Конструктивные методы анализа множеств управляемости и достижимости динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Семенов, Юрий Матвеевич

• Семенов, Юрий Матвеевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Семенов, Юрий Матвеевич

Введение.

1. Общие сведения о теме диссертации.

2. Обзор теории управляемости и достижимости линейных систем с постоянными коэффициентами.

3. Обзор теории эволюции множеств управляемости и достижимости линейных систем с постоянными коэффициентами.

4. Обзор содержания диссертации.

Глава 1. Основания конструктивной теории управляемости и достижимости.

1. Банаховы пространства. Модули. . ? ~

2. Выпуклые множества.*.

3. Выпуклые пары.

4. Пространства управлений.

5. Системы класса (£

6. Множества достижимости систем класса

7. Типы точек управляемости и достижимости.

8. Задачи теории управляемости и достижимости.

Глава 2. Основы конструктивной теории достижимости систем класса <£?

1. Системы 1-го порядка.

2. Системы класса (Ц{п.

3. Линейные остовы систем класса

4. Конические остовы систем класса <£д.

5. Множество К0(С).

Глава 3. Линейные системы класса <£'.

1. Простые К -системы.

2. Простые С-системы.

3. Простые С-системы типа 1.

4. Простые С-системы типа 2.

5. Операции свертки и спаривания экспонент.

6. Формулы сложения.

7. Морфизмы систем класса (£'.

8. Индикаторный функтор.

Глава 4. Теория совершенных морфизмов.

1. Совершенные морфизмы.

2. Строение множества К${С).

3. Критерий совпадения множеств К0(С) и АР (С).

4. Множество почти мгновенной полной управляемости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конструктивные методы анализа множеств управляемости и достижимости динамических систем»

1. Общие сведения о содержании диссертации

Актуальность темы исследования. Теория управления содержит ряд тесно связанных направлений исследования динамических управляемых систем: теорию оптимизации, теорию динамического программирования, теорию управления движением, теорию автоматического управления, теорию стабилизации управляемых систем, теорию управления стохастическими системами, теорию наблюдателей в условиях определенности и неопределенности, теорию управления системами с распределенными параметрами, игровые задачи и т. д., а также численные методы их решения. Математическая теория управления используется при анализе всевозможных прикладных задач.

В математическую и прикладную теорию управления выдающийся и разносторонний вклад внесли отечественные математики академики РАН Р. В. Гамкрелидзе, С. В. Емельянов, В. А. Ильин, С. К. Коровин, Н. Н. Красовский, А. Б. Куржанский, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Ю. С. Осипов, Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, Ф. Л. Черноусько, чл.-кор. РАН С. М. Асеев, В. И. Зубов, Ю. Н. Павловский, а также Е. Р. Аваков, А. А. Аграчев, В. В. Александров, В. М. Алексеев, Ю. Н. Андреев, А. В. Арутюнов, А. П. Афанасьев, В. И. Благодатских, В. Г. Болтянский, А. Г. Бутковский, Ф. П. Васильев, Р. Ф. Габасов, Н. Л. Григоренко, А. В. Дмитрук, А. Я. Дубовицкий, В. И. Елкин, М. И. Зеликин, А. В. Ильин, Ф. М. Кириллова, М. М. Коган, В. И. Коробов, А. П. Крищенко, И. А. Крылов, Л. А. Кун, А. М. Летов, А. В. Лотов, А. А. Милютин, М. С. Никольский, Н. Н. Петров, Е. С. Половинкин, Б. Н. Пшеничный, Н. X. Розов, А. И. Субботин, В. И. Сумин, М. И. Сумин, В. М. Тихомиров, Е. Л. Тонков, Р. П. Федоренко, А. А. Фельдбаум, А. Ф. Филиппов, В. В. Фомичев, А. М. Формальский и другие.

С самого начала развития теории управления много внимания уделялось исследованию линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами. Линейные управляемые системы с постоянными коэффициентами обычно задаются системами линейных дифференциальных уравнений вида в которых А е Мпхп и В е Мтхп — постоянные матрицы. Класс линейных управляемых систем с постоянными кэффициентами единствен, для которого почти все вопросы теории управления поддаются общему анализу, в частности те, которые относятся к теории управляемости и достижимости (теории УД).

Множество всех точек пространства которые можно перевести в точку 0 за время > О называется множеством О-управляемости системы (1) за время Ь > 0 и обозначается £(£). Множество всех точек пространства в которые можно перевести точку 0 за время £ > 0 называется множеством О-достижимости системы (1) за время £ > 0 и обозначается К{Ь). Обычно они представляются интегралами от многозначных отображений

Исторически сформировался ряд общих задач теории УД динамических управляемых систем. Выделим из них следующие:

1. Задача мгновенной О-управляемости. При каких условиях множество S(t) = Mn V t > 0 ?

2. Задача полной управляемости. При каких условиях существует конечный момент времени Т > 0, для которого множество S{t) = = Rn V t > Г? Если система (1) вполне управляема, то как вычислить нижнюю грань (момент полной управляемости) tcc моментов времени t, для которых S(t) = Мп? х = Ах + Ви, х € MTi, и Е: U С R т

1)

3. Задача глобальной О-управляемости. При каких условиях множество Soo : = U { S(t) : t > 0} = Rn ?

4. Задача локальной мгновенной О-управляемости. При каких условиях множества S(t) содержат окрестность точки 0 V t > 0 ?

5. Задача локальной О-управляемости. При каких условиях су-ui,ecmeyem такой момент времени t' £ (0, +оо), что множества S(t) содержат окрестность точки 0 V t > t' ? Если система (1) локально 0-управляема, то как вычислить момент локальной О-управляемости tic (нижнюю грань моментов времени t, для которых S(t) содерэюит, окрестность точки 0)?

Выделим наиболее значительные работы, в которых рассматривались эти задачи. В 1958 году Р. В. Гамкрелидзс [С2] доказал критерий управляемости в важном случае систем вида (1), когда х = Ах + bu, х Gl", be Kn. (3)

В 1959 году критерий управляемости систем вида (1) дал JL С. Понт-рягин [СЗ]. В 1961 году R. Е. Kaiman [D2] доказал критерий полной управляемости системы (1) с U = Мт, привел ему много приложений и положил его в основу теорий управляемости и наблюдаемости, после чего этот критерий получил название критерия Калмана. В. F. Brammer [Z)5] в 1972 году дал полное решение задачи локальной О-управляемости систем вида (1) и доказал критерий полной управляемости систем вида (1) с коническими множествами ограничений управлений. В 1978 году Семенов Ю. М. [ЕЦ получил наиболее полное решение задачи глобальной О-управляемости, вошедшее в кандидатскую диссертацию автора. Решение задачи мгновенной О-управляемости в общем случае было дано R. М. Bianchini в 1982 [D9]. В 1990 году Ю. М. Семенов [Е9] доказал теорему, в которой описал предел множеств управляемости при t —> 0 + 0, следствиями которой явились и критерий Калмана, и теорема R. М. Bianchini.

Казалось бы, что в теории управляемости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами больше не осталось задач достойных внимания. Однако, среди перечисленных выше задач для систем вида (1), оставалась нерешенной в общем случае задача полной управляемости, важная как оказалось не только с теоретической точки зрения. Осталась совершенно неисследованной задача вычисления момента локальной О-управляемости t¡c и момента полной управляемости tcc для систем вида (1). Нам известна лишь одна публикация, в которой была сделана попытка вычисления момента tic. В 1971 году S. Н. Saperstone и J. A. Yorke [DQ] высказали предположение о моменте t¡c для локально управляемого двойного гармонического осциллятора с разными частотами Ф с уравнением вида (3) с и Е [0,1], как функции от значений но оно оказалось неверным. В их статье ошибочно утверждалось, что для такой управляемой системы момент 7Г с ~ тЦшьЫг}'

Следует также отметить, что теория УД систем вида (1) до сих пор состояла из мало связанных между собой фрагментов и не имела определенную форму, в которой доказательства всех теорем имеют четко выделенные общие основания. Создание общей теории УД систем вида (1) актуально и потому, что позволяет пролить свет и на аналогичные проблемы для других классов управляемых систем и возможно даст какие-то новые идеи для их решения.

Создание методов вычисления момента локальной О-управляемости tic актуально в теории стабилизации управляемых динамических систем вида (1) в том особом и малоисследованном случае, когда управление О системы находится на границе множества U. Поясним в начале на примере связь между задачей вычисления момента локальной О-управляемости tic системы (1) и задачей ее стабилизации.

Пример. Система ие и = [о, 1].

4) х2 = — х1 + и, описывает поведение простого управляемого гармонического осциллятора с периодом свободных колебаний 27т, когда управление 0 находится на границе множества U. Можно показать, что момент локальной 0-управляемости системы (4) tic = тг. На рис. 1 показана обратная связь и : R2 —> [0,1], постоянная на квадрантах плоскости, стабилизирующая систему (4) в замкнутом круге О(е) радиуса е > 0 с центром в точке 0.

Отметим, что какими бы малыми пи были е > 0 и г) > 0, состояние хо — (—(г + 77), 0) при указанной обратной связи переходит в область стабилизации 0(е) за время > 37г/2. Отметим, что при любом выборе обратной связи и(х) 6 [0,1] на фазовой плоскости системы (4) существуют точки, отстоящие от точки 0 на расстоянии € (е, е + 77), которые не попадают в круг 0(е) за время < 7г, как бы мало ни было 77 > 0. х 2 х i

Рис. 1.

Задача стабилизации систем вида (1) в случае, когда управление О находится на границе множества U, насколько нам известно, не так уж часто обсуждалась в литературе; дадим общее введение в нее. Пусть обратная связь и(х) Е U стабилизирует управляемую систему (1) в замкнутой окрестности V точки 0. Это означает, что для системы i = Ах + Ви{х), X <= Шп, и{х) Е и СГ (5) множество V является областью притяжения для всех точек х Е Мп. Если x(t) — решение системы (5) при условии х(0) = х Е М™, то через T(x,V) обозначается нижняя грань моментов времени t Е [0, +оо), для которых x(t) Е V. Если открытое множество О d V, то положим,

Т( О, V) := sup {Г(ж, V): ig О}, T(V) := inf{T(0, V) : О d V}.

Если О э V, то для любого е > 0 в О существует точка, которая попадает в V за время, большее Т(0, V) — е. В любой окрестности О d V существует точка х, для которой Т(х, V) > T(V) — е. Момент T(V) называется временем задержки стабилизации системы (5).^Определим момент ¿/C(V), как нижнюю грань моментов времени t 6 [0, +оо), для которых множества О-управляемости S(t) Э V. Если Vi с V2, то tic(V 1) < tic(V2). Момент T(V) является важной характеристикой системы (5) с обратной связью и{х) £ U, а момент ¿¿C(V) важной характеристикой управляемой системы (1). Ясно, что для любой обратной связи и(х) Е U имеет место неравенство í¿c(V) < T(V). Момент локальной О-управляемоста t¡c системы (1) совпадает с нижней гранью моментов ¿zc(V), взятых по всевозможным замкнутым окрестностям V точки 0. Константа tic позволяет оценить снизу, как момент tic(V) системы (1), так и момент T(V) системы (5), независимо от выбора обратной связи и(х) Е U. Отсюда и возникает задача поиска конструктивных методов вычисления момента t¡c локальной О-управляемости управляемой системы (1), как способа оценки снизу времени Т(V) задержки стабилизации динамической системы (5).

Цель работы состоит в построении теории эволюции множеств УД линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами и разработке на ее основе конструктивных методов анализа множеств УД динамических систем.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории управления, линейной алгебры, выпуклого анализа и конечномерной геометрии. Существенное значение для теории имеет классификация линейных операторов на конечномерных пространствах. Термины теории категорий и функторов применяются как наиболее подходящие при обосновании и использовании метода приведения задач управляемости и достижимости к решению аналогичных для редуцированных управляемых систем.

Научная новизна. Все перечисленные выше задачи для множеств управляемости и их аналоги для множеств достижимости являются специализациями общей проблемы описания эволюции множеств УД систем ' вида (1) при изменении параметра £ в интервале (0, +оо). В основу теории эволюции множеств УД линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами (класса (£) положено новое, геометрическое в своей основе, исследование множеств достижимости систем класса заданных интегралами от многозначных отображений вида обобщающих класс интегралов вида (2). Предполагается, что А(Ь) и Z{t) — линейные операторы на пространстве V, где параметр Ь £ [0,+оо), Л — выпуклое подмножество V. Множества управляемости для систем класса С5 не определяются. На основе построенной в диссертации теории эволюции интегралов вида (6) по параметру £ в интервале (0, +оо) разработаны новые методы конструктивного анализа множеств УД си

6) стем класса (С. Построенная в диссертации теория эволюции множеств УД линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами дает достаточно ясное и новое представление об эволюции их множеств УД. В рамках теории эволюции множеств УД получают новое освещение все известные результаты теории УД линейных систем. Построенная теория эволюции множеств УД систем класса € позволяет дать новые решения всех задач теории УД в классе С; в частности, решить проблему полной достижимости в общем случае. На основе теории эволюции множеств УД систем класса £ разработаны новые конструктивные методы решения задачи вычисления моментов скачков функции размерности наибольшего линейного подпространства, лежащего в 5'(С, ¿) (£ 6 (0, +оо)); в частности, предлагаются три новых метода вычисления момента локальной О-управляемости линейных систем: графический, численный и аналитический. Эти методы использованы для вычисления моментов локальной О-управляемости ряда конкретных систем класса С, неизвестные раннее.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказан ряд новых теорем геометрической теории эволюции множеств достижимости систем класса на базе которых построена общая теории эволюции множеств УД линейных управляемых систем, необязательно автономных. Эти теоремы положены в основу конструктивной теории эволюции множеств УД для систем класса €.

2. В рамках разработанной теории эволюции множеств УД систем класса С предложены решения основных проблем теории УД систем класса С. Из них особо выделяется решение в общем случае задачи полной управляемости, когда множество II свободно от каких-либо ограничений. Показано, что тогда описание эволюции множеств УД систем класса С сводится к последовательному изучению эволюции конусов УД конечного ряда систем с понижающимися порядками, с коническими ограничениями управлений.

3. На основе теории эволюции множеств УД систем класса С разработаны конструктивные методы анализа (графический, численный и аналитический) множеств УД управляемых систем класса С. В том числе, для вполне управляемых линейных систем класса (£ с коническими ограничениями управлений, — конструктивные методы вычисления момента полной управляемости £сс, описания пространства линейной стабилизации, поиска конуса опорных векторов к множеству управляемости S(C, tcc) в момент полной управляемости; следствиями которых являются, в частности, конструктивные методы вычисления момента tic локальной О-управляемости для локально О-управляемых систем класса С.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации имеют как теоретическое, так и практическое значение. Построенная теория эволюции множеств УД позволяет взглянуть на все известные факты теории УД систем класса (£ с общей точки зрения. Положенное в основу теории исследование интегралов вида-. (6) позволяет распространить теорию эволюции множеств УД на класс линейных управляемых систем (необязательно автономных) с монотонными по включению семействами множеств УД. Разработанные конструктивные методы анализа множеств УД дают подход к вычислению моментов скачков множеств УД, нахождению опорных конусов к множествам УД в моменты локальной О-управляемости и позволяют находить моменты локальной О-управляемости t¿c систем класса

Аппробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части были доложены на следующих семинарах и конференциях: на Всесоюзной конференции "Динамическое управление" (Свердловск, 1979); на Всесоюзной школе "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1988, 1990); на Международном Советско-Польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989); на Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990); на "Понтрягинских чтениях" (Воронеж 1996, 1997, 1998, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009); на "Воронежской зимней математическая школе" (Воронеж, 2005); неоднократно выступал на Всероссийском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" под руководством академиков Емельянова С. В. и Коровина С. К., начиная с 2005; на семинаре кафедры системного анализа ВМиК МГУ под руководством академика Куржанского А. В.; на 15-й и 17-й Международной конференции 11 Математика. Образование" (Чебоксары 2007 и 2009); на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2007); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва 2008); на 8-ой Всероссийской научно-технической конференции 11 Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем" (Чебоксары 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 52 научных работ, из них 12 относятся к публикациям перечня ВАК (Успехи математических наук, Математические заметки, Математический сборник, Дифференциальные уравнения). В основные публикации включено 12 работ, из них 10 относятся к публикациям перечня ВАК (Математический сборник, Дифференциальные уравнения), одна монография и одна работа из сборника трудов ИСА под редакцией академиков РАН С. В. Емельянова и С. К. Коровина.

Основные публикации автора по теме диссертации.

1. Семенов Ю.М. Об управляемости линейных систем с постоянными коэффициентами// Мат. сб. - 1978. - Т.105(147), № 2. - С. 164 - 179.

2. Семенов Ю.М. О задаче нуль-достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами// Дифференц. уравнения. — 1982. - Т. 18, № 1. - С. 1869 - 1878.

3. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-достижимости// Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26, №6. — С. 989 - 997.

4. Семенов Ю.М. Об остовах линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41, № 8. - С. 1145 - 1146.

5. Семенов Ю.М. Введение в теорию достижимости линейных систем. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2006. — 252 с.

6. Семенов Ю.М. О множествах достижимости линейных систем // Дифференц. уравнения. — 2006. - Т. 42, № 8. — С. 1146 - 1148.

7. Семенов Ю.М. К теории достижимости линейных систем // Дифференц. уравнения. — 2007. - Т. 43, № 4. — С.465 - 474.

8. Семенов Ю.М. О моменте полной стабилизации управляемых систем // Дифференц. уравнения. - 2008. — Т. 44, № 2. — С. 147 - 148.

9. Семенов Ю.М. О моменте полной стабилизации линейных систем // Дифференц. уравнения. — 2008. - Т. 44, № 11. - С. 1556 - 1565. .

10. Семенов Ю.М., Семячкова М.С., Степанова Н.Д. О строении остовов сверхполупростых С-систем // Труды института Системного Анализа РАН: — Нелинейная динамика и управление — Вып. 6. Сборник статей под редакцией академиков С. В. Емельянова и С. К. Коровина. — Москва: Физматлит, 2008. — С. 183 - 194.

11. Семенов Ю.М. О геометрии переходных процессов в управляемых системах.// Дифференц. уравнения. — 2009. — Т. 45, № 2. — С. 285 - 287.

12. Семенов Ю.М. Об оценке длительности стабилизации линейных систем с постоянными коэффициентами// Дифференц. уравнения. — 2010. - Т. 46, № 2. - С. 298 - 300.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, трех дополнений, списка литературы из 112 наименований. В работе имеется 12 рисунков.