Линзовые антенны на основе квазипериодических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Буй Ван Чунг

• Буй Ван Чунг
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Буй Ван Чунг

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЛИНЗОВЫЕ АНТЕННЫ НА ОСНОВЕ ГОФРИРОВАННЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1.1. Замедляющая среда на основе параллельных гофрированных металлических поверхностей с синусоидальным профилем гофра

1.2. Замедляющая среда на основе параллельных гофрированных металлических поверхностей с профилем в виде сопряженных дуг окружностей

1.3. Антенны на основе однослойной металлической линзы Микаэляна

1.4. Антенны на основе многослойной металлической линзы Микаэляна

ГЛАВА 2. АНТЕННЫ НА ОСНОВЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ ЛЮНЕБУРГА ИЗ КОЛЬЦЕВОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

2.1. Синтез анизотропной линзы Люнебурга методом итераций

2.2. Рекуррентный синтез анизотропной линзы с использованием слоистой модели

2.3. Анализ антенн на основе анизотропных линз Люнебурга из кольцевой

диэлектрической структуры

ГЛАВА 3. АНТЕННА НА ОСНОВЕ АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЗЫ МИКАЭЛЯНА ИЗ ПЕРФОРИРОВАННОГО ДИЭЛЕКТРИКА

3.1. Синтез перфорированной линзы Микаэляна

3.2. Анализ аберраций перфорированной линзы Микаэляна

3.3. Анализ характеристик антенны на основе перфорированной линзы

Микаэляна

ГЛАВА 4. АНТЕННА НА ОСНОВЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ ЛЮНЕБУРГА ИЗ ПЕРФОРИРОВАННОГО ДИЭЛЕКТРИКА

4.1. Синтез и анализ перфорированной линзы Люнебурга (горизонтальная поляризация)

4.2. Синтез и анализ перфорированной линзы Люнебурга (вертикальная

поляризация)

ГЛАВА 5. ЛИНЗОВЫЕ АНТЕННЫ С КРУГОВОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ

5.1. Исследование коэффициентов замедления слоистой диэлектрической структуры

5.2. Исследование и оптимизация параметров поляризатора

5.3. Линзовая антенна с поляризатором

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

В последнее десятилетие при разработке линзовых антенн возрос интерес к использованию искусственных диэлектриков на основе периодических и квазипериодических (с медленно меняющимся периодом) структур. Этот интерес обусловлен двумя обстоятельствами. Первое связано с появлением новых технологий, в том числе аддитивных, изготовления неоднородных искусственных диэлектриков на основе диэлектрических и металлических периодических структур. Второе обстоятельство связано с необходимостью разработки широкополосных многолучевых антенн для базовых станций мобильной связи новых поколений. Следует отметить, что искусственные диэлектрики на основе периодической и квазипериодической структуры обладают частотной и пространственной дисперсией, а в общем случае - анизотропией усредненной диэлектрической и магнитной проницаемостей. Несмотря на большое количество работ, посвященных линзовым антеннам на основе периодических и квазипериодических структур [1-20], детальный анализ влияния этих факторов на их характеристики и, тем более, соответствующий учет в процессе проведения синтеза, в этих работах отсутствует. С другой стороны, эти факторы накладывают серьезные ограничения на важнейшие характеристики антенных систем: коэффициенты усиления (КУ) и использования поверхности (КИП), а также рабочую полосу частот антенны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линзовые антенны на основе квазипериодических структур»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертационной работы является исследование влияния анизотропии и пространственной дисперсии искусственных диэлектриков на основе периодических и квазипериодических структур на характеристики излучения линзовых антенн и разработка методик синтеза с учетом этих факторов.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

1. Исследование и оптимизация параметров замедляющих структур, образованных параллельными гофрированными металлическими поверхностями.

2. Синтез и анализ линзовых антенн на основе гофрированных металлических поверхностей.

3. Синтез и анализ антенн на основе цилиндрической линзы Люнебурга в виде кольцевой диэлектрической структуры с поляризацией электрического поля в плоскости, ортогональной оси колец.

4. Синтез и анализ антенны на основе перфорированной цилиндрической линзы Микаэляна.

5. Синтез и анализ антенны на основе перфорированной сферической линзы Люнебурга.

6. Исследование и оптимизация поляризатора на основе слоистой периодической диэлектрической структуры для линзовых антенн с круговой поляризацией.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В диссертационной работе использованы методы: геометрической оптики (ГО), Кирхгофа и конечных элементов (МКЭ).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Исследованы замедляющие среды с пространственной дисперсией в виде параллельных гофрированных металлических поверхностей.

2. Синтезированы и исследованы линзовые антенны на основе градиентных сред с пространственной дисперсией в виде параллельных гофрированных металлических поверхностей.

3. Синтезированы и исследованы антенны на основе цилиндрической линзы Люнебурга в виде кольцевой диэлектрической структуры с поляризацией электрического поля в плоскости, ортогональной оси колец.

4. Исследовано влияние анизотропии на характеристики излучения антенны на основе перфорированной цилиндрической линзы Микаэляна.

5. Исследовано влияние анизотропии на характеристики излучения антенны на основе перфорированной цилиндрической линзы Люнебурга.

6. Исследован и оптимизирован поляризатор на основе слоистой периодической диэлектрической структуры для линзовых антенн с круговой поляризацией.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ

1. Разработанные линзовые антенны на основе гофрированных металлических поверхностей могут быть использованы с целью уменьшения веса линз и тепловых потерь, а также там, где невозможно использование диэлектриков.

2. Результаты исследования влияния анизотропии на характеристики антенн линз Люнебурга и Микаэляна позволяют оценить их предельные электрические размеры и величину КУ для заданного уровня КИП.

3. Результаты оптимизации поляризатора на основе слоистой периодической диэлектрической структуры позволяют расширить полосу частот антенн с круговой поляризацией.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработанные и исследованные линзовые антенны на основе замедляющей среды из параллельных гофрированных металлических поверхностей обеспечивают величину КИП более 0.7 в полосе частот более 2:1.

2. Разработанные методики позволяют синтезировать цилиндрические линзы Люнебурга в виде кольцевой диэлектрической структуры с поляризацией электрического поля в плоскости, ортогональной оси колец.

3. Результаты исследования влияния анизотропии перфорированной диэлектрической среды на характеристики антенн на основе градиентных линз Люнебурга и Микаэляна позволяют оценить их предельные электрические

размеры и величину КУ для заданного уровня величины КИП.

4. Результаты оптимизации поляризатора на основе слоистой периодической диэлектрической структуры позволяют обеспечить полосу частот линзовых антенн с круговой поляризацией более 2:1.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационного исследования были представлены и обсуждены на следующих научных мероприятиях: Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием «Инжиниринг и телекоммуникации - EN&T 2023», г. Долгопрудный, 20-21 ноября 2023 г., Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием «Инжиниринг и телекоммуникации - EN&T 2024», г. Долгопрудный, 20-21 ноября 2024 года и опубликованы в трудах конференций и 5 статьях в журналах, индексированных в Я8С1 и РИНЦ.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД

В работах, опубликованных в соавторстве, соискателю принадлежит: синтез линзовых антенн с учетом анизотропии и пространственной дисперсии, анализ линзовых антенн в приближении Кирхгофа, построение электродинамических моделей замедляющих структур и линзовых антенн на их основе, а также проведение анализа характеристик излучения с использованием численного моделирования.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения, двух Приложений, Списка использованных сокращений и обозначений и Списка литературы из 59 наименований. Диссертационная работа изложена на 115 страницах, содержит 78 рисунков и 1 таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассмотрены замедляющие среды с пространственной дисперсией в виде параллельных гофрированных металлических поверхностей,

исследованы частотные характеристики коэффициента замедления, а также проведен синтез линзы Микаэляна и анализ антенн на основе такой среды.

В разделе 1.1 рассмотрено распространение электромагнитных волн в среде из параллельных синусоидально гофрированных металлических поверхностей. На основе численного моделирования определена зависимость коэффициента замедления от глубины гофра и направления распространения волны. Показано, что с ростом глубины гофра замедление увеличивается, а полоса пропускания сужается.

В разделе 1.2 рассмотрено распространение основной моды электромагнитной волны в среде из параллельных гофрированных металлических поверхностей с профилем в виде сопряжённых дуг окружностей. Показано, что частотная дисперсия коэффициента замедления среды существенно меньше по сравнению со средой, исследованной в разделе 1.1.

В разделах 1.1, 1.2 также установлено соответствие зависимостей коэффициента замедления исследованной среды с пространственной дисперсией от направления распространения волны и зависимости коэффициента замедления анизотропной среды от направления вектора электрического поля, что позволяет использовать методы синтеза анизотропных линз для синтеза линз на основе сред с пространственной дисперсией.

В разделе 1.3 синтезирована плоская линза Микаэляна на основе квазипериодической среды в виде параллельных гофрированных металлических поверхностей с переменной глубиной гофра, реализующей заданный градиент коэффициента преломления. Проведено численное моделирование различных вариантов антенн на основе линзы Микаэляна и показано, что конструкция, ограниченная крайними лучами без металлизации боковых стенок, обеспечивает максимальные значения КУ.

В разделе 1.4 проведен анализ антенн на основе цилиндрической градиентной линзы Микаэляна в виде многослойной металлической замедляющей среды с переменной глубиной гофра по двум координатам. На основе численного

моделирования показано, что линза без металлизации боковых стенок обеспечивает более высокий коэффициент использования поверхности (0.77), а с металлизацией - более низкий уровень боковых лепестков (-23 дБ).

Во второй главе разработаны итерационная и рекуррентная методики синтеза и проведен синтез и анализ анизотропных линз Люнебурга, выполненных из кольцевых коаксиальных диэлектрических структур.

В разделе 2.1 рассмотрен синтез анизотропной цилиндрической линзы Люнебурга на основе кольцевой диэлектрической структуры для поляризации электрического поля, ортогональной оси колец. Задача сведена к системе уравнений, которая решается итерационным методом с начальным приближением, полученным для изотропной среды. Показано, что метод сходится не для всех расстояний до оси линзы — при малых значениях решение неустойчиво.

В разделе 2.2 разработан рекуррентный метод синтеза анизотропной линзы Люнебурга на основе слоистой модели с параболическим законом изменения радиальной компоненты тензора преломления внутри каждого слоя. Метод основан на пошаговом расчёте параметров слоёв, начиная от оболочки, с использованием уравнений луча и эйконала. Приведены результаты синтеза линзы, а также зависимости погрешности от числа слоёв. Показано, что использование уравнения луча даёт меньшую погрешность по сравнению с использованием уравнения эйконала.

В разделе 2.3 проведено исследование антенн на основе цилиндрической линзы с оболочкой и без оболочки, возбуждаемых Я-секториальным рупором с диэлектрической линзой. Представлены ДН и частотные зависимости КУ и КИП антенн. Показано, что лучшие характеристики обеспечивает линза с оболочкой.

В третьей главе проведено исследование антенн на основе перфорированной линзы Микаэляна, включая анализ аберраций (из-за влияния анизотропии усредненной диэлектрической проницаемости) и частотных характеристик излучения антенны.

В разделе 3.1 исследованы четыре варианта решения задачи синтеза перфорированной линзы Микаэляна, выполненной в виде диэлектрического цилиндра с отверстиями, расположенными по гексагональной сетке. В результате определены зависимости диаметра отверстий от расстояния до оси линзы в случаях: а) компонента тензора коэффициента преломления, параллельная отверстиям, меняется по закону Микаэляна, б) компонента тензора коэффициента преломления, перпендикулярная отверстиям, меняется по закону Микаэляна, в) компоненты тензора коэффициента преломления меняются в соответствии с требованием идеальной фокусировки "необыкновенных" лучей, г) компоненты тензора коэффициента преломления являются средним арифметическим от соответствующих величин во втором и третьем случаях.

В разделе 3.2 проведён анализ аберраций эйконала в перфорированной линзе Микаэляна. Эйконал в Н и Е плоскости рассчитывался по известным формулам для «обыкновенных» и «необыкновенных» лучей. В промежуточных плоскостях для вычисления эйконала был использован приближённый «квазиизотропный» метод расчёта с интегрированием вдоль «обыкновенных» лучей и использованием коэффициента замедления в анизотропной среде. В результате был выбран вариант синтеза, который обеспечил точную фокусировку в Н плоскости и минимальную среднеквадратическую аберрацию эйконала на выходе линзы. Также было установлено, что при одинаковом значении коэффициента преломления в центре линзы, уменьшение диэлектрической проницаемости материала линзы приводит к снижению аберраций.

В разделе 3.3 с использованием ГО, МКЭ и гибридного метода проведен анализ амплитудно-фазового распределения на поверхности перфорированной линзы Микаэляна из полистирола с облучателем в виде пирамидального рупора. Далее с использованием приближения Кирхгофа и МКЭ проведены исследования частотных характеристик излучения антенны на основе перфорированной линзы Микаэляна.

В четвёртой главе проведено исследование антенны на основе

перфорированной линзы Люнебурга, включая анализ аберраций (из-за влияния анизотропии усредненной диэлектрической проницаемости) и частотных характеристик излучения антенны.

В разделе 4.1 для случая горизонтальной поляризации выполнен синтез перфорированной линзы Люнебурга, выполненной в виде диэлектрического шара с отверстиями, расположенными по гексагональной сетке, диаметр которых зависит от расстояния до центра шара. С использованием ГО и МКЭ проведён анализ амплитудно-фазового распределения поля на поверхности линзы. Далее путем численного моделирования с использованием приближения Кирхгофа и МКЭ проведены исследования частотных характеристик излучения антенны на основе перфорированной линзы Люнебурга.

В разделе 4.2 рассмотрен случай вертикальной поляризации, при котором в линзе распространяются как «обыкновенные», так и «необыкновенные» лучи. Выполнен синтез перфорированной линзы Люнебурга и с использованием ГО проведён анализ аберраций эйконала на поверхности линзы. При этом эйконал в Н плоскости рассчитывался по известным формулам для «обыкновенных» лучей, а в Е плоскости - по полученным в Приложении 2 формулам для «необыкновенных» лучей в среде с одноосной анизотропией в декартовой системе координат, компоненты тензора коэффициента преломления которой зависят от радиуса в сферической системе координат. В промежуточных плоскостях для вычисления эйконала использована формула усреднения. Далее путем численного моделирования с использованием приближения Кирхгофа и МКЭ проведены исследования частотных характеристик излучения антенны на основе перфорированной линзы Люнебурга.

В пятой главе проведено исследование и оптимизация параметров поляризатора на основе периодической слоистой среды и линзовой антенны с поляризатором.

В разделе 5.1 исследовано распространение плоских волн в бесконечной слоистой диэлектрической структуре. Частотные зависимости коэффициентов

замедления для ортогональных поляризаций найдены с использованием дисперсионных уравнений и МКЭ (опция «eigen mode). Анализ показал, что дифференциальный фазовый сдвиг имеет максимум, частота которого зависит от диэлектрической проницаемости и коэффициента заполнения. Для максимальной полосы круговой поляризации определены оптимальные параметры структуры, при которых разность между частотами максимума и возбуждения в периодической среде первой высшей моды достигает максимума.

В разделе 5.2 с учетом полученных в разделе 5.1 результатов проведена оптимизация параметров поляризатора на основе слоистой диэлектрической структуры в канале Флоке и проведено сравнение с результатами известных работ. Установлено, что поляризатор с найденными параметрами обеспечивают наибольшую полосу частот, в которой коэффициент эллиптичности (КЭ) не превышает уровень -3 дБ.

В разделе 5.3 рассмотрена градиентная линзовая антенна с оптимизированным поляризатором. В результате численного моделирования с использованием МКЭ показано, что антенна излучает волну с правой круговой поляризацией с коэффициентом эллиптичности менее -3 дБ в диапазоне 4.8-10.5 ГГц. Приведены диаграммы направленности и зависимости коэффициентов усиления и использования поверхности апертуры от частоты.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приведены основные результаты работы.

В ПРИЛОЖЕНИИ 1 получены формулы для расчета антенн с осевой симметрией методом Кирхгофа.

В ПРИЛОЖЕНИИ 2 получено дифференциальное уравнение для «необыкновенных» лучей в среде с одноосной анизотропией в декартовой системе координат, компоненты тензора коэффициента преломления которой зависят от радиуса в сферической системе координат.

ГЛАВА 1. ЛИНЗОВЫЕ АНТЕННЫ НА ОСНОВЕ ГОФРИРОВАННЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Замедляющая среда в виде параллельных металлических синусоидально гофрированных поверхностей была предложена в работе [1]. Такая среда обладает слабой частотной и сильной пространственной дисперсией, однако анализ влияния этих факторов на характеристики линзовых антенн в работе не проводился. При этом в литературе отсутствует описание методов синтеза линз на основе сред с пространственной дисперсией.

Цель данной главы является исследование и оптимизация параметров замедляющих сред, в виде параллельных металлических гофрированных поверхностей и разработка метода синтеза широкополосных линзовых антенн на основе такой среды.

1.1. Замедляющая среда на основе параллельных гофрированных

металлических поверхностей с синусоидальным профилем гофра

Рассмотрим распространение плоских электромагнитных волн в среде в виде параллельных синусоидально гофрированных металлических поверхностей (рисунок 1.1).

2 Ъ

а) б)

Рисунок 1.1 - Замедляющая среда: а) общий вид, б) профиль периода структуры

Задача, очевидно, сводится к анализу распространения мод в плоском металлическом волноводе с гофрированными стенками. Ограничимся анализом основной (нулевой) моды синусоидально гофрированного волновода с поперечным размером а, периодом гофра t и глубиной гофра (амплитудой синуса)

Для анализа дисперсионной характеристики коэффициента замедления n = k/k0 (k и k0 - волновые числа в среде и в вакууме, соответственно) будем использовать МКЭ с опцией «eigen mode» в программной среде ANSYS HFSS. Результаты расчета частотной характеристики коэффициента замедления n при распространении основной волноводной моды вдоль оси у в зависимости от глубины гофра b для параметров a = 6, t=10 (здесь и далее все размеры в мм) представлены на рисунке 1.2. На рисунке также показаны значения коэффициента замедления, равного отношению длины волновода на периоде структуры к периоду, рассчитанного по формуле

Как видно на рисунке 1.2, частотная полоса пропускания среды уменьшается, а частотная дисперсия увеличивается с увеличением коэффициента замедления, величина которого монотонно растет с увеличением глубины гофра и приближается к значению, равному отношению длины волновода на периоде к длине периода (формула 1.1). При этом в низкочастотной области величина замедления почти не меняется.

b.

(1.1)

Рисунок 1.2 - Зависимость коэффициента замедления от частоты: МКЭ (1-3), формула (1.1) (4-6), Ь = 2 (1,4), 4 (2,5) и 6 (3,6)

Рисунок 1.3 - Зависимости коэффициента замедления от направления распространения при Ь = 2.2 (1), 3.2 (2), 4 (3) и 4.6 (4)

На рисунке 1.3 представлены зависимости коэффициента замедления от

направления распространения волны (угла а между направлением вектора к и осью y на частоте 6 ГГц при разных значениях глубины гофра (сплошные кривые). Аналогичные зависимости рассчитаны для одноосной анизотропной среды с компонентами тензора магнитной проницаемости ^=1 и ¡2=nm2, рассчитанные по известной [21] формуле:

9 П2

«V) = 2 «т2 . 2 , (1.2)

cos а + nm sin а

где «т=«(0) - максимальный коэффициент замедления, приведены на рисунке 1.3 штриховыми линиями.

Как видно на рисунке 1.3, соответствующие сплошные и штриховые кривые совпадают с графической точностью. Это позволяет использовать для синтеза линз на основе рассматриваемой замедляющей среды с пространственной дисперсией методику синтеза линз из анизотропных материалов, одна из

компонент тензора магнитной проницаемости которых равна 1, а другая - nт. При этом рабочая полоса частот линзы ограничивается частотной дисперсией среды, для уменьшения которой в следующем разделе исследован другой тип замедляющей среды на основе параллельных гофрированных металлических поверхностей.

1.2. Замедляющая среда на основе параллельных гофрированных

металлических поверхностей с профилем в виде сопряженных дуг

окружностей

Рассмотрим распространение плоских электромагнитных волн в замедляющей среде в виде волновода, образованного двумя металлическими гофрированными стенками, профиль которых образован дугами сопряженных окружностей (рисунок 1.4). Ограничимся анализом основной (нулевой) моды в волноводе с расстоянием между стенками а, периодом гофра t и глубиной гофра b

(рисунок 1.5). При этом изгибы стенок на полупериоде имеют общий центр кривизны, а радиусы изгиба стенок равны г и Я.

Рисунок 1.4 - 2D замедляющая среда

а) б)

Рисунок 1.5 - Период гофра с параметрами a=3, /=10, r=1, R=4:

а) b = 6,26 б) b = 2,83

Результаты численного моделирования с использованием опции «eigen mode» частотной характеристики коэффициента замедления среды при распространении основной волноводной моды вдоль оси y в зависимости от глубины гофра b приведены на рисунке 1.6а.

а) б)

Рисунок 1.6 - Зависимости коэффициента замедления а) от частоты: гофр в виде сопряженных дуг окружностей при Ь = 2.83 (1, 4), Ь = 6.26 (2, 5), Ь = 10.06 (3,6), МКЭ (1-3), формула (1.3) (4-6), синусоидальный гофр МКЭ (7-9); б) от направления распространения: Ь= 2.83(1), Ь = 5(2); Ь = 6.26 (3); Ь = 10.06 (4); сплошные линии - гофрированная среда, штриховые - анизотропная среда

Для сравнения на рисунке показаны аналогичные зависимости для волновода с синусоидальным гофром и величины, равные отношению длины волновода на периоде к длине периода, определяемые формулами

к(г + К) + 2й ^к 0 , т Л . .к п = —---, а> —, п = 2а(г + К), 0 <а< —

г '2 2

(1.3)

Как видно на рисунке, полоса пропускания среды уменьшается при увеличении коэффициента замедления (с ростом глубины гофра), при этом критическая длина волны (Якр) определяется соотношением Л,кр = 2гп. Величина коэффициента замедления п исследуемой среды меньше приближенного значения, определяемого формулами (1.3), а частотная дисперсия исследуемой среды существенно меньше, чем среды с синусоидальным гофром.

Зависимости коэффициента замедления п(а) от направления распространения при разных значениях Ь на частоте 6 ГГц практически

совпадают с аналогичными зависимостями для анизотропной среды со значениями компонентов тензора магнитной проницаемости ¡их = пт = п2(0), ¡¡у = п2(ж/2) = 1. Благодаря этому при синтезе линз на основе

исследованной среды с пространственной дисперсией можно использовать методы синтеза анизотропных линз.

1.3. Антенны на основе однослойной металлической линзы Микаэляна

Рассмотрим задачу синтеза линзы с градиентом коэффициента преломления вдоль оси 2, который реализуется за счет переменной глубины синусоидального гофра стенок волновода вдоль этой оси. На рисунке 1.7 показана половина линзы, возбуждаемая открытым концом прямоугольного металлического волновода с плавным переходом к гофрированному волноводу. На выходе линзы расположен Е-секториальный рупор.

Рисунок 1.7 - Однослойная линза Микаэляна

Зависимость коэффициента замедления от координаты 2 можно найти, используя решение задачи синтеза линзы Микаэляна из анизотропной среды,

которое имеет вид [22]

2 Dn(0)dn

n( Z )

:(n) = -J— п-—

n(0) nm(z)n(z)yn (0) - n (z)

(1.4)

где Б - размер линзы вдоль оси у (рисунок 1.7), т(2) = пу(х)/п2(2).

Учитывая, что в нашем случае т(2) = 1/п(2), обозначая п(0) = пт и подставляя эти величины в (1.4), нетрудно получить

п(2) = пт С°8(П2 /(2Бпт)) . (1.5)

Уравнение лучей в слоисто-неоднородной анизотропной среде имеет вид

[22]

йу Ст(г)

dz

4n\z) - C7

(1.6)

где С = п2/^2а + п^)1/2- лучевой параметр, который находится из условия й2/йу= tga, где а - угол входа луча в линзу (рисунок 1.8). Подставляя выражение для С и т(2) = 1/п(2) в (1.6), получаем уравнения лучей в линзе:

D

y = — arcsm n

2C2 - (n2 + с2)cos2 (nz / (2Dnm))

D + —

2

(1.7)

cos2 (nz /(2Dnm))(nm - C2)

Семейство лучей, рассчитанных по формуле (1.7) для nm = 1.24, приведено на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8 - Траектории лучей в линзе Микаэляна с пространственной

дисперсией

Максимальный размер апертуры линзы в Н-плоскости (22т) при заданной величине О определяется условием соз(л2т/2Вит) = 1/пт, а максимальный угловой размер апертуры (2ат) - условием tg(аm) = пт£(л2т/2Впт). Результаты расчета зависимости максимального значения относительной апертуры и ее углового размера от пт приведены на рисунке 1.9. Лучи с углами а> ат выходят через боковую поверхность линзы.

Рисунок 1.9 - Зависимость максимальных величин относительной апертуры линзы (1) и ее углового размера (2) от максимального замедления

Следует отметить, что максимальные значения относительной апертуры и ее углового размера больше, чем у линзы Микаэляна из обычного (изотропного) диэлектрика с тем же значением п(0).

Рассмотрим антенны на основе трех вариантов однослойной линзы Микаэляна: прямоугольной формы (рисунок 1.7), ограниченной крайними лучами (половина линзы показана на рисунке 1.10) и аналогичной линзы с металлизацией боковых стенок.

Линзы возбуждаются прямоугольным волноводом сечением 6х60, для уменьшения отражения в части волновода, примыкающей к линзе, имеется плавный переход от гладких стенок к гофрированным длиной 42.5, а на выходе

линзы расположен Е-секториальный рупор длиной 80 и апертурой 34х500.

Рисунок 1.10 - Однослойная линза Микаэляна, ограниченная крайними лучами

Результаты моделирования диаграмм направленности (ДН) линзовых антенн в Н плоскости с использованием МКЭ показаны на рисунке 1.11, а частотных зависимостей КУ - на рисунке 1.12.

Рисунок 1.11 - Диаграммы направленности антенны в Н плоскости на частоте 6 ГГц: линза прямоугольной формы (1), ограниченная крайними лучами (2), с

металлизацией боковых стенок (3)

КУ, дБ 22 20 18 16 14

4 5 6 7 8 9 / ГГц

Рисунок 1.12 - Зависимости коэффициента усиления антенны от частоты: линза прямоугольной формы (1), ограниченная крайними лучами (2), с металлизацией

боковых стенок (3)

Как видно на рисунке 1.12, максимальную величину КУ обеспечивает линза, ограниченная крайними лучами без металлизации, а минимальный -аналогичная линза с металлизацией. При этом в первом случае антенна имеет максимальный уровень, а в последнем - минимальный уровень первого бокового лепестка (рисунок 1.11). Максимальный уровень дальнего бокового излучения при этом - у антенны с прямоугольной линзой. Такое поведение КУ можно объяснить различием амплитудных распределений в Я-плоскости апертуры (рисунок 1.13). Как видно на рисунке 1.13, амплитудное распределение поля в апертуре линзы с металлизацией боковой поверхности спадает до нуля на краях апертуры, а у других линз продолжается за ее пределы, что объясняется возбуждением поверхностной волны на границе линза-вакуум и в результате обеспечивает большие значения КУ.

АР, дБ

1

40

50

20

30

10

0

50

100

150 200

250 г, мм

Рисунок 1.13 - Амплитудные распределения поля в Я-плоскости апертуры: линза прямоугольной формы (1), ограниченная крайними лучами (2), с металлизацией

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Буй Ван Чунг, 2025 год

* /

\ /

V ^ / У

\ V / /

\ \ / ✓ ✓

\ \ \ \ \ у ✓ г-'

\ ч \ ч / ✓ У ✓ ✓

1 1 ч ч Ч ' ч ' ч ' 1 ✓ 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

К

Рисунок 2.4 - Модуль разности точной величины коэффициента преломления в изотропной линзе и приближенной: уравнение луча (1), уравнение эйконала (2)

Для случая анизотропной линзы, угловая координата точки выхода из линзы луча, прошедшего через к слоев, определяется формулой

- И,2 я2 - И,2 к

вь = 2 агС:ап 0—— - 2 агс1ап ^ 0 '-— + агсБт к - агсБт -к +

к "к И к р

я,ч И

+2 | -^——-"' 1 7 " + (2.17)

(п2 (Я.-1) - я (Я2_1 - я2)) (1+^) - ^ ая

ЯткЯ (п2(Я_1) - В (Я_1 - Я2) у я2 (П2(Я_1) - я. (Я2_1 - я2))-"к2

к Я-2 И

(П2(Я-2)-В-1(я22 -Я2))(1 + ^д)-*д

+21 |

'=2 Я- я (п2( Я-2) - В-1(я2-2 - Я2) у Я2 (п2(Я-2) - Вм( я2-2 - Я2))-где к = 1,2,...

Решая это уравнение так же, как в случае изотропной линзы, находим значения Я , , п(Я , ), начиная со слоя, ближайшего к оболочке.

тк' у тк'' '

Подставляя выражение для радиальной компоненты тензора коэффициента преломления внутри слоев (2.10) в выражение для Ьк в формуле (2.15), получаем

, ш^-а) 2ЯЛМг) Я_1 2^(п2(Я_)_В(Я_ _я2))(1+^д)

81п(а) ■ ет^) ■ ят к ^я2 (п2(Я_) _ В (Я2__ Я2))_ к2 +

тк ДГМ" ^ -1 ^/Л^/ -1 "Л "к

(П2(Я/-2)_В-1(Я-2 _Я2))(1 + ^д)

(2.18)

к Я -2 Я

+21 I - ,- .

-2 Я,! (П2(Я/-2) _В-1(Я2-2 _Я2))_И2

Последовательно решая уравнение (2.15) для каждого слоя, начиная с первого, мы определяем коэффициенты В Затем, подставляя их в уравнение

(2.14), находим значения Ятк и п(Я к).

Рассмотрим вариант синтеза анизотропной линзы без оболочки, при этом выражение для 0к в формуле (2.11) имеет вид

Л р1 ИЖ „ к Я/_1 кт(ЯШ е,= —.к + 2£ | —,к . (2.19)

к 1 ЩЯ2 - И2 /=1 Я. Щя2п2 (Я) - И2

В случае, когда фокус находится на поверхности линзы (р = 1), из формулы (2.19) следует

Ъ = 2 |

Я- ^ (п2( Я -1) - В1 (- Я2)) С1+ е)-е>

'ткя (п2( Я-1) - В (я2- - Я2) у Я2 (п2( Я-1) - В (Я2_1 - Я2))-И2

+2.Гг__м( ^ - В-1(Я-2 - Я2)) (1 + ед )-ед *

(2.20)

¡=2 Я-1 Я ( п2(Я-2) - В-1(Я22 - Я 2)и Я2 ( П2(Я-2) - В-1(Я22 - Я2))-И2

1-2' 1-1^ 1-2 ')у \ ^ ¡-2' г-1^ г-2 ') к

Из формулы (2.11) можно найти параметры Ятк и п(Ятк) каждого слоя так же, как и в случае линзы с оболочкой.

Выражение для Ьк в формуле (2.15) для линзы без оболочки можно записать в виде

, = вт(^-а) + 26V т(Я)Яп2(Я;^Я к вш(а) 6 Д ^2п2(я.) - И;

При Р = 1 из формулы (2.12) получаем

ч

2ЦпЩ-1 - В (Я.2- - Я2)) (1+*д) -е^Я

Ятк ^2 ( П2(Я-1) - В (Я?- - Я 2) )-И

+

к Яг-2 Я. +2 6 |

(п2(Я-2) - В1-1(Я12-2 - Я2)) (1+ед) -£д^Я

(2.22)

Я- "

Поставляя выражение для ^ в формулу (2.15), находим закон изменения радиальной компоненты коэффициента преломления п(Ятк).

Зависимости радиальной компоненты коэффициента преломления пг(г) для линзы сед = 2.5 без оболочки при Р = 1 и с оболочкой при Р ~ 1.06 , п2 = 1.5

представлены на рисунке 2.5, а погрешность синтеза линзы ДЬ (отличие эйконала в апертуре линзы от постоянной величины) - на рисунке 2.6.

Рисунок 2.5 - Зависимость от радиуса компоненты тензора коэффициента преломления анизотропной линзы с оболочкой (1, 2) и без оболочки (3, 4), полученных из уравнения эйконала (1, 3) и из уравнения луча (2, 4)

(а) (б)

Рисунок 2.6 - Зависимости погрешности синтеза линзы (ДЬ )от лучевого параметра: а - из уравнения эйконала,б - из уравнения луча; линза без оболочки (1-3), линза с оболочкой (4-6); число слоев: 50 (1,4), 100 (2,5), 150 (3,6)

Как видно на рисунке 2.6, при увеличении числа слоев погрешность решения задачи синтеза как при использовании как уравнения луча, так и уравнения эйконала, монотонно уменьшается. При этом максимальная погрешность наблюдается вблизи границы линзы.

2.3. Анализ антенн на основе анизотропных линз Люнебурга из кольцевой

диэлектрической структуры

Проведем с использованием МКЭ анализ антенн на основе синтезированных вариантов анизотропной линзы Люнебурга, которая возбуждается Я-секториальным рупором с корректирующей однородной диэлектрической линзой из пенопласта с диэлектрической проницаемостью е = 1.5 (рисунок 2.7).

а б

Рисунок 2.7 - Линзовая антенна с оболочкой (а) и без оболочки (б)

На рисунке 2.8 приведены ДН антенн на основе двух синтезированных вариантов линзы Люнебурга на частоте 15 ГГц.

Рисунок 2.8 - Диаграммы направленности антенн на основе анизотропной линзы Люнебурга с оболочкой (1,2) и без оболочки (3,4): ^-плоскость (1,3),

Я-плоскость (2,4)

Рисунок 2.9 - Зависимости от частоты величины КУ и КИП антенны на основе анизотропной линзы Люнебурга с оболочкой (1,2) и без оболочки (3,4):

КУ (1, 3), КИП (2, 4)

На рисунке 2.9 показаны частотные зависимости КУ и КИП. Как видно из рисунка, величины КУ и КИП линзовой антенны с оболочкой немного больше, чем у линзовой антенны без оболочки. Уменьшение величины КИП антенн при увеличении частоты можно объяснить уменьшением ширины ДН облучателя, а также увеличением фазовой ошибки, возникающей из-за неточности синтеза и частотной дисперсии кольцевой диэлектрической структуры.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Рекурсивный метод с использованием слоистой модели обеспечивает монотонное уменьшение погрешности решения задачи синтеза анизотропной линзы Люнебурга при увеличении числа слоев при использовании как уравнения луча, так и уравнения эйконала. При этом максимальная погрешность наблюдается вблизи границы линзы.

2. Антенны на основе синтезированных цилиндрических анизотропных линз Люнебурга в виде кольцевой диэлектрической квазипериодической структуры с рупорно-линзовым облучателем обеспечивают КИП более 0.8 в полосе частот более 28% и более 0.6 - в полосе частот 50%.

ГЛАВА 3. АНТЕННА НА ОСНОВЕ АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЗЫ МИКАЭЛЯНА ИЗ ПЕРФОРИРОВАННОГО ДИЭЛЕКТРИКА

Линза Микаэляна впервые синтезирована в работе [33] эвристическим методом. Строгий вывод закона изменения коэффициента преломления в линзе, который обеспечивает фокусировку лучей точечного источника, расположенного на первой (плоской) поверхности линзы в плоскую волну на второй плоской поверхности линзы приведен в работе [34].

В связи со сложностью реализации неоднородного диэлектрика в конструкции цилиндрической линзы Микаэляна неоднородный диэлектрик, как правило, заменяется слоистым [18]. Однако при этом для реализации линзы необходимо изготовить набор цилиндров из диэлектриков с заданными коэффициентами преломления, что представляет определенные технологические сложности.

Другой подход к реализации цилиндрической линзы Микаэляна заключается в использовании квазипериодической структуры из одного диэлектрика. Одними из простейших структур такого типа являются слоистые и перфорированные (дырчатые) структуры с переменным коэффициентом заполнения воздухом, зависящим от декартовой (в случае планарной линзы Микаэляна) или радиальной координаты (в случае цилиндрической линзы).

Первой работой, по-видимому, в которой была предложена и исследована цилиндрическая перфорированная линза Микаэляна является работа [35]. Линза Микаэляна в этой работе представляла собой круглый цилиндр из набора диэлектрических трубок с гексагональным расположением, толщина стенок которых менялась в зависимости от их радиальной координаты. Другой вариант конструкции перфорированной линзы Микаэляна (с использованием гексагональной решетки круглых отверстий в сплошном диэлектрике) использован в ряде работ (см., например, [16]).

Следует отметить, что одномерно и двумерно-периодические диэлектрические структуры обладают анизотропией и описываются тензором

усредненной диэлектрической проницаемости. В рассматриваемом в данной работе частном случае перфорированной структуры анизотропия является одноосной, т.е. величина компоненты тензора усредненной диэлектрической проницаемости sz отличается от компонент £г=£ф.

В известных работах не был проведен теоретический анализ влияния анизотропии усредненной диэлектрической проницаемости на характеристики антенн на основе цилиндрической линзы Микаэляна, а диаметры экспериментально исследованных прототипов не превышают 5-6 длин волн, что затрудняет проведение такого анализа, поскольку с уменьшением электрического размера линзы влияние анизотропии падает.

Целью данной главы является теоретическое исследование влияния анизотропии усредненной диэлектрической проницаемости перфорированной структуры в виде набора круглых отверстий в сплошном диэлектрике на характеристики антенны на основе цилиндрической перфорированной линзы Микаэляна при различных вариантах синтеза линзы.

3.1. Синтез перфорированной линзы Микаэляна

Рассмотрим задачу синтеза линзы в виде круглого диэлектрического цилиндра с расположенными по гексагональной сетке круглыми отверстиями (рисунок 3.1). Задача синтеза заключается в определении закона изменения диаметра отверстий в зависимости от их расстояния от оси цилиндра.

Закон изменения коэффициента преломления от радиуса в линзе Микаэляна имеет вид [36]

пмик = п(0) / сИ(яг / (2Г)) (3.1)

где Г - толщина линзы, п(0) - коэффициент преломления на о си линзы.

кТ

Рисунок 3.1 - Перфорированная линза Микаэляна

Рассмотрим несколько вариантов синтеза линзы. В первом варианте синтеза полагаем «2=«мик. Для рассматриваемого перфорированного диэлектрика компоненты тензора коэффициента преломления имеют вид [37]

п = >д +2 р*д 1 + ) <3-2)

П =у1 Р + (1 - р) £д (3.3)

где р=Бвоз/Б„ - величина коэффициента заполнения среды воздухом, £воз - площадь отверстия, Б„ - площадь периода структуры. Выражение (3.3) совладает с известной и широко используемой формулой для усредненной диэлектрической проницаемости [38].

Из формулы (3.3) нетрудно получить

Р = (£д - Ъ2 ) / (*д - 1) (3 4)

где £д - диэлектрической проницаемость материала линзы. Подставляя п2=пмик из

формулы (3.1) в формулу (3.4), находим зависимость

Р(Г) = ГсИ2(^) - п2(0) 1 / ГсИ2(^)(^д -1)] (3.5)

V 21 У V 21 У

Подставляя полученную зависимость в формулу (3.2), находим зависимость пг(г). Найденные в результате зависимости компонент тензора коэффициента преломления от радиуса перфорированной линзы Микаэляна толщиной Г=60.8 из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ед=9 представлены на рисунке 3.2. На том же рисунке приведена зависимость пмш_(г) при Т = 65.

Рисунок 3.2 - Зависимости от радиуса компонент п2 = Пмик (1), п (2) тензора коэффициента преломления при пг (0) =1,732, Т=60,8 мм и пмик (3) при пг (0)

=1,732 и Г=65

На рисунке видно, что зависимости пмик(г) при Т= 65 и пг(г) при Т= 60.8 -близки.

Нетрудно показать, что при таком синтезе линзы не будет точной фокусировки лучей ни в одной плоскости.

Во втором варианте синтеза линзы будем полагать пг= Пмик. Из формулы (3.2) нетрудно получить

Р = (1 + ^ )(£Д - пг 2) (3.6)

^^^Д -у (^Д - 1)(^Д + пг2)

Поставляя выражение для пг(г)= Пмик(г) из формулы (3.1) в выражение (3.6), получаем зависимостьр(г). Подставляя эту зависимость в формулу (3.3), находим зависимость п(г). Найденные в результате зависимости компоненты тензора коэффициента преломления от радиуса перфорированной линзы Микаэляна для линзы с аналогичными параметрами, как и выше, представлены на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Зависимости компонент п (1), пг пмик (2) тензора коэффициента преломления от радиуса

Отметим, что при таком синтезе линзы будет обеспечена точная фокусировка "обыкновенных" лучей (в Н плоскости), поскольку вектор Е электрического поля лучей в этой плоскости ортогонален оси тензора коэффициента преломления. Во всех остальных плоскостях точной фокусировки не будет.

В третьем варианте синтеза линзы потребуем точную фокусировку "необыкновенных" лучей (в Е плоскости). Для этого воспользуемся методикой синтеза планарной анизотропной линзы Микаэляна, описанной в работе [22]. Подставляя в полученное в этой работе уравнение

СП^ = у (щ (г)) = ~КП* (Г^П(0)2 - Пг (г)2

(3.7)

Сг г 2ТП(0)

в выражения (3.2), (3.3) для компонент тензора коэффициента преломления, получаем уравнение

г ■

2£>п(0)

Ро

Р

1

л \ [1 + ^д - Р(1 - ^д)]2 Vед + 2р¿?д(1 - £д) /(1 + - р(1 - ед))

х

х

^д(1 - *д)

^(Л(0)2 - ^ - 2 Р £д (1 - ^ ) /(1 + ^ - Р(1 - ^ )))(Р + (1 - Р) ^ )

СР ,

(3.8)

где Ро

(1 + )(^ - п(0)2)

(* -1)(* + п(0)2)

Находя из уравнения (3.8) зависимость Р(г), определяем зависимости компонент тензора коэффициента преломления от радиуса. Найденные в результате зависимости для линзы с аналогичными параметрами, как и выше, представлены на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 - Зависимости компонент п2 (1), пг(2) тензора коэффициента преломления при п (0) =2, 1=60.8 и Пмик (3) при 1=53 от радиуса

На том же рисунке приведена зависимость Пмик(г) при Т =53. На рисунке видно, что зависимости пмик(г) при Т= 53 и пг(г) при Т= 60.8 практически совпадают.

Отметим, что при таком синтезе линзы будет обеспечена точная фокусировка "необыкновенных" лучей (в Е плоскости). Во всех остальных плоскостях точной фокусировки не будет.

В четвертом варианте синтеза выберем в качестве зависимостей компонентов тензора коэффициента преломления от радиуса среднее арифметическое соответствующих зависимостей во втором и третьем случаях. Эти зависимости представлены на рисунке 3.5.

п-1-1-1-1-1-1-1-1-

10 5 10 15 20 25 30 35 40 г, мм Рисунок 3.5 - Зависимости компонентов п2(1), пг(2) тензора коэффициента преломления от радиуса при Т= 60.8 и Пмик при Т= 57 (3)

На том же рисунке приведена зависимость Пмик(г) при Т= 57 мм. На рисунке видно, что зависимости Пмик(г) при Т= 57 и пг(г) при Т= 60.8 практически совпадают. При этом точной фокусировки нет ни в одной плоскости.

Зависимости коэффициента заполнения от радиуса для всех четырех вариантов синтеза приведены на рисунке 3.6. Номер кривой соответствует номеру варианта.

Рисунок 3.6 - Зависимости коэффициента заполнения от радиуса

Следует отметить, что в линзе с круглыми отверстиями, в отличие от трубчатой линзы [35], реализация коэффициента заполнения, близкого к 1, вызывает трудности, что дополнительно ограничивает диаметр линзы для заданного коэффициента преломления материала.

3.2. Анализ аберраций перфорированной линзы Микаэляна

Для анализа аберраций эйконала (X) найдем зависимость этой величины от радиуса на выходной поверхности линзы.

В плоскости Н распространяются "обыкновенные" лучи, эйконалы которых можно рассчитать по известной формуле для радиально-неоднородного диэлектрика в цилиндрической системе координат [36]

Кт --

£ = ^пг(г)2 - к2йг + ИТ , (3.9)

Т 1

0

где Ят=(2Т/л:)агссЬ(п(0)/И), И=п(0)соБ(в), в - угол входа луча в линзу. При их точной фокусировке (во втором варианте синтеза) величина эйконала в апертуре линзы в этой плоскости равна п(0)Т.

Эйконал "необыкновенного" луча (в Е плоскости) в апертуре линзы можно рассчитать по формуле [22]

т I-

£ =| т(г)у/пг(г)2 - И2йг + ИТ (3.10)

0

где т(г)= п2(г)/пг(г).

В общем случае распространения волны в неоднородной анизотропной среде "обыкновенный" и "необыкновенный" лучи не разделяются [39]. Эйконалы лучей в этом случае будем вычислять приближенно, интегрируя по "обыкновенному" лучу

г

£ = | п(г ,а)Ш, (3.11)

0

где й1 - элемент длины луч и используя известную формулу [21] для коэффициента замедления в однородной анизотропной среде

п(г,а) = 2 пг (г2П (г)2 2 (3.12)

(г) Бт(а) + пг (г) соБ(а)

с соответствующими значениями компонентов тензора, где а - угол между вектором Е и осью тензора (осью 2 в нашем случае),

соБ(а) = ътуътф, (3.13)

Ф - угол между вектором Н и плоскостью распространения луча, у - угол между лучевым вектором и осью 2.

Для оценки точности такого подхода проведем расчет эйконала в Е плоскости, где влияние анизотропии максимально.

Уравнение траектории "обыкновенных" лучей в линзе Микаэляна имеет вид

^/(2Т)) = к ^ [(2Т)) (3.14)

а/п(0)2 - к2

Из уравнения (3.14) нетрудно получить

¡1 / ¡2 = п(0) /^к2 + / (2Т))2(п(0)2 - к2) (3.15)

Поставляя выражения (3.13), (3.15) в (3.11), получаем

Т 2

X = Г П (0К(2К(Ю (3.16)

0 IП?(Ф2(0) + (п?(2) - п2(2))0С82(- к2)81И2 ^к2 + 81И2(^(п2(0) - к2)^

Результаты расчета эйконала в апертуре линзы для первого варианта синтеза по точной формуле (3.9) и приближенной формуле (3.16) в Н плоскости и по точной (3.10) и приближенной формуле (3.14) в Е плоскости приведены на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 - Зависимости эйконала в апертуре линзы от радиуса: в Е плоскости -точная формула (1), приближенная формула (2); в Н плоскости - точная формула

(3), приближенная формула (4)

Видно, что распределения эйконала в Е плоскости, рассчитанные по точной и приближенной формуле близки. В Н плоскости, как и следовало ожидать, результаты совпадают, причем величина эйконала не зависит от радиуса.

а)

б)

в) г)

Рисунок 3.8 - Зависимости эйконала в апертуре линзы от радиуса при е=9, п(0)= 2: а) п2=пмик, б) пг=пмик, в) синтез для «необыкновенных» лучей, г) применение усреднённого подхода; Ф=900(1), ф=750(2),ф=600(3),ф=450(4),ф=300(5),ф=150(6),

Ф=00(7)

Далее будем использовать приближенную формулу для расчета эйконала при произвольных значениях угла ф. Результаты расчета эйконала в апертуре линзы для всех четырех вариантов синтеза показаны на рисунке 3.8.

а)

б)

40 г, мм

Рисунок 3.9 - Зависимости эйконала в апертуре линзы от радиуса: по второму варианту а) е=2.56,п(0)= 1.6 и б) е=4,п(0)= 2; по четвертому варианту в) е=2.56,п(0)= 1.6 и г) е=4,п(0)= 2; ф=900(1), ф=750(2), ф=60°(3), ф=450(4), ф=30°(5),

ф=15°(6), ф=0°(7)

Как видно на рисунке 3.8, максимальная величина Д£= £тах - £тт, где £тах и £min - максимальная и минимальная, соответственно, величина эйконала в апертуре линзы, имеет место при первом варианте синтеза (рисунок 3.8а), а минимальная величина Д£ - при втором и четвертом варианте синтеза (рисунки 3.8б и 3.8г).

На рисунке 3.9 представлены зависимости величина эйконала в апертуре линзы от радиуса при синтезе по второму (рисунки 3.9а и б) и четвертому варианту (рисунки 3.9в и г) линзы с параметрами 8=2.56, п(0)= 1.6 и 8=4, п(0)= 2 для 7 значений угла ф.

Как видно на рисунке, при одном и том же значении п(0) максимальная величина Д£ уменьшается с уменьшением диэлектрической проницаемости материала.

3.3. Анализ характеристик антенны на основе перфорированной линзы

Микаэляна

Анализ характеристик антенны на основе перфорированной линзы Микаэляна проведем двумя методами: с использованием МКЭ и методом Кирхгофа.

Рассмотрим перфорированную линзу Микаэляна радиусом Я = 43, толщиной Т = 75, п(0) = 1.6 из полистирола (е=2.56) с облучателем в виде пирамидального заполненным полистиролом рупора длиной 50, апертурой 8x10, который возбуждается заполненным полистиролом прямоугольным волноводом сечением 11x22. Отверстия внутри линзы радиусом, меняющимся по закону зависимости от расстояния до оси симметрии линзы, показанному на рисунке 3.6 (кривая 2), расположены по гексагональной сетке (рисунок 3.10).

Y

Рисунок 3.10 - Перфорированная антенна

ДН облучателя в двух плоскостях, рассчитанные с использованием МКЭ, показаны на рисунке 3.11.

КУ,дБ 9 б 3 О -3 -6 -9 -12

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 9, град Рисунок 3.11 - Диаграммы направленности облучателя: E плоскость (1), H плоскость (2)

ДН линзовой антенны диаметром 86 c этим облучателем в двух плоскостях, рассчитанные с использованием МКЭ на частоте 20 ГГц, показаны на рисунке 3.12.

КУ, дБ

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 0. град

Рисунок 3.12 - Диаграммы направленности линзовой антенны на частоте 30 ГГц:

H плоскость (1), E плоскость (2)

Величину коэффициента направленного действия (КНД) можно рассчитать путем интегрирования ДН или по формуле [40]

4ж

КНД = 42

я2

\E{p,q>)dS

S

I\\Ё(р,ф^ dS,

(3.17)

где Е(р,ф)- распределение электрического поля в апертуре антенны.

Для того, чтобы свести интеграл по площади (3.17) к линейному интегралу, отметим, что зависимости эйконала в апертуре линзы от азимутального угла в приближении ГО можно приближенно описать формулой

L = L(0) + (1 - cos(2^))

LmM = |) - L(0) LmM = |) + L(0)

2

2

2

- cos(2^)-

LmSr4 = ^) - L(0)

2

. (3.18)

2

а)

б)

в)

Рисунок 3.13 - Зависимости эйконала от азимутального угла по второму варианту

синтеза: a) е=2.56, п(0)=1.6, Т=75; б) е=4, п(0)=2, Т=60.8; в) е=9, п(0)=2, Т=60.8; расчет по формуле (3.11)- сплошные линии, расчет по формуле (3.18)- штриховые линии; г=0(7), г=15(2), г=25(3), г=35 (4), г=43(5)

а)

б)

в)

Рисунок 3.14 - Зависимости эйконала от азимутального угла по четвертому варианту синтеза: а) е=2.56, п(0)=1.6, Т=75; б) е=4, п(0)=2, Т=60.8; в) е=9, п(0)=2, Т=60.8; расчет по формуле (3.11)- сплошные линии, расчет по формуле (3.18)-штриховые линии; г=0(1), г=15(2), г=25(3), г=35 (4), г=43(5)

Результаты расчета распределения фазы в апертуре перфорированной линзы, рассчитанные по формулам (3.11) и (3.18) представлены на рисунках 3.13, 3.14.

Как видно на рисунках, зависимости эйконала от азимутального угла, рассчитанные по формулам (3.11) и (3.18) - близки, поэтому далее для расчета распределения эйконала в апертуре линзы можно использовать более простую формулу (3.18). Учитывая, что ДН облучателя близка к осесимметричной (рисунок 3.11), амплитудное распределение поля в апертуре антенны в приближении ГО будем полагать осесимметричным и вычислять по формуле

Е (р) = ^1 (к /2Т )ес8(^) Р{0) (3.19)

где в=агС:ап^пЬ(пр/2Т), р - расстояние до центра линзы при 2 =Т, Р(в) - ДН облучателя по мощности.

Подставляя формулу (3.18) в интеграл (3.17), можно свести к виду

КНД

4ж

рт

| Е(р)ехр(-]к(Ьт (р) - Д0)) / 2) J0 (к(Ьт (р) - ДО) / 2)рйр

рт

| |Е(р)| рйр

(3.20)

где Е(р)- усредненное амплитудное распределение, J0 (к(Ьт(р) - ДО)/2) функция Бесселя нулевого порядка.

Рисунок 3.15 - Зависимости величины КНД от частоты при е=9, п(0)=2, Т=60.8: второй вариант синтеза (1), четвертый вариант синтеза (2)

2

0

0

Результаты расчета зависимости КНД от частоты для второго и четвертого варианта синтеза приведены на рисунке 3.15. В дальнейшем ограничимся анализом второго варианта синтеза, который (рисунок 3.15) обеспечивает больший КНД.

Результаты расчета распределения амплитуды и фазы поля в апертуре слоистой и перфорированной линзовой антенны с тремя наборами параметров на частоте 30 ГГц, рассчитанные с использованием МКЭ и ГО, приведены на рисунке 3.16 и рисунке 3.17, соответственно. Сплошными линями на рисунках приведены зависимости в Н плоскости, а штриховыми - в Е плоскости.

а)

АР, дБ

б)

р, мм

в)

Рисунок 3.16 - Зависимости амплитуды поля в апертуре от радиуса на частоте 30 ГГц: а) е=2.56, п(0)=1.6, Т=75; б) е=4, п(0)=2, Т=60.8; в) е=9, п(0)=2, Т=60.8: слоистая линза (1,2), перфорированная линза МКЭ (3,4), ГО (5,6)

б)

в)

Рисунок 3.17 - Зависимости эйконала в апертуре от радиуса на частоте 30 ГГц: а) е=2.56, п(0)=1.6, Т=75; б) е=4, п(0)=2, Т=60.8; в) е=9, п(0)=2, Т=60.8: слоистая линза (1,2), перфорированная линза МКЭ (3,4), ГО (5,6)

Как видно на рисунке 3.17, распределения амплитуды поля в Е и Н плоскости близки.

а)

б)

в)

Рисунок 3.18 - Зависимости величины КНД от частоты а) е=2.56, п(0)=1.6, Т=75; б) е=4, п(0)=2, Т=60.8; в) е=9, п(0)=2, Т=60.8: слоистая линза (1), перфорированная линза (2,3,4); МКЭ (1,2), ГО по формуле (3.17) (3), гибридным методом (4)

а)

б)

Рисунок 3.19 - Зависимости величины апертурного КИПа от частоты: а) е=2.56, п(0)=1.6, Т=75; б) е=4, п(0)=2, Т=60.8; в) е=9, п(0)=2, Т=60.8: слоистая линза (7), перфорированная линза (2,3,4); МКЭ (1,2), ГО по формуле (3.17) (3), гибридным

методом (4)

Результаты расчета КНД и апертурного КИПа слоистой и перфорированной линзовых антенн в зависимости от частоты, рассчитанные с использованием МКЭ, а также по формуле (3.20) при ръ= 85 с использованием ГО и гибридного метода приведены на рисунке 3.18 и рисунке 3.19, соответственно. При этом в качестве амплитудного распределения в перфорированной линзе в гибридном методе использовалось амплитудное распределение в апертуре слоистой линзы, рассчитанной с использованием МКЭ, а фазовое распределение рассчитывалось с использованием ГО.

Как видно на рисунке 3.18 КНД линзовых антенн при е=2.56 и е=4 монотонно растет, а линзовой антенны е= 9, п(0)=2 на частоте 27.5 ГГц имеет максимальное значение (21.7 дБ). При этом величина апертурного КИП (рисунок 3.19) монотонно падает как с увеличением частоты, так и диэлектрической проницаемости материала линзы.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Из-за влияния анизотропии максимальная величина КНД антенны на основе перфорированной линзы Микаэляна ограничена, причем, чем больше диэлектрическая проницаемости материала линзы, тем меньше возможная максимальная величина КНД. В частности, для линзы из материала с диэлектрической проницаемостью 9 и значением коэффициента преломления на оси п(0) =2 максимально возможный КНД не превышает 22 дБ.

2. Величина апертурного КИПа монотонно падает как с увеличением частоты, так и диэлектрической проницаемости материала линзы.

3. Метод Кирхгофа дает завышенные значения величин КНД и КИП.

4. Гибридный метод дает более точные результаты, чем метод Кирхгофа, но на высоких частотах также дает завышенную оценку КНД и КИП.

ГЛАВА 4. АНТЕННА НА ОСНОВЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ ЛЮНЕБУРГА ИЗ ПЕРФОРИРОВАННОГО ДИЭЛЕКТРИКА

Сферическая градиентная линза с центральной симметрией (линза Люнебурга) в отличие от параболического зеркала имеет не одну фокальную точку, а сферическую фокальную поверхность. При размещении облучателя с фазовым центром на этой поверхности линзовая антенна формирует идеальный сферический или, в частности, плоский фронт. При размещении нескольких облучателей формируется соответствующее число фронтов, а в дальней зоне антенны - соответствующее число ДН. В связи с этим замечательным свойством линза Люнебурга является идеальным фокусирующим элементом для многолучевых антенных систем. Однако несмотря на то, что решение задачи синтеза линзы получено более 80 лет назад [41], многолучевые антенны на основе линзы Люнебурга пока не получили широкого практического применения. Основная причина этого - технологические сложности реализации сферы из неоднородного диэлектрика с заданным законом изменения коэффициента преломления от радиальной координаты.

Более просто можно реализовать планарную [26] или цилиндрическую [55] линзу Люнебурга. Однако в первом случае антенна на основе такой линзы формирует веерную ДН, а во втором случае линза Люнебурга осуществляет фокусировку только в одной плоскости, поэтому для формирования игольчатой ДН требуется облучающая система, осуществляющая фокусировку в другой плоскости (см. главу 2).

В последнее время основным способом реализации сферических линз Люнебурга является использование искусственных диэлектриков на основе квазипериодических структур [3,5,7,8-15]. При этом одномерно и двухмерно, а в общем случае и трехмерно-периодические структуры обладают анизотропией усредненной диэлектрической проницаемости и коэффициента преломления.

Целью данной работы является исследование влияния анизотропии коэффициента преломления на характеристики антенны на основе сферической

линзы Люнебурга из перфорированного диэлектрика.

4.1. Синтез и анализ перфорированной линзы Люнебурга (горизонтальная

поляризация)

Для частного случая источника на поверхности линзы, отсутствия оболочки и формирования плоского фронта на выходе решение задачи синтеза сферической градиентной линзы с центральной симметрией (определение закона изменения коэффициента преломления от радиуса) имеет аналитическое решение [41]

ил(г) = у1 2 - г2 , (4.1)

где г - радиус в сферической системе координат.

Этот закон изменения коэффициента преломления может быть реализован, в частности, за счет перфорации линзы с диаметрами отверстий (1), которые зависят от расстояния г до центра линзы (рисунок 4.1). Поскольку перфорация диэлектрика не может обеспечить коэффициент преломления близкий к 1 (при уменьшении коэффициента преломления отверстия начинают пересекаться), в модель линзы введена оболочка (2) из пенопласта с коэффициентом преломления поб = 1.034. В качестве облучателя антенны использован Е секториальный рупор, расположенный в плоскости ортогональной отверстиям (рисунок 4.1), а в качестве материала линзы - полистирол (пд = 1.6).

а) б)

Рисунок 4.1 - Сечения перфорированной линзы Люнебурга

Для перфорированного диэлектрика с отверстиями вдоль оси х, расположенными по гексагональной сетке (рисунок 4.1б), компоненты тензора коэффициента преломления имеют вид [37]

Пу = Пг = Мд + 2 Р£п

1 -е„

1 + ^д -Р(1 -£д)

п

= Р + (1 - Р)£

(4.2)

(4.3)

где р=^воз/^п - величина коэффициента заполнения среды воздухом, йюз - площадь отверстия, Бп - площадь периода структуры, ед - диэлектрическая проницаемость материала линзы.

В случае горизонтальной поляризации электрического поля облучателя вектор напряженности электрического поля Е перпендикулярен оси тензора усредненной диэлектрической проницаемости (оси . ). Полагая в этом случае п2(г)=пу(г)= пл(г), где пл(г) определяется формулой (4.1), из формулы (4.2) нетрудно получить

р(г) =

(1 + )(^д - Пл(г)2) (£д - 1)(^д + Пл(г)2)

(4.4)

Рисунок 4.2 - Зависимости коэффициента преломления пл (1) и заполнения

воздухом р (2) от радиуса

Зависимости коэффициентов преломления и заполнения воздухом от радиуса, рассчитанные, соответственно, по формулам (4.1) и (4.4) для линзы диаметром 108 из полистирола показаны на рисунке 4.2.

В случае горизонтальной поляризации в линзе распространяются "обыкновенные лучи", распределение эйконала которых на выходной поверхности линзы определяется известным [36] выражением

^т --

Ь = 2( I у]п Л (г) - (Н / г )2 йг + кв), (4.5)

1

где h= sin(a) - лучевой параметр, равный постоянной Клеро, а- угол входа луча в

линзу, Rm = yj 1 -h2 - минимальное расстояние луча от центра линзы.

Для анализа характеристик антенны на основе линзы Люнебурга из перфорированного диэлектрика будем использовать МКЭ и метод Кирхгофа.

В соответствии принципом эквивалентности, напряженность электрического поля в точке M в дальней зоне можно найти по распределения поля на замкнутой поверхности S [42], в качестве которой в данном случае выбрана поверхность линзы

Xi=jC^L\[ro[[nH]ro ] dS - j \[[пЕ]го ] dS 9 (4.6)

s Тм 471 s гм

где к - волновое число, со- круговая частота, //0- магнитная проницаемость, Е, Н - вектора электрического и магнитного поля на поверхности сферы, rMA-расстояние от точки наблюдения М до точки интегрирования А, гм - расстояние от точки М до начала координат (рисунок П1.1), п- орт нормали к поверхности раздела, г0 - орт, имеющий направление радиуса вектора, проведенного из точки А в точку M.

Нетрудно показать, что в приближении ГО y-компонента напряженности электрического поля на поверхности линзы при а<п/2 определяется формулой

Ey (а) = RE0(a) / (R cos а), (4.7)

где Е0(а)- компонента у напряженности электрического поля облучателя в дальней зоне на расстоянии Я0, Ял - радиус линзы. Нетрудно показать с учетом симметрии луча, что а = в\ где в'- угловая координата точки интегрирования на поверхности линзы.

ДН пирамидального рупора с апертурой 8.5х11, рассчитанные с использованием МКЭ в двух плоскостях на частоте 20 ГГц, показаны на рисунке 4.3. Как видно на рисунке, ДН облучателя для углов а<900 практически осесимметричная, а при а>900 их уровень относительно максимума ниже -20 дБ и при дальнейших расчетах будем полагать в этой области углов Е0 (а) = 0.

КУ. дБ I

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 а, град

Рисунок 4.3 - Диаграмма направленности облучателя: H плоскость (1), E плоскость (2)

Результаты расчета распределения амплитуды и фазы поля на поверхности перфорированной линзовой антенны, рассчитанные с использованием МКЭ и ГО на частоте 20 ГГц представлены, соответственно, на рисунке 4.4 и рисунке 4.5.

О 10 20 30 40 50 60 70 80 9', град

Рисунок 4.4 - Распределения амплитуды поля на поверхности линзы: МКЭ Н плоскость (1), Е плоскость (2), ГО (3)

20 40 60

Рисунок 4.5 - Распределения фазы поля на поверхности линзы: МКЭ Н плоскость (1), Е плоскость (2), ГО (3)

Приближение ГО для распределения амплитуды поля на поверхности линзы становится неверным при приближении к каустике (в' = п/2). Поэтому для углов

в'> 700 в качестве Еу(в') будем использовать среднее значение этой функции в Е и Н плоскости при в' = 700.

Таким образом, при выполнении перфорации в соответствии с формулой (4.4) на выходной поверхности линзы формируется плоская волна с распределением компоненты электрического поля Еу, близким к осесимметричному. Поэтому далее, при расчете ДН, КУ и КИП методом Кирхгофа будем использовать среднее значение Еу(в') в двух плоскостях. Формулы для расчета ДН в приближении Кирхгофа в Е и Н плоскости при осесимметричном распределении поля приведены в Приложении 1. Величину КУ антенны в Е и Н плоскости можно рассчитать путем интегрирования нормированной ДН или по известной [42] формуле

КУ(0) = 2пгМ \Е(0)|2 /(1сРи), (4.8)

где 2С = 120 п волновое сопротивление вакуума, электрическое поле в дальней зоне Е(в) определяется с использованием формул (П1.5) и (П1.9), а мощность источника Ри - по формуле

пп2 п

Ри =—01 Е2(а)Бтас1а (4.9)

7С 0

Максимальное значение КУ определяется формулой (4.8) при подстановке Е(0) в качестве Е(в), где

е~]кГм ПЯ п//2

Е(0) = ]--^ | Еу(0>т20'0 (4.10)

'м

ДН антенны в двух плоскостях, рассчитанные с использованием полученных формул и МКЭ на частоте 20 ГГц для периода расположения отверстий 1= 3 мм приведены на рисунке 4.6.

Частотные зависимости КУ и величины КИП, также рассчитанные двумя методами, показаны на рисунке 4.7. Чтобы избежать зависимости этих величин от изменения с частотой ДН облучателя, размеры облучающего рупора при расчете менялись пропорционально изменению длины волны.

Рисунок 4.6 - Диаграммы направленности линзовой антенны: МКЭ Е плоскость (1), Н плоскость (2); Кирхгоф (3)

Как видно на рисунке, рассчитанные двумя методами ДН в области главного лепестка, близки.

Рисунок 4.7 - Зависимости КУ (1,2) и КИП (3,4) от частоты: МКЭ (1,3), Кирхгоф (2,4)

Как видно на рисунке 4.7, расчет КУ и КИП в приближении Кирхгофа дает

усредненную оценку для этих величин в полосе частот. Колебания численного решения могут быть объяснены влиянием интерференции волн, бегущих по поверхности линзы. Увеличение разницы (до 0.5 дБ) результатов расчета КУ двумя методами в области высоких частот может быть объяснено влиянием частотной дисперсии показателя преломления, которое не учитывается формулами (4.2), (4.3) и, соответственно, приближением Кирхгофа.

4.2. Синтез и анализ перфорированной линзы Люнебурга (вертикальная

поляризация)

В случае вертикальной поляризации вектор электрического поля в апертуре облучателя параллелен оси тензора (оси x). В этом случае в Н плоскости распространяются «обыкновенные» лучи, а в Е плоскости - «необыкновенные» лучи. В работе [56] показано, что минимальные аберрации эйконала на выходе перфорированной линзы Микаэляна обеспечиваются при выборе закона изменения коэффициента преломления, который обеспечивает точную фокусировку лучей в Н плоскости. Для получения такой же фокусировки в нашем случае положим nx(r)=n^r).

Подставляя выражение (4.1) для Пл(г) в формулу (4.3), получаем выражение для коэффициента заполнения воздухом

p(r) = (ед - n^(г)2)/(^д -1). (4.11)

При этом распределение эйконала на выходной поверхности линзы в Н плоскости можно вычислить по формуле (4.5).

Для нахождения распределения эйконала в Е плоскости используем формулу интегрирования по лучу

r

L = Jn(r,J)dl, (4.12)

о

где n(r J) = (Г К (г \ (4.13)

y¡nx (r )2 sin2 р + nz (r )2 cos2 p

- известное [21] выражение для коэффициента преломления одноосной анизотропной среды, а/ - угол между вектором Е и осью анизотропии х (рисунок П2.2). Дифференциальное уравнение (П2.8) «необыкновенного» луча в одноосной анизотропной среде, в которой компоненты тензора зависят от расстояния до начала координат получено в Приложении 2.

Правая часть дифференциального уравнения П2.8 обращается в бесконечность при минимальном значении радиальной координаты луча. Поэтому для реализации численной процедуры решения дифференциального уравнения запишем его в декартовой системе координат

йх п2(х,г)(х2и2(х,г) - к2)

— = 2 ——~Г, (414)

йг гхпх (х, ¿)п2 (х, г) + V А где А = к2«2 (х, г)«2 (х, г )( г 2«2 (х, г) + х 2«2 (х, г) - к2).

Корень уравнения у/А = 0 является точкой ветвления, т.е. в этой точке (Р) корень меняет знак. Поэтому для построения траектории луча при численном решении дифференциального уравнения (4.14) необходимо определить точку р как можно точнее. Поскольку точка р является точкой минимума величины л/А стандартную процедуру определения нуля функции для этого использовать нельзя. В связи с этим для точного определения координат точки р в процессе численного решения дифференциального уравнения (4.13) при приближении к

этой точке применяется итерационная параболическая аппроксимация у[А по трём значениям. Найденная в результате траектория луча представляет собой численное решение дифференциального уравнения (4.13) на участке (-1, с начальным условием х=0, г= -1, а после прохождения точки р, решение уравнения (4.13) на участке (гр, 2л) с противоположным знаком корня при начальном

условии г = хр, х=хр. Величина определяется условием ^хА + 22а = 1 пересечения лучом поверхности линзы.

.50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Г, мм

Рисунок 4.8 - Траектории лучей: h=0.1(1), h=0.2(2), h=0.3(3), h=0.4(4), h=0.5(5), h=0.6(6), h=0.7(7), Ь=0.8(<5), h=0.9(9); «необыкновенные» лучи - сплошные линии,

«обыкновенные» лучи - штриховые линии

Результаты расчета траекторий лучей в Е плоскости путем численного решения уравнения (4.14) приведены на рисунке 4.8. Для сравнения на том же рисунке приведены траектории «обыкновенных» лучей.

Учитывая, что элемент длины луча в декартовой системе координат dl=

9 9

+ и подставляя это выражение в формулу (4.12), получаем для

распределения эйконала в Е плоскости

_ _

L = | п(х,z)^/l+(dx7dZ)2dZ + | п(х,z)yjl + (^ / dz)2dz (4.15)

-1 2р

где производная dx ^ определена в уравнении (4.14).

Используя полученные формулы, можно найти распределение эйконала на

поверхности линзы в Е и Н плоскости. В общем случае распространения волны в

неоднородной анизотропной среде "обыкновенный" и "необыкновенный" лучи не

разделяются [39]. В работе [56] для расчета эйконала в этих плоскостях было

использовано «квазиизотропное» приближение - интегрирование по «обыкновенному» лучу в формуле (4.12) с использованием коэффициента преломления анизотропной среды. Для использования этого приближения в нашем случае запишем уравнение «обыкновенного» луча (П2.9) в декартовых координатах [36]

г2 + х 2(1 + 2(1 - к2)/к2) - 2 х^ 1 - к2 / к -1 = 0 (4.16)

Из этого уравнения следует

йх _ г - х>/1 - к 2 / к й2 2У11 - к 2 / к + (1 - 2/к2) х