О свойствах тензора энергии-импульса скалярного поля для различных состояний на фоне внешних гравитационных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Базаров Кирилл Валерьевич

• Базаров Кирилл Валерьевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Базаров Кирилл Валерьевич

1.1 Пространство Риндлера

1.2 Четырехмерное статическое пространство де Ситтера

1.3 Черная дыра Шварцшильда

1.4 Гипотиза о характерном поведении тензора энергии-импульса скалярного поля вблизи горизонта событий

1.5 Комментарий относительно Гамильтонианов квантовых полей в вышеупомянутых пространствах

2 Свойства корреляционных функций Вайтмана

вблизи горизонтов

2.1 Пространство Риндлера

2.2 Статическое пространство де Ситтера

2.3 Чёрная дыра Шварцшильда

3 Черная дыра в расширяющемся пространстве

3.1 Геометрия пространства Шварцшильда-де Ситтера

3.2 Квантование

3.3 Тензор энергии-импульса

3.4 Четырехмерный случай

4 Нестабильность пространства де Ситтера по отношению к рождению частиц

5 Квантовая теория поля в верхнем квадрате пространства Минковского

5.1 Геометрия

5.2 Альфа-состояния в двумерном пространстве де Ситтера

5.3 Квантовая теория поля в верхнем квадранте пространства Минковского

5.4 Тензор энергии-импульса на горизонте

6 Заключение

Л Суммирование функций Лежандра

Введение

Общая теория относительности Эйнштейна зародилась в самом начале XX века. Данная теория существенно продвинула понимание гравитационных явлений и подчеркнула связь гравитации и геометрии пространства-времени. В рамках этой теории гравитационное притяжение между объектами описывается с помощью искривления пространства-времени. А именно, наличие материи искривляет пространство-время так, что объекты эффективно притягивались друг к другу. С математической точки зрения это описывается уравнениями Эйнштейна, которые определяют, как наличие материи деформирует геометрию.

Практически в то же время получила своё развитие квантовая механика, которая предложила мощные инструменты для описания физики микромира. Квантовая механика впоследствии привела к появлению квантовой теории поля. Данная широкая область включает в себя неисчерпаемый круг задач, но, что самое главное, она прекрасно себя показывает с точки зрения описания экспериментов в физике частиц [1, 2].

Два упомянутых выше фундаментальных открытия теоретической физики XX века лежали совершенно в разных областях. Общая теория относительности — это классическая теория, в которой есть лишь гравитация и материя, а в квантовых теориях, наоборот, появляется дискретность и вероятности, но пространство-время подразумевается плоским, с нулевой гравитационной постоянной. Ключевое отличие данных двух теорий в том, что взаимодействие в квантовых теориях передаётся дискретно, с помощью частиц, которые являются квантами поля, а в гравитации взаимодействие трактуется как гладкое изменение геометрии пространства-времени. Столь концептуальная разница двух подходов вызывает неудовлетворение — ощущение, что, возможно, существует некая более общая теория, которая объединяет в себя как квантовые эффекты, так и гравитацию, а известные нам ОТО и квантовая механика — лишь две эффективные теории, два предела чего-то более общего. Поэтому сразу напрашивались попытки объединения двух теорий (ранние идеи можно заметить в [3, 4])

Один из возможных подходов был следующим: нужно применить хорошо известные квантовые методы к гравитации и получить таким образом квантовую теорию гравитации. Так,

в середине 20 века исследователи предлагали описывать квантовую гравитацию в терминах квантов — гравитонов, гипотетических частиц, переносящих гравитационное взаимодействие [5-7]. Но подобные идеи и попытки приводили к принципиальным сложностям: в расчётах амплитуд рассеяния гравитонов возникали расходимости, которые невозможно было перенормировать. Более того при таком подходе может нарушаться унитарность. Это обстоятельство делало такой подход неработоспособным. Были и другие попытки построения квантовой гравитации, к примеру, петлевая квантовая гравитация, теория струн и т. д. Но обсуждение этих теорий выходит за рамки данной диссертации.

С другой стороны, можно было пойти в противоположном направлении: оставить гравитацию классической, но изучать то, как искривлённое пространство-время влияет на квантовые поля и наоборот. В данном направлении были существенные прорывы. Одним из знаковых достижений стало осознание, что искривление пространства-времени существенно меняет понятие частиц. Что ещё важнее, гравитация может менять понятие вакуума поля. То есть структура и определения таких базовых объектов должны быть адаптированы к наличию кривизны пространства-времени. Работы второй половины XX века привели к пониманию фундаментального факта: понятия "частица" и "вакуум" становятся неоднозначными в искривлённом пространстве, в отличие от квантовой теории поля на плоском фоне [8]. В пространстве Минковского есть чёткое разделение между вакуумом (состоянием с минимальной энергией) и возбужденными состояниями — частицами. А в искривлённой геометрии обычно подобного разделения ввести не удаётся, что приводит к концептуально новым явлениям.

Отсутствие таких привычных в пространстве Минковского вещей как вакуум и возбуждение (частица) на фоне внешних гравитационных полей привело к предсказанию многих эффектов, и многие сюжеты уже стали классическими. Например, в своих исследованиях Стивен Хокинг показал, что чёрные дыры испускают термальное излучение [9-11]. Это утверждение следует из анализа поведения квантового поля в метрике Шварцшильда. Концептуальное (хотя совсем не строгое) объяснение данного эффекта заключается в том, что квантовые флуктуации в пространстве-времени - это пары частица-античастица. И одна из этих частиц может упасть в черную дыру, а другая — уйти на бесконечность, что приводит к уменьшению массы черной дыры и появлению излучения. Это лишь объяснение, которое вполне доходчиво, но не строгое математически. Более последовательный и полный вывод данного эффекта включает в себя вычисление квантового среднего тензора энергии-импульса полей материи на фоне коллапса чёрной дыры. Оказывается такое среднее имеет ненулевой поток энергии от чёрной дыры после коллапса, что и интерпретируется как излучение. Получается, что для появления такого излучения от объекта его гравитационное притяжение

должно быть сильным. Данный факт является контринтуитивным, но следует из расчётов. Как мы видим пионерские расчёты Хокинга и коллег показали, что учёт квантовых эффектов на фоне гравитационных полей может приводить к концептуально новым эффектам.

Эффект Хокинга — лишь один из примеров явлений, возникающих при рассмотрении квантовой теории на фоне сильных внешних гравитационных полей. Можно также отметить работы Якова Зельдовича и Александра Старобинского, а также других ученых того периода, посвящённые рождению частиц в контексте быстро расширяющейся Вселенной [12-14]. А также исследования де Витта [15], [16] и Гиббонса [17]. В этом направлении существует множество значимых результатов и исследований. Стоит также упомянуть [18-20], и классическую книгу [21].

Но одним из центральных объектов изучения в этой области является квантовое среднее тензора энергии-импульса. Анализ его свойств помогает делать выводы о судьбе всей системы, включающей в себя гравитацию и квантовое поле. Данная диссертация представляет собой продолжение ранее предложенных идей, касающихся квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени. В рамках исследования центральное внимание уделяется всестороннему изучению свойств квантовых средних тензора энергии-импульса квантовых полей в условиях сильных внешних гравитационных полей. Более того, как мы увидим далее без учёта таких средних невозможно корректно описать поведение некоторых систем.

Цели и задачи диссертационного исследования

Настоящая диссертация посвящена вычислению квантовых средних тензора энергии-импульса квантовых полей для изучения влияния внешнего гравитационного поля на квантовые поля, а также для изучения обратной реакции квантовых флуктуаций на внешние гравитационные поля. А именно:

• Развитию методов квантовых полей на фоне пространств с горизонтами Киллинга;

• Анализу инфракрасного поведения корреляционных функций вблизи горизонтов событий;

• Вычислению лидирующего вклада в квантовое среднее тензора энергии-импульса квантовых полей вблизи горизонтов;

• Анализу обратной реакции квантовых полей на фоновую геометрию.

Основные положения, выносимые на защиту диссертации

1. Вычислен лидирующий вклад в квантовое среднее тензора энергии-импульса массивного минимально связанного скалярного поля вблизи горизонта событий в пространстве чёрной дыры Шварцшильда, пространстве де Ситтера и пространстве Риндлера;

2. Показано, что, если температура квантового газа, помещённого в вышеупомянутые пространства, будет отличаться от канонической геометрической температуры, то квантовое среднее тензора энергии-импульса неограниченно растёт вблизи горизонта, что приводит к сильной обратной реакции квантовых полей на фоновую геометрию;

3. Для массивного скалярного поля в двух измерениях вышеупомянутая ситуация обобщена на случай произвольного пространства с горизонтом событий;

4. Для случая квантового газа с фиксированной температурой в пространстве Шварцшильда-де Ситтера показано, что сильная обратная реакция квантовых полей на фоновую геометрию неизбежна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах тензора энергии-импульса скалярного поля для различных состояний на фоне внешних гравитационных полей»

Актуальность

В начале XX века физики совершили ряд революционных открытий, одним из которых было открытие квантового мира. Дальнейшие исследования в этой области привели к построению квантовой теории поля — одного из сильнейших инструментов современной теоретической физики, который позволяет описывать частицы, их поведение и взаимодействие.

В частности, предсказания квантовой теории поля прекрасно согласуются с экспериментами [1]. Так, с помощью квантовой теории поля описываются распределения продуктов реакций на ускорителях частиц, процессы рождения и аннигиляции, а также эффекты поляризации вакуума. Предсказания квантовой теории поля позволили экспериментально обнаружить семейство элементарных частиц стандартной модели.

Таким образом, с одной стороны, применимость квантовой теории поля не вызывает сомнений: эта теория успешно подтверждается множеством экспериментальных данных. С другой стороны, она включает в себя ряд "тёмных" мест, требующих дальнейших исследований. Например, до сих пор остаётся открытым вопрос природы гипотетической тёмной энергии; не выяснено происхождение космологической постоянной; существует проблема расходимо-стей; не построена полноценная теория квантовой гравитации, а также недостаточно изучена квантовая теория поля в условиях искривлённого пространства-времени. Настоящая диссер-

тация посвящена одной из таких задач — учёту влияния сильных гравитационных полей на квантово-полевые эффекты.

Одним из ключевых объектов, которые рассчитываются методами квантовой теории поля и проверяются экспериментально являются амплитуды рассеяния частиц. При таких расчётах используются вакуумные пропагаторы в плоском пространстве Минковского. Данная конструкция никак не учитывает гравитационные эффекты. Безусловно это приближение абсолютно верное и обоснованно очень слабым 1 гравитационным полем. Грубо говоря, почти вся современная квантовая теория поля подразумевает расчёты при нулевой гравитационной константе О. Но данное приближение не верно, к примеру, вблизи горизонта событий микроскопической чёрной дыры или на ранних этапах эволюции Вселенной, где гравитационная кривизна может принимать огромные значения. В таким системах с одной стороны необходимо учитывать гравитационные эффекты на квантовом уровне, с другой стороны не построена полноценная теория учёта влияния сильных гравитационных полей на квантовые поля. Сюжеты изложенные в данной диссертации позволяют сделать шаг в данном направлении: вычисление квантовых средних тензора энергии-импульса интересно как с технической точки зрения, так и с точки зрения оценки необходимости учёта обратной реакции.

Научная новизна

Все основные результаты, представленные в диссертации, являются оригинальными и впервые получены в ходе научной работы автора. С технической точки зрения, исследование в первую очередь предлагает новые подходы к вычислению квантовых средних тензора энергии-импульса вблизи горизонтов событий. На основе данных методов показано, что при приближении к горизонту событий среднее значение тензора энергии-импульса может неограниченно возрастать для неканонической температуры. Во-вторых, в работе разработаны оригинальные методы анализа поведения корреляционных функций в окрестностях горизонтов событий. Это позволяет определить, какая часть спектра квантовых полей вносит наибольший вклад в заданной области. Новые технические подходы существенно расширяют возможности анализа, поскольку они не основываются на конформных свойствах полей или симметриях квантовых состояний. Поэтому данные методы открывают новые возможности исследования массивных квантовых полей в широком классе квантовых состояний, дополняя существующие представления в данной области.

ХК примеру, характерный радиус кривизны пространства-времени на планете Земля бесконечно больше длины волны частицы

Практическая и научная ценность

Исследования, представленные в диссертационной работе, имеют в основном теоретический характер, но могут находить применение в различных задачах, где проявляются эффекты квантовой теории во внешних гравитационных полях. Например, предполагается, что чёрные дыры играют значимую роль в астрофизике. Так, астрофизические чёрные дыры, по всей видимости, оказывают большое влияние на процессы эволюции галактик. Гипотетические первичные чёрные дыры, сформировавшиеся в начальные моменты существования Вселенной, рассматриваются в качестве кандидатов на объяснение природы тёмной материи. Они также могут участвовать в процессах формирования первых галактик. Однако в настоящее время не существует законченной теории, объясняющей зарождение таких микроскопических, но весьма массивных объектов. Более того, сам процесс образования чёрных дыр на ранних этапах эволюции Вселенной, когда расширение происходило с высокой скоростью, остаётся до конца не исследованным. В частности, мало что известно о микроскопических чёрных дырах, возникших на ранних (инфляционных) стадиях эволюции Вселенной. Данная работа посвящена ряду вопросов в этой области. И хотя мы не получаем астрофизических предсказаний, тем не менее, предлагаем некоторые утверждения, касающиеся фундаментальных аспектов физики чёрных дыр и физики расширяющейся Вселенной. Также в диссертации рассматриваются технические аспекты, связанные с вычислением квантовых средних тензора энергии-импульса на фоне искривлённого пространства-времени. Несмотря на то что идеи, изложенные в работе, применялись для конкретных примеров, эти подходы могут быть обобщены на другие случаи. Таким образом, в рамках данной диссертации, с одной стороны, предпринята попытка ответить на ряд фундаментальных вопросов, связанных с квантовой теорией поля, а с другой стороны, в работе описаны технические приёмы, которые могут быть полезны для проведения иных расчётов в данной области.

Степень достоверности и апробация работы

Результаты исследований вошедших в диссертацию многократно представлялись соискателем на отечественных и международных конференциях и семинарах. В частности на семинарах отделения теоретической физики ФИАН им. П.Н. Лебедева (г. Москва), кафедры теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный), лаборатории физики высоких энергий МФТИ (г. Долгопрудный), лаборатории математической и теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный), а также на следующих международных конференциях: "Quantum

Field Theory in Curved Spacetimes Workshop III (Лиссабон, Португалия)", "Fields & Strings 2024 (Москва, Россия)" "International School on Theoretical Physics" (Тсакхадзор, Армения, 2022), "Quantum Field Theory and Gravity" (Томск, 2023), "Петровские чтения" (Казань, 2022, 2023), VII International Conference "Models in Quantum Field Theory" (Санкт-Петербург, 2022), "Quantum Field Theory, High-Energy Physics, and Cosmology" (Дубна, 2022), "Moscow International School of Physics" (Дубна, 2022), "Moscow International School of Physics" (Вороново, 2019), "Theory of Gravitation and Variation in Cosmology (2nd edition)", "57th International School of Subnuclear Physics" (Эриче, 2019) — и отечественных конференциях: "Молодежная конференция по теоретической и экспериментальной физике" (Москва, ИТЭФ, 2019, 2021), 64-я "Всероссийская научная конференция МФТИ" (Долгопрудный, МФТИ, 2021), "Летний струнный семинар 2021" (Долгопрудный, МФТИ, 2021), "Физика элементарных частиц и космология" (Москва, ФИАН, 2022), "Зимний семинар ЛФВЭ 2022" (Долгопрудный, МФТИ, 2022), "Конференция малых научных групп" (Санкт-Петербург, институт им. Эйлера, 2023). Результаты диссертации находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

По материалам диссертации опубликовано 7 статей в международных реферируемых журналах, индексируемых базами данных Web of Science и Scopus.

Личный вклад автора

Результаты, представленные в диссертации, были получены диссертантом лично, либо при его непосредственном участии. Во всех опубликованных работах диссертант совместно с соавторами участвовал в постановке исследовательских задач, выборе методов их решения, интерпретации результатов и формулировке выводов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста (Главы 1 — 5), заключения (Глава 6) и приложения (приложение A). Общий объем диссертации составляет 103 страницы, включая 3 рисунка и одну таблицу. Список литературы содержит 115 ссылок.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы; сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований; представлены выносимые на защиту научные положения.

В главе 1 обсуждается поведение квантового среднего тензора энергии-импульса скалярного массивного поля на фоне трёх пространств с горизонтами.

В разделе 1.1 приводятся результаты вычисления квантового среднего тензора энергии-импульса на фоне пространства Риндлера. Обсуждается способ регуляризации и способ вычисления интегралов от мод поля.

В разделе 1.2 обсуждается поведение квантового среднего тензора энергии-импульса на фоне статических координат пространства де Ситтера. Обсуждаются сходства и отличия результатов в пространстве де Ситтера и в пространстве Риндлера.

В разделе 1.3 приведены результаты вычисления квантового среднего тензора энергии-импульса вблизи горизонта в пространстве чёрной дыры Шварцшильда. Обсуждается физические последствия полученных результатов.

В разделе 1.4 обобщаются результаты трёх предыдущих разделов. Обсуждается сходства результатов из трёх вышеупомянутых пространствах. На основе результатов, найденных в трёх вышеупомянутых пространствах, выдвинута гипотеза о поведение квантового среднего тензора энергии-импульса на фоне пространств с горизонтом.

В разделе 1.5 обсуждаются технические аспекты вычисления вторично квантованного Гамильтониана.

В главе 2 анализируется поведение корреляционных функций Вайтмана вблизи горизонтов событий. Также обсуждается зависимость поведения корреляционных функций от квантового состояния.

В разделе 2.1 вычисляется поведение корреляционной функции Вайтмана вблизи горизонта событий в пространстве Риндлера.

В разделе 2.2 рассмотрено поведение корреляционной функции Вайтмана вблизи горизонта в статических координатах пространства де Ситтера. Обсуждается зависимость лидирующего вклада от состояния.

В разделе 2.3 вычисляется сингулярное слагаемое в корреляционной функции Вайт-мана вблизи горизонта Шварцшильда. И обсуждается зависимость данного слагаемого от состояния квантового поля.

В главе 3 обсуждается квантовая теория поля на фоне пространства Шварцшильда-де Ситтера.

В разделе 3.1 описаны геометрические аспекты данного пространства. Вычислены геометрические температуры.

В разделе 3.2 проведено квантование массивного скалярного поля в двумерном пространстве Шварцшильда-де Ситтера.

В разделе 3.3 получено выражение для квантового среднего тензора энергии-импульса на фоне чёрной дыры в расширяющейся вселенной. Описана зависимость полученного сред-

него от состояния квантового поля. Также обсуждается необходимость учёта обратной реакции квантовых полей на фоновое пространство.

В главе 4 обсуждается нестабильность пространства де Ситтера по отношению к рождению частиц. Выписаны инвариантные к группе де Ситтера пропагаторы. Получено их поведение в пределе близких точек, и обсуждается связь такого предела с эффективным действием.

В главе 5 обсуждается квантовая теория поля в верхнем квадранте пространства Мин-ковского.

В разделе 5.1 обсуждается геометрия данного пространства.

В разделе 5.2 перечислены свойства альфа-состояний в двумерном пространстве де Сит-тера.

В разделе 5.3 описан процесс квантования массивного скалярного поля на фоне верхнего квадранта пространства Минковского. Обсуждается сходство полученных пропагаторов с пропагаторами поля, вычисленными для альфа-состояний в пространстве де Ситтера.

В разделе 5.4 получен лидирующий вклад в квантовое среднее тензора энергии-импульса вблизи горизонта вышеупомянутого пространства. Обсуждается его зависимость от состояния квантового поля и необходимость учёта обратной реакции квантовых полей на фоновое пространство.

В главе 6 (Заключение) сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту. Подведён итог работы и делается вывод о необходимости учёта обратной реакции квантовых полей на фоновые геометрии.

В приложении A описаны технические аспекты вычисления бесконечных сумм от функций Лежандра. В справочной форме представлены результаты суммирования.

Публикации по теме диссертации

1. E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov, D. V. Diakonov, U. Moschella, F. K. Popov and C. Schubert, Propagators and Gaussian effective actions in various patches of de Sitter space, Phys. Rev. D 100, no.10, 105011 (2019)

2. E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov, D. V. Diakonov and U. Moschella, Quantum fields in the static de Sitter universe, Phys. Rev. D 102, no.8, 085003 (2020)

3. E. T. Akhmedov, P. A. Anempodistov, K. V. Bazarov, D. V. Diakonov and U. Moschella, Heating up an environment around black holes and inside de Sitter space, Phys. Rev. D 103,

no.2, 025023 (2021)

4. E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov and D. V. Diakonov, Quantum fields in the future Rindler wedge, Phys. Rev. D 104, no.8, 085008 (2021)

5. K. V. Bazarov, Notes on peculiarities of quantum fields in space times with horizons, Class. Quant. Grav. 39, no.21, 217001 (2022)

6. E. T. Akhmedov and K. V. Bazarov, Backreaction issue for the black hole in de Sitter spacetime, Phys. Rev. D 107, no.10, 105012 (2023)

7. E. T. Akhmedov, P. A. Anempodistov and K. V. Bazarov, Nontrivial self-consistent backreaction of quantum fields in 2D dilaton gravity, Phys. Rev. D 109, no.6, 065026 (2024)

Глава 1

Вычисление тензора энергии-импульса на фоне четырёхмерных пространств с горизонтами для массивного скалярного поля

Один из подходов к изучению квантовой теории поля на фоне искривлённого пространства заключается в следующем: сначала рассматривается только теория гравитации, а затем изучаются квантовые поля, существующие на фоне решений классических уравнений Эйнштейна. Такой подход основаны на предположении, что правой частью уравнений Эйнштейна (1.1) можно пренебречь:

+ Л^ = 8Т^ :), (1.1)

где — тензор Эйнштейна, а квантовое среднее, о котором идет речь, появляется на правой стороне. С одной стороны, это разумная аппроксимация, поскольку гравитационная постоянная С является малым параметром в подобных задачах. С другой стороны, мы увидим ниже, что обсуждаемое предположение может быть нарушено при некоторых условиях, которые мы рассмотрим далее. Таким образом, прямой расчет квантового среднего тензора энергии-импульса позволяет оценить величину квантовых флуктуаций поля для проверки обсуждаемого предположения.

Такое квантовое среднее берется по состояниям, характеризуемым матрицей плотности р. В случае общего положения квантовое поле может находиться в различных состояниях, и нет никаких причин ограничивать рассмотрение лишь одним конкретным состоянием [22]. При этом в пространстве Риндлера обычно рассматривается только так называемое вакуумное состояние пространства Минковского или состояние, инвариантное по отношению к группе Пуанкаре (см., однако, [23]); в пространстве де Ситтера — состояния, инвариантные

к преобразованиям изометрии де Ситтера [24], [25], [26] (см., однако, [27] и [28]). А на фоне черной дыры Шварцшильда рассматриваются только состояния Бульвара [29], Унру [30] или Хартла-Хокинга [31,32] (см., однако, [33]). Состояние Бульвара соответствует пустому пространству при больших г, состояние Унру соответствует исходящему потоку энергии при температуре Хокинга. Состояние Хартли-Хокинга соответствует окружающему черную дыру квантовому газу при температуре Хокинга. Из этих трёх состояний, только по состоянию Хартли-Хокинга квантовое среднее оператора тензора энергии-импульса регулярно на обоих горизонтах вечной чёрной дыры.

Однако, открытой задачей является рассмотрение более широкого класса состояний и вычисление квантового среднего ТЭИ1 для этих состояний в четырехмерных пространствах с горизонтами Киллинга. Основываясь на флуктоционно-диссипационной теореме, мы ограничиваем свое внимание термальными состояниям, но с произвольными температурами. Этот класс состояний включает и состояния с каноническим значением температуры. Но, как мы покажем далее, мы получаем нетривиальный результат даже в случае термальных состояний. Данный результат был детально описан автором диссертации в [34] и продолжает результаты полученные в других работах нашей научной группы [23,35-38], которые были посвящены различным аспектам физики квантовых полей на фоне пространств с горизонтами событий. В тех статьях в основном рассматривались двумерные теории и исследовались свойства функций Вайтмана, а результаты данной главы посвящены в основном вычислению квантового среднего тензора энергии-импульса.

Стоит отметить, что согласно работе [39], термальные состояния с неканонической температурой являются сингулярными в пространствах с горизонтами. Однако, в работе [39] данное суждение основано на свойствах функций Вайтмана. Рассмотрение функций Вайт-мана не позволяет делать выводы о физических последствиях таких сингулярностей. В то время как вычисление квантового среднего тензора энергии-импульса позволяет сделать выводы об обратной реакции квантового состояния на фоновую геометрию.

Грубо говоря, вычисление квантового среднего ТЭИ позволяет ответить на физический вопрос: как описывать термальный газ из точных мод, размещенных в статическом пространстве-времени с горизонтом для произвольного квантового состояния? В качестве примеров таких пространств предлагается рассмотреть три фоновых пространства:

¿в2 =е2?а(^2 - ^2) - ,

1 Здесь и далее сокращение "ТЭИ" означает "квантовое среднее тензора энергии-импульса"

(1.2а)

¿в2 = f (г) <И2 - ^ - г2( 8Ш2 вйф2 + в2), f (г) = 1 - Н2 г2 (1.2Ь)

¿в2 = (1 - -)(И2 --¿^ - г2( 81п2 вфф2 + в2), г3 = 2ЫС. (1.2с)

г

Эти три метрики описывают плоское четырехмерное пространство Риндлера, статическое пространство де Ситтера и черную дыру Шварцшильда соответственно.

В данной главе, не теряя общности, мы положим массу черной дыры равной М = ^, постоянную Хаббла - Н = 1, и собственное ускорение - а = 1. В таких единицах канонические температуры (так называемые температуры Хокинга [9], Унру [16] и Гиббонса-Хокинга [11] соответственно) равны (2п)-1:

2П 2П вн = 8пСМ = 2п, ви = — = 2п, вчз = 2- = 2п. (1.3)

а Н

Постановка задачи выглядит следующим образом: рассматривается статическая фоновая метрика как решение уравнений (1.1) для соответствующего значения космологической постоянной и без правой части. Затем мы квантуем массивное скалярное поле со следующим действием:

1 С /- (г-. г^ 2 2^

- Ш2 "2

3 = 2 У у/~9 (дцфд^ф - Ш2ф2),

2

на данном фоне. После этого, используя корреляционную функцию Вайтмана, мы находим квантовое среднее ТЭИ следующим образом:

( д д 1 г д д

(х)в = (д^ - 2^КЩдХв - Ш\)Щ(Х1,Х2)

:1.4)

Х1=Х2=Х

Корреляционная функция Вайтмана определяется следующим образом:

Тге-вНО

ЖеЫх2) = (ф(х1)ф(х2))в, (О)в = гр вН , (1.5)

Тге-вн

где температура Т = 1/в рассматривается как свободный параметр. Гамильтониан имеет стандартную форму (1.79), (1.91), (1.90). Вывод этих формул приведёт в главе 1.5.

Как будет показано ниже вычисление явного выражения квантового среднего ТЭИ для обсуждаемых состояний является сложной технической задачей. Тем не менее, мы можем найти его приближенное значение вблизи горизонта событий. Это именно та часть пространства, которая представляет основной интерес для нас.

При вычислении делается важное предположение, что для канонической температуры (1.3) регуляризованный ТЭИ рядом с горизонтом не содержит сингулярных слагаемых за исключением тех, которые приводят к перенормировке космологической постоянной. Чтобы проиллюстрировать это туверждение, рассмотрим пример пространства Риндлера и статический регион пространства де Ситтера. В этих случаях состояния с канонической температурой являются инвариантными к группе Пуанкаре и де Ситтера соответственно (см., например, [35,37]). Тогда квантовое среднее ТЭИ может лишь перенормировать космологическую постоянную, т.к. (: Т^ :) ос д (это показано методом раздвижки точек в классических работах, подробнее см. [40-44]). Чтобы избежать путаницы, стоит обратить внимание на обозначения: всюду в данной диссертации под (: Т^ :) подразумевается регуляризован-ное ковариантным способом квантовое среднее тензора энергии-импульса. В искривлённом пространстве эта операция не является обычным нормальным упорядочением.

В четырёхмерном пространстве-времени разработаны схемы регуляризации приводящие к совпадающим друг с другом ответам (это описано, к примеру, в книге [21]). Однако, к примеру, метод ковариантного разложения Швингира де Витта хорошо подходит для максимально инвариантных состояний. Чтобы обобщить его на произвольное квантовое состояния предлагается использовать следующую схему регуляризации: мы вычтем ТЭИ для канонической температуры вс из ТЭИ для произвольной температуры в. Предполагая, что регуляризованный ТЭИ для канонической температуры, (: :)рс, лишь перенормирует космологическую постоянную, но не дает новой физики. Другими словами, предполагается, что космологическая постоянная в (1.1) уже перенормирована. Тогда квантовое среднее при произвольной температуре имеет вид:

(: Т^ :)в = (: Т^ :)в - (: Т^ :)вс +(: Тци :)вс ~ )в - )вс ■ (1.6)

4-V-'

<оо

Аналогичная процедура регуляризации использована в статье [31]. Но в данной главе тот же метод применяется не только к пространству Шварцшильда, но и в статическом пространстве де Ситтера и Риндлеровском пространстве.

Отдельный интерес вызывает тензорная структура квантового среднего ТЭИ, потому что в космологических моделях обычно рассматривается тензор энергии-импульса идеальной жидкости. Позже будет показано, что в нашем случае, когда влияние пространства де Ситтера или черной дыры значительно, полученное квантовое среднее ТЭИ не описывается уравнением состояния идеальной жидкости.

1.1 Пространство Риндлера

Четырехмерное риндлеровское пространство-время описывается плоской2 метрикой (1.2а). Эта метрика получается из метрики Минковского путем преобразования координат. Хорошо известно, что такое преобразование привносит изменение в процедуру квантования, это описано в [8,16]. В том числе эффект Унру тесно связан с тонкостями перехода между координатами. Однако, в данной диссертации мы рассмотрим метрику (1.2а) как независимый объект, предполагая, что если в = 2п, тогда корреляционная функция Вайтмана в риндлеровском пространстве совпадает с корреляционной функцией Вайтмана для вакуумного состояния (или, что тоже самое, максимально симметричного состояния) в пространстве Минковского. На таком фоне уравнение Клейна-Гордона можно записать в следующем виде:

( - д2 + (т2 + к2)е2*)Д,И(£) = ш2Дш(£), <рЫ,х) = (£). (1.7)

Тогда оператор поля имеет следующее разложение (см. детали в [21,35]):

,, >= \ Г+х й2к Г+х йш ,—--

ф(ц,£,х) = I —— I —увтп пш 2п о/о п

йш п

е-гшп+гкх ^ + е^П-ъкг ^

ш,к ш,к

Кш (V т2 + к2е* ), (1.8)

а коммутаторы операторов рождения и уничтожения имеет следующий вид:

Къ, ЪШ ' к] = 5(ш - ш')62(к - к'); [Ъ1V Ъ1, Р] = 0; [Ь,, к, к,, *] = 0.

:1.9)

По определению (1.5) и выражению оператора поля (1.8) получаем корреляционную функцию Вайтмана:

^в ^ъбЛ^б^ = (ф(П1,^1,к1)Ф(П2,^2,к2))в = й2кй2к' Г+ж

Г +Ж й о, Г йшйш'е1к11-гк'22 Кш Ыт2 + к2 е*1 )КШ, Ы т2 + к'2 е*2 )х

- (2п)2п2 о

ху/8шЬ(пш) 8тЦпш')[еШП1-ш'П2(Ъ1к, Ъш,я,)в + е-шп1+ш'п2 (6^, Ь^р]. (1.10)

Квантовое среднее значение операторов рождения и уничтожения получается из (1.5), где Гамильтониан имеет форму (1.79):

(Ъ! 2, Ъ ,2,)р =

Тге-рН р г, Ъ

Тге-ря

= 5(ш - ш')8(к - к')-

р-вши

Ьи=0 е

2 В том смысле что у неё нулевой тензор Римана.

= s(u -Ш')б(к - ^¡¿у, (1.11)

и используя (1.9):

Kk' 1,9b = ^ - u'Mtf - ■+ ^) = - - *')¡eh• (1.12)

В конечном итоге:

W/3 ('ni,Cl,Zl\V2,C2,Z2) =

fsinil(n") e^"^^-^^! (Vm^k* )кш (VrnTp )

J-™ (2п)2n2 eel - Г v ' K '

П.13)

Подчеркнём ещё раз, что при вычислении использовались точные моды, которые являются точными решениями волнового уравнения, а не плоские волны.

Теперь, используя эту корреляционную функцию, можно вычислить ТЭИ в соответствии с (1.4). Регуляризованное выражение для плотности энергии, как следует из (1.6), выглядит следующим образом:

О Too«) ■) в = 2

I'

o

du \k\d\k\

slnh(nu) slnh(nu)

efti - у ¡—пи - у

(2п)п2

(u2 + в2^\к\2)(кш (V m2 + k2 e« ))* + (д( Кш (V m2 + k2 e« ))*

П.14)

Если устремить точку, в которой проводятся вычисления к горизонту(£ ^ -те), то при \к\ < ше— » 1 функция Макдональда ограничена3. С другой стороны, в противоположном пределе \к\ » ше—, функция Макдональда экспоненциально стремится к нулю как Кш (ке« ) ~ ехр(-ке^), в пределе £ ^ те. Таким образом, мы видим, что существует эффективное УФ обрезание по поперечному импульсу \к\, то есть в интеграле можно заменить функцию Макдональда на среднее, а пределы интегрирования до \к\ < ше—. В общем, в пределе, когда координата стремится к горизонту, может быть дана следующая оценка:

J~ d\k\\k\n(Kii(Vm2 + k2e?))

1

u slnh nu

11

o

e-i

un+1 e-(n+l)Z u slnh nu

Г1-15)

Следуя этой логике, мы можем оценить интеграл по \к\ в (1.14) как . Также была прове-

дена процедура численной оценки данных интегралов, которая подтверждает рассуждение

3Т.к. для функции Бесселя с чисто мнимым индексом справедливо следующее приближение (z) х sin(wlog z/2-7Ш), если z ^ те, где 7Ш - это фаза Г(1 + гш). Как функция от ш такой синус быстро осциллирует, и как следствии, при интегрировании его квадрат может быть заменён на среднее, т.е. на 1/2.

n

ос

ос

выше. Более конкретно:

V2 П о о, 1

Г 1кк(кшЫш2 + к2е*)) и -ш2е-2*---, (1.16

и о \ '2 ш вши пш

Г~ 1кк3(кшЫш2 + к2е*))2 и -\ш2 + ш4]е-4*-1-, (1.17)

У о \ '/31 J ш эти пш

Г~ 1кк(д*КшЫш2 + к2е*)) и -\4ш2 + ш4]е-2*---. (1.18)

и о V 4 J ш 81ПП пш

Фактор ш^ пш в (1.16),(1.17), (1.18) это нормировочный коэффициент функции Макдональ-да в пределе £ ^ -те.

Скажем ещё несколько слов о процедуре регуляризации. Регуляризацию можно обсуждать ещё на уровне корреляционной функции Вайтмана, напомним:

(П1,£1,^1\П2,£2,^2) =

= 1-1 ^ё^Т еш(П1-П2)^Ч^)кгш )кш (^Ш27к?е*>). (1.19)

В пределе совпадающих точек данная корреляционная функция содержит стандартную УФ расходимость. К примеру, если рассмотреть только времени-подобную раздвижку точек, то мы имеем:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Базаров Кирилл Валерьевич, 2025 год

Литература

[1] Navas S. [et al.]. Review of particle physics // Phys. Rev. D. — 2024.— Vol. 110, no. 3. — 030001 P. DOI: 10.1103/PhysRevD.110.030001.

[2] Peskin Michael E., Schroeder Daniel V. An Introduction to quantum field theory. — Reading, USA : Addison-Wesley, 1995.— ISBN: 978-0-201-50397-5, 978-0-429-50355-9, 978-0-42949417-8. DOI: 10.1201/9780429503559.

[3] Misner Charles W., Wheeler John A. Classical physics as geometry: Gravitation, electromagnetism, unquantized charge, and mass as properties of curved empty space // Annals Phys. — 1957. —Vol. 2. — P. 525-603. DOI: 10.1016/0003-4916(57)90049-0.

[4] Misner Charles W., Thorne K. S., Wheeler J. A. Gravitation.— San Francisco : W. H. Freeman, 1973. — ISBN: 978-0-7167-0344-0, 978-0-691-17779-3.

[5] Feynman R. P. Quantum theory of gravitation // Acta Phys. Polon. — 1963. — Vol. 24. — P. 697-722.

[6] DeWitt Bryce S. Quantum Theory of Gravity. 1. The Canonical Theory // Phys. Rev.— 1967. —Vol. 160. —P. 1113-1148. DOI: 10.1103/PhysRev.160.1113.

[7] Weinberg Steven. ULTRAVIOLET DIVERGENCES IN QUANTUM THEORIES OF GRAVITATION // General Relativity: An Einstein Centenary Survey. — 1980.— P. 790831.

[8] Fulling Stephen A. Nonuniqueness of Canonical Field Quantization in Riemannian SpaceTime // Phys. Rev. D. — 1973.—May. — Vol. 7.— P. 2850-2862.— URL: https://link. aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.7.2850.

[9] Hawking S. W. Particle Creation by Black Holes // Commun. Math. Phys.— 1975.— Vol. 43.— P. 199-220.— [Erratum: Commun.Math.Phys. 46, 206 (1976)]. DOI: 10.1007/ BF02345020.

[10] Hawking S. W. Black Holes and Thermodynamics // Phys. Rev. D. — 1976. — Vol. 13. — P. 191-197. DOI: 10.1103/PhysRevD.13.191.

[11] Gibbons G. W., Hawking S. W. Cosmological Event Horizons, Thermodynamics, and Particle Creation // Phys. Rev. D. — 1977.— Vol. 15.— P. 2738-2751. DOI: 10.1103/ PhysRevD.15.2738.

[12] Zeldovich Ya. B., Starobinsky Alexei A. Particle production and vacuum polarization in an anisotropic gravitational field // Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1971. — Vol. 61. — P. 2161-2175.

[13] Weinberg Steven. Cosmological Production of Baryons // Phys. Rev. Lett. — 1979. — Vol. 42.— P. 850-853. DOI: 10.1103/PhysRevLett.42.850.

[14] Dolgov A. D., Zeldovich Ya. B. Cosmology and Elementary Particles // Rev. Mod. Phys. — 1981. —Vol. 53.— P. 1-41. DOI: 10.1103/RevModPhys.53.1.

[15] DeWitt Bryce S. Quantum Field Theory in Curved Space-Time // Phys. Rept. — 1975.— Vol. 19. —P. 295-357. DOI: 10.1016/0370-1573(75)90051-4.

[16] Unruh William G., Wald Robert M. What happens when an accelerating observer detects a Rindler particle // Phys. Rev. D. — 1984.— Vol. 29.— P. 1047-1056. DOI: 10.1103/ PhysRevD.29.1047.

[17] Gibbons G. W., Hawking S. W. Action integrals and partition functions in quantum gravity // Phys. Rev. D. — 1977.—May.— Vol. 15.— P. 2752-2756.— URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.15.2752.

[18] Weinberg Steven. The Cosmological Constant Problem // Rev. Mod. Phys. — 1989. — Vol. 61. —P. 1-23. DOI: 10.1103/RevModPhys.61.1.

[19] Bekenstein Jacob D. Black holes and entropy // Phys. Rev. D. — 1973. — Vol. 7. — P. 23332346. DOI: 10.1103/PhysRevD.7.2333.

[20] Hartle J. B., Hawking S. W. Wave Function of the Universe // Phys. Rev. D. — 1983.— Vol. 28. —P. 2960-2975. DOI: 10.1103/PhysRevD.28.2960.

[21] Birrell N. D., Davies P. C. W. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. — Cambridge University Press, 1982. DOI: 10.1017/ CB09780511622632.

[22] Akhmedov E. T. Curved space equilibration versus flat space thermalization: A short review // Mod. Phys. Lett. A. — 2021. — Vol. 36, no. 20. — 2130020 P. — 2105.05039.

[23] Akhmedov E. T., Bazarov K. V., Diakonov D. V. Quantum fields in the future Rindler wedge // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 104, no. 8. — 085008 P. — 2106.01791.

[24] Bunch T. S., Davies P. C. W. Covariant Point Splitting Regularization for a Scalar Quantum Field in a Robertson-Walker Universe with Spatial Curvature // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 1977. —Vol. 357. —P. 381-394. DOI: 10.1098/rspa.1977.0174.

[25] Mottola E. Particle Creation in de Sitter Space // Phys. Rev. D. — 1985. — Vol. 31. — 754 P. DOI: 10.1103/PhysRevD.31.754.

[26] Allen Bruce. Vacuum States in de Sitter Space // Phys. Rev. D. — 1985. — Vol. 32. — 3136 P. DOI: 10.1103/PhysRevD.32.3136.

[27] Akhmedov E. T. Lecture notes on interacting quantum fields in de Sitter space // Int. J. Mod. Phys. D. — 2014. — Vol. 23. — 1430001 P. — 1309.2557.

[28] Akhmedov E. T., Moschella U., Popov F. K. Characters of different secular effects in various patches of de Sitter space // Phys. Rev. D. — 2019.— Vol. 99, no. 8.— 086009 P.— 1901.07293.

[29] Boulware David G. Quantum field theory in Schwarzschild and Rindler spaces // Phys. Rev. D.— 1975. —Mar. — Vol. 11. — P. 1404-1423.— URL: https://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRevD.11.1404.

[30] Unruh W. G. Notes on black-hole evaporation // Phys. Rev. D. — 1976. — Aug. — Vol. 14. — P. 870-892. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.14.870.

[31] Candelas P. Vacuum polarization in Schwarzschild spacetime // Phys. Rev. D. — 1980.— Apr. — Vol. 21. — P. 2185-2202. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD. 21.2185.

[32] Hartle J. B., Hawking S. W. Path-integral derivation of black-hole radiance // Phys. Rev. D.— 1976. —Apr.— Vol. 13.— P. 2188-2203.— URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevD.13.2188.

[33] Akhmedov Emil T., Godazgar Hadi, Popov Fedor K. Hawking radiation and secularly growing loop corrections // Phys. Rev. D. — 2016.— Vol. 93, no. 2.— 024029 P.— 1508.07500.

[34] Bazarov K. V. Notes on peculiarities of quantum fields in space-times with horizons // Class. Quant. Grav. — 2022. — Vol. 39, no. 21. — 217001 P. — 2112.02188.

[35] Heating up an environment around black holes and inside de Sitter space / E. T. Akhmedov [et al.] // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 103, no. 2. — 025023 P. — 2010.10877.

[36] Diatlyk O. Hawking radiation of massive fields in 2D // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 104, no. 6. — 065011 P. — 2011.03486.

[37] Quantum fields in the static de Sitter universe / E. T. Akhmedov [et al.] // Phys. Rev. D. — 2020. — Vol. 102, no. 8. — 085003 P. — 2005.13952.

[38] Anempodistov Prokopii A. Remarks on the thermofield double state in 4D black hole background // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 103, no. 10. — 105008 P. — 2012.03305.

[39] Kay Bernard S., Wald Robert M. Theorems on the Uniqueness and Thermal Properties of Stationary, Nonsingular, Quasifree States on Space-Times with a Bifurcate Killing Horizon // Phys. Rept.— 1991.— Vol. 207.— P. 49-136. DOI: 10.1016/0370-1573(91) 90015-E.

[40] Davies P. C. W., Fulling S. A., Unruh W. G. Energy-momentum tensor near an evaporating black hole // Phys. Rev. D. — 1976. —May. — Vol. 13.— P. 2720-2723.— URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.13.2720.

[41] Davies P. C. W., Fulling S. A., Penrose Roger. Quantum vacuum energy in two dimensional space-times // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences.— 1977.— Vol. 354, no. 1676.— P. 59-77.— URL: https:// royalsocietypublishing.org/doi/abs/10.1098/rspa.1977.0056.

[42] Bunch T. S., Christensen S. M., Fulling S. A. Massive quantum field theory in two-dimensional Robertson-Walker space-time // Phys. Rev. D.— 1978. — Dec.— Vol. 18.— P. 4435-4459. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.18.4435.

[43] Christensen S. M. Regularization, renormalization, and covariant geodesic point separation // Phys. Rev. D. — 1978.—Feb.— Vol. 17.— P. 946-963.— URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.17.946.

[44] Christensen S. M. Vacuum expectation value of the stress tensor in an arbitrary curved background: The covariant point-separation method // Phys. Rev. D.— 1976. — Nov.—

Vol. 14.— P. 2490-2501.— URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.14. 2490.

[45] Becattini F. Thermodynamic equilibrium with acceleration and the Unruh effect // Phys. Rev. D. — 2018. — Vol. 97, no. 8. — 085013 P. — 1712.08031.

[46] Prokhorov George Y., Teryaev Oleg V., Zakharov Valentin I. Unruh effect for fermions from the Zubarev density operator // Phys. Rev. D. — 2019.— Vol. 99, no. 7.— 071901 P.— 1903.09697.

[47] Prokhorov George Y., Teryaev Oleg V., Zakharov Valentin I. Thermodynamics of accelerated fermion gases and their instability at the Unruh temperature // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, no. 12. — 125009 P. — 1906.03529.

[48] Prokhorov Georgy Y., Teryaev Oleg V., Zakharov Valentin I. Unruh effect universality: emergent conical geometry from density operator // JHEP. — 2020. — Vol. 03. — 137 P. — 1911.04545.

[49] Modeling of acceleration in heavy-ion collisions: occurrence of temperature below the Unruh temperature / G. Yu. Prokhorov [et al.]. — 2025. — 2. — 2502.10146.

[50] de Sitter Willem. On the relativity of inertia. Remarks concerning Einstein's latest hypothesis // Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences. — 1917. — . — Vol. 19. — P. 1217-1225.

[51] Sciama D.W., Candelas P., Deutsch D. Quantum field theory, horizons and thermodynamics // Advances in Physics.— 1981.— Vol. 30, no. 3.— P. 327-366.— https://doi.org/10.1080/00018738100101457.

[52] Diakonov Dmitrii. Is the Euclidean path integral always equal to the thermal partition function? // JHEP. — 2024. — Vol. 04. — 077 P. — 2310.08522.

[53] On the orthogonality of the MacDonald's functions / A. Passian [et al.] // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2009. — Vol. 360, no. 2. — P. 380-390. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X09005393.

[54] Haag Rudolf, Narnhofer Heide, Stein Ulrich. On Quantum Field Theory in Gravitational Background // Commun. Math. Phys.— 1984.— Vol. 94.— 219 P. DOI: 10.1007/ BF01209302.

[55] Table of integrals, series, and products; 8th ed. / Izrail Solomonovich Gradshteyn [et al.].— Amsterdam : Academic Press, 2014. — Sep.— URL: https://cds.cern.ch/ record/1702455.

[56] Polarski D. Massive scalar field on the static de Sitter space // Phys. Rev. D. — 1990. — Vol. 41. —P. 2519-2524. DOI: 10.1103/PhysRevD.41.2519.

[57] Propagators and Gaussian effective actions in various patches of de Sitter space / E. T. Akhmedov [et al.] // Phys. Rev. D. — 2019.— Vol. 100, no. 10.— 105011 P.— 1905.09344.

[58] Bunch T. S., Davies P. C. W. Quantum Field Theory in de Sitter Space: Renormalization by Point Splitting // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 1978.— Vol. 360.— P. 117-134. DOI: 10.1098/rspa.1978.0060.

[59] Chernikov N. A., Tagirov E. A. Quantum theory of scalar field in de Sitter space-time // Annales de l'I.H.P. Physique th'eorique. — 1968.— Vol. 9, no. 2.— P. 109-141.— URL: http://www.numdam.org/item/AIHPA_1968__9_2_109_0/.

[60] Bros Jacques, Gazeau Jean-Pierre, Moschella Ugo. Quantum field theory in the de sitter universe // Phys. Rev. Lett.— 1994. —Sep. — Vol. 73.— P. 1746-1749.— URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.73.1746.

[61] Higher Transcendental Functions / Bateman Manuscript Project [et al.]. Higher Transcendental Functions no. t. 1. — McGraw-Hill, 1953.

[62] Aghanim N. [et al.]. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters // Astron. Astrophys.— 2020.— Vol. 641.— A6 P. — [Erratum: Astron.Astrophys. 652, C4 (2021)]. 1807.06209.

[63] Starobinsky Alexei A. A New Type of Isotropic Cosmological Models Without Singularity // Phys. Lett. B.— 1980. —Vol. 91. —P. 99-102. DOI: 10.1016/0370-2693(80)90670-X.

[64] Starobinsky Alexei A. Dynamics of Phase Transition in the New Inflationary Universe Scenario and Generation of Perturbations // Phys. Lett. B.— 1982.— Vol. 117.— P. 175178. DOI: 10.1016/0370-2693(82)90541-X.

[65] Linde Andrei D. A New Inflationary Universe Scenario: A Possible Solution of the Horizon, Flatness, Homogeneity, Isotropy and Primordial Monopole Problems // Phys. Lett. B. — 1982.— Vol. 108.— P. 389-393. DOI: 10.1016/0370-2693(82)91219-9.

[66] Linde Andrei D. Chaotic Inflation // Phys. Lett. B. — 1983. — Vol. 129. — P. 177-181. DOI: 10.1016/0370-2693(83)90837-7.

[67] Guth Alan H. The Inflationary Universe: A Possible Solution to the Horizon and Flatness Problems // Phys. Rev. D. — 1981. —Vol. 23. — P. 347-356. DOI: 10.1103/PhysRevD.23. 347.

[68] Guth Alan H., Pi S. Y. Fluctuations in the New Inflationary Universe // Phys. Rev. Lett. — 1982.— Vol. 49. —P. 1110-1113. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1110.

[69] Albrecht Andreas, Steinhardt Paul J. Cosmology for Grand Unified Theories with Radiatively Induced Symmetry Breaking // Phys. Rev. Lett. — 1982. — Vol. 48. — P. 12201223. DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.1220.

[70] Zel'dovich Ya. B., Novikov I. D. The Hypothesis of Cores Retarded during Expansion and the Hot Cosmological Model // Soviet Astron. AJ (Engl. Transl. ). — 1966. —. — Vol. 43. — 758 P.

[71] Hawking Stephen. Gravitationally Collapsed Objects of Very Low Mass // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.— 1971.—04. — Vol. 152, no. 1.— P. 75-78.— https://academic.oup.com/mnras/article-pdf/152/1/75/9360899/mnras152-0075.pdf.

[72] Chapline George F. Cosmological effects of primordial black holes // Nature. — 1975. — Vol. 253, no. 5489. —P. 251-252. DOI: 10.1038/253251a0.

[73] Meszaros P. Primeval black holes and galaxy formation. // Astron. Astrophys. — 1975. — . — Vol. 38, no. 1. —P. 5-13.

[74] Nariai Hidekazu. On some static solutions of Einstein's gravitational field equations in a spherically symmetric case // Sci. Rep. Tohoku Univ. Eighth Ser. — 1950. —. — Vol. 34. — 160 P.

[75] Nariai Hidekazu. On a New Cosmological Solution of Einstein's Field Equations of Gravitation // General Relativity and Gravitation. — 1951. — Vol. 31. — P. 963-971.

[76] Ginsparg Paul H., Perry Malcolm J. Semiclassical Perdurance of de Sitter Space // Nucl. Phys. B.— 1983.— Vol. 222.— P. 245-268. DOI: 10.1016/0550-3213(83)90636-3.

[77] Spradlin Marcus, Strominger Andrew, Volovich Anastasia. Les Houches lectures on de Sitter space // Les Houches Summer School: Session 76: Euro Summer School on Unity

of Fundamental Physics: Gravity, Gauge Theory and Strings. — 2001. — 10. — P. 423-453. — hep-th/0110007.

[78] Cha Kyung-Seok, Lee Bum-Hoon, Park Chanyong. dS / CFT correspondence from the brick wall method // J. Korean Phys. Soc. — 2003. — Vol. 42. — 735 P. — hep-th/0207194.

[79] Shankaranarayanan S. Temperature and entropy of Schwarzschild-de Sitter space-time // Phys. Rev. D. — 2003. — Vol. 67. — 084026 P. — gr-qc/0301090.

[80] Akhmedov Emil T., Bazarov Kirill V. Backreaction issue for the black hole in de Sitter spacetime // Phys. Rev. D. — 2023. — Vol. 107, no. 10. — 105012 P. — 2212.06433.

[81] Corichi Alejandro, Gomberoff Andres. Black holes in de Sitter space: Masses, energies, and entropy bounds // Phys. Rev. D. — 2004.—Mar. — Vol. 69.— 064016 P. — URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.69.064016.

[82] Teitelboim Claudio. Gravitational thermodynamics of Schwarzschild-de Sitter space // Meeting on Strings and Gravity: Tying the Forces Together. — 2001. — P. 291-299. — hep-th/0203258.

[83] Lin Feng-Li, Soo Chopin. Black hole in de Sitter space // 6th International Symposium on Particles, Strings and Cosmology. — 1998. — 7. — P. 89-91. — hep-th/9807084.

[84] Lin Feng-Li, Soo Chopin. Quantum field theory with and without conical singularities: black holes with a cosmological constant and the multi-horizon scenario // Classical and Quantum Gravity. — 1999. — jan. — Vol. 16, no. 2. — P. 551-562. — URL: https://doi.org/10.1088/ 0264-9381/16/2/017.

[85] Choudhury T. Roy, Padmanabhan T. Concept of temperature in multi-horizon spacetimes: Analysis of Schwarzschild-de Sitter metric // Gen. Rel. Grav. — 2007. — Vol. 39. — P. 17891811. —gr-qc/0404091.

[86] Bousso Raphael, Hawking Stephen W. Pair creation of black holes during inflation // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 54. — P. 6312-6322. — gr-qc/9606052.

[87] Bousso Raphael, Hawking Stephen W. (Anti)evaporation of Schwarzschild-de Sitter black holes // Phys. Rev. D. — 1998. — Vol. 57. — P. 2436-2442. — hep-th/9709224.

[88] Nojiri Shin'ichi, Odintsov Sergei D. Effective action for conformal scalars and anti-evaporation of black holes // Int. J. Mod. Phys. A. — 1999.— Vol. 14.— P. 1293-1304.— hep-th/9802160.

[89] Nojiri Shin'ichi, Odintsov Sergei D. Quantum evolution of Schwarzschild-de Sitter (Nariai) black holes // Phys. Rev. D. — 1999. — Vol. 59. — 044026 P. — hep-th/9804033.

[90] Medved A. J. M. Radiation via tunneling from a de Sitter cosmological horizon // Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 66. — 124009 P. — hep-th/0207247.

[91] Cai Rong-Gen, Su Ru-Keng. Black holes in de Sitter space and the stability conjecture of Cauchy horizons // Phys. Rev. D. — 1995. —Jul.— Vol. 52.— P. 666-671.— URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.52.666.

[92] Tadaki Shin-ichi, Takagi Shin. Quantum Field Theory in Two-Dimensional Schwarzschild-de Sitter Spacetime. I: Empty Space // Progress of Theoretical Physics. — 1990. —05.— Vol. 83, no. 5.— P. 941-952. — URL: https://doi.org/10.1143/PTP.83.941.

[93] Akhmedov E. T., Diakonov D. V. Free energy and entropy in Rindler and de Sitter spacetimes // Phys. Rev. D. — 2022. — Vol. 105, no. 10. — 105003 P. — 2112.14794.

[94] Bunch T. S., Davies P. C. W. Quantum Field Theory in de Sitter Space: Renormalization by Point Splitting // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 1978.— Vol. 360.— P. 117-134. DOI: 10.1098/rspa.1978.0060.

[95] Davies P. C. W., Fulling S. A. Quantum vacuum energy in two dimensional space-times // Proceedings of the Royal Society of London Series A. — 1977. —. — Vol. 354, no. 1676. — P. 59-77. DOI: 10.1098/rspa.1977.0056.

[96] Anderson Paul R., Hiscock William A., Samuel David A. Stress-energy tensor of quantized scalar fields in static spherically symmetric spacetimes // Phys. Rev. D. — 1995. —Apr. — Vol. 51.— P. 4337-4358.— URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.51. 4337.

[97] Finkelstein David. Past-Future Asymmetry of the Gravitational Field of a Point Particle // Phys. Rev. — 1958. —May. —Vol. 110.— P. 965-967. — URL: https://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRev.110.965.

[98] Anderson Paul R., Siahmazgi Shohreh Gholizadeh, Scofield Zachary P. Infrared effects and the Unruh state // Class. Quant. Grav. — 2023. — Vol. 40, no. 13. — 135004 P. — 2210.16397.

[99] Anderson Paul R., Scofield Zachary P., Traschen Jennie. Linear growth of the two-point function for the Unruh state in 1 + 1 dimensional black holes // 16th Marcel Grossmann

Meeting on Recent Developments in Theoretical and Experimental General Relativity, Astrophysics and Relativistic Field Theories. — 2022. — 4. — 2205.00264.

[100] Firouzjahi Hassan. Cosmological constant and vacuum zero point energy in black hole backgrounds // Phys. Rev. D. — 2022. — Vol. 106, no. 4. — 045015 P. — 2205.06561.

[101] Singha Chiranjeeb, Banerjee Subhashish. Thermal radiation in curved spacetime using influence functional formalism // Phys. Rev. D. — 2022.— Vol. 105, no. 4.— 045020 P.— 2110.01264.

[102] Semiclassical zero-temperature corrections to Schwarzschild spacetime and holography / A. Fabbri [et al.] // Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73. — 104023 P. — hep-th/0512167.

[103] Back Reaction of 4D Conformal Fields on Static Geometry / Pei-Ming Ho [et al.] // JHEP. — 2018. — Vol. 11. — 056 P. — 1807.11352.

[104] Ho Pei-Ming, Matsuo Yoshinori. On the Near-Horizon Geometry of an Evaporating Black Hole // JHEP. — 2018. — Vol. 07. — 047 P. — 1804.04821.

[105] Tsamis N. C., Woodard R. P. Quantum gravity slows inflation // Nucl. Phys. B. — 1996. — Vol. 474. — P. 235-248. — hep-ph/9602315.

[106] Polyakov A. M. De Sitter space and eternity // Nucl. Phys. B. — 2008. — Vol. 797. — P. 199217. — 0709.2899.

[107] Akhmedov Emil T. Real or Imaginary? (On pair creation in de Sitter space) // Mod. Phys. Lett. A. — 2010. — Vol. 25. — P. 2815-2823. — 0909.3722.

[108] Dowker J. S., Critchley Raymond. Scalar Effective Lagrangian in de Sitter Space // Phys. Rev. D. — 1976. — Vol. 13. — 224 P. DOI: 10.1103/PhysRevD.13.224.

[109] On (dis)agreement between different methods of calculation of the imaginary part of the effective action in expanding space-times / E. T. Akhmedov [et al.] // Phys. Lett. B. — 2025. — Vol. 861. — 139256 P. — 2411.02170.

[110] Schomblond C., Spindel P. Unicity Conditions of the Scalar Field Propagator Delta(1) (x,y) in de Sitter Universe // Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. — 1976. — Vol. 25. — P. 67-78.

[111] Fukuma Masafumi, Sugishita Sotaro, Sakatani Yuho. Propagators in de Sitter space // Phys. Rev. D. — 2013. — Vol. 88, no. 2. — 024041 P. — 1301.7352.

[112] Bousso Raphael, Maloney Alexander, Strominger Andrew. Conformal vacua and entropy in de Sitter space // Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — 104039 P. — hep-th/0112218.

[113] Kasner Edward. Geometrical theorems on Einstein's cosmological equations // Am. J. Math. — 1921. —Vol. 43. — P. 217-221. DOI: 10.2307/2370192.

[114] Akhmedova Valeriya, Akhmedov Emil T. Selected Special Functions for Fundamental Physics. SpringerBriefs in Physics. — Springer, 2019. DOI: 10.1007/978-3-030-35089-5.

[115] Entanglement of the Vacuum between Left, Right, Future, and Past: The Origin of Entanglement-Induced Quantum Radiation / Atsushi Higuchi [et al.] // Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 96, no. 8. — 083531 P. — 1709.05757.