Математическое моделирование многомасштабных нестационарных процессов в слое катализатора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Язовцева Ольга Сергеевна

• Язовцева Ольга Сергеевна
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Язовцева Ольга Сергеевна

1.1 Объект исследования

1.2 Кинетические модели химических процессов

1.3 Модель процессов на зерне катализатора

1.4 Модель процессов в слое катализатора

1.5 Обезразмеривание

1.6 Гиперболические модели процессов нестационарных процессов

в зерне и слое катализатора

1.7 Расчет параметров модели и теплофизических характеристик процесса

1.7.1 Расчет коэффициентов тепломассообмена

1.7.2 Расчет эффективных характеристик

Выводы по главе

2 Численные методы

2.1 Расчетная сетка и основные обозначения

2.2 Решение уравнений химической кинетики

2.3 Решение уравнений диффузии-конвекции-реакции

2.4 Расчет коэффициента вынужденной конвекции

2.5 Аппроксимация граничных условий на границе зерна катализатора и реакционной смеси

2.6 Решение уравнения теплопроводности

2.7 Решение уравнений тепломассопереноса

Выводы по главе

3 Вычислительный алгоритм на основе принципа геометрического параллелизма

3.1 Описание принципа геометрического параллелизма

3.2 Операции на вычислительном узле

3.3 Ускорение и эффективность алгоритма на основе геометрического параллелизма

3.4 Описание программных модулей

3.4.1 Модуль РЬуэСЬеш

3.4.2 Модуль КАЭЛШ

3.4.3 Модули для задания начально-краевых условий

3.5 Исследовательский код

3.6 Верификация алгоритма

3.6.1 Сравнение с аналитическим решением для одномерной нелинейной задачи

3.6.2 Сравнение с аналитическим решением для двумерной нелинейной задачи

3.6.3 Сравнение с решением, полученным в математическом пакете

Выводы по главе

4 Исследование нестационарного физико-химического процесса в слое катализатора крекинга со сферической формой зерна

4.1 Кинетика окислительной регенерации сферического зерна катализатора крекинга

4.2 Математическая модель окислительной регенерации сферического зерна катализатора крекинга

4.2.1 Вычислительный алгоритм

4.3 Эффективность регуляризации задач

4.3.1 Гиперболическое уравнение

4.3.2 Параболическое уравнение

4.3.3 Сравнение областей устойчивости разностных схем для двух постановок

4.4 Оценка погрешности регуляризации задач

4.4.1 Сферическая система координат

4.4.2 Проверка выполнения материального баланса зерна катализатора

4.4.3 Проверка выполнения теплового баланса зерна катализатора

4.5 Осреднение уравнений для зерна катализатора

4.5.1 Модель с осреднением по зерну уравнения теплопроводности

4.5.2 Модель с полным осреднением по зерну

4.5.3 Сравнительный анализ расчетных результатов

4.6 Математическая модель окислительной регенерации слоя катализатора крекинга

4.7 Вычислительный алгоритм для математической модели окислительной регенерации слоя катализатора крекинга

4.7.1 Разностная схема

4.7.2 Исследование сходимости и устойчивости алгоритма

4.8 Проверка адекватности математической модели и вычислительного алгоритма

4.8.1 Материальный баланс

4.8.2 Тепловой баланс

4.9 Результаты моделирования

Выводы по главе

5 Исследование нестационарного физико-химического процесса в слое катализатора с цилиндрической формой зерна

5.1 Кинетика окислительной регенерации цилиндрического зерна катализатора гидроочистки

5.2 Математическая модель окислительной регенерации цилиндрического зерна катализатора гидроочистки

5.2.1 Анализ моделей в цилиндрической системе координат

5.2.2 Вычислительный алгоритм

5.2.3 Оценка погрешности регуляризации задач для случая цилиндрического зерна

5.2.4 Сравнение постановок задачи в цилиндрической системе координат

5.2.5 Проверка выполнения материального баланса зерна катализатора

5.2.6 Сравнение с приближением сферической формой зерна

5.3 Математическая модель окислительной регенерации слоя катализатора гидроочистки

5.4 Вычислительный алгоритм для математической модели окислительной регенерации слоя катализатора гидроочистки

5.4.1 Разностная схема

5.4.2 Исследование сходимости алгоритма

5.5 Результаты моделирования

Выводы по главе

6 Моделирование динамических и статических режимов течения нестационарного процесса

6.1 Сравнительный анализ различных динамических режимов окислительной регенерации

6.1.1 Сравнение эффективности динамических режимов в лабораторном реакторе

6.1.2 Динамический режим в промышленном реакторе

6.1.3 Исследование динамического режима окислительной регенерации при различных начальных температурах реакционной смеси

6.2 Численное исследование распространения фронта горения в

слое катализатора крекинга

6.2.1 Начальная концентрация кислорода в реакционной смеси 5%, начальная температура газа 480оС, длина слоя катализатора 4 м

6.3 Численное исследование распространения фронта горения в

слое катализатора гидроочистки

6.3.1 Начальная концентрация кислорода в реакционной смеси 21%, начальная температура газа 500оС

6.3.2 Начальная концентрация кислорода в реакционной смеси 5%, начальная температура газа 500°С

6.3.3 Начальная концентрация кислорода в реакционной смеси 1%, начальная температура газа 500°С

6.3.4 Начальная концентрация кислорода в реакционной смеси 21%, начальная температура газа 300°С

6.3.5 Начальная концентрация кислорода в реакционной смеси 5%, начальная температура газа 300°С

6.3.6 Начальная концентрация кислорода в реакционной смеси 1%, начальная температура газа 300°С

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение

Диссертационное исследование направлено на разработку математических моделей нестационарных процессов в неподвижном слое катализатора с учетом формы его зерен на основе многостадийной гетерогенной кинетики, а также построение и программную реализацию эффективных вычислительных алгоритмов для их исследования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование многомасштабных нестационарных процессов в слое катализатора»

Актуальность работы.

В настоящее время в рамках всеобъемлющей цифровизации актуальной проблемой является разработка компьютерного программного обеспечения, нацеленного на комплексное решение задач промышленной химии. Развитие информационных технологий таких, как теории анализа и хранения больших данных, а также прикладных аспектов параллельных вычислений сформировало новое научное направление - суперкомпьютерную вычислительную химию. Ее основой являются сложные многокомпонентные иерархические математические модели химико-технологических процессов, включающие в себя математическое описание многостадийных химических превращений, процессов на зерне и в слое катализатора, в реакторе в целом. Современная вычислительная химия позволяет адекватно описывать процессы в кинетической, внутридиффузионной и внешнедиффузионной областях каталитических процессов, а также учитывать как взаимное влияние разномасштабных моделируемых систем, так и многофакторное внешнее воздействие. При модификации существующего и конструировании новой химической установки на первый план выходят требования ресурсосбережения, экологии и безопас-

ного оптимального ведения процесса с целью получения высококачественных продуктов. Компьютерные аналоги химических реакторов и установок на основе математических моделей высокой адекватности позволят качественно и количественно оценить весь спектр возможных технологических режимов. Это в свою очередь позволит повысить безопасность производства, установить оптимальный технологический регламент работы реакторов и сберечь материальные ресурсы, которые необходимы для проведения натурных пилотных и лабораторных экспериментов.

Классически для разработки моделей химических процессов применяется иерархический подход, задекларированный М.Г. Слинько в работе [1]. Подход заключается в разделении уровней моделирования на кинетическую модель, уровень зерна, слоя и химического реактора или установки. Этот подход нашел свою реализацию в большинстве разрабатываемых моделей физико-химических процессов. Очевидно, что системы уравнений, отвечающие моделям химического производства, сложны в силу своей многокомпонентно-сти и многофакторности. Отдельную проблему представляет сочетание в них процессов, обладающих существенными различиями в характерных временах и размерах. Это приводит к неизбежному упрощению систем уравнений и использованию сокращенных схем реакций [2], исключению конвективного переноса внутри пор зерна катализатора [3], использованию центрально-симметричной постановки уравнений для зерна [4]. Однако, в современной физической химии остро стоит вопрос комплексного исследования систем с учетом их особенностей [5,6] и детализированных химических явлений [7,8].

Исследование сложных физико-химических процессов требует разработки их математических моделей, учитывающих различные явления, и эффектив-

ных вычислительных алгоритмов, позволяющих проводить масштабные расчеты за приемлемое время. Хорошо известна проблема решения задач химической кинетики - жестких нелинейных систем уравнений [9]. При комплексном исследовании моделей также вычислительно трудным этапом является интегрирование параболических уравнений, описывающих явления диффузии и теплопроводности, из-за сильных ограничений на шаг интегрирования по времени. Решением этой проблемы может являться регуляризация уравнений по Б.Н. Четверушкину [10], т.е. добавление в исходное уравнение гиперболического члена - второй производной по времени. Малое отклонение решений преобразованной системы [11] от решений исходной достигается за счет особого выбора малого параметра - множителя добавленного гиперболического члена. Для его расчета использованы характерные времена протекающих процессов. Изменение типа уравнения ослабляет требования малости шага интегрирования по времени.

Таким образом, разработка численного метода для моделирования каталитических процессов с учетом формы зерна катализатора, многостадийных схем химических реакций и сопутствующего им вынужденного конвективного переноса является актуальной задачей.

Литературный обзор

Математическое моделирование нестационарных каталитических процессов актуально на протяжении многих лет. Впервые идея применения математических методов для исследования сложных производственных процессов предложена в работах М.Г. Слинько и Г.К. Борескова [12]. Полученное теоретическое обоснование особенностей сернистого производства актуально до

настоящего времени и применяется не только в отечественной промышленности, но и за рубежом.

Примером постановки задачи моделирования физико-химического процесса служит статья [13]. Здесь отмечена недостаточная изученность основных аспектов гетерогенных химических процессов и приведен пример расчета на основе кинетической модели процесса. Развитие химической промышленности обусловило дальнейшее усложнение моделей в сторону учета тепломассо-переноса в аппаратах [14]. Окончательные результаты этого этапа развития математического моделирования в химии представлены в статье [2].

Дальнейшее развитие математическое моделирование в химии получило в связи с эволюцией численных методов. Это позволило перейти «от общего к частному». Стало возможным исследование процессов на зерне катализатора, что существенно улучшило адекватность математических моделей [15].

Круг ученых, в те или иные годы обращавшихся к использованию математического моделирования как одного из эффективных средств исследования процессов в химических реакторах, достаточно широк.

Книга [16] посвящена расчетам динамики многофазных жидкостных реакторов. Здесь дается математическая постановка задачи моделирования многофазных сред с химическими реакциями. Рассматриваются постановки в основном в обыкновенных дифференциальных уравнениях, что соответствует стационарным уравнениям переноса и диффузии. Приведены аналитические решения некоторых задач, отмечена важность исследования границы раздела фаз, описаны связи кинетических закономерностей с тепломассопереносом.

Работа [17] посвящена адаптации моделирования процессов в реакторах на процессы нефтепереработки. Книга ориентирована на решение конкретных

прикладных задач, решаемых на производстве, и служит примером исследования реальных промышленных аппаратов.

Отдельный вопрос, решаемый ранее с только использованием математического моделирования, - вопрос об устойчивости режимов работы химического реактора. Широко известной в этой области является работа [18], где на примере реакторов идеального смешения проводится исследование устойчивости режимов методами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для класса задач рассмотрено построение функции Ляпунова, посредством которой определены области параметров, отвечающих устойчивости процесса. Некоторым обобщением теоретического исследования устойчивости множества моделей химических аппаратов служит книга [19].

В книге [20] приведены модели реакторов идеального смешения и вытеснения, а также диффузионная модель реактора. На основе качественного исследования моделей проведен анализ стационарных режимов и получены критериальные уравнения для наиболее важных параметров моделей. В работе приведено исследование фазовых портретов систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нелинейному анализу химических процессов также посвящены работы В.И. Быкова. В книге [21] приведен параметрический анализ сложных химических реакций, рассмотрены кинетические, термокинетические и макро-кинетические модели. Статья [22] посвящена исследованию стационарных состояний базовых химических реакций, на основе которого можно осуществить подбор технологических условий для реального химического процесса.

Актуальным вопросом современной науки является повышение продуктивности производства. В частности, сейчас требования химической промышлен-

ности к селективности процессов несравненно выше, чем были несколько лет назад [23]. Для каталитических процессов химии важной характеристикой является структура зерна катализатора. Повышение эффективности катализатора возможно за счет увеличения размера пор с целью расширения его активной поверхности. Это влечёт недопустимое снижение прочности. Решением проблемы повышения каталитической активности видится прогнозирование течения той или реакции в зерне катализатора с использованием программного обеспечения, учитывающего особенности процесса и структуры зерна [5].

Особенностью каталитических процессов является низкая степень наблюдаемости в динамике, т.е. в процессе натурного эксперимента невозможно оценить степень превращения реагентов, их продвижение по порам зерна или разогрев гранулы в данный момент. Как правило, экспериментальное исследование динамики в зерне возможно только при остановке процесса, а оптимизация условий проведения эксперимента достигается за счет многократного его повторения. Очевидно, что это несет существенные материальные издержки, а в случае перегрева зерна катализатора или выброса вредных веществ угрожает безопасности экспериментаторов. Также хорошо известны задачи, связанные с процессами, большое влияние на которые оказывает внутридиффузионное торможение. Предсказание его течения существенно повысит эффективность [24]. Еще одной областью, требующей детального описания физико-химических процессов внутри зерна катализатора, является расчет технологически оптимального размера пор. Как известно, высокопористые катализаторы очень хрупкие и их перевозка зачастую нерентабельна. При этом мелкопористые катализаторы не дают эффективно использовать

внутреннюю поверхность зерна. Предварительный расчет динамики процесса внутри зерна катализатора сможет послужить основой для выбора размера пор и степени пористости катализатора, что облегчит задачу оптимизации производства [25]. На основе результатов расчёта основных характеристик можно сделать вывод об оптимальном размере пор катализатора, температуре газа на входе в реактор, составе реакционной смеси и т.д.

В настоящее время наиболее актуальные вопросы, связанные с применением математических средств в химико-технологической промышленности, лежат в плоскости разработки математических моделей в дифференциальных уравнениях и построения вычислительных алгоритмов для решения уравнений, входящих в модель.

Существенный вклад в развитие математического моделирования физико-химических процессов внес в своих работах Юрий Шаевич Матрос. В его работе [4], посвященной математическому моделированию нестационарных процессов, приведен подробный анализ технологических условий и соответствующих параметров математических моделей, описаны основные особенности течения каталитических процессов. Отмечена актуальность математического моделирования физико-химических процессов не только с точки зрения предсказательного моделирования, но и в условиях необходимости подбора технологических параметров реактора, свойств катализатора и т.д. В качестве примеров исследования реальных промышленных процессов рассмотрены модели на основе одностадийной кинетики без учета изменения реакционного объема.

Работа Ю.Ш. Матроса [26] посвящена анализу возможности искусственного создания нестационарных условий для течения химических реакций в промышленных аппаратах. Здесь с использованием математического модели-

рования предложено исследование различных режимов процессов. На основе теоретических выводов предложены конструкции сложных высокоэффективных контактных аппаратов, позволяющих повысить выход целевых продуктов. Математические выкладки приведены на примере одной необратимой квазистационарной реакции первого порядка.

В работах [2,4] можно выделить единые принципы построения математических моделей нестационарных процессов в слое катализатора:

1. Неприменимость теории подобия для моделирования процессов в контактных аппаратах.

2. Инвариантность частей модели по отношению к масштабу реактора и моменту времени.

Скачок в развитии вычислительной техники вывел на передний план разработку численных моделей, а применение высокопроизводительных вычислений позволило строить масштабные модели для сложных многокомпонентных процессов [27].

Современное развитие математического моделирования физико-химических процессов, в том числе и нестационарных в слое катализатора, связано в первую очередь с численным исследованием моделей и программной реализацией построенных алгоритмов. Это существенно расширяет класс исследуемых процессов, но при этом приводит к новым постановкам задач.

Одним из важнейших вопросов при разработке математической модели является учет тех или иных реальных физико-химических процессов, характеризующих исследуемые объекты и явления. С одной стороны, модель должна наиболее полно отражать реальную ситуацию, с другой - многофакторное воздействие слишком сложно для исследования, зачастую даже параллель-

ные вычислительные алгоритмы не дают приемлемого времени решения задачи. В этом случае на помощь приходят различные допущения и упрощения, например, сокращение количества химических реакций или исключение из рассмотрения некоторых физических явлений.

Среди современных работ, связанных с математическим моделированием физико-химических процессов в слоях катализатора и химических реакторах, наиболее масштабные исследования проводят в Институте катализа СО РАН им. Г.К. Борескова (Россия, г. Новосибирск).

Работа [28] посвящена моделированию анаэробного процесса окислительного дегидрирования пропана при периодическом изменении подачи пропана и воздуха с использованием методики, представленной в работе [26]. На основании результатов расчета сделан вывод об отсутствии необходимости нагрева входного потока газа при правильно подобранных технологических параметрах. Это позволяет сохранить выход целевого продукта при более низких температурах.

В статье [29] на основании данных математического моделирования решена проблема негативного влияния сорбционных процессов на процесс восстановления установки для сжигания отходов.

Статья [30] посвящена исследованию циклического хемосорбционно-каталитического процесса получения серы и водорода. На основе моделирования рециркуляции с использованием гидродинамических моделей получена высокая степень конверсии сероводорода.

Глава монографии [31] обобщает работы [28-30]. В ней приведен основной инструментарий для моделирования определенного класса реакций с возможностью перехода на уровень лабораторной установки или промышленного ре-

актора.

Работа [32] посвящена моделированию процесса окислительной регенерации катализатора. Приведены численные оценки разогрева слоя реактора, хорошо согласующиеся с практически наблюдаемыми явлениями при выжиге кокса из слоя катализатора.

В работа [33] посвящена сравнению кинетических моделей гидрообессери-вания прямогонных газойлей. Различия моделей заключаются в детализации описания серосодержащих соединений. Лучшее совпадение с экспериментальными данными получено для кинетики с учетом различных реакционных способностей составляющих сырья.

Практически значимая модель сжигания топлива в кипящем слое катализатора представлена в статье [34]. Получены условия сжигания топлива при достаточно низких температурах, что позволяет добиться сокращения выбросов нежелательных продуктов реакции при сохранении эффективности процесса.

Исследованию математических моделей каталитических реакций посвящены работы [5,35]. В статье [5] приведена модель регенерации слоя катализатора с учетом структуры пор зерна. Оценки максимальных тепловых забросов в реакторе получены с использованием упрощенных уравнений диффузии-реакции и теплопроводности. В работе [35] приведен анализ численных и аналитических решений, близких к практическим значениям. Исследование выполнено с учетом сорбционных и регенерационных процессов, теплообмена слоев катализатора и газа.

В работе [36] представлена математическая модель для нестационарной конверсии метан-этановой смеси при различных температурах на основе

радикально-цепных превращений. Проведено исследование кинетической модели для схемы реакций, а также ее внедрение в модель дозвукового неизотермического потока в осесимметричной геометрии.

В статье [8] исследован дозвуковой газопылевой химически активный поток путем построения двухфазной математической модели в приближении малых чисел Маха. В математическую модель включен теплообмен между газом и наночастицами. Вычислительный алгоритм для решения уравнений, входящих в модель, позволяет рассчитать химически активный поток, течение реакций в котором подвергнуто воздействию лазерного излучения. Модель позволяет получить иллюстрацию экспериментально наблюдаемого эффекта отрыва температуры частиц от температуры газа и проследить активацию химических реакций, в результате которых из метана образуется этилен и водород.

В работе [37] представлена модель получения реактивных топлив высокой плотности. Решение обратной задачи на основе экспериментальных данных позволило получить кинетические параметры системы. Кинетическая модель положена в основу математической модели каталитического гидрирования углеводородов с учетом изменения реакционного объема.

В статье [38] представлены экспериментальные и теоретические данные по окислению метанола при нестандартной загрузке сырья. Модель трехмерная, учитывает экзотермичность процесса и тепломассообмен в реакторе. В качестве преимущества модели выделен крайне важный процесс диффузии реагентов в пористом катализаторе.

Модель низкотемпературного каталитического удаления оксидов азота из продуктов реакции при постоянном давлении на основе полученной авторами

кинетической модели представлена в [39]. Особенностью является учет пространственных ограничений и температурных режимов реактора. С использованием модели подобрана температура входного потока в условиях ограничений по высоте слоя катализатора и по температуре на выходе.

В работе [40] представлена математическая модель процесса в слое катализатора, описанная обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Слой катализатора одномерен и приближен моделью идеального вытеснения.

Отдельным направлением исследования нестационарных процессов с учетом химических реакций является моделирование процессов горения.

Основы теории горения как отдельной научной единицы заложены в работах Я.Б. Зельдовича [41,42]. В его работах впервые соединены химическая кинетика и тепловой фронт. В дальнейшем эти работы объединены с гидродинамикой [43]. В 1939 году основные оформленные им принципы были применены к процессам ядерного распада, в частности, исследуемое им совместно с Ю.Н. Харитоном цепное деление урана позволило заложить теоретические основы ядерной физики [44].

Исследование фронта горения как тепловых волн на основе работ Я.Б. Зельдовича продолжено в статьях Г.К. Борескова и Ю.Ш. Матроса [45-47]. Для гетерогенных одностадийных реакций приведены аналитические оценки, которые позволяют определить максимальный разогрев слоя в ходе экзотермических превращений, а также рассчитать скорость движения тепловой волны по реактору.

Работа [48] посвящена исследованию распространения волн горения в гетерогенных реакциях путем построения фазовых траекторий с использованием

качественных и численных методов с целью поиска физически обоснованного решения. В статье [49] исследованы тепловые волны при эндотермической необратимой реакции в слое катализатора под воздействием микроволнового излучения. На основе моделирования получены оценки влияния параметров системы на распространение волн. Вопрос распространения бегущей тепловой волны по реактору освещен в статье [50].

Моделирование тепловой волны с использованием диффузионного подхода представлено в работе [51]. Здесь предложена технология парового рифор-минга углеводородов при которой происходит поглощение диоксида углерода в тепловой волне. Данные моделирования подтвердили гипотезу об эффективности такой технологии.

Современные тенденции развития теории горения представлены в работах С.Е. Якуша. В частности, в них описаны математическое моделирование и разработка вычислительных алгоритмов для задач горения реакционной смеси в каналах различной формы. Модели в совей основе содержат уравнения Навье-Стокса. В статье [52] взята их модификация для дозвукового течения с добавлением источниковых членов, отвечающих горению пропана. Работа [53] расширяет построенную модель на детальные схемы горения смеси метана и воздуха в узких каналах. Адаптивные декартовы сетки позволяют уловить развитие неустойчивости как следствия распространения фронта горения. Вычислительные алгоритмы для разработанных моделей построены на основе расщепления по физическим процессам, что адекватно задачам с многостадийной кинетикой. Производные по пространству аппроксимированы с использованием метода конечных элементов, по времени - с использованием явной схемы Эйлера.

В работах А.Р. Касимова исследованы процессы горении и детонации в газовых средах. Для исследования применены как качественные, так и численные методы. Статья [54] посвящена исследованию процессов горения вязкого теплопроводного сжимаемого газа. На основе численного алгоритма предсказано появление бегущих волн в среде. При этом алгоритм построен с применением расщепления по физическим процессам. Работа [55] посвящена численному исследованию динамики детонационной волны в смеси газов с периодически меняющимися свойствами. Модель в основе содержит одномерные уравнения Эйлера для реактивных потоков, а для интегрирования применены схемы WENO и Рунге-Кутты. Получена численная иллюстрация явлений, называемых «языками Арнольда», т.е. показано существование областей синхронизации в реакционной среде.

Круг задач, описываемых уравнениями диффузии-конвекции-реакции, не ограничивается только процессами в химически активных средах. Среди них можно выделить задачи, связанные с гидродинамическими течениями. Подобные исследования проводятся в научной школе А.И. Сухинова [56-60]. В первую очередь исследования нацелены на решение экологических проблем [56] и моделирование динамики популяций [57]. Кинетические члены в уравнениях в данном случае отвечают биологическим и геохимическим процессам [58]. Другим важным направлением является развитие теоретических основ моделирования сложных систем и создание новых численных схем для эффективной их реализации с использованием современной вычислительной техники [59,60].

Подавляющее большинство задач, связанных с кинетическими членами, особенно с многостадийными химическими превращениями, могут быть ре-

шены только с использованием численных методов. Математические модели каталитических процессов многомасштабны по времени и пространству в силу различия в характерных временах процессов и характерных размерах объектов. Ситуация ухудшается в случае учета реакций и массопереноса в порах катализатора. Эффективный коэффициент диффузии для таких процессов зависит от размеров пор, его величина меньше коэффициентов Кнудсеновской и молекулярной диффузий - характерный масштаб достигает 5 • 10-7 м2/с [61]. При высоких скоростях химических реакций это естественным образом приводит к необходимости применения принципа расщепления по физическим процессам [62]. Это эффективное средство снижения вычислительной сложности для разномасштабных задач.

Статья [63] посвящена разработке вычислительного алгоритма с расщеплением по физическим процессам для дозвуковых потоков с учетом химических взаимодействий, теплопроводности и диффузии. Здесь в отдельные этапы выделены расчеты для химических реакций, диссипативных членов и конвективных потоков с использованием трехстадийного метода Рунге-Кутты пятого порядка точности, модифицированной схемы локальных итераций на основе упорядочивания корней полиномов Чебышева и потоков Русанова соответственно.

Эффективное применение расщепления к практическим задачам представлено в работах [64,65]. В статье [64] представлена математическая модель переноса нефти и воды в коллекторе, состоящем из трещин и пор. Существенная нелинейность задачи и ее большая размерность не позволяют решать ее классическими методами. Статья [65] посвящена разработке вычислительного алгоритма для решения уравнений, входящих в построенную модель, на ос-

нове метода матричной прогонки. С использованием расщепления обойдена проблема несогласованности потоков в порах и трещинах. Результатом исследования являются картины распределения давления и температуры в окрестности нефтескважины, что позволят вносить технологические корректировки в процесс для интенсификации добычи.

В статье [66] представлена задача волновой гидродинамики с учетом турбулентности и сложной геометрии области интегрирования. Для расчета применена методика дискретизации с выполнением законов сохранения на границе волны и берега, в основе алгоритма лежит метод расщепления по физическим процессам.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Язовцева Ольга Сергеевна, 2026 год

Литература

1. Слинько М.Г. Моделирование химических реакторов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1968. 95 с.

2. Боресков Г.К., Слинько М.Г. Моделирование химических реакторов // Теоретические основы химической технологии, 1967. Т. 1, № 1. С. 5-16.

3. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2008. 408 с.

4. Матрос Ю.Ш. Нестационарные процессы в каталитических реакторах. Новосибирск: Наука, 1982. 258 с.

5. Kern C., Jess A. Regeneration of coked catalysts - modelling and verification of coke burn-off in single particles and fixed bed reactors // Chemical Engineering Science, 2005. Vol. 60, Is. 15. P. 4249-4264.

6. Заварухин С.Г., Дубинин Ю.В., Языков Н.А., Яковлев В.А. Теоретический метод оценки теплоты сгорания осадка сточных вод при недостатке воздуха // Химия твердого топлива, 2023. № 1. С. 66-72. DOI: 10.31857/S0023117723010115.

7. Белов А.А., Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Моделирование химической кинетики в газах // Математическое моделирование, 2016. Т 28, № 8. С. 46-64. DOI: 10.1134/S2070048217010057.

8. Snytnikov V.N., Peskova E.E., Stoyanovskaya O.P. Mathematical Model of a Two-Temperature Medium of Gas-Solid Nanoparticles with Laser Methane

Pyrolysis // Mathematical Models and Computer Simulations, 2023. Vol. 15, No. 5. P. 877-893. DOI: 10.1134/s2070048223050095.

9. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II. SpringerVerlag, 1996.

10. Chetverushkin B.N., Olkhovskaya O.G., Gasilov V.A. An Explicit Difference Scheme for a Nonlinear Heat Conduction Equation // Mathematical Models and Computer Simulations. 2023. V. 15. P. 529-538. DOI: 10.1134/S2070048223030031.

11. Myshetskaya E.E., Tishkin V.F. Estimates of the hyperbolization effect on the heat equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2015. Vol. 55, No. 8. P. 1270-1275. DOI: 10.1134/S0965542515080138.

12. Боресков Г.К., Слинько М.Г. Расчет трубчатого контактного аппарата для окисления сернистого газа // Химическая промышленность, 1936. Т. 13, № 4. С. 221-225.

13. Боресков Г.К. Физико-химический расчет контактных аппаратов В кн.: Технология серной кислоты. Вып. 1. Одесса, 1935, С. 88-96.

14. Боресков Г.К. Влияние процессов переноса тепла и вещества на скорость контактных реакций // Химическая промышленность, 1947. № 8. С. 221226.

15. Малиновская О.А., Бесков В.С., Слинько М.Г. Моделирование каталитических процессов на пористых зернах. Новосибирск: Наука, 1975. 265 с.

16. Железняк А.С., Иоффе И.И. Методы расчета многофазных жидкостных реакторов. Л.: Химия, 1974. 320 с.

17. Жоров Ю.М. Моделирование физико-химических процессов нефтепереработки и нефтехимии. М.: Химия, 1978. 376 с.

18. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М.: Химия, 1972. 192 с.

19. Перлмуттер Д. Устойчивость химических реакторов (Перевод с англ.). Л.: Химия, 1976. 256 с.

20. Шеплев В.С. Моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: НГУ, 1987. 80 с.

21. Быков В.И., Цыбенова С.Б. Нелинейные модели химической кинетики. М.: Красанд, 2018. 400 с.

22. Naimov A.Ya., Nazanskii S.L., Bykov V.I. Parametric Analysis of a Mathematical Model of a Catalytic Oscillator // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2023. Vol. 57, No. 5. P. 946-951. DOI: 10.1134/s0040579523050494.

23. Снытников В.Н., Снытников Вл.Н., Масюк Н.С., Маркелова Т.В., Пар-мон В.Н. Приборы и техника эксперимента // Combustion Theory and Modelling, 2021. №. 3. P. 129-137.

24. Боресков Г.К., Бесков В.С., Иванов А.А., Малиновская О.А. Роль внут-ридиффузионного торможения для обратимых процессов. // Доклады Академии наук СССР, 1969. Т. 188. № 4. С. 855-858.

25. Zhdanov V.P. Catalytic Conversion of Hydrocarbons and Formation of Carbon Nanofilaments in Porous Pellets // Catalysis Letters, 2022. V. 153. P. 978-983. DOI: 10.1007/s10562-022-04039-7.

26. Матрос Ю.Ш. Каталитические процессы в нестационарных условиях. Новосибирск: Наука, 1987. 228 с.

27. Четверушкин Б.Н., Якобовский М.В. О перспективах развития в России высокопроизводительных вычислений и предсказательного моделирования в современных технологиях // Вестник Российской академии наук, 2021. Т. 91, № 12. С. 1108-1114. DOI: 10.31857/S0869587321120057.

28. Zagoruiko A.N. Simulation of selective reactions' performance in transient regimes with periodical separate feeding of reagents. Case study: Propane oxidative dehydrogenation in adiabatic V-Ti catalyst bed // Chemical Engineering Journal, 2007. Vol. 134, No. 1-3. P. 117-122. DOI: 10.1016/j.cej.2007.03.036.

29. Zagoruiko A. Modeling of reverse-flow reactor for VOC incineration with account of reversible adsorption: The way to minimize the negative influence of desorption phenomena // International Journal of Chemical Reactor Engineering, 2008. Vol. 6, No. 1. P. 1-10. DOI: 10.2202/1542-6580.1872.

30. Zagoruiko A., Mikenin P. Modelling of the cyclic chemisorption-catalytic process for production of elemental sulfur and hydrogen from hydrogen sulfide // Chemical Engineering and Processing - Process Intensification, 2022. V. 181. P. 109169. DOI: 10.1016/j.cep.2022.109169.

31. Zazhigalov S., Elyshev A., Zagoruiko A. Modeling of Unsteady-State Catalytic and Adsorption-Catalytic Processes: Novel Reactor Designs. In: Mathematical Modeling of Complex Reaction Systems in the Oil and Gas Industry. Wiley, 2024. P. 138-167. DOI: 10.1002/9781394220052.ch4.

32. Reshetnikov S.I., Petrov R., Zazhigalov S., Zagoruiko A.N. Mathematical modeling of regeneration of coked Cr-Mg catalyst in fixed bed reactors // Chemical Engineering Journal. 2020. V. 380. P. 122374. DOI: 10.1016/j.cej.2019.122374.

33. Aleksandrov P.V., Reshetnikov S.I., Bukhtiyarova G.A., Noskov A.S. Deep Hydrodesulfurization of Gas Oils with High Sulfur Content: Experiment and Kinetic Modeling // Chemical Engineering Journal, 2022. V. 446. P. 1-11. DOI: 10.1016/j.cej.2022.137059.

34. Dubinin Y.V., Yazykov N.A., Reshetnikov S.I., Yakovlev V.A. Catalytic Combustion of Sulfur-Containing Liquid Fuels in the Fluidized Bed: Experiment and Modeling. Journal of Industrial and Engineering Chemistry, 2021. V. 93. P. 163-169. DOI: 10.1016/j.jiec.2020.09.010.

35. Kern C., Jess A. Design of Unsteady-State Fixed-Bed Processes for Heat Regeneration, Ad-/Desorption, and Gas-Solid Reactions // Chemical Engineering and Technology, 2022. Vol. 45, No. 11. P. 2015-2029.

36. Лашина Е.А., Пескова Е.Е., Снытников В.Н. Математическое моделирование нестационарной температурной конверсии метан-этановых смесей в широком диапазоне температур // Химия в интересах устойчивого развития, 2023. Т. 31, № 3. С. 288-296. DOI: 10.15372/KhUR2023467.

37. Koledina K.F., Gubaidullin I.M., Zagidullin S.G., Koledin S.N., Sabirov D.S. Kinetic Regularities of Hydrogenation of Polycyclic Aromatic Hydrocarbons on Nickel Catalysts // Russian Journal of Physical Chemistry, 2023. V. 97(10). P. 2104-2110.

38. Vernikovskaya N.V., Sheboltasov A.G., Ovchinnikova E.V., Gribovskiy A.G., Chumachenko V.A. Experimental and Theoretical Investigation of the Oxidation of Methanol to Formaldehyde in a Microstructured Slit-Type Catalytic Reactor // Chemical Engineering Journal, 2023. V. 451, No. 1. P. 138368:1-12. DOI: 10.1016/j.cej.2022.138368.

39. Vernikovskaya N., Ivanova Y., Sheboltasov A., Chumachenko V., Isupova L. Modeling of a Two-Bed Reactor for Low-Temperature Removal of Nitrogen Oxides in Nitric Acid Production Catalysts, 2023. V. 13. P. 535:1-15. DOI: 10.3390/catal13030535.

40. Yahyazadeh A., Yahyazadeh H., Khoshandam B., Gorji-Bandpy M. Evaluation of Gas Solid Reactions in Packed Bed Applying Differential Transformation Method // Walailak Journal of Science and Technology, 2014. V. 11. P. 1077-1092. DOI: 10.2004/wjst.v11i12.563.

41. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени // Журн. физ. химии, 1938. Т. 12. С. 100-105.

42. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени // Журн. физ. химии, 1948. Т. 22. С. 27.

43. Зельдович Я.Б. Избранные труды. Химическая физика и гидродинамика. М.: Наука, 1984. 374 с.

44. Зельдович Я.Б., Харитон Ю.Б. К вопросу о цепном распаде основного изотопа урана // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1939. Т. 9. С. 1425.

45. Боресков Г.К., Киселев О.В., Матрос Ю.Ш. Оценки основных характеристик фронта экзотермической реакции в неподвижном слое катализатора // Доклады Академии наук СССР, 1979. Т. 248, № 2. С. 406-408.

46. Боресков Г.К., Матрос Ю.Ш., Киселев О.В. Осуществление каталитических процессов в нестационарных условиях: 1. Тепловой фронт в неподвижном слое катализатора // Кинетика и катализ, 1979. Т. 20, № 3. С. 773-780.

47. Киселев О.В., Матрос Ю.Ш. Распространение фронта горения газовой смеси в зернистом слое катализатора // Физика горения и взрыва, 1980. Т. 16, № 2. С. 25-30.

48. Gerasev A.P. Travelling wave solutions of a mathematical model of the heterogeneous combustion // Heterogeneous Combustion, 2011. P. 139-164.

49. Герасев А.П. Моделирование тепловых волн эндотермической реакции в слое катализатора с нагревом микроволновым излучением // Журнал физической химии, 2013. Т. 87, № 8. С. 1305. DOI: 10.7868/S004445371308013X.

50. Gerasev A.P. Non-equilibrium Thermodynamics of Fast Traveling Waves in a Catalytic Fixed Bed. Emergence of Near-equilibrium Spatiotemporal Dissipative Structure // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 2018. Vol. 43, No. 3. P. 221-235. DOI: 10.1515/jnet-2018-0005.

51. Zagoruiko A.N., Okunev A.G. Sorption-enhanced steam reforming of hydrocarbons with autothermal sorbent regeneration in a moving heat wave of a catalytic combustion reaction // Reaction Kinetics and Catalysis Letters, 2007. Vol. 91, No. 2. P. 315-324. DOI: 10.1007/s11144-007-5168-3.

52. Yakush S., Semenov O., Alexeev M. Premixed Propane-Air Flame Propagation in a Narrow Channel with Obstacles // Energies, 2023. Vol. 16, No. 3. P. 1516. DOI: 10.3390/en16031516.

53. Борисов В.Е., Якуш С.Е. Численное моделирование распространения метанового пламени в зазоре между параллельными пластинами // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2019. № 4. 20 с. DOI: 10.20948/prepr-2019-4. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2019-4.

54. Goldin A.Yu., Magomedov Sh.M., Faria L.M., Kasimov A.R. Study of a qualitative model for combustion waves: Flames, detonations, and deflagration-to-detonation transition // Computers and Fluids, 2024. Vol. 273. P. 106213. DOI: 10.1016/j.compfluid.2024.106213.

55. Goldin A.Yu., Kasimov A.R. Synchronization of detonations: Arnold tongues and devil's staircases // Journal of Fluid Mechanics, 2022. Vol. 946. P. R1. DOI: 10.1017/jfm.2022.581.

56. Атаян А.М., Никитина А.В., Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Математическое моделирование опасных явлений природного характера в мелководном водоеме // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022. Т. 62, № 2. С. 270-288. DOI: 10.31857/S0044466921120048.

57. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Сидорякина В.В., Кузнецова И.Ю., Атаян А.М. Использование параллельных вычислений для оценки процесса переноса загрязняющих веществ в мелководных водоемах // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2024. Т. 24, вып. 2. С. 298-315. DOI: 10.18500/1816-97912024-24-2-298-315.

58. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Белова Ю.В., Кузнецова И.Ю. Аналитическое и численное исследование задачи динамики планктонных популяций при наличии микропластика // Математическое моделирование, 2024. Т. 36, № 3. С. 95-114. DOI: 10.20948/mm-2024-03-07.

59. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Никитина А.В., Атаян А.М., Литвинов

B.Н. Метод решения сеточных уравнений для задач гидродинамики в плоских областях // Математическое моделирование, 2023. Т. 35, № 3.

C. 35-58. DOI: 10.20948/mm-2023-03-03.

60. Sukhinov A., Sidoryakina V. Two-Dimensional-One-Dimensional Alternating Direction Schemes For Coastal Systems Convection-Diffusion Problems // Mathematics, 2021. V. 9, No. 24. P. 3267. DOI: 10.3390/math9243267.

61. Sampath B.S., Ramachandran P.A., Hughes R. Modelling of noncatalytic gas-solid reactions-I. Transient analysis of the particle-pellet model // Chem. Eng. Sci., 1975. Vol. 30. P. 125.

62. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 263 с.

63. Peskova E.E., Yazovtseva O.S. Application of the Explicitly Iterative Scheme to Simulating Subsonic Reacting Gas Flows // Comput. Math. and Math. Phys., 2024. V. 64. P. 326-339. DOI: 10.1134/S0965542524020106.

64. Bobreneva Y.O. Modeling the Piezoconductivity Process of a Two-Phase Fluid System in a Fractured-Porous Reservoir // Mathematical Models and Computer Simulations, 2022. Vol. 14, No. 4. P. 645-653. DOI 10.1134/S2070048222040032.

65. Bobreneva Y.O., Poveshchenko Y., Podryga V.O., Polyakov S.V., Uzyanbaev R.M., Rahimly P.I., Mazitov A.A., Gubaydullin I.M. One Approach to Numerical Modeling of the Heat and Mass Transfers of Two-Phase Fluids in Fractured-Porous Reservoirs // Mathematics, 2023. Vol. 11, No. 18. P. 3991. DOI: 10.3390/math11183991.

66. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Тимофеева Е.Ф., Шишеня А.В. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов // Математическое моделирование, 2012. Т. 24, № 8. С. 32-44.

67. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 197 с.

68. Гавриков М.Б., Таюрский А.А. Численное решение уравнений ионизации методом дробных шагов // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2024. Т. 64, № 8. С. 1398-1408. DOI: 10.31857/S0044466924080058.

69. Кулаева А.В., Арзамасцев А.А. Методы решения неявной разностной схемы для математической модели аутостабилизации температуры биологических объектов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2014. Т. 19, № 2. С. 590-591.

70. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1955. Vol. 3, No. 1. P. 28-41.

71. Karthick S., Subburayan V. Alternative Direction Implicit Method For Solving First Order 2D Hyperbolic Delay Differential Equations // Жур-

нал вычислительной математики и математической физики, 2023. Т. 63, No. 5. С. 763. DOI: 10.31857/S0044466923050113.

72. Шваб А.В., Чепель А.Г. Моделирование закрученного турбулентного течения в сепараторе с биконическими тарелками // Инженерно-физический журнал, 2010. Т. 83, № 2. С. 318-325.

73. Yazovtseva O.S., Gubaydullin I.M., Peskova E.E., Sukharev L.A., Zagoruiko A.N. Computer Simulation of Coke Sediments Burning from the Whole Cylindrical Catalyst Grain // Mathematics, 2023. Vol. 11, No. 3. P. 669. DOI: 10.3390/math11030669.

74. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. Новосибирск: Наука, 1983. 255 с.

75. Gubaydullin I.M., Zhalnin R.V., Masyagin V.F., Peskova E.E., Tishkin V.F. Numerical simulation of propane pyrolysis in a flow chemical reactor under the influence of constant external heating // Math. Models Comput. Simul., 2021. V. 13, No. 3. P. 437-444. DOI: 10.20948/mm-2020-09-08.

76. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

77. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Т. 2. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. 685 с.

78. Галанин М.П., Ходжаева С.Р. Методы решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты тестовых расчетов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2013. № 98. 29 с.

79. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997. 197 с.

80. Butcher J. Coefficients for the study of Runge-Kutta integration processes // Journal of the Australian Mathematical Society, 1963. Vol. 3. P. 185-201. DOI: 10.1017/S1446788700027932.

81. Merson R.H. An operational methods for integration processes // Proc. of Symp. on Data Processing. Weapons Research Establishment. Salisbury, Australia, 1957. P. 239-240.

82. Губайдуллин И.М., Язовцева О.С. Исследование усредненной модели окислительной регенерации закоксованного катализатора // Компьютерные исследования и моделирование, 2021. Т. 13, № 1. С. 149-161. DOI: 10.20537/2076-7633-2021-13-1-149-161.

83. Кнауб Л.В., Новиков А.Е., Шитов Ю.А. Применение метода Рунге-Кутта-Мерсона для решения дифференциальных уравнений химической кинетики // Вестник КрасГАУ, 2010. № 2. С. 19-25.

84. Gubaydullin, I.M., Peskova, E.E., Yazovtseva, O.S., Zagoruiko, A.N. Numerical Simulation of Oxidative Regeneration of a Spherical Catalyst Grain // Mathematical Models and Computer Simulations, 2023. V. 15. P. 485-495. DOI 10.1134/S2070048223030079.

85. Пескова Е.Е., Язовцева О.С., Мустайкин М.С. Численный алгоритм для исследования дозвукого потока с химическими реакциями в присутствии лазерного излучения // Журнал Средневолжского математического общества, 2025. Т. 27, № 2. С. 243-254. DOI: 10.15507/20796900.27.202502.243-254.

86. Zhukov V.T. Explicit methods of numerical integration for parabolic equations // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011. Vol. 3, No. 3. P. 311-332. DOI: 10.1134/S2070048211030136.

87. Zhukov V.T., Feodoritova O.V., Novikova N.D., Duben A.P. Explicit-iterative scheme for the time integration of a system of Navier-Stokes equations // Mathematical Models and Computer Simulations, 2020. V. 12(6). P. 958-968. DOI: 10.1134/S2070048220060174.

88. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

89. Четверушкин Б.Н., Ольховская О.Г. Моделирование процесса лучистой теплопроводности на высокопроизводительных вычислительных системах // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020. Т. 491, № 1. С. 111-114. DOI: 10.31857/S2686954320020083.

90. Yazovtseva O.S. Application of Hyperbolization in a Diffusion Model of a Heterogeneous Process on the Spherical Catalyst Grain // Numer. Analys. Appl., 2024. V. 17. P. 384-394. DOI: 10.1134/S1995423924040074.

91. Язовцева О.С., Пескова Е.Е. Математическое моделирование нестационарного химического процесса в зерне катализатора цилиндрической формы // Вычислительные методы и программирование, 2025. Т. 26, № 2. 129-139. DOI: 10.26089/NumMet.v26r209.

92. Четверушкин Б.Н., Якобовский М.В. Вычислительные алгоритмы и прикладное математическое обеспечение для систем высокой и сверхвысокой

производительности. Образовательный аспект // Вычислительные методы и программирование, 2024. Т. 25. Специальный выпуск. С. 97-106. DOI: 10.26089/NumMet.2024s07.

93. Розенбанд В.И., Мартемьянова Т.М. О роли стефановского потока при гетерогенном воспламенении системы двух полубесконечных сред горючего и окислителя // Физика горения и взрыва, 1977. № 1. С. 29-32.

94. Заварухин С.Г. Математическое моделирование влияния стефанов-ского потока на процесс в зерне катализатора с использованием Mathcad // Кинетика и катализ, 2020. T. 61, № 1. С. 144-148. DOI: 10.31857/S0453881120010141.

95. Гельперин Н.И. Основные процессы и аппараты химической технологии. В двух книгах. М.: Химия, 1981. 812 с.

96. Weekman V.W., Gorring R.L. Influence of volume change on gas-phase reactions in porous catalysts // Journal of Catalysis, 1965. Vol. 4, No. 2. P. 260-270. DOI: 10.1016/0021-9517(65)90017-5.

97. Гремячкин В.М. Уравнения переноса массы в теории массообмена. Москва: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 15 с.

98. www.comsol.ru.

99. Dubinets O.V., Davletova M.R., Gubaydullin I.M., Khannanova G.D., Akhmetov I.V., Islamova G.I. Simulation of the coke burning process on the catalyst grain // Journal of Physics: Conference Series, 2019. V. 1368, No. 4. P. 042068. DOI: 10.1088/1742-6596/1368/4/042068.

100. www.ansys.com.

101. Стадниченко О.А., Снытников В.Н., Снытников В.Н. Математическое моделирование потоков многокомпонентного газа с энергоемкими химическими процессами на примере пиролиза этана // Вычислительные методы и программирование, 2014. Т. 15, № 4. С. 658-668.

102. logos.vniief.ru.

103. mfix.netl.doe.gov.

104. Popov A.A., Lee S.-C., Kuksa P.P., Glickson J.D., Shestov A.A. Fast Parallel Algorithm for Large Fractal Kinetic Models with Diffusion, 2018. DOI: 10.1101/275248.

105. Тихонова М.В., Губайдуллин И.М. Компьютерная обработка химических экспериментов при решении обратных кинетических задач на основе параллельных вычислений // Вестник ОмГУ, 2012. № 2 (64). С. 194-199.

106. Adamov D.P., Fazliev A.Z., Mikhailov S.A. Software for modeling chemical kinetics by parallel programming methods for a computer cluster // Atmospheric and Ocean Optics, 1999. DOI: 10.1117/12.370552.

107. Губайдуллин И.М., Жалнин Р.В., Пескова Е.Е., Стадниченко О.А., Тиш-кин В.Ф. Построение параллельных алгоритмов высокого порядка точности для моделирования динамики реагирующих потоков В сборнике Параллельные вычислительные технологии. XI международная конференция, ПаВТ'2017, г. Казань, 3-7 апреля 2017 г.: короткие статьи и описания плакатов. Издательский центр ЮУрГУ, 2017. C. 288-296.

108. Zazhigalov S.V., Elyshev A., Zagoruiko A.N. Mathematical Modeling of the Adsorption-Catalytic Process with Internal Heater in a Multisectional

Arrangement // Industrial and Engineering Chemistry Research, 2023. V. 62. No. 49. P. 21164-21172.

109. Gordon S., McBride B.J. Computer Program for Calculation of Complex Chemical Equilibrium Compositions, Rocket Performance, Incident and Reflected Shocks, and Chapman-Jouguet Detonations. Washington, NASA, 1976. 136 p.

110. Верниковская Н.В., Трухан С.Н., Покровская С.А. Научные основы инженерного катализа. Компьютерный курс. Новосибирск: НГУ, 2016. 104 c.

111. www.mathcad.com

112. Brown P.N., Byrne G.D., Hindmarsh A.C. VODE: A Variable. C Coefficient ODE Solver // SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1989. V. 10, P. 1038-1051.

113. Yazovtseva O.S., Gubaydullin I.M., Inshakova A.S., Peskova E.E., Rodkina D.A. Investigation of material balance in the model of oxidative regeneration of a spherical grain // Technical Physics, 2023. Т. 68. No. 7. С. 147-149. DOI: 10.1134/S1063784223040072.

114. Yazovtseva O.S. Numerical Study of Wave Processes during Oxidative Regeneration of a Stationary Catalyst Layer // Mathematical Models and Computer Simulations, 2024. Vol. 16, No. S2. P. S272-S281. DOI: 10.1134/S2070048224700972.

115. Язовцева О.С., Губайдуллин И.М., Лапшин И.Г. Осреднение модели химического процесса в слое катализатора со сферической формой зерна // Вычислительные методы и программирование, 2024. Т. 25, No 4. С. 413426. DOI: 10.26089/NumMet.v25r431.

116. Язовцева О.С. Математическое моделирование нестационарного горения коксовых отложений в слое катализатора со сферической формой зерен // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2025. Т. 65, № 6. С. 1045-1056. DOI: 10.31857/S0044466925060158.

117. Язовцева О.С., Пескова Е.Е., Митрюхин И.В. Математическое моделирование нестационарного процесса в слое катализатора с цилиндрической формой зерен // Математическое моделирование, 2025. Т. 37, № 6. С. 3352. DOI: 10.20948/mm-2025-06-03.

118. Язовцева О.С. Математическое моделирование физико-химического процесса в слое катализатора // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2025. Т. 526. № 1. С. 46-53. DOI: 10.7868/S3034504925060081.

119. Yazovtseva O., Grishaeva O., Gubaydullin I., Peskova E. Construction of a Parallel Algorithm for the Numerical Modeling of Coke Sediments Burning from the Spherical Catalyst Grain // Communications in Computer and Information Science, 2022. V. 1618. P. 248-260. DOI: 10.1007/978-3-031-11623-0_17.

120. Yazovtseva O.S., Gubaydullin I.M., Peskova E.E., Usmanova A.A., Zagoruiko A.N. MPI-Based Computational Algorithm for Modeling a Cylindrical Catalyst Grain During Oxidative Regeneration // Communications in Computer and Information Science, 2023. V. 1868. P. 336-350. DOI: 10.1007/978-3-031-38864-4_24.

121. Yazovtseva O., Gubaydullin I., Peskova E., Usmanova A. Parallel Algorithm for Computer Simulation of Burning Off Sulfurous Deposits from a Cylindrical

Catalyst Grain // Communications in Computer and Information Science, 2024. V. 2241. P. 211-223. DOI: 10.1007/978-3-031-73372-7_15.

122. Губайдуллин И.М., Язовцева О.С. Coke_bur-cat_grain: программа для ЭВМ: свидетельство о государственной регистрации RU 2020615855; заявка № 2020615031 от 18.05.2020; опубликовано 03.06.2020.

123. Губайдуллин И.М., Язовцева О.С. Coke_burn_kinetics: программа для ЭВМ: свидетельство о государственной регистрации RU 2021613164; заявка № 2021612199 от 24.02.2021; опубликовано 03.03.2021.

124. Губайдуллин И.М., Загоруйко А.Н., Пескова Е.Е., Язовцева О.С. Coke_burn_grain - программа моделирования процесса выжига кокса на сферическом зерне катализатора: программа для ЭВМ: свидетельство о государственной регистрации RU 2022684001; заявка № 2022682487 от 24.11.2022; опубликовано 09.12.2022.

125. Губайдуллин И.М., Загоруйко А.Н., Пескова Е.Е., Язовцева О.С. Окислительная регенерация цилиндрического зерна «Coke_burn_cyl»: программа для ЭВМ: свидетельство о государственной регистрации RU 2023612404; заявка № 2023610670 от 19.01.2023; опубликовано 02.02.2023.

126. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

127. Arrhenius S. Über die Dissociation der in Wasser gelösten Stoffe // Z. Phys. Chem., 1887. V. 1. P. 631-648. DOI: 10.1515/zpch-1887-0164.

128. Guldberg C.M., Waage P. Studies Concerning Affinity // Journal of Chemical Education, 1986. V. 63, No. 12. P. 1044-1047.

129. Розенбанд В.И., Мартемьянова Т.М. О роли стефановского потока при гетерогенном воспламенении системы двух полубесконечных сред горючего и окислителя // Физика горения и взрыва, 1977. № 1. С. 29-32.

130. Thiele E.W. Relation between catalytic activity and size of particle // Industrial and engineering chemistry, 1939. No. 31(7). P. 916-920.

131. Боресков Г.К., Слинько М.Г. Расчет каталитических процессов в промышленных реакторах // Химическая промышленность, 1960. Т. 37, № 3. С. 17-25.

132. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 432 с.

133. www.maplesoft.com/products/maple/.

134. Масагутов Р.М., Морозов Б.Ф., Кутепов Б.И. Регенерация катализаторов в нефтепереработке и нефтехимии. М.: Химия, 1987. 144 с.

135. Хрисониди В.А., Басманова В.Р. Современные методы регенерации катализаторов, используемых в нефтегазовом синтезе // The Scientific Heritage. 2020. №50-3.

136. Hughes R. Deactivation of catalysts. N.Y., London: Academic Press Publ., 1984. 265 p.

137. Мухленов И.П. Технология катализаторов. Л.: Химия, 1989. 272 с.

138. Заварухин С.Г., Родина В.О. Влияние внутридиффузионного сопротивления на химический процесс в зерне катализатора несферической формы // Кинетика и катализ, 2021. Т. 62 (4). С. 501-506. DOI: 10.31857/S0453881121040158.

139. Губайдуллин И.М. Математическое моделирование динамических режимов окислительной регенерации катализаторов в аппаратах с неподвижным слоем: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Уфа: Институт нефтехимии и катализа АН РБ, 1996.

140. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

141. Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum, 1748. Т. 1. С. 104.

142. Русчев Д.Д. Химия твердого топлива. Л.: Химия. Ленинградское отделение, 1976. 254 с.

143. Курятников В.В. Роль поверхностных свойств диспергированного угля в процессах его воспламенения // Физика горения и взрыва, 1983. Т. 19, № 5, С. 18-21.

144. Ещенко Л.С. Технология катализаторов и адсорбентов. Минск: БГТУ, 2015. 76 с.

145. Wakefield J.P., Lattanzi A.M., Berkeley L., Pecha B., Ciesielski P.N., Capecelatro J. Fast estimation of reaction rates in spherical and non-spherical porous catalysts // Chemical Engineering Journal, 2023. V. 454 (18). DOI: 10.1016/j.cej.2022.139637.

146. Пимерзин А.А., Никульшин П.А., Томина Н.Н., Максимов Н.М., Пи-мерзин А.А. Патент № 2691078 C2. Способ подготовки катализаторов гидрогенизационных процессов к окислительной регенерации. Заявка

№ 2017136879 от 20.10.2017. Опубл. 10.06.2019. Заявитель: Самарский государственный технический университет.

147. Брайнес Я.М. Введение в теорию и расчеты химических и нефтехимических реакторов. М.: Химия, 1976. 232 с.

148. Кафаров В.В., Винаров А.Ю., Гордеев Л.С. Моделирование биохимических реакторов. М.: Лесная промышленность, 1979. 344 с.

149. Янчуковская Е.В. Математическое моделирование химического реактора идеального перемешивания // Известия вузов. Прикладная химия и биотехнология, 2014. № 6 (11). С. 74-80.

150. Шумихин А.Г., Орехов М.С. Метод экспресс-градуировки газоанализаторов в динамическом режиме // Ползуновский вестник, 2013. № 2. С. 9699.