Математическое моделирование двухслойных потоков в подшипниках скольжения, сепараторах и течениях по схеме М.А. Лаврентьева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Литвинов, Павел Сергеевич

• Литвинов, Павел Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Литвинов, Павел Сергеевич

1 Аналитический обзор

1.1 Жидкостные, газовые подшипники бесконечной длины. Уравнения Рейнольдса.

1.2 Линейная теория однородных межтарелочных потоков жидкости в центробежных сепараторах.

1.3 Модель М. А. Лаврентьева отрывных течений.

2 Подшипники скольжения с комбинированными несущими слоями

2.1 Модель подшипника с комбинированным несущим слоем. Математическая постановка задачи.

2.2 Вывод основных уравнений.

2.3 Вывод дополнительных условий.

2.4 Комбинированный газожидкостный подшипник. Решение задачи разложением в ряды по относительному эксцентриситету

2.5 Комбинированный жидкостный подшипник.

2.5.1 Решение найденное разложением в ряды по относительной вязкости

2.5.2 Решение найденное разложением в ряды по относительному эксцентриситету.

2.6 Интегральные характеристики.

2.6.1 Комбинированный газожидкостный подшипник.

2.6.2 Комбинированный жидкостный подшипник.

2.7 Комплекс программ по расчету основных характеристик модели газожидкостного подшипника. Сравнение полученных теоретических и экспериментальных зависимостей.

3 Математическая модель двухслойных потоков в межтарелочном пространстве сепаратора

3.1 Математическая постановка задачи.

3.2 Вывод основных уравнений.

3.3 Граничные условия.

3.4 Решение в общем случае.

3.5 Осесимметрический случай задачи

3.5.1 Численное нахождение линии раздела и компонент скоростей

3.6 Характеристика эффективности процесса осаждения частиц

4 Модель М. А. Лаврентьева отрывных течений в ограниченной области с произвольной завихренностью

4.1 Модель А. М. Лаврентьева отрывных течений.

4.2 Модель М. А. Лаврентьева с произвольной ограниченной завихренностью.

4.3 Модельные примеры.

4.4 О численных методах решения задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование двухслойных потоков в подшипниках скольжения, сепараторах и течениях по схеме М.А. Лаврентьева»

Общая характеристика работы

Актуальность исследований. Математическое моделирование является основополагающим методом при решении задач в различных областях науки и техники. Имеется большое количество трудов выдающихся ученых по построению и исследованию таких моделей. Но и в этих моделях имеется большое количество нерешенных задач, представляющих значительный математический и практический интерес. В известной модели отрывных течений, предложенной академиком М. А. Лаврентьевым, нерешенными задачами являются: обоснование и качественные свойства модели для случая произвольной завихренности. Следует отметить, что модель М. А. Лаврентьева объясняет неприемлемость захоронения радиоактивных отходов на дне океана.

При изучении процессов, происходящих в смазочном пространстве жидкостных и газовых подшипников скольжения, а также в межтарелочном пространстве сепараторов и родственных ему аппаратах, имеются математические модели, приводящие к уравнениям Рейнольдса и системе уравнений Е. М. Гольдина. Как в первом, так и во втором случаях предполагается однородность потока— вязкость и плотность постоянна.

В Красноярском государственном техническом университете разработаны конструкции радиальных комбинированных подшипников, у которых рабочий зазор состоит из несущего газового слоя и слоев смазки (А.С. 1042400 СССР, МКИ Р 16 С 17 16, Комбинированный подшипник А. С. Тюриков, С.Н. Шатохин, В. М. Грук. — 2586690. - Заявл.З.09.78.). Они отличаются повышенной несущей способностью, пониженной вибрационной активностью, надежностью работы и долговечностью использования. Такие подшипники находят применение в системах связи и навигации для улучшения качества и условий эксплуатации оборудования, а также для вентиляции отсеков надводных и подводных кораблей, что позволяет значительно снизить шум и вибрацию.

При изучении процессов, происходящих в сепараторах, процесс осаждения частиц рассматривается в однородном потоке. В действительности же, например, в аппаратах разделителях образуются две жидкости (в молочных— обрат и сливки). Поэтому целесообразно рассматривать модель, когда в межтарелочном пространстве происходит движение двух несмешивающихся жидкостей с различными плотностями и вязкостями.

Таким образом, приходим к актуальной задаче построения, обоснования и исследования новых математических моделей двухслойных сред с различными свойствами, позволяющих получать расчеты основополагающих числовых характеристик: для комбинированного подшипника (несущий слой состоит из слоя газа и жидкости или из двух несмешивающихся жидкостей с различными вязкостями и плотностями)— определение скорости, давления, несущей способности, момента трения, для сепараторов и родственных ему аппаратов— определение скорости, давления, критического диаметра осаждаемых частиц.

А также к задаче по обоснованию модели М. А. Лаврентьева в ограниченной области при произвольной завихренности и исследованию ее качественных свойств. Цель работы

Разработка общего подхода к построению и исследованию математических моделей неоднородного потока жидкости. В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение и исследование математической модели комбинированного несущего слоя для подшипников бесконечной длины, когда несущий слой состоит из газа и жидкости или двух несмешивающихся жидкостей с различными плотностями и вязкостями.

2. Построение и исследование новой математической модели неоднородного потока в межтарелочном пространстве сепаратора, состоящего из двух несмешивающихся жидкостей с различными плотностями и вяз костями.

3. Обобщение формулы Бремера для критического диаметра осаждаемой частицы в случае равенства плотностей сред.

4. Исследование модели М. А. Лаврентьева в случае произвольной завихренности.

5. Создание численных методов и программ для расчета и оптимизации основных характеристик построенных моделей.

Научная новизна:

1. Разработана математическая модель комбинированного несущего слоя для подшипников бесконечной длины, когда несущий слой состоит из газа и жидкости или двух несмешивающихся жидкостей с различными плотностями и вязкостями.

2. Построена новая математическая модель неоднородного потока в межтарелочном пространстве сепаратора, состоящего из двух несмешивающихся жидкостей с различными плотностями и вязкостями.

3. Получено обобщение формулы Бремера для критического диаметра осаждаемой частицы в случае равенства плотностей сред.

4. Обоснована модель М. А. Лаврентьева в случае произвольной завихренности и на модельных примерах доказан эффект неединственности течения. В случае, когда завихренность экспоненциальная функция от функции тока получен явный вид двух решений с вихревыми зонами.

5. Созданы программы по расчету и оптимизации основных характеристик модели газожидкостного подшипника. Составлена программа, позволяющая находить линию раздела жидких сред и компоненты скоростей в межтарелочном пространстве сепаратора. Созданы схемы, позволяющие строить различные численные методы нахождения приближенных решений задач модели.

Теоретическая значимость работы отражается в дальнейшем развитии теории математического моделирования, заключающейся в расширении классов моделей неоднородных потоков жидкости, а также в обобщении полученных ранее результатов в теории гидродинамических процессов тонкослойного сепарирования, гидродинамической теории смазки. Обоснована модель М. А. Лаврентьева отрывных течений в ограниченной области с произвольной завихренностью.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования полученных результатов для исследования широкого класса задач анализа и оптимизации работы комбинированного подшипника и сепаратора. Схема обоснования течения жидкости по модели М. А. Лаврентьева дает возможность составления комплекса программ для нахождения численного решения конкретных прикладных задач отрывных течений. Проведенные численные эксперименты по сравнению полученных теоретических данных с экспериментальными показали хорошую согласованность модели с реально действующим подшипником, как в количественном, так и в качественном поведении.

Методы исследования. При построении математических моделей использовалась теория гидродинамических процессов тонкослойного сепарирования и гидродинамическая теория смазки, модели движения вязкой жидкости со свободными границами, теория уравнений математической физики и функциональный анализ.

Программы расчетов числовых характеристик моделей написана на языке программирования Delphi. Для вспомогательных расчетов и предоставления их результатов в графическом виде использовалась система Maple.

Достоверность и обоснованность обеспечена строгой математической постановкой, сравнением результатов расчетов с результатами полученными другими методами и авторами, а также путем сравнения полученных основных числовых характеристик газожидкостных подшипников с соответствующими экспериментальными данными, полученными на опытно-экспериментальной установке. На защиту выносится:

1. Математические модели и их исследование для комбинированных подшипников скольжения бесконечной длины с двухкомпонентным несущем слоем, состоящем из двух несмешивающихся жидкостей или жидкости и газа.

2. Математическая модель и ее исследование течения двухслойных жидких сред, и осаждение частиц в межтарелочном пространстве сепаратора

3. Обоснование модели М. А. Лаврентьева о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости в ограниченной области с произвольной нелинейной завихренностью, и показан эффект неединственности течения на модельном примере.

4. Программы по расчету и оптимизации основных характеристик модели газожидкостного подшипника. Программа, позволяющая находить линию раздела жидких сред и компоненты скоростей в межтарелочном пространстве сепаратора. Схемы, позволяющие строить различные численные методы нахождения приближенных решений задач модели.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

III Международный семинар-совещание "Кубатурные формулы и их приложения" Уфа—Красноярск, КГТУ, 1995,

Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" Красноярск, КГУ, 1997,

V Международный семинар-совещание "Кубатурные формулы и их приложения" Красноярск, КГТУ, 1999,

Международная научная конференция "Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий" Красноярск,

СФУ, 2008,

Научные семинары кафедр "Прикладная математика", "Технология машиностроения ", КГТУ.

Семинары кафедры математического обеспечения дискретных устройств и систем (МОДУС) Сибирского федерального университета.

Научные семинары кафедры "Прикладная математика" Алтайского государственного технического университета имени И. И. Ползунова.

Основные результаты диссертации опубликованы в 14 печатных работах, из них 10 статей (две статьи в журналах из списка ВАК).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Основное содержание изложено на 142 страницах текста, содержит 36 рисунков, 1 таблицу. Список использованных источников включает 100 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Литвинов, Павел Сергеевич, 2009 год

1. Петров Н.П. О применимости разных смазочных масел к механизмам разного рода. //Доклад в Русском техническом обществе 4 сентября 1882 г. Записки Императорского русского технического общества, т. X1., 1882.

2. Петров Н.П. Гидродинамическая теория смазки. АН СССР, 1948. Статья "Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости" (Впервые опубликована в Инженерном журнале, т. XXVII, 1883).

3. Жуковский Н.Е. О гидродинамической теории трения хорошо смазанных твердых тел, Собр. соч. т.IV, 1937. стр. 234-241 (Впервые опубликована в ЖРФХО, т. XVIII, 1886).

4. Зоммерфелъд А. Русский перевод "К гидродинамической теории смазки", Сб. "Гидродинамическая теория смазки "серия "Классики естествознания", ГТТИ, М.—Л.,1934, стр. 363-448.

5. Зоммерфелъд А. К теории трения при смазке, Сб. "Гидродинамическая теория смазки" серия "Классики естествознания", ГТТИ, 1934, стр. 451-476.

6. Тарг К теории трения при смазке, Сб. "Гидродинамическая теория смаз-ки"серия "Классики естествознания", ГТТИ, 1934, стр. 451—476.

7. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1973.- 850 с.

8. Reynolds О. On the theory of librication and its application to Mr. Beauchamp Tower's experiments.— Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1886, vol. 177, pt. 1. Русский перевод: Гидродинамическая теория смазки. М.; J1.: Гостехиздат,1934.

9. Harrison W.J. The hydrodynamic theory of lubrication with special reference to air as a lubricant. Trans. Cambr. Phil. Soc. 22, 39, 1913.

10. Katto Y., Soda N. Theory of lubrication by Compressible Fluid with Special Reference to Air Bearing. Proc. Second Japan Nat. Congr. for Appl. Mech., 267-270 (1952).

11. Ausman J.S. The Fluid Dynamic Theory of Gas Lubricated Bearings. ASME Transactions, 79, 6, Aug., 1218-1224 (1957).

12. Шейнберг С.А. Основы теории и расчета аэродинамических опор. Автореферат на соискание ученой степени д-ра техн. наук. М., 1949.

13. Шейнберг С.А. Газовая смазка подшипников скольжения (теория и расчет). "Трение и износ в машинах". Вып. VIII. Изд. АН СССР, 1953.

14. Копстантинеску В.Н. Газовая смазка. М.: Машиностроение, 1968,- 709 с.

15. С.А. Шейнберг, В.П. Жедъ, М.Д. Шишеев, B.C. Валасанъяп, Н.Д. Заболоцкий. Опоры скольжения с газовой смазкой. М.: Машиностроение, 1979,- 336 е., ил.

16. А.С.1042400 СССР, МКИ F 16 С 17 16, Комбинированный подшипник А. С. Тюриков, С.Н. Шатохин, В. М. Грук. 2586690. - Заявл.3.09.78.

17. Бремер Г. И. Молочные сепараторы. Сб. "Теория, расчет конструкции и производство сельскохозяйственных машин"Сельхозгиз, 1936.

18. Бремер Г. И. Жидкостные сепараторы. Машгиз, 1957.

19. Голъдин А. М. Гидродинамические основы процессов тонкослойного сепарирования / А. М. Гольдин, В. А. Карамзин. М.: Агропромиздат,1985. 263 с.

20. Карамзин В. А., Семенов Е. В. Особенности гидродинамических процессов и периферийном объеме барабана сепаратора. — Труды ВНИЭКИ-продмаш, 1976, № 46, с. 64-69.

21. Голъдин А. М. Гидродинамический поток между тарелками сепаратора.—М.: АН СССР, ОТГН, 1957, №7, с. 80-88.

22. Голъдин А. М. Линейная теория межтарелочных потоков.— Труды ВНИЭКИпродмаш, 1976, № 46, с. 8-24.

23. Голъдин А. М., Карамзин В. А. Поток в узкой щели между вращающимися усеченными конусами, порождаемый изнутри дискретными источниками,-М.: АН СССР, ТОХТ, 1979, т. XII, №2, с. 204-211.

24. Карамзин В. А. Достижения сепараторостроения в СССР ЦНИИТЭИл-сгпищемаш, М„ 1977.—97 с.

25. Карамзин В. А., Семенов Е. В., Новикова Г. Д. К расчету коэффициента уноса сепаратора-осветлителя. — Известия вузов. Пищевая технология, 1978, № 5, с. 131-136.

26. Карамзин В. А. Моделирование процесса центробежного разделения суспензий на тарельчатых сепараторах. — М.: АН СССР, ТОХТ, 1979, т. XII, № 4, с. 621-623.

27. Карамзин В. А., Семенов Е. В. Расчет коэффициента осветления суспензии в шламовом пространстве саморазгружающегося сепаратора. — ЖПХ, 1979, № 7, с. 1552—155Э.

28. Карамзин В. А. Закрученный поток в неподвижном пакете тарелок,—М.: АН СССР, ТОХТ, 1980, т. XIV, № 3, с. 468-472.

29. Карамзин В. А. Влияние начальной закрутки на осесимметричный поток между тарелками сепаратора. — Труды ВНИЭКИпродмаш, 1980, № 54, с. 7-17.

30. Карпычев В. А., Семенов Е. В. Нелинейная задача для осесимметрич-ного потока в межтарелочном пространстве сепаратора. — Труды ВНИ-ИМП, 1974, № 34, с. 31-36.

31. Карпычев В. А., Семенов Е. В. Ламинарный осесимметричный поток в щелевом зазоре между двумя вращающимися конусами. — Труды ВНИ-ИМП, 1974, № 34, с. 36—43.

32. Карпычев В. А., Семенов Е. В. К вопросу об устойчивости потока между тарелками сепаратора.- М.: АН СССР, ТОХТ, т. VII, 1973, № 4, с. 628-631.

33. Кук, Г. А. Процессы и аппараты молочной промышленности / Г. А. Кук. М.: Пищевая промышленность,1973. 768 с.

34. Липатов Н. Н. Сепарирование в молочной промышленности / Н. Н. Липатов. М.: Пищевая промышленность, 1971. 400 с.

35. Лысковцев, И. В. Разделение жидкостей на центробежных аппаратах / И. В. Лысковцев. М.: Машиностроение,1968. 143 с.

36. Ромашов П. Г., Плюшкин С. А. Жидкостные сепараторы. Л.: Машиностроение, 1976. — 256 с.

37. Сурков В. Д. Об автоматическом регулировании распределения жидкости в барабане сепаратора. — Молочная промышленность, 1968, № 8, с. 37-40.

38. Schmitz F. J. Die Verteilung der Milch im Tellerraum der Separatoren. «Die Milchwissenschaft», 1950, N 12.

39. Schmitz C. Zerlegung Reinigung, Journal Z. D. W. D. I. 1926, N 23.

40. Schmitz I. I., Schmitz C. Die Verteilung der Milch und Tellerwischenraume verschiedener Weit in liner Schlendertrommel, «Die Milchwissenschaft». 1951, N 6.

41. Breiter M C., Pohlhausen K. Laminar flow between two parallel rotating disks. Aeronautical research laboratory office of aerospace research United States Air Force. Arlington 12, Virginia, March, 1962, p. 52.

42. Kohler Manfred Die Strömung durch des Spalteelement einer Reibungspumpe. Stromungsmechanik und Stromungsmaschinen. 1971, N 9, p. 24—45.

43. И. И. Вайнштейн, Е. М. Гольдин, В. А. Карамзин, В. К. Юровский Гамма аппаратов, родственных сепаратору-разделителю, и их математическая модель/И. И. Вайнштейн, Е. М. Гольдин, В. А. Карамзин, В. К. Юровский —Труды ВНИЭКИпродмаш, 1981, № 57, с. 30-36.

44. В. И. Альбрехт, И. И. Вайнштейн, Е. М. Гольдин, В. К. Юровский Гидродинамика сепаратора-разделителя с непротекапием через периферию тарелок/В. И. Альбрехт, И. И. Вайнштейн, Е. М. Гольдин, В. К. Юровский. М., АН СССР, ТОХТ, 1981, т. XV, № 6, с. 875-882.

45. Гольдин Е. М. Гидродинамика осветляющих сепараторов с направляющими ребрами и переферийным питанием.—М.: АН СССР, ТОХТ, 1971, т. V, №2, с. 279-287.

46. Гольдин Е. М., Карамзин В. А. Исследования в области гидродинамики жидкости, движущейся между двумя вращающимися конусами.—Труды ВНИЭКИпродмаш, 1975, №40, с. 11-19.

47. Гольдин Е. М., Юровский В. К. Течение жидкости и характеристики осаждения в межтарелочном потоке сепаратора со сплошными направляющими ребрами и гидравлическим затвором на переферии.—М.: АН СССР, ТОХТ, 1982, т. XIV, №5, с. 670-678.

48. Равноделящие траектории и критические частицы в сепараторе-разделителе/В. И. Альбрехт, И. И. Вайнштейн, Е. М. Гольдин, В. К. Юровский].—М.: АН СССР, ТОХТ, 1981, т. XV, №2, с. 212-218.

49. Юровский В. К. Гидродинамика центробежных потоков между коническими тарелками с радиальными перегородками и с асимметричными истоками и стоками.—М.: АН СССР, ТОХТ, 1982, т. XVI, №6, с. 805810.

50. Юровский В. К. Расчет характеристик седиментации в межтарелочном пространстве сепаратора с учетом асимметрии потока. — М.: АН СССР, ТОХТ, т. XVII, 1983, № 2, с. 231-236.

51. Семенов, Е. В. О разделении суспензии в роторе осадительной фильтрующей центрифуги / Е. В. Семенов, В. А. Карамзин, // Теорет. Основы хим. Технологии. 2007. Т. 41. №2 С. 183 190

52. Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем эллиптического типа. М., 1962. 136 с.

53. Лаврентьев М. А. Прикл. мат. и мех., 1966, т. 31, вып. 1, с. 177—182.

54. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М., Наука, 1973. 416 с.

55. Гольдштик М.А. Вихревые потоки.Наука. Новосибирск. 1981. с. 365.

56. Batchelor G. К. A proposal conserning laminar wakes behind bluff bodies at large Reynolds humbers.— J. Fluid Mech., 1956, v. 1, N 4, p. 388-398.

57. Вайиштейн И. И., Юровский В. К. Структура вихревых зон в потоке жидкости. В сб. "Особенности гидротехнического мелиоративного строительства в Сибири". Красноярск, Сиб НИИГиМ, 1979. с. 41-48

58. Вайнштейн И. И. Об одной краевой задаче вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости. Дифференциальные уравнения, т.6, N1, 1970, с. 109-122

59. Вайнштейн И. И. Движение идеальной жидкости с завихренными зонами. Дисс. на соискание степени кандидата физ.-мат.наук . Новосибирск, 1972, с.125.

60. Вайнштейн И. И. Решение задач Коши и Дирихле в квадратурах для гиперболического и эллиптического уравнения Лиувилля. "Вопросы математического анализа"Сборник научных статей. Вып.4. Красноярск. 2001. с. 12-18.

61. Шабат А. Б. Ж. прикл. мех. и техн.физ., 1962, № 4, с. 68—80.

62. Шабат А. Б. Докл. АН СССР, 1963, т. 150, № 6, с. 1242-1245.

63. Садовский В. С. Уч. зап. ЦАГИ, 1970, т. 1, № 4, с. 1-9.

64. Садовский В. С. Уч. зап. ЦАГИ, 1971, т. 2, № 4, с. 117-120.

65. Садовский В. С. Прикл. мат. и мех., 1971, т. 35, № 5, с. 773— 779.

66. Садовский В. С. Уч. зап. ЦАГИ, 1973, т. 4, № 3, с. 75-82.

67. Садовский В. С. Труды ЦАГИ, 1973, вып. 1474, 13 с.

68. Садовский В. С. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1973, т. 4, № 4, с. 120-124.

69. Антонцев С. Н., Лелюх В. Д. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1969, вып. 1, с. 134-153.

70. Плотников П. И. Динамика сплошной среды, 1969, вып. 3, с. 61—69.

71. Вайнштейн И. И., Юровский В. К. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1976, № 5, с. 98-100.

72. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. М., Гостехиздат, 1951. 804 с.

73. Голъдштик М.А. Докл. АН СССР, 1962, т.147, №6, с.1310-1313.

74. Канторович Л. В., Г. П. Акилов Функциональный анализ. ВНУ, 2004, с.816.

75. Шабат А. Б. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1962, № 4, с. 68—80.

76. Шабат А. Б. Докл. АН СССР, 1963, т.150, №6, с.1242-1245.

77. Михлин С.Г. Курс математической физики,М. Наука. 1968.

78. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М. Гостехиздат. 1956. 393 с.

79. Вайнштейн И.К, Гольштик М. А. Докл. АН СССР, 1967, т.173, №6, с.1277-1280.

80. Пухначев В. В. Движение вязкой жидкости со свободными границами / В. В. Пухначев, Новосибирск: НГУД989. 96 с.

81. Андреев В. К. Математическое моделирование конвективных течений / В. К. Андреев, Ю. А. Гапоненко. Красноярск. КрасГУ, 2006. 392 с.

82. Курант Р. Уравнения с частным производными. М., Мир, 1964. 830 с.

83. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2. М.— Л.,Гостехиздат, 1951. 544 с.

84. Хаусдорф О. Теория множеств. М., ОНТИ, 1937. 300 с.

85. Литвинов П. С., Вайнштейн И. И. Течение двухслойных сред с кусочно-постоянными плотностями и вязкостями в межтарелочном пространстве сепаратора. Вестник Красноярского государственного университета. Красноярск. КГУ, 2006, с. 140-147.

86. Литвинов П. С., Вайнштейн И. И. Течение двухслойных сред с кусочно-постоянными плотностями и вязкостями и осаждение частиц в межтарелочном пространстве сепаратора ТОХТ 2008, том 42, № 6, с. 1-7

87. Литвинов П. С., Вайнштейн И. И. Линеаризованная задача о течении двухслойных жидкостей с кусочно-постоянными вязкостями в межтарелочном пространстве сепаратора. "Вопросы математического анализа" Красноярск. КГТУ, 1997,с.21-32.

88. Литвинов П. С. Краевая задача со свободной границей гидродинамической теории двухкомпонентиой смазки. "Вопросы математического анализа" Красноярск. КГТУ, 1999, с. 86-99.

89. Литвинов П. С. Решение одной краевой задачи гидродинамической теории двухкомпонентной смазки разложением по относительному эксцентриситету. V Международный семинар-совещание "Кубатурные формулы и их приложения" КГТУ, Красноярск, 1999. С 22-23

90. Литвинов П. С., Вайнштейн И. И. Модель газожидкостного подшипника скольжения и решение разложением в ряды по относительному эксцентриситету "Вопросы математического анализа" Красноярск. КГТУ, 2006, с. 13-22.

91. Литвинов П. С., Вайнштейн И. И. Течение двухслойных сред с кусочно-постоянными плотностями и вязкостями в межтарелочном пространстве сепаратора. Труды КГТУ. Красноярск. КГТУ, 2006, с. 214-223

92. Литвинов П. С., Вайнштейн И. И. Задача о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости "Вопросы математического анализа" Красноярск. КГТУ, 2007, с. 13-22. (в печати)

93. Литвинов П. СВайнштейн И. И. Задача о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости. Международная научная конференция "Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий" СФУ, 2008,

94. Литвинов П. С., Вайнштейн И. И. Модель М. А. Лаврентьева о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости.// Вестник Сиб ГАУ, №3, 2009 с.1-5.