Математическое и численное моделирование нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Головин, Евгений Дмитриевич

• Головин, Евгений Дмитриевич
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Головин, Евгений Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ТЕЙЛОРОВСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

1.1 Прямое и обратное преобразование.

1.2 Свойства ДТП.

1.3 Пример расчета электрической схемы.

1.4 Параметрический синтез с помощью обратного преобразования.

1.5 Проблемы теории ДТП.

1.6 Выводы.

ГЛАВА 2 КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ И ИНТЕРВАЛА ОГРАНИЧЕНИЯ.

2.1 Влияние количества и точности расчета дискрет на точность полученного решения.

2.2 Критерии оценки точности решения.

2.2.1 Грубая оценка точности решения.

2.2.2 Относительная оценка точности решения.

2.3 Критерии оценки интервала ограничения.

2.3.1 Оценка интервала ограничения для линейных устройств.

2.3.2 Влияние нелинейностей на интервал ограничения и дифференциальный спектр.

2.3.3 Оценка интервала ограничения на основе признака Даламбера.

2.3.4 Определение интервала ограничения по дифференциальному спектру.

2.3.5 Расчет интервала ограничения для устройств с большими нелинейностями.

2.4 Исследование возможности применения метода припасовывания с использованием выявленных закономерностей.

2.5 Выводы.

ГЛАВА 3 ДТП В ДРУГИХ БАЗИСАХ.

3.1 Необходимость перехода к другим базисам.

3.2 Экспоненциально-степенные преобразования.

3.3 Переход в базис полиномов Лаггера.

3.4 Переход в базис полиномов Лежандра.

3.5 Переход к дифференциально-чебышевскому базису.

3.6 Дифференциально-чебышевские преобразования со смещенными полиномами Чебышёва.

3.7 Выводы по сокращению количества членов ряда решения.

3.8 Повышение точности параметрического синтеза.

3.8.1 Графический расчет дискрет.

3.8.2 Параметрический синтез нелинейных устройств.

3.8.3 Способ повышения точности расчета дискрет.

3.8.4 Решение плохо обусловленных систем уравнений с помощью перехода к чебышевским базисам.

3.9 Выводы.

ГЛАВА 4 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ РЕШЕНИЯ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ И УСТРОЙСТВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

4.1 Структура программного комплекса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и численное моделирование нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами»

Актуальность работы. Исследование возможностей практического применения теории дифференциально-тейлоровских преобразований для расчёта временных характеристик в нелинейных электрических цепях и цепях с переменными параметрами, параметрического синтеза нелинейных электрических цепей и цепей с переменными параметрами, а также развитие теории дифференциально-тейлоровских преобразований (ДТП) является актуальной задачей. Наличие математического, алгоритмического аппарата и программного обеспечения позволяет решать прикладные задачи в области электротехники, теории управления, механики, аэродинамики и астрофизики более эффективно по сравнению с известными методами.

В середине XIX века появились математические работы, посвященные символическому, или операционному исчислению. Одной из основных целей их была «алгебраизация» дифференциальных уравнений (ДУ), то есть замена исходных ДУ эквивалентными в отношении получаемых результатов алгебраическими. Одними из первых в этой области были работы профессора Киевского университета М.Е. Ващенко-Захарченко [9] и одного из основателей Московского математического общества А.В. Летникова [33].

В начале XX века появились работы О. Хевисайда [79], в которых решались различные задачи электротехники и электросвязи методами, близкими, а иногда и совпадающими с методами, предложенными Ващенко-Захарченко. Теория и различные применения операционного исчисления получили дальнейшее развитие в работах Т. Бромвича [8], A.M. Эфроса и А.М.Данилевского [77], М.Ю.Юрьева [78], А.Н.Крылова [32], А.И.Лурье [34], В.А. Диткина и П.И. Кузнецова [22], М.И. Конторовича [30], Я. Минусинского [37], Г. Деча [21] и др.

Основные понятия современных операционных методов — понятия оригинала х и изображения X. Оригиналами называются исходные функции решаемых задач. Часто это такие физические величины, как электрические токи, напряжения, заряды, механические перемещения, давления, температуры и т. п. Изображения получаются преобразованием по определенным правилам оригиналов и математических операций над ними. Ващенко-Захарченко и Хевисайд переходили от оригиналов к изображениям заменой производной d/dt и интеграла алгебраическими множителями р и р~', а обратный переход реализовали с помощью так называемых теорем разложения. Карсон [28] и другие исследователи переходили от оригиналов к изображениям с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье, а обратный переход производили на основании интеграла Бромвича, применяя теорию вычетов.

Многолетняя практика применения операционных методов, основанных на интегральных преобразованиях, показала их высокую эффективность для исследования систем, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эффективным оказалось и так называемое комплексное исчисление, основанное на двойном интегральном преобразовании Фурье с конечными пределами [52], для исследования периодических процессов в системах, описываемых дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако, из работ по применению интегральных операционных методов для изучения непериодических процессов в системах с нелинейными и переменными параметрами видно, что решение возникающих задач практически оказывается возможным лишь в квазилинейной постановке из-за сложности перевода в область интегральных изображений основной нелинейной операции - операции произведения оригиналов. Более широкие возможности исследования нелинейных систем имеют дифференциально-тейлоровские преобразования (ДТ-преобразования), предложенные и в определенной степени изученные в работах Г.Е. Пухова [23,49,50,51].

Основой к созданию теории ДТ-преобразований явились работы чл.-кор. АН УССР ГТ.Ф. Фильчакова по предложенному им методу решения ДУ с помощью степенных рядов Тейлора [71].

Основное отличие дифференциальных преобразований от интегральных состоит в том, что переход от оригиналов к изображениям производится дифференцированием оригиналов, а не их интегрированием. Суть метода заключается в преобразовании функции оригинала от непрерывного аргумента, например, времени, в функцию изображения от дискретного аргумента, коэффициенты которой именуются дискретами. Построенная система правил и формул в теории ДТП на практике позволяет составлять изображающие уравнения, почти не прибегая к дифференцированию оригиналов. Обратный переход от изображений к оригиналам осуществляется очень просто с помощью ряда Тейлора.

К достоинствам ДТ-преобразований относятся возможности распространения операционных методов исследования состояний физических систем на случаи систем с переменными и нелинейными параметрами. Произведению функций в области оригиналов отвечает в области ДТ-изображений сравнительно простая операция — нахождение суммы конечного числа парных произведений дискрет изображений умножаемых функций. Также достоинством является большая гибкость соответствующих ДТ-моделей, так как часто одна и та же модель может служить основой численного решения задачи, ее аналитического и численно-аналитического решений.

В трудах Г.Е. Пухова изложено операционное исчисление, основанное на дифференциальных Т-преобразованиях, и показано его применение для анализа переходных и установившихся процессов в электрофизических, теплофизических и механических системах. Кроме того, рассматриваются экспериментальные методы получения математических моделей упомянутых физических систем. Изложенное иллюстрируется большим количеством простых примеров.

Но ДТ-преобразования не получили широкого распространения при всех своих достоинствах. Одной из причин является недостаточно разработанная методика применения теории ДТП, из-за чего требуемая вычислительная работа почти всегда превышает работу, выполняемую с помощью других методов. Не исследованными остаются вопросы оценки погрешности решения, а также предварительной оценки интервала восстановления и количество членов степенного ряда при заданной точности. Степенной ряд, в виде которого восстанавливается решение, в общем случае имеет относительно малый радиус сходимости. Для нахождения решения на требуемом интервале применяется метод припасовывания: весь интервал разбивается на шаги, для каждого из которых последовательно строится решение. Величина каждого шага будет определяться количеством учитываемых членов степенного ряда и заданной точностью расчетов. Предложенный Л.П. Гавриловым численный метод решения ДУ методом степенных рядов, основанный на кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик, не всегда оказывается более эффективным по сравнению с известным методом Рунге-Кутты четвертого порядка, так как требует множества дополнительных вычислений.

Цель работы - определить область применимости дифференциальных преобразований при параметрическом синтезе и расчёте временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами, а также разработать методологию использования дифференциальных преобразований на практике.

Объект исследования - временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами.

В соответствии с целью работы сформулированы задачи исследований: исследование точности решения в зависимости от количества дискрет при восстановлении результата и интервала, на котором строится решение дифференциального уравнения; исследование влияния погрешности вычислений на точность и область сходимости полученного решения; предварительная оценка области сходимости решения по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами; получение количественных оценок точности решения; составление наиболее полной таблицы оригиналов и изображений; реализация методологии расчета временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами в виде законченного алгоритма и компьютерной программы; исследование возможностей параметрического синтеза нелинейных устройств высокого порядка.

Таким образом, предметом исследования являются ДУ, описывающие реальные физические устройства, в частности электрические цепи, способы нахождения решения с помощью дифференциальных преобразований и возможность параметрического синтеза.

Достоверность научных выводов и результатов диссертации обеспечивается соответствием с выводами и результатами других авторов, подтверждением расчетов с помощью примеров с известным решением, а также сравнением с другими известными методами.

Методы исследований. Для решения нелинейных ДУ с переменными параметрами используется численное интегрирование методом степенных рядов, а также метод припасовывания. Для задач параметрического синтеза используются методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в частности метод Гаусса, рекуррентный алгоритм предложенный А.А. Светлаковым [57].

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Аналитическое выражение для предварительной оценки области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов, по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных дифференциальных уравнений (ЛНДУ) и уравнений с переменными параметрами (У 1111);

2. Методика существенного снижения количества членов степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, с помощью перехода в базисы ортогональных полиномов;

3. Новый критерий предварительной оценки точности решения по дифференциальному спектру;

4. Комплекс программ и методика проведения численных экспериментов, доказывающих возможность параметрического синтеза ЛНДУ и Villi большого порядка, использование которых позволило получить следующие результаты впервые:

S исследовать и показать возможность численно-аналитического решения методом ДТП интегро-дифференциальных уравнений с нелинейностями общего вида;

S создать алгоритм расчёта временных характеристик устройств с заданной точностью в виде суммы локальных степенных рядов; ■S дало возможность рассчитать временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами на большом интервале с заданной точностью с помощью теории ДТП;

S исследовать возможность параметрического синтеза ЛНДУ и Villi с помощью ДТП, и показать высокую точность данного подхода. Практическую и теоретическую ценность представляют следующие результаты исследовательской работы.

1. Показана возможность практического использования теории ДТП с помощью современных вычислительных средств.

2. Таблица ДТП, дополняющая и исправляющая аналогичную таблицу Г.Е. Пухова.

3. Построены зависимости области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов для элементарных функций при заданных значениях среднеквадратичного отклонения графиков (СКО), показана линейная зависимость между областью сходимости решения линейных ДУ и количеством членов ряда;

4. Комплекс программ для проведения вычислений дискрет прямым и обратным способами с точностью до десятичных знаков, нахождения области сходимости решения и построения других характеристик при решении ДУ методом ДТП.

5. Алгоритм решения ДУ методом ДТП, имеющий существенный выигрыш в скорости вычислений (до десяти раз при СКО менее НУ8) при повышенных требованиях к точности решения по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка при прочих равных условиях.

Реализация и внедрение результатов работы.

Созданное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение применяется для дальнейшего исследования и развития теории ДТП, для построения переходных характеристик и параметрического синтеза физических устройств, описываемых ЛНДУ и Villi. Результаты работы внедрены и используются в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, в ООО Лаборатории медицинской электроники «Биоток», а также в учебно-исследовательской работе студентов специальностей 220500 — «Проектирование и эксплуатация электронно-вычислительных средств» и 075500 - «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем».

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Исследования возможностей сокращения количества членов ряда, с помощью перехода в другие базисы, проведены совместно с О.В. Стукачом.

По результатам диссертационной работы имеется тринадцать научных публикаций, из них четыре в зарубежных изданиях.

Апробация научных результатов.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 1997 и 2000 гг.; VII международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 2001; DEEE-Российском семинаре по электронным приборам и материалам EDM, Алтай, 2001 и 2003 гг.; международном симпозиуме «PIERS - Прогресс в электромагнитных исследованиях», Япония, 2001; XI международном симпозиуме по теоретической электротехнике, г. Линц, Австрия, 2001; XI и конференции по СВЧ технике COMITE 2001, г. Пардубице, Чехия, 2001; IEEE-Сибирском семинаре по новейшим телекоммуникационным технологиям SIBCOM, Томск, 2001; научных семинарах кафедры комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем ТУСУР «Системы моделирования, проектирования и управления».

Положения, выносимые на защиту:

1. Методология и аналитические выражения для предварительной оценки интервала сходимости решения и оценки его точности.

2. Переход ДТП в различные базисы, позволяющий существенно сократить количество членов ряда полученного решения.

3. Разработанный алгоритм и программное обеспечение, позволяющее рассчитать дискреты дифференциально-тейлоровского спектра с высокой точностью.

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения и приложений. Её содержание изложено на 157 страницах и иллюстрировано 118 рисунками, 7 таблицами. Перечень используемой литературы составляет 89 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Головин, Евгений Дмитриевич

Результаты работы внедрены и используются в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, в ООО Лаборатории медицинской электроники «Биоток», в учебном процессе ТУСУРа и в лабораторных работах по курсу «Вычислительная математика» для студентов специальностей 220500 - «Проектирование и эксплуатация электронно-вычислительных средств» и 075500 - «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», что подтверждено соответствующими актами о внедрении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе, в соответствии с поставленной целью и сформулированными задачами, была разработана методология использования на практике дифференциально-тейлоровских преобразований при расчете временных характеристик и параметрическом синтезе нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами. На основе созданной методологии разработаны алгоритм, критерии и программное обеспечение, подтверждающие работоспособность изложенных результатов.

В ходе проведенных исследований получены следующие результаты.

1. Получено аналитическое выражение для предварительной оценки интервала ограничения степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение. Отсутствие данного критерия приводило к большим вычислительным затратам на численный подбор интервала. Разработанный ПК подтверждает работоспособность критерия для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами.

2. Проверена методика существенного снижения количества членов степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, с помощью перехода в базисы ортогональных полиномов, показана высокая эффективность применения базиса смещенных полиномов Чебышёва, которая позволяет уменьшить количество членов ряда до пяти раз.

3. Предложен новый критерий предварительной оценки погрешности полученного решения, а также исследована и скорректирована работоспособность критерия на основе сравнения двух решений с разным количеством дискрет, что позволяет оперативно контролировать точность решения.

4. Исправлена и дополнена таблица оригиналов и ДТ-изображений.

5. Построены зависимости области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов для элементарных функций при заданных значениях среднеквадратического отклонения графиков (СКО).

6. Сравнение разработанного алгоритма решения ДУ методом ДТП с методом Рунге-Кутта четвертого порядка показало существенный выигрыш в скорости вычислений первого (до десяти раз при СКО менее КГ8) при повышенных требованиях к точности результата и прочих равных условиях. При условии получения результата только в конечной точке выигрыш может составлять более ста раз.

7. Использование разработанного программного комплекса и методики проведения численных экспериментов позволило впервые получить следующие результаты:

S исследована и показана возможность параметрического синтеза ЛНДУ и Villi высокого порядка;

S исследован созданный автором алгоритм нахождения временных характеристик ДУ в виде суммы локальных степенных рядов;

S исследована и показана возможность решения ДУ со сложными функциями методом ДТП.

Таким образом, показана возможность практического использования теории дифференциально-тейлоровских преобразований с помощью современных вычислительных средств.

8. Разработанный комплекс программ написан на языке С++ и позволяет легко компилировать исходный код с незначительными изменениями графического интерфейса для разных платформ, в том числе UNIX, MS-DOS, Windows.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Головин, Евгений Дмитриевич, 2004 год

1. Арушанян О.Б., ЗалбткинС.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. - М.: Изд-во МГУ, 1990. — 336 с. -1.BN 5-211-00957-6.

2. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. Учебник для вузов. — М.: «Энергия», 1969. 424 с.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 199 с.

4. Батенко А.П. Управление конечным состоянием движущихся объектов. -М.: Сов. радио, 1977. 255 с.

5. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е., Саух С.Е. Численные операторные методы решения дифференциальных уравнений и анализа динамических систем. Киев: Наукова думка, 1993. - 263 с.

6. Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи. Изд. 3-е, перераб. и доп. Учеб. пособие для втузов. М.: «Высш. школа», 1977. - 343 с.

7. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.-136 с.

8. Бромвич Т.Дж. Примеры операционных методов в математической физике. Привед. по: Bromwich Т. J. Examples of Operational Methods in Mathematical Physics. - Phil. Mag., 1919, Bd 37, (6), p. 407.

9. Ващенко-Захарченко M.E. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев: Киев, ун-т, 1862.-92 с.

10. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. — 263 с.

11. Гаврилов Л.П. Применение метода степенных рядов к расчету нелинейных цепей. //Изв. вузов. «Радиотехника», 1974, № 7, С. 24-31.

12. Гаврилов Л.П. Аналитический метод расчета электрических цепей с применением ЦВМ. -М.: Изд. МИЭМ, 1975.

13. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели и их применение в строительной механике. Собр. соч.: В 2-х т. - М.: Стройвоенмориздат, 1948. — Т. 2, С. 5-10.

14. ГоловинЕ.Д., Стукач О.В. Моделирование физических процессов с использованием дифференциально-Чебышевских преобразований // Известия Томского политехнического университета. -N 2., т. 306, 2003. С. 12-15.

15. Голубенцев Л.Я. Интегральные методы в динамике. — Киев: Техшка, 1967.-350 с.

16. Гончарский А.В., Черепащук A.M., ЯголаА.Г. Некорректные задачи астрофизики. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-352 с.

17. Девятое Б.Я. Теория переходных процессов в технологических аппаратах с точки зрения задач управления. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН УСССР, 1964. - 323 с.

18. ДёчГ. Теория и применение преобразований Лапласа. Привед. по:

19. Doetsch G. Theorie und Anwendung der Laplace — Transformation. — Berlin: Springer, 1937. 337 c.

20. ДиткинВ.Л., Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению. — М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1951. 255 с.

21. Дифференциальные спектры и модели / Г.Е. Пухов.; Отв. ред. Мартынюк А.А.; АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике. — Киев: Наук. Думка, 1990. -184 с. ISBN 5-12-001820-3.

22. Заездный A.M. Основы расчетов нелинейных и параметрических радиотехнических цепей. -М.: «Связь», 1973.

23. Калахан Д. Методы расчета электронных схем. М.: «Мир», 1970.

24. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: 1976. — 568 с.

25. Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962. —487 с.

26. КарсонД.Р. Электрические нестационарные явления и операционное исчисление. — Харьков; Киев: ГНТИ Украины, 1934. 232 с.

27. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

28. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 459 с.

29. Конторович М.И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1949. - 215 с.

30. Круг К.Л. Основы электротехники. — 3-е изд. — М.; Л.: Госэнергоиздат, 1942.-Т. 2,634 с.

31. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. — Л.: Изд-во АН СССР, 1933. 472 с.

32. Летников Л.В. Теория дифференцирования с произвольным указателем.- М.: Математический сборник, 1868, т. 3, С. 1-68.

33. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: Гостехиздат, 1938. - 432 с.

34. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.1. М.: Мир, 1980.

35. Мелентьев П.В. Приближенные вычисления. — М.: Физматгиз, 1962. — 388 с.

36. Минусинский Я. Операторное исчисление. — М.: Изд-во иностр. лит. 1956.-366 с.

37. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук, думка, 1971.-440 с.

38. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «Раско», 1991.-272 с.:ил. ISBN 5-256-00602-9.

39. Нейман JI.P., ДемирчанК.С. Теоретические основы электротехники. — М.: Энергия, 1966.-522 с.

40. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Учебное пособие. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 344 с.

41. Николенко Д.В. Самоучитель по Visual С++ 6. Под ред. А.А. Малышенко. С.-Пб.: Наука и техника, 2001. - 368 с.

42. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. - 368 с.

43. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 560 с.

44. Подбельский В.В. Язык С++: Учеб. Пособие. 5-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2000. - 560 с.

45. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999. - 336 е.: ил. ISBN 5900916-32-4.

46. Приближенные методы математического моделирования, основанные на применении дифференциальных Т-преобразований / Пухов Г.Е. — Киев: Наук, думка, 1988. 216 с. - ISBN 5-12-009311-6.

47. Пухов Г.Е. Аппроксимационные Т-методы моделирования дифференциальных уравнений. Электрон, моделирование, 1984, № 4, - С. 3-9.

48. Пухов Г.Е. Дифференциальный анализ электрических цепей. — Киев: Наук, думка, 1982.-496 с.

49. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физических процессов. — Киев: Наук. Думка, 1986. — 160 с.

50. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. — Киев: Наук, думка, 1984.-419 с.

51. Пухов Г.Е. Квазикомплексные векторы и их применение в электротехнике. — Техн. электродинамика, 1984, № 4, С. 3—8.

52. Пухов Г.Е. Комплексное исчисление и его применение к расчету периодических и переходных процессов в системах с постоянными, переменными и нелинейными параметрами. — Таганрог: 1956, Т. № 10. — 369 с.

53. Пухов Г.Е. Методы определения функций по их дифференциальным спектрам. Электрон, моделирование, 1987, т.9, №3, С.3-12.

54. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. — Киев: Наук, думка, 1968. 259 с.

55. Пухов Г.Е., Королев Ю.В. Формализация перехода к чебьппевскому базису в дифференциально-тейлоровских преобразованиях // Электронное моделирование. 1988. - Т. 10. №3. - С. 89-91.

56. Светлаков А.А., Васильченко Г.П. Рекуррентный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений большой размерности. — В сб. Корреляционно-экстремальне системы обработки информации и управления. — Томск: Изд-во ТГУ, 1978, вып.З.

57. Симонян С.О. К упрощению вычислительных процедур расщепления линейных динамических систем на основе дифференциально-тейлоровских преобразований // Известия НАН РА и ГИУА 2000. - T.LIII,N3.

58. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Вычисление определителей неавтономных матриц на основе ДТ-формализма // Известия НАН РА и ГИУА. 1999. - T.LII, №1.

59. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Дифференциально-тейлоровская гомотопическая модель систем конечных уравнений // Электронноемоделирование. — 1997. — Т. 19, N 1.

60. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Способ решения линейных неавтономных систем конечных уравнений на основе ДТ-преобразований // Электронное моделирование. — 1997. Т. 19, N 4.

61. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Гюзалян Н.Г. Дифференциально-тейлоровские модели многокритериальных оптимизационных задач. Матер.научно-тех. конф. Ереван, ГИУА, 1998.

62. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Корн Г., Корн Т. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

63. Тарасов B.C. и др. Моделирование технологических процессов с распределенными параметрами. Л.: ЛГТИ им. Калинина, 1978. - 79 с.

64. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Учебное пособие для вузов. Изд. 3-е исправленное. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 288 с.

65. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 232 с. - ISBN 5-02-014135-6.

66. Тэлер Дж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления. — М.; Л.: Энергия, 1964. — 488 с.

67. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы, — М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1952.-271 с.

68. Филиппов Е. Нелинейная электротехника. М.: Энергия, 1976. - 243 с.

69. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Справочник. — Киев: Наук, думка, 1970. — 795 с.

70. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наук.думка, 1972.-743 с.

71. Френкель А. Теория переменных токов. Добавление проф. ЯЛ1. Шпильрейна: «Символический метод Хевисайда»: Перевод с 3-го нем. изд. / Под ред. Я. Н. Шпильрейна. М.; JI.: Госэнергоиздат, 1933. - 474 с.

72. ЦыпкинЯ.З. Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях. — М.: Госэнергоиздат, 1951. — 220 с.

73. Шаммас Н.К. Основы С++ и объектно-ориентированного программирования. К.: Диалектика, 1996. 448 с.

74. Штейнмец Ч.П. Теоретические основания электротехники сильных токов. Спб., 1905. - 307 с.

75. Эфрос A.M., Данилевский A.M. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков; Киев: Госнаучтехиздат Украины, 1937. — 218с.

76. Юрьев М.Ю. Устанавливающиеся режимы в четырехполюсниках с сосредоточенными и распределенными параметрами на основе операторного метода Хевисайда. М.; Л.: ОНТИ, 1936. - 203 с.

77. Heauiside О. Electromagnetic Theory. London: Benn. 1922. - Vol. 1-3.

78. E.D. Golovin, O.V. Stoukatch Solving of Equations of Nonlinear Circuits and

79. Control Systems Basing of Differential Transformations. In "Proceedings of XI International Symposium on Theoretical Electrical Engineering (ISTET)". Linz, Austria, 2001, Volume 1 of 2, P. 329-330.

80. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, Microwave Devices with Invariance Characteristics. "Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)". Osaka, Japan, 2001, p. 133.

81. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, The Phase Invariance p-i-n Diode Attenuator. In "Proceedings of The 11th Conference on Microwave Technique (COMITE)". University of Pardubice, the Czech Republic, 2001, P. 237-239.

82. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, The Use of Differential Transformations in Modeling of Communication Systems. The EEEE-Siberian Workshop "Modern Communication Technologies" (SIBCOM). Proceedings. Tomsk, 2001, P. 63-67.

83. O.V. Stoukatch, E.D. Golovin, A New Operator For The Electromagnetics Characterization In Time Domain. "Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)". Nanjing, China, 2004, p. 189.