Об асимптотических свойствах множеств достижимости нелинейных систем в задачах управления с интегральными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Осипов Иван Олегович

• Осипов Иван Олегович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Осипов Иван Олегович

с малым параметром

1.3.1 Рекуррентная процедура

1.3.2 Некоторые частные случаи

2 Асимптотика множеств достижимости на малом интервале времени и синтез управлений

2.1 Асимптотика множеств достижимости нелинейных систем с интегральными ограничениями

2.1.1 Расстояние Банаха-Мазура и асимптотическая эквивалентность множеств

2.1.2 Достаточное условие асимптотической эквивалентности множеств достижимости нелинейной и линеаризованной систем

2.1.3 Выпуклость двумерных проекций множеств достижимости уницикла

на малых промежутках времени

2.2 Условие применимости метода линеаризации в задаче локального синтеза

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Асимптотическая эквивалентность множеств достижимости

2.2.3 Задача синтеза управления. Асимптотика траекторий

2.2.4 Оценка погрешностей в значениях функционала

2.2.5 Примеры

3 Выпуклость множеств достижимости квазилинейных систем с интегральными ограничениями на управление

3.1 Постановка задачи и предварительные замечания

3.2 Нелинейное отображение с малым параметром

3.3 Некоторые свойства решений квазилинейных систем

3.4 Примеры

Заключение

Список литературы

Цитированные публикации

Публикации автора по теме диссертации

Приложение A. Численный метод построения множеств достижимости

при интегрально-квадратичных ограничениях на управление

А.1 Простые примеры

А.2 Влияние выбора коэффициентов

А.3 Особенность линейных управлений

А.4 Другие примеры

Приложение B. Свидетельство о государственной регистрации программ

для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об асимптотических свойствах множеств достижимости нелинейных систем в задачах управления с интегральными ограничениями»

Введение

Диссертация посвящена исследованию множеств достижимости нелинейных управляемых систем, содержащих малый параметр, при интегральных квадратичных ограничениях на управление. Основное внимание уделяется изучению связи множеств достижимости нелинейных систем с множествами достижимости линеаризованных систем. Большая часть представленных результатов получена для систем на малом интервале времени, однако часть работы относится к системам с малым ограничением на управление или малой нелинейностью в правой части.

Актуальность темы исследования и степень её разработанности.

Исследование множеств достижимости (МД) является одной из фундаментальных задач математической теории управления. МД, описывающие все возможные состояния, которые может достичь управляемая динамическая система при допустимых воздействиях из заданного начального состояния, служат ключевым инструментом для решения широкого круга задач в математической теории управления.

В первую очередь, МД лежат в основе анализа и синтеза управляющих воздействий. В 1960-1970-х годах, в исследованиях Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гам-крелидзе, Н. Н. Красовского, А. И. Субботина, А. Б. Куржанского и других авторов [8, 11, 24, 25, 27, 38, 39] были заложены основы современного подхода к анализу и синтезу управляющих воздействий на основе свойств множеств достижимости. Существует тесная связь между МД и основными методами решения задач оптимального управления — принципом максимума Понтрягина (ПМП) и методом динамического программирования (ДП). Принцип максимума Понтрягина даёт необходимые условия, которым обязаны удовлетворять траектории, лежащие на границе множества достижимости. Сопряжённая система ПМП и условие максимума гамильтониана определяют направление движения вдоль этой границы, а условие трансверсальности связывает конечное состояние с нормалью к множеству достижимости [38,80]. Метод динамического программирования опирается на исследование свойств функции цены, определяющей наилучшее значение функционала, достижимое из каждой точки пространства состояния. Множества уровня этой функции описывают множество достижимости, и их эволюция подчиняется уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана [7,13,27,8 , 87, 99].

Кроме того, МД играют важную роль в анализе управляемости: вопрос о том, достижимо ли заданное состояние при существующих ограничениях на управление и начальное состояние, сводится к проверке принадлежности этого состояния множеству достижимости [27,78].

В задачах верификации, безопасного управления и при анализе внешних возмущений, МД используются для оценки состояний, в которые система может попасть под воздействием внешних возмущений и для проверки недостижимости нежелательных областей [59,85].

В задачах гарантированного оценивания и наблюдения используются аналоги МД — информационные множества. Эти множества содержат все возможные состояния, в которых может находиться система, подверженная влиянию неизвестных, но ограниченных

возмущений, а состояние недоступно для полных и точных измерений [5,27,78,90,97].

В зависимости от характера ограничений на управление принято различать два класса задач: с геометрическими (мгновенными) ограничениями, когда допустимое управление в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному компакту в пространстве управлений, и с интегральными ограничениями (см., например, работы А. Б. Куржанского, Б. Т. Поляка, Х. Г. Гусейнова, В. Н. Ушакова, М. И. Гусева, Е. К. Костоусовой, В. С. Пац-ко [22,33,63- , '2, 78, 93]), при которых ограничиваются не значения управления в отдельные моменты времени, а интеграл от некоторой функции управления. Эти два типа задач приводят к существенно различным по структуре множествам достижимости и требуют различных аналитических методов.

В диссертации рассматривается частный, но важный случай интегральных ограничений — интегральные квадратичные ограничения на управление. В этом случае ограничена Ь2-норма управления. Такие ограничения можно трактовать как ограничения на энергию или ресурс, которые можно потратить на управление.

Другой особенностью задач, рассматриваемых в диссертации, является наличие малого параметра. В теории дифференциальных уравнений задачи с малым параметром возникают при исследовании систем с быстрыми и медленными подпроцессами, в задачах с высокой степенью усиления, при учёте малых возмущений или нелинейностей, и представляют значительный теоретический и прикладной интерес. Принято выделять два класса таких задач: с регулярными и сингулярными возмущениями [42,43].

Регулярные возмущения характеризуются тем, что решение невозмущённой задачи (при значении параметра е = 0) является хорошим приближением к решению возмущённой задачи (при малом е > 0) во всей области определения. В этом случае решение можно представить в виде ряда по степеням малого параметра, и этот ряд равномерно сходится при е ^ 0.

В противоположность регулярным, сингулярные возмущения характеризуются тем, что решение невозмущённой задачи (вырожденной) не удовлетворяет всем условиям возмущённой задачи. При сингулярных возмущениях в решениях наблюдается явление пограничного слоя — области, где решение быстро изменяется вблизи точек, где заданы дополнительные условия, исчезающие при вырождении.

В теории управления также изучаются задачи с динамическими системами, содержащими малый параметр. Вслед за теорией обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром принято различать два основных класса таких задач: регулярные и сингулярные.

Под сингулярно возмущёнными системами управления обычно понимают системы, в которых малый параметр при старших производных (или другие параметры) приводит к вырождению порядка уравнений при е ^ 0. В таких задачах редуцированная система обладает алгебраическим ограничением, требующим дополнительных условий («быстрые» и «медленные» переменные). В задачах оптимального управления сингулярность проявляется, например, когда весовой коэффициент при энергозатратах содержит е или при различии масштабов управляющих сигналов. Обзору основных результатов, полученных

5

при исследовании сингулярно возмущённых задач управления, посвящена работа [14]. Перечислим здесь некоторые из них. В работах Ф. Л. Черноусько [49,50] впервые была получена аппроксимация для задач с ограничениями на управление. Исследование [76] посвящено вопросам управляемости сингулярных линейных задач оптимального управления. В публикациях [17,18] было показано, что в задачах с гладкими геометрическими ограничениями на управление асимптотическое разложение решений может иметь очень сложную структуру. Исследование сингулярных возмущений в дифференциальных включениях и множествах достижимости представляет собой отдельную задачу, которой посвящены работы [28,61,101].

Под регулярными задачами (или задачами регулярной структуры) понимаются случаи, когда при е ^ 0 система не вырождается и редуцированная модель не накладывает алгебраических ограничений. То есть, малый параметр появляется только в качестве гладкого возмущения. В этом случае возможно применение методов обычного анализа, таких как разложения в ряды, критерии оптимальности без специальных условий [47]. М.С. Никольский [31] ввёл понятие «очень регулярной задачи оптимального управления», характеризуя оптимизацию со «скользящим» малым параметром, при которой решения зависят гладко от е. В таких задачах обычно выполняется принцип максимума Понтрягина без «сингулярных» участков, и анализ может вестись стандартными методами вариационного исчисления. К регулярным можно отнести, в частности, линейно-квадратичные задачи (LQR) при наличии малых возмущений или неопределённостей, депараметризованные задачи сингулярных регуляторов, оптимальные задачи с «плохой» и «хорошей» матрицами (без переключений) и др. Изучению некоторых асимптотических свойств множеств достижимости посвящена работа [48]. Такие задачи проще для численного анализа: для них сходимость стандартных схем сохраняется при малых е.

К регулярным задачам можно отнести работы Б. Т. Поляка, посвящённые исследованию выпуклости множеств достижимости нелинейных систем при малом ресурсе управления. Отметим, что эти исследования основаны на работе [92], где были получены условия выпуклости гильбертова шара при его нелинейном отображении. Этот результат был расширен на случай банаховых пространств в работе [30]. Выпуклость множеств достижимости для обыкновенных дифференциальных уравнений изучалась в работе [40], где представлен критерий и достаточное условие выпуклости МД из шара начальных условий.

Свойство выпуклости МД имеет исключительное значение в теории управления. Выпуклость позволяет применять развитый аппарат выпуклого анализа, включая теоремы разделения, двойственности и субдифференциального исчисления. Выпуклое МД существенно упрощает решение целого ряда задач:

1. Задачи минимизации выпуклых функционалов (время, энергия и т.д.) на выпуклом МД гарантированно имеют единственное решение в регулярном случае, а методы выпуклой оптимизации (градиентные спуски, методы внутренней точки) могут быть эффективно использованы.

2. Задачи управляемости и достижимости. Проверка принадлежности целевого состояния выпуклому МД сводится к задаче выпуклого программирования, которая алгоритмически проще, чем аналогичная задача для невыпуклых множеств.

3. Задачи синтеза управления. Выпуклость МД часто позволяет строить управление в виде линейной обратной связи по состоянию или использовать принцип декомпозиции.

4. Оценка и аппроксимация. Выпуклое МД легче аппроксимировать (эллипсоидами, полиэдрами) с гарантированными оценками точности. Это критически важно для приложений реального времени (навигация, робототехника, беспилотные системы), где требуется быстрый онлайн-расчет допустимых траекторий или зон безопасности. Верификация безопасности становится значительно проще, когда множество достижимости выпукло — если внешняя аппроксимация выпуклого множества достижимости не пересекается с небезопасным множеством, можно доказать, что оно не может быть достигнуто ни одной траекторией. Полиэдральная аппроксимация выпуклых множеств достижимости может быть выполнена с произвольной точностью, что значительно упрощает численный анализ.

Важным направлением исследований является изучение структуры множеств достижимости на малых временных промежутках. Детальное исследование геометрической структуры таких множеств для систем с одним управлением в малых размерностях было проведено в работе [77]. Затем, в работе [98], была исследована связь между множествами достижимости на малых временах и задачами оптимального по времени управления с обратной связью.

Непосредственно изучению выпуклости МД на малом интервале времени посвящена первая глава диссертации, а исследования во второй главе основаны на полученном в первой главе условии выпуклости. На основе условий выпуклости МД, полученных в первой главе диссертации, во второй главе подробнее изучается связь МД нелинейных и линеаризованных систем, а также использование этой связи для решения задачи синтеза.

В теории управления хорошо развиты методы, разработанные для линейных систем. В ряде задач оптимального управления для линейных систем удаётся получать аналитические решения. В случае же нелинейных систем, аналитическое решение является скорее исключением, чем правилом. Поэтому в задачах управления нелинейными системами часто применяются решения, найденные в линеаризованной постановке. Иногда такой подход может быть строго обоснован. Например, согласно теореме об устойчивости по первому приближению (см., например, [6]), из асимптотической устойчивости линеаризованной в окрестности положения равновесия системы следует устойчивость (локальная) исходной нелинейной системы. При решении задачи стабилизации это позволяет приближенно заменять нелинейную систему её линеаризацией в окрестности положения равновесия. И если линеаризованная система окажется вполне управляемой (стабилизируемой), то линейная обратная связь, стабилизирующая эту систему, будет локально (в некоторой окрестности

положения равновесия) стабилизировать и нелинейную систему [4,23,37,75]. Однако зачастую метод линеаризации применяется без должного обоснования, так как соответствующие условия либо сложны для проверки, либо вообще отсутствуют.

Проведённый выше анализ литературы обосновывает актуальность тематики диссертации, призванной продолжить исследования выпуклости множеств достижимости нелинейных систем с малым параметром и интегральными ограничениями на управление. В первых двух главах диссертации рассматриваются нелинейные системы, аффинные по управлению, в которых малый параметр задаёт ограничения на управление или интервал времени, а в третьей главе малый параметр входит в правую часть. Для таких систем, с малой нелинейностью в правой части, отсутствовали доказанные условия выпуклости множеств достижимости при интегральных ограничениях на управление.

Системы с малой нелинейностью в правой части, которым посвящена третья глава, обычно называют квазилинейными. Изучение таких систем в теории управления началось ещё в 1960-х годах [20,24,41]. Э. Г. Альбрехт исследовал несколько задач для квазилинейных систем, в том числе задачу оптимального управления движением [2] и игровую задачу о встрече движений [3] при интегральных квадратичных ограничениях на управление. Задачи управления квазилинейными системами также рассматриваются в следующих работах [10,19,26,57]. Исследование А. Г. Кремлева [26] посвящено управлению системами с неопределёнными начальными условиями, где делается акцент на построении оптимальных стратегий управления, причём управление также подчинено интегральным квадратичным ограничениям, как и в настоящей диссертации. В работе [19] предложен новый метод минимизации интегральных квадратичных функционалов на траекториях квазилинейных систем, а в статье Р. Ф. Габасова и соавторов [10] подробно рассматриваются вопросы оптимизации и устойчивости таких систем в прикладных задачах. В современных приложениях теории управления квазилинейные системы возникают при использовании линеаризации обратной связью и стохастической линеаризации [55,62].

Цель и задачи исследования. Изучение поведения множеств достижимости нелинейных систем, содержащих малый параметр, с интегральными квадратичными ограничениями на управление и исследование их взаимосвязи с множествами достижимости линеаризованных систем.

Методология и методы исследования. Предлагаемые исследования основаны на результатах теории дифференциальных уравнений и математической теории управления, нелинейном и выпуклом анализе. Полученные результаты иллюстрируются численными примерами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для выпуклых компактов в Кга, зависящих от малого параметра, введено понятие асимптотической эквивалентности, основанное на расстоянии Банаха-Мазура. Получены достаточные условия асимптотической эквивалентности множеств достижимости по выходу нелинейных систем с интегрально-квадратичными ограничениями на управление и соответствующих множеств линеаризованных систем. Эти условия

совпадают с достаточным условием выпуклости множеств достижимости на малых интервалах времени.

2. Исследована задача синтеза управления для нелинейной аффинной по управлению системы с интегрально-квадратичным функционалом. Доказано, что линейная обратная связь, построенная для линеаризованной системы, также обеспечивает локальное решение задачи синтеза для нелинейной системы на достаточно малом промежутке времени. Это требует ограничений на асимптотику грамиана управляемости, которые совпадают с достаточными условиями, обеспечивающими асимптотическую эквивалентность множеств достижимости (множеств нуль-управляемости). В этом случае линейная обратная связь, решающая задачу приведения линеаризованной системы в начало координат за заданное время, будет приводить в начало координат и нелинейную систему из малой окрестности нуля. Также при этих условиях получена оценка для относительных значений погрешности интегрального функционала.

3. Для квазилинейных систем с интегральными квадратичными ограничениями на управление исследована выпуклость множеств достижимости. Опираясь на достаточные условия выпуклости образа гильбертова шара при его квазилинейном отображении, доказано, что множества достижимости квазилинейной системы остаются выпуклыми при малых значениях параметра, если линейная часть системы вполне управляема.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит в основном теоретический характер. Полученные результаты могут использоваться в дальнейших исследованиях задач управления с малым параметром и интегральными ограничениями, а также при разработке численных методов их решения.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов проведенных исследований подтверждается строгостью математических доказательств, а также проведенными вычислительными экспериментами. Основные результаты, полученные в процессе исследования, докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-XXX», Воронеж, 3-9 мая 2019 г.;

2. Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS'11): 11th Intern. Conf., June 20 - 25, 2019, Albena, Bulgaria;

3. 51-я, 52-я, 53-я, 54-я и 55-я Международные молодежные школы-конференции "Современные проблемы математики и ее приложений" (2020, 2021, 2022, 2023, 2024), Екатеринбург;

4. III международный семинар, посвященный 75-летию академика А. И. Субботина, Екатеринбург, 26 - 30 октября 2020 г.;

5. Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация: материалы Между-нар. науч. конф. памяти Р. Ф. Габасова, Минск, 5-10 окт. 2021 г.;

6. XVI Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого), Москва, 1-3 июня 2022 г.;

7. Теория оптимального управления и приложения (OCTA 2022), Екатеринбург, 27 июня - 1 июля 2022 г.;

8. 7-я Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (NLA-2022), 15 - 22 июля 2022 г., Иркутск;

9. 22nd International Conference Mathematical Optimization Theory and Operations Research (MOTOR 2023) Dedicated to 90th Anniversary of Academician 1.1. Eremin July 2-8, 2023, Ekaterinburg;

10. ВСПУ XIV Всероссийское совещание по проблемам управления, Россия, Москва, ИПУ РАН, 17 - 20 июня 2024 г.;

11. Международная конференция «Динамические системы: устойчивость, управление, дифференциальные игры» (SCDG2024), посвященная 100-летию со дня рождения академика Н. Н. Красовского, 9 сентября 2024 г. - 13 сентября 2024 г., г. Екатеринбург;

12. Современные проблемы математики и eё приложений. Международная (56-я Всероссийская) молодежная школа-конференция памяти ученого и учителя Александра Георгиевича Гейна (29.01.1950 - 23.01.2025) 2 февраля 2025 г. - 18 февраля 2025 г., г. Екатеринбург;

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 19 научных работах [105-112,114-124 ], из которых 5 изданы в научных журналах категории К1 [105-109] перечня рецензируемых научных изданий ВАК или приравненных к ним. Работы [11 - 12] опубликованы в сборниках трудов международных научных конференций и проиндексированы в международных реферативных базах данных и системах цитирования. Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [113]. Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номера соглашений 075-02-2024-1377 и 075-02-2025-1549).

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. В совместных работах [10 , 0.,1 - 1 , 115-119] научному руководителю М. И. Гусеву принадлежат постановки задач и общая схема их исследования, формулировки и доказательства результатов принадлежат автору диссертации. В [113] И. В. Зыкову принадлежит идея и общая схема алгоритма, а автором диссертации предложен и программно реализован способ отбора управлений. Из работ, выполненных в соавторстве, в основные

положения диссертации, выносимые на защиту, включены только результаты, полученные лично И. О. Осиповым.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Главы разбиты на разделы и подразделы. Общий объем диссертации составляет 116 страниц, библиографический список включает 124 наименования. Нумерация формул двойная: в первой позиции указывается номер главы, в которой приведена формула, во второй — порядковый номер формулы в этой главе. Нумерация теорем, лемм, утверждений, следствий, предположений, замечаний, определений, — сквозная. Все используемые обозначения объяснены в списке обозначений или в тексте диссертации там, где впервые встречаются.

Краткое содержание работы. Глава 1. Первая глава посвящена множествам достижимости нелинейных систем с интегральными ограничениями. Эта глава носит преимущественно вспомогательный характер. В ней вводятся основные понятия, формулируются предположения и описываются свойства решений рассматриваемых систем, используемые в работе. Кроме того, приведены известные результаты, адаптированные автором для удобства их применения во второй главе. Вводится отображение, действующее из пространства управлений в пространство концов траекторий нелинейной системы. Приводятся условия выпуклости образа малого шара в гильбертовом пространстве при его нелинейном отображении, полученные в [92]. Использование этого условия позволило получить условие выпуклости множеств достижимости при малых интегральных ограничениях на управление [93]. Множество достижимости нелинейной системы рассматривается как образ шара, соответствующего допустимым управлениям, при его нелинейном отображении, заданном решениями системы. При помощи замены времени удаётся сформулировать условия выпуклости множеств достижимости рассматриваемых нелинейных систем на малых интервалах времени. Проверка этих условий требует изучения асимптотики наименьшего собственного числа грамиана управляемости линеаризованной системы. Один из возможных способов проверки асимптотики собственных чисел грамиана предлагается в последнем разделе этой главы. Там же приводится доказательство выпуклости множеств достижимости на малых интервалах времени для некоторых классов нелинейных систем второго порядка.

Глава 2. Вторая глава состоит из двух разделов, связанных общим понятием — асимптотической эквивалентностью множеств достижимости.

В первом разделе этой главы исследуются множества достижимости по выходу нелинейных систем на малых интервалах времени. Используя понятие асимптотической эквивалентности множеств [60], основанное на расстоянии Банаха-Мазура [100], доказывается близость множеств достижимости нелинейных систем по выходу соответствующим множествам достижимости линеаризованных систем на малых интервалах времени.

В следующем разделе предлагается метод решения задачи локального синтеза для аффинных по управлению систем на малом интервале времени. Этот метод основан на линеаризации исходной нелинейной системы в окрестности точки равновесия. Линеаризация часто применяется для решения различных задач управления, таких как задача стабили-

зации [23,75], стохастические и численные методы управления [52,83,88,95], в подходах, основанных на предсказывающей модели (MPC) [86,89] и т.д.

В этом разделе изучается задача синтеза управления с интегральным квадратичным функционалом. Отдельно отметим, что задача рассматривается на конечном и, более того, малом интервале времени. Цель управления — перевести систему в начало координат за заданное время, обеспечив при этом минимальное значение функционала. Линейное управление с обратной связью, найденное для линеаризованной системы, используется в качестве входа исходной нелинейной системы. Для линейной системы управления оптимальная обратная связь является линейной по состоянию, и её коэффициент усиления неограниченно возрастает при приближении к конечному моменту времени. Последнее затрудняет обоснование применимости метода линеаризации. В этом случае необходимо выполнение условий, имеющих вид ограничений на асимптотику грамиана управляемости линеаризованной системы в отличие, например, от задачи стабилизации, в которой управляемость (стабилизируемость) линеаризованной системы приводит к стабилизируемости нелинейной системы. Эти условия совпадают с условиями асимптотической эквивалентности для множеств достижимости (множеств нуль-управляемости) нелинейных и линеаризованных систем, которые приведены в первой половине главы. В работе [108] было показано, что при этих условиях управление в виде линейной обратной связи по состоянию приводит все траектории, выходящие из некоторой окрестности нуля, к нулю, если интервал времени управления достаточно мал.

В диссертации приведено обобщение результата [108], которое было опубликовано в [112]. Предлагаемое достаточное условие имеет форму неравенства с некоторым несобственным интегралом. Подынтегральная функция выбирается таким образом, чтобы служить верхней границей для отношения наибольшего собственного числа грамиана управляемости к корню квадратному из наименьшего собственного числа этого грамиана. Грамиан вычисляется для линеаризованной системы, содержащей малый параметр. Выбор этой функции позволяет охватить более широкий класс систем управления, а условия из [108] получены здесь как частный случай для определённого значения параметра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осипов Иван Олегович, 2026 год

Список литературы

Цитированные публикации

[1] Абгарян К. А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. — М.: Физматлит, 1994. — 544 с.

[2] Альбрехт Э. Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем // Дифференц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 3. — С. 430-442.

[3] Альбрехт Э. Г. О сближении квазилинейных объектов в регулярном случае // Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7, № 7. — С. 1171-1178.

[4] Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г. С. Лекции по теории стабилизации. — Свердловск: Уральский гос. ун-т им. А. М. Горького, 1972. — 273 с.

[5] Ананьев Б. И. Об информационных множествах для многошаговых статистически неопределённых систем // Тр. ИММ УрО РАН. — 2000. — Т. 6, № 2. — С. 290-306. Anan'ev B. I. On informational sets for multistage statistically uncertain systems // Proc. Steklov Inst. Math. — 2000. — Suppl. 2. — P. S1-S15.

[6] Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с.

[7] Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 400 с.

[8] Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Понтрягин Л. С. Теория оптимальных процессов. I. Принцип максимума // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1960. — Т. 24, № 1. — С. 3-42.

[9] Вдовин С. А., Тарасьев А. М., Ушаков В. Н. Построение множества достижимости интегратора Брокетта // Прикл. математика и механика. — 2004. — Т. 68, вып. 5. — С. 707-724.

[10] Габасов Р. Ф., Калинин А. И., Кириллова Ф. М., Лавринович Л. И. К асимптотическим методам оптимизации квазилинейных систем управления // Тр. ИММ УрО РАН. — 2019. — Т. 25, № 3. — С. 62-72. DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-62-72

[11] Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. — Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. — 235 с.

[12] Горнов А. Ю., Финкельштейн Е. А. Алгоритм кусочно-линейной аппроксимации границы множества достижимости // Автомат. и телемех. — 2015. — № 3. — С. 22-31.

[13] Гурман В. И., Дыхта В. А. Достаточные условия сильного минимума для вырожденных задач оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 1976. — Т. 12, № 12. — С. 2129-2138.

[14] Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 1. — С. 3-51.

[15] Дмитрук А. В., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Теорема Люстерника и теория экстремума // Успехи матем. наук. — 1980. — Т. 35, вып. 6. — С. 11-46.

[16] Зыков И. В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями // Материалы Воронежской весенней матем. школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-ХХХ», Воронеж, 3-9 мая 2019 г. — М.: ВИНИТИ РАН, 2021. — Ч. 1 (Итоги науки и техн. Соврем. мат. и её прил. Темат. обз., 190). — С. 107-114. DOI: 10.36535/0233-6723-2021-190-107-114.

[17] Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М: Наука, 1989. — 336 с.

[18] Ильин А. М., Данилин А. Р. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундамент. и прикл. матем. — 1998. — Т. 4, № 3. — С. 905-926.

[19] Калинин А. И., Лавринович Л. И. Асимптотический метод минимизации интегрального квадратичного функционала на траекториях квазилинейной динамической системы // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. — 2018. — Т. 62, № 5. — С. 519-524. DOI: 10.29235/1561-8323-2018-62-5-519-524

[20] Киселёв Ю. Н. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия систем управления, близких к линейным // Докл. АН СССР. — 1968. — Т. 182, № 1. — С. 31-34.

[21] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 5-е изд., перераб. — М. : Наука, 1981. — 543 с.

[22] Костоусова Е. К. О полиэдральном оценивании множеств достижимости в «расширенном» пространстве для многошаговых систем с неопределенными матрицами и интегральными ограничениями // Тр. ИММ УрО РАН. — 2020. — Т. 26, № 1. — С. 141-155.

[23] Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Дополнение к кн.: Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — С. 475-514.

[24] Красовский Н. Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с.

[25] Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974.

[26] Кремлев А. Г. Об управлении квазилинейной системой при неопределенных начальных условиях // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, № 11. — С. 1967-1979.

[27] Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977. — 392 с.

[28] Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. О методе сингулярных возмущений для дифференциальных включений // Докл. АН СССР. — 1991. — Т. 321, № 3. — С. 454-459.

[29] Левитин Е. С., Поляк Б. Т. Методы минимизации при наличии ограничений // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 5. — С. 787-823.

Levitin E. S., Polyak B. T. Constrained minimization methods // U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. — 1966. — Vol. 6, no. 5. — P. 1-50. DOI: 10.1016/0041-5553(66)90114-5

[30] Ледяев Ю. С. Критерии выпуклости замкнутых множеств в банаховых пространствах // Оптимальное управление и дифференциальные уравнения : сб. ст. к 110-летию со дня рождения акад. Л. С. Понтрягина. — М.: МИАН, 2019. — (Тр. МИАН ; т. 304). — С. 205-220. DOI: 10.4213/tm3967.

[31] Никольский М. С. Очень регулярная задача оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 11. — С. 1526-1532.

[32] Пацко В. С., Пятко С. Г., Федотов А. А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2003.

— № 3. — С. 8-16.

[33] Пацко В. С., Трубников Г. И., Федотов А. А. Множество достижимости машины Ду-бинса с интегральным ограничением на управление // Математическая теория игр и её приложения. — 2023. — Т. 15, № 2. — С. 89-104.

[34] Половинкин Е. С. Сильно выпуклый анализ // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 2. — С. 103-130. DOI: 10.4213/sm111.

Polovinkin E. S. Strongly convex analysis // Sb. Math. — 1996. — Vol. 187, no. 2. — P. 259-286. — DOI: DOI: 10.1070/SM1996v187n02ABEH000111.

[35] Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа.

— М.: Физматлит, 2007. 2-е изд., исправленное и дополненное. — 440 с.

[36] Поляк Б. Т. Локальное программирование // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2001. — Т. 41, № 9. — С. 1324-1331.

[37] Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Рапопорт Л. Б. Математическая теория автоматического управления : учеб. пособие. — М.: Ленанд, 2019. — 500 с.

[38] Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1961. — 392 с.

[39] Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх II // Докл. АН СССР. — 1967.

— Т. 175, № 4. — С. 764-766.

[40] Райсиг Г. Выпуклость множеств достижимости систем управления // Автоматика

и телемеханика. — 2007. — № 9. — С. 64-78.

93

[41] Субботин А. И. Об управлении движением квазилинейной системы // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3, № 7. — С. 1113-1118.

[42] Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. - 1948. - Т. 22, №. 2. - С. 193-204.

[43] Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных // Матем. сб. — 1952. — Т. 31(73), № 3. — C. 575-586..

[44] Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.

[45] Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М. : Комкнига, 2007. — 240 с.

[46] Финкельштейн Е. А., Горнов А. Ю. Алгоритм квазиравномерного заполнения множества достижимости нелинейной управляемой системы // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. — 2017. — Т. 19. — С. 217-223.

[47] Харатишвили Г. Л., Тадумадзе Т. А. Регулярные возмущения в задачах оптимального управления с переменными запаздываниями и со свободным правым концом // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 314, № 1. — С. 151-155.

[48] Ченцов А. Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления, I // Изв. вузов. Матем. — 1995. — № 2. — С. 60-71.

Chentsov A. G. Asymptotic reachability under a perturbation of integral constraints in an abstract control problem, I // Russian Math. (Iz. VUZ). — 1995. — Vol. 39, no. 2. — P. 57-68.

[49] Черноусько Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром // Прикладная математика и механика. — 1968. — Т. 32, № 1. — С. 15-26.

[50] Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ. — 1977. — Т. 14. — С. 101-166.

[51] Bellman R. The stability of solutions of linear differential equations // Duke Mathematical Journal. — 1943. — Vol. 10, no. 4. — P. 643-647. DOI: 10.1215/s0012-7094-43-01059-2

[52] van den Berg J. Iterated LQR smoothing for locally-optimal feedback control of systems with non-linear dynamics and non-quadratic cost // Proceedings of the 2014 American Control Conference (Portland, OR, USA, 2014). — P. 1912-1918. DOI: 10.1109/ACC.2014.6859404

[53] Calvet J.-P., Arkun Y. Design of P and PI stabilizing controllers for quasi-linear systems // Computers & Chemical Engineering. — 1990. — Vol. 14, no. 4-5. — P. 415-426. DOI: doi:10.1016/0098-1354(90)87017-j

[54] Chen Ch.-T. Linear System Theory and Design. — 3rd ed. — New York : Oxford University Press, 1999. — 688 p.

[55] Ching Sh., Eun Yo., Gokcek C., Kabamba P., Meerkov S. Quasilinear Control: Performance Analysis and Design of Feedback Systems with Nonlinear Sensors and Actuators. — Cambridge University Press, 2010. — 284 p. DOI: 10.1017/CBO9780511976476.

[56] Cockayne E. J., Hall G. W. C. Plane motion of a particle subject to curvature constraints // SIAM J. Control. — 1975. — Vol. 13, no. 1. — P. 197-220. DOI: 10.1137/0313012

[57] Dauer J. P. Nonlinear perturbations of quasi-linear control systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1976. — Vol. 54, no. 3. — P. 717-725. DOI: 10.1016/0022-247X(76)90191-8.

[58] Filippov A. F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. — Boston: Kluwer Academic Press, 1988. — 304 p.

[59] Filippova T. F., Matviychuk O. G. Estimates of Reachable Sets of Control Systems with Bilinear-Quadratic Nonlinearities // Ural Mathematical Journal. — 2015. — Vol. 1, no. 1.

— P. 45-54.

[60] Goncharova E., Ovseevich A. Small-time reachable sets of linear systems with integral control constraints: birth of the shape of a reachable set // J. Optim. Theory Appl. — 2016. — Vol. 168. — P. 615-624. DOI: 10.1007/s10957-015-0754-4

[61] Goncharova E. V., Ovseevich A.I. Refined asymptotics for singularly perturbed reachable sets // World Scientific Series on Nonlinear Science. Series B. — 2010. — Vol. 17. — P. 259-264. DOI: 10.1142/9789814313155_0039

[62] Guo Y., Kabamba P. T., Meerkov S.M., Ossareh H. R., Tang C. Y. Quasilinear Control of Wind Farm Power Output // IEEE Transactions on Control Systems Technology. — 2015.

— Vol. 23, no. 4. — P. 1555-1562. DOI: 10.1109/TCST.2014.2363431.

[63] Guseinov K. G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Differential Equations and Applications. — 2007. — Vol. 14, no. 1-2. — P. 57-73.

[64] Guseinov K. G. Approximation of the attainable sets of the nonlinear control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Analysis. — 2009. — Vol. 71, no. 1.

— P. 622-645. DOI: 10.1016/j.na.2008.10.097

[65] Guseinov Kh. G., Nazlipinar A. S. Attainable sets of the control system with limited

resources // Тр. ИММ УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 5. — С. 261-268.

95

[66] Gusev M. I., Zykov I. V. On Extremal Properties of the Boundary Points of Reachable Sets for Control Systems with Integral Constraints // Proc. Steklov Inst. Math. — 2018. — Vol. 300. — P. 114-125. DOI: 10.1134/S0081543818020116

[67] Gusev M. I., Zykov I. V. On extremal properties of boundary points of reachable sets for a system with integrally constrained control // Proceedings of 20th World Congress International Federation of Automatic Control. — 2017. — Vol. 50. — P. 4082-4087. DOI: 10.1016/j.ifacol.2017.08.792

[68] Gusev M. I., Zykov I. V. An algorithm for computing reachable sets of control systems under isoperimetric constraints // AIP Conference Proceedings. — 2018. — Vol. 2025. — Art. no. 020021.

[69] Gusev M. I. Estimates of the minimal eigenvalue of the controllability Gramian for a system containing a small parameter // Mathematical Optimization Theory and Operations Research. MOTOR 2019. — Springer, Cham, 2019. — (Lecture Notes in Computer Science ; vol. 11548). — P. 383-395. DOI: 10.1007/978-3-030-22629-9_32

[70] Gusev M. I. The limits of applicability of the linearization method in calculating smalltime reachable sets // Ural Mathematical Journal. — 2020. — Vol. 6, no. 1. — P. 71-83. DOI: https://doi.org/10.15826/umj.2020.1.006

[71] Horn R. A., Johnson C. R. Matrix Analysis. — 2nd ed. — Cambridge : Cambridge University Press, 2012. — 662 p. https://doi.org/10.1017/CBO9781139020411

[72] Huseyin A., Huseyin N., Guseinov Kh. G. Continuity of Lp Balls and Application to the Nonlinear Control System // Dynamic Systems: Stability, Control, Differential Games : Proc. Int. Conf. devoted to the 100th anniversary of N. N. Krasovskii (Yekaterinburg, Sept. 9-13, 2024). — Yekaterinburg : IMM UB RAS, 2024. — P. 459-462.

[73] Huseyin N., Huseyin A., Guseinov Kh. G. On the properties of the set of trajectories of nonlinear control systems with integral constraints on the control functions // Тр. ИММ УрО РАН. — 2022. — Т. 28, № 3. — С. 274-284.

[74] Ioffe A. D. On the local surjection property // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. — 1987. — Vol. 11, no. 5. — P. 565-592.

[75] Khalil H. K. Nonlinear Systems. — 3rd ed. — New Jersey : Pearson, 2001. — 752 p. Халил Х. К. Нелинейные системы. — 3-е изд. — М.-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. — 832 с.

[76] Kokotovic P. V., Haddad A. H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automatic Control. — 1975. — Vol. 20, no. 1. — P. 111-113.

[77] Krener A., Schattler H. The structure of small-time reachable sets in low dimensions // SIAM J. Control Optim. — 1989. — Vol. 27, no. 1. — P. 120-147. DOI: 10.1137/0327008

[78] Kurzhanski A. B., Varaiya P. Dynamics and Control of Trajectory Tubes. Theory and Computation. — Birkhauser, 2014. — 421 p.

https://people.eecs.berkeley.edu/ varaiya/Download/KurzhanskiVaraiya.pdf

[79] Lassak M. Banach-Mazur Distance from the Parallelogram to the Affine-Regular Hexagon and Other Affine-Regular Even-Gons // Results Math. — 2021. — Vol. 76, no. 62. DOI: 10.1007/s00025-021-01368-8

[80] Lee E. B., Markus L. Foundations of Optimal Control Theory. — New York : John Wiley & Sons, 1967. — 576 p.

[81] Lew T., Pavone M. Sampling-based Reachability Analysis: A Random Set Theory Approach with Adversarial Sampling // 4th Conference on Robot Learning (CoRL 2020). — 2020. https://arxiv.org/abs/2008.10180

[82] Lew T., Janson L., Bonalli R., Pavone M. A Simple and Efficient Sampling-based Algorithm for General Reachability Analysis // Proceedings of The 4th Annual Learning for Dynamics and Control Conference. — 2022. — (PMLR ; vol. 168). — P. 1086-1099. https://proceedings.mlr.press/v168/lew22a.html

[83] Li L., Wang T., Xia Y., et al. Trajectory tracking control for wheeled mobile robots based on nonlinear disturbance observer with extended Kalman filter // Journal of the Franklin Institute. — 2020. — Vol. 357, no. 13. — P. 8491-8507. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2020.04.043.

[84] Mitchell I. M. Application of level set methods to control and reachability problems in continuous and hybrid systems : Ph.D. thesis. — Stanford University, 2002.

[85] Mitchell I. M., Bayen A. M., Tomlin C. J. A time-dependent Hamilton-Jacobi formulation of reachable sets for continuous dynamic games // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2005. — Vol. 50, no. 7. — P. 947-957.

[86] Murillo M. H., Limache A. C., Rojas Fredini P. S., et al. Generalized Nonlinear Optimal Predictive Control using Iterative State-Space Trajectories: Applications to Autonomous Flight of UAVs // Int. J. Control Autom. Syst. — 2015. — Vol. 13, no. 2. — P. 361-370. DOI: 10.1007/s12555-013-0416-y

[87] Osher S., Fedkiw R. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. — New York : Springer, 2003. — (Applied Mathematical Sciences ; vol. 153). — 273 p.

[88] Pang Z.-H., Ma B., Liu G.-P., et al. Data-Driven Adaptive Control: An Incremental Triangular Dynamic Linearization Approach // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. — 2022. — Vol. 69, no. 12. — P. 4949-4953. DOI: 10.1109/TCSII.2022.3181232.

[89] Papadimitriou D., Rosolia U., Borrelli F. Control of Unknown Nonlinear Systems with Linear Time-Varying MPC // 59th IEEE Conference on Decision and Control (CDC), Jeju, Korea (South), 2020. — P. 2258-2263. DOI: 10.1109/CDC42340.2020.9304441

[90] Patsko V. S., Fedotov A. A. Reachable set for Dubins car and its application to observation problem with incomplete information // Control and Automation (MED19): 27th Mediterranean Conf., Akko, Israel, July 1-4, 2019. — P. 489-494.

[91] Polyak B. T. Gradient methods for solving equations and inequalities // USSR Comput. Math. Math. Phys. — 1964. — Vol. 4, no. 6. — P. 17-32.

[92] Polyak B. T. Convexity of Nonlinear Image of a Small Ball with Applications to Optimization // Set-Valued Analysis. — 2001. — Vol. 9. — P. 159-168. DOI: 10.1023/A:1011287523150

[93] Polyak B. T. Convexity of the reachable set of nonlinear systems under L2 bounded controls // Dynam. Contin. Discrete Impuls. Systems Ser. A Math. Anal. — 2004. — Vol. 11, Suppl. 2-3. — P. 255-267.

[94] Rousse P., Sandretto J. A., Chapoutot A., et al. Guaranteed Simulation of Dynamical Systems with Integral Constraints and Application on Delayed Dynamical Systems // Cyber Physical Systems. Model-Based Design. CyPhy WESE 2019. — Springer, Cham, 2020. — (Lecture Notes in Computer Science ; vol. 11971). — P. 62-78.DOI: 10.1007/978-3-030-41131-2_5

[95] Roxin E. O. Linearization and approximation of control systems // Proceedings of the First World Congress of Nonlinear Analysts, Tampa, Florida, August 19-26, 1992. — Berlin, Boston : De Gruyter, 1996. — P. 2531-2540. DOI: 10.1515/9783110883237.2531

[96] Rudin W. Functional Analysis. — 1st ed. — New York : McGraw-Hill, 1973. — (International Series in Pure and Applied Mathematics ; vol. 25). — 448 p.

[97] Schweppe F. C. Uncertain Dynamic Systems. — NJ : Prentice-Hall, 1973. — 563 p.

[98] Schattler H. Small-time reachable sets and time-optimal feedback control // Nonsmooth Analysis and Geometric Methods in Deterministic Optimal Control. — NY : Springer, 1996.

— (The IMA Volumes in Mathematics and Its Applications ; vol. 78). — P. 203-225. — DOI: 10.1007/978-1-4613-8489-2_9. DOI: 10.1007/978-1-4613-8489-2_9

[99] Sethian J. A. Level Set Methods and Fast Marching Methods. — Cambridge : Cambridge University Press, 1999. — 378 p.

[100] Thompson A. C. Minkowski Geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1996.

— 346 p. DOI: 10.1017/CBO9781107325845

[101] Veliov V. A generalization of the Tikhonov theorem for singularly perturbed differential inclusions // Journal of Dynamical and Control Systems. — 1997. — Vol. 3. — P. 291-319. DOI: 10.1007/BF02463254

[102] Vial J.-P. Strong convexity of sets and functions // Journal of Mathematical Economics.

— 1982. — Vol. 9, no. 1-2. — P. 187-205. DOI: 10.1016/0304-4068(82)90026-x

[103] Walter W. Differential and integral inequalities. — Berlin: Springer, 1970. — 352 p.

[104] Zykov I. V. An Algorithm for Constructing Reachable Sets for Systems with Multiple Integral Constraints // Mathematical Analysis With Applications: Intern. Conf. CONCORD-90. — Cham : Springer, 2020. — (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics ; vol. 318). — P. 51-60. DOI: 10.1007/978-3-030-42176-2_6

Публикации автора по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

[105] Гусев М.И., Осипов И.О. Асимптотическое поведение множеств достижимости на малых временных промежутках // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2019. — Т. 25, № 3. — С. 86-99. DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-86-99 ВАК К1; WoS (ESCI), Scopus, MathSciNet, RSCI.

Переводная версия:

Gusev M.I., Osipov I. O. Asymptotic behavior of reachable sets on small time intervals // Proc. Steklov Inst. Math. — 2020. — Vol. 309, Suppl. 1. — P. S52-S64. DOI: 10.1134/S0081543820040070 WoS(SCIE), Scopus, MathSciNet, Springer.

[106] Осипов И. О. О выпуклости множеств достижимости по части координат нелинейных управляемых систем на малых промежутках времени // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2021. — Т. 31, вып. 2.

— C. 210-225. DOI: 10.35634/vm210204 ВАК; К1: WoS (ESCI), Scopus, MathSciNet, zbMATH, RSCI.

[107] Осипов И. О. Об асимптотике собственных чисел грамиана управляемости линейной системы с малым параметром // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и её прил. Темат. обзоры. — 2021. — Т. 191. — С. 115-122. DOI: 10.36535/0233-67232021-191-115-122 ВАК; К1: MathSciNet.

Переводная версия:

Osipov I. O. On the Asymptotics of Eigenvalues of the Controllability Gramian of a Linear System with a Small Parameter //J. Math. Sci. — 2025. — Vol. 288. — P. 780-787. DOI: 10.1007/s10958-025-07767-4 К1: Scopus, zbMATH, Springer.

[108] Гусев М. И., Осипов И.О. О задаче локального синтеза для нелинейных систем с интегральными ограничениями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2022. — Т. 32, № 2. — С. 171-186. DOI: 10.35634/vm220202 ВАК; К1: WoS (ESCI), Scopus, MathSciNet, zbMATH, RSCI.

[109] Osipov I. O. Convexity of Reachable Sets of Quasilinear Systems // Ural Math. J. — 2023. — Vol. 9, no. 2. — P. 141-156. DOI: 10.15826/umj.2023.2.012 ВАК; К1: Scopus, MathSciNet, zbMATH, RSCI.

Другие публикации, включенные в международные базы данных

[110] Gusev M. I., Osipov I. O. On Convexity of Small-time Reachable Sets of Nonlinear Control Systems // AIP Conference Proceedings. — 2019. — Vol. 2164. — Art. no. 060007. DOI: 10.1063/1.5130809 WoS, Scopus.

[111] Gusev M., Osipov I. On Local Control Synthesis for Nonlinear Systems under Integral Constraints // 2022 16th International Conference on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference), Moscow, 2022. — P. 1-4. DOI: 10.1109/STAB54858.2022.9807463. Scopus.

[112] Gusev M., Osipov I. Approximate Solution of Small-Time Control Synthesis Problem Based on Linearization // Mathematical Optimization Theory and Operations Research. MOTOR 2023. — Cham : Springer, 2023. — (Lecture Notes in Computer Science ; vol. 13930). — P. 362-377. DOI: 10.1007/978-3-031-35305-5_25 zbMATH, MathSciNet, Springer.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

[113] Программа для построения методом Монте-Карло множеств достижимости нелинейных систем с интегральными ограничениями на управление : свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2020661557 / И. В. Зыков, И. О. Осипов ; правообладатель ИММ УрО РАН // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (РосПатент) — Зарег. 24.09.2020. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44104691 (дата обращения: 07.09.2025).

Материалы научных конференций

[114] Осипов И. О. Об асимптотике собственных чисел грамиана управляемости линейной системы с малым параметром // Современные методы в теории краевых задач : материалы Воронеж. весен. мат. шк. «Понтрягинские чтения - XXX», Воронеж, 3-9 мая 2019 г. — Воронеж : Изд. дом ВГУ, 2019. — С. 215-216.

[115] Gusev M. I., Osipov I. O. On Convexity of Small-time Reachable Sets of Nonlinear Control

Systems // Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS'11):

11th Intern. Conf., Albena, Bulgaria, June 20-25, 2019: abstracts. — Sofia, 2019. — P. 30.

100

[116] Гусев М.И., Осипов И.О. Об асимптотике множеств достижимости на малых временных промежутках // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби : материалы III междунар. семинара, посвящ. 75-летию акад. А. И. Субботина, Екатеринбург, 26-30 окт. 2020 г. — Екатеринбург : ИММ УрО РАН, 2020. — С. 142-145.

[117] Гусев М. И., Осипов И. О. Асимптотика множеств достижимости нелинейных управляемых систем на малых промежутках времени // Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация : материалы Междунар. науч. конф. памяти Р. Ф. Га-басова, Минск, 5-10 окт. 2021 г. — Минск : Изд. центр БГУ, 2021. — С. 85-87.

[118] Gusev M. I., Osipov I. O. Asymptotics of Small-Time Reachable Sets and a Problem Of Local Control Synthesis // Теория оптимального управления и приложения (OCTA 2022) : материалы Междунар. конф., Екатеринбург, 27 июня-1 июля 2022 г. — С. 300-303.

[119] Гусев М. И., Осипов И. О. О локальном синтезе управления для нелинейных систем с интегральными ограничениями // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого) : материалы XVI Междунар. конф., Москва, 1-3 июня 2022 г. — М. : ИПУ РАН, 2022. — С. 164-167.

[120] Osipov I. O. On the Linearization Method in Small-time Control Synthesis // Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2022): 7th Intern. conf., Irkutsk, Russia, July 15-22, 2022: proceedings. — Irkutsk : ISDCT SB RAS, 2022. — P. 83-85.

[121] Осипов И. О. О применимости метода линеаризации в задаче локального синтеза на малом интервале времени // Современные проблемы математики и её приложений : материалы 53-й Междунар. молодёжной шк.-конф., Екатеринбург, 31 янв. — 4 февр. 2022 г. — Екатеринбург, 2022. — С. 99-101.

[122] Осипов И. О. Об асимптотике функционала при решении задачи локального синтеза методом линеаризации // Современные проблемы математики и её приложений : материалы 54-й Междунар. молодёжной шк.-конф., Екатеринбург, 6-10, 17 февр. 2023 г. — Екатеринбург, 2023. — С. 100-101.

[123] Осипов И. О. Выпуклость множеств достижимости квазилинейных систем // XIV Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2024) : сб. науч. тр., Москва, 17-20 июня 2024 г. — М. : ИПУ РАН, 2024. — C. 150-155.

[124] Осипов И. О. О свойстве выпуклости множеств достижимости квазилинейных систем // Динамические системы: устойчивость, управление, дифференциальные игры (SCDG2024) : тр. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения акад. Н. Н. Красовского, Екатеринбург, 9-13 сент. 2024 г. — Екатеринбург, 2024. — С. 234-238.

Приложение А. Численный метод построения множеств достижимости при интегрально-квадратичных ограничениях на управление

В этом приложении приведён численный метод построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем при интегрально-квадратичных ограничениях на управление, который был использован для расчёта примеров в основном тексте диссертации.

Существуют различные методы приближенного построения множеств достижимости (пиксельные методы; методы, основанные на принципе максимума Понтрягина; методы, использующие эллипсоидальные и полиэдральные оценки). Рассматриваемый метод относится к группе методов, которые можно назвать аналогами метода Монте-Карло.

Отметим работы [12,46], ориентированные на геометрические ограничения на управление и развивающие методы, основанные на заполнении множества достижимости случайным набором точек, а также работы [81,82], в которых используется случайный выбор управлений и обеспечивается асимптотическая сходимость к выпуклой оболочке истинных множеств достижимости. Используемый в диссертации подход основывается на случайном переборе управлений, разложенных по системе ортонормированных функций.

Повторим здесь постановку задачи и некоторые определения из Главы 1. На интервале времени ¿0 ^ t ^ Т рассмотрим нелинейную систему:

Х(*) = / (¿,х(*),и(*)), х(^) = Хо. (А.1)

Здесь х Е Кга — вектор состояния, и Е — управление, ¿0, Т — некоторые фиксированные положительные числа.

Функция / : [¿0, Т] х Мга х ^ Кга предполагается непрерывной по (¿, х, и) и обладающей непрерывными производными по х на [¿0, Т] х П х Мг, где П — некоторая область, П С Кга.

Всюду далее будем считать, что вектор х0 фиксирован и х0 Е П. Также будем предполагать, что существует такое Д > 0, что все решения (траектории) х(^и(-)) системы (А.1), отвечающие управлениям и() Е В£2[г0,т](0, Д), определены на интервале [¿0,Т] и лежат в некотором выпуклом компакте Б С П С Кга.

Через [¿0,Т] здесь обозначено пространство интегрируемых с квадратом функций на интервале [¿0, Т]. Под шаром Вх(а, г) понимается замкнутый шар радиуса г > 0 с центром в точке а в линейном пространстве X с нормой || • ||х, (а, г) = {х Е X : ||х — а||х ^ г}.

В дальнейшем управление и() будем выбирать из шара #£2[г0,т](0, д), где 0 < д < Д, т. е.

т

j ит(^)и(^) ^ ^ д2. (А.2)

¿0

Множеством достижимости С(Т, д) системы (А.1) в пространстве состояний в мо-

мент времени T назовём множество всех концов траекторий x(T, u(-)) G Rn, которые могут быть порождены управлениями u(-) G BL2 (0,р) = {u : ||u(^)||L2 ^ Р2},

G(T,p) = {x G Rn : 3u(0 G Bl2(0,р), x = x(T, «(•))}.

Как и в других численных методах построения множеств достижимости, основанных на алгоритме Монте-Карло, идея обсуждаемого метода состоит в случайном переборе достаточно большого конечного набора управлений Wj(-) G U С Bl2[î0,t](0,p), i = 1,...,N, каждое из которых удовлетворяет ограничению (A.2). Для каждого управления производится интегрирование системы (A.1) и запоминается конечная точка полученной траектории xi (T, Uj(^)), i = 1,...,N. По определению, все такие точки лежат в множестве достижимости G(T, р).

Ключевым вопросом является конструирование множества управлений U. В случае геометрических ограничений, управления, которые ведут на границу, как правило, относятся к классу кусочно-постоянных (ступенчатых или релейных) функций. Соответственно, для того, чтобы точнее построить границу множества достижимости, разумно строить множество перебираемых управлений именно из таких функций. В случае же интегральных квадратичных ограничений, систему можно перевести в любую точку множества достижимости (в том числе в граничную), используя только непрерывные управления. Поэтому достаточно перебирать непрерывные функции. Рассматриваемый метод предполагает заполнение этого множества управлениями вида

ui(t) = Cip(t), (A.3)

где i = 1,..., N, p(t) = (po(t),Pi(t),... ,pk(t)), p : [t0,T] ^ Rk+1 — вектор-функция, состоящая из ортонормированных скалярных функций в пространстве L2[t0, T ], а Ci G Rrx(k+1) — матрица коэффициентов.

Например, p(t) для интервала [0,1] можно составить из полиномов Лежандра:

p0(t) = 1, p1(t) = 3.46t - 1.73, p2(t) = 13.41t2 - 13.41t + 2.24, pa(t) = 52.92t3 - 79.37t2 + 31.75t - 2.65,...

Ортонормированные полиномы позволяют легко учитывать интегральные квадратичные ограничения. Для того, чтобы такие управления Wi(-) удовлетворяли ограничению (A.2), оказывается достаточно, чтобы ||С|| ^ р, где || • || — фробениусова норма матрицы. Действительно,

k k

uT(i)u(i) = (Cp(t))T (Cp(t)) = pT(t)C TCp(t) = ^^ aij pi(t)pj (t), (A.4)

i=0 j=0

где A = К}i^i,j^k+i = CTC G R(k+1)x(k+1).

Подставляя выражение из (A.4) в (A.2), получим

T k k T

/ МТ^ = ^^ ^ / Рг(*)Р^(¿Ж (А.5)

Из ортонормированности р следует, что

т

У р*(*)р,- (*)(* = ^. (А.6)

Поэтому, все члены выражения справа в (А.5) с г = ^ равны нулю, и остаётся

[ мТ(£)м(£) (И = «гг = 1гасе(А) = 1гасе(СТС) = ||С||2. (А.7)

to

Таким образом, выбирая различные матрицы C, удовлетворяющие неравенству ||C|| ^ д можно получать различные управления u(t) = Cp(t), удовлетворяющие ограничению (A.2).

Заметим, что процедура случайного перебора таких матриц C может быть организована различными способами, о некоторых из которых будет рассказано ниже.

Описанный алгоритм построения множества достижимости системы (A.1) с ограничениями (A.2) легко реализовать, что видно из псевдокода Алгоритма 1.

Алгоритм 1: Численный метод построения множеств достижимости Параметры: количество точек N, степень полиномов k; Данные : ресурс управления д, начальное условие x0, t0, T; Выход : {x*}^;

p(t) ^ ортонормированные полиномы в L2[t,T]; for i ^ 0 to N do

C ^ случайная матрица, такая, что ||C|| ^ д;

u(t) ^ Cp(t);

Xj ^ проинтегрировать уравнение (A.l0) с начальным условием x0, управлением u(t) на интервале [t0,T];

end

Полученное с помощью такого алгоритма множество концов траекторий {хг}^=1 при достаточно больших N и к даёт представление о форме и размерах множества достижимости и его проекций. Повышение точности при увеличении числа ортонормированных функций к следует из теоремы о наилучшем приближении в гильбертовом пространстве (см., например, [21]).

Фактически, представление (А.3) можно считать частичной суммой ряда Фурье по системе функций р(£) для некоторой функции из Ь2[£°,Т]. Из неравенства Бесселя следует, что ошибка аппроксимации уменьшается при увеличении количества членов ряда.

Таким образом, при увеличении к увеличивается точность аппроксимации непрерыв-

ных управлений. Однако увеличение k может приводить к накоплению ошибок округления при формировании ортонормированной системы p(t) с использованием алгоритма Грама-Шмидта (CGS, classical Gram--Schmidt). От использования этого алгоритма можно отказаться при использовании полиномов Лежандра, для которых существуют рекуррентные формулы, обеспечивающие численную устойчивость. Но при использовании произвольных базисных функций (например, гармонических или радиально-базисных функций) для сохранения точности при увеличении k необходимо использовать более устойчивые алгоритмы ортогонализации, например, модифицированный алгоритм Грама-Шмидта (MGS, modified Gram-Schmidt).

Итерации Алгоритма 1 независимы друг от друга, что позволяет вычислять концы траекторий x параллельно. Это, в свою очередь, позволяет увеличивать N, сохраняя время работы алгоритма в разумных пределах.

В следующих подразделах будут приведены примеры использования этого алгоритма для расчёта точек множества достижимости различных систем и обсуждены некоторые эффекты, возникающие при его использовании.

A.1 Простые примеры

Линейная система. На интервале времени 0 ^ t ^ 1 рассмотрим линейную систему

На Рисунке 8 показаны множества достижимости системы (А.8) при различных N, к и Т. Красная линия — граница множества достижимости, вычисленного аналитически. Видно, что при увеличении количества точек N, они плотнее заполняют множество достижимости (Рис. 81 — 8ГУ). Также можно заметить, что при использовании линейных полиномов (при к =1) точки лежат на эллипсоиде, близком к границе множества достижимости (Рис. 8V). Этот эффект будет обсуждён ниже.

Линейный осциллятор. На интервале времени 0 ^ £ ^ Т рассмотрим линейную систему

при нулевых начальных условиях xi(0) = x2(0) = 0 и ограничении на управление

i

У u2dt ^ 1.

о

Ипеаг_питЬег_о^рот1в=1000_degree_of_polynom=5_1=1

Ипеаг_питЬег_о^от1в=10000_degree_of_polynom=5_1=1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(I): N = 103, к = 5, Т = 1

(IV): N = 106, к = 5, Т = 1

(VII): N = 5 ■ 105, к = 1, Т = 10

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

XI

(II): N = 104, к = 5, Т = 1

Ипеаг_питЬег_о^от1в=10000_degree_of_polynom=1_1=1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(V): N = 104, к = 1, Т = 1

(III): N = 105, к = 5, Т = 1

Ипеаг_питЬег_о^рот1в=10000_degree_of_polynom=10_1=1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(VI): N = 104, к = 10, Т = 1

(VIII): N = 5 ■ 105, к = 5, Т = (IX): N = 5 ■ 105, к = 10, Т =

10

10

Рис. 8: Результаты численного эксперимента для системы (А.8). при нулевых начальных условиях х1(0) = х2(0) = 0 и ограничении на управление

т

Л ^ 1.

На Рисунке 9 показаны множества достижимости системы (А.9) при различных N,

106

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

§ С

-0.1

-0.1

-0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

-0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

№ 0

-0.1

-0.1

-0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

-0.4

озсМ_питЬег_о^от1в=5000_degree_of_polynom=1_1=1

oscil_number_of_points=5000_degree_of_polynom=1_t=6.283185e+00

овоИ_питЬег_о^рот1в=5000_degree_of_polynom=5_1=1

-0.2 0 0.2

(Г): N = 5 ■ 103, к = 1, г = 1

oscil_number_of_points=5000_degree_of_polynom=5_t=6.283185e+00

-2 -1.5

0.5 0 0.5 1 1.5 2

(ГГ): N = 5 ■ 103, к = 1, г = 2п

овсИ_питЬег_о^от1в=50000_degree_of_polynom=1_1=1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

(ГГГ): N = 5 ■ 103, к = 5, г = 1

oscil_number_of_points=50000_degree_of_polynom=1_t=6.283185e+00

.5 0 0.5 1 1.5 2

(IV): N = 5 ■ 103, к = 5, г = 2п (V): N = 5 ■ 104, к = 1, г = 1 (VI): N = 5 ■ 104, к = 1, г = 2п

oscil_number_of_points=50000_degree_of_polynom=5_t=6.283185e+00

оэоИ_питЬег_о^от1в=50000_degгee_of_polyпom=5_1=1

oscil_number_of_points=50000_degree_of_polynom=15_t=1.256637e+01

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

(VIII): N = 5 ■ 104, к = 5, г = 2п

-3 -2

0 12 3

(IX): N = 5104, к = 15, г = 4п

(VII): N = 5 ■ 104, к = 5, г = 1

Рис. 9: Результаты численного эксперимента для системы (А.9).

к и Т. Красная линия — граница множества достижимости, вычисленного аналитически. Видно, что при увеличении количества точек, они плотнее заполняют множество достижимости. Как и в предыдущем примере, видно, что при использовании линейных полиномов на малом промежутке времени при £ =1 точки лежат на эллипсе, близком к границе множества достижимости (Рис. 9!, 9V), однако, при использовании таких же полиномов на интервале £ = 2п точки лежат на одном отрезке, который находится внутри множества

/ , ••

••• _ - ' X

»—л <1 Й-'

0

.о, **. • 4 . /

X; •

-2 0 2 4 6 8 10

(I): N = 103, к = 5, Т = 5

(IV): N = 106, к = 5, Т = 5

ЬШпеаг_питЬег_о1_ро1п1в=10000_йедгее_о1_ро1упот=15_1=5

-4 -2 0 2 4 6 8

(VII): N = 104, к = 15, Т = 5

-4 -2 0 2 4 6 8

(II): N = 104, к = 5, Т = 5

ЬШпеаг_питЬег_о1_ро1п1в=10000_йедгее_о1_ро1упот=1_1=5

(V): N = 104, к = 1, Т = 5

(VIII): N = 5 ■ 105, к = 5, Т = 10

(III): N = 105, к = 5, Т = 5

ЬШпеаг_питЬег_о1_ро1п1в=10000_йедгее_о1_ро1упот=10_1=5

-4 -2 0 2 4 6 8 10

(VI): N = 104, к = 10, Т = 5

(IX): N = 5 ■ 105, к = 10, Т = 10

Рис. 10: Результаты численного эксперимента для системы (А.10).

достижимости (Рис. 9П, 9VI). Также можно заметить, что даже при большом количестве точек на интервале £ = 2п и £ = 4п, они не покрывают все множество достижимости, особенно рядом с границей (Рис. 9ГУ, 9VIII, 9!Х). Это можно объяснить тем, что управления, которые ведут на границу множества достижимости системы (А.9), являются периодическими функциями и плохо аппроксимируются алгебраическими полиномами небольшого

-2

-2

-4

-4

порядка, которые были использованы в алгоритме.

Нелинейная система. В следующем примере рассмотрим нелинейную систему

± 1 = Ж2И1 — (1 + £1)^2,

xc2 = -(1 + - Ж2М2

(A.10)

на интервале 0 ^ £ ^ 5. Начальное состояние £1(0) = £2(0) = 0, а управление стеснено таким же ограничением, что и в прошлом примере:

1

/ Л < 1.

На Рисунке 10 показаны множества достижимости системы (А.10) при различных N и к. Красная линия — граница множества достижимости, вычисленного аналитически. Видно, что при увеличении количества точек, они заполняют множество достижимости, однако, в отличие от линейной системы в предыдущем примере, здесь точки заполняют множество достижимости неравномерно.

103

102

10

10

10

bilinear system, apple ml pro, 8 threads bilinear system, intel i7 11850H, 8 threads linear system, apple ml pro, 1 thread linear system, apple ml pro, 8 threads linear system, intel i7 11850H, 1 thread linear system, intel i7 11850H, 8 threads

10

103

104 105 Number of Points

106

Рис. 11: Время работы алгоритма.

Следующий рисунок, рисунок 11, показывает зависимость времени работы алгоритма от количества точек и числа параллельных потоков (threads). Видно, что при параллельном вычислении точек множества достижимости время работы алгоритма существенно сокращается при постоянном количестве точек.

Simple method

-1 -0.8 -0.6 -0.4

-0.2 0 0.2 Ц

Heuristic method

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.

Xl

Really uniform

" л

H 0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

XI

Рис. 12: Влияние выбора коэффициентов С. А.2 Влияние выбора коэффициентов

Оказалось, что равномерность заполнения множеств достижимости точками сильно зависит от выбора коэффициентов С^. Автор использовал два метода получения случайной матрицы С € Мгх(к+1) с заданной фробениусовой нормой ЦС^Ц = д.

Первый метод состоит в генерации г (к + 1) равномерно распределённых скаляров с^-, ] = 0, ...,г(к + 1) — 1, в диапазоне [—1; 1], составлении из них матрицы С € Мгх(к+1) и нормировании её:

_ д тт — = С-;.

г пан г

Будем обозначать равномерное распредение символом и, т. е. с^- ~ Ы[—1; 1].

В верхней части рисунка 12 представлено множество достижимости системы (А.8), полученное с использованием этого метода генерации коэффициентов.

Второй метод также состоит из покомпонентной генерации равномерно распределённых скаляров, однако, диапазон, в котором происходит генерация, уменьшается на сумму квадратов уже сгенерированных компонентов. Так, нулевой компонент с^,0 равномерно распределён в диапазоне [—д; д], с^,0 ~ Ы[—д; д]. Первый компонент выбирается в виде

Ci,i ~ U

ci,0; А/ ci,0

Аналогично выбираются все остальные компоненты, кроме последнего:

ci,j ~

U

Л

f

Е-

s=0

s; Л

f2

Е'

s=0

1 ^ j ^ r(k + 1) - 2.

r(k+1)-2

Величина последнего коэффициента выбирается равной ^ j f2 — c?is, а случайно вы-

s=0 '

бирается лишь его знак. На Рисунке 12 приведено три результата генерации одинакового количества точек множества достижимости системы (A.8). На верхнем Рисунке показан результат использования первого метода генерации коэффициентов, на среднем Рисунке использован второй метод, а в нижней части рисунка аналитически рассчитанный эллипсоид множества достижимости равномерно заполнен таким же количеством точек, как и в первых двух частях рисунка. Видно, что в верхней части рисунка эллипсоид заполнен менее равномерно, чем в средней и тем более, чем в нижней.

Для того, чтобы исследовать причины такого результата, решим обратную задачу, восстановив управления, ведущие в равномерно распределённые точки третьего рисунка и коэффициенты разложения этих управлений по той же системе полиномов третьего порядка, что использовалась в первых двух рисунках.

Точки множества достижимости, полученные в результате работы Алгоритма 1, можно представить в виде xi(T,ui) = MCj, где M — матрица, составленная из решений системы (A.8), порождённых управлениями в виде полиномов pk(t),

M

x(T,po), x(T,pi),... ,x(T,pk)).

(A.11)

Рис. 13: Распределение коэффициентов Ci и C.

111

2