Математические модели синтеза и анализа многозначных логико-функциональных структур в системах передачи информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Есин Антон Анатольевич

• Есин Антон Анатольевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Есин Антон Анатольевич

Введение

Глава 1. Теоретические основы исследования, формальные

модели и постановка задачи

1.1 Введение: объект и предмет исследования, обозначения и

базовые определения

1.1.1 Объект и предмет исследования

1.1.2 Основные определения

1.1.3 Классы функций и решётки

1.1.4 Суперпозиция, замыкание и клоны

1.1.5 Усиленные операторы замыкания ^ в Р3

1.1.6 Квантование для прикладных задач

1.2 Проблема полноты и усиленные операторы замыкания в задачах моделирования схем передачи данных

1.2.1 Проблема полноты для классического оператора подстановки

1.2.2 Проблема описания решётки замкнутых классов

1.3 Конструктивные базисы, конечнопорождаемость и операции выбора/мажоритарности в многозначных схемах обработки и маршрутизации трафика

1.3.1 Многозначные схемы в сетях связи

1.3.2 Классические достаточные условия конечнопорождаемости

1.4 Оценивание сложности и проблема устойчивого синтеза ЫУЬ-моделей в нормальных формах

1.5 Выводы

Глава 2. Усиленные операторы замыкания в

моделировании систем передачи данных

2.1 Введение

2.2 Исследование оператора

2.2.1 Полнота оператора

Стр.

2.2.2 Математическая модель политики маршрутизатора под оператором

2.2.3 Структура решётки "i-замкнутых подклассов

2.2.4 Класс TL и изоморфизм с булевым случаем

2.2.5 Класс Т0\. три предполных подкласса

2.2.6 Класс Т2: пять предполных подклассов

2.2.7 Решётка замкнутых подклассов в Т2 П Т0\ = Т2 П Т0\

2.2.8 Дополнительные классы и их роль

2.3 Исследование оператора замыкания "2

2.3.1 Описание "2-предполных классов в Р3

2.3.2 Решение задачи о полноте для оператора "2

2.4 Выводы

Глава 3. Конструктивные базисы и конечнопорождаемость

3.1 Введение

3.2 Достаточные условия конечнопорождаемости

3.3 Монотонные классы в Р3: предполнота, диаграмма включений и

малые базисы

3.3.1 Охранные (safety) классы без выбора и без мажоритарности

3.4 Надрешётки над унарными ядрами в Р3

3.5 Нормальные формы, минимальные базисы и алгоритмы моделирования схем передачи информации

3.6 Выводы

Глава 4. Численные оценки сложности и приближённое

моделирование устойчивых MVL-схем в нормальных формах

4.1 Введение

4.2 Численное оценивание сложности монотонных НФ и состоятельность выборочных оценок

4.3 Численное моделирование и синтез монотонных НФ по выборочным данным

4.4 Практическая реализация: программный комплекс и протокольный слой

Стр.

4.5 Выводы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Акты о внедрении результатов диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели синтеза и анализа многозначных логико-функциональных структур в системах передачи информации»

Введение

Устойчивый сверхлинейный рост мирового мобильного трафика, связанный с развитием облачных платформ и мобильных сетей, формирует долговременный вызов: требования к задержкам, допустимым потерям пакетов и стабильной пропускной способности систематически опережают темпы развития инфраструктуры сетей связи. Это устойчивый системный тренд телекоммуникационных систем. Особую остроту проблема приобретает в подвижных сценариях с высокой (в отдельных случаях — экстремальной) динамикой, таких как магистрали высокоскоростных поездов (HSR)1: при скорости 300-400 км/ч бортовой маршрутизатор-агрегатор вагона покидает зону действия одной базовой станции за 6-10 секунд, что приводит к непрерывно инициируемым процедурам handover, вызывает лавинообразный рост очереди служебных запросов на повторное подключение2 и накоплению пользовательских пакетов в буфере агрегатора. Концепции «умной железной дороги» (Smart HSR) рассматривают бортовой агрегатор как ключевой элемент инфраструктуры. Задержки при handover и вызванная ими динамика очередей признаны одним из ключевых ограничителей непрерывности TCP-сессий3'4. Отсюда следует запрос на формальные модели и алгоритмы управления трафиком, конструктивно учитывающие задержки переключений, накопление в буферах и неизбежные стирания/неопределённости состояния канала, а также допускающие строгую верификацию и численную реализацию. В условиях HSR бинарные модели управления, оперирующие состояниями «OK/FAIL», часто оказываются недостаточными для описания переходных процессов, деградации канала и процедур handover. В то же время реализация трёхуровневой классификации состояния канала «Good-Medium-Bad»,

1 Перечень поручений Президента РФ по итогам совещания с членами Правительства Российской Федерации от 02.07.2025 № Пр-1721 // http://www.kremlin.ru/acts/assignments/ orders/77599 (дата обр. 21.08.2025) (обеспечение непрерывной широкополосной связи вдоль ВСМ).

23GPP TR 38.854 - NR support for high speed train scenario in frequency range 2 (FR2) // https: //itecspec.com/archive/3gpp-specification-tr-38-854/ (дата обр. 21.08.2025).

3Ai B., Lu Y., Fang Y. et al. 6G-Enabled Smart Railways // arXiv:2505.12946. 2025. DOI: https: //doi.org/10.48550/arXiv.2505.12946(дата обр. 21.08.2025).

4Wei Chen, Bo Ai, Yuxuan Sun, Cong Yu, Bowen Zhang, Chau Yuen. Advanced 6G wireless communication technologies for intelligent high-speed railways // High-speed Railway. 2025. Vol. 3, № 1. P. 78-92. DOI: 10.1016/j.hspr.2024.11.007.

основанной на нечёткой логике, демонстрирует существенное снижение задержек и энергопотребления в мониторинговых сетях HSR-типа VANET5. Эти наблюдения мотивируют переход от двоичных к многоуровневым моделям состояния и управления. Такой сдвиг согласуется с аппаратными преимуществами многозначных (прежде всего троичных) логических элементов на уровне современных прототипов, демонстрирующих повышенную помехоустойчивость и более низкое энергопотребление по сравнению с двоичными схемами , что критично для подвижных сетей с переменным качеством сигнала. Теоретически, при той же символной скорости переход от двузначного к троичному основанию даёт log2 3 ~ 1.585 бит/символ (то есть прирост порядка 58% относительно двузначного кодирования), что фиксирует верхнюю границу возможного выигрыша по информации на символ7. Это создаёт запрос на формальные математические модели, конструктивно учитывающие многоуровневую природу состояния канала, допускающие строгую верификацию и эффективную численную реализацию. При этом классический аппарат многозначной логики и теории клонов, основанный на операторах суперпозиции, не в полной мере учитывает специфические требования телеком-задач, такие как инвариантность к фиктивным переменным или локальная эквивалентность состояний «0» и «1» при абсолютной выделенности состояния стирания/неопределённости «2». Таким образом, актуальной задачей является разработка нового класса математических моделей на основе многозначной логики, а также соответствующих методов анализа и синтеза, ориентированных на применение в системах передачи информации с высокой динамикой. Однако синтез и разработка практических систем на основе многозначной логики (MVL-систем) упирается в нерешённые фундаментальные вопросы математической логики. Ключевой остаётся задача классификации замкнутых (предполных) классов многозначных функций и построения конечнопорождающих базисов, свободных от усложняющих элементов типа мажоритарных (majority) и

5An C., Wu C., Yoshinaga T., Chen X., Ji Y. A Context-Aware Edge-Based VANET Communication Scheme for ITS // Sensors. 2018. Vol. 18, No. 7. DOI: 10.3390/s18072022.

6Zhu X., Xi M., Wang J. et al. High-performance ternary logic circuits and neural networks based on carbon-nanotube source-gating transistors // Science Advances. 2025. Vol. 11, No. 2. eadt1909. DOI: 10.1126/sciadv.adt1909.

7Chen S.S., de Paulis F., Stauffer D.R., Holden B.P. PAM3: History, Algorithm, and Performance Comparison to NRZ and PAM4 // Interconnect Technologies for Integrated Circuits and Flexible Electronics. 2024. P. 137-160. DOI: 10.1007/978-981-99-4476-7_9.

функций выбора (choice). От решения этих задач зависит возможность синтеза компактных вычислительных ядер и энергоэффективных сетевых контроллеров; в настоящее время методология конструирования таких базисов остаётся предметом активных исследований8'9. С прикладной точки зрения сети 5G/6G характеризуются высокой динамичностью канала, всплесками нагрузки и многоуровневым качеством связи. Актуальные обзоры управления мобильностью и handover подчёркивают, что двоичные модели с двумя состояниями («OK/FAIL») недостаточны; требуются многоуровневые подходы или методы на основе AI/ML для динамического распределения ресурсов и обслуживания трафика10'11. В диссертации эта задача решается за счёт введения и исследования усиленных операторов замыкания (^4, позволяющих провести полную классификацию предполных классов в трёхзначной логике и на этой основе построить конструктивные базисы для синтеза верифицируемых алгоритмов агрегации, маршрутизации и fail-safe управления трафиком в HSR-сценариях, с последующей валидацией результатов средствами численного имитационного моделирования.

Цель диссертации - построить и описать решётку замкнутых классов трёхзначных логических функций относительно усиленных операторов замыкания ^4, выполнить полную классификацию предполных классов и реконструкцию диаграмм замыканий. На этой основе синтезировать малые конечные базисы и нормальные формы для троичных правил принятия решений и построить соответствующие нормальные формы, включая варианты без использования majority и choice-функций при заданных инженерных ограничениях, а также разработать алгоритмы конструктивного разложения. Разработать и исследовать математические модели анализа многозначных логико - функциональных структур в задачах высокоскоростной передачи данных с эффектами стирания/«склеивания» и 0 ^ 1-калибровкой (классы T0\,T2,TJ), установив критерии полноты

8Lau D. Function Algebras on Finite Sets: A Basic Course on Many-Valued Logic and Clone Theory. Berlin: Springer, 2006. DOI: 10.1007/3-540-36023-9.

9Kalimulina E. Y. Finiteness of One-Valued Function Classes in Many-Valued Logic // Fractal and Fractional. 2024. 8(1):29. DOI: 10.3390/fractalfract8010029.

10Ullah Y., Roslee M. B., Mitani S. M. et al. A Survey on Handover and Mobility Management in 5G HetNets // Sensors. 2023. Vol. 23, No. 11. 5081. DOI: 10.3390/s23115081.

11Bikkasani D.C., Yerabolu M.R. AI-Driven 5G Network Optimization: A Comprehensive Review of Resource Allocation, Traffic Management, and Dynamic Network Slicing // American Journal of Artificial Intelligence. 2024. Vol. 8, No. 2. Pp. 55-62. DOI: 10.11648/j.ajai.20240802.14.

и устойчивости. Реализовать предложенные методы в виде программного комплекса и провести вычислительные эксперименты на стохастических моделях трафика с учётом тернарной модели качества канала.

Для достижения поставленной цели в диссертации были решены следующие задачи:

1. Построение решётки замкнутых классов для Р3 при усиленных замыканиях "1/"2 (Глава 2). Введены и исследованы операторы "i, доказана полнота описания предельных неполных режимов: ровно 3 "1-предполных класса (T01,T2,TL) и ровно 5 "2-предполных классов (Toi,T2,TL, V2,P3(x)); построены диаграммы включений и подрешётки внутри Т^,Т01,Т2, в частности показан изоморфизм

-решётки в TL с булевой решёткой Поста.

2. Описание конечнопорождаемых MVL-классов без majority/choice и явные конечные базисы (Глава 3). Выделены и исследованы «охранные» семейства F,Fa,Fa^ (условия типа ах) и классы с унарными ядрами; строго доказаны конечнопорождаемость, даны явные конечные базисы и механизм «подъёма» до Р3 добавлением одной константы; получены оценки размеров базисов.

3. Структурная конечность монотонных троичных отображений и «малые» базисы (Глава 3). Для интервала С F С М (монотонные классы на Е3) доказана конечность надрешётки и дано её полное описание:

М31}, D П М(2), К П М(2), М(2), К, D, М,

причём каждому узлу соответствуют явные малые базисы (унарные пороговые ступени + одна-две бинарные операции V,A); установлена предполнота М(2) в М и локальные предполноты DHM(2), КПМ(2).

4. Нормальные формы и алгоритмы синтеза с оценками сложности и инвариантами верификации (Глава 3). Сформулированы и доказаны: (i) НФ-ф для базиса {ф} U Const; (ii) монотонная НФ (МНФ) в базисе {A, V ,в1,в2} U М3(1); (iii) «охраняемая» НФ для Fa вида f (х,е) = mm{fb(x),Ja(e)} (или симметрично через max). Для указанных НФ получены верхние оценки глубины/размера схем, зафиксированы инварианты для формальной верификации (монотонность, safety, декомпозиция) и отмечена устойчивость построений к шагам "1/"2.

5. Численный анализ сложности и программная верификация синтеза/политик (Глава 4). Разработаны метрики Gb(;; w) и Db(-) для оценки «стоимости» и глубины реализаций по НФ-ф/МНФ; сформирован план вычислительного эксперимента со стохастическими входами и квантизацией метрик; реализован комплекс программ для воспроизводимого синтеза и проверки инвариантов (монотонность, fail-safe), проведены имитационные испытания и статистическая оценка показателей сложности.

Научная новизна:

1. Усиленные операторы замыкания для Р3 и решётки замкнутых классов. Введены и строго исследованы операторы

/^2 (суперпозиция с локальными 0 ^ 1-эквивалентностями), расширяющие классический оператор подстановки Поста; доказано существование конечного набора предполных классов в этом режиме и выполнена полная классификация: ровно 3 предполных класса для и ровно 5 — для построены и описаны подрешётки Д-замкнутых подклассов (в т.ч. изоморфизм с булевой решёткой Поста внутри TL), что задаёт управляемую основу синтеза MVL-базисов и алгоритмов [1—3].

2. Конечно порождённые MVL-семейства без majority/choice и явные базисы. Выделены широкие классы многоаргументных функций (включая охранные условия вида ах), для которых строго доказаны замкнутость под суперпозицией и конечная порождаемость без операций majority и choice; построены явные конечные базисы и получены оценки схемной сложности ядра для троичных правил принятия решений, обеспечивающие синтез в малом MVL-базисе с контролируемой глубиной/размером схем [4].

3. Структурная конечность и «малые» базисы монотонных классов в Р3. Получены необходимые и достаточные условия структурной конечности замкнутых монотонных семейств на Е3, установлены предельные оценки размеров минимального базиса, максимальной арности генераторов и высоты диаграмм включений; даны конструктивные нормальные формы (монотонные ДНФ/КНФ на {Л, V ,G1,G2|), что задаёт минимальные библиотеки агрегаторов «сверху/снизу» (V/Л) и двухуровневых режимов [5].

4. Нормальные формы синтеза и верифицируемость MVL-моделей. Разработаны и обоснованы: (i) нормальная форма по функции выбора (многозначное разложение Шеннона) и её монотонный вариант фм; (ii) охраняемая («fail-safe») нормальная форма f (х,е) = m.m{fb(x),Ja(e)}, разделяющая безопасную ветвь и функциональное ядро. Показано, что эти формы устойчивы к допустимым преобразованиям "1/"2 и удобны для формальной проверки инвариантов (монотонность, 01-инвариантность, принудительная фиксация уровня), а также для автоматизированного синтеза в малых базисах.

5. Алгоритмы и программная реализация. Разработан и зарегистрирован программный комплекс для имитации и настройки троичных политик управления трафиком [6]; алгоритмы диссертации реализованы в промышленном образце агрегатора и защищены патентами РФ [7; 8]; корректность ключевых процедур агрегации подтверждена программной верификацией и актами опытной эксплуатации в подвижных сценариях класса HSR [9; 10].

Теоретическая значимость:

1. Формализация усиленных операторов замыкания и постановка рамки. Строго введены и обоснованы усиленные операторы "1/"2 на Р3, что задаёт управляемую и минимальную по включению рамку замыканий для моделей дискретной логики в задачах передачи данных и квантизации метрик (Глава 1).

2. Полная классификация предполных классов и диаграммы замыканий. Построена завершённая классификация: в Р3 существуют ровно три "-предполных класса (Т01, Т2, TJ) и ровно пять "2-предполных классов (То1, Т2, TL, V2, Р3(х)); описаны решётки "1-замкнутых подклассов в TL , а также в Т01 и Т2; построены соответствующие диаграммы включений (Глава 2).

3. Конструктивные базисы и структурная конечность монотонных классов. Разработана конструктивная теория конечнопорождаемых MVL-классов, принципиально исключающих функции выбора и большинства (даны явные конечные базисы и нормальные формы); установлены необходимые и достаточные условия структурной конечности для классов порядкосохраняющих трёхзначных

отображений: доказана предполнота м(2) в М, описан полный конечный перечень узлов на интервале М3(1) С F С М с малыми базисами (D, К, М(2), DПМ(2), КПМ(2)), а также сформулирована и использована охраняемая нормальная форма для семейств F,Fa,Fa^ (Глава 3).

4. Предложены формализованные метрики сложности для нормальных форм (стоимостные и глубинные функционалы Gb, Db) и показано, как полученные решёточные и базисные результаты переходят в алгоритмический синтез и имитационное моделирование троичных правил в сценариях передачи данных (Глава 4).

Практическая значимость работы — построение троичного классификатора состояния канала (G/M/B) на базе полученных теоретических результатов (Главы 2-3) и его интеграция со стохастической моделью очереди агрегатора (Глава 4). Создан программный комплекс «Моделирование динамики буфера в сети с мобильными агрегаторами», который одновременно служит имитационным стендом для параметрической настройки и библиотекой встраиваемых компонентов для сетевых контроллеров. На этой основе синтезирован троичный (MVL) алгоритм интеллектуальной агрегации трафика и реализован прототип бортового контроллера; проведены опытная эксплуатация и частичное внедрение в HSR-сценариях (линия «Сапсан» Москва—Санкт-Петербург, поезда «Ласточка», маршруты МЦК, МосГорТранс), что подтверждено актами внедрения.

Методология и методы исследования. Исследование опирается на междисциплинарный инструментарий, объединяющий строгие аналитические методы и вычислительный эксперимент. Теоретическая часть базируется на аппарате многозначной логики и аппарат Поста (замкнутые классы, предполнота, функциональная полнота, конечнопорождаемость), применены методы формально-алгебраического анализа MVL-классов и алгоритмического синтеза (НФ по функции выбора, монотонная НФ в базисе {A, V ,в1,в2}, охраняемая НФ) с оценкой схемной сложности по введённым метрикам Gb, Db; имитационно-стохастическое моделирование и статистическая валидация результатов. Численная верификация выполнена методами итерационного вычисления стационарных распределений, дискретно-событийной имитация работы агрегатора в HSR-сценариях реализована на Python; проведены тестирование и опытная эксплуатация и частичное внедрение в HSR-сценариях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Усилённые операторы замыкания и критерий полноты в Р3.

Введены операторы (суперпозиция с локальными 01-заменами

при различии по фиктивным переменным для и при фиксированной арности для "2) и доказана полная классификация предполных классов: для их ровно три (Т01, Т2, Т^), для "2 — ровно пять (Т01, Т2, TL, V2, Р3(х)). Сформулирован и доказан критерий полноты: множество М С Р3 "¿-полно тогда и только тогда, когда М не содержится ни в одном из перечисленных предполных классов (i = 1,2). Дополнительно описаны структуры решёток: в TL решётка -замкнутых подклассов изоморфна булевой решётке Поста; для Т01 и Т2 даны предельные подклассы и покрытия. Эти результаты обеспечивают проверяемый выбор полноты для MVL-базисов [1—3].

2. Конечнопорождаемые MVL-классы без функций выбора и большинства. Построены и строго обоснованы охранные семейства Fa, Fa,b (условия вида ах), замкнутые относительно суперпозиции и исключающие функции выбора и majority; предъявлены явные конечные базисы и нормальные формы. Доказан «подъём»: добавление одной константы восстанавливает полную выразимость, т.е. [F0 U {1}] = Р3 (аналогично для Fa). Разработан алгоритм синтеза в малом базисе без majority /choice [4].

3. Монотонные троичные классы: конечная диаграмма, предполнота и малые базисы. Получена полная конечная диаграмма замкнутых классов на интервале м3р С F С М; доказана предполнота М(2) в М и выделены два локально предполных узла D П М(2) и К П М(2). Для всех узлов предъявлены малые конечные базисы (унарные пороги Jt и одна-две бинарные операции A,V) и построены конструктивные нормальные формы (в частности, монотонная НФ в базисе {A, V ,Jt}; для Е3 — упрощённая форма через в1,в2); показано, что М = [{фМ} U {0,1,2}] [1; 5].

4. Нормальные формы и количественные границы сложности синтеза MVL-схем. Введены и обоснованы метрики Cw, Gcp,Dф и Gm,Dm для НФ-ф и монотонной НФ в базисах Вф и Вм; доказано, что полученные формулы дают универсальные верхние оценки размера и логической глубины для f G Р3, а также

построены «охранные» расширения нормальных форм. Разработана воспроизводимая статистическая методика оценки Е[С^],Е[И•] на классах входных профилей (ыЛ., марковских, всплесковых) при единой нормировке весов п), что обеспечивает сопоставимость тернарных и двоичных реализаций и консистентность численных оценок. Эти результаты образуют строгую связку «теория — вычислительный эксперимент» и дают контролируемые границы сложности синтеза.

5. Вычислительный комплекс и верификация нормальных форм. Разработан программный комплекс, реализующий имитацию очереди агрегатора при троичных политиках управления [3; 6; 9; 10]. В составе комплекса реализованы модули расчёта и прикладной верификации оценок Сш ,Сф,0ф для реализаций по НФ-ф и монотонной НФ; проведены воспроизводимые вычислительные эксперименты, подтвердившие корректность заявленных верхних оценок и позволившие сопоставить тернарные и двоичные реализации по «стоимости», глубине и переключательной активности. Часть алгоритмов интегрирована в прототипы агрегатора; правовая охрана принципов интеллектуальной агрегации трафика обеспечена патентом

[7].

Соответствие пунктам паспорта специальности

1.2.2. «Математическое моделирование численные методы и комплексы программ»

1. Положение 1 соответствует п. 1 паспорта — «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений».

2. Положение 2 соответствует п. 2 — «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов.. . ».

3. Положение 3 соответствует п. 1 — «...новые математические методы моделирования. . . ».

4. Положение 4 соответствует п. 2 — «... эффективные вычислительные методы .. .», а также п. 5 — «Разработка. .. методов и алгоритмов валидации математических моделей... на основе анализа математических моделей».

5. Положение 5 соответствует п. 3 — «Реализация... в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения

вычислительного эксперимента», п. 6 — «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования... », п. 5 — «...валидация математических моделей... ».

Диссертация содержит все три составляющих названия специальности : (1) математическое моделирование (формальные модели и решётки замыканий для Р3; Гл. II-III); (2) численные методы (метрики сложности, универсальные оценки, статистические методики; Глава 4); (3) комплексы программ (реализация имитационных и расчётных модулей; Глава 4).

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами; публикациями в ведущих рецензируемых изданиях, индексируемых в WoS/Scopus и входящих в перечень ВАК (в т. ч. часть — в журналах уровня Q1/K1); апробацией на российских и международных конференциях и семинарах; результатами математического и компьютерного моделирования; воспроизводимостью численных экспериментов благодаря программной реализации; а также патентно-экспертной проверкой и актами пилотного внедрения и опытной эксплуатации.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. 11-ый Российский форум «Микроэлектроника 2025», 2025, Сочи, Россия.

2. VI International Conference on Mathematics and its Applications in Science and Engineering (ICMASE-2025), 2025, Plovdiv, Bulgaria.

3. 10-я Международная конференция по стохастическим методам (МКСМ-10), 2025, пос.Дивноморское, Краснодарский край, Россия.

4. First International Conference «Queuing theory school», 2025, Tomsk, Russia.

5. V International Conference on Mathematics and its Applications in Science and Engineering (ICMASE 2024), 2024, Coimbra, Portugal.

6. 10-ый Российский форум «Микроэлектроника 2024», Университет «Сириус», 2024, Сочи, Россия.

7. Девятая международная конференция по стохастическим методам (МКСМ-9), 2024, пос.Дивноморское, Краснодарский край, Россия.

8. XIX Международная конференция имени А. Ф. Терпугова -Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2020), 2020, Томск, Россия.

9. 20th International Symposium on Distributed Computing (DISC 2006), 2006, Stockholm, Sweden.

Основные результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах: Лаборатории № 17 («Автоматизированные системы массового обслуживания и обработка сигналов») ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН (рук. д.т.н. М. П. Фархадов и к.т.н. Э.Ю. Калимулина, 2018-2023гг.); на также на семинарах отдела «Алгоритмические вопросы алгебры и логики» МИАН им. В. А. Стеклова (семинар акад. С. И. Адяна, 2005-2008гг.); семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН (рук. проф. Веретенников А.Ю., 2025г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных трудов из журналов категории K1 из Собственного перечня журналов МФТИ (в том числе 5 — в журналах, индексируемых в WoS/Scopus, 2 статьи — в журналах из Перечня ВАК РФ); 2 работы — в трудах международных конференций. Получены 3 патента РФ по теме исследования. Зарегистрирована 1 программа для ЭВМ.

Личный вклад. Все результаты диссертации были получены автором самостоятельно или при непосредственном его участии.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и 1 приложения. Полный объём работы — 159 страниц, включая 10 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 115 наименований.

Глава 1. Теоретические основы исследования, формальные модели и

постановка задачи

1.1 Введение: объект и предмет исследования, обозначения и

базовые определения

1.1.1 Объект и предмет исследования

Объектом исследования в диссертации выступают формальные модели трёхзначной логики и порождаемые ими классы отображений f: Еп ^ Е, а также алгоритмические и программные схемы, реализующие данные операции и предикаты в системах передачи информации и управления каналами связи, включая подвижные (HSR) сценарии с высокой динамикой каналов.

Предмет исследования составляют структурные свойства предельных и предполных (precomplete) классов многозначных отображений, вопросы полноты и замкнутости относительно суперпозиции и проекций, а также минимальные порождающие семейства замкнутых классов трёхзначной логики. Полученные результаты служат теоретической основой для синтеза троичных схем — от классификации каналов и предикатов качества сервиса до алгоритмов управления узлами и агрегаторами в подвижных телекоммуникационных сетях, а также логических решателей в HSR-сценариях.

Данная глава посвящена обзору известных результатов, формирующих теоретическую базу диссертации и необходимых для формулировки и доказательства новых теорем [1—5].

1.1.2 Основные определения

Функции многозначной логики. Пусть к ^ 2 и Ек = {0,1,... ,к — 1}.

Множество всех функций ^-значной логики определим как [11—14]

Рк := { /|3 п е М, п > 1: / : Екп ^ Ек }.

Для п ^ 1 положим Рк(п) := {/ : ЕЩ ^ Ек}. Элемент / е Рк(п) называют п-арной (или п-местной) функцией; его арность аг(/) = п, образ 1ш / := /(^кп).

Проекции (селекторные функции). Пусть к ^ 2, Ек = {0,1,... ,к—1}. Для п ^ 1 и 1 ^ % ^ п определим

п(п) : ЕЩ ^ ^к, п(п)(жь... ,хп) = ж*.

Следуя принятой ранее нотации, те же отображения будем называть селекторными функциями и обозначать еП, то есть еП = п(п). В частности, е1(ж) = ж [11—14].

Замечание 1.1.1. При необходимости мы будем рассматривать 0-арные (константные) функции: для а е Ек введём константы За е Рк(0) (эквивалентно — унарные За(х) = а). Определим для п ^ 0 класс п-местных операций

77 п

Рк(п) := { / | / : ЕЩ ^ £к } = ЕЕ ,

а затем полный класс операций

Рк := У Рк(п) = У ^.

п>0 п>0

Е 0

При п = 0 имеем естественную биекцию Екк = Ек (константы). Эти обозначения согласованы с общей рамкой универсальной алгебры и теорией клонов [13; 14].

Обозначение 1.1.1 (Случай трёхзначной логики). В дальнейшем часто фиксируем к = 3, Е3 = {0,1,2}. Тогда

Езп

Рз = и Ез

п>0

обозначает класс всех (включая константные) операций трёхзначной логики.

Существенные переменные. Переменная Х{ называется существенной для / Е Рк(п), если существуют значения ах, . . . ,а—\,а+\,... ,ап Е Ек такие, что унарная функция

к(х) := /(ах,... ,аг-1,х,аг+1,... ,ап)

не является тождественно константной; в противном случае Х{ фиктивна. Обозначим множество существенных переменных Xf С {1,... ,п} и их число |Xf |. Эквивалентно, Х{ существенна тогда и только тогда, когда существуют а,Ь Е , совпадающие на всех позициях, кроме г, для которых /(а) = /(Ь) [12; 13].

Эквивалентность по фиктивным переменным. Будем писать / ~ д, если / получается из д (и наоборот) последовательными перестановками аргументов и добавлением/удалением фиктивных переменных [13; 14].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Есин Антон Анатольевич, 2026 год

Список литературы

1. Esin, A. A. Structural Analysis of Precomplete Classes and Closure Diagrams in Multi-Valued Logic / A. A. Esin // Iranian Journal of Fuzzy Systems. — 2025. — Vol. 21, no. 6. — P. 127—145. — DOI: 10.22111/ijfs.2025.49256. 8688.

2. Esin, A. A. On Function Classes in P3 Precomplete with Respect to a Strengthened Closure Operator / A. A. Esin // Mathematical Notes. — 2008. —Vol. 83, no. 5. —P. 594—603. —DOI: 10.1134/S0001434608050027.

3. Esin, A. A. Analysis and Design Principles of Modern Control Systems Based on Multi-Valued Logic Models / A. A. Esin // Upravlenie Bol'shimi Sistemami. — 2020. — Т. 88. — С. 69—98. — DOI: 10.25728/ubs.2020.88.4.

4. Esin, A. A. Finitely Generated Classes of Multi-Argument Logic Functions Excluding Majority and Choice Functions / A. A. Esin // AIMS Mathematics. — 2025. — Vol. 10, no. 4. — P. 10002—10027. — DOI: 10.3934/math.2025457.

5. Esin, A. A. Characteristics of Structurally Finite Classes of Order-Preserving Three-Valued Logic Maps / A. A. Esin // Logic Journal of the IGPL. — 2024. — DOI: 10.1093/jigpal/jzae128.

6. Калимулина, Э. Ю. Моделирование динамики буфера в сети с мобильными агрегаторами: cвидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № RU 2025667864 / ФИПС. — М., 2025. / Э. Ю. Калимулина, А. А. Есин. — URL: https://fips.ru/EGD/3b55bcc5-ed45-4753-9bc2-32fcaa7c9581 (дата обр. 12.10.2025).

7. Есин, А. А. Система агрегации сетевого трафика в мобильных компьютерных сетях с интеллектуальным адаптивным управлением: патент на изобретение № RU 2843669 C1 / ФИПС. — М., 2025. / А. А. Есин, Э. Ю. Калимулина. — URL: https://fips.ru/registers-doc-view/fips_ servlet ? DB = RUPAT& DocNumber = 2843669 & TypeFile = html (дата обр. 12.08.2025).

8. Марченков, А. А. Система агрегации сетевых данных в компьютерных сетях: патент на изобретение № 2694025 C РФ / ФИПС. — М., 2019. / А. А. Марченков, А. А. Есин. — URL: https : / / patenton . ru / patent / RU2694025C1.pdf (дата обр. 12.10.2025).

9. Esin, A. A. A Mathematical Model of Adaptive Traffic Control in Mobile Networks with Variable Signal Quality / A. A. Esin // Control Sciences. — 2025. — No. 3. — P. 52—66.

10. Esin, A. A. Brief Announcement: Monitoring of Linear Distributed Computations / A. A. Esin, R. Yavorskiy, N. Zemtsov // Distributed Computing (DISC 2006). Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4167. — Springer, 2006. — DOI: 10.1007/11864219_47.

11. Яблонский, С. В. Функциональные построения в k-значной логике / С. В. Яблонский // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 1958. — Т. 51. — С. 5—142.

12. Яблонский, С. В. Функции алгебры логики и классы Поста / С. В. Яблонский, Г. П. Гаврилов, В. Н. Кудрявцев. — Москва : Наука, 1966.

13. ban, D. Function Algebras on Finite Sets: A Basic Course on Many-Valued Logic and Clone Theory / D. Lau. — Springer, 2006. — DOI: 10.1007/3540-36023-9.

14. Bnrris, S. N. A Course in Universal Algebra / S. N. Burris, H. P. Sankappanavar. — Springer-Verlag, 1981.

15. Baker, K. A. Polynomial Interpolation and the Chinese Remainder Theorem for Algebraic Systems / K. A. Baker, A. F. Pixley // Mathematische Zeitschrift. — 1975. — Vol. 143. — P. 165—174. — DOI: 10.1007/ BF01187059.

16. Bodirsky, M. Graph Homomorphisms and Universal Algebra: course notes / M. Bodirsky. — 2025. — URL: https://wwwpub.zih.tu-dresden.de/ ~bodirsky/GH-UA.pdf (visited on 09/15/2025).

17. behtonen, E. Clonoids of Boolean functions with a monotone or discriminator source clone / E. Lehtonen. — 2024. — URL: https://arxiv.org/abs/2405. 01164 (visited on 09/12/2025).

18. Szendrei, A. Ivo G. Rosenberg's Work on Maximal Clones and Minimal Clones / A. Szendrei. — 2024. — arXiv: 2406.15184 [math.LO]. — URL: https://arxiv.org/abs/2406.15184 (visited on 10/12/2025).

19. Davey, B. A. Introduction to Lattices and Order / B. A. Davey, H. A. Priestley. — 2nd ed. — Cambridge University Press, 2002.

20. Яблонский, С. В. Анализ и синтез схем в многозначных логиках. Часть I / С. В. Яблонский, Г. П. Гаврилов, А. А. Набебин. — Москва : Издательство МЭИ, 1989.

21. Бурле, Г. А. Классы ^-значной логики, содержащие все функции одной переменной / Г. А. Бурле // Дискретный анализ. — 1967. — № 10. — С. 3—7.

22. Gratzer, G. Lattice Theory: Foundation / G. Gratzer. — Birkhauser, 2011.

23. Rosenberg, I. The Number of Maximal Closed Classes in the Set of Functions over a Finite Domain / I. Rosenberg // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 1973. — Vol. 14, no. 1. — P. 1—7. — DOI: 10.1016/0097-3165(73)90058-7.

24. Pinsker, M. Rosenberg's Classification of Maximal Clones / M. Pinsker. — 2002. — arXiv: math/0211420 [math.LO]. — URL: https://arxiv.org/abs/ math/0211420 (visited on 10/12/2025).

25. Srivastava, S. M. A Course on Mathematical Logic / S. M. Srivastava. — Springer New York, 2013. — DOI: 10.1007/978-1-4614-5746-6.

26. Lukasiewicz, J. A Generalization of the Deductive Calculus for Many-Valued Logics / J. Lukasiewicz // Jan Lukasiewicz: Selected Works / ed. by L. Borkowski. — Amsterdam : North-Holland, 1970. — (Studies in logic and the foundations of mathematics).

27. Post, E. L. The Two-Valued Iterative Systems of Mathematical Logic / E. L. Post. — Princeton University Press, 1941. — (Annals of Mathematics Studies ; 5).

28. Янов, Ю. И. О существовании ^-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса / Ю. И. Янов, А. А. Мучник // Доклады Академии наук СССР. — 1959. — Т. 127, № 1. — С. 44—46.

29. Prenosil, A. De Morgan clones and four-valued logics / A. Prenosil. — 2021. — URL: https://doi.org/10.48550/arXiv.2111.09830 (visited on 10/12/2025).

30. Kurz, A. New perspectives on semi-primal varieties / A. Kurz, W. Poiger,

B. Teheux // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2024. — Vol. 228, no. 4. — P. 107525. — DOI: 10.1016/j.jpaa.2023.107525.

31. Sparks, A. On the number of clonoids / A. Sparks. — 2018. — DOI: 10. 48550/arXiv.1810.12422. — (Visited on 10/12/2025).

32. Kalimulina, E. Y. Lattice Structure of Some Closed Classes for Three-Valued Logic and Its Applications / E. Y. Kalimulina // Mathematics. — 2022. — Vol. 10, no. 1. — P. 1—16. — DOI: 10.3390/math10010094.

33. Угольников, А. Б. О замкнутых классах Поста / А. Б. Угольников // Известия вузов. Математика. — 1988. — № 7. — С. 79—88.

34. Марченков, С. С. Замкнутые классы булевых функций /

C. С. Марченков. — Москва : Физматлит, 2000. — 130 с.

35. Miyakawa, M. Classification of Pj2 / M. Miyakawa, I. Stojmenovic // Discrete Applied Mathematics. — 1989. — Vol. 23, no. 2. — P. 179—192. — DOI: 10.1016/0166-218X(89)90026-7.

36. Podolko, D. K. Classes of functions closed with respect to a special superposition operation / D. K. Podolko // Moscow University Mathematics Bulletin. — 2013. — Nov. — Vol. 68, no. 6. — P. 303—306. — DOI: 10.3103/s0027132213060090.

37. Podol'ko, D. K. A family of classes of functions closed with respect to a strengthened superposition operation / D. K. Podol'ko // Moscow University Mathematics Bulletin. — 2015. — Vol. 70, no. 2. — P. 79—83. — DOI: 10.3103/S0027132215020059.

38. Starostin, M. V. Implicitly Maximal Classes and Implicit Completeness Criterion in the Three-Valued Logic / M. V. Starostin // Moscow University Mathematics Bulletin. — 2018. — Vol. 73, no. 2. — P. 82—84. — DOI: 10.3103/S0027132218020067.

39. Luo, X. Fuzzifying closure systems and closure operators / X. Luo, J. Fang // Iranian Journal of Fuzzy Systems. — 2011. — Vol. 8, no. 1. — P. 77—94. — DOI: 10.22111/ijfs.2011.239.

40. Holdon, L. Regularity in residuated lattices / L. Holdon, A. Borumand Saeid // Iranian Journal of Fuzzy Systems. — 2019. — Vol. 16, no. 6. — P. 107—126. — DOI: 10.22111/IJFS.2019.5023.

41. Malkov, M. A. Algebra of Finite-Valued Functions: Classification of Functions and Subalgebras, Essential and Fictitious Subalgebras / M. A. Malkov // Pure and Applied Mathematics Journal. — 2019. — P. 30—36. — DOI: 10.11648/j.pamj.20190802.11.

42. Cheng, D. A minimum adequate set of multi-valued logic / D. Cheng, J. Feng, J. Zhao, S. Fu // Control Theory and Technology. — 2021. — Vol. 19. — P. 425—429. — DOI: 10.1007/s11768-021-00064-w.

43. Jo, S. B. Recent Advances on Multivalued Logic Gates: A Materials Perspective / S. B. Jo, J. Kang, J. H. Cho // Advanced Science. — 2021. — Vol. 8, no. 8. — P. 2004216. — DOI: 10.1002/advs.202004216.

44. Lim, D. U. Monolithic Tandem Vertical Electrochemical Transistors for Printed Multi-Valued Logic / D. U. Lim, S. B. Jo, J. H. Cho // Advanced Materials. — 2023. — Vol. 35, no. 9. — P. 2208757. — DOI: 10.1002/adma. 202208757.

45. Panigrahi, D. High-performance multivalued logic circuits based on optically tunable antiambipolar transistors / D. Panigrahi, R. Hayakawa, Y. Wakayama //J. Mater. Chem. C. — 2022. — Vol. 10, issue 14. — P. 5559—5566. — DOI: 10.1039/D1TC05858D.

46. Levashenko, V. Development of Programmable Logic Array for Multiple-Valued Logic Functions / V. Levashenko, I. Lukyanchuk, E. Zaitseva, M. Kvassay, J. Rabcan, P. Rusnak // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. — 2020. — Vol. 39, no. 12. — P. 4854—4866. — DOI: 10.1109/TCAD.2020.2966676.

47. Kalimulina, E. Y. Application of Multi-Valued Logic Models in Traffic Aggregation Problems in Mobile Networks / E. Y. Kalimulina // 2021 IEEE 15th International Conference on Application of Information and Communication Technologies (AICT). — IEEE, 2021. — P. 1—6. — DOI: 10.1109/AICT52784.2021.9620244.

48. Bocewicz, G. Performance Evaluation Models for Distributed Service Networks / G. Bocewicz, J. Pempera, V. Toporkov. — Switzerland : Springer International Publishing, 2021. — 188 p.

49. Silva, C. F. IoT Traffic Offloading with MultiPath TCP / C. F. Silva, S. Ferlin, O. Alay, A. Brunstrom, B. Y. L. Kimura // IEEE Communications Magazine. — 2021. — Vol. 59, no. 4. — P. 51—57. — DOI: 10.1109/ MCOM.001.2000915.

50. Alwhishi, G. Multi-valued model checking IoT and intelligent systems with commitment protocols in multi-source data environments / G. Alwhishi, J. Bentahar, A. Elwhishi, W. Pedrycz, N. Drawel // Information Fusion. — 2024. — Vol. 102. — P. 102048. — DOI: 10.1016/j.inffus.2023.102048.

51. Marchenkov, S. S. Existence of finite bases in closed classes of Boolean functions / S. S. Marchenkov // Algebra and Logic. — 1984. — Vol. 23, no. 1. — P. 66—74. — DOI: 10.1007/BF01979700.

52. Brusentsov, N. P. Ternary Computers: The Setun and the Setun 70 / N. P. Brusentsov, J. R. Alvarez // Perspectives on Soviet and Russian Computing. SoRuCom 2006. IFIP Advances in Information and Communication Technology. Vol. 357. — Springer, 2011. — P. 74—80. — DOI: 10.1007/978-3-642-22816-2_10.

53. Jiang, K. Molybdenum-sulfide-based optoelectronic device for multivalued logic / K. Jiang, Y. Cao, D. Huang, Z. Zheng, Z. Zhao, S. Hu, H. Shen, H. Wang // Cell Reports Physical Science. — 2025. — Vol. 6, no. 4. — P. 102511. — DOI: 10.1016/j.xcrp.2025.102511.

54. Посыпкин, М. А. О замкнутых классах, содержащих предполные классы множества всех одноместных функций / М. А. Посыпкин // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика, механика. — 1997. — № 4. — С. 58—59.

55. Woienski, J. Logical Ideas of Jan Lukasiewicz / J. Wolenski // Studia Humana. — 2019. — Vol. 8, no. 2. — P. 3—7. — DOI: 10.2478/sh-2019-0011.

56. Hähnle, R. Deduction in Many-Valued Logics: a Survey / R. Hähnle, G. Escalada-Imaz // Mathware & Soft Computing. — 1997. — Vol. 4. — P. 69—97.

57. Cignoli, R. The Algebras of Lukasiewicz Many-Valued Logic: A Historical Overview / R. Cignoli // Algebraic and Proof-theoretic Aspects of Non-classical Logics. Vol. 4460 / ed. by S. Aguzzoli, A. Ciabattoni, B. Gerla, C. Manara, V. Marra. — Springer, 2007. — P. 69—83. — (Lecture Notes in Computer Science). — DOI: 10.1007/978-3-540-75939-3_5.

58. Zhuk, D. N. From two-valued logic to k -valued logic /D.N. Zhuk // Intelligent systems. Theory and applications. — 2018. — Vol. 22, no. 1. — P. 131—149.

59. Vucaj, A. Submaximal clones over a three-element set up to minor-equivalence / A. Vucaj, D. Zhuk // Algebra universalis. — 2024. — Vol. 85, no. 2. — P. 22. — DOI: 10.1007/s00012-024-00852-w.

60. Kalimulina, E. Y. Lattice Structure of Some Closed Classes for Non-binary Logic and Its Applications / E. Y. Kalimulina // Mathematical Methods for Engineering Applications. Vol. 384 / ed. by F. Yilmaz, A. Queiruga-Dios, M. J. Santos Sánchez, D. Rasteiro, V. Gayoso Martínez, J. Martín Vaquero. — Springer, Cham, 2022. — P. 11—21. — (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). — DOI: 10.1007/978-3-030-96401-6_2.

61. Kalimulina, E. Y. Mutual Generation of the Choice and Majority Functions / E. Y. Kalimulina // Mathematical Methods for Engineering Applications. Vol. 414 / ed. by F. Yilmaz, A. Queiruga-Dios, J. Martín Vaquero, I. Mierlu§-Mazilu, D. Rasteiro, V. Gayoso Martínez. — Springer, Cham,

2023. — P. 69—78. — (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). — DOI: 10.1007/978-3-031-21700-5_6.

62. Kalimulina, E. Y. Finiteness of One-Valued Function Classes in Many-Valued Logic / E. Y. Kalimulina // Fractal and Fractional. — 2024. — Vol. 8, no. 1. — P. 1—16. — DOI: 10.3390/fractalfract8010029.

63. Zahoor, F. Design implementations of ternary logic systems: A critical review / F. Zahoor, R. A. Jaber, U. B. Isyaku, T. Sharma, F. Bashir, H. Abbas, A. S. Alzahrani, S. Gupta, M. Hanif // Results in Engineering. —

2024. — Vol. 23. — P. 102761. — DOI: 10.1016/j.rineng.2024.102761.

64. Калинников, В. Применение многозначной логики в цифровой технике. (Обзор) / В. Калинников // Приборы и техника эксперимента. — 2006. — № 6. — С. 5—17. — DOI: 10.1134/S0020441206060017.

65. 3GPP. E-UTRA; Physical layer procedures (Release 16). Version 16.7.0.3GPP TS / 3GPP ; 3rd Generation Partnership Project (3GPP). — 2021. —No. 36.213. —URL: https://portal.3gpp.org/desktopmodules/ Specifications / SpecificationDetails . aspx ? specificationId = 2427 (visited on 10/12/2025).

66. Shannon, C. E. A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits / C. E. Shannon // Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. — 1938. — Vol. 57, no. 12. — P. 713—723. — DOI: 10.1109/T-AIEE.1938.5057767.

67. Shannon, C. E. The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits / C. E. Shannon // The Bell System Technical Journal. — 1949. — Vol. 28. — P. 59—98. — DOI: 10.1002/j.1538-7305.1949.tb03624.x.

68. Hassoun, S. Logic Synthesis and Verification. Vol. xv / S. Hassoun, T. Sasao. — 1st ed. — New York, NY : Springer, 2002. — 454 p. — (The Springer International Series in Engineering and Computer Science). — DOI: 10.1007/978-1-4615-0817-5.

69. Coudert, O. Two-level logic minimization / O. Coudert, T. Sasao // Logic Synthesis and Verification / ed. by S. Hassoun, T. Sasao. — New York, NY : Kluwer Academic Publishers, 2001. — P. 1—27. — DOI: 10.1007/978-1-4615-0817-5\_1.

70. Sasao, T. Switching Theory for Logic Synthesis / T. Sasao. — 1st ed. — New York, NY : Springer, 02/28/1999. — 362 p. — DOI: 10.1007/978-1-46155139-3.

71. Brent, R. P. The Parallel Evaluation of General Arithmetic Expressions / R. P. Brent //J. ACM. — New York, NY, USA, 1974. — Apr. — Vol. 21, no. 2. — P. 201—206. — DOI: 10.1145/321812.321815.

72. Testa, E. Logic Synthesis for Established and Emerging Computing / E. Testa, M. Soeken, L. G. Amar, G. De Micheli // Proceedings of the IEEE. — 2019. — Jan. — Vol. 107, no. 1. — P. 165—184. — DOI: 10.1109/JPROC. 2018.2869760.

73. Reis, A. I. Physical Awareness Starting at Technology-Independent Logic Synthesis / A. I. Reis, J. M. A. Matos // Advanced Logic Synthesis / ed. by A. I. Reis, R. Drechsler. — Cham : Springer, 2018. — P. 69—101. — DOI: 10.1007/978-3-319-67295-3_4.

74. Balobas, D. Design of low-power high-performance 2-4 and 4-16 mixed-logic line decoders / D. Balobas, N. Konofaos // IEEE transactions on circuits and systems II: Express Briefs. — 2016. — Vol. 64, no. 2. — P. 176—180.

75. Ali, Z. 3GPP NR V2X Mode 2: Overview, Models and System-Level Evaluation / Z. Ali, S. Lagén, L. Giupponi, R. Rouil // IEEE Access. — 2021. — Vol.9. — P. 89554—89579. — DOI: 10.1109/ACCESS. 2021. 3090855.

76. Popovski, P. Wireless Access in Ultra-Reliable Low-Latency Communication (URLLC) / P. Popovski, C. Stefanovic, J. J. Nielsen, E. de Carvalho, M. Angjelichinoski, K. F. Trillingsgaard, A.-S. Bana // IEEE Transactions on Communications. — 2019. — Vol. 67, no. 8. — P. 5783—5801. — DOI: 10.1109/TCOMM.2019.2914652.

77. Birk, Y. Efficient Dynamic Aggregation / Y. Birk, I. Keidar, L. Liss, A. Schuster // Distributed Computing / ed. by S. Dolev. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2006. — P. 90—104.

78. Rizzo, L. Effective erasure codes for reliable computer communication protocols / L. Rizzo //. Vol. 27. — New York, NY, USA : Association for Computing Machinery, 04/1997. — P. 24—36. — DOI: 10.1145/263876. 263881.

79. Lieb, J. A new method for erasure decoding of convolutional codes using the generator matrix / J. Lieb, R. Pinto, C. Vela // Designs, Codes and Cryptography. — 2025. — Vol. 93. — P. 2897—2918. — DOI: 10.1007/ s10623-025-01623-x.

80. Arafa, A. Timely Status Updating Over Erasure Channels Using an Energy Harvesting Sensor: Single and Multiple Sources / A. Arafa, J. Yang, S. Ulukus, H. V. Poor // IEEE Transactions on Green Communications and Networking. — 2022. — Vol. 6, no. 1. — P. 6—19. — DOI: 10.1109/TGCN. 2021.3105881.

81. Dragoi, V.-F. Bhattacharyya Parameter of Monomial Codes for the Binary Erasure Channel: From Pointwise to Average Reliability / V.-F. Dragoi, G. Cristescu // Sensors. — 2021. — Vol. 21, no. 9. — P. 2976. — DOI: 10.3390/s21092976.

82. Kim, Y. Power Control of Reed-Solomon-Coded OFDM Systems in Rayleigh Fading Channels / Y. Kim // Information. — 2023. — Vol. 14, no. 4. — P. 247. — DOI: 10.3390/info14040247.

83. Arikan, E. Channel Polarization: A Method for Constructing Capacity-Achieving Codes for Symmetric Binary-Input Memoryless Channels / E. Arikan // IEEE Transactions on Information Theory. — 2009. — Vol. 55, no. 7. — P. 3051—3073.

84. Pogorzelski, W. A. The Deduction Theorem for Lukasiewicz Many-Valued Propositional Calculi / W. A. Pogorzelski // Studia Logica: An International Journal for Symbolic Logic. — 1964. — Vol. 15. — P. 7—23.

85. Li, Z. Classical Implication for Three-Valued Logic / Z. Li, P. Naumov // Journal of Logic, Language and Information. — 2025. — Vol. 34. — P. 319—340. — DOI: 10.1007/s10849-025-09436-w.

86. Марченков, С. С. Конечно- и бесконечно-порожденные классы 01-функций трехзначной логики / С. С. Марченков // Математические вопросы кибернетики. Т. 19. — Москва : Физматлит, 2019. — С. 21—36. — URL: http://library.keldysh.ru/mvk.asp?id=2019-21 (дата обр. 21.08.2025).

87. Kudryavtsev, V. B. On the Automata Functional Systems / V. B. Kudryavtsev // Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. / ed. by V. B. Kudryavtsev, I. G. Rosenberg, M. Goldstein. — 2005. — Vol. 207. — P. 215—240. — DOI: 10.1007/1-4020-3817-8_9.

88. Марченков, С. С. О классах Слупецкого в системах х • • • х Pi / С. С. Марченков // Дискретная математика. — 1992. — Т. 4, № 3. — С. 135—148.

89. Марченков, С. С. О классах Слупецкого для детерминированных функций / С. С. Марченков // Дискретная математика. — 1998. — Т. 10, № 2. — С. 128—136. — DOI: 10.4213/dm420.

90. Slupecki, J. Kryterium pelnosci wielowartosciowych systemow logiki zdan / J. Slupecki // Comptes Rendus Varsovie, Classe III. — 1939. — Vol. 32, no. 1—3. — P. 102—109. — English transl.: A criterion of fullness of many-valued systems of propositional logic, Studia Logica 30 (1972), 153-157.

91. 3GPP MCC. Use of 3GPP technologies by Railways : tech. rep. / 3GPP MCC. — 2025. — URL: https : / / www. 3gpp . org / technologies / deep-dive/railways1 (visited on 08/01/2025).

92. Andrews, J. Rethinking Information Theory for Mobile Ad Hoc Networks / J. Andrews, N. Jindal, M. Haenggi, R. Berry, S. Jafar, D. Guo, S. Shakkottai, R. Heath, M. Neely, S. Weber, A. Yener // IEEE Communications Magazine. — 2008. — Vol. 46, no. 12. — P. 94—101. — DOI: 10.1109/ MC0M.2008.4689214.

93. Bisnik, N. On the Capacity Deficit of Mobile Wireless Ad Hoc Networks: A Rate Distortion Formulation / N. Bisnik, A. A. Abouzeid. — 2007. — URL: https://arxiv.org/abs/cs/0703050 (visited on 04/02/2025).

94. Tutorials, E. The Multiplexer (MUX) and Demultiplexer Tutorial / E. Tutorials. —URL: https://www.electronics-tutorials.ws/combination/ comb_2.html (visited on 09/08/2025).

95. Grover, P. Design and Analysis of 2:1 Multiplexer Using Low Power Adiabatic Technique and its Application in Nibble Multiplexer / P. Grover, V. Rani // International Journal for Scientific Research & Development. — 2014. — Vol. 2, no. 5. — P. 84—87.

96. Padmaja, M. Design of a multiplexer in multiple logic styles for Low Power VLSI / M. Padmaja, V. S. Prakash // International Journal of Computer Trends and Technology. — 2012. — Vol. 3. — P. 467—471.

97. Han, J. On the Reliability of Computational Structures Using Majority Logic / J. Han, E. R. Boykin, H. Chen, J. Liang, J. A. Fortes // IEEE Transactions on Nanotechnology. — 2011. — Vol. 10, no. 5. — P. 1099—1112. — DOI: 10.1109/TNAN0.2011.2111460.

98. Chattopadhyay, A. Notes on Majority Boolean Algebra / A. Chattopadhyay, L. Amaru, M. Soeken, P.-E. Gaillardon, G. De Micheli // 2016 IEEE 46th International Symposium on Multiple-Valued Logic (ISMVL). — 2016. — P. 50—55. — DOI: 10.1109/ISMVL.2016.21.

99. Leedeo Engineering. CENELEC EN 50159: Safety communications in railway systems. Overview and applicability to railway signalling / Leedeo Engineering. — URL: https://www.leedeo.es/l/cenelec-en-50159-railway/ (visited on 09/05/2025).

100. Railway applications — Communication, signalling and processing systems — Safety-related communication in transmission systems. — Slovenski institut za standardizacijo (SIST), 2010. —URL: https://standards.iteh.ai/catalog/ standards/sist/c02dc220-cc83-4d90-8a74-55b15e901a09/sist-en-50159-2010 (visited on 09/05/2025).

101. Railway Applications — The Specification and Demonstration of Reliability, Availability, Maintainability and Safety (RAMS) — Part 2: Systems Approach to Safety. — CENELEC, 10/2017. — URL: https://www.scribd. com/document/776741552/BS-EN-50126-2-2017 (visited on 08/03/2025).

102. Railway applications — Communication, signalling and processing systems — Safety related electronic systems for signalling. — British Standards Institution. — URL: https://www.scribd.com/document/350363538/BS-EN-50129 (visited on 08/01/2025).

103. Rumsey, A. An Assessment of the Business Case for Communications-Based Train Control. FTA Report No. 0045 : tech. rep. / A. Rumsey, L. Colangelo, N. Astell, N. Ghaly ; U.S. Department of Transportation, Federal Transit Administration. —Washington, DC, 2014. —P. 195. —URL: https://www. transit.dot.gov/sites/fta.dot.gov/files/docs/FTA_REPORT_No._0045.pdf (visited on 09/05/2025).

104. Future Railway Mobile Communication System: Functional Requirements Specification, v2.1.0 : Version 2.1.0 / International Union of Railways (UIC). — FU—7120. — URL: https://uic.org/IMG/pdf/uic_frmcs_frs_fu-7120_v2.1_0.pdf (visited on 08/01/2025).

105. FRMCS AT Working Group. Future Railway Mobile Communication System: System Requirements Specification : Technical report / FRMCS AT Working Group ; International Union of Railways (UIC). — Version 1.0.0. — Paris, 2023. — P. 109. — FW—AT 7800. — URL: https://www.era.europa.eu/ system / files / 2023-09 / index094_- _FRMCS_SRS _%28AT-7800%29_v100. pdf (visited on 02/13/2025).

106. 5G. Service requirements for cyber-physical control applications in vertical domains : tech. rep. — 2024. — ETSI TS 122 104 V18.4.0. — URL: https: //www.etsi.org/deliver/etsi_ts/122100_122199/122104/18.04.00_60/ts_ 122104v180400p.pdf (visited on 07/01/2025).

107. 5G; NR support for high speed train scenario in frequency range 2 (FR2) : tech. rep. — 2023. — ETSI TR 138 854 V17.3.0. — URL: https://www. etsi. org / deliver / etsi _ tr / 138800 _ 138899 / 138854 / 17 . 03 . 00 _ 60 / tr _ 138854v170300p.pdf (visited on 09/05/2025).

108. Motwani, R. Randomized Algorithms / R. Motwani, P. Raghavan. — Cambridge : Cambridge University Press, 1995. — 496 p. — DOI: 10.1017/ CBO9780511814075.

109. Sokal, A. D. Monte Carlo Methods in Statistical Mechanics: Foundations and New Algorithms / A. D. Sokal. — 1997. — URL: https : / / api. semanticscholar.org/CorpusID:8626480 (visited on 06/07/2025).

110. Asmussen, S. Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis / S. Asmussen, P. W. Glynn. — New York : Springer, 2007. — 476 p. — (Stochastic Modelling and Applied Probability). — DOI: 10.1007/978-0-387-69033-9.

111. Ross, S. M. Simulation / S. M. Ross. — 5th ed. — USA : Academic Press, 2012. —310 p.

112. Law, A. M. Simulation Modeling and Analysis / A. M. Law. — 5th ed. — NY : McGraw-Hill, 2014. — 760 p.

113. Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments / D. C. Montgomery. — 9th ed. — NJ, USA : Wiley, 2017. — 630 p.

114. Owen, A. B. Monte Carlo Theory, Methods and Examples (Online book) / A. B. Owen. — 2013. — URL: https://artowen.su.domains/mc/ (visited on 05/03/2025).

115. Есин, А. А. Устройство для подсчёта пассажиропотока: патент на полезную модель № 196791 U1 РФ / ФИПС. — М., 2020. / А. А. Есин, А. А. Марченков. — URL: https : / / patents . google . com / patent / US10677602B2/en (дата обр. 16.03.2025).

Список рисунков

1. Рисунок 2.1 Блок-диаграмма вычисления

^ (х) = т(Ь^(х)),Ь(Р (вхп(х)))).................. 68

2. Рисунок 3.1 Диаграмма включений между и М (все узлы

конечно порождены)........................... 90

3. Рисунок 3.2 Охраняемая вставка «в ноль»: при е = 0 имеем

©1(е) = 0 и у = 0, при е ^ 1 — у = /(ж)...............100

4. Рисунок 3.3 Общий «охранный» примитив Са: принудительная

фиксация уровня а по индикатору е..................101

5. Рисунок 3.4 Охраняемая вставка «вверх»:

/(ж,е) = тах{/(х), ©/г-1(е)}. При е = к—1 имеем ©/г-1( е) = к—1 и у = к—1 (принудительное безопасное состояние «вверх»); при е<к-1 — ©Л—1(е) = 0 и у = /(ж)..................101

6. Рисунок 4.1 МНФ для правила «^ 2 координат ^ 1»: слой

порогов ©1, затем три попарных узла Л, затем

сбалансированная склейка V. При бинарном входе глубина

равна 1 + |"^2(таха ^ (а))] + |"^2т] =1 + 1 + 2 = 4.......114

7. Рисунок 4.2 Схождение оценки стоимости См(Т) к См (среднее

по Д=200 прогонов). Горизонтальная пунктирная линия — истинная стоимость См = 39......................131

8. Рисунок 4.3 Покрытие уровневого фронта: эмпирическая доля

прогонов, где ^(Т) = ^ для всех уровней и теоретическая нижняя оценка 1 — т е—Рт'тТ с т = 10, рт[п « 0.0214........131

9. Рисунок 4.4 Компромисс «стоимость-риск» для усечённой МНФ:

по оси х — оценка См (Т), по оси у — верхняя оценка риска

недосрабатывания Х^аеДДТ) Р(ир(а)), аппроксимируемая как

1Ь \ £(Т)| • пт>п с пт>п = (Р1+Р2)2 = 0.09...............132

10. Рисунок 4.5 Поток «входы ^ НФ и метрики ^ (МНФ/НФ-ф)

^ гарантии ^ охранная вставка ^ эксперимент ^ итоги». Ссылки на разделы/формулы указаны в заголовках блоков. . . . 134

Список таблиц

1. Таблица 1 Классификация признаков состояния сети..............54

2. Таблица 2 Фрагмент таблицы поведения ............................55

3. Таблица 3 Унарные преобразования для модели fail-safe..........67

4. Таблица 4 Таблица истинности селектора т : {0,2}2 ^ {0,2} ... 67

5. Таблица 5 Минимальные (или малые) базисы и отсылки к

нормальным формам синтеза для основных классов на Е3.....103

6. Таблица 6 Параметры сценария и теоретические ориентиры для

примера «к=3, п=5, г=2».......................130

Приложение А

Акты о внедрении результатов диссертации

АКТ №1

о внедрении результатов диссертационного исследования

(маршрут Москва — Санкт-Петербург, высокоскоростной поезд «Сапсан», на основе совместных патентов Р11 2694025 С1, 08.07.2019 и 2843669 С1)

Город: Москва Дата: «16» сентября 2025 г

Соискатель: Есин Антон Анатольевич

Тема диссертации: «Математические модели синтеза и анализа многозначных логико-функциональных структур в системах передачи информации» Шифр и наименование специальности: 1 2.2 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», физико-математические науки

Организация-внедритель: АО "МирВайФай", ИНН 7702744268, ОГРН 1107746858724, г Москва,вн тер.г. муниципальный округ Марьино, ул. Поречная.д 31, к. 1,помещ. 4/н

Подразделение: Отдел интеграции

Основание: совместный патент «Система агрегации сетевого трафика в мобильных компьютерных сетях с интеллектуальным адаптивным управлением», № 2843669 от 17 07.2025; приказ № 2025/7-2.

Сведения о внедряемой разработке (кратко):

— Программно-алгоритмический модуль бортового агрегатора связи для HSR с многозначной логикой принятия решений и трёхуровневыми политиками

состояния канала: S1 «передача», S2 «частичная буферизация», S3 «ожидание/энергосбережение».

— Марковский предиктор деградаций/восстановлений и адаптивная агрегация

LTE/SG/Wi-Fi/спутник с приоритезацией трафика.

Объект применения: поезда «Сапсан» (EVS1/EVS2), участок Москва — Санкт-Петербург; бортовые агрегаторы-маршрутизаторы Incarnet Vi-5, ПО v.25.41.11; Incamet Vi-6, ПО v 25 41.11.

Период работ и результат: пилотный запуск 11.08.2025-24 08 2025, опытная эксплуатация с 25 08.2025. По протоколам испытаний: снижение разрывов/100 км (с 35 до 24), рост доступности Wi-Fi (% времени рейса: с 88 до 95), снижение jitter (мс: с 600 до 250), снижение энергопотребления модемов (с 1500мВт до 1300мВт).

Вывод: внедрение выполнено, модифицированный модуль с трёхзначными политиками управления передачей был внедрён в составе агрегатора в промышленную эксплуатацию оездах «Сапсан».

Подписи:

Руководитель организации_

Руководитель подразделения Ответственный исполнитель _

1НИТ0Л£Г^

;7С кобел кин А.Ю./ ^Пшеничный Д.И./ Яимохин Н Е./

1ИРВЛИ

м.п.

Россия, 129110, г. Москва, Капельский переулок, д. 8. стр. 1 Тел.: [phone] Факс: [phone] [e-mail] wvvw.macomnei.ru

МАСОГ-ШЕТ

АКТ №2

о внедрении результатов диссертационного исследования (АО «МАКОМНЕТ»: бортовые агрегаторы связи городского подвижного состава и система мониторинга на их основе на базе патентов Ки 2694025 С1,08.07.2019 и Ш1 2843669 С1)

Город: Москва Дата: «18» сентября 2025 г.

Соискатель: Есин Антон Анатольевич

Тема диссертации: «Математические модели синтеза и анализа многозначных логико-функциональных структур в системах передачи информации» Шифр и наименование специальности: 1.2.2 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Организация-внедритель: АО «МАКОМНЕТ», ОГРН 1027700131150, ИНН 7702029405, г.Москва, пер. Капельский, д.8, стр.1

Подразделение: Департамент ключевого заказчика Коммерческой дирекции Основание: приказ № ППР-25-28/2

Сведения о внедряемой разработке (кратко):

— Модуль бортового агрегатора с многозначной логикой 51/82/83, марковским предиктором и адаптивной агрегацией (ЬТЕ/5С/\\Ч-Р1) для служебной телеметрии, ПА-связи и пассажирского трафика.

— Профили политик для «пик/межпик», «центр/периферия», приоритет служебных потоков, реализованный на основе многозначной МНФ.

Объект применения: трамваи приписки депо им.Баумана №№31010. 31405, агрегаторы 1псагпе1 У1-3, ПО v2025.31.ll.

Период работ и результат: пилот с 25.08.2025-07.09.2025, опытная эксплуатация с 08.09.2025. Достигнуто: рост доступности телеметрии (% смены: с 98 до 100), снижение повторных отправок (с 12 до 2), сокращение разрывов УР>]-сессий (с 9 до 2).

Вывод: внедрение выполнено, рекомендовано тиражирование на трамваи приписки депо им. Баумана и включение в НТД.

Подписи:

Руководитель подразделения

Ответственный исполнитель^

ТТК •ТрансТелеКом

AO «Компания ТрансТелеКом» Верейская ул., д. 29, стр. ЪЪ Москва, Россия, 121357 Телефон: [phone] Факс: [phone] E-mail: [e-mail] www.ttk.ru

АКТ №3

о внедрении результатов диссертационного исследования

(АО "Компания ТрансТелеком": поезда «Ласточка» - бортовые агрегаторы связи) Город: Москва Дата: «19» сентября 2025 г. Соискатель: Есин Антон Анатольевич

Тема диссертации: «Математические модели синтеза и анализа многозначных логико-функциональных структур в системах передачи информации»

Шифр и наименование специальности: 1.2.2 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Организация-внедритель: АО «Компания ТрансТелеКом», ИНН 7709219099, ОГРН 1027739598248, г. Москва, ул. Верейская, д. 29, стр. 33, этаж 6 ком. 12.

Подразделение: Департамент системной интеграции - Центр пассажирской связи Основание: приказ № 2025/07/21.

Сведения о внедряемой разработке (кратко):

— Модуль бортового агрегатора для линий с туннелями и частыми handover: многозначная логика S1/S2/S3, марковские карты покрытия по участкам, адаптивная агрегация 4G/5G/WÍDFÍ с приоритезацией служебной связи.

Объект применения: составы «Ласточка» серий ЭС1-ЭС1П/ЭС2Г-ЭС2ГП на линиях МЦК/Междугороднего сообщения, агрегаторы Incarnet Vi-16, ПО 2025.51.11.

Период работ и результат: пилот 12.08.2025-09.09.2025, опытная эксплуатация с 10.09.2025. Достигнуто: снижение разрывов в тоннелях (раз/100 км: с 29 до 15), рост доступности служебной телеметрии (%: с 94 до 97), снижение задержки ПАйсвязи (мс: с 400 до 280).

Вывод: внедрение выполнено, рекомендовано тиражирование электропоездах «Ласточка» серий ЭС1-ЭС1П/ЭС2Г-ЭС2ГП на линиях МЦК и междугороднего сообщения.