«Квантовые эффекты на фоне сильных гравитационных полей» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Анемподистов Прокопий Андреевич

• Анемподистов Прокопий Андреевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Анемподистов Прокопий Андреевич

1.3 Содержание диссертации

1.4 Публикации автора по теме диссертации

2 Особенности пропагатора и тензора энергии-импульса скалярного поля на фоне пространств с горизонтами

2.1 Двумерная черная дыра Шварцшильда

2.2 Регуляризованный тензор-энергии импульса в двух измерениях

2.3 Квантовые поля на фоне четырехмерных черных дыр

2.3.1 Чёрная дыра Шварцшильда

2.3.2 Чёрная дыра Рейсснера-Нордстрёма

2.4 Тензор энергии-импульса

3 Учет обратной реакции полей материи на метрику пространства-времени

3.1 Начальная геометрия

3.2 Квантование полей и вычисление регуляризованного тензора энергии-импульса

3.3 Учет обратной реакции

4 Петлевые поправки к космологическому рождению частиц

4.1 Диаграммы типа головастик

4.2 Диаграммы заходящее солнце

4.3 Комментарий про аут-моды

4.4 Обобщение на произвольное число измерений

4.5 Регуляризованный тензор-энергии импульса

5 Заключение

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Квантовые эффекты на фоне сильных гравитационных полей»»

Введение

В данной диссертации рассматривается поведение классических частиц и квантовых полей на фоне черных дыр и расширяющихся пространств. Исследуется вопрос о влиянии точечных частиц и квантовых полей на метрику пространства-времени.

В случае точечных частиц возмущения метрики находятся из уравнений Эйнштейна

8 пС

С^ + Лд^ = —4- Т^, (1.1)

где - тензор Эйнштейна, Л - космологическая постоянная, - тензор энергии-импульса точечных частиц, С - гравитационная постоянная, а с - скорость света (в дальнейшем мы будем пользоваться системой единиц С = с = К =1).

В случае же квантовых полей анализ проводится в приближении квазиклассической гравитации (квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени), в котором поля квантуются на фоне фиксированного классического пространства-времени. Этот формализм был развит в работах де Витта, Даффа, Паркера, Кристенсена, Бульвара, Фуллинга, Дэвиса и других [15, 17,21-25,29,30], и впоследствии был сформулирован в учебниках и монографиях [26-28,44]. В рамках данного формализма было получено довольно много известных результатов, в числе которых эффект Унру [16], излучение Хокинга [18-20,45], информационный парадокс [31,32] и т.д.

После квантования, вычисляется среднее от регуляризованного тензора энергии-импульса и подставляется в квазиклассическое уравнение Эйшнтейна

С^ + Лд^ = 8п(: Т^ :>, (1.2)

где двоеточие обозначает регуляризацию, а угловые скобки - усреднение по некоторому заданному состоянию.

Сравнивая уравнения (1.1) и (1.2), мы видим, что в квантовом случае ситуация оказывается богаче - мы можем выбрать состояние, по которому усредняется тензор энергии-импульса произвольным образом. Как будет показано далее во введении, для полей на фоне заданного пространства-времени можно несколькими способами выбрать квантовое состояние, по которому берется среднее, и в некоторых из этих состояний даже после устранения ультрафиолетовых расходимостей тензор энергии-импульса все еще остается расходящимся, а в других — регулярным. Расходимость регуляризованного тензора энергии-импульса указывает на то, что влиянием полей материи на метрику пространства-времени нельзя пренебрегать.

Кроме того, из анализа значений физических величин (например, тензора энергии - импульса) можно заключить, что различные состояния очевидно отвечают разным физическим ситуациям. Однако, при исследовании полей на фоне черных дыр или на фоне пространств де Ситтера или анти де Ситтера в литературе обычно ограничиваются рассмотрением некоторых выделенных состояний, которые являются фоковскими вакуумами для определенных выборов мод. Одной из целей данной диссертации является рассмотрение более общего класса состояний, которые не являются просто фоковскими вакуумами для специальных выборов мод.

Имея ввиду все вышесказанное про неоднозначность в выборе состояния, естественным образом возникает вопрос: каким образом нужно выбрать "правильное" состояние? Существует два разных подхода к квантованию полей на фоне искривленных пространств, позволяющих ответить на этот вопрос, рассмотрим их на примере квантования полей на фоне черной дыры Шварцшильда. Для полей на фоне черной дыры Шварцшильда выделяют три состояния: Бульвара, Унру и Хартли-Хокинга. Первый подход состоит в том, чтобы вычислить в этих состояниях различные наблюдаемые, и в сравнивая ответы для наблюдаемых выбрать то состояние, которое наиболее близко описывает желаемую физическую ситуацию. Например, на фоне черной дыры Шварцшильда можно вычислить среднее от регуляризован-ного тензора энергии-импульса (ТЭИ) в различных состояниях на горизонтах черной дыры (будущем и прошлом), и получить, что в состоянии Бульвара ТЭИ расходится на обоих горизонтах, в состоянии Унру ТЭИ расходится на прошлом горизонте и регулярен на будущем горизонте, в состоянии Хартли-Хокинга ТЭИ регулярен на обоих горизонтах. Из этого, в рамках первого подхода заключается, что состояние Бульвара является нефизическим, и его не следует рассматривать. Далее, из анализа регуляризованного ТЭИ на пространственной бесконечности можно заключить, что состояние Унру соответствует потоку частиц, вылетающих из черной дыры, в то время как состояние Хартли-Хокинга соответствует черной дыре, окруженной газом частиц с температурой Хокинга, и где излучение черной дыры и

падение газа в дыру находятся в равновесии. Тогда состояние Унру описывает астрофизическую черную дыру, родившуюся в процессе коллапса (т.к. у таких черных дыр нет прошлого горизонта событий, и расходимость ТЭИ можно игнорировать), а состояние Хартли-Хокинга описывает микроскопическую черную дыру, которую поместили в коробку с газом с температурой, равной температуре Хокинга. Недостатком данного подхода является достаточно сильное ограничение на состояния, которые вообще можно рассматривать. Например, что будет, если взять микроскопическую черную дыру и окружить ее газом с температурой, которая не равна температуре Хокинга? Как будет показано в данной диссертации, анализ ТЭИ показывает, что в рамках первого подхода такое состояние нефизическое и его нельзя рассматривать.

Второй же подход состоит в том, что расходимость ТЭИ сигнализирует не о том, что состояние нефизическое, а о том, что в этом случае оказывается необходимым учет обратной реакции полей на метрику пространства-времени. В этом случае оказывается возможным описать микроскопическую черную дыру, окруженную газом с произвольной температурой: нужно только вычислить обратную реакцию на метрику и проследить за эволюцией системы. В данной диссертации мы будем придерживаться второго подхода.

Второй подход к исследованию полей на фоне искривленных пространств не является новым, в литературе есть много работ, в которых избирается именно эта тактика. Однако, в этих работах опять же рассматриваются только выделенные состояния (Бульвара, Унру, Хартли-Хокинга на фоне черной дыры Шварцшильда, Банча-Дэвиса на фоне пространства де Ситтера и т.д.). Более того, исследование обратной реакции в этих работах проводится пертурбативно, что во всех случаях приводит к тому, что возмущенная метрика расходится в точке, где был горизонт событий невозмущенного решения, и при этом следующие члены в ряде теории возмущений расходятся еще сильнее, чем предыдущие [63,64,98]. В рамках же нашего исследования будет использоваться новый метод, в котором анализ обратной реакции будет проводится самосогласованно и непертурбативно, т.е. в нашем подходе в правой части квазиклассического уравнения Эйнштейна (1.2) будет подставляться ТЭИ, вычисленный в той же метрике, которая стоит в левой части этого уравнения и которая должна быть найдена из этого уравнения. В рамках этого метода не будет возникать расходимости метрики в точке, где был горизонт событий невозмущенной метрики. Также в рамках этого исследования будет рассматриваться более общий класс состояний, не ограничивающийся состояниями Бульвара, Унру и Хартли-Хокинга.

Другой целью этой диссертации является изучение динамики взаимодействующих полей на фоне искривленных пространств. Исследование взаимодействующих квантовых по-

лей на фоне искривленных пространств остается мало изученной темой, т.к. в литературе, как правило, обсуждается поведение свободных полей. Также мало изученным остается нестационарная динамика полей на фоне искривленных пространств, на данный момент эта тематика активно развивается (см., например, [85,87-89,125,139]). Одним из наиболее хорошо исследованных примеров нестационарной квантовой системы является теория легких взаимодействующих полей на фоне расширяющегося Пуанкаре-региона пространства де Ситтера. В свою очередь, наиболее известным подходом к описанию этой теории является стохастический подход, предложенный в 1994 году Старобинским и Йокоямой [125] и впоследствии выведенный из первых принципов Тсамисом и Вудардом [126]. Фактически этот метод суммирует секулярые вклады из всех порядков теории возмущений и позволяет вычислить точные корреляционные функции легких скалярных полей. К сожалению, подход Старобинского-Йокоямы имеет ограниченную область применения - в действительности его можно использовать только в расширяющемся Пуанкаре-регионе и только для слабых отклонений от состояния Банча-Дэвиса. Поскольку квантовое состояние ранней Вселенной, вообще говоря, могло существенно отличаться от состояния Банча-Дэвиса, стохастический подход не способен гарантированно корректно оценить отклик полей материи на фоновую геометрию. Посвященные этой модели работы Д. Маролфа, И. Моррисона, Т. Прокопеца, А. Хигучи, Л. Сенаторе, Ж. Серру и т.д. [127-148] также страдают от указанных ограничений. Также стоит отметить, что особенности квантовой теории поля в пространстве де Ситтера существенно связаны с большой группой изометрий этого пространства. В то же время, в диаграммной технике Келдыша, используемой в данной диссертации, предсказания подхода Старобинского-Йокоямы легко воспроизводятся и обобщаются на случай сильных возмущений состояния Банча-Дэвиса, а также на произвольные искривленные пространства. В том числе с ее помощью можно описать Вселенную, которая быстро расширяется в течение ограниченного промежутка времени, тогда как большинство подходов могут работать только с вечной инфляцией. Также использование нестационарной диаграммной техники позволяет исследовать эволюцию состояний через решение кинетических уравнений на заселенности уровней и аномальные квантовые средние [1,85]. Таким образом, исследование задачи об обратной реакции интересно с точки зрения анализа стабильности состояний системы, найденных как решения вышеупомянутых кинетических уравнений.

Квантование свободных полей на фоне черных дыр

Рассмотрим сначала квантование гауссовых полей на фоне черной дыры. Для наглядности возьмем самый простой случай в четырех измерениях — черную дыру Шварцшильда. На этом примере продемонстрируем, как возникает проблема выбора начального состояния и какие последствия это имеет.

Изучим простейшую квантовую теорию поля — безмассовое действительное скалярное поле. Будем проводить квантование этого поля на фоне четырехмерной черной дыры Шварцшильда, заданной метрикой

¿в2 = (1 - 2М/т)д£2 -

¿т2

1 - 2М/т

- Т2(йв2 - 81П2 вйф2).

1.3)

Диаграмма Пенроуза-Картера, отображающая максимальное аналитическое продолжение этой метрики, представлена на Рис. 1.1. Введем следующие координаты (так называемые черепашьи координаты), использование которых существенным образом упростит дальнейший анализ:

¿в2 = 1 -

2М т(т*)

т* = т + 2М

И2 - (¿т*)2

1

- т2(т*)(¿в2 + яп2 вйф2)

2М

т = 2М

1 + ^ (.

е 2 м

-1

где мы ввели обозначение ^ (ж) для функции Ламберта.

:1.4)

Рис. 1.1: Диаграмма Пенроуза для чёрной дыры Шварцшильда.

Рассмотрим теорию действительного скалярного поля:

5 = <1°- ^2ф2 - £Кф2],

:1.5)

где Д - размерность пространства-времени, ^ - масса поля, £ - параметр, определющий связь скалярного поля с геометрией.

Далее мы будем рассматривать решения безмассового уравнения Клейна-Гордона на фоне геометрии черной дыры Шварцшильда для случая конформного поля, где £ = 1 в (1.5). Для построения мод в состоянии Бульвара потребуем, чтобы моды были положительно определены относительно вектора Киллинга п = -§ь (в левом квадранте п = — -§ь). Обозначим х = (¿, г, #,ф), и благодаря сферической симметрии для решения и^т(х) можно разделить переменные следующим образом:

иШ1т(х) = (4пш)-1/2в-гш'г-1Я1 И т)У1т(в,ф),

где Ут(в, ф) - сферические гармоники.

Уравнение на радиальную функцию Я[(ш\т) принимает следующий вид:

1.6

А2

I?+ш2—*<г)

Я(т) = 0,

1.7

V (г) =1 —

2 М

1(1 + 1) 2 М

^ (

в 2 М

1 +

в 2М

(2М)

( + 1) +

1 +

в 2М

Мы видим, что для радиальной функции эффективно получается задача о рассеянии в одномерной квантовой механике, где потенциал имеет форму, приведенную на Рис. 1.2.

КМ

о.з- А

0.21

0.1 -

-ю

ю

20

Рис. 1.2: Обезразмеренный потенциал V х (2М)2 как функция от 2М. На рисунке приведен график потенциала при нулевом значении параметра I, при I > 0 график имеет аналогичную колоколообразную форму.

Как известно, полный базис мод в данной задаче задается асимптотическими плоскими волнами на плюс и минус бесконечности по г*. Эти решения соответствуют испущенным и

г

1

1

г

1

1

г

г

г

поглощенным черной дырой модам. Обозначим их следующим образом:

1 ш!ш(х) = (4пы)-1/2е-ш1т-111(и\т)У1т(в,ф)

ЪШ1т(х) = (4пш)-1/2е-гш*т-1% (ш\т)У1т(в,ф)

:1.8)

где за 1 ¡(ш\т) и -I(ш\т) мы обозначили решения радиального уравнения со следующими граничными условиями

^Мт)

егшг* + 11(и)е-гшг*, т 1 2М

Бг(ш)ег

и

4- | Бг(ш)е'

Лг("\т) [ ,

е-гшг* + А ¡(ш)ег'

т,

т 2М

1.9)

т 1 ж,

и которые отвечают испущенным и поглощенным черной дырой модам соответственно. Используя данный базис мод, представим вторично квантованный оператор поля в следующем виде:

Г+ж . ^

Ф(Х) = ^^ / ¿Ш \аш1т~1 ш1т(х) + о}ш1т1 ш1т(х) + ш1т(х) + ^т^"ш1т

1т ^ ^

П.10)

где {о}ш1т,аШ1т\ и \]Ъш1т,ЬШ1т} - операторы рождения и уничтожения для исходящих и падающих мод соответственно.

Далее мы можем определить стандартным образом фоковский вакуум для этих мод как состояние, которое аннигилируется при действии любого из операторов уничтожения. Данное состояние называется состоянием Бульвара. Однако, это не единственный способ ввести "вакуумное состояние". Мы могли бы потребовать полодительную определенность мод по отношению к другим векторам Киллинга (а именно, д/ди и д/дУ на прошлом и будущем горизонтах) и ввести так называемые состояния Унру и Хартли-Хокинга. Из анализа двухточечной функции в этих состояниях следует, что по отношению к модам Бульвара эти состояния оказываются термальными, т.е.

/ I п и \ _ - Ьтт'

\аш1та^'1'т') = \0ш1т0ш'1'т') = -^-"-,

Унру :

1

V V , | V - ш')5и' 5тт' /Ли \ - ^

Хартли-Хокинг : \а1гта^1'т') = --"-' \Ъ11тЪ^'1'т') = -^-—

е к — 1

е к — 1

1.11)

Эквивалентно, мы могли бы построить корреляторы как след с термальной матрицей плотности:

(С) = Тг(рО),

1.12)

*

е

где выделив левобегущие моды и правобегущие моды запишем

1

Р = Г

-вьНь-вяНк

П.13)

Выбирая обратные температуры вь,вя равными нулю или 8пМ (обратная температура Хокинга), мы получим состояния Бульвара, Унру и Хартли-Хокинга. Однако при таком построении мы можем рассматривать и произвольные температуры, что и будет использоваться дальше в диссертации.

Квантовое среднее тензора энергии-импульса

Приведем результаты вычислений регуляризованного тензора энергии-импульса для конформного поля, то есть при £ = 6 в (1.5). В этом случае выражение для среднего значения тензора энергии-импульса имеет следующий вид:

2 1 1

> = - <ф'"ф"' > - 1^ <Ф;а Фа > - 1 <Ф'^ ф>. -6 -

П-14)

Используя регулярность тензора энергии-импульса на горизонте для состояния Хартли-Хокинга [29], можно вычислить регуляризованный ТЭИ для состояния Бульвара следующим образом:

<в\т;\в >гед

2 М

<в\т:\в>гед - <н\т:\и>гед = <в\т:\в> - <н\т-\н>,

где <...>гед обозначает регуляризованное квантовое среднее.

Подставив сюда выражение для ТЭИ (1.14) и разложение поля по модам, получаем

<в\т:\в >

йш ш3

гед

ГЧ2М 2п2(1 - 2М/г)2 ]0 е2пш/к - 1

-10 0 0

0 3 0 0

0 0 3 0

0 0 0 1

Аналогично можно вычислить регуляризованный ТЭИ для состояния Унру:

<и\таь\и >

гед

2 М

<и\таа\и> - <н\таь\н>

ь

4пг2

(1

_ 2М )-1

1

(1 - 2М ) —2 -(1 - 2М )-1

где индексы а и Ь пробегают координаты (¿, г), и где Ь — светимость черной дыры, выражаемая как:

= Г00 йшш Ег=о(2/ + 1)\вг(ш)\2 2п /0 е2пш/к - 1 ,

где в^ (ш) определено в (1.9).

зо

1

г

Тензор энергии-импульса в состоянии Бульвара расходится на обоих горизонтах в системе отсчета свободно падающего наблюдателя, тогда как в состоянии Унру он остается регулярным на будущем горизонте [47]. Для проверки регулярности используем координаты Крускала, определяемые как:

е-г/2М

<82 = -2М-<и<У + г2(П2,

где

и = -4Ме-и/4М, V = 4Ме"/4М,

и

и = г - г - 2М^(г/2М - 1), V = г + г + 2М^(г/2М - 1). Регулярность на будущем горизонте Н^У1иге (при и = 0) требует выполнения условий:

Тт < ж, (г - 2М< то, (г - 2М)-2Тии < ж.

Из полученных выражений для ТЭИ видно, что в состоянии Бульвара ТЭИ расходится на будущем горизонте, тогда как в состоянии Унру он остается регулярным. На пространственной бесконечности, в состоянии Хартли-Хокинга:

(н\Т?\н \

а для состояния Унру:

(н\ТV\н) - (в\т'V\в)

(шш3

2п2

£,2пш/х _ 1

1000

0 0

0 1

00 " 0

0 0 0 1

(и\т?\и )г

(и\т;\и )-(в\тV\в)

ь

4пг2

-1 -1 0 0 1 10 0 0 0 0 0

0 0 0 0

Таким образом, в состоянии Бульвара ТЭИ расходится на обоих горизонтах, что делает его нефизическим. Состояние Унру описывает астрофизическую черную дыру, поскольку она не имеет прошлого горизонта событий, и его ТЭИ регулярен на будущем горизонте. В состоянии Хартли-Хокинга ТЭИ регулярен на обоих горизонтах, соответствуя термальному равновесию черной дыры с окружающим ее газом частиц при температуре Хокинга Тн = к/8п.

Все эти результаты были получены в литературе еще в 70-ых и 80-ых годах прошлого столетия, но они уже дают достаточно полную картину о квантовании полей на фоне

г

зо

1

ГЧ^

0

пространств с горизонтами. Однако несколько интересных и важных вопросов остаются открытыми.

Одним из них является вопрос о том, действительно ли состояние Бульвара является нефизичным. Как уже писалось ранее, на расходимость регуляризованного ТЭИ на горизонте можно смотреть не как индикатор того, что данное состояние нельзя рассматривать, а как на то, что обратная реакция полей материи на метрику пространства-времени в этом случае должна быть существенной, что напрямую следует из уравнений Эйнштейна. Как правильно учитывать обратную реакцию на метрику? Как именно изменится метрика при учете обратной реакции?

Второй вопрос - это изучение более общих состояний, чем состояния Бульвара, Унру и Хартли-Хокинга (и их аналоги). Например, мы увидели, что состояние Хартли-Хокинга соответствует черной дыре, окруженной газом частиц с температурой Хокинга. Возможно ли окружить черную дыру газом с произвольной температурой, не обязательно равной температуре Хокинга? Будет ли существенная обратная реакция в этом случае? К каким еще различиям в физических величинах это будет приводить?

Третий вопрос - это влияние добавления взаимодействия полей на их динамику. Все вышесказанное было справедливо лишь для гауссовых полей. Как изменится эта картина если разрешить частицам обмениваться импульсами? Как тогда будет эволюционировать состояние со временем? Будет ли в этом случае термализация или стремление к какому-либо другому состоянию?

Данная диссертация посвящена изучению всех этих вопросов.

Исследование взаимодействующих полей на фоне искривленного пространства-времени с помощью нестационарной диаграммной техники

Для изучения вопроса о влиянии взаимодействия на эволюцию состояний рассмотрим задачу о квантовании полей на фоне пространства Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера. Эта задача является проще квантования полей на фоне черных дыр из-за того, что моды в данном случае будут известными в каждой точке пространства, и в этом случае будет проще всего продемонстрировать как именно включение взаимодействия влияет на начальное состояние. Также эта задача будет интересна сама по себе, т.к. содержит довольно интересные с феноменологичской точки зрения вопросы о влиянии петлевых поправок в темп рождения частиц при расширении Вселенной.

Мы рассматриваем модель расширяющейся Вселенной со следующей метрикой

<82 = С(п) (<П2 - <х2) , (1.15)

где конформный фактор задается [44], [60]:

С(п) = А + В tanh(рn), (1.16)

с некоторыми положительными константами А > В и р. Сначала мы рассмотрим двумерную ситуацию (чтобы подчеркнуть ее особенности), а затем распространим результаты на случай произвольного числа измерений. Изучение динамики полей именно на таком геометрическом фоне обусловлено тем, что в данной геометрии уравнение на моды решается точно, что позволит явно вычислить интегралы от мод возникающие в петлевых поправках.

Мы рассматриваем на этом гравитационном фоне массивное минимально связанное скалярное поле с действием

S = I d2xy—g [± - mф2 - ф4

:i.i7)

Поскольку фоновая геометрия пространственно однородна, удобно разделить переменные следующим образом:

ик(п, х) = егкхдк(п). (1.18)

gk (п) = 0. (1.19)

Тогда для свободного поля уравнение для временной части мод имеет вид

d2 Г

-та gk (п)+ k2 + с (v)i

dn2

Среди всех возможных решений этого уравнения различают ин-моды, которые задаются выражением

ukn(V,x) = (4^m)-2^ iog[2cosh(pn)]^! + ^^. ! - . 1 + tanh(pn) \ , (^

V р р р 2 /

где F(a, b; c; z) это гауссова гипергеометрическая функция, и

Uin(k) = л/k2 + m2 (A - B), ucmt(k) = л/k2 + m2 (A + B), and = 1(w0„t ± ^in).

(1.21)

Используя формулы преобразования для гипергеометрической функции, можно показать, что ин-моды (1.20) имеют следующую асимптотику

ukn(n,x) = eikxgkn(n)

i= eikx iUinV, при n ^ —ж

i eikx

a(k) e-iMoutV + в(k) e^n

1.22)

при n ^

где

(к) = Г(1 - гшгп/р)г(-гшаиг/р) в(к) = Г(1 - гшгп/р)Г(гШоиг/р) (1 23)

а(к) Г(-г^+ /р)Г(1 - гш+/р) ' в(к) Г(1 + г^-/р)Г(г^-/р) ' ( )

Из (1.22) видно, что в асимптотическом прошлом (п 1 -ж) ин-моды соответствуют обычному представлению о частице в плоском пространстве-времени, поскольку описываются плоскими волнами. Именно поэтому их называют ин-модами.

Разложение по модам оператора поля

/ж Г -]

¿к акикП(п,х) + а\и??*(п,х) . (1.24)

-ж

Используя свойства гипергеометрических функций, можно показать, что канонические коммутационные соотношения для поля ф с его сопряженным импульсом и для ак с а\ выполняются.

Аналогично, можно определить аут-моды как

и°и*(п,х) = (4п^п)-1 егкх-ш+п-г^ М2«^^ 1 + 1 + ^. . (1.25)

р р р 2

Они соответствуют обычному представлению о частице в плоском пространстве-времени в плоском асимптотическом будущем (п 1 +ж). Фактически они имеют следующее асимптотическое поведение:

1 е^кх

1(к) е-гш"Л + и (к) егШ1пП

1.28)

I /4-° /Л"'/0

+ и (к) е при П 1 -Ж

иГ'(п,х) = егкх д°ы(п) L ] (1.26)

1 егкх-гш°и1П, при п 1 +ж,

где

(к) = Г(1 + гШоиг/р)Г(г Шгп/р) и(к) = Г(1 + гш(Шг/р)Г(-гшгп/р) (1 27)

7(к) Г(гш+/р)Г(1 + гш+/р) ' и(к) Г(1 + гш-/р)Г(гш-/р) ' ( )

Разложение оператора поля по этим модам обозначим следующим образом:

/ж г -

¿к Ъкикы(п,х) + Ъкикии(п,х)

ж

Приравнивая два разложения

/ж гж

¿к [акикП(п, х) + а1икп*('п,х)] = ¿к[Ъкикы(п,х) + Ъ]кикиь*(п)х)]. (1.29)

ж -ж

можем получить следующую связь между операторами рождения и уничтожения ин- и аут-мод:

Ък = ак ак + в*ка-к, (1.30)

Ъ]к = а*как + вк а-к, (1.31)

где квадраты модулей Боголюбовских коэффициентов равны

\ак \ 2 = ^ $тЬ2(пш+/р) \ 2 = Шг^ 81пЬ2(пш-/р) (1 32)

Шаиг ^тк(пш1п/р) $тк(пШоиг/рУ Шоиг 8тЬ(пШг„/р) $тк(пшаиг/р)

Вакуумное состояние для ин-мод определяется как:

\0,т) : ак\0,т) = 0, Ук. (1.33)

Таким же образом можем определить вакуумное состояние для аут-мод:

\0,оиг) : Ьк\0,оиг) = 0, Ук. (1.34)

Можно показать, что ин-моды диагонализуют свободный гамильтониан теори в асимптотическом прошлом (т.к. в этом пределе выражение для них дается обычными плоскими волнами), в то время как аут-моды диагонализуют гамильтониан в асимптотическом будущем. Тогда, система в процессе временной эволюции будет переходить из ин-вакуума в аут-вакуум. Число рожденных частиц при эволюции системы из вакуума для ин-мод к вакууму для аут-мод дается следующим выражением:

(0,оиг\акак\0,оиг) = [ (к \вк\2 = ! <к ^ . , . /р)- , (1.35)

3 3 Шоиг $тЬ(пШгП/р) втЦпШо^/р)

т.е. в процессе расширения Вселенной рождается конечное ненулевое число частиц. Однако, данный результат справедлив только для свободной теории. При рассмотрении взаимодействующих полей, как правило, считается что петлевые вклады в количество рожденных частиц будут подавлены по малой константе связи. Далее в Главе 4 мы покажем, что такое предположение оказывается неверным. Это один из результатов данной диссертации.

Формализм Келдыша-Швингера

В диссертации мы покажем, что в обсуждаемой в предыдущем разделе ситуации петлевые поправки к среднему от тензора энергии-импульса растут со временем, что свидетельствует о существенном усилении темпа рождения частиц за счет квантовых петлевых поправок. Это типичная ситуация для зависящих от времени или сильных фоновых полей [85,87-89,125,139]. Рассматриваемый нами фон (1.15), (1.16) является зависящим от времени. Следовательно, свободный гамильтониан рассматриваемой скалярной теории (1.17) также зависит от времени. Таким образом, мы имеем дело с примером нестационарной ситуации. В этом случае для вычисления петлевых поправок необходимо применять не фейнма-новскую диаграммную технику, а технику Швингера-Келдыша (см., например, [75] [73], [76] для введения в этот формализм).

В формализме Швингера-Кельдыша система рассматривается как эволюционирующая на замкнутом временном контуре, состоящем из двух ветвей: прямой (от —го до +го) и обратной (от +го до —го). Обозначим полевой оператор на прямой и обратной ветвях контура как ф+ и ф- соответственно. Таким образом, можно построить четыре типа пропагаторов, но только три из них линейно независимы. Для преобразования к этим трем линейно независимым пропагаторам выполняется поворот Келдыша:

Фс1 = 2(ф+ + ф-) фч = ф+ — ф-.

(1.36)

Тогда, три линейно независимых пропагатора это келдышевский, запаздывающий и опережающий пропагаторы соответственно (четвертый тождественно равен нулю):

Ок(п, х|п',х') = (фс1 (п,х) фс1 (п',х'= |ф(п, х), ф(п',х'

Сп(п, х\п', х') = ( фс(п, х) фч(п', х') ) = в(п — п') ф(п, х), ф(п', х')

— ХС\

СА (п, х\п', х') = ( фч (п, х) фс1 (п', х')) = —в(п' — п) ф(п, х), ф(п', х')

С

(1.37)

Графически эти пропагаторы обозначаются так, как показано на Рис. 1.3

Рис. 1.3: Графическое представление келдышевского, запаздывающего и опережающего пропагаторов.

Для общего класса состояний справедливо следующее разложение по модам для пропагатора Келдыша:

(,*,,') = // {( -,, + (« «к ))[< ,*) С (п ' ,,) + иг (п' ■ *) с М +

+ (ак «ч ) ик (п,х) и™ (п' ,х') + («I «ч) иГ (п,х) и™* (п' ,х' )}, (1.38)

и для коммутатора: С(п, х\п', х') =

ж),ф(х' ^ = /

= / ёк

и?(п, х) икп* (п', х') — 4"(п', х) иг (п, х)

(1.39)

через которые можно выразить запаздывающий и опережающий пропагаторы, как в (1.37). Отметим, что в то время как запаздывающий и опережающий пропагаторы на древесном

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Анемподистов Прокопий Андреевич, 2025 год

Литература

[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - ISBN 5-02-014420-7

[2] E. Poisson, A. Pound, I. Vega, The motion of point particles in curved spacetim,e, Living Rev.Rel. 14 (2011) 7

[3] J. Lucietti, K. Murata, H. Reall, N. Tanahashi, On the horizon instability of an extreme Reissner-Nordstrom black hole , JHEP 1303 (2013) 035

[4] S. Aretakis, Stability and Instability of Extreme Reissner-Nordstrom Black Hole Spacetimes for Linear Scalar Perturbations I, Commun.Math.Phys. 307 (2011) 17-63

[5] D. Z. Freedman and A. Van Proeyen, Supergravity, ISBN 978-0-521-19401-3

[6] M. Dafermos and I. Rodnianski, Clay Math. Proc. 17 (2013), 97-205 [arXiv:0811.0354 [gr-qc]].

[7] M. Dafermos and I. Rodnianski, Proceedings of the 12th Marcel Grossmann meeting, Eds. T. Damour, R.T. Jantzen and R. Ruffini, World Scientific (2012). [arXiv:1010.5137].

[8] S. Aretakis, Adv. Theor. Math. Phys. 19 (2015), 507-530 doi:10.4310/ATMP.2015.v19.n3.a1 [arXiv:1206.6598 [gr-qc]].

[9] J. Lucietti and H. S. Reall, Phys. Rev. D 86, 104030 (2012) [arXiv:1208.1437 [gr-qc]].

[10] R. H. Price, Phys. Rev. D 5 (1972), 2419-2438 doi:10.1103/PhysRevD.5.2419

[11] R. H. Price, Phys. Rev. D 5 (1972), 2439-2454 doi:10.1103/PhysRevD.5.2439

[12] E. T. Akhmedov, Mod. Phys. Lett. A 36 (2021) no.20, 2130020 doi:10.1142/S0217732321300202 [arXiv:2105.05039 [gr-qc]].

[13] W. Israel, Phys. Lett. A 57 (1976), 107-110 doi:10.1016/0375-9601(76)90178-X

[14] D. M. Capper and M. J. Duff, Phys. Lett. A 53 (1975), 361 doi:10.1016/0375-9601(75)90030-

4

[15] D. G. Boulware, Phys. Rev. D 11, 1404 (1975) doi:10.1103/PhysRevD.11.1404

[16] W. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976) doi:10.1103/PhysRevD.14.870

[17] J. Hartle and S. Hawking, Phys. Rev. D 13, 2188-2203 (1976) doi:10.1103/PhysRevD.13.2188

[18] S. W. Hawking, Nature 248 (1974), 30-31 doi:10.1038/248030a0

[19] S. W. Hawking, Phys. Rev. D 13 (1976), 191-197 doi:10.1103/PhysRevD.13.191

[20] S. W. Hawking, Phys. Rev. D 14 (1976), 2460-2473 doi:10.1103/PhysRevD.14.2460

[21] L. Parker and S. A. Fulling, Phys. Rev. D 7 (1973), 2357-2374 doi:10.1103/PhysRevD.7.2357

[22] L. Parker, Phys. Rev. D 7 (1973), 976-983 doi:10.1103/PhysRevD.7.976

[23] L. Parker, Phys. Rev. 183 (1969), 1057-1068 doi:10.1103/PhysRev.183.1057

[24] L. Parker, Phys. Rev. D 3 (1971), 346-356 [erratum: Phys. Rev. D 3 (1971), 2546-2546] doi:10.1103/PhysRevD.3.346

[25] L. Parker, Phys. Rev. Lett. 21 (1968), 562-564 doi:10.1103/PhysRevLett.21.562

[26] B. S. DeWitt, Int. Ser. Monogr. Phys. 114 (2003), 1-1042

[27] B. S. DeWitt, Phys. Rept. 19 (1975), 295-357 doi:10.1016/0370-1573(75)90051-4

[28] B. S. DeWitt, Conf. Proc. C 630701 (1964), 585-820

[29] P. Candelas, Phys. Rev. D 21, 2185-2202 (1980) doi:10.1103/PhysRevD.21.2185

[30] S. M. Christensen, Phys. Rev. D 14 (1976) 2490. doi:10.1103/PhysRevD.14.2490

[31] D. N. Page, Phys. Rev. Lett. 44 (1980), 301 doi:10.1103/PhysRevLett.44.301

[32] D. N. Page, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), 3743-3746 doi:10.1103/PhysRevLett.71.3743 [arXiv:hep-th/9306083 [hep-th]].

[33] E. T. Akhmedov, H. Godazgar and F. K. Popov, Phys. Rev. D 93, 024029 (2016) doi:10.1103/PhysRevD.93.024029 [arXiv:1508.07500 [hep-th]].

[34] E. T. Akhmedov, P. A. Anempodistov, K. V. Bazarov, D. V. Diakonov and U. Moschella, Phys. Rev. D 103 (2021) no.2, 025023 doi:10.1103/PhysRevD.103.025023 [arXiv:2010.10877 [hep-th]].

[35] P. P. Fiziev, Class. Quant. Grav. 23 (2006), 2447-2468 doi:10.1088/0264-9381/23/7/015 [arXiv:gr-qc/0509123 [gr-qc]].

[36] C. Chirenti, Braz. J. Phys. 48, no.1, 102-109 (2018) doi:10.1007/s13538-017-0543-7 [arXiv:1708.04476 [gr-qc]].

[37] E. Berti, V. Cardoso and A. O. Starinets, Class. Quant. Grav. 26 (2009), 163001 doi:10.1088/0264-9381/26/16/163001 [arXiv:0905.2975 [gr-qc]].

[38] A. Lanir, A. Levi, A. Ori and O. Sela, Phys. Rev. D 97, 024033 (2018) doi:10.1103/PhysRevD.97.024033 [arXiv:1710.07267 [gr-qc]].

[39] O. Sela, Phys. Rev. D 98, 024025 (2018) doi:10.1103/PhysRevD.98.024025 [arXiv:1803.06747 [gr-qc]].

[40] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Theoretical Physics Vol. 3. Pergamon Press, Oxford (1977).

[41] E. T. Akhmedov, D. A. Kalinov and F. K. Popov, Phys. Rev. D 93, 064006 (2016) doi:10.1103/PhysRevD.93.064006 [arXiv:1601.03894 [gr-qc]].

[42] L. M. Burko, Phys. Rev. Lett. 79, 4958-4961 (1997) doi:10.1103/PhysRevLett.79.4958 [arXiv:gr-qc/9710112 [gr-qc]].

[43] P. R. Brady, S. Droz and S. M. Morsink, Phys. Rev. D 58, 084034 (1998) doi:10.1103/PhysRevD.58.084034 [arXiv:gr-qc/9805008 [gr-qc]].

[44] N. D. Birrell and P. C. W. Davies, doi:10.1017/CBO9780511622632

[45] S. W. Hawking, Commun. Math. Phys. 43, 199-220 (1975) [erratum: Commun. Math. Phys. 46 (1976), 206] doi:10.1007/BF02345020

[46] N. D. Birrell and P. C. W. Davies, Nature 272, 35 (1978) doi:10.1038/272035a0

[47] S. M. Christensen and S. A. Fulling, Phys. Rev. D 15, 2088-2104 (1977) doi:10.1103/PhysRevD.15.2088

[48] W. A. Hiscock, S. L. Larson and P. R. Anderson, Phys. Rev. D 56, 3571-3581 (1997) doi:10.1103/PhysRevD.56.3571 [arXiv:gr-qc/9701004 [gr-qc]].

[49] E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov, D. V. Diakonov, U. Moschella, F. K. Popov and C. Schubert, Phys. Rev. D 100, 105011 (2019) doi:10.1103/PhysRevD.100.105011 [arXiv:1905.09344 [hep-th]].

[50] E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov, D. V. Diakonov and U. Moschella, Phys. Rev. D 102, 085003 (2020) doi:10.1103/PhysRevD.102.085003 [arXiv:2005.13952 [hep-th]].

[51] E. Poisson, Living Rev. Rel. 7 (2004), 6 doi:10.12942/lrr-2004-6 [arXiv:gr-qc/0306052 [gr-qc]].

[52] P. A. Anempodistov, Phys. Rev. D 103 (2021) no.10, 105008 doi:10.1103/PhysRevD.103.105008 [arXiv:2012.03305 [hep-th]].

[53] S. A. Fulling, Phys. Rev. D7, 2850-2862 (1973).

[54] S. A. Fulling, J. Phys. A10, 917-951 (1977).

[55] R. Haag, Local Quantum Physics, Fields, Particles, Algebras. Springer-Verlag, Berlin (1992)

[56] P. Davies, S. Fulling and W. Unruh, Phys. Rev. D 13 (1976), 2720-2723 doi:10.1103/PhysRevD.13.2720

[57] P. Davies and S. Fulling Proc. R. Soc. Lond. A 1977 354, 59-77 doi: 10.1098/rspa.1977.0056

[58] U. Moschella and R. Schaeffer, AIP Conf. Proc. 1132, no. 1, 303 (2009)

[59] U. Moschella and R. Schaeffer, JCAP 02, 033 (2009)

[60] C. W. Bernard and A. Duncan, Annals Phys. 107 (1977), 201 doi:10.1016/0003-4916(77)90210-X

[61] E. T. Akhmedov, Int. J. Mod. Phys. D 23 (2014), 1430001 doi:10.1142/S0218271814300018 [arXiv:1309.2557 [hep-th]].

[62] E. T. Akhmedov, U. Moschella and F. K. Popov, Phys. Rev. D 99, no.8, 086009 (2019) doi:10.1103/PhysRevD.99.086009 [arXiv:1901.07293 [hep-th]].

[63] P. M. Ho and Y. Matsuo, Class. Quant. Grav. 35 (2018) no.6, 065012 doi:10.1088/1361-6382/aaac8f [arXiv:1703.08662 [hep-th]].

[64] P. M. Ho and Y. Matsuo, JHEP 03 (2018), 096 doi:10.1007/JHEP03(2018)096 [arXiv:1710.10390 [hep-th]].

[65] P. M. Ho, H. Kawai, Y. Matsuo and Y. Yokokura, JHEP 11 (2018), 056 doi:10.1007/JHEP11(2018)056 [arXiv:1807.11352 [hep-th]].

[66] E. T. Akhmedov and F. K. Popov, JHEP 09, 085 (2015) doi:10.1007/JHEP09(2015)085 [arXiv:1412.1554 [hep-th]].

[67] E. T. Akhmedov, N. Astrakhantsev and F. K. Popov, JHEP 09, 071 (2014) doi:10.1007/JHEP09(2014)071 [arXiv:1405.5285 [hep-th]].

[68] E. T. Akhmedov and S. O. Alexeev, Phys. Rev. D 96, no.6, 065001 (2017) doi:10.1103/PhysRevD.96.065001 [arXiv:1707.02242 [hep-th]].

[69] D. A. Trunin, [arXiv:2108.07747 [hep-th]].

[70] L. A. Akopyan and D. A. Trunin, Phys. Rev. D 103, no.6, 065005 (2021) doi:10.1103/PhysRevD.103.065005 [arXiv:2012.02129 [hep-th]].

[71] E. N. Lanina, D. A. Trunin and E. T. Akhmedov, Phys. Atom. Nucl. 83, no.12, 1660-1661 (2020) doi:10.1134/S1063778820100129

[72] E. T. Akhmedov, E. N. Lanina and D. A. Trunin, Phys. Rev. D 101, no.2, 025005 (2020) doi:10.1103/PhysRevD.101.025005 [arXiv:1911.06518 [hep-th]].

[73] J. Berges, AIP Conf. Proc. 739, no.1, 3-62 (2004) doi:10.1063/1.1843591 [arXiv:hep-ph/0409233 [hep-ph]].

[74] E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov and D. V. Diakonov, Phys. Rev. D 104 (2021) no.8, 085008 doi:10.1103/PhysRevD.104.085008 [arXiv:2106.01791 [hep-th]].

[75] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Vol. 10 (Pergamon Press, Oxford, 1975).

[76] A. Kamenev, "Many-body theory of non-equilibrium systems," Cambridge, UK: Univ. Pr. (2011) [arXiv:cond-mat/041229].

[77] E. T. Akhmedov and F. Bascone, Phys. Rev. D 97 (2018) no.4, 045013 doi:10.1103/PhysRevD.97.045013 [arXiv:1710.06118 [hep-th]].

[78] E. T. Akhmedov and O. Diatlyk, JHEP 10 (2020), 027 doi:10.1007/JHEP10(2020)027 [arXiv:2004.01544 [hep-th]].

[79] E. T. Akhmedov, O. Diatlyk and A. G. Semenov, Proc. Steklov Inst. Math. 309 (2020), 12-30 doi:10.1134/S0081543820030025 [arXiv:1909.12805 [hep-th]].

[80] E. T. Akhmedov, U. Moschella, K. E. Pavlenko and F. K. Popov, Phys. Rev. D 96 (2017) no.2, 025002 doi:10.1103/PhysRevD.96.025002 [arXiv:1701.07226 [hep-th]].

[81] E. T. Akhmedov, F. K. Popov and V. M. Slepukhin, Phys. Rev. D 88 (2013), 024021 doi:10.1103/PhysRevD.88.024021 [arXiv:1303.1068 [hep-th]].

[82] D. A. Trunin, Phys. Rev. D 104 (2021) no.4, 045001 doi:10.1103/PhysRevD.104.045001 [arXiv:2105.01647 [hep-th]].

[83] D. Krotov and A. M. Polyakov, Nucl. Phys. B 849, 410-432 (2011) doi:10.1016/j.nuclphysb.2011.03.025 [arXiv:1012.2107 [hep-th]].

[84] E. T. Akhmedov and K. Kazarnovskii, Universe 8, no.3, 162 (2022) doi:10.3390/universe8030162 [arXiv:2110.00454 [hep-th]].

[85] E. T. Akhmedov, Mod. Phys. Lett. A 36 (2021) no.20, 2130020 doi:10.1142/S0217732321300202 [arXiv:2105.05039 [gr-qc]].

[86] A. A. Starobinsky and J. Yokoyama, Phys. Rev. D 50 (1994), 6357-6368 doi:10.1103/PhysRevD.50.6357 [arXiv:astro-ph/9407016 [astro-ph]].

[87] P. Friedrich and T. Prokopec, Phys. Rev. D 98 (2018) no.2, 025010 doi:10.1103/PhysRevD.98.025010 [arXiv:1805.02767 [gr-qc]].

[88] G. Moreau and J. Serreau, Phys. Rev. D 102 (2020), 125015 doi:10.1103/PhysRevD.102.125015 [arXiv:2004.09157 [hep-th]].

[89] G. L. Pimentel, A. M. Polyakov and G. M. Tarnopolsky, Rev. Math. Phys. 30 (2018) no.07, 1840013 doi:10.1142/9789813233867_0020 [arXiv:1803.09168 [hep-th]].

[90] V. Gorbenko and L. Senatore, [arXiv:1911.00022 [hep-th]].

[91] D. Harlow, Rev. Mod. Phys. 88 (2016), 015002 doi:10.1103/RevModPhys.88.015002 [arXiv:1409.1231 [hep-th]].

[92] B. S. Kay and R. M. Wald, Phys. Rept. 207 (1991), 49-136 doi:10.1016/0370-1573(91)90015-E

[93] F. L. Lin and C. Soo, [arXiv:hep-th/9807084 [hep-th]].

[94] C. Teitelboim, [arXiv:hep-th/0203258 [hep-th]].

[95] S. Shankaranarayanan, Phys. Rev. D 6T (2003), 084026 doi:10.1103/PhysRevD.6T.084026 [arXiv:gr-qc/0301090 [gr-qc]].

[96] T. R. Choudhury and T. Padmanabhan, Gen. Rel. Grav. 39 (200T), 1T89-1811 doi:10.100T/s10T14-00T-0489-0 [arXiv:gr-qc/0404091 [gr-qc]].

[9T] P. M. Ho and Y. Matsuo, JHEP 0T (2018), 04T doi:10.100T/JHEP0T(2018)04T [arXiv:1804.04821 [hep-th]].

[98] P. M. Ho, H. Kawai, Y. Matsuo and Y. Yokokura, JHEP 11 (2018), 056 doi:10.100T/JHEP11(2018)056 [arXiv:180T.11352 [hep-th]].

[99] K. V. Bazarov, Class. Quant. Grav. 39 (2022) no.21, 21T001 doi:10.1088/1361-6382/ac8f0e [arXiv:2112.02188 [hep-th]].

[100] V. Moretti, Phys. Rev. D Б6 (199T), TT9T-T819 doi:10.1103/PhysRevD.56.TT9T [arXiv:hep-th/9T05060 [hep-th]].

[101] V. Moretti and D. Iellici, Phys. Rev. D ББ (199T), 3552-3563 doi:10.1103/PhysRevD.55.3552 [arXiv:hep-th/9610180 [hep-th]].

[102] V. P. Frolov, A. Pinzul and A. I. Zelnikov, Phys. Rev. D Б1 (1995), 2TT0-2TT4 doi:10.1103/PhysRevD.51.2TT0

[103] O. Diatlyk, Phys. Rev. D 104 (2021) no.6, 065011 doi:10.1103/PhysRevD.104.065011 [arXiv:2011.03486 [hep-th]].

[104] D. Diakonov, JHEP 04 (2024), 0TT doi:10.100T/JHEP04(2024)0TT [arXiv:2310.08522 [hep-th]].

[105] D. Markovic and W. G. Unruh, Phys. Rev. D 43 (1991), 332-339 doi:10.1103/PhysRevD.43.332

[106] E. T. Akhmedov and K. V. Bazarov, Phys. Rev. D 10T (2023) no.10, 105012 doi:10.1103/PhysRevD.10T.105012 [arXiv:2212.06433 [hep-th]].

[10T] O. Baake and J. Zanelli, Phys. Rev. D 10T (2023) no.8, 084015 doi:10.1103/PhysRevD.10T.084015 [arXiv:2301.04256 [hep-th]].

[108] S. B. Giddings, [arXiv:hep-th/9209113 [hep-th]].

[109] C. G. Callan, Jr., S. B. Giddings, J. A. Harvey and A. Strominger, Phys. Rev. D 45 (1992) no.4, R1005 doi:10.1103/PhysRevD.45.R1005 [arXiv:hep-th/9111056 [hep-th]].

[110] S. P. de Alwis, Phys. Rev. D 46 (1992), 5429-5438 doi:10.1103/PhysRevD.46.5429 [arXiv:hep-th/9207095 [hep-th]].

[111] J. G. Russo, L. Susskind and L. Thorlacius, Phys. Rev. D 46 (1992), 3444-3449 doi:10.1103/PhysRevD.46.3444 [arXiv:hep-th/9206070 [hep-th]].

[112] J. G. Russo, L. Susskind and L. Thorlacius, Phys. Rev. D 47 (1993), 533-539 doi:10.1103/PhysRevD.47.533 [arXiv:hep-th/9209012 [hep-th]].

[113] M. Fitkevich, D. Levkov and Y. Zenkevich, JHEP 06 (2020), 184 doi:10.1007/JHEP06(2020)184 [arXiv:2004.13745 [hep-th]].

[114] S. N. Solodukhin, Phys. Rev. D 53 (1996), 824-835 doi:10.1103/PhysRevD.53.824 [arXiv:hep-th/9506206 [hep-th]].

[115] Y. Potaux, D. Sarkar and S. N. Solodukhin, Phys. Rev. D 105 (2022) no.2, 025015 doi:10.1103/PhysRevD.105.025015 [arXiv:2112.03855 [hep-th]].

[116] D. Sadekov, Phys. Rev. D 105 (2022) no.12, 125003 doi:10.1103/PhysRevD.105.125003 [arXiv:2111.05984 [hep-th]].

[117] A. Svesko, E. Verheijden, E. P. Verlinde and M. R. Visser, JHEP 08 (2022), 075 doi:10.1007/JHEP08(2022)075 [arXiv:2203.00700 [hep-th]].

[118] J. P. S. Lemos and P. M. Sa, Phys. Rev. D 49 (1994), 2897-2908 [erratum: Phys. Rev. D 51 (1995), 5967-5968] doi:10.1103/PhysRevD.49.2897 [arXiv:gr-qc/9311008 [gr-qc]].

[119] J. P. S. Lemos and P. M. Sa, Phys. Rev. D 49 (1994), 2897-2908 [erratum: Phys. Rev. D 51 (1995), 5967-5968] doi:10.1103/PhysRevD.49.2897 [arXiv:gr-qc/9311008 [gr-qc]].

[120] M. Cadoni, M. Oi and A. P. Sanna, JHEP 06 (2023), 211 doi:10.1007/JHEP06(2023)211 [arXiv:2303.05557 [hep-th]].

[121] S. Nojiri and S. D. Odintsov, Int. J. Mod. Phys. A 16 (2001), 1015-1108 doi:10.1142/S0217751X01002968 [arXiv:hep-th/0009202 [hep-th]].

[122] S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Lett. B 463 (1999), 57-62 doi:10.1016/S0370-2693(99)00946-6 [arXiv:hep-th/9904146 [hep-th]].

[123] P. van Nieuwenhuizen, S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 60 (1999), 084014 doi:10.1103/PhysRevD.60.084014 [arXiv:hep-th/9901119 [hep-th]].

[124] S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 59 (1999), 044003 doi:10.1103/PhysRevD.59.044003 [arXiv:hep-th/9806055 [hep-th]].

[125] A. A. Starobinsky and J. Yokoyama, Phys. Rev. D 50 (1994), 6357-6368 doi:10.1103/PhysRevD.50.6357 [arXiv:astro-ph/9407016 [astro-ph]].

[126] N. C. Tsamis and R. P. Woodard, Nucl. Phys. B 724 (2005), 295-328 doi:10.1016/j.nuclphysb.2005.06.031 [arXiv:gr-qc/0505115 [gr-qc]].

[127] D. Marolf and I. A. Morrison, Gen. Rel. Grav. 43 (2011), 3497-3530 doi:10.1007/s10714-011-1233-3 [arXiv:1104.4343 [gr-qc]].

[128] A. Higuchi, D. Marolf and I. A. Morrison, Phys. Rev. D 83 (2011), 084029 doi:10.1103/PhysRevD.83.084029 [arXiv:1012.3415 [gr-qc]].

[129] D. Marolf and I. A. Morrison, Phys. Rev. D 84 (2011), 044040 doi:10.1103/PhysRevD.84.044040 [arXiv:1010.5327 [gr-qc]].

[130] D. Marolf and I. A. Morrison, Phys. Rev. D 82 (2010), 105032 doi:10.1103/PhysRevD.82.105032 [arXiv:1006.0035 [gr-qc]].

[131] D. Glavan, S. P. Miao, T. Prokopec and R. P. Woodard, Class. Quant. Grav. 34 (2017) no.8, 085002 doi:10.1088/1361-6382/aa61da [arXiv:1609.00386 [gr-qc]].

[132] D. Glavan, T. Prokopec and T. Takahashi, Phys. Rev. D 94 (2016), 084053 doi:10.1103/PhysRevD.94.084053 [arXiv:1512.05329 [gr-qc]].

[133] D. Glavan, S. P. Miao, T. Prokopec and R. P. Woodard, Class. Quant. Grav. 32 (2015) no.19, 195014 doi:10.1088/0264-9381/32/19/195014 [arXiv:1504.00894 [gr-qc]].

[134] D. Glavan, T. Prokopec and V. Prymidis, Phys. Rev. D 89 (2014) no.2, 024024 doi:10.1103/PhysRevD.89.024024 [arXiv:1308.5954 [gr-qc]].

[135] J. Weenink and T. Prokopec, Phys. Rev. D 82 (2010), 123510 doi:10.1103/PhysRevD.82.123510 [arXiv:1007.2133 [hep-th]].

[136] T. Prokopec and G. Rigopoulos, Phys. Rev. D 82 (2010), 023529 doi:10.1103/PhysRevD.82.023529 [arXiv:1004.0882 [gr-qc]].

[137] T. Prokopec and R. P. Woodard, Am. J. Phys. 72 (2004), 60-72 doi:10.1119/1.1596180 [arXiv:astro-ph/0303358 [astro-ph]].

[138] T. Prokopec, O. Tornkvist and R. P. Woodard, Annals Phys. 303 (2003), 251-274 doi:10.1016/S0003-4916(03)00004-6 [arXiv:gr-qc/0205130 [gr-qc]].

[139] V. Gorbenko and L. Senatore, [arXiv:1911.00022 [hep-th]].

[140] M. Lewandowski and L. Senatore, JCAP 03 (2020), 018 doi:10.1088/1475-7516/2020/03/018 [arXiv:1810.11855 [astro-ph.CO]].

[141] L. Senatore and M. Zaldarriaga, JCAP 02 (2015), 013 doi:10.1088/1475-7516/2015/02/013 [arXiv:1404.5954 [astro-ph.CO]].

[142] L. Senatore and M. Zaldarriaga, JHEP 12 (2010), 008 doi:10.1007/JHEP12(2010)008 [arXiv:0912.2734 [hep-th]].

[143] G. Moreau and J. Serreau, Phys. Rev. D 101 (2020) no.4, 045015 doi:10.1103/PhysRevD.101.045015 [arXiv:1912.05358 [hep-th]].

[144] G. Moreau and J. Serreau, Phys. Rev. Lett. 122 (2019) no.1, 011302 doi:10.1103/PhysRevLett.122.011302 [arXiv:1808.00338 [hep-th]].

[145] F. Gautier and J. Serreau, Phys. Rev. D 92 (2015) no.10, 105035 doi:10.1103/PhysRevD.92.105035 [arXiv:1509.05546 [hep-th]].

[146] F. Gautier and J. Serreau, Phys. Lett. B 727 (2013), 541-547 doi:10.1016/j.physletb.2013.10.072 [arXiv:1305.5705 [hep-th]].

[147] J. Serreau and R. Parentani, Phys. Rev. D 87 (2013), 085012 doi:10.1103/PhysRevD.87.085012 [arXiv:1302.3262 [hep-th]].

[148] J. Serreau, Phys. Rev. Lett. 107 (2011), 191103 doi:10.1103/PhysRevLett.107.191103 [arXiv:1105.4539 [hep-th]].