Математические модели для оценки качества охраны здоровья населения, основанные на нечеткой логике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Савочкина Анна Александровна

• Савочкина Анна Александровна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Савочкина Анна Александровна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Сравнительный анализ математических моделей для оценки качества охраны здоровья населения

1.1 Модели, основанные на статистическом анализе

1.2 Эконометрические модели

1.3 Модели на основе теории вероятностей и байесовские модели

1.4 Модели машинного обучения

1.5 Модели, основанные на нечеткой логике

Глава 2. Концептуальная и математическая постановка задачи оценивания качества охраны здоровья населения, основанная на нечеткой логике

2.1 Принципы построения нечетких систем логического вывода

2.2 Методология построения математической модели для задачи оценки качества охраны здоровья населения на основе теории нечетких множеств . 40 Глава 3. Математические модели на основе нечеткой логики для оценки

эффективности природоохранных мероприятий и рисков здоровью

3.1 Математическая модель оценки эффективности воздухоохранных мероприятий для снижения рисков здоровью населения

3.1.1. Входные и выходные параметры модели

3.1.2. Алгоритм нечеткого вывода

3.1.3. Оценка адекватности и достаточности воздухоохранных мероприятий по снижению фактической массы выбросов загрязняющих веществ в атмосферном воздухе в целях уменьшения риска здоровью

3.1.4. Оценка эффективности мероприятий по снижению рисков и ущерба здоровью населения в зоне экспозиции

3.1.5. Оценка эффективности внедренных воздухоохранных мероприятий по критериям предотвращенного вреда здоровью

3.1.6. Верификация, оценка адекватности и устойчивости математической модели оценки эффективности воздухоохранных мероприятий для снижения рисков здоровью населения

2

3.1.7. Программный комплекс для реализации разработанных алгоритмов

3.2 Комплексная оценка эффективности мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения

3.2.1. Входные и выходные параметры модели

3.2.2. Алгоритм нечеткого вывода

3.2.3. Оценка эффективности проведенных мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения

3.2.4. Верификация, оценка адекватности и устойчивости математической модели для комплексной оценки эффективности мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения

3.2.5. Программный комплекс для реализации разработанного алгоритма

3.3 Математическая модель оценки риска нарушений здоровья учащихся в образовательной среде на основе нечетких множеств

3.3.1. Входные и выходные параметры модели

3.3.2. Алгоритм нечеткого вывода

3.3.3. Математическое моделирование и оценка вклада параметров образовательного процесса в риски для здоровья учащихся различных типов школ

Глава 4. Моделирование профессиональных рисков при комбинированном воздействии факторов на основе теории нечетких множеств

4.1. Постановка задачи моделирования профессионального риска

4.2. Анализ физической модели как источника параметров для нечеткой системы

4.3. Переход к нечеткой модели при оценке профессионального риска

4.4. Оценка профессионального риска, обусловленного различными видами нарушений здоровья работников, связанными с комплексом факторов рабочей среды и трудового процесса, на основе теории нечетких множеств

4.4.1. Математическая модель оценки профессионального риска,

основанная на теории нечетких множеств

4.4.2. Разработка и апробация нечеткой модели оценки профессионального риска здоровью для работников предприятий по добыче медно-никелевых

руд

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Приложение Е

Приложение Ж

Приложение З

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели для оценки качества охраны здоровья населения, основанные на нечеткой логике»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Современные вызовы в области здравоохранения требуют разработки новых методов и подходов к управлению рисками для здоровья населения. Риски для здоровья связаны с множеством факторов, включая экологические, социальные, экономические, поведенческие и биологические аспекты. Учет этих факторов и эффективное управление рисками являются важнейшими задачами в сфере общественного здравоохранения, поскольку они напрямую влияют на продолжительность жизни, качество жизни и здоровье населения в целом.

В последние десятилетия наблюдается рост глобальных угроз для здоровья населения. Так, пандемия СОУГО-19 продемонстрировала, как быстро и глобально инфекционные болезни могут повлиять на здоровье мирового населения. Основной причиной смертности и инвалидности в мире становятся сердечно-сосудистые заболевания, диабет, рак и другие хронические заболевания. Загрязнение окружающей среды, изменение климата и последствия катастроф существенно влияют на здоровье людей. Неправильное питание, физическая неактивность, курение и употребление алкоголя также увеличивают риски для здоровья [2,3,9,12,18,35,37,54,69,73,82,107].

Таким образом, актуальность разработки математических моделей для управления этими рисками становится очевидной, так как модели могут помочь в прогнозировании, оценке и минимизации угроз для здоровья населения.

Одной из основных проблем в управлении рисками является необходимость интеграции множества факторов, которые влияют на здоровье. В этом контексте математические модели, основанные на нечетких множествах и нечеткой логике:

- позволяют оценивать вероятность различных рисков, учитывая не только биологические и медицинские аспекты, но и социально-экономические и экологические факторы;

- прогнозируют развитие различных заболеваний или эпидемий на основе статистических данных, таких как уровень заболеваемости, экологические условия, поведенческие характеристики и другие параметры;

- определяют эффективные меры для минимизации рисков, что может включать изменения в политике здравоохранения, проведение профилактических мероприятий, улучшение условий окружающей среды, развитие медицинских технологий;

- играют ключевую роль в системах поддержки принятия решений, особенно когда речь идет о рисках для здоровья населения.

Таким образом, нечеткое моделирование позволяет проводить сценарный анализ, оценивая потенциальное влияние изменений ключевых факторов на медико-демографические показатели. Такой анализ позволяет оценить, как такие факторы, как улучшение качества воздуха или переход на сбалансированную диету, влияют на заболеваемость и продолжительность жизни населения.

В сфере управления рисками в здравоохранении широко используются статистические и вероятностные модели. Они позволяют количественно оценивать вероятность возникновения тех или иных событий, таких как вспышки заболеваемости, на основе анализа исторических данных и учета ключевых факторов влияния. Модели могут включать линейные и нелинейные регрессии, кластерный анализ.

Для работы с неопределенностью, когда данные о факторах риска неполные или принадлежат к параметрам нечеткой логики - «мало», «много», «выше нормы», не имея количественного показателя, удобно использовать нечеткие логические системы. Нечеткие множества и нечеткие модели позволяют более гибко подходить к описанию процессов.

Математические модели управления рисками здоровью населения, основанные на нечеткой логике, представляют собой инструмент для прогнозирования, оценки и минимизации угроз, возникающих в результате различных факторов. Они играют ключевую роль в принятии эффективных решений в области общественного здравоохранения и позволяют разрабатывать научно обоснованные стратегии для предотвращения заболеваний, улучшения здоровья и повышения качества жизни. В условиях глобальных вызовов, таких как пандемии, экологические катастрофы и рост хронических заболеваний, использование таких математических моделей становится не только актуальным, но и необходимым для обеспечения здоровья населения на уровне как отдельных регионов, так и в мировом масштабе.

При построении формальных моделей часто используются детерминированные методы, что вносит определенность в ситуации, где ее на самом деле нет [19,36,59,98]. Неточности в задании параметров расчетов зачастую игнорируются, или же неточные параметры заменяются экспертными оценками или средними значениями. Это может приводить к нарушениям равенств и балансовых соотношений, что требует варьирования некоторых параметров для точного удовлетворения заданных уравнений и получения приемлемого результата. Такие ситуации могут возникать как из-за недостаточной изученности объектов, так и из-за человеческого фактора в управлении. Особенность подобных систем заключается в том, что значительная часть информации, необходимой для их математического описания, существует в виде представлений или пожеланий экспертов. Однако, в традиционной математике отсутствуют инструменты, позволяющие точно отразить нечеткость этих представлений.

Традиционные количественные методы анализа систем оказываются недостаточно эффективными для сложных систем, что связано с так называемым принципом несовместимости, полагающим, что с ростом сложности системы способность формулировать точные и имеющие практическую ценность суждения о ее поведении снижается [19]. Для систем, сложность которых

превышает определенный порог, достижения высокой точности и практической значимости становятся почти невозможными.

Альтернативный подход основывается на предположении, что элементы человеческого мышления представляют собой не числа, а элементы нечетких множеств или классов объектов, где переход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» происходит не скачкообразно, а непрерывно. Традиционные методы анализа не могут адекватно учитывать нечеткость человеческого мышления и поведения.

Таким образом, для моделей процессов управления более подходящими являются нечеткие математические методы, а не классические.

Предложенная впервые американским математиком Л. Заде в 1965 году [174] теория нечетких (размытых) множеств была разработана для преодоления трудностей, связанных с представлением неточных понятий, а также для анализа и моделирования систем, в которых участвует человек. Это открытие стало важным шагом к усиливающемуся использованию нечеткой логики в управлении и принятии решений.

Среди российских ученых, работавших в области нечетких множеств, можно выделить А.А. Ляпунова, который в 1965 году, практически одновременно с публикацией основополагающей работы Л. Заде, на семинаре в МГУ предложил очень похожую концепцию под названием «сравнительные множества» (или «сравнимые множества»). Его подход был математически эквивалентен теории нечетких множеств Заде [49]. Массово применять методы нечеткой логики на практике стали в научной школе Д.А. Поспелова [74].

Для работы с неточно известными величинами часто используют инструменты теории вероятностей. Однако, стоит учитывать, что случайность связана с неопределенностью, касающейся принадлежности определенного объекта к классическому множеству. Это различие между нечеткостью и случайностью приводит к тому, что математические методы нечетких множеств отличаются от методов теории вероятностей. Методы нечетких множеств во многом проще, поскольку понятию вероятностной меры в теории

вероятностей соответствует более простое понятие функции принадлежности в теории нечетких множеств.

По этой причине даже в ситуациях, когда неопределенность в процессе принятия решений можно представить с помощью вероятностной модели, зачастую более удобно использовать методы теории нечетких множеств, минуя аппарат теории вероятностей.

Подход, основанный на теории нечетких множеств, выступает альтернативой традиционным количественным методам анализа систем. Он обладает тремя основными отличительными чертами:

- вместо или наряду с числовыми переменными используются нечеткие величины и так называемые «лингвистические» переменные;

- простые отношения между переменными формулируются посредством нечетких высказываний;

- сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами.

Такой подход обеспечивает приближенные, но при этом эффективные способы описания поведения систем, которые настолько сложны и плохо определены, что не поддаются точному математическому анализу. До появления работ Л. Заде качественные суждения, будучи не формализуемыми в рамках классического математического аппарата, практически не использовались в аналитических моделях. Таким образом, значительный пласт экспертного знания, содержащий ценную информацию о рисках, оставался невостребованным.

Обратной стороной использования моделей с нечеткостью стало возникновение противоречий между решениями, полученными с применением новых методов, и результатами классических теорий, потеря устойчивости решений, нарушение естественных отношений в моделях, в которых нечеткими являются только параметры, неоправданное расширение степени нечеткости результата, повышение вычислительной сложности задач.

Актуальность темы исследования определяется необходимостью разработки математических моделей, численных методов и программ,

инвариантных к широкому кругу различных задач с четкими отношениями и нечеткой неопределенностью параметров и позволяющих решать их как совокупность нескольких четких, используя при этом классические методы моделирования и стандартное программное обеспечение и обеспечивая требуемые в конкретной задаче качественные свойства решения - устойчивость, сохранение четких математических соотношений и т.п.

Таким образом, объектом исследования являются методы адекватной оценки рисков здоровью населения, основанные на математических методах обработки результатов мониторинга факторов среды обитания и условий труда на территории РФ; предметом исследования является оценка влияния комплекса факторов среды обитания (включая экологические, профессиональные и социально-гигиенические) на состояние здоровья населения на популя-ционном уровне, с учетом гендерных и возрастных особенностей, построенная с применением математических моделей, основанных на теории нечетких множеств.

Цель работы - разработка математической модели, позволяющей количественно и качественно оценивать риски для здоровья населения, возникающие под воздействием различных управляемых и неуправляемых факторов. Построенная математическая модель должна содержать алгоритм выбора ключевых параметров, влияющих на здоровье, и численные методы нахождения адекватной оценки возможности возникновения высокорисковых ситуаций для здоровья народонаселения, а также учитывать взаимодействие исследуемых факторов и динамическое развитие ситуации.

Основные задачи исследования: - провести анализ предметной области, включая систематизацию данных мониторинга состояния здоровья населения и факторов среды обитания, и выявить наиболее значимые из них, оказывающие влияние на риски здоровью населения в разрезе исследуемых групп (с учетом гендерных и возрастных особенностей);

- выполнить сравнительный анализ существующих математических методов и подходов к оценке качества охраны здоровья (вероятностно-статистических, эконометрических, байесовских, методов машинного обучения) и обосновать выбор аппарата теории нечетких множеств как базового для условий неполноты, нечеткости и разнородности исходной информации;

- разработать концептуальную и математическую постановку задачи для оценки качества охраны здоровья населения. Создать архитектуру и разработать математическую модель на основе теории нечетких множеств, которая включает в себя определение лингвистических переменных и термов для описания входных (факторы воздействия) и выходных (уровень риска) параметров; выбор и обоснование типов функций принадлежности для нечетких множеств; формализацию базы нечетких продукционных правил, отражающих взаимосвязь между факторами и рисками, а также их взаимодействие;

- создать вычислительный алгоритм и комплекс программ, реализующих разработанную математическую модель для решения прикладных задач таких как: оценка эффективности планируемых воздухоохранных мероприятий; оценка эффективности мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения; оценка влияния факторов образовательной среды на состояние здоровья школьников; оценка и прогнозирование персонифицированного профессионального риска;

- провести верификацию и оценку адекватности разработанной математической модели на основе ретроспективных данных, осуществив прогнозирование на прошлых временных интервалах и сравнив полученные результаты с данными официальной статистики, экспертными оценками и выводами, полученными классическими методами;

- на основе результатов моделирования проанализировать эффективность предложенного подхода и выработать, на основе разработанной модели, практические рекомендации для снижения уровней профессионального и экологического риска для органов управления здравоохранением, Роспотребнадзора и промышленных предприятий.

Методология и методы исследования. В работе использованы известные подходы теории нечетких множеств, вычислительной математики и математического моделирования. Численная реализация алгоритма модели выполнена на языках программирования высокого уровня Python, Delphi. Научная новизна.

1. Предложена новая математическая модель на основе теории нечетких множеств с адаптивными функциями принадлежности и механизмом учета эффектов взаимодействия факторов риска, формализованная в виде системы нечеткого вывода.

2. Разработан оригинальный численный алгоритм (на основе методов эволюционной оптимизации) для автоматизированного формирования и оптимизации базы нечетких продукционных правил.

3. Созданы новые комплексы программ, реализующие разработанный алгоритм для решения прикладных задач:

- оценки эффективности воздухоохранных мероприятий;

- анализа эффективности мероприятий по улучшению качества питьевой воды;

- оценки влияния факторов образовательной среды на здоровье школьников;

- прогнозирования персонифицированного профессионального риска.

4. Создан новый алгоритм идентификации и ранжирования значимых факторов риска, входными параметрами для которого являются доступные для мониторинга факторы.

5. Разработан новый комплексный подход к оцениванию качества охраны здоровья населения при обработке показателей с помощью методов нечеткой логики, что позволило улучшить результат прогноза по сравнению с традиционными методами.

Теоретическая значимость обусловлена созданием адекватной и устойчивой прогнозной математической модели, разработанной с учетом характерных для здравоохранения проблем исходных данных: их неполноты, нечеткости и изменчивости во времени.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения разработанной модели для комплексной оценки эффективности снижения вреда здоровью при планировании воздухоохранных мероприятий, для комплексной оценки эффективности мероприятий по снижению ущерба здоровью населения и мероприятий по повышению качества питьевой воды. Модель может быть применена при оценке потенциальной опасности влияния риск-индуцирующих факторов образовательного процесса и среды обитания на соматическое здоровье учащихся школ различного типа. Модель может быть использована при оценке и прогнозировании персонифицированного профессионального риска для здоровья работников различных отраслей, принятии решений в условиях множественности и неопределенности причинно -следственных связей; при разработке рекомендаций к корректировке комплексных планов развития предприятий на основании результатов расчетов.

В рамках исследований получены: патент на промышленный образец № 124231 от 11.03.2021 [23], свидетельство о регистрации программы ЭВМ № 2022664070 от 22.07.2022 [27], свидетельство о регистрации базы данных Яи 2025623027 от 15.07.2025 [30], патент на промышленный образец RU 148806 от 18.08.2025 [29], свидетельство о регистрации программы ЭВМ № 2025688903 от 23.10.2025 [90].

Положения, выносимые на защиту:

1. Численный метод для формирования базы нечетких продукционных правил, учитывающий синергетические и антагонистические эффекты при совместном воздействии факторов риска, что позволяет повысить достоверность оценок при многофакторном анализе рисков здоровью.

2. Математическая модель для оценки рисков здоровью населения, основанная на аппарате теории нечетких множеств, которая в отличие от известных вероятностно-статистических подходов позволяет осуществлять комплексную оценку многофакторного воздействия при неполноте и неопределенности исходной информации.

3. Математическая модель для оценивания степени принадлежности пациента-сотрудника к неблагоприятному прогностическому классу.

4. Программные комплексы на языках Python и Delphi, обеспечивающие решение прикладных задач по оценке влияния на здоровье населения как неуправляемых (фоновых) факторов, так и изменяемых параметров среды, управление которыми осуществляется через воздухоохранные мероприятия, улучшение качества питьевой воды, оптимизацию факторов образовательной среды и снижение профессиональных рисков.

5. Внедрение разработанной методики для:

- обоснования управленческих решений в области охраны окружающей среды и здоровья населения;

- оценки влияния факторов образовательной среды на здоровье школьников;

-прогнозирования персонифицированного профессионального риска.

Каждое положение представляет законченный фрагмент исследования и вносит вклад в решение основной задачи диссертационной работы.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается использованием строгого математического аппарата, сходимостью используемых численных методов и воспроизводимостью полученных результатов и подтверждается верификацией на ретроспективных данных, выявившей соответствие официальной статистике и натурным наблюдениям, а также согласованностью с результатами других исследований и экспертных оценок.

Апробация и внедрение результатов.

Итоги диссертационного исследования докладывались и обсуждались на семинарах кафедры «Высшая математика» ПНИПУ (руководитель - к.ф.-м.н., доц. Е.Л. Кротова), кафедры математического моделирования систем и процессов ПНИПУ (руководитель - д.ф.-м.н., проф. П.В. Трусов), федерального научного центра медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения (руководитель академик РАН, д.м.н., проф. Н.В. Зайцева), кафедры «Экспериментальная механика и конструкционное

материаловедение» ПНИПУ (руководитель - д.ф.-м.н., проф. В.Э. Вильдеман), лаборатории динамики дисперсных систем ИМСС УрО РАН (руководитель -д.ф.-м.н., проф. Ю.Л. Райхер), на международной научно-практической конференции «Глобальные вызовы и научные решения» (Уфа, 2025 г.), на международной научно-практической конференции «Современный город: власть, управление, экономика. Устойчивое развитие территорий» (Пермь, 2025 г.).

Практическая значимость и эффективность разработанного в диссертации модельно-программного комплекса подтверждены актами о внедрении результатов работы в деятельность профильных организаций.

Внедрение осуществлено по следующим основным направлениям: 1. Использование методики оценки рисков в органах государственного санитарно-эпидемиологического надзора.

Организация. Федеральное бюджетное учреждение науки «Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения» Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.

Сутъ внедрения. Разработанная методика и программный модуль применяются для комплексной оценки достаточности и эффективности планируемых мероприятий по снижению выбросов загрязняющих веществ в атмосферный воздух для митигации рисков и вреда здоровью населения. Это позволяет количественно оценивать вклад каждого планируемого мероприятия в снижение совокупного риска для здоровья населения, обосновывать приоритетность реализации мероприятий и формировать целевые показатели эффективности.

Полученный эффект. Повышение эффективности планирования возду-хоохранных мероприятий за счет перехода от нормативно-ориентированного к риск-ориентированному подходу, обеспечивающему целенаправленное использование ресурсов на мероприятия с наибольшей медико-экологической эффективностью. Эффект подтвержден МУ 2.1.10.3675-20. 2.1.10. «Состояние здоровья населения в связи с состоянием природной среды и условиями

проживания населения. Оценка достаточности и эффективности планируемых мероприятий по снижению выбросов загрязняющих веществ в атмосферный воздух для митигации рисков и вреда здоровью населения. Методические указания», утвержденных 18.12.2020 г. [65].

Организация. Федеральное бюджетное учреждение науки «Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения» Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.

Суть внедрения. Разработанная методика и программный модуль применяются для проведения комплексной оценки эффективности мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения, реализуемых в ходе региональных программ повышения качества питьевой воды. Это позволяет количественно оценивать эффективность водоохранных мероприятий, оптимизировать выбор приоритетных мероприятий из числа планируемых в региональной программе, прогнозировать ожидаемое снижение медико-демографических показателей заболеваемости в результате реализации программных мероприятий.

Полученный эффект. Повышение обоснованности управленческих решений в сфере водоподготовки и распределения финансовых ресурсов региональных программ на основе объективных данных оценки риска здоровью. Эффект подтвержден МР 2.1.4.0289-22 «Комплексная оценка эффективности мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения», утвержденных 01.06.2022 г. [62].

Организация. Федеральное бюджетное учреждение науки «Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения» Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.

Суть внедрения. Разработан инструмент для количественной оценки влияния окружающей среды на здоровье населения, соответствующий требованиям контролирующих органов.

Полученный эффект. Повышение точности прогнозирования заболеваемости на 15-20%, внедрение результатов в систему оценки рисков для здоровья населения и использование органами Роспотребнадзора при планировании профилактических мероприятий. Эффект подтвержден МР 2.1.10.0273-22. «Состояние здоровья населения в связи с состоянием окружающей среды и условиями проживания населения», утвержденных 20.01.2022 г. [63]. 2. Использование методики оценки управления рисками в спортивных организациях.

Организация. Автономная некоммерческая организация «Регби-клуб ЦСКА».

Суть внедрения. Разработанный в исследовании методический подход и программный модуль адаптированы и внедрены для решения задач спортивной медицины и управления здоровьем спортсменов. Внедрение позволяет осуществлять комплексную оценку профессиональных рисков для здоровья регби-атлетов, прогнозировать риск спортивного травматизма на основе анализа нечетких закономерностей между состоянием спортсмена (усталость, микротравмы, стресс) и вероятностью возникновения травм (мышечные повреждения, растяжения, сотрясения), проводить персонифицированную оценку готовности спортсмена к максимальным нагрузкам и оптимизировать процессы медицинского сопровождения и реабилитации.

Полученный эффект. Повышение эффективности системы управления здоровьем спортсменов за счет перехода от реактивного подхода (лечение последствий) к проактивному (прогнозирование и профилактика рисков). Снижение вероятности необоснованных перегрузок и, как следствие, сокращение случаев спортивного травматизма и непрофильных заболеваний. Эффект подтвержден Актом внедрения от 01.10.2025.

Организация. Автономная некоммерческая организация «Регби-клуб ЦСКА», детская академия регби-клуба ЦСКА.

Суть внедрения. Разработанная в исследовании методика и программный модуль адаптированы для комплексной оценки влияния факторов

образовательно-спортивной среды на состояние здоровья и адаптационный потенциал юных спортсменов академии регби.

Полученный эффект. Создание научно обоснованной системы управления здоровьем юных спортсменов, обеспечивающей гармоничное развитие детей в условиях совмещения образовательной и спортивной деятельности. Снижение уровня переутомления на 25% и случаев дезадаптации на 30% в течение учебно-тренировочного года. Эффект подтвержден Актом внедрения от 01.11.2025.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Савочкина Анна Александровна, 2026 год

Список литературы

1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.

2. Анализ риска здоровью в стратегии государственного социально-экономического развития: монография: в 2 т. / Г.Г. Онищенко, Н.В. Зайцева, А.Ю. Попова [и др.]; под общ. ред. Г.Г. Онищенко, Н.В. Зайцевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.; Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2024. - Т. 1. -580 с.

3. Анализ риска здоровью в стратегии государственного социально-экономического развития: монография: в 2 т. / Г.Г. Онищенко, Н.В. Зайцева, А.Ю. Попова [и др.]; под общ. ред. Г.Г. Онищенко, Н.В. Зайцевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.; Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2024. - Т. 2. -468 с.

4. Базарова Е.Л., Вараксин А.Н., Маслакова Т.А., Константинова Е.Д., Федо-рук А.А., Ошеров И.С. Ведущие факторы риска формирования патологии системы кровообращения и костно-мышечной системы у работников металлургического предприятия. // Здоровье населения и среда обитания - 2023. - .№11. - С.50-57.

5. Белозерова Г. И., Скуднев Д. М., Кононова З. А. Нечеткая логика и нейронные сети: учебное пособие. - Липецк: Липецкий государственный педагогический университет имени П.П. Семенова-Тян-Шанского, 2017. - 63 c.

6. Бондаренко П.В., Фокина Е.А., Трухляева А.А. Применение теории нечетких множеств для оценки качества жизни населения региона // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 11-5. - С. 967-971.

7. Борисов В.В., Круглов В.В., Федулов А.С. Нечеткие модели и сети. - 2-е изд. - М.: Горячая линия - Телеком, 2012. - С. 284.

8. Виткина Т.И., Веремчук Л.В., Гвозденко Т.А., Минеева Е.Е. Регрессионный анализ для оценки ответной реакции органов дыхания на воздействие

микротоксикантов воздуха при хронической обструктивной болезни легких. // Бюллетень физиологии и патологии дыхания - 2021. - № 82. - С. 46-52.

9. Булавка Ю. А. Нечетко-множественный подход к экспертной квалификации профессиональных рисков на условиях труда работников нефтеперерабатывающего завода // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С. Фундаментальные науки. - 2013. - №12. - С.59-66.

10. Булгаков А.Г., Аль Джубури И.М. Нечеткая система управления микроклиматом помещений зданий // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. - 2009. - №3. - С.31-37.

11. Ганцев Ш. Х., Зимичев А. А., Маклаков В. Н., Ганцев К. Ш. Применение многофакторного корреляционно-регрессионного анализа в определении риска развития и в прогнозировании исхода рака мочевого пузыря. // Медицинский вестник Башкортостана. - 2007. - №6. - С. 52-55.

12. Герасимова Л.И., Викторова Л.В., Денисова Т.Г. Медико-социальные факторы риска болезней системы кровообращения // Общественное здоровье и здравоохранение. 2012. - №1(33). - С.36-39.

13. Гигиена труда : учебник / под ред. Н. Ф. Измерова, В. Ф. Кириллова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 2016. - 480 с.

14. ГОСТ 31191.1-2004 (ИСО 2631-1:1997) Вибрация и удар. Измерение общей вибрации и оценка ее воздействия на человека. Часть 1. Общие требования.

15. Горяев Д.В., Фадеев А.Г., Шур П.З., Фокин В.А., Зайцева Н.В. Гигиеническая оценка условий труда и профессиональной заболеваемости работников горнодобывающей промышленности в арктической зоне норильского промышленного района. // Анализ риска здоровью. - 2023. - №.2. - С. 88-94.

16. Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А. Исследования типа «Случай-контроль» в здравоохранении. // Наука и здравоохранение. - 2015. -№4 - С. 5-17.

17. Григоров И.Ю., Будневский А.В. Математические модели ранней диагностики и прогнозирования нейротоксикоза у рабочих сварочного производства.

// Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Управление, вычислительная техника, информатика. Медицинское приборостроение. - 2022. - 12(4). - С.162-176.

18. Дерстуганова Т.М., Величковский Б.Т., Гурвич В.Б., Вараксин А.Н., Малых О.Л., Кочнева Н.И., Ярушин С.В. Оценка социально-экономических факторов на здоровье населения и использование ее результатов при построении управленческих решений по обеспечению санитарно-эпидемиологического напряжения населения (на примере Свердловской области) // Анализ риска здоровью. - 2013. - №2. - С. 49-56.

19. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология. - М.: Машиностроение-1, 2004. - 335 с.

20. Диментберг Ф.М., Фролов К.В. Вибрация в технике и человек. - М: Знание, 1987. - 159 с.

21. Дусакаева С.Т., Носарев М.П., Хохлов И.А., Нирян П.Л. Применение алгоритма нечеткой логики Мамдани для оценки качества моделей искусственного интеллекта на основе имеющихся данных // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2023. - № 1 (77). - С. 170-180.

22. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. - 312 с.

23. Зайцева Н.В., Землянова М.А., Кольдибекова Ю.В., Савочкина А.А., Хрущева Е.В. Схема алгоритма определения адекватности, достаточности и эффективности планируемых воздухоохранных мероприятий. Патент на промышленный образец RU 124231, 11.03.2021.

24. Зайцева Н.В., Землянова М.А., Май И.В., Алексеев В.Б., Трусов П.В., Хрущева Е.В., Савочкина А.А. Комплексная оценка эффективности митига-ции вреда здоровью на основе теории нечетких множеств при планировании воздухоохранных мероприятий // Анализ риска здоровью. - 2020. - № 1. - С. 25-37.

25. Зайцева Н.В., Землянова М.А., Тарантин А.В. Нарушения белкового состава крови человека в условиях воздействия ароматических углеводородов. // Экология человека. - 2013. - №7. - С. 15 - 26.

26. Зайцева Н.В., Клейн С.В., Май И.В., Савочкина А.А., Кирьянов Д.А., Ка-малтдинов М.Р., Вековшинина С.А. Риск для здоровья населения и эффективность мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения. // Гигиена и санитария. - 2022. - Т.101. - №11. - С. 1403-1411.

27. Зайцева Н.В., Май И.В., Клейн С.В., Савочкина А.А., Кирьянов Д.А., Бабина С.В., Вековшинина С.А., Никифорова Н.В. Комплексная оценка эффективности мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2022664070, 22.07.2022.

28. Зайцева Н.В., Онищенко Г.Г., Май И.В., Шур П.З. Развитие методологии анализа риска здоровью в задачах государственного управления санитарно-эпидемиологическим благополучием населения // Анализ риска здоровью. -2022. - №3- С. 4-20.

29. Зайцева Н.В., Савочкина А.А., Горяев Д.В., Землянова М.А., Фадеев А.Г. Общий концепт построения адаптивной нейро-нечеткой сети для оценки и прогноза профессиональных рисков здоровью: Патент на промышленный образец RU 148806, 18.08.2025.

30. Зайцева Н.В., Фадеев А.Г., Савочкина А.А., Землянова М.А., Ситчихина Л.А. Электронный каталог оцифрованных сопряженных данных о профессиональных и производственно обусловленных заболеваниях у работников подземной добычи руды. База данных RU 2025623027, 15.07.2025.

31. Зайцева Н.В., Шур П.З., Алексеев В.Б., Савочкина А.А., Савочкин А.И., Хрущева Е.В. Методические подходы к оценке категорий профессионального риска, обусловленного различными видами нарушений здоровья работников, связанными с комплексом факторов рабочей среды и трудового процесса // Анализ риска здоровью. - 2020. - № 4. - С. 23-30.

32. Зайцева Н.В., Савочкина А.А., Землянова М.А., Горяев Д.В., Фадеев А.Г. Методология оценки и прогнозирования персонифицированного профессионального риска для здоровья на основе адаптивной нейро-нечеткой сети распознавания образов // Анализ риска здоровью. - 2025. - № 2. - С. 4-15.

33. Иванков Ю.А. Использование методов нечеткой логики для прогнозирования заболеваний, вызванных экологическими факторами // Медико-экологические информационные технологии. - Курск, 2007. - С. 71-76.

34. Иванков Ю.А., Кореневский Н.А., Яковлева Е.А. и др. Синтез нечетких правил прогнозирования заболеваний, вызванных экологическими факторами // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2007. - Т.6.

- №2. - С. 395-401.

35. ИвановаА.Ю., ДолгалевИ.В. Формирование риска смертности в зависимости от поведенческих факторов (курение, потребление алкоголя) по результатам 27-летнего проспективного исследования // Кардиоваскулярная терапия и профилактика. - 2017. - Т.16, №5. - С.40-45.

36. Исаева Н.М., Субботина Т.Н. Системный подход к математическому моделированию в биологии и медицине // Вестник новых медицинских технологий. - 2000. - Т.УП. - №3-4. - 25 с.

37. Камалтдинов М.Р., Кирьянов Д.А. Оценка риска причинения вреда здоровью человека при нарушении законодательства в сфере обеспечения санитарно-эпидемиологического благополучия населения, проведенная для классификации объектов надзора // Здоровье населения и среда обитания. - 2015.

- № 12 (273). - С. 8-11.

38. Карякин Н.Н., Саперкин Н.В., Баврина А.П., Другова О.В., Климко В.И., Благонравова А.С., Ковалишена О.В. Модернизация прогностических регрессионных моделей для оценки количества летальных исходов при новой коро-навирусной инфекции // Современные технологии в медицине. - 2020. - №4. -С. 6-12.

39. Климова И.В. Применение методов нечеткого моделирования для решения задач техносферной безопасности // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). - 2019. - № 7. - С. 87-98.

40. Климова И.В., Смирнов Ю.Г., Родионов В.А. Моделирование взаимосвязей между условиями труда и состоянием здоровья персонала нефтешахт с использованием нечеткой логики // Безопасность труда в промышленности. -2022. - № 1. - С. 46-50.

41. Кореневский Н.А., Серебровский В.И., Коптева Н.А. Прогнозирование возникновения заболеваний работников сельскохозяйственного производства.

- Курск: изд-во Курск, гос. с.-х. ак. - 2005. - 35 с.

42. Кореневский Н.А., Родионова С.Н., Хрипина И.И. Методология синтеза гибридных нечетких решающих правил для медицинских интеллектуальных систем поддержки принятия решений: монография. - Старый Оскол: ООО «Тонкие наукоемкие технологии». - 2019. - 472 с.

43. Конышева Л.К., Назаров Д.М. Основы теории нечетких множеств: Учебное пособие. - СПб: Питер, 2011. - 192 с.

44. Красоткина О. В., Попов В. А., Нгуен Т. Ч., Моттль В. В. Байесовский подход к оцениванию факторов риска в анализе продолжительности жизни. // Известия ТулГУ. Технические науки. - 2013. - №2. - С. 168-176.

45. Кротова Е.Л., Савочкина А.А. Байесовские методы, МСМС и нечеткая логика в сложных математических моделях: Обзор применений. // СТИН (Станки Инструмент). - 2026. - №1. - С.45-48.

46. Кручек М.М., Молчанова Е.В. Исследование медико-демографических процессов в регионах России методом регрессионного анализа по панельным данным. // Региональная экономика: теория и практика. - 2013. - Т. 297, № 18.

- C. 41-50.

47. Кузнецова Е.В., Журавлева М.В., Михайлов И.А., Курносова Т.И. Разработка методических подходов к формированию риск-ориентированной модели для минимизации возникновения нежелательных реакций при применении лекарственных препаратов в медицинских организациях города Москвы.

// Фармакоэкономика. Современная фармакоэкономика и фармакоэпидемио-логия. - 2023. - №2. - С. 248-257.

48. Кузьмин В.А., Рогачев А.Ф. Моделирование эколого-экономической безопасности на основе нечетко-множественного подхода // Вестник СКФУ. -2013. - №5.

49. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. - Москва: Наука, 1982. - 168 с.

50. Лакман И.А., Аскаров Р.А., Тимирьянова В.М., Аскарова З.Ф. Пространственное моделирование смертности трудоспособного населения Республики Башкортостан. // Здоровье населения и среда обитания - 2023. - Т.31, № 12 -С. 7-16.

51. Леоненков А. Нечеткое моделирование в средах MATLAB и fuzzyTECH.

- Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2010. - 736 с.

52. Липатова А.В., Потапченко Т.Д. Проблематика анализа и оценки рисков здоровью населения на базе использования методов машинного обучения. // Cifra. Компьютерные науки и информатика. - 2025. - № 1. - С. 54-61.

53. Лопатин А.Г., Брыков А.Г. Синтез каскадной системы управления химическим реактором с нечетким регулятором. // Проблемы науки. Химия, химическая технология и экология: Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции, Новомосковск, 31 октября - 02 ноября 2022 года. -Тула: Аквариус. - 2022. - С. 243-248.

54. Маклакова О.А., Зайцева Н.В., Кирьянов Д.А. Методические аспекты оценки риска развития коморбидной патологии в условиях воздействия химических факторов окружающей среды // Анализ риска здоровью. - 2020. - № 4.

- С. 54-61.

55. Максимов С.А., Цыганкова Д.П., Артамонова Г.В. Применение регрессионного анализа и деревьев классификации для расчета дополнительного попу-ляционного риска ишемической болезни сердца // Анализ риска здоровью. -2017. - № 3. - С. 31-39.

56. Малых О.Л., Кочнева Н.И., Заикина Т.М. Развитие методических подходов к использованию регрессионных моделей для оценки влияния социально-экономических факторов риска на здоровье населения // Уральский медицинский журнал. - 2010. - №2. - С. 9-15.

57. Малышев Н Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 136 с.

58. Марухина О.В., Мокина Е.Е., Берестнева Е.В. Применение методов Data Mining для анализа медицинских данных // Фундаментальные исследования. -2015. - №4. - С. 107-108.

59. Математическое моделирование в управлении рисками: материалы международной конференции. - Саратов: Изд-во СГУ, 2012. - 152 с.

60. Мелик-Гусейнов Д.В., Карякин Н.Н., Благонравова А.С., Климко В.И., Баврина А.П., Другова О.В., Саперкин Н.В., Ковалишена О.В. Регрессионные модели прогнозирования количества летальных исходов при новой коронави-русной инфекции // Современные технологии в медицине. - 2020. - Т. 12. - №2. - С. 6-13.

61. Мещакова Н.М., Рукавишников В.С. Профессиональный риск ущерба здоровью у работников современного производства сульфатной целлюлозы // Бюллетень Восточно - Сибирского научного центра Сибирского отделения Российской академии медицинских наук. - 2011. - Т. 79, № 3-2. - С. 123-128.

62. МР 2.1.4.0289-22. 2.1.4. Гигиена. Коммунальная гигиена. Питьевая вода и водоснабжение населенных мест. Комплексная оценка эффективности мероприятий по повышению качества питьевой воды централизованных систем водоснабжения. Методические рекомендации (утв. Главным государственным санитарным врачом РФ 01.06.2022).

63. МР 2.1.10.0273-22. Состояние здоровья населения в связи с состоянием окружающей среды и условиями проживания населения. - М.: Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. Методические рекомендации (утв. Главным государственным санитарным врачом РФ 20.01.2022).

64. МР 2.2.0244-21. Методические рекомендации по обеспечению санитарно-эпидемиологических требований к условиям труда. Методические рекомендации (утв. Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека 17.05.2021)

65. МУ 2.1.10.3675-20. 2.1.10. Состояние здоровья населения в связи с состоянием природной среды и условиями проживания населения. Оценка достаточности и эффективности планируемых мероприятий по снижению выбросов загрязняющих веществ в атмосферный воздух для митигации рисков и вреда здоровью населения. Методические указания (утв. Главным государственным санитарным врачом РФ 18.12.2020).

66. Нагапетян А.Р., Попов М.А., Петрухина А.С. Пространственно-авторегрессионный анализ склонности к легочным заболеваниям у жителей Российской Федерации. // Известия Дальневосточного федерального университета. Экономика и управление. - 2021 - Т.1, № 97. - С. 98-108.

67. Нечеткие множества и теория возможностей: последние достижения / Под ред. Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - 406 с.

68. Обеснюк В.Ф. Групповые показатели риска здоровью в неоднородной когорте. Косвенная оценка по динамике событий // Анализ риска здоровью. -2021. - № 2. - С. 17-32.

69. Ойноткинова О.Ш., Мацкеплишвили С.Т., Демидова Т.Ю., Аметов А.С., Масленникова О.М., Ларина В.Н., Москалев А.А., Гусаренко С.А., Кураева В.М., Казбекова А.В. Оценка влияния нездорового питания на микробиоту кишечника, митохондриальную функцию и формирование полиорганного метаболического синдрома, пути коррекции // Ожирение и метаболизм. - 2022. -Т.19, №3. - С.280-291.

70. Орлов А. И. Теория принятия решений. - М.: Экзамен, 2006. - 574 с.

71. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. -208 с.

72. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 798с.

73. Попова А.Ю., Зайцева Н.В. Анализ риска здоровью - 2021. Внешнесредо-вые, социальные, медицинские и поведенческие аспекты. Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2021. - Т.2. - 433 с.

74. Поспелов Д.А. Ситуационное управление. - Теория и практика. М.: Наука. - 1986. - 288 с.

75. Потылицына Е.Н., Липинский Л.В., Сугак Е.В. Использование искусственных нейронных сетей для решения экологических задач // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - №4. - С. 1-8.

76. Построение корней и деревьев принятия решений для графического представления дискретной функции, найденной на основе интервального кодирования статистических показателей / А. О. Алексеев, Л. В. Кожемякин, С. В. Русаков [и др.] // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. - 2024. - № 204. - С. 609-629.

77. Прокопенко Л.В., Курьеров Н.Н., Лагутина А.В., Почтарева Е.С. Определение и оценка группового избыточного (атрибутивного) риска потерь слуха от шума // Медицина труда и промышленная экология. - 2019. - Т. 59, № 4. -С. 212-218.

78. Руководство Р 2.1.10.1920-04 «Руководство по оценке риска для здоровья населения при воздействии химических веществ, загрязняющих окружающую среду», утв. главным государственным санитарным врачом РФ 05.03.2004.

79. Руководство Р 2.2.3969-23. «Руководство по оценке профессионального риска для здоровья работников. Организационно-методические основы, принципы и критерии оценки», утв. главным государственным санитарным врачом РФ 07.09.2023.

80. Руководство Р 2.2.2006-05. «Руководство по гигиенической оценке факторов рабочей среды и трудового процесса. Критерии и классификация условий труда», утв. главным государственным санитарным врачом РФ 29.05.2005.

81. Рахматуллина Л.Р., Сулейманов Р.А., Валеев Т.К., Бактыбаева З.Б., Рах-матуллин Н.Р. Оценка риска здоровью населения, связанного с качеством питьевой воды (на примере нефтяных районов Республики Башкортостан) // Анализ риска здоровью. - 2021. - № 2. - С. 33-40.

82. Ревич Б.А., Авалиани С.Л., Тихонова Г.И. Основы оценки воздействия загрязненной окружающей среды на здоровье человека. - М.: Акрополь, ЦЭПР, 2004. - 268 с.

83. Румянцев П.О., Саенко В.А., Румянцева У.В., Чекин С.Ю. Статистические методы анализа в клинической практике. Часть. 2. Анализ выживаемости и многомерная статистика. // Проблемы Эндокринологии. - 2009. - Т.55, №6. - С.48-56.

84. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. - М.: Диалог-МГУ, 1998. - 116 с.

85. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д. А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

86. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 278 с.

87. Сабир К., Кучумов А.Г., Нгуен-Кван Т. Использование анализа соответствий и лог-линейных моделей для исследования факторов, влияющих на сердечно-сосудистые заболевания // Российский журнал биомеханики. - 2023. -№1. - С. 74-86.

88. Савочкин А.И. Оценка достаточности и эффективности планируемых мероприятий по снижению выбросов загрязняющих веществ в атмосферный воздух для митигации рисков и вреда здоровью населения. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 202066113, 28.09.2020. Заявка № 2020662113 от 08.10.2020.

89. Савочкин А.И., Кротова Е.Л., Савочкина А.А. Функционал программного обеспечения для реализации модифицированного метода оценки эффективности мероприятий по снижению рисков и вреда для здоровья населения. // Научный аспект. - 2024. - № 5., Т. 18. - 2470-2479.

90. Савочкина А.А. Система нечеткого логического вывода для классификации уровней риска факторов образовательного процесса Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2025688903, 23.10.2025. Заявка № 2025687914 от 13.10.2025.

91. Сальников И.А. Нечетко-логический анализ уровня экологического благополучия городской среды на примере крупных городов Ростовской области // Научные записки молодых исследователей. - 2018. - № 6. - 53-57.

92. СанПиН 1.2.3685-21. Гигиенические нормативы и требования к обеспечению безопасности и (или) безвредности для человека факторов среды обитания / утв. главным государственным санитарным врачом РФ 28.01.2021 №2. - М.: Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. - 941 с.

93. СанПиН 2.4.2.2821-10. Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в общеобразовательных учреждениях / утв. главным государственным санитарным врачом РФ 29.12.2010. - М.: Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. - 54 с.

94. СанПиН 2.4.5.2409-08. Санитарно-эпидемиологические требования к организации питания обучающихся в общеобразовательных учреждениях, учреждениях начального и среднего профессионального образования / утв. главным государственным санитарным врачом РФ 23.07.2008. - М.: Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. - 54 с.

95. . СанПиН 2.4.3648-20. Санитарно-эпидемиологические требования к организациям воспитания и обучения, отдыха и оздоровления детей и молодежи / утв. постановлением Главного государственного санитарного врача Россий

ской Федерации от 28.09.2020 № 28. - М.: Федеральная служба по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. - 54 с.

96. Симонова Н.И. Оценка индивидуального профессионального риска // Охрана труда и техника безопасности на промышленных предприятиях. -

2015. - № 3. - С. 15-22.

97. Тазиева Я.Р. Использование методов машинного обучения для прогнозирования уровня загрязнения воздуха // Устойчивое развитие науки и образования. - 2020. - № 3(42). - С. 93-97.

98. Трусов П.В. Введение в математическое моделирование. - Москва: Логос,

2016. - 440 с.

99. Турбал Е.Ю., Шифрин Б.М., Попова Д.А. Подход к разработке модели сушки пиломатериалов на основе нечеткой логики. // Международный научно-исследовательский журнал. - 2022. - №7-1 - С. 112-115.

100. Усков А.А. Системы с нечеткими моделями объектов управления. Монография. - Смоленск: СФРУК, 2013. - 153 с.: ил.

101. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е издание.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс»,2006. - 1104 с.

102. Хижняк С.В. Множественная линейная регрессия vs простая линейная регрессия в фитопатологии // Наука и образование: опыт, проблемы, перспективы развития. Материалы XIV международной научно-практической конференции. Том Часть II. - 2015. - C. 178-181.

103. Хурнова Л.М., Гарбузова А.А., Медведев В.Т., Мамина Д.Х., Смирнов И.Н. Оценка профессиональных рисков на основе теории стандартной неопределенности // Естественные и технические науки. - 2025. - № 2(201). - С. 280285.

104. Чабан Л.Н. Теория и алгоритмы распознавания образов: учебное пособие. - М.: МИИГАиК, 2004. - 70 с.

105. Чеботарев А.Г., Гибадулина И.Ю. Профессиональные риски, патология органов дыхания горнорабочих, обслуживающих самоходные машины с дизельным приводом // Горная промышленность. - 2016. - Т. 126, № 2. - С. 75.

106. Чернов В.Г. Нечеткие множества. Основы теории и применения: учеб. пособие, Владим. гос. ун-т им. А.Г. и Н.Г. Столетовых. - Владимир: Изд-во ВлГУ, 2018. - 156 с.

107. Чулков В.С., Гаврилова Е.С., Чулков Вл.С., Панкова Е.Д., Ленец Е.А., Ткаченко П.Е. Первичная профилактика сердечно-сосудистых заболеваний: акцент на коррекцию поведенческих факторов риска // Российский кардиологический журнал. - 2021. - Т.26, №S3. - С.67-72.

108. Шарашова Е.Е., Холматова К.К., Горбатова М.А., Гржибовский А.М. Применение регрессии Кокса в здравоохранении с использованием пакета статистических программ SPSS. // Наука и здравоохранение. - 2017. - № 6. - С. 5-27.

109. Шилкина С. В., Фокина Е. Н. Контроллер нечеткой логики в управлении технологическими процессами // Вестник СибАДИ. - 2018. - №21 (59). - С. 106114.

110. Шоина И.И. Оценка степени риска в условиях неопределенности // Научный вестник МГТУ ГА. - 2006. - № 106. - С. 165-169.

111. Штовба С.Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

112. Штовба С.Д. Проектирование нечетких систем средствами MATLAB. -М.: Горячая линия - Телеком, 2007. - 288 с.

113. Эйсфельд Д.А., Устинова О.Ю., Зайцева Н.В., Савочкина А.А. Оценка потенциальной опасности влияния риск-индуцирующих факторов образовательного процесса и среды обитания на соматическое здоровье учащихся школ различного типа // Анализ риска здоровью. - 2022. - №4. - С. 72-86.

114. Яхъяева Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети: учебное пособие, 5-е изд. - Москва: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИН-ТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2024. - 315 с.

115. Alonso A.L., Rosas-Jaimes O.A., Suarez-Cuenca J.A. Fuzzy Logic Assisted Diagnosis for Atherogenesis Risk // IFAC Proceedings Volumes. - 2013. - Vol. 46, № 31. - Pp. 244-248.

116. Armstrong R.A. Factors Determining Disease Duration in Alzheimer's Disease: A Postmortem Study of 103 Cases Usingthe Kaplan-Meier Estimator and Cox Regression. // BioMedResearch International. - 2014. - Vol. 2014, №№ 623487. - Pp. 1-7.

117. Arita S., Tsutsui T. Fuzzy logic control of blood pressure through inhalational anesthesia. // Proceedings of the First International Conference on Fuzzy Logic and Neural Networks. - Iizuka, Japan. - 1990. - Pp. 545 - 547.

118. Arora P., Boyne D., Slater J.J., Gupta A., Brenner D.R., Druzdzel M.J. Bayesian Networks for Risk Prediction Using Real-World Data: A Tool for Precision Medicine. // - Value Health. - 2019. - No 22(4). - Pp 439-445.

119. Awotunde J.B., Matiluko O.E., Fatai O.W. Medical Diagnosis System Using Fuzzy Logic // African Journal of Computing & ICTs. - 2014. - Vol.7. - No.2. - Pp. 99-106.

120. Base Elements for Artificial Neural Network: Structure Modeling, Production, Properties / A. Sidorenko, N. Klenov, A.Yu. Fedotov [et al.] // International Journal of Circuits, Systems and Signal Processing. - 2023. - Vol. 17. - P. 177-183.

121. Bellman R.E., Zadeh L. A. Decision-Making in a Fuzzy Environment // Management Science. -1970. - Vol.17. - No.4. - Pp. B141-B164.

122. Bovenzi M. Health effects of mechanical vibration. // Giornale Italiano di Medicina del Lavoro Ed Ergonomia. - 2005. - Vol.27. - №1. - Pp.58-64.

123. Chae M.J., Lee J.H., Choi S.I. A fuzzy logic control system for a water treatment plant. - Water Science and Technology. - 2006. - 53(4-5). - Pp. 449-456.

124. Chalak M.H., Kahani A., Bahramiazar G., Marashi Z., Popov T.I., Dadipoor S., Ahmadi O. Development and application of a fuzzy occupational health risk assessment model in the healthcare industry. // Med Lav. - 2022. - Vol.113. - №4. - Pp. e2022035.

125. Chen J., Huang T.C. Applying fuzzy logic to control the temperature and humidity in an air-conditioning system. - IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics - Part A: Systems and Humans. - 2004. - 34(5). - Pp. 688-691.

126. Chen S.J., Hwang, C.L. Multiple attribute decision making - an overview. In: Fuzzy Multiple Attribute Decision Making. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 1992. - vol 375.

127. Chen X., Wang L., Zhang Y Application of Fuzzy Logic with Logarithmic Scaling for Risk Assessment. // Safety Science. - 2019. - vol 120.

128. Chen S.B., Wu L. Intelligentized methodology for arc welding dynamical processes. In: Intelligentized Methodology for Arc Welding Dynamical Processes. Lecture Notes in Electrical Engineering. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 2009.

- vol 29.- Pp. 163-220.

129. D'Arrigo G., Leonardis D., Abd ElHafeez S., Fusaro M., Tripepi G., Roumeli-otis S. Methods to Analyse Time-to-Event Data: The Kaplan-Meier Survival Curve. // Oxidative Medicine and Cellular Longevity. - 2021. - Vol.2021, № 2290120. -Pp.1-7.

130. Dorais S. Time series analysis in preventive intervention research: A step-by-step guide. // Journal of Counseling & Development. - 2024. - №102. - Pp. 239250.

131. Dong R.G., Welcome D.E., McDowell T.W., Wu J.Z. Estimation of the biody-namic responses of the hand-arm system using genetic algorithms. // International Journal of Industrial Ergonomics. - 2010. - Vol. 40, № 4. - P. 441-453.

132. Dubois, D., Prade, H. Possibility Theory and Its Applications: Where Do We Stand?. In: Kacprzyk, J., Pedrycz, W. (eds) - Springer Handbook of Computational Intelligence. Springer Handbooks. Springer, Berlin, Heidelberg. - 2015. - Pp. 3160.

133. El Baradie M.A. Fuzzy logic-based model for prediction of surface roughness in turning process. // Journal of Materials Processing Technology. - 1997. - 69(1-3).

- Pp. 84-102.

134. Farzandipour M., Nabovati E., Saeedi S., Fakharian E. Fuzzy decision support systems to diagnose musculoskeletal disorders: A systematic literature review // Comput Methods Programs Biomed. - 2018. - № 163. - Pp. 101-109.

135. Gul M., Guneri A.F. A fuzzy multi criteria risk assessment based on decision matrix technique: A case study for aluminum industry. // Journal of Loss Prevention in the Process Industries. - 2016. - 40. - Pp. 89-100.

136. Griffin M.J. Handbook of human vibration. - Academic Precc, London, 2012. - 1008 p.

137. Huang X., Zou B., Li S. Identification and Time Series Analysis of PM25 and

O3. // Associated Health Risk Prevention and Control Areas. Toxics. - 2025 - Vol.13 - №356.

138. Hulshof C. T. J., Veldhuijzen Van Zanten B. Whole-body vibration and low-back pain. A review of epidemiologic studies. // International Archives of Occupational and Environmental Health. - 1987. - 59(3). - Pp. 205-220.

139. Jang J.S.R. ANFIS: Adaptive-Network-Based Fuzzy Inference System. // IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics. - 1993. - 23 - Pp. 665-685.

140. Jha P., Jacob B., Gajalakshmi V. et al. A nationally representative case-control study of smoking and death in India // New England Journal of Medicine. - 2008. -Vol. 11. - Pp. 1137-1147.

141. Jones A.M. Panel data methods and applications to health economics. // In: Mills, T.C., Patterson, K. (eds) Palgrave Handbook of Econometrics. Palgrave Mac-millan, London. - 2009. - Pp. 557-631.

142. Karr C.L., Gentry E.J. Fuzzy control of pH using genetic algorithms. - IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 1993. - 1(1) - Pp. 46-53.

143. Kentel E., Aral M.M. Probabilistic-fuzzy health risk modeling. - Stochastic Environmental Research and Risk Assessment. - 2004. - 18(5) - Pp. 324-338.

144. Kosko B. Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic. - Hyperion: Disney Books, 1993. - 336 p.

145. Lee C.C. Fuzzy logic in control systems: fuzzy logic controller. // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. - 1990. - 20(2). - pp. 404-418.

146. Lee YS., Wang W.Y A fuzzy logic controller for battery charging systems. // Journal of Power Sources. - 2008. - 179(1). - Pp. 385-391.

147. Lemos A., Cymbron R., Igrejas G. Fuzzy control of a glass melting furnace. // IEEE International Conference on Control Applications. - 2005. - Pp. 1205-1210.

148. Liang C., Li H. A fuzzy logic controller for the multi-unit refrigeration system. // International Journal of Refrigeration. - 2010. - 33(1) - Pp. 79-87.

149. Mamdani E. H. Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant. // Proceedings of the Institution of Electrical Engineers. - 1974. - 121 (12). -Pp. 1585-1588.

150. Miranda G.H.B., Felipe J.C. Computer-aided diagnosis system based on fuzzy logic for breast cancer categorization // Computers in Biology and Medicine. - 2015.

- Vol. 64, № 1. - Pp. 334-346.

151. Pedrycz W., Gomide F. Fuzzy Systems Engineering: Toward Human-Centric Computing. - Wiley,2007. - 549 P.

152. Pinto A., Nunes I.L., Ribeiro R.A. Occupational risk assessment in construction industry // Overview and reflection. Safety Science. - 2011. - 49(5). - Pp. 616-624.

153. Rakheja S., Dewangan K.N., Dong R.G., Marcotte P. Whole-body vibration biodynamics - a critical review: I. Experimental biodynamics. // International Journal of Vehicle Performance. - 2020. - Vol.6 No.1. - Pp.1 - 51.

154. Rakheja S., Dewangan K.N., Dong R.G., Marcotte P. Whole-body vibration biodynamics - a critical review: II. Biodynamic modelling. // International Journal of Vehicle Performance. - 2020. - Vol.6 No.1. - Pp.52 - 84.

155. Ramos E., Bux R. K., Medina D. I., Barrios-Pina H., Mahlknecht J. Spatial and Multivariate Statistical Analyses of Human Health Risk Associated with the Consumption of Heavy Metals in Groundwater of Monterrey Metropolitan Area, Mexico. // Water. - 2023. - Vol. 15, № 6. - Pp. 1243.

156. Rashidian M., Malek M.R., Sadeghi-Niaraki A., Choi S-M. Epidemic exposure risk assessment in digital contact tracing: A fuzzy logic approach. // Digital Health.

- 2024. - Vol.10.

157. Rong G., Kaiwei L., Zhijun T. [et al.] Population amount risk assessment of extreme precipitation-induced landslides based on integrated machine learning model and scenario simulation. // Geoscience Frontiers. - 2023. - № 14.

158. Rubaai A., Ricketts D., Kankam M. D. Development and implementation of an adaptive fuzzy-neural-network controller for brushless drives. - IEEE Transactions on Industry Applications. - 2002. - 38(2). - Pp. 441-447.

159. Ruspini E. H. A new approach to clustering. // Information and Control. - 1969.

- 15(1) - Pp 22-32.

160. Sanderson J., Thompson S.G., White I.R., Aspelund T., Pennels L. Derivation and assessment of risk prediction models using case-cohort data. // BMC Med Res Methodol. - 2013. - Vol.13, 113. - Pp. 4-11.

161. Salari S., Sadeghi-Yarandi M., Golbabai F. Integrated occupational health risk assessment using fuzzy inference // Scientific Reports. - 2024. - Vol.14. - Article 180.

162. Shi S., Li C., Huang A., Song S., Yang C. Assessing the outbreak risk of epidemics using fuzzy evidential reasoning // Risk Analysis. - 2021. - Vol.41. - №11.

- Pp. 2046-2064.

163. Sugeno M., Nishida M. Fuzzy control of model car. // Fuzzy Sets and Systems.

- 1985. - 16(2). - Pp. 103-113.

164. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its application to modeling and control // IEEE Transaction Systems, Man and Cybernetics. - 1985. -Vol. 15, No. 1. - Pp. 116-132.

165. Thabit H. et al. Fuzzy-based health risk assessment for shallow groundwater // Sustainability. - 2023. - Vol.15. - №22. - Pp. 15792.

166. Viertl R. Univariate statistical analysis with fuzzy data. // Computational Statistics & Data Analysis 2006 - №51 - Pp.133-147.

167. Vignais N., Marin F. Stochastic versus deterministic approaches in the biome-chanical modeling. // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2014. - Vol. 17, № 5. - P. 521-532.

168. Wang L.X. A Course in Fuzzy Systems and Control. - Prentice Hall. - 1997. -424 P.

169. Warren Jim, Beliakov Gleb, Warren Berend van der Zwaag. Fuzzy logic in clinical practice decision support systems // Proceedings of the 33rd Hawaii

International Conference on System Sciences, January 4-7, 2000, the Island of Maui. - Pp. 1-10.

170. Yager R., Filev D. Essentials of Fuzzy Modeling and Control. // USA: John Wiley & Sons, 1984. - 387 p.

171. Zadeh L., Bellman R. Decision-making in a fuzzy environment. // Management Science. - 1970. - Vol. 17, № 4. - Pp. 141-164.

172. Zadeh L.A. Discussion: Probability theory and fuzzy logic are complementary rather than competitive. // Technometrics. - 1995. -Vol.37. - № 3. - P.271-276.

173. Zadeh L.A. Fuzzy Logic, Neural Networks and Soft Computing. // Communications of the ACM. - 1994. - Vol.37. - Pp. 77-84.

174. Zadeh L.A. Fuzzy Sets. // Information and Control. - 1965. - Vol.8. - №3. -Pp. 338-353.

175. Zadeh L. A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning. // Information Sciences. - Vol. 8. - 1975. - Pp. 43 - 80.

176. Zhao H., Wang F., Li H. A fuzzy logic-based control strategy for waste incineration process. // Journal of Environmental Sciences. - 2007. - 19(6). - Pp. 730735.

177. Zimmerman H.-J. Fuzzy Set Theory and its Applications. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. - 315 p.

178. Zoullouti B., Amghar M., Nawal S. Using Bayesian Networks for Risk Assessment in Healthcare System. // IntechOpen. - 2019.

Теоретико-множественный аппарат нечеткого моделирования Основные положения теории нечетких множеств

Существуют различные подходы к формулировке основ теории нечетких множеств. При изложении основных положений теории нечетких множеств будем следовать статьям и монографиям [1,19,98,106,171,172,174,176].

Определение А1. Универсальным множеством, или универсумом, называется множество всех возможных элементов, имеющих смысл в рассматриваемой задаче.

В классической теории множеств любое непустое подмножество А из универсального множества X = {х] определяется как совокупность объектов,

обладающих общим свойством. Относительно природы этих объектов не делается никаких предположений.

Характеристический функционал

Г1, если х е А

!а Чп * л (А1)

[0, если х £ А

определяет наличие или отсутствие этого свойства.

В этом случае, задание множества равносильно заданию характеристического функционала. Поэтому, через действия над характеристическими функционалами можно выразить основные операции над множествами (объединение, пересечение, разность).

Если же рассматривать множества «больших» и «малых» величин, то они не являются таковыми в классическом смысле. Границы «малости» таких объектов, которые позволили бы провести классификационную процедуру (А1), не заданы. Поэтому нет возможности четко отнести каждый объект к определенному классу. А именно к такому, нечетко определенному, типу относятся большинство классов реальных объектов и процессов.

Таким образом, необходимо ввести понятие о нечетком подмножестве как о классе с непрерывной градацией степеней принадлежности.

На универсальном множестве объектов X = {х] для нечеткого подмно-

смысле, вводится уже не функционал вида (А1), а характеристическая функция, задающая для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства,

по которому они относятся к подмножеству А .

Определение А2. Нечетким множеством А называется пара

Низшую и высшую степень принадлежности элемента к подмножеству А представляют собой числа 0 и 1, соответственно.

Хотя функция принадлежности нечеткого множества имеет некоторое сходство с функцией вероятностей, в случае, когда X счетно (или с функцией плотности вероятностей, когда X - континуум), между ними существуют большие различия. Так, понятие нечеткого множества имеет полностью нестатическую природу [170,171,172].

Определение А3. Объединение одноэлементных подмножеств множества X, для которых значения функции принадлежности больше нуля, называется несущим множеством или носителем соответствующего нечеткого

множества А

Если универсальное множество X - конечно или счетно, то нечеткое множество имеет вид

жества А , являющегося расширением понятия множества в классическом

, где X - универсальное множество, Ц~А{х) - функция принадлежности, »[0;1], которая каждому элементу ^ из множества X ставит в соответствие число из отрезка [0; 1], характеризующее степень принадлежности

этого элемента подмножеству А.

(А2)

Знак суммы означает объединение по всем элементам несущего множества X

Если универсальное множество X - непрерывно, то нечеткое множество имеет вид

Л = (АЗ)

х х

Знак интеграла не означает интегрирования. Он показывает, что несущее множество является частью числовой оси и нечеткое множество получается в результате объединения по всем элементам несущего множества X.

Определение А4. Верхняя граница функции принадлежности нечеткого множества называется его высотой

Ь^(^) = 8ир^л(х), хб! (А4)

л:

Для дискретного множества супремум будет максимумом, а значит максимум степеней принадлежности его элементов и будет высотой нечеткого множества.

Определение А5. Если высота нечеткого множества равна 1, то нечеткое

множество А называется нормальным. В противном случае, множество А называется субнормальным.

Субнормальное нечеткое множество А можно нормализовать, если его функцию принадлежности задать равенством

Определение А6. Ядром нечеткого множества А называется четкое множество элементов, полностью ему принадлежащих

соге^) = [л: е X | ¡л~А (У) = 1}.

Определение А7. Точкой перехода нечеткого подмножества А называется элемент леХ, для которого ¡л-А (х) = 0,5.

В отличии от классической теории множеств, где понятие характеристического функционала играет второстепенную роль, функция принадлежности для нечетких множеств становится единственно возможным средством их описания.

С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. В этом смысле теорию нечетких множеств (ТНМ) можно рассматривать как теорию функций специального вида -обобщенных характеристических функций.

Определение А8. [1,67,84] а -срезом (уровнем, сечением) нечеткого

множества А называется множество Аа

Аа={х^Х\МА{х)>а], (А5)

1 ,если ^ ос,

где

I (4) =

( ч - характеристическая функция множества Аа О,если ju~Ayx)<a

Ключевым свойством X -уровневых множеств является теорема о декомпозиции. Согласно данной теореме, любое нечеткое множество может быть как разложено на совокупность своих X -срезов, так и восстановлено из этой совокупности.

Теорема A1. [1,19] Любое нечеткое множество A можно представить в виде объединения его X -срезов

А= U Аа (А6)

ае[0;1]

Определение A9. Лингвистической переменной называется переменная, значениями которой являются слова или словосочетания некоторого естественного языка.

Определение A10. Множество всех значений лингвистической переменной называется терм-множеством.

Определение A11. Любой элемент терм-множества называется термом. Терм задается нечетким множеством с помощью функции принадлежности. Формально лингвистическая переменная задается кортежем

174

<

(х,Т, х, а М), (А7)

где х - имя переменной; Т - множество ее значений (терм-множество); х - универсальное множество (универсум); G - синтаксическая процедура для образования новых термов; м - семантическая процедура, ставящая в соответствие каждому лингвистическому значению из терм-множества нечеткое множество на универсальном множестве X.

Для обеспечения корректности модели для лингвистических переменных должны выполняться следующие условия

1. Полнота покрытия: \/х^Х,ЗА^Т{Х)\ ]ик{х)>0.

2. Нормальность:

У А е Т(Х),Бх е!:^(х) = 1.

3. Сепарабельность:

V Аг, А] е Т (X) л Ф /, Зх е

T(X),i Ф j,3x е X: |//д (х) > 0 (х) = 0 j или (х) = 0 ,juA (х) > О

Определение А12 [159]. Система нечетких множеств А = ^А1,А2...,Атп^

на универсальном множестве X называется нормальным разбиением, если выполняются условия:

1. Условие полноты: Viel: max ((л;)) > О

2. Условие нормальности: V£ = : sup(/^ (■*)) = 1

V V к '

3. Условие согласованности: Ух е X (*) = 1

Чс к=1

Из условия согласованности автоматически следуют условия полноты и нормальности.

Определение A13 [159]. Нормальное разбиение называется сильным, если дополнительно выполняется условие сепарабельности:

V/ Ф j: core (Д ) n core j = 0

где corej^) = jx e X | juÄ (x) = l] - ядро нечеткого множества.

Теорема A2 [159]. Для любого непрерывного нормального разбиения и для любых соседних термов Ai, Ai+1 существует точка х0 е X такая, что

/./1Дл-0) = /./1/ | (л-0).

Поскольку нечеткие множества задаются своей функцией принадлежности, все операции над ними также определяются через соответствующие операции с этими функциями.

Пусть A и B - нечеткие множества, определенные на универсальном множестве X.

Определение A14. Два нечетких множества A и B называются равными, если ju-A (jc) = ¡иЁ (jc) для любых iel.

Определение A15. Пересечением нечетких множеств A и B называют

нечеткое множество C = A nB, функция принадлежности которого определяется по правилу

Мс (*) = min {Mä (-*), Mb (-*)) (А8)

для любых х е X.

Определение A16. Объединением нечетких множеств A и B называют

нечеткое множество C = A и B, функция принадлежности которого определяется по правилу

juö (х) = max (juÄ (х), (х)) (А9)

для любых х е X.

Определение А17. Дополнением нечеткого множества А — X называют нечеткое множество С = А, функция принадлежности которого определяется по правилу

Мё(х) = 1-МА(Х) (А1°)

для любых х е X.

Прямое (декартово) произведение еще одна фундаментальная операция, которая переносится с четких множеств на нечеткие. В работе [173] дано классическое определение этой операции, а в работах [19,111] с помощью прямого произведения также вводится понятие нечеткого отношения.

Определение А18. Декартовым произведение нечетких множеств А, с!,/ = 1,р называют нечеткое подмножество множества Х1 х Х2х...хXр , функция принадлежности которого определяется по правилу

(2.1.11)

Определение А19. Нечетким отношением Q на множествах Xl, г = 1; р называется нечеткое подмножество декартова произведения Х1хХ2х...х Xр с функцией принадлежности которая показывается степень

выполнения отношения между элементами х1,х2,...,х

Определение А20 [72]. Нечеткой импликацией называется нечеткое от-

0 — X х У

ношение — , простейшая форма которого выражается в виде правила «если-то»

Если (х = Л), то ( у = B) (А12)

где х е X , У еУ , условие х = А - антецедент, заключение у = В - консе-квент.

Нечеткая импликация обозначается А ^ В. Как и любое нечеткое отношение нечеткая импликация задается функцией принадлежности. На практике

применяют нечеткие импликации Заде, Ларсена, Лукасевича, Мамдани, Ягера, описанные в работах [1,19,72].

Определение A21 [57,114]. /-нормой называется бинарная операция t: [0; 1]х[0; 1] ^ [0; 1], удовлетворяющая для любых a, b, c, d e [0; 1] следующим аксиомам

1. Ассоциативность: t (a, t (b, c)) = t (t (a, b), c)

2. Коммутативность: t (a,b ) = t (b,a)

3. Монотонность: если a < c и b < d, то t (a,b )< t (c,d)

4. Существование единичного элемента: t(a,1) = a.

Наиболее применяемыми /-нормами являются

• минимум tmin (a, b) = min (a, b);

• произведение tprod ( a, b ) = a • b.

Определение A22 [57,114]. ^-нормой называется бинарная операция s: [0;1] х [0;1] ^ [0;1], удовлетворяющая для любых a, b, c, d e [0;1] следующим аксиомам

1. Ассоциативность: s (a, s (b, c)) = s (s (a,b), c)

2. Коммутативность: s (a, b ) = s (b, a)

3. Монотонность: если a < c и b < d, то s(a,b)< s(с,d)

4. Существование нулевого элемента: s (a,0) = a.

Наиболее применяемыми ^-нормами являются

• максимум smax (a, b) = max (a, b);

• вероятностная сумма sum (a, b) = a + b - a • b.

Между собой /-норма и s-норма связаны следующим равенством

s (a, b) = n (t (n (a), n (b))) или t (a, b) = n (s (n (a), n (b))), где n (a) = 1 - a.

Сформулируем принцип обобщения Заде [173], который является фундаментальным методом, позволяющим распространить различные математические операции с четких на нечеткие множества.

Принцип обобщения Заде [114,173]. Если определена функция

/\Хх хХ2 х...хХ —»7 и нечеткие множества А\,А2...,АР заданы на множествах X1, X2,..., соответственно, то функция принадлежности нечеткого

множества В = /(А1,А2...,Ар) на У задается формулой

(х1,х2,...,хр)е/ (у)

где /~\у) = \^х1,х2,...,хр)еХ1хХ2х...хХр\/(х1,х2,...,хр) = у} - множество всех наборов аргументов, которые при подстановке в функцию /(•), дают значение у.

Этот принцип позволяет переносить действия известных арифметических операций на нечеткие множества. Особый интерес представляет перенос арифметических операций на нечеткие подмножества множества действительных чисел. Такие подмножества называются нечеткими числами.

Нечеткие числа и функции принадлежности В данном разделе представлены ключевые определения и свойства нечетких чисел [1,19,22,72].

Определение А23. Нечетким числом называется выпуклое нормальное

нечеткое множество А, заданное на универсальном множестве Я с кусочно-непрерывной функцией принадлежности /л~А (х): Я —»[0;1].

Условие нормальности гарантирует существование такого элемента (или последовательности элементов), степень принадлежности которого сколь угодно близка к 1, а на практике - часто ровно равна 1, то есть существует такой элемент е Я, что ¡л-А (х0) = 1.

Условие выпуклости означает, что для любых xl,x2 е R и а е [0;1] справедливо неравенство (axl + (1 - а) х2) > min (ßA ), цА (х2)) . Для любого а е (0;1] а -сечение выпуклого нечеткого числа представляет собой отрезок

Аа = {х е R | цАа > а} = [аа;а+~\.

Это обеспечивает «связность» множества значений для каждого уровня принадлежности.

Определение А24. Если функция ß , (х) достигает своего наибольшего значения либо в единственной точке числовой оси, либо на непрерывном подмножестве числовой оси, то нечеткое число A называют унимодальным. Унимодальность нечеткого числа гарантирует единственную «вершину» -значение с максимальной принадлежностью.

Рассмотрим основные типы нечетких чисел и функций принадлежности.

1. Треугольное нечеткое число Треугольное нечеткое число A = ( a, b, c) задается функцией принадлежности

0, x < a x - a

VÄ{X) =

b - a c - x

a < x < b b < x < c

с - Ь

0, х > с

где а - левая граница, с - правя граница интервала, Ь - модальное значение нечеткого числа, то есть значение, при котором некоторый параметр принадлежит к текущему множеству со значением функции принадлежности, равным единице.

Треугольные нечеткие числа удобно использовать в ситуации, когда уверенность в полной принадлежности достигается только в одной точке и зависимость переменной от значения функции принадлежности имеет линейный характер.

<

Изображение функции принадлежности треугольного нечеткого числа представлено на рисунке А. 1.

Рисунок А.1 - Представление треугольного нечеткого числа.

2 Трапециевидное нечеткое число

Трапециевидное нечеткое число А = ( а, Ь, с, й) задается функцией принадлежности

.х - а

Ь - а' 1,

й - х й - с 0,

х < а а < х < Ь Ь < х < с с < х < й х > й

где а - левая граница, й - правая граница интервала, [Ь; с] - ядро трапециевидного нечеткого числа (интервал полной принадлежности). Трапециевидные числа используются при наличии интервала равновозможных значений.

Треугольные и трапециевидные нечеткие числа имеют кусочно-линейные функции принадлежности. Как отмечается в работах [57,106], к достоинствам кусочно-линейных функций принадлежности можно отнести экономное

представление данных, простоту параметрической адаптации, обеспечение условия пересечения соседних функций принадлежности на уровне 0,5 за счет линейности сегментов и представление результирующей зависимости «вход-выход» в виде набора соединенных линейных участков, образующих функцию принадлежности, что позволяет легко анализировать и интерпретировать результат. К недостаткам таких функций можно отнести отсутствие непрерывной дифференцируемости.

Утверждение А1 [159]. При построении трапециевидных функций принадлежности для обеспечения нормального разбиения достаточно задать параметры так, чтобы 4 = Ь+1, аi+1 = сг. , где [ а ;Ь; С ; 4 ] - параметры трапеции /-го терма.

Изображение функции принадлежности трапециевидного нечеткого числа представлено на рисунке А.2.

Рисунок А.2 - Представление трапециевидного нечеткого числа.

3 Гауссово нечеткое число

Гауссово нечеткое число А = (тзависит от двух параметров т -

математическое ожидание (центр) и с - стандартное отклонение (параметр размытия). Оно имеет колоколообразную форму и задается функцией принадлежности

(х-т )2

Л А ( х ) = е " ~.

Гауссовы нечеткие числа оптимальны для моделирования случайных величин, распределенных по нормальному закону. Использование гауссова нечеткого числа обеспечивает получение гладких, непрерывно дифференцируемых результирующих функций принадлежностей. Такие числа дают возможность проведения теоретического анализа нечетких систем. К недостаткам использования гауссовых функций принадлежности можно отнести требование большего, по сравнению с кусочно-линейными функциями, количества параметров, что увеличивает сложность настройки нечеткой системы. Другим недостатком является то, что гауссова функция обладает неограниченным носителем. Это значит, что любой элемент х е X универсума будет иметь ненулевую степень принадлежности ко всем нечетким множествам, определенным с помощью такой функции. Данное свойство может противоречить семантике лингвистических термов в предметной области, где эксперты предполагают четкие границы между значениями. Но для гауссовой функции принадлежности значения на удаленных от центра участках стремятся к нулю, что позволяет в вычислительных задачах эффективно рассматривать ограниченный носитель, определяемый приемлемым уровнем точности [106].

Изображение функции принадлежности гауссова нечеткого числа представлено на рисунке А.3.

1.0

- Гауссово а=1)

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

10

Рисунок А.3 - Представление гауссова нечеткого числа.

4 Сигмоидные функции принадлежности

Помимо нечетких чисел, в системах нечеткого вывода используются и другие типы функций принадлежности, которые, строго говоря, не удовлетворяют определению А22 (в частности, условию выпуклости), но оказываются эффективными для описания определенных типов лингвистических термов.

Сигмоидная функция принадлежности описывается логистической кривой

где х0 - точка перегиба, к - коэффициент крутизны.

Следует особо отметить, что сигмоидные функции не являются нечеткими числами в смысле определения А22, так как они не удовлетворяют условию выпуклости (имеют точку перегиба, где меняется характер выпуклости). Однако они широко применяются в практике нечеткого моделирования в качестве лингвистических термов, особенно для описания пороговых эффектов и бинарных переходов.

В практике нечеткого моделирования часто используются:

• Б-образные функции (монотонный рост) - для термов типа «очень высокий», «большой»;

• /-образные функции (монотонный спад) - для термов типа «очень низкий», «пренебрежимо малый».

Эти функции обеспечивают естественную интерпретацию: полную уверенность в принадлежности к категории на границах универсального множества.

Изображение сигмоидной функции принадлежности представлено на рисунке А.4.

0 2 4 6 8 10

X

Рисунок А.4 - Представление сигмоидной функции принадлежности.

Выбор типа нечеткого числа является важным этапом построения нечеткой модели. Треугольные и трапециевидные числа обеспечивают простоту и интерпретируемость, гауссовы - гладкость и статистическую адекватность, сигмоидные функции принадлежности дают возможность моделирования асимметричных и пороговых процессов. Оптимальный выбор определяется спецификой решаемой задачи, требованиями к точности и вычислительной эффективности. Для повышения эффективности разработки рекомендуется начинать с простых функций принадлежности и переходить к сложным только в случае, если верификация модели показывает необходимость повышения точности [117].

Таблица Б1 - Средняя годовая концентрация загрязняющего вещества в атмосферном воздухе, вес и возраст индивидуума зон под экспозицией и вне экспозиции_

ИДН индивидуума с адресной привязкой к контрольной точке Вес, кг Возраст, лет Средняя годовая концентрация {Ссг), мг/м3

алюминий марганец свинец хром азот IV оксид диоксид серы фтористые газообр. бензол фенол взвешенные вещества

В зоне под экспозиции