Квантовые эффекты интерференции в наноструктурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мелешенко, Петр Александрович

• Мелешенко, Петр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мелешенко, Петр Александрович

Введение

1 Обзор литературы

2 Метод трансфер-матрицы

2.1 Метод трансфер-матрицы при рассеянии на потенциале: стандартная формулировка

2.2 Метод трансфер-матрицы при рассеянии на потенциале: альтернативная формулировка.

2.2.1 Конкретные примеры потенциалов.

2.3 Функции Йоста.

2.4 Функция Грина в терминах функций Йоста.

2.5 Обобщенная восприимчивость квантовой системы.

3 Применения метода трансфер-матрицы

3.1 Модель гибридной магнито-электрической наноструктуры

3.2 Рассеяние в графо-подобных структурах: метод "массива вершин"

3.2.1 Основной формализм

3.2.2 Рассеяние на квантовом кольце.

3.3 Квантовое кольцо с равными плечами.

3.4 Квантовое кольцо с различными плечами.

3.5 Асимметричное кольцо с потоком Ааронова-Бома.

3.5.1 Рассеяние на каскаде квантовых колец

4 Эффект Ааронова-Бома

4.1 Эффект Ааронова-Бома как интерференционное явление

4.2 Эффект Ааронова-Бома: задача рассеяния.

4.3 Векторный потенциал потока Ааронова-Бома: сингулярное калибровочное преобразование и уравнение Шредингера с сингулярным слагаемым.

4.4 Излучение в условиях эффекта Ааронова-Бома.

4.4.1 Взаимодействие электрона с электромагнитным вакуумом: излучение.

4.4.2 Поляризационные характеристики излучения.

4.4.3 Результаты численного моделирования излучения в условиях эффекта Ааронова-Бома.

4.5 Термодинамические характеристики колец Ааронова-Бома: влияние потока Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики

4.5.1 Статсумма, энтропия, намагниченность и магнитная восприимчивость.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые эффекты интерференции в наноструктурах»

Актуальность темы

В области современной наноэлектроники заслуживает особого внимания прогресс в экспериментальном получении, развитии и понимании основных свойств различных наноразмерных структур, о чем свидетельствует обширный список литературы в данной области. При этом выделяются основные два направления, именно технологии получения и теоретического описания квантовых каскадов (последовательностей одномерных потенциальных барьеров и ям), применяемых в так называемых квантовых каскадных лазерах (quantum cascade lasers, QCL), и квантовые интерференционные устройства, такие например, как квантовые кольца (quantum rings) и каскады квантовых колец, которые предлагаются к использованию в области современной оптоэлектроники, планарной оптики, спинтроники и т.д.

Появление лазеров на квантовых каскадах послужило толчком к развитию новых приложений, основанных на использовании электромагнитного излучения с терагерцовой частотой, поскольку именно на такой частоте происходит излучение электромагнитных воли в квантовых каскадах. Область применения терагерцового излучения чрезвычайно широка. Оно представляет интерес как с точки зрения фундаментальной физики, так и с точки зрения возможных приложений (квантовый каскадный лазер, гибридные магнито-электрические наноструктуры). Квантовый каскад, реализованный в гетеронаноструктуре, интересен не только благодаря большому числу практических приложений, но и потому, что с большой степенью точности он может рассматриваться как одномерная структура, являясь тем самым прекрасным объектом для проверки различных теорий, рассматривающих свойства низкоразмерных систем.

Развитию теоретических основ работы- лазеров на квантовых каскадах посвящено большое число работ. Наиболее полный теоретический метод для расчета энергетической структуры активной зоны основан на методе неравновесных функций Грина, который позволяет анализировать не только энергетические уровни в активной зоне, но и плотность электронных состояний, а также транспортные свойства каскадных гетерострук-тур. Тем не менее, этот метод обладает рядом существенных недостатков. Одним из них является невозможность учета дисперсии массы в гетеро-структуре. Это является очень существенным недостатком, так как без эффекта дисперсии массы- невозможно получить, точное значение энергий электронных состояний в каскаде - важнейшей характеристики для лазерной генерации. Кроме того, метод неравновесной функции Грина является достаточно громоздким для теоретического анализа и использование его для расчета конкретных квантовых каскадов представляется затруднительным. В данной работе развивается теоретический подход к описанию каскадных систем, основанный на формализме теории рассеяния (метод трансфер-матрицы). Одним из основных преимуществ является общность постановки задачи рассеяния, связанная с тем, что данные рассеяния заключают в себе практически полную информацию об исследуемой системе (как в дискретном, так и в непрерывном спектрах).

Еще одна интересная задача, которая может быть рассмотрена в квантовом каскаде, состоит в проведении эксперимента по реализации эффекта Ааронова-Бома (еще один из известных квантовых эффектов интерференции с более чем пятидесятилетней историей). Впервые такая возможность была указана в 1985 году Даттой (Ба^а). Хорошо известно, что эксперименты, связанные с эффектом Ааронова-Бома, зачастую достаточно сложны с технической точки зрения. Вместе с тем, успехи, достигнутые по работе с лазерами на квантовых каскадах и по созданию самих квантовых каскадов, позволяют надеяться на успешную постановку эксперимента. В связи с этим определенный интерес представляет исследование процесса излучения в условиях эффекта Ааронова-Бома, т.е. его влияние на наблюдаемые характеристики квантовой системы.

В молекулярной электронике, таюке активно развивающейся в последние несколько лет, работают со структурами (молекулы, нанопроволо-ки и т.п.), в которых законы квантовой механики играют определяющую роль. При этом-, подобные объекты с высокой точностью таюке можно моделировать одномерными структурами (проводами по которым движутся носители заряда), соединенными между собой. С точки зрения математики такая структура представляет собой не что иное, как граф. Тем самым, становится возможным моделировать работу многих устройств молекулярной электроники, куда можно отнести также и квантовые интерференционные устройства, рассматривая уравнение Шредингера.на графе с одномерными ребрами и распределенными на них потенциалами. В- физике такие графы, называются "квантовыми графами".

Теория квантовых графов в настоящее время представляет собой хорошо развитый раздел квантовой механики. В стандартном подходе при решении задач на квантовых графах используют квантовую теория рассеяния в формализме ¿"-матрицы. Однако данный.метод не является наиболее подходящим для решения подобных задач. В первую очередь это связано с тем, что графы в подавляющем большинстве случаев, рассматриваются как одномерные структуры и использование ¿-матрицы в этом случае является существенно менее удобным, нежели метод трансфер-матрицы. Кроме того, ситуация осложняется еще и тем,.что в формализме ¿-матрицы приходится работать с матрицами размер которых зависит не только от числа внешних ребер графа, но и числа внутренних ребер. Учитывая, что строение графа может быть достаточно сложным, можно показать, что размер матриц может быть весьма значительным. В случае же подхода, основанного на методе трансфер-матрицы размер соответствующих матриц определяется только числом внешних ребер графа. Данный факт оказывается очень существенным при численном моделировании конкретных структур.

Таким образом, можно сделать вывод, что развитие теории, основанной на методе трансфер-матрицы, для анализа и моделирования таких физических систем, как квантовые каскады и квантовые интерференционные устройства является актуальной задачей.

Цели работы

Основными целями данной диссертационной работы являются:

1. Развитие последовательной теоретической схемы расчета характеристик переноса носителей заряда в квазиодномерных наноструктурах (квантовые каскады, гибридные магнито-электрические наноструктуры, квантовые интерференционные устройства).

2. Построение удобного для численной реализации представления функции Грина электрона в квазиодномерной структуре в рамках аппарата функций Йоста задачи рассеяния и расчет характеристик отклика такой системы на внешнее электромагнитное поле.

3. Исследование влияния квантовых эффектов интерференции (в том числе и эффекта Ааронова-Бома) на наблюдаемые характеристики низкоразмерных систем. В частности, решение задачи об излучении, сопровождающем процесс рассеяния в эффекте Ааронова-Бома.

Научная новизна работы

• Впервые дана последовательная теоретическая схема расчета характеристик переноса заряда в квазиодномерных каскадных системах (последовательности потенциальных барьеров и ям), в гибридных магнито-электрических наноразмерных устройствах, а также в квантовых интерференционных устройствах (квантовые кольца) основанная на формализме теории рассеяния (метод трансфер-матрицы).

• Предложена удобная для анализа и численной реализации процедура построения функции Грина электрона в присутствии рассеивающего потенциала в квазиодномерных каскадных системах, основанная на использовании аппарата функций Йоста задачи рассеяния.

• Впервые исследованы свойства "тормозного" излучения, сопровождающего процесс рассеяния в эффекте Ааронова-Бома. В частности, получены и проанализированы явные аналитические выражения для спектральной плотности мощности излучения, а также его угловые и поляризационные характеристики.

Положения, выносимые на защиту

1. Приложения метода трансфер-матрицы для расчета характеристик переноса заряда в наноразмерных структурах, таких как каскадные системы потенциальных барьеров и ям, гибридные магнито-электрические наноструктуры, а также интерференционные системы с квантовыми кольцами.

2. Построение и анализ аналитических свойств функции Грина в методе трансфер-матрицы.

3. Свойства "тормозного" излучения (спектральная плотность мощности, угловые и поляризационные характеристики) в условиях эффекта Ааронова-Бома.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 14 печатных работ в форме статей, тезисов докладов и патента. Из них 8 статей, 3 в журналах перечня ВАК и 1 патент.

Плановый характер работы

Работа выполнена согласно тематическом планам НИР Воронежского государственного аграрного университета им. К. Д. Глинки (раздел 2.6 Госбюджетная тема "Электрофизика полимеров, применяемых в сельском хозяйстве и промышленности", подраздел 2.6.3. "Исследование процессов электропереноса в структурах "металл-молекула-металл" "). Работа "Каскадные наносистемы как активные среды для лазеров терагерцового диапазона" поддержана грантом Минсельхоза России за 2009 год (тема 6, пункт

7)

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях и семинарах: Школе-семинаре "Черенков-ское излучение: новые применения, ФИАН и ВГУ" (Москва-Троицк, 2006), XII Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter "Phonons-2007" (Paris, Prance, 2007), XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов "Микроэлектроника и информатика - 2008" (Зеленоград, 2008), XI Международной конференции "Физика диэлектриков" "Диэлектрики - 2008" (Санкт-Петербург, 2008), V Международной научно-технической школе-конференции "Молодые ученые -2008" (Москва, 2008), VII Международной научно-технической конференции 11 Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" "INTERMATIC - 2009" (Москва, 2009), XIII Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter "Phonons-2010" (Taipei, Taiwan, 2010); International conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO), Conference on Lasers, Applications and Technologies (LAT) "ICONO/LAT - 2010" (Kazan, Russia, 2010), XXII Международной конференции "Релаксационные явления в твердых телах" "RPS - 22" (Воронеж, 2010), Семинаре ИПХФ Российского научного центра "Курчатовский институт" (Москва, 2010 г.)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мелешенко, Петр Александрович

Выводы

В данной главе

• в рамках теории возмущений в непрерывном спектре в дипольном приближении получены аналитические выражения для спектральной плотности мощности излучения электрона в условиях эффекта Ааронова-Бома;

• проанализирована зависимость спектральной плотности мощности излучения от магнитного потока, а также поляризационная структура излучения;

• предложена физическая причина возникновения излучения в условиях эффекта Ааронова-Бома;

• рассмотрено влияние эффекта Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики квантовой системы, обладающей дискретным спектром. В частности, найдено точное выражение для свободной энергии, энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости квантового кольца с потоком Ааронова-Бома, помещенного во внешнее однородное магнитное поле;

• проанализированы зависимости энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости квантового кольца от температуры и значений потока Ааронова-Бома.

Заключение

Сформулируем основные результаты, изложенные в диссертации:

1. Предложена формулировка метода трансфер-матрицы, основанная на использовании двух линейно независимых решений уравнения Шре-дингера в области с отличным от нуля потенциалом. В рамках развиваемого формализма проанализирована модель гибридной магнитоэлектрической наноструктуры и найдены основные характеристики такой структуры, качественно правильно описывающие динамику переноса носителей заряда.

2. В рамках метода трансфер-матрицы построены фундаментальные решения задачи рассеяния (решения Йоста) и проанализированы их общие свойства. Построена одночастичная функция Грина задачи рассеяния и получены аналитические выражения для ее асимптотического поведения. Представлены результаты численного расчета обобщенной восприимчивости основного состояния электрона в условиях размерного эффекта Штарка, качественно правильно отражающие зависимость восприимчивости от формы потенциала.

3. Развит метод, позволяющий эффективно моделировать процесс переноса носителей заряда в квантовых интерференционных устройствах. Проанализированы простейшие квантовые интерференционные устройства (квантовые кольца, в том числе и в присутствии потока Ааронова-Бома) и найдены явные аналитические выражения для амплитуд отражения и прохождения через такие структуры. Проанализировано резонансное поведение амлитуд прохождения и отражения в случае квантовых колец с различными геометрическими параметрами.

4. В рамках теории возмущений в непрерывном спектре получены аналитические выражения для спектральной плотности мощности излучения, сопровождающего процесс рассеяния электрона в эффекте Ааронова-Бома. Проанализирована зависимость спектральной плотности мощности излучения от магнитного потока, а также его угловые и поляризационные характеристики. В рамках модели двумерного ротатора исследовано влияние эффекта Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики квантового кольца. Найдены и проанализированы точные выражение для свободной энергии, энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости квантового кольца с потоком Ааронова-Бома, помещенного во внешнее однородное магнитное поле.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мелешенко, Петр Александрович, 2010 год

1. Magnetoresistance of small, quasi-one-dimensional, normal-metal rings and lines / C. P. Umbach, S. Washburn, R. B. Laibowitz, R. A. Webb // Phys. Rev. B. - 1984. - Oct. - Vol. 30, no. 7. - Pp. 4048-4051.

2. Direct observation of ensemble averaging of the Aharonov-Bohm effect in normal-metal loops / C. P. Umbach, C. Van Haesendonck, R. B. Laibowitz et al. // Phys. Rev. Lett.— 1986.— Vol. 56, no. 4.— Pp. 386-389.

3. Observation of h/e Aharonov-Bohm oscillations in normal-metal rings / R. A. Webb, S. Washburn, C. P. Umbach, R. B. Laibowitz // Phys. Rev. Lett. — 1985. Vol. 54, no. 25. - Pp. 2696-2699.

4. Observation of Aharonov-Bohm electron interference effects with periods h/e and h/2e in individual micron-size, normal-metal rings / V. Chandrasekhar, M. J. Rooks, S. Wind, D. E. Prober // Phys. Rev. Lett. — 1985. — Vol. 55, no. 15.-Pp. 1610-1613.

5. Magnetization of mesoscopic copper rings: Evidence for persistent currents / L. P. Levy, G. Dolan, J. Dunsmuir, H. Bouchiat // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64, no. 17. — Pp. 2074-2077.

6. Observation of the Aharonov-Bohm effect for cuct > 1 / G. Timp, A. M. Chang, J. E. Cunningham et al. // Phys. Rev. Lett.— 1987.— Vol. 58, no. 26. Pp. 2814-2817.

7. Dolan, G. J. Quantum interference effects in lithium ring arrays / G. J. Dolan, J. C. Licini, D. J. Bishop // Phys. Rev. Lett.— 1986.— Vol. 56, no. 14. Pp. 1493-1496.

8. Quantum interference effects and spin-orbit interaction in quasi-one-dimensional wires and rings / Ç. Kurdak, A. M. Chang, A. Chin, T. Y. Chang // Phys. Rev. B. — 1992. Vol. 46, no. 11. — Pp. 6846-6856.

9. Asymmetry in the magnetoconductance of metal wires and loops / A. D. Benoit, S. Washburn, С. P. Umbach et al. // Phys. Rev. Lett.— 1986. Vol. 57, no. 14. - Pp. 1765-1768.

10. Observation of Aharonov-Bohm magnetoresistance oscillations in selectively doped GaAs — AlGaAs submicron structures / K. Ishibashi, Y. Takagaki, K. Gamo et al. // Solid State Commun. — 1987. — Vol. 64, no. 4. Pp. 573-576.

11. Measurements of optical losses in mid-infrared semiconductor lasers using Fabry-Pérot transmission oscillations / D. G. Revin, L. R. Wilson, D. A. Carder et al. // J. Appl. Phys.— 2004.— Vol. 95, no. 12.— Pp. 7584-7587.

12. Spectroscopy of GaAs/AlGaAs quantum-cascade lasers using hydrostatic pressure / S. R. Jin, C. N. Ahmad, S. J. Sweeney et al. // Appl. Phys. Lett. 2006. — Vol. 89, no. 22. — P. 221105.

13. Имри, Й. Введение в мезоскопическую физику / Й. Имри. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 304 с.

14. Гантмахер, В. Ф. Электроны в неупорядоченных средах / В. Ф. Гант-махер.— 2-е, испр., доп. изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 232 с.

15. Rammer, J. Quantum transport theory of electrons in solids: A single-particle approach / J. Rammer // Rev. Mod. Phys. — 1991. — Vol. 63, no. 4. Pp. 781-817.

16. Datta, S. Electronic Transport in Mesoscopic Systems / S. Datta.— Cambridge: Cambridge University Press, 1997. — 377 pp.

17. Imry, Y. Conductance viewed as transmission / Y. Imry, R. Landauer // Rev. Mod. Phys.- 1999. — Vol. 71.-Pp. S306-S312.

18. Lin, P. V. Electron interferometry in the quantum Hall regime: Aharonov-Bohm effect of interacting electrons / P. V. Lin, F. E. Camino, V. J. Goldman // Phys. Rev. Я —2009. —Vol. 80, no. 12. —P. 125310.

19. Design and simulation of deep-well GaAs-based quantum cascade lasers for 6.7 /ш1 room-temperature operation / X. Gao, M. D'Souza, D. Botez, I. Knezevic //J, Appl. Phys. — 2007. — Vol. 102, no. 11. —P. 113107.

20. Theory of nonequilibrium quantum transport and energy dissipation in terahertz quantum cascade lasers / T. Kubis, C. Yeh, P. Vogl et al. // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 79, no. 19. — P. 195323.

21. Merzbacher, E. Quantum mechanics / E. Merzbacher. — 2nd. edition. — New York: Wiley, 1970. 635 pp.

22. Калоджеро, Ф. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений / Ф. Калоджеро, А. Дегасперис; Под ред. В. Е. Захарова. — М.: Мир, 1985. — 469 с.

23. Klinskikh, A. F. Modified transfer matrix method for quantum cascade lasers / A. F. Klinskikh, D. A. Chechin, A. V. Dolgikh //J. Phys. B: At. Mol. Opt. 2008. - Vol. 41. - Pp. 161001-1-161001-3.

24. Tunneling properties of hybrid magnetoelectric nanoscale devices / A. F. Klinskikh, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, D. A. Chechin // Eur. Phys. J. B. 2010. - Vol. 78, no. 4. - Pp. 469-474.

25. Study of the demagnetization and optimization of the magnetic field of perpendicular ferromagnetic thin films using esub-/im lithography / W. Van Roy, E. Carpi, M. Van Hove et al. //J. Magn. Magn. Mater. — 1993. Vol. 121. - Pp. 197-200.

26. Peeters, F. M. Quantum structures created by nonhomogeneous magnetic fields / F. M. Peeters, A. Matulis // Phys. Rev. В.- 1993,-Vol. 48.-Pp. 15166-15174.

27. Majumdar, A. Effects of intrinsic spin on electronic transport through magnetic barriers / A. Majumdar // Phys. Rev. B.— 1996. —Vol. 54.— Pp. 11911-11913.

28. Scattering of ballistic electrons at a mesoscopic spot of strong magnetic field / K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Dubonos et al. // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. - P. 233312.

29. Ibrahim, I. S. Classical transport of electrons through magnetic barriers / I. S. Ibrahim, V. A. Schweigert, F. M. Peeters // Phys. Rev. B.— 1997.— Vol. 56. Pp. 7508-7516.

30. Observation of giant magnetoresistance due to open orbits in hybrid semiconductor/ferromagnet devices / A. Nogaret, S. Carlton, B. L. Gallagher et al. // Phys. Rev. B. — 1997. — Vol. 55. — Pp. R16037-R16040.

31. Electron transport in a two-dimensional electron gas with magnetic barriers / T. Vancura, T. Ihn, S. Broderick et al. // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 62. Pp. 5074-5078.

32. Nogaret, A. Resistance resonance effects through magnetic edge states / A. Nogaret, S. J. Bending, M. Henini // Phys. Rev. Lett — 2000.— Vol. 84. Pp. 2231-2234.

33. Hall anomaly of diffusive magnetic waveguides / A. Nogaret, D. N. Lawton, D. K. Maude et al. // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. -P. 165317.

34. Hybrid Hall effect device / M. Johnson, B. R. Bennett, M. J. Yang et al. // Appl. Phys. Lett. 1997. - Vol. 71. - Pp. 974-977.

35. Large hysteretic magnetoresistance in high-mobility semiconductor quantum wires bridged by single-domain nanomagnets / J.-U. Bae, T-Y. Lin, Y. Yoon et al. // Appl. Phys. Lett — 2007. — Vol. 91. — P. 022105.

36. Large tunneling magnetoresistance in a field-effect transistor with a nanoscale ferromagnetic gate / J.-U. Bae, T.-Y. Lin, Y. Yoon et al. // Appl. Phys. Lett. — 2008. — Vol. 92. — P. 253101.

37. Matulis, A. Wave-vector-dependent tunneling through magnetic barriers / A. Matulis, F. M. Peeters, P. Vasilopoulos // Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 72.-Pp. 1518-1521.

38. Heide, (?. Current through a combined magnetostatic and electrostatic barrier system / C. Heide // Phys. Rev. B. — 1999. — Vol. 60. — Pp. 25712578.

39. Electron-spin polarization in magnetically modulated quantum structures / Y. Guo, B.-L. Gu, Z. Zeng et al. // Phys. Rev. B. — 2000. Vol. 62. - Pp. 2635-2639.

40. Papp, G. Spin filtering in a magnetic-electric barrier structure / G. Papp, F. M. Peeters // Appl. Phys. Lett. — 2001. — Vol. 78. —Pp. 2184-2186.

41. Xu, H. Z. Does a magnetic barrier or a magnetic-electric barrier structure possess any spin polarization and spin filtering under zero bias? / H. Z. Xu, Y. Okada // Appl. Phys. Lett. 2001. - Vol. 79. - Pp. 31193121.

42. Lu, M.-W. Spin polarization of electrons tunneling through magnetic-barrier nanostructures / M.-W. Lu, L.-D. Zhang, X.-H. Yan // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66. - P. 224412.

43. Resonant enhancement and negative differential resistances in hybrid magnetic-electric barrier structures / Y. Guo, F. Zhai, B.-L. Gu, Y. Kawazoe // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66.- P. 045312.

44. Bamberg, P. A course in mathematics for students of physics / P. Bamberg, S. Stenberg. — Cambridge: Cambridge University Press, 1991.-Vol. 2.-P. 424.

45. Pauling, L. The diamagnetic anisotropy of aromatic molecules / L. Pauling 11 J. Chem. Phys. 1936. - Vol. 4, no. 10.- Pp. 673-677.

46. Ruedenberg, К. Free-electron network model for conjugated systems. I. Theory / K. Ruedenberg, C. W. Scherr //J. Chem. Phys.— 1953.— Vol. 21, no. 9. — Pp. 1565-1581.

47. Klevens, H. B. Classification of spectra of cata-condensed hydrocarbons / П. B. Klevens, J. R. Piatt // J. Chem. Phys.- 1949.- Vol. 17.— Pp. 470-471.

48. Piatt, J. R. Spectral resemblances of cata-condensed hydrocarbons / J. R. Piatt // J. Chem. Phys. 1949. - Vol. 17.-Pp. 484-495.

49. Schmidtke, H.-H. LCAO description of symmetric molecules by unified theory of finite graphs / H.-H. Schmidtke // J. Chem. Phys. — 1966. — Vol. 45, no. 11. Pp. 3920-3928.

50. Mallion, R. B. Some graph-theoretical aspects of simple ring current calculations of conjugated systems / R. B. Mallion // Proc. R. Soc. bond. A. 1975. - Vol. 341. - Pp. 429-449.

51. Dowker, J. S. Quantum mechanics and field theory on multiply connected and on homogeneous spaces / J. S. Dowker //J. Phys. A: Math. Gen.— 1972. Vol. 5. - Pp. 936-943.

52. Schulman, L. Approximate topologies / L. Schulman //J. Math. Phys. — 1971.-Vol. 12, no. 5.-Pp. 304-308.

53. Budgor, A. B. Quantum mechanics on topological networks / A. B. Budgor //J. Math. Phys. 1976.- Vol. 17, no. 8,- Pp. 15381545.

54. Ringwood, G. A. Random walks and quantum currents in networks /

55. G. A. Ringwood // J. Math. Phys. 1981. - Vol. 22.-Pp. 96-100.

56. Герасименко, H. И. Задача рассеяния на некомпактных графах /

57. H. И. Герасименко, Б. С. Павлов // ТМФ.— 1988.- Т. 74, № 3.— С. 345-359.

58. Герасименко, Н. И. Обратная задача рассеяния на некомпактном графе / Н. И. Герасименко // ТМФ. 1988. - Т. 75, № 2.- С. 187-200.

59. Texier, С. Scattering theory on graphs / С. Texier, G. Montambaux // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - Vol. 34.-Pp. 10307-10326.

60. Desbois, J. Spectral determinant of schrödinger operators on graphs / J. Desbois Ц J. Phys. A: Math. Gen. — 2000. — Vol. 33. — Pp. L63-L67.

61. Akkermans, E. Spectral determinant on quantum graphs / E. Akkermans // Ann. Phys.— 2000.— Vol. 284, no. 1.— Pp. 1051.

62. Griffith, J. S. Note on the generalized free-electron model of conjugated polycyclic hydrocarbons / J. S. Griffith //J. Chem. Phys.— 1953.— Vol. 21.-Pp. 174-174.

63. E. Wigner // Phys. Z. 1929. — Vol. 30. - Pp. 467-470.

64. Stillinger, F. Bound states in the continuum / F. Stillinger, D. Herrick // Phys. Rev. A. — 1975. — Vol. 11, no. 2.- Pp. 446-454.

65. Observation of an electronic bound state above a potential well /

66. F. Capasso, C. Sirtori, J. Faist et al. // Nature. — 1992,— Vol. 358.— Pp. 565 567.

67. Bound states in the continuum in open Aharonov-Bohm rings / E. N. Bulgakov, K. N. Pichugin, A. F. Sadreev, I. Rotter // JETP Lett. — 2006. — Vol. 84, no. 8. — Pp. 430-435.

68. Texier, C. Local Friedel sum rule on graphs / C. Texier, M. Büttiker // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 67, no. 24. - P. 245410.

69. Xia, J. Quantum waveguide theory for mesoscopic structures / J. Xia // Phys. Rev. B. — 1992. — Vol. 45, no. 7. — Pp. 3593-3599.

70. Aharonov, Y. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory / Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev.— 1959.— Vol. 115.— Pp. 485-491.

71. Henneberger, W. C. Some aspects of the Aharonov-Bohm effect / W. C. Henneberger // Phys. Rev. A.— 1980.— Vol. 22,— Pp. 13831388.

72. Ruijsenaars, S. N. M. The Aharonov-Bohm effect and scattering theory / S. N. M. Ruijsenaars // Ann. Phys. — 1983. — Vol. 146. — Pp. 1-34.

73. Olariu, S. The quantum effects of electromagnetic fluxes / S. Olariu, I. I. Popescu // Rev. Mod. Phys.— 1985. —Vol. 57.—.Pp. 339-436.

74. Peshkin, M. The Aharonov-Bohm effect / M. Peshkin, A. Tonomura. —

75. Springer-Verlag, Berlin, 1989. — 152 pp.

76. Alford, M. G. Aharonov-Bohm interaction of cosmic strings with matter / M. G. Alford, F. Wilczek // Phys. Rev. Lett.— 1989.- Vol. 62.-Pp. 1071-1074.

77. Hagen, C. R. Aharonov-Bohm scattering of particles with spin / C. R. Hagen // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - Pp. 503-506.

78. Афанасьев, Г. H. Старые и новые прблемы в теории эффекта Ааронова-Бома / Г. Н. Афанасьев // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1990. — Т. 21, № 1. — С. 172-250.

79. Любошиц, В. В. Транспортное сечение рассеяния и эффект Ааронова-Бома на тороидальном соленоиде / В. В. Любошиц, В. Л. Любошиц // ЖЭТФ. — 2000. — Т. 118, № 4. — С. 777-786.

80. Caprez, A. Macroscopic test of the Aharonov-Bohm effect / A. Caprez, B. Barwick, H. Batelaan // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99, no. 21. — P. 210401.

81. Wu, T. T. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields / T. T. Wu, C. N. Yang // Phys. Rev. D. — 1975. — Vol. 12, no. 12. Pp. 3845-3857.

82. Berry, M. V. Exact Aharonov-Bohm wavefunction obtained by applying Dirac's magnetic phase factor / M. V. Berry // Eur. J. Phys. — 1980. — Vol. 1, no. 4.- Pp. 240-244.

83. Hagen, C. R. Aharonov-Bohm scattering amplitude / C. R. Hagen // Phys. Rev. D.— 1990.-Vol. 41, no. 6. — Pp. 2015-2017.

84. Hagen, C. R. Exact equivalence of spin-1/2 Aharonov-Bohm and Aharonov-Casher effects / C. R. Hagen // Phys. Rev. Lett.— 1990.— Vol. 64, no. 20. Pp. 2347-2349.

85. Gavrilov, S. P. Green functions of the Dirac equation with magnetic-solenoid field / S. P. Gavrilov, D. M. Gitman, A. A. Smirnov // J. Math. Phys. 2004. - Vol. 45, no. 5. - Pp. 1873-1886.

86. Oh, C. H. The propagator in the generalized Aharonov-Bohm effect /

87. C. H. Oh, C. P. Soo, C. H. Lai // J. Math. Phys. 1988.- Vol. 29, no. 5.- Pp. 1154-1157.

88. Bagrov, V. G. Solutions of relativistic wave equations in superpositions of Aharonov-Bohm, magnetic, and electric fields /V. G. Bagrov,

89. D. M. Gitman, V. B. Tlyachev // J. Math. Phys. 2001.— Vol. 42, no. 5. — Pp. 1933-1959.

90. Vaehaspati, T. Radiation from vacuum strings and domain walls / T. Vaehaspati, A. E. Everett, A. Vilenkin // Phys. Rev. D. — 1984.— Vol. 30, no. 10. Pp. 2046-2053.

91. Vaehaspati, T. Gravitational radiation from cosmic strings / T. Vaehaspati, A. Vilenkin // Phys. Rev. D.— 1985.— Vol. 31, no. 12. Pp. 3052-3058.

92. Vilenkin, A. Electromagnetic radiation from superconducting cosmic strings / A. Vilenkin, T. Vachaspati // Phys. Rev. Lett. — 1987. — Vol. 58, no. 10. — Pp. 1041-1044.

93. Jones-Smith, K. Aharonov-Bohm radiation / K. Jones-Smith, II. Mathur, T. Vachaspati // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81, no. 4. — P. 043503.

94. Radiative attenuation of the electron in the Aharonov-Bohm effect / A. F. Klinskikh, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, H. T. T. Nguyen // Nuovo Ciment. B. — 2010. — Vol. 125, no. 10.-Pp. 1161-1171.

95. Büttiker, M. Josephson behavior in small normal one-dimensional rings / M. Büttiker, Y. Imry, R. Landauer // Phys. Lett. A. — 1983. — Vol. 96. — Pp. 365-367.

96. Büttiker, M. Quantum oscillations in one-dimensional normal-metal rings / M. Büttiker, Y. Imry, M. Y. Azbel // Phys. Rev. A.— 1984.— Vol. 30. Pp. 1982-1989.

97. Berry, M. V. Aharonov-Bohm geometric phases for rotated rotators / M. V. Berry // J. Phys. A: Math. Theor. — 1997. — Vol. 30. — Pp. 83558362.

98. Li, S.-S. Electronic states of InAs/GaAs quantum ring / S.-S. Li, J.B. Xia U J. Appl. Phys. 2001. - Vol. 89. - Pp. 3434-3437.

99. Energy spectra of quantum rings / A. Fuhrer, S. Lüscher, T. Ihn et al. // Natvre. — 2001. Vol. 413. - Pp. 822-825.

100. Magnetoconductance of rectangular arrays of quantum rings / O. Kaiman, P. Földi, M. G. Benedict, F. M. Peeters // Phys. Rev. B.— 2008. Vol. 78. - P. 125306.

101. Correlation-induced single-flux-quantum penetration in quantum rings / A. J. M. Giesbers, U. Zeitler, M. I. Katsnelson et al. // Nature Phys.— 2010. Vol. 6. - Pp. 173-177.

102. Optical response of two-dimensional few-electron concentric double quantum rings: A local-spin-density-functional theory study / F. Malet, M. Pi, M. Barranco et al. // Phys Rev. B. — 2006. — Vol. 74. — P. 193309.

103. Avishai, Y. Magnetization of two coupled rings / Y. Avishai, J. M. Luck // J. Phys. A: Math. Theor. — 2009. Vol. 42. - P. 175301.

104. Investigation of the mesoscopic Aharonov-Bohm effect in low magnetic fields / A. E. Hansen, S. Pedersen, A. Kristensen et al. // Physica E. — 2000. Vol. 7. - Pp. 776-780.

105. Hughes, W. L. Formation of piezoelectric single-crystal nanorings and nanobows / W. L. Hughes, Z. L. Wang // J. Am. Chem. Soc. — 2004. — Vol. 126. Pp. 6703-6709.

106. Sekiguchi, K. Effect of ferromagnetism on AB oscillations in a normalmetal ring / K. Sekiguchi, A. Yamaguchi, H. Miyajima // Phys. Rev.

107. B. 2008. - Vol. 77. - P. 140401 (R).

108. Optical emission from a charge-tunable quantum ring / R. J. Warburton,

109. C. Schaflein, D. Haft et al. // Nature. — 2000. — Vol. 405. — Pp. 926-929.

110. Shahbazyan, T. Many-body luminescence from nanorings at high excitation level / T. Shahbazyan, I. Perakis, M. Raikh // Physica E. — 2002.-Vol. 14, no. 1-2.-Pp. 172-176.

111. Nanoring structure and optical properties of GagAss / Y. Sun, X. Chen, L. Sun et al. // Chem. Phys. Lett. — 2003. — Vol. 381. — Pp. 397-403.

112. Nanoring as a magnetic or electric field sensitive nano-antenna for near-field optics applications / M. Suarez, T. Grosjean, D. Charraut,

113. D. Courjon // Opt Commun. — 2007. — Vol. 270, no. 2.-Pp. 447-454.

114. Cohen, G. Constructing spin interference devices from nanometric rings / G. Cohen, O. Hod, E. Rabani // Phys. Rev. B.— 2007.— Vol. 76, no. 23. P. 235120.

115. Liu, D.-Y. One-dimensional quantum waveguide theory of Rashba electrons / D.-Y. Liu, J.-B. Xia, Y.-C. Chang J / J. Appl. Phys. — 2009. — Vol. 106.-P. 093705.

116. Lewis, R. R. Aharonov-Bohm effect for trapped ions / R. R. Lewis // Phys. Rev. A. — 1983. — Vol. 28. — Pp. 1228-1236.

117. Sakoda, S. Difference in the Aharonov-Bohm effect on scattering states and bound states / S. Sakoda, M. Omote // Adv. Imag. Elect. Phys.— 1999.-Vol. 110.-Pp. 101-171.

118. Spintronic single-qubit gate based on a quantum ring with spin-orbit interaction / P. Foldi, B. Molnar, M. Benedict, F. Peeters // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 71, no. 3. - P. 033309.

119. Electron wave interferometry through an asymmetric Aharonov-Bohm ring / E. R. Hedin, R. M. Cosby, Y. S. Joe, a. M. Satanin //J. Appl. Phys. 2005. - Vol. 97, no. 6. - P. 063712.

120. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings / M. Biittiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. В.— 1985. Vol. 31, no. 10. - Pp. 6207-6215.

121. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е, испр. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 768 с.

122. Ньютон, Р. Теория рассеяния волн и частиц / Р. Ныотон. — М.: Мир, 1969. 600 с.

123. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, X. Моррис; Под ред. А. Б. Шабата,— М.: Мир, 1988.— 693 с.

124. Есопотои, Е. N. Green's functions in quantum physics / E. N. Economou. — Berlin: Springer, 2006. — 477 pp.

125. Базъ, А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. — 2-е, испр. и доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 544 с.

126. Функция Грина каскада квантовых ям / А. В. Долгих, П. А. Меле-шенко, А. В. Колупанова, А. Ф. Клинских // Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика.— 2009.— № 1. — С. 37-41.

127. Classical Hall effect in scanning gate experiments / A. Baumgartner, T. Ihn, K. Ensslin et al. // Phys. Rev. В.— 2006. —Oct.— Vol. 74, no. 16. P. 165426.

128. Теория солитонов: Метод обратной задачи. / В. Е. Захаров, С. В. Ма-наков, С. П. Новиков, JT. П. Питаевский. — М.: Наука, 1980. — 319 с.

129. Дубровин, Б. А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко.— 4-е, испр., доп. изд. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.— Т. I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — 336 с.

130. Мессиа, А. Квантовая механика / А. Мессиа; Под ред. JI. Д. Фадде-ева. М.: Наука, 1978. — Т. I. — 478 с.

131. Reed, М. Methods of Modern Mathematical Physics: I Functional Analysis / M. Reed, B. Simon.— New York: Academic Press, 1981.— 400 pp.

132. Nazarov, Y. V. Quantum Transport: Introduction to Nanoscience / Y. V. Nazarov, Y. M. Blanter. — Cambridge: Cambridge University Press, 2009. 590 pp.

133. Montroll, E. W. Quantum theory on a network. I. A solvable model whose wavefunctions are elementary functions / E. W. Montroll //J. Math. Phys. 1970. — Vol. 11, no. 2. — Pp. 635-648.

134. Alexander, S. Superconductivity of networks, a percolation approach to the effects of disorder / S. Alexander // Phys. Rev. B. — 1983. — Vol. 27, no. 3.-Pp. 1541-1557.

135. Voo, К.-К. Localized states in continuum in low-dimensional systems / K.-K. Voo, C. Chu // Phys. Rev. В.- 2006.- Vol. 74, no. 15.— P. 155306.

136. Wu, С. H. Quantum network theory of transport with applications to generalized Aharonov-Bohm effect in metals and semiconductors /

137. C. H. Wu, G. Mahler // Phys. Rev. В.- 1991.- Vol. 43, no. 6.-Pp. 5012-5023.

138. Pursey, D. Scattering from a shifted von Neumann-Wigner potential /

139. D. Pursey, T. Weber 11 Phys. Rev. A.- 1995.- Vol. 52, no. 5.— Pp. 3932-3939.

140. Shao, Z.-a. Transmission resonances and zeros in quantum waveguide systems with attached resonators / Z.-a. Shao, W. Porod, C. S. Lent // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 49, no. 11.-Pp. 7453-7465.

141. Satamn, A. Fano interference and resonances in open systems / A. Satanin, Y. Joe // Phys. Rev. В.— 2005.— Vol. 71, no. 20.— P. 205417.

142. Deo, P. S. Importance of individual scattering matrix elements at Fano resonances / P. S. Deo, M. Manninen // J. Phys.: Condens. Mat — 2006,-Vol. 18, no. 23.- Pp. 5313-5321.

143. Springer handbook of acoustics / Ed. by T. Rössing.— New York: Springer, 2007. — 1182 pp.

144. Low, P. E. Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions / F. E. Low // Phys. Rev. — 1958. — Vol. 110, no. 4. — Pp. 974-977.

145. Райдер, JI. Квантовая теория поля / JI. Райдер; Под ред. Р. А. Мир-Касимова. — Волгоград: "Платон", 1998.— 512 с.

146. Гелъфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959.— 470 с.

147. Джексон, Д. Классическая электродинамика / Д. Джексон; Под ред. Э. JI. Бурштейна. — М.: Мир, 1965. — 702 с.

148. Соколов, А. А. Релятивистский электрон / А. А. Соколов, И. М. Тернов. — 2-е, перераб. изд. — М.: Наука, 1983. — 304 с.

149. Schwinger, J. On gauge invariance and vacuum polarization / J. Schwinger // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 82, no. 5.- Pp. 664-679.

150. Гайтлер, В. Квантовая теория излучения: Пер. с 3-го англ. изд. /

151. B. Гайтлер; Под ред. Н. Н. Боголюбова.— М.: ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1956. 491 с.

152. Берестецкий, В. Б. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — 3-е, испр. изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989.— Т. IV. Квантовая электродинамика. — 720 с.

153. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 7-е, испр. изд. — М.: Наука. Гл. ( ред. физ-мат. лит., 1988. — Т. II. Теория поля. — 512 с.

154. Скалли, М. О. Квантовая оптика: Пер. с англ. / М. О. Скалли, М. С. Зубайри; Под ред. В. В. Самарцева.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. —512 с.

155. Влум, К. Теория матрицы плотности и ее приложения: Пер. с англ. / К. Блум. — М.: Мир, 1983. — 248 с.

156. Фейнберг, Е. Л. Об «особой роли» электромагнитных потенциалов в квантовой механике / Е. Л. Фейнберг // УФК — 1962. — Т. 78, № 1. —1. C. 53-64.

157. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 3-е, доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1976. — Т. V. Статистическая физика ч.1. — 584 с.

158. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — 4-е, перераб. изд. — М.: Физматгиз, 1963.- 1100 с.

159. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа / Э. Т. Уиттекер, Д. Н. Ватсон; Под ред. Ф. В. Широкова. — 2-е изд. — М.: Физмат-газ, 1963. — Т. II. Трансцендентные функции. — 500 с.

160. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / JI. Д. Ландау, JI. П. Питаевекий, Е. М. Лифшиц. — 2-е, перераб., доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1982.— Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. — 624 с.

161. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. — 2-е, стер, изд. — М.: Наука, 1974.— Т. II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — 296 с.

162. Abramowitz, М. Handbook of Mathematical Functions / M. Abramowitz, I. A. Stegun. — Boston: Twayne Publishers, 1973. — 1046 pp.