Математические модели плоскопараллельного обтекания профилей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лежнёв, Всеволод Викторович

• Лежнёв, Всеволод Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лежнёв, Всеволод Викторович

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ЧАСТЬ 1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА И ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ.

1.1. Интегральные операторы логарифмического потенциала.

1 2. Системы функций, полные на контуре.

1 3. Алгоритмы краевых задач для уравнения Лапласа в неограниченной области.

ЧАСТЬ 2. МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВИХРЕЙ.

2.1. Общий вид функции тока задачи обтекания.

2.2. Метод распределенных вихрей.

2.3. Алгоритмы метода распределенных вихрей.

ЧАСТЬ 3. ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ ДВУХ ПРОФИЛЕЙ.

3.1. Алгоритмы задачи двух профилей.

3.2. Потенциал Робена для двух контуров.

3.3. Задача экраноплана.

ЧАСТЬ 4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

4.1 Применение алгоритма задачи Дирихле для вычисления циркуляционной функции тока.

4.2 Прямой алгоритм метода распределенных вихрей.

4.3 Метод распределенных вихрей и потенциал Робена.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели плоскопараллельного обтекания профилей»

Диссертационная работа по своей тематике относится к гидродинамике плоскопараллельных стационарных течений несжимаемой жидкости. Эта тематика продолжает быть чрезвычайно актуальной, многие современные технологии требуют исследования и решения таких гидродинамических задач. В этих исследованиях широко используются средства и возможности вычислительной математики, большую роль играют численные методы и численный эксперимент, принципиальное значение имеет создание эффективных численных алгоритмов.

К основным проблемам гидродинамики относятся задачи теории крыла. Большое значение при этом имеет изучение плоскопараллельных течений безвихревой несжимаемой жидкости[31] — [33], [37] - [39].

Одним из основных численных методов теории крыла является метод дискретных вихрей (С.М. Белоцерковский, [1], — [3]). Метод используется для построения циркуляционного обтекания профилей, а также для построения вихревых зон вблизи крыла. Обоснованию этого метода было посвящено большое количество публикаций вплоть до последнего времени ([5], [7], [15], [27] - [30], [36]). Метод дискретных вихрей состоит в представлении сопряженной комплексной скорости интегральной формулой Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению 1-го рода для плотности распределения вихрей на границе. Ядро интегрального оператора содержит сильную особенность, численное решение таких уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности [8] - [10].

Данная диссертация посвящена изложению метода распределенных вихрей для задачи обтекания крыла, его обоснованию, численным алгоритмам, их сходимости и различным реализациям ([13], [14], [21]-[21]). р

В первом параграфе приводится формулировка основной задачи. Обозначим внешность ограниченной односвязной области Q с достаточно гладкой границей S через Q+ = R2 \ Q . В области Q+ требуется построить векторное поле w(x) = {и(х), v(x)}, х = (х}, х2), удовлетворяющее условиям: a) div vv(x) = 0, rot = 0, хе Q+; b) w(oo) = {и0, v0}, и0 и v0 заданы; c) граница S - линия тока поля w(x) = \и(х), v(x)}.

Векторное поле w(x) = {w(x), v(jc)} можно трактовать как поле скоростей плоскопараллельного потока идеальной жидкости, обтекающей профиль S. Данная задача имеет не единственное решение; к векторному полю w(x) можно добавить с произвольным множителем чисто циркуляционное течение, которое определяется потенциалом Робена для контура S.

Далее в параграфе 1.1 коротко приведены используемые в последующем изложении элементы теории логарифмического потенциала, свойства интегрального оператора В2 потенциала двойного слоя и необходимые сведения о потенциале Робена ([4], [17] — [18]).

Во втором параграфе приведены основные леммы о системах функций, полных на контуре ([13], [24], [25]).

Пусть граница S удовлетворяет условию Ляпунова, последовательность точек zm, т = 1,2,., (базисные точки) принадлежит Q+ или Q~, отделена от S и удовлетворяет условию единственности л гармонических функций в R . *

Пусть (р (л;) - собственная функция сопряженного оператора В2, соответствующая простому собственному числу X = , соответствующей собственной функцией оператора В2 является ср(рс) = 1; по определению

В2Р=ШдЕя(Х~У)<Ьу, xeS, s дп(у)

1 3 где Е(х) = — In! x I — фундаментальное решение оператора Лапласа,

2л д п(у)

- операция дифференцирования по внешней для области Q нормали к S в точке у е S.

Обозначим через и S) подпространства в Z^OS"), ортогональные соответственно одномерным подпространствам {1} и И

Рассмотрим на S функции a+(x) = E(zm -х), xsS, zm eQ+.

Лемма 1.1. Система функций а*(х), т = 1,2,., полна и линейно независима в Ь2 (£). Обозначим a~(x) = E(zm-x), Sm(x) = a~+J(x)-a^(x), x<=S, zmeQ~.

PmW = lT7-E(zm-x), xzS, zm gQ . dn(y)

Лемма 1.2. Система функций Зт(?с), m = 1, 2,., полна и линейно независима в (S).

Лемма 1.3. Функции т = 1,2,., принадлежат подпростран

С с ' ству Ь2 , линейно независимы и образуют замкнутую систему в Ь2 .

Лемма 1.4. Система функций Рт(у), т = 1,2,., линейно независима и замкнута в пространстве L,2(S), если последовательность точек zm удовлетворяет условию единственности и принадлежит Q~. Рассмотрим теперь систему функций т(х) = y\dsy, xeS. s

Будем обозначать через Rq значение в области Q~ потенциала Робена, определенного для контура S.

Лемма 1.5. Если Rq^O, то система функций сгт(х), т = 1,2., линейно независима и замкнута в LjiS); если Rq = 0, эта система функций принадлежит и замкнута в I%(S).

Как следствие мы получаем полноту этих систем функций на соответствующих совокупностях дуг или контуров, например, для двух профилей.

В параграфе 1.3 части 1 приводятся простые и эффективные алгоритмы решения внешних краевых задач для уравнения

Лапласа, а также для вычисления собственной функции (р (х) интегрального оператора В2, т.е. плотности потенциала Робена для S [26].

В параграфе 2.1 части 2 дается общее представление функции тока задачи обтекания ограниченной односвязной области Q.

Далее используется потенциал Робена, будем его обозначать

2к S S с функцией ср (£) единичной нормы.

Теорема 2.1. Функция тока рассматриваемой задачи обтекания контура S имеет в области течения Q+ представление

И» = (U0X2 ~v0xl) +¥о(*) + xgQ+, где у/г(х) — потенциал Робена для S, R - постоянная, определяющая циркуляцию на S, щ{х) -регулярное решение в Q+ задачи Дирихле:

Ау/0{х) = 0 в Q+, ¥0 (х) = (и0х2 - v0xj) на S.

В параграфе 2.2 излагается метод распределенных вихрей решения задачи обтекания [13].

Функцию тока задачи обтекания будем определять в виде

4/(x) = (-w0x2+v0x1)+ \g{y)\n\x-y\dsy, (1) s где искомая функция g{y) является плотностью распределения вихрей на S, и выполняются условия а) и Ь).

Теорема 2.2. Представление (1) функции тока задачи плоского обтекания, которая определяется условиями а) - с) существует и единственно, если заданы скорость w(co)={m0,v0} и циркуляция Г на контуре S.

Аппроксимация gN (х) искомой плотности g°(y) вихрей на S может определяться в виде gN(y)= Zcka+k(y). к=1

Коэффициенты вычисляются при решении задачи минимизации функции F{c),

F(c) = N b-(u0x2 - v0) - J Цскак(y)E(x - y)ds s k=l где норма берется в пространстве L2 (S). Необходимое условие экстремума функции приводит к линейной алгебраической системе с определителем Грама не равным нулю.

В параграфе 2.3 представлены другие алгоритмы метода распределенных вихрей [23], [26].

Функцию тока *F(x) удобнее и эффективнее для численного эксперимента представить в виде у/{х) = ( и0х2 ~v0xj)+ jg° (у)Е{х - y)dS+R \grE{x - y)dS,

S S

Часть 3 посвящена некоторым приложениям.

Пусть Qj и Q2 - ограниченные односвязные области с границами Sj и S2, удовлетворяющими условию Ляпунова, Qi<^Q2=0, обозначим

Q+=R2\(Qj^Q2).

В параграфе 3.1 рассматривается задача обтекания двух профилей Sj и S2 идеальной жидкостью, удовлетворяющей условиям а) - с) [14], [22], [41]. Далее мы получаем, что функция тока может быть представлена в виде Л yKx)=(-u0x2+v0xj)+ W A g(y)E(x-y)dsy, х е Q+,

2 у где требуется выполнение условий w\Si =bh y/\s =b2*bj.

Аппроксимация gN (у) плотности вихрей g(y) на Sj и S2 определяется следующим образом: gN(y)= Y.ckal{y), к=1 коэффициенты с£ вычисляются в результате решения аналогичной вариационной задачи минимизации функционала 2

AT 2 I к=1 \ J + J

S2 j gN\y)E{x-y)dsy ьк "С~U0X2 +V0X1)с с

L2{Sk)

В параграфе 3.2 исследуется задача Робена для двух контуров. Доказано следующее утверждение.'

Теорема 3.1. Решение задачи Робена для двух контуров - плотности (Р]{х) и (р2{х) потенциала на S} и S2 — определяется единственным образом с точностью до постоянного множителя и аддитивной константы.

Для определения приближенной плотности gN (у) потенциала Робена на S = SjuS2 решается задача минимизации для вариационного функционала при и0 -v0 = 0 и bj &b2.

Параграф 3.3 - посвящен задаче экраноплана [41]. В случае прямолинейного экрана решение этой традиционно строится как решение задачи симметричного обтекания двух профилей, симметричных относительно экрана [9], [11]. Такая методика может быть реализована полученными выше алгоритмами.

Построение обтекания с необходимой циркуляцией реализуется добавлением к функции тока соответствующего потенциала Робена для S = S] u S2, т.е., по теореме 3.1, варьируется один параметр для получения нужной циркуляции и необходимого решения. В численных расчетах использовался крыловидный профиль, для разных высот h получаются в аналитическом виде приближенные решения, позволяющие вычислять аэродинамические характеристики.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лежнёв, Всеволод Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получено представление функции тока у/(х) задачи плоскопараллельного обтекания профиля S идеальной жидкостью в виде суммы линейного слагаемого и логарифмического потенциала простого слоя, плотность которого есть плотность вихрей на S, доказана теорема существования и единственности.

Получена явная зависимость циркуляции и подъемной силы от одного параметра - множителя при потенциале Робена

Получены новые эффективные алгоритмы решения задачи плоского обтекания (метод распределенных вихрей), позволяющие получить произвольную циркуляцию для любого профиля.

Доказаны утверждения о полноте систем потенциалов на профиле, доказана сходимость полученных алгоритмов задачи обтекания.

Для двух профилей разработаны алгоритмы метода распределенных вихрей, в частности, для решения задачи Робена для двух профилей; представлены алгоритмы решения плоской задачи экраноплана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лежнёв, Всеволод Викторович, 2004 год

1. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 256 С.

2. Бицадзе А.В. Сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Неймана // Дифференциальные уравнения, 1986. Т. 22, №5. -С. 823-828.

3. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в • гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: «Янус-К», 2001.-508 С.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

5. Галяутдинов М.И. Проектирование и расчет крыловых профилей вблизи экрана. Кандидатская дисс., Казань, 2001.

6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

7. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред. Часть I. М.: Наука, Физматлит, 2000.

8. Горелов Д.Н. К выбору контрольных точек в методе дискретных вихрей //ПМТФ.- 1990.-№ 1.

9. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

10. Горелов Д.Н. О сходимости метода дискретных вихрей, основанного на локальной аппроксимации вихревого слоя // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1984. - № 68.

11. Горелов Д.Н., Горлов С.И. Движение профиля вблизи плоского экрана //ПМТФ.- 1995. -№ 1.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971, 1108 С.

13. Картузова Т.В. Численные исследования обтекания системы произвольных профилей методом граничных элементов. Кандидатская дисс., Чебоксары, 1997.

14. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.

15. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. М.: "Высшая школа", 1988.

16. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Труды ЦАГИ. 1932. - Вып. 118.

17. Лаврентьев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.

18. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

19. Лежнев В.Г. Аппроксимация обратных задач ньютонова потенциала // Численные методы анализа, М.: МГУ, 1997.

20. Лежнев В.Г., Данилов Е.А. Задачи плоской гидродинамики. Краснодар, КубГУ, 2000.

21. Лифанов И. К., Полонский Я. Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ.-1975.-Т.39, №4. С. 742-746.

22. Лифанов И. К., Полтавский Л. Н. Обобщенный оператор Фурье и его применение в обосновании метода дискретных вихрей // Математический сборник, 1992. 183, №5.-С.79-114.

23. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. -М.: Янус-К, 1995.

24. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода «дискретных вихрей» решения сингулярных интегральных уравнений // ППМ. 1975. - Т. 39. - № 4.

25. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

26. М.Ван-Дайк. Альбом течений жидкости и газа. 184 стр. М.: Мир, 1986.

27. Механика сплошных сред в задачах, т. 1, 2. Под ред. Эглит М.Э. М.: «Московский лицей», 1996.

28. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

29. Панченков А.Н. Теория потенциала ускорения. Новосибирск: Наука, 1975.

30. Поляхов Н.Н., Шестернина З.Н. К вопросу о сходимости метода дискретных вихрей // Вестник Ленингр. ун-та. Математика, механика, астрономия. 1978. - № 7. - Вып. 2.

31. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. Т. 2. М.: ОНТИ, 1935.

32. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. Ленинград: Судостроение, 1979.

33. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М. - Л.: Гостехиздат, 1950.

34. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская Энциклопедия. Т. 4 Ок-Сло. 1984.

35. Lezhnev V.V., Markovsky A.N. Algorithm of the overflow problem above the plane screen // International Summer Scientific School. Hight Speed Hydrodynamics. 267-269. June 16-23, 2002. Cheboksary. Russia.

36. В данном разделе проиллюстрировано применение метода распределенных вихрей для задачи обтекания пластины, показаны обтекания с различными циркуляциями.

37. В частности, получено чисто циркуляционное обтекание.jI