Критические уровни внутренней потенциальной энергии деформации твердых деформируемых тел и приложения теории в строительной механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Ступишин Леонид Юлианович

• Ступишин Леонид Юлианович
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Ступишин Леонид Юлианович

Содержание

Введение

Глава 1. Критические уровни энергии твердого деформируемого тела. Теоретические предпосылки

1.1 Понятие критических уровней энергии конструкций

1.2 Критерий исследования систем на критических уровнях энергии

1.3 Критические уровни энергии систем с сосредоточенными параметрами

1.4 Критические уровни энергии систем с распределенными параметрами

1.5 Связь экстремальных задач и задач на собственные значения

1.6 Управление параметрами твердых деформируемых тел в нелинейной стадии деформирования на критических уровнях энергии

1.6.1 Основные предпосылки теории

1.6.2 Оператор сдвига, матрица монодромии и существование периодических решений

1.6.3 Существование решений на критических уровнях

1.6.4 Алгоритм исследования нелинейных задач механики твердого деформируемого тела на критических уровнях энергии.

Типы задач

1.7 Выводы по 1 главе

Глава 2. Исследование систем с сосредоточенными параметрами на

критических уровнях энергии

2.1 Расчётная схема и основные особенности модели системы с сосредоточенными параметрами

2.1.1 Обсуждение модели задачи об аналогии задаче потери устойчивости стержнем

2.1.2 Обсуждение модели задачи об аналогии потере прочности при изгибе и сжатии

2.2 Аналогия задаче о продольном изгибе стержня

2.2.1 Критерий С.П. Тимошенко

2.2.2 Критерий Брайана

2.2.3 Критерий критических уровней внутренней потенциальной энергии деформации системы

2.3 Аналогия задаче о потере прочности при изгибе

2.4 Системы с несколькими степенями свободы

2.4.1 Применение критерия Тимошенко к задаче о продольном

изгибе системы с двумя степенями свободы

2.4.2 Критерий Брайана для исследования устойчивости системы

с двумя степенями свободы

2.4.3. Критерий критических уровней энергии для задач устойчивости систем с двумя степенями свободы

2.5 Аналогия задаче о потере прочности при изгибе системы с двумя степенями свободы

2.6 Выводы по главе

Глава 3. Исследование систем с распределёнными параметрами на критических уровнях энергии

3.1 Свойства систем с распределёнными параметрами на критических уровнях энергии

3.2. Вариации внутренних усилий системы. Инварианты усилий 3.3 Связь уравнений состояния бесконечно малого элемента конструкции в линейной постановке с соотношениями, полученными на основе вариационного критерия критических уравнений энергии

3.3.1 Стержневые системы

3.3.2 Определение амплитудных значений перемещений (коэффициентов подобия) в уравнениях состояния стержневых систем на критических уровнях энергии

94

96

102

102

111

3.3. Учёт геометрической нелинейности на критических уровнях энергии

3.4 Задача о растяжении стержня постоянного поперечного сечения

3.5 Уравнения состояния изогнутой балки, находящейся на критическом уровне энергии

3.6 Чистый изгиб балки в плоскости изгиба

3.7 Прямой поперечный изгиб балки сосредоточенной силой

3.8 Некоторые варианты построения уравнений самонапряжения при плоском изгибе балок

3.8.1 Ось изогнутой балки описывается окружностью. Геометрический аспект

3.9 Обсуждение результатов исследования уравнений состояния балки на критических уровнях деформирования, и сравнение с данными из литературы. Прямой поперечный изгиб балки сосредоточенной силой

3.10 Выводы по главе 3 143 Глава 4. Критические уровни энергии как основа теории предельных

состояний

4.1 Понятие предельного состояния в практике строительного проектирования

4.2 Основные подходы, используемые в области создания теории предельных состояний

4.3 Цели и задачи строительной механики в области определения предельных состояний конструкций

4.4 Кинематический анализ системы как основа выявления

предельного состояния

4.5. Состояние самонапряжения стержневой конструкции

4.6 Критические уровни энергии твердого деформируемого

тела. Формулировка критерия критических уровней энергии в форме метода сил

4.7 Методика исследования конструкций на критических уровнях энергии твердого деформируемого тела. Задача о «слабом звене»

конструкции

4.8 Свойства внутренней потенциальной энергии статически неопределимой стержневой конструкции

4.8.1. Основные матричные соотношения для статически неопределимой трехстержневой системы

4.8.2. Свойства предельной энергии симметричных статически неопределимых систем

4.8.3. Постановки и решения задач строительной механики на

основе критерия критических уровней энергии

4.8.4. Примеры решения задач строительной механики для симметричных систем

4.8.5 Свойства предельной энергии несимметричных статически неопределимых систем

4.8.6 Постановка и решение поверочных задач строительной механики несимметричных систем

4.8.7 Постановка и решение проектировочных задач строительной механики несимметричных систем

4.8.8 Решение задачи о прогрессирующем предельном состоянии конструкции несимметричных систем

4.9 Выводы по главе 4 198 Глава 5. Анализ прогрессирующего предельного состояния конструкций

на основе теории критических уровней энергии конструкции

5.1 Понятие о теории прогрессирующего предельного состояния зданий и сооружений

5.1.1. Аналогии в теории предельного равновесия систем в пластической стадии деформирования

5.1.2. Аналогии в теории прогрессирующего обрушения зданий и сооружений 204 5.2. Методика расчета прогрессирующего разрушения как проблема

снятия связей

5.3. Прогрессирующее предельное состояние вследствие наличия «слабого звена» в конструктивной схеме. Критические уровни энергии системы в форме метода перемещений

5.3.1 Методика решения задачи о прогрессирующем предельном состоянии

5.3.2 Расчет стержневой системы на прогрессирующее предельное состояние как задача о «слабом звене» конструкции

5.4 Решение задачи о прогрессирующем предельном состоянии конструкции от запроектных воздействий

5.4.1 Решение задачи о «слабом звене» конструкции

5.4.2 Решение задачи о внешнем аварийном воздействии на конструкцию

5.5 Выводы по главе 5 240 Глава 6. Оценка остаточного ресурса зданий и сооружений, имеющих

конструкции с дефектами, на основе критерия критических уровней

энергии

6.1 Определение остаточного ресурса и мониторинг конструкций

зданий и сооружений в практике строительного проектирования

6.2 Постановка задачи об определении остаточного ресурса конструкций здания (сооружения) как задачи о состоянии системы

на критических уровнях энергии

6.3 Инвариант жесткости несущих конструкций. Связь с критерием критических уровней энергии

6.4 Определение остаточного ресурса балки по перемещениям

и усилиям узловых точек

6.5 Определение запаса прочности конструкций здания (сооружения)

6.6 Пример определения остаточного ресурса балки фундамента получившей дефекты в процессе эксплуатации

6.7 Пример определения остаточного ресурса фермы по величине

допустимых внутренних усилий

6.8 Пример определения остаточного ресурса фермы по величине допустимых перемещений узлов

6.9 Выводы по главе 6 262 Глава 7. Постановки задач оптимального проектирования конструкций

на основе критерия критических уровней энергии

7.1 Теория оптимального проектирования конструкций зданий и сооружений в практике строительного проектирования

7.2 Постановки задач оптимального проектирования конструкций и критические уровни энергии

7.3 Определение оптимальной формы арки минимального объема (веса)

7.4 Выбор мод самонапряжения малого элемента арки

7.5 Исследование оптимальных форм пологих линейных оболочек

вращения на критических уровнях энергии

7.5.1 Уравнения состояния элемента оболочки переменной формы, находящейся в состоянии самонапряжения

7.5.2 Определение оптимальной формы линейной пологой оболочки, находящейся в условиях самонапряжения

7.6 Выводы по главе 7 292 Заключение

Список литературы

Приложение А. Справка о внедрении результатов диссертации в практику

строительных организаций

Приложение В. Справка о внедрении результатов диссертации в учебный

процесс

Введение

Научно - техническая гипотеза.

Внутренняя потенциальная энергия твердых деформируемых тел имеет критические уровни энергии, на которых реализуются состояния самонапряжения системы. При переходе критического уровня энергии деформации конструкция меняет закон деформирования, изменяется расчетная схема или происходит потеря несущей способности вследствие появления дефектов, исключающих безопасную эксплуатацию зданий и сооружений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критические уровни внутренней потенциальной энергии деформации твердых деформируемых тел и приложения теории в строительной механике»

Актуальность темы исследования.

За время существования науки о прочностных свойствах деформируемых тел и конструкций достигнут значительный прогресс. Промышленные революции, освоение новых земель, осуществление полетов в космос, освоение мирного атома, защита человечества от природных и техногенных катастроф, и многие другие потребности человечества, давали и дают мощный импульс развитию наук о прочности материалов и конструкций.

В настоящее время активно ведутся работы по повышению прочностных свойств материалов и конструкций с целью обеспечения безопасной эксплуатации зданий и сооружений, подверженных действию статических и динамических эксплуатационных нагрузок, сейсмических и аварийных воздействий как природного, так и техногенного характера. Бурно развиваются численные методы расчета сложных конструктивных систем, работающих в нелинейной стадии деформирования, позволяющие оценивать их несущую способность.

Большой вклад в развитие теории и создание методов расчета конструкций внесли современные ученые Н.П. Абовский, П.А. Акимов, А.А. Амосов, В. И. Андреев, А.М. Белостоцкий, В.З. Власов, Г.А. Гениев, А.С. Городецкий, Б.Г. Коренев, Н.Н. Леонтьев, А.В. Перельмутер, В.П. Петров, Л.А. Розин, А.Р. Ржаницын, Р.С. Санжаровский, В.Н. Сидоров, В.И. Сливкер, А.Ф. Смирнов, В. И. Травуш, С.И.

Трушин, П.Е. Товстик, П.А. Лукаш, А.М. Масленников, О.В. Мкртычев, В.Л. Мон-друс, В.В. Новожилов, Р.А. Хечумов, Н.Н. Шапошников и многие другие, перечисление фамилий которых, потребовало бы многих десятков страниц.

Появление новых материалов и предъявление повышенных требований к строительным конструкциям зданий повышенной ответственности требует новых подходов к методикам проектирования и их теоретическому обоснованию.

Степень разработанности темы. Несмотря на высокий уровень разработанности вопросов прочностных расчетов конструкций, существование программных комплексов, позволяющих вести расчеты в любых областях строительного проектирования, существуют значительные пробелы в расчетных методиках и теоретических построениях. Например, теория предельных состояний строительных конструкций пока развивается как ряд обособленных теоретических направлений, не имеющих единого теоретического базиса. Теория прогрессирующего обрушения, широко востребованная проектировщиками, представляет собой ряд практических рекомендаций, основывающихся на опыте обследования аварийных зданий.

Существуют значительные пробелы и в классической теории наук о прочности конструкций, требующие своего раскрытия. Автору не известны достаточно убедительные объяснения факту несовпадения положения сосредоточенной нагрузки (опасного сечения) и места (поперечного сечения) начала процесса разрушения в пролете простой балки средней жесткости. При чистом изгибе простой балки разрушение начинается в середине участка чистого изгиба, а не во всех сечениях, как это должно было бы быть согласно теории. Наконец, основной эксперимент на растяжение стержня цилиндрического поперечного сечения, с которого начинается изучение курса сопротивления материалов, показывает, что стержень разрушается приблизительно в одном и том же месте в пределах его длины, а не во всех сечениях одновременно, или поочередно, как это должно бы было быть согласно теории сопротивления материалов.

Можно было бы продолжать этот список «недоразумений» и несовпадений, но налицо недостаточная проработанность основных теоретических предпосылок

теории, что требует ее уточнения и дальнейшего развития. При этом следует подчеркнуть, что основные гипотезы об изучаемой деформируемой среде и принципы теории сопротивления материалов автор считает верными и развивает теорию на их основе. Попытки объяснить причины потери прочности телом с точки зрения теорий, не основывающихся на классических принципах рассмотрения явлений в строительной механике и механике твердого деформируемого тела, автор не использует.

Цели диссертационной работы:

- разработка теоретических положений нового направления исследований в области строительной механики, основанного на гипотезе о существовании критических уровней внутренней потенциальной энергии деформации (далее критических уровней энергии) в твердом деформируемом теле. Теоретическое обоснование вариационного критерия критических уровней энергии твердого деформируемого тела;

- развитие теории предельного состояния конструкций на основе вариационного критерия критических уровней энергии твердого деформируемого тела;

- разработка теории прогрессирующего предельного состояния зданий и сооружений и оценки остаточного ресурса конструкций на основе вариационного критерия критических уровней энергии твердого деформируемого тела.

Задачи диссертационной работы:

- разработка теоретических основ и вариационных формулировок понятия критических уровней внутренней потенциальной энергии твердого деформируемого тела;

- обоснование периодической природы задач о критических уровнях энергии деформируемого тела и роли состояния самонапряжения конструкции в исследовании критических состояний конструкций;

- разработка вариационных формулировок расчета деформируемых систем с сосредоточенными и распределенными параметрами на критических уровнях энергии в линейной и нелинейной постановке;

- выявление связи задач оптимального проектирования конструкций и задач

состояния деформируемых тел на критических уровнях энергии и их представление математической моделью задач на собственные значения;

- показать, что поведение деформируемого тела на критических уровнях энергии описывается задачей на собственные значения не только в задачах устойчивости и колебаний, но и в задачах прочности деформируемых систем. Существуют критические уровни энергии деформируемых систем, вследствие чего задачи потери прочности конструкцией имеют периодическую и бифуркационную природу;

- разработать критерий устойчивости и методику расчета систем с сосредоточенными и распределенными параметрами на устойчивость и прочность;

- на простых примерах показать методику расчета конструкций на критических уровнях энергии и дать разъяснения «несоответствий» теории и эксперимента в сопротивлении материалов;

- показать, что понятие «предельное состояние конструкций» можно сформулировать как состояние деформируемого тела на критических уровнях энергии, а все разнообразие предельных состояний конструкции может быть описано математической моделью задачи на собственные значения;

- разработать методику и алгоритм решения задачи о поиске «слабого звена» в конструкции здания или сооружения, как элемента, с которого начинаются процессы появления дефектов (потери несущей способности);

- разработать методику решения задач теории предельных состояний как задач на собственные значения и реализовать на примере задач расчета стержневых систем;

- разработать методику на основе критерия критических уровней энергии и расчетный алгоритм решения задач о прогрессирующем предельном состоянии как задач на собственные значения для проектирования конструктивных систем;

- разработать методику и алгоритм решения задачи об оценке остаточного ресурса строительных конструкций с учетом потери части несущей способности элементов системы вследствие возникновения дефектов;

- показать методику реализации теории критических уровней энергии в задачах оптимального проектирования конструкций.

Научная новизна работы:

- показана возможность исследования процессов деформирования конструкций на основе разделения полей внешних воздействий и поля деформаций твердого деформируемого тела, как существующих по собственным законам;

- предложено понятие критических уровней внутренней потенциальной энергии деформации и показана периодическая природа задач о критических уровнях энергии и их связь с состояниями самонапряжения конструкций;

- предложен вариационный критерий критических уровней энергии, согласно которому переход через критический уровень связан либо с потерей связей системой, либо изменением формы первоначального деформирования, либо неограниченным изменением параметров поля деформаций бифуркационного типа;

- дана вариационная формулировка критерия критических уровней энергии, позволяющая с единых позиций ставить и решать задачи прочности, жесткости и колебаний, как задачи на собственные значения;

- показана связь постановки задач оптимального проектирования конструкций и исследования систем на критических уровнях энергии, что позволяет говорить о формировании общего подхода к решению задач строительной механики: проектной, поверочной и оптимизационной;

- на простых примерах систем с сосредоточенными и распределенными параметрами показана методика расчета конструкций на критических уровнях энергии в задачах устойчивости, растяжения и изгиба, и даны разъяснения «несоответствий» теории и эксперимента, встречающиеся в сопротивлении материалов;

- показано, что понятие «предельное состояние конструкций» можно сформулировать как состояние самонапряжения деформируемого тела на критических уровнях энергии, и описать математической моделью задачи на собственные значения с единых теоретических позиций;

- предложено понятие «слабого звена» в конструкции здания или сооружения. Разработана методика и алгоритм решения задач о поиске элемента, который

первым потеряет несущую способность;

- предложено понятие «прогрессирующего предельного состояния» конструкций. Разработана методика и алгоритм решения задач о прогрессирующем предельном состоянии конструкций, реализованная на примере расчета стержневых систем;

- разработана методика и алгоритм решения задач об определении остаточного ресурса конструкции. Показаны возможности реализации методики в задачах мониторинга строительных конструкций с учетом потери части несущей способности элементов системы в связи с возникновением дефектов;

- решены задачи оптимального проектирования конструкций в новой постановке на основе критерия критических уровней энергии.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Теоретическая ценность результатов заключается в подходе, связанном с разделением полей внешней нагрузки и поля деформаций твердых деформируемых тел, что позволяет углубить понимание процессов, происходящих при деформировании континуума.

Разделение полей позволило сформулировать понятие критических уровней внутренней энергии твердого деформируемого тела и расчетные критерии, отвечающие ему.

На основе предложенного подхода дана вариационная формулировка и приведены математические модели задач исследования систем на критических уровнях энергии.

Решены новые задачи, позволяющие объяснить ряд несовпадений экспериментальных фактов и общепринятой теории.

Практическая ценность работы заключается во внедрении результатов работы в практику проектных и строительных организаций Курский завод КПД им. А.Ф. Дериглазова и «Архитектурно - строительный проект» г. Курск.

Методология и методы исследования.

Диссертационная работа основывается на общепринятых постулатах и гипотезах строительной механики и механики твердого деформируемого тела.

Постановки и методы решения задач базируются на законах и принципах аналитической механики, механики твердых деформируемых тел, строительной механики и не противоречат известным экспериментальным результатам.

Применением в рассуждениях и решении задач апробированного математического аппарата: вариационного исчисления и теории задач на собственные значения.

Сравнением полученных результатов с известными из научной литературы по специальности, теоретическими и экспериментальными фактами.

Положения, выносимые на защиту:

- методика исследования деформируемых конструкций, связанная с разделением полей внешней нагрузки и поля деформаций твердых деформируемых тел, позволяющая получить новые знания о внутренней энергии деформируемых систем и предложить новые расчетные критерии;

- гипотеза о существовании критических уровней внутренней потенциальной энергии твердого деформируемого тела, периодическая природа критических уровней, описывающая состояния самонапряжения системы;

- теоретические основы и вариационные формулировки понятия критических уровней внутренней потенциальной энергии твердого деформируемого тела, и критерий критических уровней энергии твердого деформируемого тела;

- единый энергетический подход как основа формулировки и решения задач строительной механики: прочности, жесткости, устойчивости и колебаний, в виде задач на собственные значения;

- методика решения задач расчета деформируемых систем с сосредоточенными и распределенными параметрами в линейной и нелинейной постановке на критических уровнях энергии;

- новые результаты решения задач для систем с сосредоточенными и распределенными параметрами на устойчивость, растяжение и изгиб на основе критерия критических уровней энергии и методики расчета. Объяснение «несоответствий» теории и эксперимента в сопротивлении материалов;

- развитие теории расчета конструкций по предельным состояниям как теории строительной механики о состоянии самонапряжения деформируемого тела на критических уровнях энергии;

- объединение теорий предельных состояний 1 и 2 группы для несущих конструкций зданий и сооружений на единой теоретико - математической основе в виде математической модели задач на собственные значения;

- понятие «слабого звена» конструкции и методики расчета конструкций с целью определения элемента, первым теряющего несущую способность;

- понятие «прогрессирующего предельного состояния» конструктивных систем на основе критерия критических уровней энергии. Постановка и решение задач выявления последовательности потери несущей способности элементами конструктивной системы;

- методика и алгоритм решения задачи об остаточном ресурсе строительных конструкций с учетом потери части несущей способности элементов системы в связи с возникновением дефектов;

- применение теории критических уровнях энергии в задачах оптимального проектирования конструкций и новые результаты их решения.

Степень достоверности и апробация результатов.

Тематика диссертационных исследований соответствует паспорту специальности «Строительная механика»: п.1 (общие принципы расчета сооружений и их элементов), п.2 (линейная и нелинейная механика конструкций и сооружений, разработка физико - математических моделей их расчета); п.5 (Теория и методы оптимизации сооружений), п.7 (Теория и методы расчета сооружений в экстремальных ситуациях (землетрясения, ураганы, взрывы и так далее))

Все положения, выносящиеся на защиту, получены либо автором, либо под его руководством. В работах, опубликованных в соавторстве, личное участие автора заключается в постановке задачи, разработке теоретического обоснования и анализе результатов.

Предлагаемые теоретические положения основываются на общепринятых

положениях классической механики твердого тела, математической физики, теории вариационного исчисления, а также реализованы в рамках общепринятых гипотез и понятий строительной механики (механики твердого деформируемого тела).

Все полученные результаты нашли подтверждение в сравнении с известными из специальной литературы положениями, а также результатами, полученными другими авторами.

Личный вклад автора состоит в предложении разделения полей нагрузок и деформаций, выдвижении гипотезы о существовании критических уровней внутренней потенциальной энергии, критерия КУЭ. Утверждение о единстве постановки проектной, поверочной и оптимизационных задач строительной механики и математической модели в виде задач на собственные значения. Выявлена единая физико - механическая природа явлений потери прочности, потери устойчивости и колебаний систем. Предложена единая теория предельных состояний, как задач на собственные значения. Введены понятия о «слабом звене» конструкции, и «прогрессирующем предельном состоянии конструкций». Предложены критерии остаточного ресурса конструкций зданий и сооружений и методика решения задач оптимизации конструкций.

Результаты, выносимые на защиту докладывались: на II научно - технической конференции «Вибрацонные машины и технологии». г.Курск, 1995; Юбилейной научной конференции посвященной 50-летию победы в ВОВ 1941-1945 гг., Курск, 1995; Семинаре МГСУ под руководством профессоров Р.А. Хечумова и Н.Н. Шапошникова, 1996г.; III Международной научно-технической конференции «Вибрационные машины и технологии», Курск, 1997; Семинаре Санкт-Петербургского ГАСУ под руководством профессоров Санжаровского Р.С., А.М. Масленникова и П.Е. Товстика в 1997-1998г.; III международной научно - технической конференции «Проблемы строительного комплекса России. Фундаментальные науки, научно - методические разработки», Уфа, УГНТУ, 1999г.; III международной научно-технической конференции при III Международной специализированной выставке «Строительство, архитектура, коммунальное хозяйство - 99» Москва,

1999г.; Международной научно-практической конференции «Строительство 2007», г. Ростов - на - Дону, РГСУ, 2007; VI Международной научно - технической конференции «Современные инструментальные системы, информационные технологии и инновации», г. Курск, 2008; I Международной научно - практической конференции «Проблемы строительного производства и управления недвижимостью», Кемерово, Кузбасский ГТУ, 2010; XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», BEM&FEM, Санкт Петербург, 2009; XXIV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». BEM&FEM, Санкт Петербург, 2011; Международной научно - практической конференции «Безопасность и проектирование конструкций в машиностроении и строительстве», г. Курск, 2013; The 3rd International Conference on Civil Engineering and Transportation, Kunming, China (ICCET) 2013; 4th International Conference on Civil Engineering, Architecture and Building Materials, Haikou, China, 2014; International conference on civil, architectural, structural and constructional engineering, Dong-a university, Busan, South Korea, 2015; XX научно-методическая конференция Военно- инженерно - технического университета (ВИТУ) «Дефекты зданий и сооружений. Усиление строительных конструкций», 2016; 7th International Conference on Key Engineering Materials (ICKEM 2017), Penang, Malaysia, 2017; 9th International Conference on Key Engineering Materials (ICKEM 2019), Oxford, GB; 10th International Conference on Key Engineering Materials (ICKEM 2020), Madrid, Spain; BIM-моделирование в задачах строительства и архитектуры. IV Международная научно-практическая конференция. Санкт-Петербург, май 2021, СПбГАСУ; IX Международной научной конференции «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений («Золотовские чтения»). Москва, август 2021; Международной геотехнической конференции GFAC 2021. Санкт-Петербург, октябрь 2021; Научно-практическом семинаре, посвященном 95-летию со дня рождения д.т.н., заслуженного деятеля науки России, чл. корр. РААСН Г.А. Гениева, «Прочность и деформативность строительных конструкций в условиях новых вызовов».

Москва, январь, 2022; 12th International Conference on Key Engineering Materials (ICKEM 2022). Udine, Italy.

По результатам исследований опубликовано 28 статей, из них 15 в журналах, рекомендуемых ВАК, 1 статья РИНЦ, 12 статей в изданиях, содержащихся в библиографических базах Scopus и Web of science. Опубликовано 2 монографии. Получено 1 свидетельство на программный продукт. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и приложений. Количество страниц- 314 с., приложений 2, рисунков 64, таблиц 2.

ГЛАВА 1. КРИТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

1.1 Понятие критических уровней энергии конструкций.

Понятие критического состояния систем широко используется в науке и технике. Как правило, достижение критического состояния означает, что параметры системы достигли своих предельных значений, после превышения которых, система либо перестает существовать, либо качественно меняет закономерности своего поведения [3, 22, 23, 66, 127, 137, 141].

Примерами могут служить теория фазовых переходов в физике твердого тела, явление квантования энергии электрона в атомной физике [22, 23, 127, 137], теория структурных переходов при изучении текучести кристаллов [69, 80, 104]. В механике твердого деформируемого тела известно явление потери устойчивости первоначальной формы равновесия конструкции [2, 14, 20, 48, 54, 68, 70, 71, 76, 91, 98, 124, 126], явление резонанса [4, 42, 70, 71]. Вполне вероятно, что потеря прочности конструкцией также является проявлением неустойчивости процесса деформирования материала. Трудности экспериментального исследования процесса разрушения, заставляют выдвигать гипотезы, которые, по мнению автора, объясняют причины и механизм процесса, когда твердое деформируемое тело изменяет свое поведение под нагрузкой. При этом нет теории, позволяющей единообразно (не разбивая на стадии деформирования материала) описать процессы, приводящие к разрушению конструкций. Известны методики построения вариационных принципов, описывающих процесс деформирования твердого тела последовательно: в упругой, пластической стадии деформирования или разрушения тела, где основой служат экстремальные свойства энергии [1, 6, 8, 9, 10, 18, 24, 32, 73, 89, 95, 96, 128]. Очевидно, что это лишь описание процессов деформирования на некотором участке кривой состояния равновесия. При этом бывает важнее знать состояние конструкции в моменты переходов от одной стадии деформирования к другой, так

как они позволили бы более точно и единообразно описать известные в механике твердого деформируемого тела предельные состояния континуума.

Хорошо известный факт, что деформирование образца конструкции и системы конструктивных элементов сооружения идет по различным кривым состояния равновесия (законам деформирования), придает дополнительные сложности описанию процессов предельных состояний конструкции. Однако в строительной механике можно опереться на раздел кинематического анализа деформируемых систем, где на основе трех объектов: диск, шарнир и стержень, можно сделать заключение о неизменяемости системы (сооружения). Очевидно, что переход от геометрически неизменяемой системы (как правило, статически неопределимой) к геометрически изменяемой возможен только посредством снятия связей. Тогда можно построить алгоритм исследования системы на возможность последовательного снятия связей. Ничто не препятствует применить такой подход и к континууму, схематизировано представив его как совокупность дисков, соединенных шарнирами и связями. Ниже мы покажем применение таких методик.

Представляется, что основой взгляда на процесс потери устойчивости и потери прочности как двух сторон (вариантов) потери конструкцией способности нести нагрузку, является тот факт, что полная энергия системы в момент бифуркации состояния имеет экстремальное значение. Различая энергию в точке и объеме тела, мы будем считать, что от первой к последней мы можем перейти путем осреднения энергии по объему.

Принцип осреднения свойств континуума, наряду с гипотезами о свойствах твердого деформируемого тела стал фундаментом теории наук о прочности конструкций. Ниже мы будем говорить о принципах подобия поведения физических объектов на атомном, микро и макроуровне [69,74,80,124].

В теории упругой устойчивости известны динамический, энергетический и статический [2, 42, 70] критерии исследования систем, подверженных бифуркации равновесных состояний. Наиболее полно описывают процесс потери устойчивости первые два, основанные на исследовании вариаций Гамильтониана полной энергии системы. Необходимым условием служит равенство нулю первой вариации полной

энергии системы, включающей работу внутренних и внешних сил. Равенство нулю второй вариации позволяет уточнить вид экстремума и состояние конструкции после прохождения критического уровня энергии [2, 3, 8].

Перед тем, как мы введем новые понятия, напомним, что в строительной механике, как и в механике твердого деформируемого тела, изначально была принята базовая идея о малости обобщенных перемещений конструкции, обусловленных деформациями тела. Поэтому на протяжении нескольких веков расчеты конструкций велись по недеформируемой расчетной схеме. Продуктивность этой идеи заключалась в том, что все законы и принципы механики абсолютно твердого тела (аналитической механики) можно было без особых изменений перенести на поведение деформируемых тел [3, 22, 23, 66, 127, 137, 141]. Это дало значительный прогресс в постановке задач и построении методов исследования твердых деформируемых тел.

Однако требование малости деформаций значительно сдерживало развитие строительной механики при расчетах конструкций, работающих при конечных значениях деформаций и в неупругой стадии деформирования. Появились различные теории нелинейной строительной механики, которые и в настоящее время развиваются в двух основных направлениях: учет дополнительных членов в разложении функции деформации в ряды, и пошаговые и итерационные процедуры численных расчетов конструкций. И в том, и в другом случае приходится значительные усилия прикладывать, доказывая сходимость решения для различных нелинейных задач строительной механики.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ступишин Леонид Юлианович, 2022 год

/ |

Рисунок 2.3 Изменение углов наклона пружин а1 и а 2 в зависимости от угла отклонения системы ф при отношении ? = 0,1

1

1

На рисунке 2.4 показана зависимость неуравновешенного реактивного усилия пружин, действующего в продольном направлении, от угла отклонения ф .

/

/

\ /

\ Ч /

\ \

\ /

\ 1 /

\ и ГУ г

V / - И Р1Л

\ / -- 5 Р1оК

V /

А 1 /

\ /

\ я

[

/

\ 1

-1.5 - -( .5 \ у 0 5 1 1 5

{ 1

VI 1

Рисунок 2.4 Изменение перемещений и неуравновешенной продольной реакции пружин в зависимости от угла отклонения системы ф при отношении

? = 0,1

Аналогичным образом изменяется продольное перемещение вдоль начальной оси стержня, вызываемое удлинением и укорочением пружин. Несложно видеть скачек в изменении неуравновешенного продольного реактивного усилия в пределах 0,1 < ф < 0,2 в направлении положительных значений угла ф . Аналогичная ситуация наблюдается и в отрицательной области изменения угла ф .

Графики, показанные на рисунках, будут незначительно меняться в зависимости от изменения параметра ^ . Скачки значений хорошо просматриваются на

графиках в пределах 0,01 < 0,1. При этом критические углы изменяются в

пределах 0,05рад ^ ф ^ 0,2рад соответственно.

По мере возрастания и убывания указанных пределов кривая перемещений (неуравновешенных реакций) сглаживается, а на краях участков проявляются максимальные и минимальные значения функции.

Здесь выбраны графики (рисунки 2.3 и 2.4) для значения д , в наибольшей степени отвечающего практическим приложениям. Как следует из зависимостей, процесс деформирования периодический, а на графиках показан только один период изменения угла — К / 2 <ф< К / 2 .

По аналогии с (2.14) и (2.15) можно вычислить составляющие горизонтальной неуравновешенной реакции

Rj' =1-8! sin а! , (2.21)

для растянутой пружины, и

R2 = г52 sina2. (2.22)

для сжатой пружины.

Неуравновешенная горизонтальная составляющая определится выражением

A Rг = i[ (V(2sin2(Ф/2))2 + (2q + sinф)2 -2eg) . ^ -

2 V1 + tg2^i

(2.23)

"(2q - V (2sin2(ф / 2))2 + (2eg- sin ф)2) tga ].

Vi+tg2

a2

Возможное перемещение по горизонтали

5г = 51 sin a1 - 52 sin a2 . (2.24)

График изменения горизонтальных перемещений и реакций в зависимости от угла отклонения стержня показан на рисунке 2.5. Как видим, горизонтальные реакции испытывают скачкообразные изменения при тех же углах отклонения, что и вертикальные. Полученная зависимость может служить аналогией поперечной силе при изгибе модели. Именно поэтому задачи потери прочности конструкцией при сжатии и изгибе исследуются как периодические и бифуркационные, и говорится о потере устойчивости деформирования материала конструкции.

Потеря прочности при сжатии не имеет такого наглядного геометрического описания бифуркационной картины как потеря устойчивости формы и потеря прочности при изгибе.

Рисунок 2.5 Изменение горизонтальной реакции А Яг и возможного перемещения 8г в зависимости от угла отклонения ф стержня при ^ = 0,1

Поэтому она иллюстрируется косвенно, через задачу о потере прочности стержнем при изгибе. Это позволяет показать периодический характер обеих задач и бифуркационную природу потери прочности.

Для практики оказывается не менее важным случай потери устойчивости деформирования системы, когда она одновременно перемещается поступательно и отклоняется от вертикали, как аналогия продольно-поперечному изгибу. Здесь сложно говорить о бифуркации в традиционном смысле, но как мы увидим, потеря прочности в точках с критической (предельной) энергией также есть периодический и бифуркационный процесс.

Мы не будем рассматривать такие виды сопротивления как кручение и сдвиг. Несложно найти аналогии, которые покажут, что эти виды сопротивления тоже имеют периодический и бифуркационный характер.

Упомянутые свойства деформируемых систем позволяют с единых позиций описать явление потери прочности и устойчивости формы на основе понятия критических уровней энергии. Это даёт возможность с единых позиций описывать предельные состояния систем, упрощает методику синтеза конструкций, как в линейной, так и нелинейной стадии деформирования.

В случае систем с сосредоточенными параметрами задачи о потере прочности сводятся, практически, к задачам о предельном равновесии систем [90, 136]. Поэтому мы ограничимся лишь решением простых задач, иллюстрирующих методику и алгоритм, предлагаемые на основе анализа критических состояний энергии.

Нами рассматриваются системы с сосредоточенными параметрами, находящиеся в критическом, предбифуркационном состоянии. Их отличительной способностью является тот факт, что в результате бифуркаций качественно меняется вид движения системы. Количество степеней свободы подсчитывается для случая предбифуркационного деформирования системы. Поэтому, например, конструкция, изображённая на рисунке (2.1) имеет одну степень свободы в задаче о потере устойчивости при сжатии.

2.2 Аналогия задаче о продольном изгибе стержня

В задаче о продольном изгибе стержня мы покажем разницу в подходах к постановке задачи устойчивости системы с одной степенью свободы на примере формулирования критериев устойчивости конструкции С.П. Тимошенко, Брайана и критерия критических уровней внутренней потенциальной энергии деформации (далее внутренней энергии) [150, 151].

В подходе Тимошенко рассматривается полная энергия системы и не учитывается запасание внутренней энергии системой. Поэтому критерий Тимошенко позволяет найти только величину критического значения внешней нагрузки.

Согласно критерию Брайана, исследуется полная потенциальная энергия системы, записанная через внутренние усилия, найденные на этапе сжатия стержня и исследуемые в момент потери устойчивости. Поэтому в каком - то смысле записывается условие минимума внутренней энергии конструкции, а результатом решения является критическое значение внутренней продольной силы и величины критического перемещения стержня от сжатия. Из решения уравнений видно, что решения носят периодический характер.

Критерий критических уровней энергии носит наиболее объемлющий характер, основываясь на гипотезе о существовании критических уровней потенциальной внутренней энергии тела, и существовании зависимостей между параметрами системы, которые описываются ортонормированными системами функций.

2.2.1 Критерий С.П. Тимошенко

Следуя автору критерия [125, 126], мы должны пренебречь этапом накопления энергии системой. Поэтому уравнения будут записываться для момента, когда внешняя сжимающая сила достигла своего критического значения, и система начинает отклоняться от первоначального прямолинейного положения.

Когда система отклонится в новое равновесное положение, внешняя сила совершит возможную работу равную

^ех = Ре А, (2.25)

где перемещение А определяется малым углом отклонения ф стержня от начального положения как

А = /ф2/2. (2.26)

Пружины системы запасут внутреннюю потенциальную энергию деформации в процессе перехода системой в новое равновесное состояние:

/ Мёф. (2.27)

Момент, возникающий в пружинах системы вследствие малых перемещений можно записать в виде:

М = гИ2ф /2. (2.28)

Полная энергия системы П может быть представлена как:

П = Кс1ф2/2 - гЬ2ф2/4. (2.29)

Условие минимума полной потенциальной энергии деформации для системы, находящейся в равновесии:

дП

дф

= 0.

(2.30)

Откуда получаем величину критической силы при потере устойчивости системой:

2

к

гЬ/

2/

(2.31)

Несложно видеть, что значение критической силы полностью совпадает с результатом, полученным для классической модели, представленной в [2, 125].

Чтобы показать отличие предложенной выше модели (см. рисунок 2.1) от классической, заметим, что определение критических перемещений исходя из рассмотрения классической модели невозможно. Предлагаемая модель позволяет учесть историю нагружения, то есть накопление системой энергии на стадии сжатия до момента потери устойчивости. Можно записать равенство действительной и возможной работ до момента потери устойчивости.

2гД 72 = БД/ 2. (2.32)

Откуда получим

Рс = 2гД с. (2.33) Принимая во внимание (2.31), окончательно получим

И2

А с = с 4/

(2.34)

Заметим, что перемещения получены как результат разделения процесса деформирования на стадии, после использования критерия Тимошенко.

2.2.2 Критерий Брайана

На самом деле Брайан не решал задачу об устойчивости стержня, он исследовал устойчивость пластины, сжимаемой силами, лежащими в срединной плоскости [139]. Его предложение заключалось в том, что полная потенциальная энергия пластинчатой конструкции, подверженной потере устойчивости может быть представлена суммой потенциальной энергии деформации и работы начальных внутренних усилий, приложенных по грани пластинок вместо внешней нагрузки. Н.А. Алфутов [2] предложил называть такой подход «энергетическим критерием (вариационным принципом) в форме Брайана». Для нас здесь важно то, что фактически рассматривается полная энергия системы, представленная работой внутренних усилий, а вместо внешней нагрузки, порожденной внешними полями энергии, используются значения внутренних усилий, определенных на первом этапе из рассмотрения задачи о сжатии конструкции.

Критическая величина продольной сжимающей силы, порожденной сжатыми пружинами при продольном сжатии модели до момента потери устойчивости, может быть записана, как в предыдущем разделе (2.33) в виде

Nc = 2гД с. (2.35)

Изгибающий момент определяется через конечные значения углов поворота системы. В этом разделе намеренно не используются линеаризованные уравнения с бесконечно малыми углами поворота, чтобы позже показать периодический характер процесса деформирования

M = rh2sin(9 /2). (2.36)

После подстановки выражения (2.35) в формулу (2.27) и интегрирования от нулевого значения угла до угла в новом состоянии равновесия, получаем выражение работы внутренних сил, характеризующее отклонение системы от начального положения равновесия

WM = 2rh2(cos(9/2) -1). (2.37)

Внутренняя энергия деформации, запасенная в результате возможной работы начальной внутренней продольной силы, имеющей постоянную величину в процессе отклонения, имеет тот же вид, что и в предыдущем разделе.

^^ = 2гАс/(1 - ео8ф). (2.38)

Получаем полную энергию и, системы, находящейся в новом положении равновесия, представленную через внутренние усилия.

и, = 2гАс/(1 - ео8ф) - 2гИ2(1 - ео8(ф/2)). (2.39)

Условие стационарности энергии может быть представлено следующим образом:

^ л

= (2.40)

дф

Оно приводит к выражению для критического перемещения системы

Дс = И2 Бее(ф/2)/(4/). (2.41)

Нетрудно видеть, что минимальное перемещение, при котором система теряет устойчивость, определяется выражением

Ат1 = И2 /(4/), (2.42)

которое совпадает с решением, полученным в предыдущем разделе. Критическая сила может быть определена по формуле (2.35)

N = гИ2 Бее(ф /2)/(2/). (2.43)

Ее минимальная величина может быть определена как

= гИ2 /(2/). (2.44)

На рисунке 2.6 показана зависимость критических значений продольных перемещений системы в зависимости от углов отклонения системы после потери устойчивости. Мы видим периодическую природу изменения параметров системы, что было невозможно получить при использовании критерия Тимошенко. Только исследование внутренней энергии тела, согласно критерию Брайана, позволяет увидеть периодический характер получаемых решений.

и 4 п 3 и

-15 -11 -5 0 -1 - -2 -3 - -4 1 5 Ф 1 1 10 15

Рисунок 2.6 Зависимость изменения критических величин продольных перемещений от угла отклонения системы от первоначального состояния при потере устойчивости

Величины критических сил полностью совпадают с результатами, полученными в [2], несмотря на различие физических моделей (расчетных схем) конструкции. Одной из причин этому служит тот факт, что критерий Брайана, как и критерий Тимошенко, исследует систему вблизи точки равновесия.

2.2.3 Критерий критических уровней внутренней потенциальной

энергии деформации системы

Основной идеей критерия критических уровней внутренней потенциальной энергии деформации системы (в дальнейшем внутренней энергии) служит предположение о том, что любая консервативная система, подверженная деформирова-

нию, имеет критические уровни потенциальной энергии деформации. После превышения значений энергии, отвечающих какому - то из них, конструкция изменит свое поведение под нагрузкой (вид закона равновесных состояний), расчетную схему (потеряет связи), или разрушится (в смысле отказа нести приложенную нагрузку).

Судить о произошедшем переходе точки критического равновесия можно будет по изменению вида самоуравновешенного состояния.

Условие самоуравновешенного состояния до момента занятия системой нового состояния равновесия описывается работой внутренних усилий:

Win=Win-WiMf ^ min, (2.45)

при условии ортонормированности функций, характеризующих состояние системы в самоуравновешенном состоянии. Заметим, что свойство ортонормированности позволяет не заботиться о малости перемещений, получаемых системой, что критически важно при использовании критерия Тимошенко. Критерий Брайана допускает наличие малых, но конечных перемещений системы. В нашем случае принимаем

Д с2 =1. (2.46)

Введем безразмерные переменные в виде:

Д. = !Дк. Д - !Дс. даМ = ^м = ^ (247)

д ^ , Дс ^ , wln д2 , wln д2 . ( )

Тогда уравнение Лагранжа для поставленной задачи примет вид:

Ь = 2(оо8(фс / 2) -1) - Дс2 + Х(Дс2 + фс2 -1). (2.48)

Из условия стационарности лагранжиана по выбранным переменным

аь п аь п

= ° = °. (2.49)

адс аФ с 4 '

получим собственные значения экстремальной задачи

с - 1 Хфс .

Выражения перемещений и внутренних усилий на критических уровнях энергии в точном и приближенном (для малых отклонений) виде запишутся как:

-г л Ь2 8т(фс/2) ^ И2

Л =Лс^Фс = --4/ ■ (2"60)

Кс = 2гЛС = 2*2"П(фс 2) « Г^2. (2.61)

2/фС 2/

Полученные результаты полностью совпадают с результатами, приведенными в предыдущих разделах для конечных и малых перемещений системы.

Из условия нормировки легко получить связь между текущими продольными перемещениями системы и углами ее отклонения от начального положения при различных значениях жесткостей пружин, определяющих момент наступления предельного состояния.

Ак = -Бш(ф/2) ± V1 - ф2. (2.62)

Эта функция позволяет получить минимальное значение угла отклонения системы согласно выражению

ёАк ёф

= - сов(ф/2)/2 ±ф/ д/1 -ф2 = 0. (2.63)

Решение уравнения дает угол отклонения ф = 0,6856рад = 39,30. Несмотря на то, что угол нельзя отнести к малым, критерий критических уровней позволяет его получить благодаря условию нормировки, не нарушая условий малости при формулировании задачи.

В заключение отметим, что величина критических параметров полностью совпадает с полученными величинами для классической модели в источниках [2, 125], несмотря на различие в конструкции упругого шарнира. Предложенная схема в отличие от классической, используемой в [2, 125], позволяет учесть запасание энергии, и поэтому более полно описывает процесс деформирования, что позволяет выявить периодический характер задачи.

2.3 Аналогия задаче о потере прочности при изгибе

На первом этапе при отклонении стержня на угол ф происходит возрастание

неуравновешенной продольной реакции А Я. Возможное продольное перемещение за счет растяжения одной пружины и сжатия другой в продольном направлении может быть найдено по (2.11), (2.12).

При достижении предельного угла отклонения вследствие вращения стержня из начального положения в отклоненное, модель стержня, в какой - то момент, перейдет в состояние безразличного равновесия (самонапряжения). Пренебрежимо малое возмущение заставит конструкцию расходовать накопленную потенциальную энергию деформации на поступательное перемещение системы вдоль оси стержня.

Потенциальная энергия, накопленная в виде работы момента на углах отклонения от начального положения равновесия, запишется как

Работа неуравновешенной реакции АЯ (2.19) на соответствующих перемещениях 8 (2.20) может быть представлена в виде

= 2гИ2(ео8(фь /2) -1) = -4гИ2 Бт2(фь /4) .

(2.64)

(2.65)

Или, после подстановки выражения (2.10)

1

(2.66)

Суммарная потенциальная энергия системы

Аи = + .

(2.67)

Выражение изменения безразмерной потенциальной энергии в зависимости от угла отклонения

ДО = 2(cos(9 / 2) -1) + -[(7(2sin2(9 / 2))2 + (2q + sin ф)2 - 2с) х

8

sin ф + 2с

х

+ sin ф) + 2 (1 - cos ф)

_ (2.68)

-(2;- 7(2sin2(ф/ 2))2 + (2;- sinф)2) х

х_2;- sin ф_j2

- sin ф) + 2 (1 - cos ф)

Здесь

дИ = Ди/rh2 . (2.69)

Первая производная внутренней потенциальной энергии по углу отклонения изгибаемой системы имеет вид

Ди = - sinfa / 2) + ((0,5л/4 sin2 (ф / 2) + (25 + sin ф)2 -5) х ёф

х2(5 + sin ф)) /7(45(5 + sin ф) + 2(1 - cos ф) --((-0,^4sin2 (ф /2) + (25 - sin ф)2 + 5)2(5 - sin ф) / 7(4^(5 - sin ф) + 2(1 - cos ф))((0.25(8sin3 (ф / 2) cos(ф / 2) + +2(25 + sin ф) cos ф)(25 + sin ф)) / (^/(45(5 + sin ф) + 2(1 - cos ф) х х^ 4 sin4 (ф /2) + (25 + sin ф)2 ) + (0,5^4 sin2 (ф /2) + (25 + sin ф)2 -5) х cos ф / 7(45(5

+ sin ф) + 2(1 - cos ф) -

-0.5((0.^V4sin4(972) + (25 + sin^^ - 5)(25 + sin ф)(45 cos ф + +2sin ф)) / (45(5 + sin ф) + 2(1 - cos ф))3/2 + (0.25(8sin3 (ф /2) х х cos^ /2) - 2(25 - sin ф) cos ф)(25 - sin ф) /

^4 sin4 (ф /2) + (25 - sin ф)2 7(45(5 - sin ф) + 2(1 - cos ф) +

+(-0,^4 sin2 (ф / 2) + (25 - sin ф)2 + 5) cos ф /

/>/№(5- sinФ) + 2(1 - cos Ф) + 0.5(-0.^4sin2(9 / 2) + (25 - sin ф)2 + +£)(2£ - sin ф)(-45 cos ф + 2 sin ф) / (4£(£ + sin ф) + 2(1 - cos ф))3/2).

График изменения потенциальной энергии системы имеет точки бифуркации.

5И ¡>

-ОтЭ-

\

\

\

\

\

I I 1/1 I I I ГТП ТТ1 гтп гтттггтт Рисунок 2.7 Изменение потенциальной энергии системы при изгибе

стержня (С, = 0,1)

График изменения первой производной от потенциальной энергии по углу отклонения системы от начального положения равновесия приведен на рисунке (2.8). График изменения второй производной от потенциальной энергии по углу отклонения системы от начального положения равновесия показан на рисунке (2.9).

Как видим, точки стационарности системы приходятся на угол отклонения ф = 0,2рад = 11,46° (кроме угла в начальном, недеформированном состоянии).

Значение критической силы можно найти из условия равенства действительной работы внешней силы

Wex = — sin ф,

ex 2

и накопленной внутренней энергии момента внутренних усилий (2.64). Условие стационарности полной энергии деформации системы

d(AW) _ Fb l

(2.71)

ёф

1 2 • ф Л

cosф-rh sin— = 0 2 2

(2.72)

о

\ V

\ ч,. =1

\ \

\

-1.5 - -с .5 0 \А 0 5 Т1 1 1 5

\

N

ч Ч

Рисунок 2.8 Изменение первой производной от потенциальной энергии по углу отклонения от начального равновесного состоянии при изгибе стержня (

5 = 0,1)

/ \ / \

ч /

( г 0 г г

ф

1

11

Рисунок 2.9 График изменения второй производной от потенциальной энергии деформации системы по углу отклонения от начального состояния равновесия при изгибе стержня (5 = 0,1).

Откуда критическая величина изгибающей силы

Ф

Fb =

2rh2 sin

2 (2.73)

l cos Ф

Подставляя значение критического значения угла отклонения фь = 0,2рад,

получаем величину критической силы Fb = 0,2037

rh2

/

Если считать углы отклонения системы бесконечно малыми величинами, то выражение работы внутренних усилий примет вид

ли = -гЬ2фЪ /4 +

+ -кд/фЬ/2 + (25 + фь)2 -25)- фь + 25

— / I- —

8 W^2

4^(5+ фь) + фЪ (2.74)

- (25 - д/фь /2 + (25-фь)2Ь 25-фь 2]2-

л/45(5-фъ) + фь

Первая производная от внутренней потенциальной энергии по углу отклонения системы фь запишется как

ёИ л , 0.0625(4ф3 + 8ф)(25 + ф) -0.5ф + . у— +

.4 , л 2 ~

л/ф4 + 4ф2 + 85 V (25 + ф)2

0.125^/ф4 + 4ф2 + 85 -5

0.25

(25+ ф)3

л/(25 + ф)2

((0.25^/ф4 + 4ф2 + 85 - 5)(25 + ф)(45 + 2ф) + (2.75)

0.0625(4ф3 - 8ф)(25 - ф) 0.125^/ф4 + 4ф2 + 85 + 5

+-^—- +

^ф4 - 4ф2 + 85^1 (-25+ ф)2 V(-25 + ф)2

'ф 0.25

(-25+ ф)3

((-0.25^ф4 - 4ф2 + 85 + 5)(25 - ф)(-45 + 2ф).

Графики изменения внутренней потенциальной энергии и ее производной по углу отклонения показаны на рисунке 2.10

1 1 о

\ 1 1

\ о о

V ~| )

\ ■с =3 — -6— 1

\ 1 -ли Р1от

\ [1 1 --(111 Р1о1

\ 1 /

п т J ✓

* н

-

-( .4 -0 .2 -0 .1 0 -ч 1 0 2 0 3 0 4

о "1 Ф

Рисунок 2.10 Изменение внутренней потенциальной энергии и ее производной по углу отклонения при изгибе системы с одной степенью свободы (^ = 0,1)

При сравнении с рисунками 2.7-2.9 несложно видеть, что критические углы отклонения совпадают в местах скачка энергии.

2.4 Системы с несколькими степенями свободы

Рассмотрим задачи о деформировании систем с сосредоточенными параметрами на примере моделей с двумя степенями свободы [151]. Поскольку мы убедились в периодическом характере задач устойчивости и прочности, и бифуркационном поведении энергии на критических уровнях энергии, а так же в том, что линейные задачи дают те же значения искомых параметров в точках ветвления, что и нелинейные [45], а отличаться будут только собственные функции их распределения, будем использовать упрощенную запись энергии деформации, как в разделе

2.1. Т.е., нас будут интересовать особенности деформирования систем с несколькими степенями свободы при бесконечно малых углах отклонения (линейные задачи).

В качестве примера системы с несколькими степенями свободы будем рассматривать задачи о продольном и поперечном изгибе системы с двумя степенями свободы, как это показано на рисунке (2.11).

А

А.

А

ег

Ь)

О

Рисунок 2.11 Аналогия задаче о продольном изгибе на примере системы с двумя степенями свободы

Упругие заделки моделируют системы, имеющие как одинаковые жесткости пружин в упругих заделках, так и разные. Деформирование конструкции происходит аналогично тому, как описано в разделе 2.1. После продольного сжатия до критического состояния наступает безразличное состояние равновесия в одном из упругих шарниров с меньшей жесткостью, или сразу в двух. Первым происходит движение в упругом шарнире, к которому приложено пренебрежимо малое возмущение. Затем система приходит в новое состояние равновесия.

I

2

I

1

I

0

2.4.1 Применение критерия Тимошенко к задаче о продольном изгибе системы с двумя степенями свободы

На рисунке 2.12 изображена система с двумя степенями свободы, в начальном состоянии и один из вариантов потери устойчивости. Считаем, что жёсткости в узлах различны Г Ф г2, и тогда критические величины податливостей в узлах тоже различаются Агсг ф А^ .

Очевидно, что продольные перемещения системы будут сначала совершаться за счёт узла с меньшей жёсткостью (пусть это первый узел с жёсткостью Гц), и после того, как податливость первого узла А!ст будет исчерпана, может быть либо потеряна устойчивость, либо начнёт деформироваться второй узел.

В любом случае критические перемещения внешней силы F не будут больше 1 2

А1 или А" , плюс перемещения за счёт угла отклонения от вертикали.

А

сг

А

Аг

А

сг

(ф1 -Ф" )

ь

.....!...

Ф1 /

Г

Ь1

I

2

Г

2

0

Рисунок 2.12 Потеря устойчивости системой с различными жесткостями упругих заделок

Возможная работа внешней силы после потери устойчивости стержнем

W = Б А

т,ех ег ег'

где

А ег = 11 (1 - ео8ф1) +/2 (1 - еоБф2) = /^т2 — + /22в1п2 —

2

2

(2.77)

или ввиду малости углов

2 2 А = / Ф2 + / ф2

Аег =11 2 +/2 2

(2.78)

Действительная работа по отклонению стержня от вертикали в первом шар-

нире

W11n = 2^

Ф1 1

еоБ — -1 2

= -2Г1Ь?2Б1П2 ф« - г1И?ф? /4.

(2.79)

Во втором шарнире действительная работа совершается на разнице углов (см. рис. 2.12), поэтому запишется в виде

Wln = 2^2

еоБ

(ф1 -Ф2 ) _1 2

о и20 ■ 2 (ф1 -Ф2) = 2г2й2281п ---

У

(2.80)

-г2ь2 (Ф1 -Ф2 )2/4.

Полная энергия деформации стержня равна возможной работе внешней силы на продольных перемещениях, и действительной работы внутренних усилий

П = Бег (/1Ф2 + /2Ф2)/ 2 - г^ / 4 - ^ (ф, - Ф2 )2 / 4. (2.81)

Условия стационарности энергии по углам отклонения

ЭП Эф1

рег/1ф1 - г1Ь2ф1 /2 - ^ (ф1 - ф2 ) /2 = 0,

ЭП

(2.82)

Эф

Бег^2ф2 + Г2Ь2 (ф1 -ф2 ) /2 = 0 ,

2

дают систему однородных уравнений относительно углов поворота в узлах системы

(2рсг11 - Г2Ь2 - Г1Ь" )Ф1 + Г2Ь2Ф2 = °>

г2Ь"Ф1 + (2РсА - Г2Ь2 )Ф2 = 0

Чтобы было получено нетривиальное решение определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, должен быть равен нулю

2^1 - Г2Ь" - Г1Ь" Г2Ь2

Г2Ь2 2Рсг12 - Г2Ь2

= 0.

(2.84)

После раскрытия определителя получаем уравнение

4^2 - 2^2 (г2Ь" + г^")- 2РсГ/АЬ2 + + (г2Ь" )2 + ^2^2 - (г2Ь| )2= 0.

Введем обозначения

(2.85)

а = 4/1/2, Ь = -2(г2ь" (¡1 +12) + г1ь"/2 ), с = г^г^" . (2.86)

Тогда квадратное уравнение относительно неизвестной величины критической силы будет иметь вид