1531-1542.

[81] Бештокова З.В. Локально-одномерная разностная схема для параболического уравнения в многомерной области с нелокальным граничным условием интегрального вида // Тезисы Международной конференции «Алгебра, теория чисел и математическое моделирование динамических систем». Нальчик-Терскол. 2019. С.22-24.

[82] Бештокова З.В. Локально-одномерная схема первой краевой задачи для параболического уравнения в средах, обладающих памятью // Материалы XV Международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». с.Цей, РСО-Алания. 2019. С.157-158.

[83] Бештокова З.В. Экономичные аддитивные разностные схемы решения нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения теплопроводности // Материалы Международной конференции «Устойчивость,

управление, дифференциальные игры», посвященной 95-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского. Екатеринбург. 2019. С.79-83.

[84] Бештокова З.В. Локально-одномерная разностная схема для решения одной нелокальной краевой задачи для параболического уравнения в многомерной области // Дифференц. ур-ния. 2020. Т.56. №3. C.366-379.

[85] Бештокова З.В. Априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках решения третьей краевой задачи для многомерного интегро-дифференциального уравнения // Материалы XX Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения - 2022», Новополоцк, Белоруссия, С.45-47.

[86] Бештокова З.В. Локально-одномерная схема для решения третьей краевой задачи для многомерного нагруженного уравнения конвекции-диффузии // Сборник трудов III Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, информатики и механики», 23-26 июня 2022 года, п. Эльбрус (Кабардино-Балкария), С. 126-128.

[87] Бештокова З.В. Разностные методы решения уравнения конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода // Известия ВУЗов. Северокавказский-регион. Естественные науки. 2022. №2 (213). С.4-14.

[88] Бештокова З.В. Численный метод решения нелокальных краевых задач для многомерного уравнения параболического типа // Вычислительные методы и программирование. 2022. Т.23. №2. С.153-171.

[89] Бештокова З.В. Конечно-разностные методы решения нелокальной краевой задачи для многомерного параболического уравнения с граничными условиями интегрального вида // Дальневост. матем. журн. 2022. Т.22. №1. С.3-27.

[90] Бештокова З.В., Водахова В.А. Сеточный метод решения одной начально-краевой задачи для многомерного уравнения параболического типа общего вида // Математика и математическое моделирование. 2022. №2. С.14-37

[91] Бештокова З.В. К численным методам решения многомерных интегро-диф- ференциальных уравнений // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2023. №3. С.34-52.

[92] Бештокова З.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2019616531 «Программа для реализации алгоритма решения первой и третьей краевых задач для параболических уравнений

в средах, обладающих «памятью» в многомерной области» / автор -З.В. Бештокова; заявитель и правообладатель - Бештокова Зарьяна Владимировна // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (ФИПС). Зарегистрировано 24.05.2019г.

[93] Бештокова З.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2019616532 «Программа для реализации алгоритма решения параболических уравнений в многомерной области с нелокальным граничным условием» / автор - З.В. Бештокова; заявитель и правообладатель - Бештокова Зарьяна Владимировна // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (ФИПС). Зарегистрировано 24.05.2019г.

[94] Бештокова З.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2022618278 «Программа для реализации алгоритма решения многомерного уравнения конвекции-диффузии с граничным условием интегрального вида» / автор - З.В. Бештокова; заявитель и правообладатель - Бештокова Зарьяна Владимировна // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (ФИПС). Зарегистрировано 05.05.2022г.

[95] Бештокова З.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2022618482 «Программа для реализации алгоритма решения третьей краевой задачи для многомерного интегро-дифференциального уравнения параболического типа» / автор - З.В. Бештокова; заявитель и правообладатель - Бештокова Зарьяна Владимировна // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (ФИПС). Зарегистрировано 11.05.2022г.

[96] Бештокова З.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2022619202 «Программа для реализации алгоритма решения третьей краевой задачи для нагруженного многомерного параболического уравнения общего вида» / автор - З.В. Бештокова; заявитель и правообладатель - Бештокова Зарьяна Владимировна // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (ФИПС). Зарегистрировано 19.05.2022г.

Приложение A. Тестовые задачи и численные результаты к

первой главе.

В цилиндре Qt = G х [0, T], основанием которого является прямоугольник G = {x = (xi, x2) : 0 < xa < /а, a = 1, 2} с границей Г, G = Gur, рассмотрим задачу (1.38)-(1.40), где

ki(xi,X2,t) = k2(xi,x2,t) = exi+x2+t,

r1(x1,x2,t) = r2(x1,x2,t) = (x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t), q1l (x1,x2,t) = et cos(x1x2), q2l (x1,x2, t) = et sin(x1x2), q12 (x1,x2,t) = et cos(x1x2), q22 (x1,x2,t) = et sin(x1x2) f (x, t) = 3t2(x1 + x4) — 4t3exi+x2+t (x? + x2 + 3(x2 + x2)) — —4t3eXl+X2+t(x? + x2)(x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t)+ +et cos(x1x2)t3((^)4 + x4) + et sin(x1x2)t3((^2)4 + x4) + +et cos(x1x2)t3(x4 + (Й)4) + et sin(x1x2)t3(x4 + (Й)4), в—1(x2,t) = ex2+t, e+1(x2,t) = ex2+t,

Д—1 = eX2+tt3x4, д+1 = ex2+t t3 (/4 + x2) + 4e/l+X2+tt3/3, в—2(x1,t) = exi+t, e+2(x1,t) = exi+t, 2 = exi+tt3x4, Д+2 = exi+t t3 (x1 + /4) + 4exi+l2+tt3/|, /1 = /2 = 1, T = 1. Точное решение задачи u(x,t) = t3(x1 + x4).

Ниже в таблицах 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальные значения погрешности (z = y — u) и вычислительный (апостериорный) порядок сходимости (ПС) в нормах || • ||L2(whT) и || • ||C(njhT), где ||y||c(whT) = max |y|, когда h = h1 = h2 = л/т. Погрешность уменьшается

в соответствии с порядком аппроксимации O(h2 + (л/т)2).

Вычислительный (апостериорный) порядок сходимости будем определять по двум формулам:

ГГГ, 1 ||z1|^ ||z1|1 rrr, ln 1 1 z211

ПС1 = log hi = log2 , ПС2 =

h2 || Z21| 11Z21| ln h

где z1 и z2— погрешности, соответствующие шагам 0.5h и h.

Таблица 1. Изменение погрешности в норме || • \\ь2{и!Нт) при уменьшении шагов сетки, когда к = Нх = к2 = у/т, ^ := 0.011, £2 := 0.991, £ := 0.091, $ := 0.891.

К Максимальная погрешность ПСх ПС2

1/10 1.889741497е-1

1/20 7.132225576е-2 1.405764659 0.881436195

1/40 1.819491799е-2 1.970816783 1.086132795

1/80 4.575270770е-3 1.991606517 1.229360258

1/160 1.145745194е-3 1.997570891 1.334279430

1/320 2.887668704е-4 1.988309095 1.412870552

Таблица 2. Изменение погрешности в норме || • ||с(ъикт) при уменьшении шагов сетки, когда К = Кх = к2 = у/т, £} := 0.011, £2 := 0.991, $ := 0.091, $ := 0.891.

К Максимальная погрешность ПСх ПС2

1/10 6.062980025е-1

1/20 1.687463828е-1 1.845170491 0.593964420

1/40 4.365136998е-2 1.950757739 0.848908361

1/80 1.100659849е-2 1.987658248 1.029035352

1/160 2.752285548е-3 1.999666622 1.161600335

1/320 6.842953709е-4 2.007939063 1.263300171

Приложение Б. Тестовые задачи и численные результаты ко

второй главе.

В цилиндре QT = G х [0, T], основанием которого является прямоугольник G = {x = (x\, x2) : 0 < xa < la,a = 1, 2} с границей Г, G = Gur, рассмотрим задачу (2.35)-(2.37), где

k1{x1,x2,t) = k2(xhx2,t) = exi+x2+t,

ri(xi,x2,t) = r 2 (x1, x2, t) = (x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t), q1(x1,x2,t) = q2(x1,x2,t) = el cos(x1x2), f (x, t) = 3t2(xf + xj) — 4t3exi+x2+t (xf + x2 + 3(x2 + x2)) — —4t3exi+x2+t(xf + x33)(x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t) + ef cos(x1 x2)t3(xj + xj), e—1(x2,t) = ex2+t, e+1(x2,t) = ex2+t, Y1 = Ъ = 2, V—1 = ex2+tt3x42 + 6t2x42, v+1 = ex2+tt3(li + x42) + 6t2 (lj + x2) + 4ell+x2+tt3l3,

e—2(x1,t) = exi+t, e+2(x1,t) = exi+t, fi—2 = exi+tt3x\ + 6t2xi f42 = exi+tt3(x4 + lj) + 6t2 (xj + lj) + 4exi+l2+tt3l3,

l1 = l2 = 1, T =1. Точное решение задачи u(x,t) = t3(xj + x4).

Ниже в таблицах 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальные значения погрешности (z = y — u) и вычислительный (апостериорный) порядок сходимости (ПС) в нормах || • \\L2(whT) и || • ||c(whT), где \\y\\c(whT) = max |y|, когда h = h1 = h2 = у/т. Погрешность уменьшается

T (xi,tj )eU!hT

в соответствии с порядком аппроксимации O(h2 + (л/т)2).

Вычислительный (апостериорный) порядок сходимости будем определять по двум формулам:

ГГГч 1 ¡Ы1 i ||z1|1 rrr, ln 1 1Z211

ПС1 = logh^^JJ = log2^rjj, ПС2 =

ь2 \1Х2\1 \1Х2\1 1п к

где Zl и z2— погрешности, соответствующие шагам 0.5к и к.

Таблица 1. Изменение погрешности в норме || • Ць2{и!11Т) при уменьшении шагов сетки, когда к = кх = к2 = у/т.

Н Максимальная погрешность ПС1 ПС2

1/10 2.039075781е-1

1/20 7.699533156е-2 1.405072514 0.855887727

1/40 1.951640978е-2 1.980083293 1.067126125

1/80 4.822499838е-3 2.016834585 1.217350621

1/160 1.165480990е-3 2.048855716 1.330914300

1/320 2.773270399е-4 2.071265280 1.419878176

Таблица 2. Изменение погрешности в норме || • Ус(«^т) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Н = Н2 =

Н Максимальная погрешность ПС1 ПС2

1/10 6.544068806е-1

1/20 1.816795820е-1 1.848791625 0.569313451

1/40 4.663047811е-2 1.962051164 0.831011409

1/80 1.158624339е-2 2.008860345 1.017323072

1/160 2.810485992е-3 2.043521347 1.157477176

1/320 6.567021230е-4 2.097508599 1.270435545

Приложение В. Тестовая задача и численные результаты к

третьей главе.

В цилиндре От = О х [0, Т], основанием которого является прямоугольник О = {ж = (х1, ж2) : 0 < < /а, а = 1, 2} с границей Г, О = ОиГ, рассмотрим (3.36)-(3.38), где

^1(Ж1,Ж2,^) = ^(жъЖг,*) = еХ1+Х2+*,

г1(х1, ж2, ¿) = г2(х1, ж2, ¿) = (х1х2 — 0.5) 008(ж1ж2 + £), д1(ж1,ж2,^) = д2(жьж2,£) = et ео8(ж1ж2), /(х, ¿) = 3£2(ж1 + х4) — 4£3еХ1+Ж2+ (ж? + х2 + 3(х2 + х2)) — —4£3бЖ1+Ж2+*(ж3 + ж3)(ж1ж2 — 0.5) ео8(ж1ж2 + ¿) + е* ео8(ж1ж2)^3(ж! + ж2)+

+*3( | + ж2) + Ц+ |)) ,

в—1(Ж2,*) = вХ2+*, в+1(ж2,^) = еХ2+',

1 = еЖ2+¥ж4, д+1 = еХ2+ ¿3 (/4 + ж2) + 4в11+Ж2+¥/3,

в—2(ж1,^) = вХ1+*, в+2(ж1,^) = вХ1+*,

2 = еЖ1+¥ж4, д+2 = еХ1+ ¿3 (ж1 + /4) + 4еЖ1+/2+¥/3,

/1 = /2 = 1, Т =1. Точное решение задачи и(ж,£) = ¿3(ж1 + ж4).

Ниже в таблицах 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальные значения погрешности (г = у — и) и вычислительный (апостериорный) порядок сходимости (ПС) в нормах || • ||ь2(«^т) и || • ||с), где 1|у||с(«^т) = тах |у|, когда Н = Н1 = Н2 = у/т. Погрешность уменьшается

в соответствии с порядком аппроксимации 0(Н2 + (д/т)2).

Вычислительный (апостериорный) порядок сходимости будем определять по двум формулам:

ПС1 = 1о§Й1 ^^ = 1о^2 Т| тт, ПС2 = - , й2 ||^2|| ||^2|| 1п Н

где и г2— погрешности, соответствующие шагам 0.5Н и Н.

Таблица 1. Изменение погрешности в норме || • ||ь2(«^т) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Н1 = Н2 = д/т.

н Максимальная погрешность ПСх ПС2

1/10 1.937173810е-1

1/20 7.247831239е-2 1.418332134 0.876068907

1/40 1.848285684е-2 1.971361596 1.081876402

1/80 4.661655598е-3 1.987273439 1.225091735

1/160 1.171908412е-3 1.991982598 1.329830658

1/320 2.948181780е-4 1.990962437 1.409275202

Таблица 2. Изменение погрешности в норме || • Ус(ъикт) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Нх = Н2 = у/т.

Н Максимальная погрешность ПСх ПС2

1/10 6.221748950е-1

1/20 1.716000725е-1 1.858270020 0.588366552

1/40 4.432205889е-2 1.952953357 0.844774902

1/80 1.120613376е-2 1.983736281 1.024935347

1/160 2.821332056е-3 1.989840240 1.156718244

1/320 7.135288976е-4 1.983332709 1.256047925

Приложение Г. Тестовые задачи и численные результаты к

четвертой главе.

В цилиндре Qt = G х [0, T], основанием которого является прямоугольник G = {x = (xi, x2) : 0 < xa < /а, a = 1, 2} с границей Г, G = Gur, рассмотрим задачу (4.39)-(4.41), где

ki(xi,X2,t) = k2(xi,x2,t) = exi+x2+t,

r1(x1,x2,t) = r2(x1,x2,t) = (x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t),

q1(x1,x2,t) = q2(x1,x2,t) = et cos(x1x2),

K (x1, x2, t, т) = т2 cos(x1 + x2 + t),

f (x, t) = 3t2(x1 + x4) — 4t3exi+x2+t (x? + x2 + 3(x2 + x2)) —

—4t3exi+x2+t(x3 + x3)(x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t) + et cos(x1x2)t3(x1 + x2)+

t6

+ — cos(x1 + x2 + t)(x1 + x4), 6

в—1(x2,t) = ex2+t, e+1(x2,t) = ex2+t,

Д—1 = eX2+tt3x4, д+1 = ex2+t t3 (¿4 + x4) + 4e/l+X2+tt3/3, в—2(x1,t) = exi+t, e+2(x1,t) = exi+t, 2 = exi+tt3x4, Д+2 = exi+t t3 (xf + /4) + 4eXi+l2+tt3/3, /1 = /2 = 1, T = 1. Точное решение задачи u(x,t) = t3(x1 + x4).

Ниже в таблицах 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальные значения погрешности (z = y — u) и вычислительный (апостериорный) порядок сходимости (ПС) в нормах || • ||L2(whT) и || • ||C(whT), где ||y||c(ujhT) = max |y|, когда h = h1 = h2 = у/Т. Погрешность уменьшается

в соответствии с порядком аппроксимации O(h2 + (л/Т)2).

Вычислительный (апостериорный) порядок сходимости будем определять по двум формулам:

ГГГЧ 1 ||z1|^ ||z1|1 rrr, ln 1 1 z211

ПС1 = log hi = log2 , ПС2 =

h

2

| Z21| 11Z21| ln h

где и ¿2- погрешности, соответствующие шагам 0.5Н и Н.

Таблица 1. Изменение погрешности в норме || • ||ь2(«^т) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Н = Н2 = \[т.

н Максимальная погрешность ПСх ПС2

1/10 1.939864820е-1

1/20 7.341311792е-2 1.401846340 0.871791068

1/40 2.034254308е-2 1.851537830 1.055887273

1/80 5.401897242е-3 1.912961944 1.191458994

Таблица 2. Изменение погрешности в норме || • Ус(ткт) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Нх = Н2 = у/т.

Н Максимальная погрешность ПСх ПС2

1/10 6.243777072е-1

1/20 1.741709316е-1 1.841915163 0.583402633

1/40 4.750701753е-2 1.874291321 0.825962973

1/80 1.197826664е-2 1.987721485 1.009729459

Приложение Д. Тестовые задачи и численные результаты к пятой

главе.

Нелокальная краевая задача А.

В цилиндре QT = G х [0, T], основанием которого является прямоугольник G = {x = (x\, x2) : 0 < xa < la,a = 1, 2} с границей Г, G = Gur, рассмотрим задачу (5.1.35)-(5.1.37), где

k1{x1,x2,t) = k2(xhx2,t) = exi+x2+t,

ri(xi,x2,t) = r 2 (x1, x2, t) = (x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t), q1(x1,x2,t) = q2(x1,x2,t) = el cos(x1x2), f (x, t) = 3t2(xi + x4) — 4t3exi+x2+t (xf + x2 + 3(x2 + x2)) —

—4t3exi+x2+t(x\ + x3)(x1x2 — 0.5) cos(x1x2 + t) + ef cos(x1 x2)t3(xj + x2), P1,a (x1,x2,t) = p2,a(x1,x2,t) = x^2 COs(t), ß—1(x2,t) = ex2+t, ß+1(x2,t) = ex2+t,

ß—1 = ex2+tt3x'2 + t3 cos(t) ^l*^ + l2x^j ,

= ex2+tt3(l4 + x42) + 4eli+x2+tt3% + t3 cos^)^l*^ + 12^ , ß-2(xht) = exi+t, ß+2(xut) = exi+t, ß—2 = exi+tt3x\ + t3 cos(t)^ll+ l*^ ,

ß+2 = exi+tt3(x4 + l4) + 4exi+l2+tt313 + t3 cos^)^l22^ + f2.

Точное решение задачи u(x,t) = t3(xj + x4).

Ниже в таблицах 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальные значения погрешности (z = y — u) и вычислительный (апостериорный) порядок сходимости (ПС) в нормах || • \\l2(wKt) и || • ||C(wBhT), где

\\y\\c(whT) = max |y|, когда h = h\ = h2 = л/т. Погрешность уменьшается (xi,tj )ewhT

в соответствии с порядком аппроксимации O(h2 + (л/т)2).

Вычислительный (апостериорный) порядок сходимости будем определять по двум формулам:

ПС = bg h, М = hg2 |М, ПС2 = ЫЫ

hl IIZ2II ^2 IIZ2II' "In h

где z1 и z2— погрешности, соответствующие шагам 0.5h и h.

Таблица 1. Изменение погрешности в норме || • ||ь2(«^т) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Н = Н2 =

Н Максимальная погрешность ПС1 ПС2

1/10 1.926343955е-1

1/20 7.173751557е-2 1.425065637 0.879498298

1/40 1.813581851е-2 1.983885923 1.087014748

1/80 4.501897242е-3 2.010236826 1.233049639

1/160 1.103623607е-3 2.028284904 1.341659728

1/320 2.723368023е-4 2.018784363 1.423026045

Таблица 2. Изменение погрешности в норме || • ||с(г<^т) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Н1 = Н2 =

Н Максимальная погрешность ПС1 ПС2

1/10 6.193118147е-1

1/20 1.699309549е-1 1.865717288 0.591629327

1/40 4.347693568е-2 1.966626514 0.849993808

1/80 1.078266645е-2 2.011536273 1.033726120

1/160 2.608528786е-3 2.047405728 1.172170474

1/320 6.061691589е-4 2.105443997 1.284316784

Нелокальная краевая задача Б.

Рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу (5.2.39)-(5.2.42),

где

к!(Ж1,Ж2,£) = к2(Ж1,Ж2,£) = еХ1+Х2+*, г1(х1, ж2, £) = г2(х1, ж2, £) = (ж1ж2 — 0.5) 008(ж1ж2 + £), д1(ж1,ж2,^) = д2(жьж2,£) = et ео8(ж1ж2), /(х, ¿) = 3£2(ж1 + ж4) — 4£3еХ1+Ж2+ (ж? + х2 + 3(х2 + ж2)) — —4£3бЖ1+Ж2+*(ж3 + ж3)(ж1ж2 — 0.5) ео8(ж1ж2 + ¿) + е* еов(ж1 ж2)£3(ж4 + ж|),

р1(т, = р2(т, ¿) = т2 соб(£),

в— 1(ж2,*) = вХ2+*, в+1(ж2,^) = е/1+Ж2+', М—1 = (14 + ж4) (е/1+Х2+¥ + ^ еов(*)) ,

М+1 = вЖ2+¥(/4 + ж4) + 4еХ2+ ¿3/3 + - еов(^)ж4,

6

e-2(xi,t) = exi+t, e+2(xi,t) = exi+l2+t, M-2 = (x4 + /4) (exi+l2+tt3 + ^ cos(t)) ,

6

t6

M+2 = exi+tt3(x4 + /4) + 4exi+l2+tt3/3 + - cos(i)x|.

6

3 4 4

Точное решение задачи u(x,t) = t3(x4 + X2).

Ниже в таблицах 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальные значения погрешности (z = y — u) и вычислительный (апостериорный) порядок сходимости (ПС) в нормах || • ||L2(«,hT) и || • ||C(whT), где ||y||c(whT) = max |y|, когда h = h4 = h2 = у/т. Погрешность уменьшается

в соответствии с порядком аппроксимации O(h2 + (д/т)2).

Вычислительный (апостериорный) порядок сходимости будем определять по двум формулам:

ГГГЧ 1 ||zlh i ||z1|1 rrr, ln 1 1 z211

ПС1 = log hi = log2 , ПС2 =

Ч 11 z21| 11 ^21| 1п Н

где z1 и z2— погрешности, соответствующие шагам 0.5Н и Н.

Таблица 1. Изменение погрешности в норме || • ||ь2(и^т) при уменьшении шагов сетки, когда Н = Н1 = Н2 = д/т.

Н Максимальная погрешность ПС1 ПС2

1/10 1.887086972е-1

1/20 7.066058387е-2 1.417183340 0.884547460

1/40 2.174946956е-2 1.699925454 1.037758473

1/80 5.626356312е-3 1.950707391 1.182168359

Таблица 2. Изменение погрешности в норме || • Ус() при уменьшении шагов сетки, когда Н = Н = Н2 =

Н Максимальная погрешность ПС1 ПС2

1/10 6.110058820е-1

1/20 1.638349790е-1 1.898942861 0.603824179

1/40 3.728710571е-2 2.135494685 0.891627862

1/80 9.263696297е-3 2.009016955 1.068376012