Математическая модель построения безударного аэродинамического профиля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Удовиченко, Андрей Сергеевич

• Удовиченко, Андрей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Удовиченко, Андрей Сергеевич

Введение 4

Глава 1 Моделирование в газовой динамике 14

1.1. Значение математических моделей в технике и физике 15

1.1.1. Постановка задачи моделирования 15

1.1.2. Схема процесса моделирования 16

1.1.3. Классификация математических моделей 20

1.1.4. Основы математического моделирования 21

1.2. Математические модели в газовой динамике 23

1.2.1.1. Двумерные стационарные течения: плоские и осесимметричные 23

1.2.1.2. Теорема Крокко о вихрях 26

1.2.1.3. Потенциал скорости; уравнение для потенциала скорости в сжимаемом газе 29

1.2.1.4. Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина 31

1.2.1.5. Особенности решения задач в переменных годографа 32

1.2.1.6. Уравнение Эйлера-Трикоми - трансзвуковой аналог уравнения Чаплыгина 34

1.2.1.7. Уравнение для потенциала плоского почти однородного трансзвукового потока газа 37

1.2.2. Невязкие сжимаемые течения 38

1.2.3. Трансзуковые невязкие течения 45

1.2.3.1. Общие замечания 45

1.2.3.2. Трансзвуковое уравнение малых возмущений 48

1.2.3.3. Полное уравнение для потенциала 51

1.3. Метод фиктивного газа 54

1.4. Выводы

Глава 2 Численные методы решения уравнений газовой динамики 56-79 2.1. Численные методы решения уравнений математической физики

2.1.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем 58

2.1.2. Методы численного решения задач математической физики 62

2.1.3. Вычислительные методы в линейной алгебре 69

2.1.4. Вопросы оптимизации численных методов 76

2.2. Метод простых итераций 79

2.2.1. Основные разновидности итерационных процессов 79

2.2.2. Метод простой итерации 82

2.3. Метод сопряженных градиентов 95-109 2.3.1. Вариант метода сопряженных градиентов 104

2.4. Метод характеристик 110

2.4.1. Характеристики дифференциального уравнения в частных производных второго порядка 110

2.4.2. Приближенное построение сетки характеристик 119

2.4.3. Нахождение характеристических полосок 124

2.5. Выводы

Глава 3 Алгоритмы моделей, численные схемы и результаты 130

3.1. Алгоритмическая схема поставленной задачи нахождения безударного аэродинамического профиля 131

3.2. Численные схемы реализации алгоритма модели нахождения безударного профиля 134

3.3. Результаты численного эксперимента 139

3.4. Выводы 150 Заключение 151-153 Список литературы 154-164 Приложения 1

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель построения безударного аэродинамического профиля»

При обтекании аэродинамического профиля потоком воздуха с большой дозвуковой скоростью, характерной для пассажирской и транспортной авиации, около профиля образуется зона сверхзвуковой скорости течения, которая обычно заканчивается ударной волной. Наличие ударной волны может вызвать более ранний переход ламинарного течения в турбулентное и связанное с этим резкое снижение аэродинамического качества крыла. Кроме того, возникновение ударных волн средней и большой интенсивности приводит к существенным волновым потерям и, что более важно, может инициировать отрыв пограничного слоя и возникновение нестационарных явлений типа бафтинга.

Поэтому одной из важнейших задач аэродинамики летательных аппаратов является проектирование профилей и крыльев безударной формы, для которых ускорение и торможение потока в местной сверхзвуковой зоне происходит без образования ударных волн, и реализуется гладкое обтекание.

Методы проектирования делятся на две категории. К первой категории относятся комбинированные численные методы, объединяющие решение прямой задачи аэродинамики и решение задачи оптимизации, позволяющей в ходе итерационного расчета изменять форму профиля, чтобы минимизировать целевую функцию, например, сопротивление или разность между полученным на данной итерации и желаемым распределениями давления [67], [81]. Недостатком таких методов являются большие затраты времени расчетов, вследствие чего их применение в практике аэродинамического проектирования связано со значительными неудобствами и затратами средств. Ко второй категории относятся обратные методы, предполагающие задание распределения давления или скорости на профиле и определение формы профиля в результате решения соответствующей краевой задачи. В исследованиях, связанных с решением обратных задач для трансзвуковых течений, сформировалось несколько подходов. В методе Вольпа и Мельника [10] проводится решение полного уравнения для потенциала скорости с пространственными координатами в качестве независимых переменных; при этом в заданное распределение давления вводится свободный параметр, который в процессе расчета подбирается так, чтобы обеспечить существование решения обратной задачи. В работах [63], [96] применено преобразование годографа, позволяющее получить линейные уравнения для описания изоэнтропических течений. В методе фиктивного газа [97] используется степенное выражение для плотности газа, обеспечивающее эллиптический тип уравнения для потенциала скорости во всей расчетной области. Были предложены также численные методы, позволяющие задавать как форму профиля, так и распределение давления на профиле или исследовать смешанную задачу, в которой часть профиля задана, а на другой его части задается распределение давления или скорости [77]. Преимущество обратных методов аэродинамического проектирования перед указанными выше методами оптимизации -более высокая скорость счета и экономичность, позволяющие осуществлять проектирование профилей в интерактивном режиме работы на ПК или рабочей станции. Недостатком указанных обратных методов является возникновение некоторых принципиальных трудностей, связанных с необходимостью выполнения условия замкнутости контура и условия совпадения скорости набегающего потока с заданным значением. Как показывают предварительные исследования, задание распределения давления может приводить к наличию вогнутых участков спроектированного аэродинамического профиля и к возникновению внутренних ударных волн в местной сверхзвуковой зоне, поскольку оно представляет собой жесткое граничное условие, не адаптированное к структуре течения. Результаты некоторых расчетов [98], действительно, демонстрируют наличие внутренних ударных волн.

Целью настоящего диссертационного исследования является моделирование построения безударной формы сверхкритического профиля методом фиктивного газа, согласно которому на первом этапе выражение для плотности газа модифицируется так, чтобы полное уравнение для потенциала имело эллиптический тип в сверхзвуковой области, так же как и в дозвуковой. г рис. 1

V<\

Затем решается модификация уравнения неразрывности д( диЛ д( ди\ л

I р— +— р— = 0 методом сопряженных градиентов.

SxV дх) dvv. ду)

На втором этапе, после нахождения положения звуковой линии и параметров течения на ней, течение реального газа в сверхзвуковой области находится методом характеристик путем решения задачи Коши для уравнения Эйлера с начальными данными на звуковой линии. Начальными данными являются значения составляющих скорости Vx и Vy (V2 = V* + Vy =1).

Результатом работы программы является линия тока, исходящая из точки пересечения звуковой линии и исходного профиля. Эта линия тока и является новой, безударной формой профиля под звуковой линией. Окончательная форма безударного профиля получается путем гладкого сопряжения исходного профиля в дозвуковой области и нового в сверхзвуковой.

Для достижения этой цели нами решались следующие задачи: Составлен алгоритм модели и разработаны две схемы численной реализации разработанного алгоритма.

По этим моделям был выполнен ряд численных экспериментов.

Исследование устойчивости и сходимости численных схем и алгоритмов привели к выводам:

1. Использование декартовых координат увеличивает точность нахождения координат звуковой линии и спроектированного профиля. Поэтому в решении краевой задачи для уравнения потенциала использовались декартовы координаты, а не криволинейные связанные с профилем.

2. Применение метода простых итераций даже в случае сходимости для решения поставленной задачи потребовало больших затрат машинного времени поэтому была проанализирована возможность применения более сложных по своей структуре методов: оптимального линейного итерационного процесса, метода наискорейшего спуска и метода сопряженных градиентов и был сделан выбор в пользу последнего.

3. Метод сопряженных градиентов был использован с учетом ленточного вида матриц (из операции умножения матриц исключаются заведомо нулевые элементы).

4. Использование разностных формул четвертого порядка для граничных точек и второго порядка для внутренних точек области интегрирования, а также переход к разностным уравнениям для dU производной по нормали дп N(x, у) позволили (х,у)е Г отказаться от предположения о тонкости профиля. 5. В методе характеристик применяется метод Рунге-Кутта (4-го порядка), а не метод Эйлера.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Удовиченко, Андрей Сергеевич

3.4. Выводы

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы: разработанная модель удовлетворительно решает задачу построения безударного профиля для сравнительно малых числах Маха (0.650 - 0.690). Для больших чисел Маха имеет место лишь существенное улучшение характеристик течения относительно полученного в результате применения алгоритма нового профиля. Вероятно, это объясняется влиянием верхней стенки канала на поток.

Проведенный численный эксперимент показал меньшее время расчета для первой модели, но лучшую скорость сходимости для второй. Полученный новый безударный профиль исследовался при помощи программы моделирующей реальное течение газа при числах Маха близких к использованным при моделировании профиля. При малых отклонениях числа Маха поток оставался близким к безударному и демонстрировал наличие только слабых ударных волн.

Заключение

1. Построена математическая модель проектирования трансзвукового безударного профиля методом фиктивного газа, модифицированного автором (отказ от предположения о тонкости профиля).

2. Обоснованы преимущества метода фиктивного газа как более эффективного метода построения безударного профиля.

3. Произведена математическая обработка уравнений метода фиктивного газа, приводящая к численным алгоритмам, применимым для современной вычислительной техники.

4. Разработаны две численные схемы реализации, позволяющие оценить точность расчетов и объем машинного времени.

5. Получена программа, целиком составленная автором.

6. Произведен численный эксперимент по разработанным численным схемам. Дан анализ результатов.

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы: разработанная модель удовлетворительно решает задачу построения безударного профиля для сравнительно малых чисел Маха (0.650 - 0.690) для больших чисел Маха имеет место лишь существенное улучшение характеристик течения относительно полученного в результате применения алгоритма нового профиля. Это, вероятно, объясняется влиянием верхней стенки канала на поток.

Было обнаружено, что универсальной модификации плотности (при применении метода фиктивного газа для построения безударного профиля) в широком диапазоне чисел Маха не существует. Соответствующий параметр Р необходимо изменять, следуя определенной закономерности. Эта закономерность получена эмпирически (по нескольким полученным значениям) методом наименьших квадратов в виде дробно-линейной функции

Р(Мх) = —— + qjjq Мк- число Маха потока на выходе Ых- 0.709 канала, Р - параметр плотности фиктивного газа. При значении Мх = 0.651 получаем Р=0.51 (результат построения безударного профиля по описанной выше модели приводится ниже). Максимальное изменение высоты исходного кругового профиля составило для этого числа Маха около 0.9%.

Рис. 11. Исходный профиль в виде кругового сегмента с возникновением ударной волны для Мх=0.651.

Рис. 12. Реальное течение газа около полученного безударного профиля (при данном числе Маха).

Полученный в ходе численной реализации разработанных моделей набор безударных профилей можно использовать как узловые точки интерполяции с целью получения безударных профилей для промежуточных значений чисел Маха.

Рис. 13. Совокупность безударных профилей, полученных при различных числах Маха.

Например, используя пять базовых профилей на интервале Мхе [0.651,0.700], получаем (в результате интерполяции сплайнами) для Мх = 0.655 и Мс = 0.675 безударные профили подстановкой Мх в соответствующие интерполяционные функции.

Рис. 14-15. Реальное течение газа около профилей, полученных интерполяцией Мх = 0.655 и Мх = 0.675.

Этот процесс можно рассматривать как механизм решения задачи коррекции профиля в потоке с меняющимся значением так как Мх. Расчет профиля по интерполяционным формулам происходит достаточно быстро по сравнению с временем работы составленной программы.

К сожалению, экстраполяция базовых профилей на большие числа Маха практически невозможна в силу специфики их построения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Удовиченко, Андрей Сергеевич, 2005 год

1. Бабушка И., Соболев С. Л., Оптимизация численных методов. — «Appl. Math.», 10, 2 (1965).

2. Бахвалов Н. С., Об оптимальных методах решения задач. — «Appl. Math.», 13, 1 (1968).

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003., 632 е., ил.

4. Белоцерковский О. М., Чушкин П. И., Численный метод интегральных соотношений. — «ЖВМ и МФ», 2, 5 (1962).

5. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л., Темам Р., Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения. — В сб.: Методы вычислительной математики, Новосибирск, «Наука», 1975.

6. Валиуллин А. Н., Схемы повышенной точности для задач математической физики. Лекции для студентов НГУ, Новосибирск, Изд-во НГУ, 1973.

7. Виноградов И. М., К вопросу об оценке тригонометрических сумм. — «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 29, 3 (1965).

8. Волков Е. А., Исследование одного способа повышения точности метода сеток при решении уравнения Пуассона, В сб.: Вычислительная математика, 1, ВЦ АН СССР, М., 1957.

9. Волков Е. А., Развитие метода сеток для уравнения Лапласа на конечных и бесконечных областях с кусочно-гладкой границей. Автореф. докт. дисс., М., 1967.

10. Вольп Г. Мельник Р. Е. Роль ограничений в обратной задаче проектирования профилей при околозвуковом обтекании // Аэрокосмическая техника, т. 3, N 8, 1985, с. 36-46.

11. Воробьев Ю. В., Случайный итерационный процесс в методе переменных направлений. — «ЖВМ и МФ», 8, 3 (1968).

12. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В., Метод прогонки для решения разностных уравнений. —В кн.: С. К- Годунов, В. С. Рябенький, «Введение в теорию разностных схем», М., Физматгиз, 1962.

13. Годунов С. К., Забродин А. В., О разностных схемах второго порядка точности для многомерных задач. — «ЖВМ и МФ», 2, 4 (1962).

14. Годунов С. К., Рябенький В. С., Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопряженных разностных уравнений. — «УМН», XVIII.

15. Годунов С. К., Семендяев К. А., Разностные методы численного решения задач газовой динамики. —«ЖВМ и МФ», 2, 7 (1962).

16. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999., 548 е., ил.

17. Дородницын А. А., Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. — «Труды III Всесоюзного математического съезда», т. И, М., Изд-во АН СССР, 1956.

18. Дородницын А. А., Лекции по численным методам решения уравнений вязкой жидкости, М., ВЦ АН СССР, 1969.

19. Канторович Л. В., О методе наискорейшего спуска. — «ДАН СССР», 56, 3 (1947).

20. Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., Физматгиз, 1959.

21. Келдыш М. В., О методе Галеркина для решения краевых задач. — «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 6 (1942).

22. Колмогоров А. Н., Дискретные автоматы и конечные алгоритмы. — В кн.: Труды IV Всесоюзного математического съезда, т. I, М., Изд-во АН СССР, 1963.

23. Коновалов А. Н., Метод фиктивных областей в задачах кручения. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 4, 2 (1973).

24. Копченов В. Д., Приближение решения задачи Дирихле методом фиктивных областей. — «Дифференциальные уравнения», 4, 1 (1968).

25. Коробов Н. М., Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов. — «Вестник МГУ. Сер. матем.», 4 (1959).

26. Красносельский М. А., Крейн С. Г., Итеративный процесс с минимальными невязками. — «Матем. сб.», 31 (1952).

27. Крылов В. И. Бобков В. В. Монастырский П. И. Вычислительные методы высшей математики. Т.1 Под ред. И. П. Мысовских. Мн.: «Вынейш. Школа», 1972, 584 е., ил.

28. Крылов В. И. Бобков В. В. Монастырский П. И. Вычислительные методы высшей математики. Т.2 Под ред. И. П. Мысовских. Мн.: «Вынейш. Школа», 1975, 672 е., ил.

29. Ладыженская О. А., Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. — «УМН», XII, 5 (1957).

30. Лаке П., Об устойчивости конечно-разностных аппроксимаций решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами. — «Математика (сб. переводов)», 6, 3 (1962).

31. Лаке П., Ниренберг Г., Об устойчивости разностных схем; точная форма неравенства Гординга. —«Математика (сб. переводов)», 11,6 (1967).

32. Ланцош К., Практические методы прикладного анализа, М., Физматгиз, 1961.

33. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: «Наука», 1977, 456 с.

34. Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., «Наука», 1970.

35. Оганесян JI. А., Вариационно-разностная схема на регулярной сетке для задачи Дирихле. —«ЖВМ и МФ», 11, 6 (1971).

36. Рихтмайер Р. Д., О нелинейной неустойчивости разностных схем. — В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики, Новосибирск, «Наука», 1966.

37. Рыжиков Ю. И. Решение научно-технических задач на персональном компьютере. СПб.: КОРОНА принт, 2000, 272 с.

38. Рябенький В. С. Филиппов А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений, М., Гостехиздат, 1956.

39. Самарский А. А , Некоторые вопросы общей теории разностных схем. — В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными (труды симпозиума, посвященного 60-летию академика С. JI. Соболева), М., «Наука», 1970.

40. Саульев В. К., О решении некоторых краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах методом фиктивных областей. — «Сибирский матем. журнал», 4, 4 (1963).

41. Сердюкова С. И., Исследование устойчивости в С явных разностных схем с постоянными действительными коэффициентами, устойчивых в Ь2.— «ЖВМ и МФ», 3, 2 (1963).

42. Соболев С. Д., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., Изд-во ЛГУ, 1950.

43. Стулов В. П. Лекции по газовой динамике: Учебник.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004,192 с.

44. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Об однородных разностных схемах. —«ЖВМ и МФ», 1, 1 (1961).

45. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. — «ЖВМ и МФ», 2, 5 (1962).

46. Удовиченко А. С. Построение безударного аэродинамического профиля методом фиктивного газа. Доклады НАЛ Украины 2003. №6 ISSN 1025-6415 с. 48-51.

47. Удовиченко А. С. Моделирование безударного аэродинамического профиля. Международная научно-методическая конференция «Математика в ВУЗе» (г. Великий Новгород, 2005 г.) с. 150-151.

48. Удовиченко А. С. Математическая модель построения тонкого безударного профиля. Сборник научных трудов «Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях»

49. Филиппов А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений. — «ДАН СССР» , 100, 6 (1955).

50. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей т.2 М. «Мир» 1991., 552 е., ил.

51. Холст Т. JL, Бальхауз В. Ф. ракетная техн. и космон., 1979, т. 17, №2, с. 23-33.

52. Шайдуров В. В., Об одном методе повышения точности разностных решений. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 3, 2(1972).

53. Яненко Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск, «Наука», 1967.

54. Яненко Н. Н., Введение в разностные методы математической физики, ч. 1,2, Новосибирск, Изд-во НГУ, 1968.

55. Яненко Н. Н., Шокин Ю. И., О связи корректности первых дифференциальных приближений и устойчивости разностных схем для гиперболических систем уравнений. — «Матем. заметки», 4, 5 (1968).

56. Яненко Н. Н., Шокин Ю. И., О корректности первых дифференциальных приближений разностных схем. — «ДАН СССР» 182,4(1968).

57. Aubin J. P., Behavior of the error of the approximate solutions of boundary value problems for linear elliptic equations by Galerkin's and finite difference methods. — «Ann. Scuola Norm. Super», Pisa, 21,4 (1967).

58. Babuska I., The finite element method for elliptic differential equations. Numerical solution of partial differential equations — II. SYNSPADE-1970 Academic Press, New York — London, 1971.

59. Babuska I., The rate of convergence for finite element method. — SI AM J. Numer. Anal.», 8, 2 (1971).

60. Baker G. A., Oliphant T. A., An implicit numerical method for solving the two-dimensional heat equation — «Quart. Appl. Math.», 17, 4(1960).

61. Bauer F., Garabedian P., Korn D., Jameson A. Supercritical wing sections I, II, III // Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences, Springer-Verlag, 1972, 1975,1977.

62. Birkhoff G., Schultz M. H., Varga R. S., Hermite interpolation in one and two variables with applications to partial differential equations. — «Numer. Math.», 11, 3 (1968).

63. Buzbee В., Golub G., Nilson Е., On direct methods for solving Poisson's equations. — «SIAM J. Numer. Anal », 7, 4 (1970).

64. Caughey D. A. (1982). Ann. Rev. Fluid Mech., 14, p. 261-283.

65. Cole J. D. (1975) SIAM J. Appl. Math., 29 p 763-787.

66. Courant R., Friedrichs K., Lewy H., Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. — «Math. Ann.», 100, 32 (1928). (Русский перевод: О разностных уравнениях математическойфизики. —«УМН», VIII (1940).

67. Crowley W., Second order numerical advection. — «J. Сотр. Phys.», 1,4(1967).

68. Douglas J., Dupont Т., Alternating-direction Galerkin methods on rectangles. Numerical solution of partial differential equations—II. SYNSPADE-1970, Academic Press, New York—London, 1971.

69. Fairweather G., Mitchell A. R., Some computational results of an improved A. D. I. method for the Dirichlet problem. —«Comput. J.», 9, 31966).

70. Friedrichs K., Non-linear hyperbolic differential equations for functions of two independent variables. — «Amer. J. Math.», 70 (1948).

71. Fox L., Henrici P., Moler C., Approximations and bounds for eigenvalues of elliptic operators. —«SIAM J. Numcr. Anal.», 4, 11967).

72. Fromm J. E., Numerical method for computing nonlinear, time dependent, buoyant circulation of air in rooms. —JBM J. of Reserch and Development, 15, 3 (1971).

73. Gunn J. E., The solution of elliptic difference equations by semi-explicit iterative techniques. —«SIAM J. Numer. Anal.», 2, 1 (1965).

74. Giles M.B., Drela M. Two-dimensional transonic aerodynamic design method // AIAA Journal. Vol.25. No.9, 1987, 1199-1206.

75. Hestenes M. R., Stiefel E., Method of conjugate gradients for solving linear systems. —«J. Res. Nat. Bur. Stand.», 49 (1952).

76. Hirose N., Takanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design using Navier-Stokes equations // AIAA Journal. Vol.25. No.3, 1987, 353-359.

77. Jameson A. (1978). Transonic Flow Calculations. In: Computational Fluid Dynamics, ed. by H. J. Wirz, J. J. solderen. -Washington, D. C.: Hemisphere, p. 1-87.

78. Kraiko A N and \, P'yankov К S \, 2000 Construction of airfoils and engine nacelles that are supercritical in a transonic perfect—gas flow. ЖВММФ 40, no. 12, 1890—1904.

79. Kreiss H. O., Initial boundary value problems for partial differential and difference equations in one space dimension. Numerical solution of partial differential equations — II. SYNSPADE-1970, Academic Press, New York-London, 1971.

80. Kuz'min A.G. Cumulative and nonlinear phenomena in the local supersonic region // Computational Math, and Mathematical Physics, Pergamon Press, Vol.34, No.8-9, 1994, pp.1091-1101.

81. Lax P. D., Wendroff В., On the stability of difference schemes with variable coefficients. —«Comm. Pure Appl. Math.», 15, 4 (1962).

82. Lions J. L., Temam R., Une methode d'eclatement des operateurs et des contraintes en calcul des variations. — «С. R. Acad. Sci.», Paris, 263 (1966).

83. Malone J.B., Narramore J.C., Sankar L.N. Airfoil design method using the Navier-Stokes equations // J.Aircraft, Vol.28, N 3, 1991, 216224.

84. Mignot A., Methodes d'approximation des solutions de problems aux limites. — Rend, del sem. Mat. dellaUniv. di Padova, 11(1968).

85. Mitchell A. R., Computational Methods in Partial Differential Equations, Wiley, London, 1970.

86. Moor R., Interval analysis, Prentice-Hall, 1966.

87. Murman E. M. (1973). Proc. 1st AIAA Сотр. Fluid Dyn. Conf. New York: AIAA, p. 27-40.

88. Neuman J., Richtmyer R. D., A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. —«J. Appl. Phys.», 21, 3 (1950).

89. Nickel К., Uber die Notwendigkeit einer Fehlerschranken-Arithmetic fur Rechnenautomaten. — «Numer. Math.», 9, 1 (1966).

90. Nickel K., Bericht uber neue Kalsruher Ergebnisse bei der Fhelererfassung von numerischen Prozessen. — «Appl. Math.», 13,2 (1968).

91. Olger J., Sundstrom A. (1978). SIAM J. Appl. Math., 3, p. 419-446.

92. Richtmyer R. D., Morton K. W.) Difference Methods for Initial-Value Problems, Wiley, New York, 1967.

93. Shifrin E. G., Turchak L. I. A numerical hodograph plane for aerodynamical design //ICFD Conference on numerical methods for fluid dynamics, Oxford, Abstracts of presentations, 1995.

94. Sobieczky H., Seebass A. Supercritical airfoil and wing design // Ann. Rev. Fluid Mech. Vol.16, 1984, 337-363.

95. Sobieczky H. Progress in inverse design and optimization in aerodynamics // AGARD Fluid Dynamics Panel Specialists Meeting «Computational Methods for Aerodynamic Design (Inverse) and Optimization», Norway, 1-10, 1989.

96. Strang G., Implicite difference methods for initialboundary value problems. — «J. Math. Anal. Appl.», 16, 1 (1966).

97. Strang G., Fix G., A Fourier analysis of the finite element variational method. Preprint, 1970.

98. Thomee V., Generally unconditionally stable difference operators. — «SIAM J. Numer. Anal.», 4,1 (1967).

99. Varga R., Some results in approximation theory with applications to numerical analysis. Numerical solution of partial differential equations — II. S.YNSPADE-1970, Academic Press, New York — London, 1971.

100. Wachspress E. L., Iterative Solution of Elliptic Systems and Applications to the Neutron Diffusion Equations of Reactor Physics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. Y., 1966.

101. Zlamal M., On some finite element procedures for solving second order boundary value problems. —«Numer. Math.», 14, 1 (1969).