Математическое моделирование неоднородного развития деформационного процесса на различных стадиях пластического течения в низкоуглеродистых сталях и армко-железе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чирков Артём Олегович

• Чирков Артём Олегович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Чирков Артём Олегович

Введение

1 Литературный обзор

1.1 Краткий исторический обзор исследований неустойчивого развития пластического течения

1.2 Стадийность пластического течения и чувствительность сплавов железа к скорости деформирования

1.3 Заключение к главе

2 Математическая постановка задачи деформирования образцов в условиях одноосного растяжения

2.1 Основные уравнения

2.2 Особенности модели при явном учете структуры материалов на мезоуровне

2.3 Особенности математической модели при моделировании скоростной чувствительности армко-железа в условиях одноосного растяжения

2.4 Метод решения краевых задач

2.5 Заключение к главе

3 Численное исследование некоторых закономерностей неустойчивого развития пластического течения при одноосном растяжении образцов

3.1 Исследование влияния параметров определяющего уравнения вида «up -down-up» на длину площадки текучести и скорость распространения фронтов Людерса

3.2 Численное исследование кинетических закономерностей неустойчивого развития пластического течения на стадиях площадки текучести и стадии линейного деформационного упрочнения

3.3 Заключение к главе

4 Численное исследование закономерностей неустойчивого развития пластического течения в сплавах железа с явным учетом микроструктуры при различных скоростях деформирования

4.1 Численный анализ площадки текучести для стали 08пс

4.2 Численное исследование скоростной чувствительность армко -железа

в условиях одноосного растяжения

4.3 Заключение к главе

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование неоднородного развития деформационного процесса на различных стадиях пластического течения в низкоуглеродистых сталях и армко-железе»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы диссертации.

При производстве деталей машин и механизмов, качество конечной продукции значительно снижается за счет неоднородного развития пластической деформации в пределах изготавливаемых деталей. Так, например, при штамповке деталей из низкоуглеродистых сталей зачастую формируются области локализации пластической деформации, известные как «деформации растяжения», которые становятся областями формирования трещин при эксплуатации. Эксперименты, выполненные отдельными коллективами как российских, так и зарубежных ученых убедительно свидетельствуют о том, что неоднородное развитие пластической деформации наблюдается на различных стадиях пластического течения. Хотя данная точка зрения поддерживается не всеми учеными, занятыми в области физики и механики пластического течения, неоднородность развития пластической деформации обуславливает актуальность изучения закономерностей, присущих различным стадиям. Актуальность темы диссертации также обеспечивается необходимостью разработки практических методов контроля неоднородного и неустойчивого развития пластической деформации.

Значительный вклад в исследование процессов неоднородного развития пластической деформации внесли научные коллективы таких российских учёных как А.А. Ильюшин, Ю.Н. Работнов, В.Е. Панин, С.Г. Псахье, В.И. Баженов, А.А. Колесников, Ю.В. Петров и др., чьи работы заложили фундамент для понимания закономерностей пластического течения на различных масштабных уровнях. Также значительный вклад в развитие физики и механики пластического течения внесли коллективы российские ученых М.А. Лебедкина, А. Шибкова, В. Вильдемана, М. Кришталла, О.Б. Наймарка, О.А. Плехова, И.А. Пантелеева, С.В. Панин, Л.Б. Зуева, С.А. Баранниковой, В.И. Данилова, В.А. Скрипняка, П.В. Макарова, Романовой В.А., Балохонова Р.Р., Смолина И.Ю. и др. Существенное развитие теории и экспериментальных исследований локализации деформации выполнены в работах зарубежных исследователей — Г. Людерса, впервые

описавшего появление фронтов локализованной пластической деформации при деформировании мягких сталей; Е.О. Холла и Н. Петча, установивших зависимость напряжения течения от размера зерна; А. Портевена и Ф. Ле Шателье, установивших закономерности динамического деформационного старения; А. Коттрелла, разработавшего дислокационную теорию взаимодействия примесных атомов и дефектов кристаллической решётки, а также Д. Тэйлора, Э. Орована, Н. Кабреры, Ф. Набарро, А. Келли и Р. Хирша и др., внёсших существенный вклад в развитие дислокационной теории пластичности. Работы этих авторов оказали значительное влияние на формирование современных представлений о природе неустойчивости пластического течения и механизмах локализации деформации в металлах.

В диссертационной работе поставлены актуальные научные задачи исследования закономерностей неустойчивого развития пластической деформации в сплавах железа на основе численного моделирования различных стадий пластического течения на различных масштабных уровнях. Решение данных задач позволит углубить понимание фундаментальных механизмов пластичности и существенно дополнить экспериментальные данные.

Предметом исследования в диссертационной работе является эволюция напряженно-деформированного состояния (далее, НДС) в нагруженных образцах низкоуглеродистых сталей и армко-железа, демонстрирующих неоднородное развитие пластического течения при одноосном растяжении, в том числе, при различных скоростях деформирования с применением современных методов математического моделирования.

Объектом исследования являются низкоуглеродистые стали и армко-железа на различных стадиях пластического течения. Отдельный интерес представляют моделирование поздних стадий пластического течения (линейное, параболическое упрочнение, предразрушение) для выявления закономерностей и механизмов формирования очагов разрушения.

Целью работы является выявление закономерностей неоднородного развития деформационных процессов при пластическом деформировании

низкоуглеродистых сталей и армко-железа методами математического моделирования и влияния неоднородности на формирование критических состояний в твердых телах.

В работе были поставлены и решены следующие задачи:

1. Выполнить моделирование распространения фронтов Людерса в образцах низкоуглеродистой стали в условиях одноосного растяжения на макроуровне. Определить характер зависимости длины площадки текучести и скорости распространения фронтов Людерса от параметров определяющего уравнения вида «ир-ёо^^-ир». Сравнить полученные результаты с экспериментальными данными.

2. Разработать модификации математических моделей (на основе ряда ранее опубликованных работ) для описания неоднородного развития деформационного процесса на мезоуровне на стадиях площадки текучести и поздних стадиях пластического течения в образцах из низкоуглеродистых сталей и армко-железа с явным учетом микроструктуры, в том числе, при различных скоростях деформирования.

3. Разработать структурные модели представительных мезообъемов рассматриваемых материалов, в которых распределение зерен по размеру будет соответствовать экспериментальному.

4. Провести серии численных экспериментов по моделированию пластического течения в образцах из низкоуглеродистых сталей и армко-железа с явным учетом микроструктуры, в том числе, при различных скоростях деформирования.

5. Проанализировать результаты моделирования с целью выявления закономерностей неоднородного развития деформационного процесса на стадиях площадки текучести и поздних стадиях пластического течения на мезоуровне.

На защиту выносятся:

1. Совокупность результатов численного моделирования, связывающих длину площадки текучести и скорость распространения фронтов Людерса с параметрами определяющего соотношения вида «ир-ёо^^-ир» (п. 1, 11, 12 паспорта специальности паспорта специальности).

2. Модификация математической модели, позволяющая описывать формирование паттернов локализованного пластического течения, соответствующих различным стадиям пластического течения в низкоуглеродистых сталях и выявляющая механизм распространения фронтов локализованной пластической деформации на мезоуровне (п. 1, 5, 11, 12 паспорта специальности).

3. Модификация математической модели для описания скоростной чувствительности в армко-железе в определенном диапазоне скоростей деформации на основе упрощенного определяющего соотношения релаксационного типа на мезоуровне (п. 1, 5, 11, 12 паспорта специальности).

Научная новизна:

1) установлены зависимости скорости фронтов Людерса, длины площадки текучести от параметров определяющего уравнения «up-down-up» на макроуровне;

2) выполнены модификация и синтез ряда ранее опубликованных математических моделей для описания формирования паттернов локализованного пластического течения на различных стадиях в низкоуглеродистых сталях, в том числе показан механизм распространения фронтов Людерса на мезоуровне;

3) предложено упрощенное определяющее уравнение релаксационного типа, позволяющее сократить вычислительные затраты для описания скоростной чувствительности в армко-железе при одноосном растяжении.

Методы исследований. Разработанные модификации математических моделей основаны на методах и подходах континуальной механики - теориях упругости и пластичности. Основное внимание уделено неоднородному развитию пластической деформации при деформировании образцов низкоуглеродистых сталей и армко-железа на различных масштабных уровнях. Основным методом решения поставленных задач является трехмерная реализация конечно-разностного метода Уилкинса. Для дизайна модели мезообъемов поликристаллических материалов применен метод пошагового заполнения. В работе также применен ряд стандартных методов математической статистики для обработки результатов моделирования.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждается серией проведенных тестовых расчетов, верификацией результатов тестовых расчетов по данным других исследователей, валидацией параметров математических моделей по экспериментальным данным, корректностью физической и математической постановок задач, использованием проверенных численных методов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость заключается в: 1) установлении зависимости скорости фронтов Людерса и длины площадки текучести от параметров определяющего уравнения; 2) разработанных модификациях и синтезе существующих математических моделей механического поведения низкоуглеродистых сталей и армко-железа в поле приложенных воздействий; 3) установленных закономерностях неоднородного развития пластического течения на различных стадиях на основе математического моделирования отклика представительных мезообъемов с явным учетом микроструктуры при одноосном растяжении, в том числе, при различных скоростях деформирования.

Разработанные модификации математических моделей могут быть напрямую использованы в прикладных пакетах инженерного анализа напряженно -деформированного состояния для расчета механического поведения под нагрузкой образцов из низкоуглеродистых сталей и армко-железа, демонстрирующих неоднородное развитие процесса пластического течения.

Публикации и гранты. Представленные в работе результаты получены соискателем при выполнении в качестве основного исполнителя и исполнителя проекта РНФ и проекта РФФИ. Основные результаты работы опубликованы в 14 статьях в российских и зарубежных журналах (7 статей в журналах из списка ВАК и приравненных к ним), из них 4 статьи в журналах первого и второго квартиля, индексируемых в базах данных WoS/Scopиs, 1 статья в журнале третьего квартиля, 2 статьи в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в WoS/Scopиs, 7 тезисов докладов в материалах конференций.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы были представлены и обсуждены на 5 конференциях международного уровня,

проходивших на территории РФ и за ее пределами. Среди них: Международная конференция «Физическая мезомеханика. Материалы с многоуровневой иерархически организованной структурой и интеллектуальные производственные технологии» (Томск, 2020, 2021); 2nd International Workshop on Plasticity, Damage and Fracture of Engineering Materials (Анкара, Турция, 2021); Международная конференция «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2020); XI Международный онлайн симпозиум «Материалы во внешних полях» (Новокузнецк, 2022).

Личный вклад автора заключается в проведении расчетов, обработке результатов расчетов; формулировке основных результатов и выводов по работе. Постановка задач и обсуждения результатов проводились совместно с научным руководителем. В статьях, написанных в соавторстве с научным руководителем, автором выполнен полный объем численного эксперимента, а также обработки, в том числе статистической, результатов моделирования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированных источников. Работа изложена на 117 страницах, в том числе содержит 47 иллюстраций, 7 таблиц, список использованной литературы представлен 123 источниками.

1 Литературный обзор

1.1 Краткий исторический обзор исследований неустойчивого развития

пластического течения

Изучение закономерностей развития пластического течения на различных стадиях его развития имеет важное значение в области физики конденсированного состояния, материаловедения и механики деформируемого твердого тела. Колоссальное число исследований, например [1-8], проведенных за последние более чем 150 лет, позволил объяснить ряд особенностей и закономерностей неустойчивого развития процесса пластического течения. Одним из наиболее ярких проявлений неустойчивого развития процесса пластического течения в металлах являются фронты Людерса. Так, было обнаружено, что фронт Людерса формируется при достижении верхнего предела текучести на макроскопической кривой нагружения. Распространение фронтов (одного или нескольких) вдоль рабочей части нагруженного образца происходит при относительно постоянном уровне напряжений, соответствующем наблюдаемому нижнему пределу текучести материала.

Метастабильность, соответствующая верхнему пределу текучести, связывается с закреплением дислокаций в атмосферах атомов внедрения углерода, азота и других элементов. Это происходит из-за того, что атомы внедрения создают барьеры для движения дислокаций. Таким образом, требуется большее усилие, необходимое для срыва дислокаций, удерживаемых атмосферами примесных атомов, чем для поддержания их дальнейшего движения, что приводит к появлению так называемого «зуба текучести» [9].

Теория Коттрелла, рассматривающая открепление дислокаций как движущий механизм падения предела текучести, хоть и была подвергнута критике в более поздних работах [10-12], обеспечивает общее понимание явления «зуба текучести». Учет тепловых флуктуаций позволил объяснить зависимость предела текучести от температуры и эффект задержки пластического течения. Необходимо

отметить, что в более поздних исследованиях были выявлены и другие механизмы, влияющие на падение предела текучести, такие как сегрегация примесей, миграция границ зерен и даже изменения микроструктуры материала. Тем не менее, теория Коттрелла до сих пор остается важным шагом к пониманию механизмов зарождения пластического течения и эволюции предела текучести в металлах.

Согласно результатам исследований Джонстона и Гилмана [10], падение предела текучести материала связано с интенсивным размножением новых дислокаций в процессе деформации, а не с откреплением существующих.

Джонстон и Гилман в своём экспериментальном исследовании фторида лития и других кристаллов [10] явно показали, что пластическое течение обусловлено плотностью дислокаций и их подвижностью. При этом дислокации, изначально закрепленные примесными атомами, остаются закрепленными в процессе пластического течения. Прямое применение теории Джонстона и Гилмана привело к появлению ряда публикаций, обсуждающих построение определяющих соотношений для пластического течения в низкоуглеродистых сталях и мягком железе [11,39,40].

В моделях из этих работ были сформулированы кинетические уравнения, связывающие скорость пластической деформации с плотностью и скоростью подвижных дислокаций и их долей. Этот подход позволил успешно описать зависимость напряжения течения от скорости деформации для широкого класса материалов, в отличие от классических моделей идеальной пластичности (например, [118]), полностью игнорировавших временные эффекты.

Хан [11] выдвинул гипотезу, согласно которой скорость распространения полосы Людерса определяется скоростью дислокаций, внедряемых в еще не деформированную пластически часть образца. Используя эмпирический закон для зависимости скорости дислокаций от напряжения и простое правило для роста их плотности, он определил скорость пластической деформации. Полученное определяющее уравнение позволило адекватно описать экспериментальные данные: зависимость напряжения от скорости деформации, распределение

пластической деформации вдоль рабочей части образца за фронтом полосы Людерса и время задержки текучести.

Келли и Гиллис [39] разработали определяющие соотношения, учитывающие движение различных групп дислокаций. В отличие от модели Хана, они использовали асимптотические функции для плотности и доли подвижных дислокаций и обобщили модели на трехмерный случай, хотя последующий анализ проводился для одномерной задачи. Кроме того, их уравнение имеет релаксационную форму, что подразумевает пропорциональность напряжений приращению скорости полной деформации и релаксацию напряжений при развитии пластической деформации.

Шиоя и Шиоири [40], в свою очередь, использовали идеи Джонстона и Гилмана и уравнение Хана для изучения процесса текучести в мягких сталях. На основе анализа экспериментальных данных и результатов моделирования авторы пришли к важному выводу: определенные типы неоднородного развития процесса пластического деформирования являются следствием отрицательного наклона диаграммы напряжение-деформация. Эта работа, по-видимому, стала одним из первых предвестников определяющего уравнения типа «up-down-up», широко используемого сегодня для моделирования распространения полос Людерса и неустойчивостей, вызванных фазовыми переходами.

Интересную интерпретацию неустойчивостей типа полос Людерса и Портевена-Ле Шателье (ПЛШ) предложили Кубин и Эстрин [45]. Они рассматривали эти явления как результат кооперативной самоорганизации в нескольких масштабах - микро, мезо и макро. Эволюция плотности дислокаций на микроуровне описывалась набором химико-подобных реакций. Это определяет скорость деформационного упрочнения на мезоуровне. В случае отрицательного деформационного упрочнения на макроуровне проявляются неустойчивости типа полос Людерса (площадка текучести) или ПЛШ (прерывистая текучесть), соответственно.

Айто с соавт. [119] использовали уравнение Хана для выполнения двумерного анализа методом конечных элементов (МКЭ) пластического течения в

мягких сталях. Они показали, что кривые деформирования, полученные методом конечных элементов, хорошо согласуются с кривыми, рассчитанными путем простого интегрирования уравнения Хана. Также было исследовано влияние коэффициента деформационного упрочнения из уравнения Хана на скорость фронта полосы Людерса. Продемонстрировано, что чем меньше коэффициент деформационного упрочнения, тем ниже скорость распространения фронта.

Однако модели, основанные на идеях Джонстона и Гилмана, сохраняют существенный недостаток - они опираются на эмпирическое выражения для скорости дислокаций. Примечательно, что все эмпирические уравнения в цитируемой литературе используют некоторое начальное напряжение в знаменателе выражения для скорости. Это означает, что скорость дислокаций может быть ненулевой даже при относительно низких напряжениях, если специально не вводить ограничение на нулевую скорость при напряжениях ниже начального значения. Для учета отсутствия текучести ниже критического напряжения были предложены модели с кусочно-заданными функциями для скорости дислокаций (например, [60]). Однако этот вопрос остается открытым, поскольку пороговое напряжение для начала движения дислокаций трудно определить экспериментально [49].

Вышеупомянутые работы заложили основу для определяющих соотношений типа «up-down-up», которые использовались для моделирования распространения полос Людерса и других видов деформационных неустойчивостей в ряде исследований 1990-х и начал 2000-х годов (например, [46,58,59, 120])

За последние десять лет так называемое явление «зуба текучести» при пластическом деформировании ряда сплавов железа обсуждалось в многочисленных исследованиях различных материалов и условий нагружения [36, 13-22].

Другими типами неустойчивого развития процесса пластического течения являются фазовые переходы, индуцированные действием повышенных напряжений, а также эффект Портевена-Ле Шателье [15, 23-28]. В отличие от распространения фронтов Людерса, которые наблюдаются на стадии площадки

текучести, эффект Портевена-Ле Шателье проявляется на стадии макроскопического деформационного упрочнения. Тем не менее, эффект Портевена-Ле Шателье проясняет механизм распространения полос локализации, хотя характерные черты и лежащие в основе механизмы отличаются.

В силу бурного развития вычислительных методов и мощностей в последние годы многие публикации посвящены численным исследованиям явлений неустойчивого развития пластического течения и связанных с ним явлений с помощью различных математических моделей. Далее обсуждаются некоторые модели в порядке их появления в литературе за последние 15 лет.

Венман и Чард-Таки [13] откалибровали модель, предложенную в [29], для низкоуглеродистой ферритной стали с учетом различных режимов нагружения. Авторами были проведены испытания на растяжение при различных скоростях деформации. Результаты этих испытаний использовались для определения параметров модели. Откалиброванная модель в дальнейшем была применена для изучения отклика образцов в испытаниях на сжатие. В отличие от моделей, не учитывающих явление зуба текучести, эта модель успешно предсказывает закономерности локализации деформации, а также характер распределения напряжений вблизи шевронного надреза. В областях, где уровень напряжений сравним с нижним пределом текучести, профили напряжений значительно отличаются от предсказанных стандартными моделями упругопластического поведения.

Халлай и Кириакидес [16] разработали математическую модель, основанную на кусочно-линейном определяющем уравнении вида «up-down-up», для низкоуглеродистой стали, подвергнутой изгибу. Результаты моделирования качественно согласуются с экспериментальными наблюдениями и выявили дополнительные детали процесса локализации. Модель воспроизводит распространение фронтов локализованной пластичности в незатронутую ранее пластической деформацией часть образца. Овализация и смятие изогнутого образца возникает с периодичностью возникновения полос локализации.

Романова и соавт. [17] изучали явление мезомасштабной деформации в низкоуглеродистой стали со сварным швом, подвергнутой одноосному нагружению. Микроструктура, представленная зеренным строением поликристаллического материала, была создана для воспроизведения постепенных изменений размера зерен в областях основного металла и зоны термического влияния.

Для описания особенностей распространения фронта полосы Людерса в данном типе стали использовалась модель на основе двух-предельного критерия пластичности. В работе было численно изучено влияние свободной поверхности, границ зерен, а также зон сплавления между основным материалом и зоной термического влияния. Было обнаружено, что несколько видов интерфейсов отвечают за разную степень концентрации напряжений. Фронт Людерса — один из них.

Авторы [4] разработали модель «истинного» поведения материала. В ходе экспериментов было обнаружено, что материалы, в которых происходит явление текучести, характеризуются резким спадом на кривой напряжения-деформации. Во многих случаях последующая пластическая деформация происходит локально в полосах Людерса. Основываясь на результатах экспериментов и численных расчетов, авторы разработали макромеханическую модель, которая призвана объяснить явление зуба текучести.

Модель основана на трех основных аспектах. Во-первых, учитывается наличие «истинного» верхнего предела текучести, который существенно превышает наблюдаемые значения на макроскопической кривой нагружения. Это объясняется тем, что даже незначительные несоответствия в нагружаемых образцах, наличие надрезов и остаточных напряжений приводят к концентрации напряжений и раннему началу пластической деформации. Во-вторых, модель учитывает закономерности деформационного упрочнения материалов. В-третьих, модель учитывает трехосность напряженного состояния, которая неизбежно возникает на переднем крае фронта Людерса и определяет уровень напряжений нижнего предела текучести. Модель описывает изменение угла наклона фронтов

Людерса в испытаниях на растяжение. Характеристики кривой течения при этом согласуется с аналитическими выражениями для наблюдаемых верхних и нижних пределов текучести, рассчитанных на основе теории Кулона-Мора.

Сарма и Анантакришна [24] исследовали взаимосвязь между характеристиками полос локализации, характером и амплитудой зубцов в материалах, демонстрирующих эффект Портевена-Ле Шателье с использованием модели Анантакришны. Авторы обратили внимание на динамическое деформационное старение, которое определяет поведение полос, и сделали выводы о связи между типами полос и характеристиками зубцов. Основанная на так называемом явлении динамического деформационного старения модель способна достаточно хорошо описывать проявляющиеся полосы Портевена-Ле Шателье типов А, В и С, а также условия формирования и переключения режимов, связанных с разной скоростью деформации.

В исследовании обнаружилось, что пространственная и временная корреляции в полосах непрерывно увеличиваются с увеличением скорости деформации от типа С к типу А. Следовательно, характер полос также непрерывно меняется от типа С к типу А, и с ними меняются характеристики зубцов. Даже самое небольшое распространение полосы вызывает небольшие зубцы. Пространственное распространение полос прямо коррелирует с длительностью небольших амплитудных зубцов, что соответствует экспериментальным данным. Таким образом, возможно определить характер пространственного распространения полос, измерив только временной промежуток для зубцов.

Исследование также показало, что средний уровень напряжения, вызывающего небольшие амплитудные зубцы в распространяющихся полосах типа А, остается незначительным и почти постоянным при изменении скорости деформации. В результате распространяющиеся полосы типа А находятся в состоянии критического напряжения. Были представлены объяснения наблюдаемого увеличения уровня пространственной и временной корреляции с повышением скорости деформации. Кроме того, модель предсказывает несколько

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чирков Артём Олегович, 2025 год

Список использованной литературы

1. Lomer W.M. The yield phenomenon in polycrystalline mild steel // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1952. - Vol. 1, is. 1. - P. 64-73.

2. Hall E.O. Yield Point Phenomena in Metals and Alloys / E.O. Hall. - New York: Plenum Press. - 1970. - 296 p.

3. Hallai J.F. Underlying material response for Luders-like instabilities / J.F Hallai, S. Kyriakides // International Journal of Plasticity. - 2013. - Vol. 47. - P. 1-12.

4. Schwab R. On the nature of the yield point phenomenon / R. Schwab, V. Ruff // Acta Materialia. - 2013. - Vol. 61, is. 5. - P. 1798-1808.

5. Johnson D. Microstructural effects on the magnitude of Luders strains in a low alloy steel / D. Johnson, M. Edwards, P. Chard-Tuckey // Materials Science and Engineering: A. - 2015. - Vol. 625. - P. 36-45.

6. Maziere M. Experimental and numerical analysis of the Luders phenomenon in simple shear / M. Maziere, C. Luis, A. Marais [et al.] //International Journal of Solids and Structures. - 2017. - Vol. 106-107. - P. 305-314.

7. Sylwestrowicz W. The deformation and ageing of mild steel / W. Sylwestrowicz, E.O. Hall // Proceedings of the Physical Society. Section B. - 1951. - Vol. 64. - P. 495502.

8. Butler J.F. Luders front propagation in low carbon steels // Journal of the Mechanics and Physics of Solids - 1962. - Vol. 10, is. 4. - P. 313-318.

9. Cottrell A. Dislocation theory of yielding and strain ageing of iron / A. Cottrell, B. Bilby // Proceedings of the Physical Society. Section A. - 1949. - Vol. 62, is. 1. - P. 49-62.

10. Johnston W. Dislocation velocities, dislocation densities, and plastic flow in lithium fluoride crystals / W. Johnston, J. Gilman // Journal of Applied Physics. - 1959. - Vol. 30, is. 2. - P. 129-144.

11. Hahn G. A model for yielding with special reference to the yield-point phenomena of iron and related bcc metals // Acta Metallurgica. - 1962. - Vol. 10, is. 8. -P. 727-738.

12. Elliot R. Absence of yield points in iron on strain reversal after aging, and the bauschinger overshoot / R. Elliot, E. Orowan, T. Udoguchi, A. S. Argon // Mechanics of Materials. - 2004. - Vol. 36, is. 11. - P. 1143-1153.

13. Wenman M. Modelling and experimental characterisation of the Luders strain in complex loaded ferritic steel compact tension specimens / M. Wenman, P. Chard-Tuckey // International Journal of Plasticity. - 2010. - Vol. 26, is. 7. - P. 1013-1028.

14. Shibkov A.A. Nucleation mechanisms of macrolocalized deformation bands / A.A. Shibkov, A.E. Zolotov, M.A. Zheltov // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2012. - Vol. 76. - P. 85-95.

15. Coer J. Piobert-Luders plateau and Portevin-le Chatelier effect in an Al-Mg alloy in simple shear / J. Coer, P. Manach, H. Laurent [et al.] // Mechanics Research Communications. - 2013. - Vol. 48. - P. 1-7.

16. Hallai J. On the effect of Luders bands on the bending of steel tubes. part II: Analysis / J. Hallai, S. Kyriakides// International Journal of Solids and Structures. - 2011.

- Vol. 48, is. 24. - P. 3285-3298.

17. Romanova V. Three-dimensional analysis of mesoscale deformation phenomena in welded low-carbon steel / V. Romanova, R. Balokhonov, S. Schmauder// Materials Science and Engineering: A. - 2011. - Vol. 528, is. 15. - P. 5271-5277.

18. Maziere M. Strain gradient plasticity modeling and finite element simulation of Luders band formation and propagation / M. Maziere, S. Forest // Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 2015. - Vol. 27. - P. 83-104.

19. Vildeman V. Yield delay and space-time inhomogeneity of plastic deformation of carbon steel / V. Vildeman, E. Lomakin, T. Tretiakova // Mechanics of Solids. - 2015.

- Vol. 50, is. 4. - P. 412-420.

20. Cai Y.-L. The influence of specimen thickness on the Luders effect of a 5456 Al-based alloy: Experimental observations / Y.-L. Cai, S.-L. Yang, S.-H. Fu, Q.-C. Zhang // Metals. - 2016. - Vol. 6-120. - 120.

21. Danilov V. Luders deformation of low-carbon steel / V. Danilov, V. Gorbatenko, L. Zuev [et al.] // Steel in Translation. - 2017. - Vol. 47, is. 10. - P. 662668.

22. Danilov V. Kinetics and morphology of Luders deformation in specimens with homogeneous structure and with a weld joint / V. Danilov, V. Gorbatenko, L. Zuev, D. Orlova // Materials Science and Engineering: A. - 2018. - Vol. 714. - P. 160-166.

23. Zhang M. In situ high-energy x-ray diffraction mapping of Luders band propagation in medium-mn transformation-induced plasticity steels / M. Zhang, R. Li., J. Ding [et al.] // Materials Research Letters. - 2018. - Vol. 6, is. 12. - P. 662-667.

24. Sarmah R. Correlation between band propagation property and the nature of serrations in the Portevin-Le Chatelier effect / R. Sarmah, G. Ananthakrishna // Acta Materialia. - 2015. - Vol. 91. - P. 192-201.

25. Wang X. Kinematic and thermal characteristics of Luders and Portevin-Le Chatelier bands in a medium Mn transformation-induced plasticity steel / X. Wang, L. Wang, M. Huang // Acta Materialia. - 2017. - Vol. 124. - P. 17-29.

26. Yang F. On the characteristics of Portevin-le Chatelier bands in cold-rolled 7mn steel showing transformation-induced plasticity / F. Yang, H. Luo, E. Pu [et al.] // International Journal of Plasticity. - 2018. - Vol. 103. - P. 188-202.

27. Jacobs T.R. Characterization of localized plastic deformation behaviors associated with dynamic strain aging in pipeline steels using digital image correlation / T.R. Jacobs, D.K. Matlock, K.O. Findley // International Journal of Plasticity. - 2019. -Vol. 123. - P. 70-85.

28. Zavattieri P.D. Spatio-temporal characteristics of the Portevin-Le Chatelier effect in austenitic steel with twinning induced plasticity / P.D. Zavattieri, V. Savic, L.G. Hector [et al.] // International Journal of Plasticity. - 2009. - Vol. 25, is. 12. - P. 22982330.

29. Zhang S. The morphology of Portevin-le Chatelier bands: finite element simulation for Al-Mg-Si. / S. Zhang, P.G. McCormick, Y. Estrin // Acta Materialia. -2001. - Vol. 49, is. 6. - P.1087-1094.

30. Mao B. Modeling of Luders elongation and work hardening behaviors of ferrite-pearlite dual phase steels under tension / B. Mao, Y. Liao // Mechanics of Materials. - 2019. - Vol. 129. - P. 222-229.

31. Tretyakova T. Investigation of the Portevin-Le Chatelier effect in metals under

additional vibration impact by using the DIC-technique and the IR-analysis / T. Tretyakova, V. Wildemann, M. Tretyakov // Procedia Structural Integrity. - 2019. - Vol. 18. - P. 837-842.

32. Zuev L.B. Autowaves of localized plastic flow, velocity of propagation, dispersion, and entropy / L.B. Zuev, S.A. Barannikova // The Physics of Metals and Metallography. - 2011. - Vol. 112, is. 2. - P. 109-116.

33. Zuev L.B. Experimental study of plastic flow macro-scale localization process: Pattern, propagation rate, dispersion / L.B. Zuev, S. Barannikova // International Journal of Mechanical Sciences. - 2014. - Vol. 88. - P. 1-7.

34. Zuev L.B. Autowave physics of material plasticity / L.B. Zuev, S. Barannikova // Crystals. - 2019. - Vol. 9. - P. 458.

35. Danilov V.I. On the kinetics of localized plasticity domains emergent at the prefailure stage of deformation process / V.I. Danilov, D.V. Orlova, L.B. Zuev // Materials and Design. - 2011. - Vol. 32, is.3. - P. 1554-1558.

36. Vshivkov A. Investigation of mechanical properties of Armco-iron during fatigue test / A. Vshivkov, A. Prokhorov, S. Uvarov, O. Plekhov // Mechanics of Advanced Materials and Modern Processes. - 2016. - Vol. 2, is. 2. - P. 1-7.

37. Armstrong R.W. High strain rate properties of metals and alloys / R.W. Armstrong, S. M. Walley // International Materials Reviews. - 2008. - Vol. 53, is. 3. - P. 105-128.

38. Lugo N. Deformation at variable strain rate of ARMCO iron. / N. Lugo, E.S. Puchi, J.M. Cabrera, J.M. Pardo // Revista de Metalurgia. - 2004. - Vol. 40, is. 2. - P. 139-145.

39. Kelly J.M. Thermodynamics and dislocation mechanics/ J.M. Kelly, P.P. Gillis // Journal of the Franklin Institute. - 1974. - Vol. 297, is. 1. - P. 59-74.

40. Shioya T. Elastic-plastic analysis of the yield process in mild steel / T. Shioya, J. Shioiri // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1976. - Vol. 24, is. 4. - P. 187-204.

41. Lebensohn R.A. A self-consistent anisotropic approach for the simulation of plastic deformation and texture development of polycrystals: Application to zirconium

alloys / R.A. Lebensohn, C. Tomé // Acta Metallurgica et Materialia. - 1993. - Vol. 41 -P. 2611-2624.

42. Segurado J. Multiscale modeling of plasticity based on embedding the viscoplastic self-consistent formulation in implicit finite elements / J. Segurado, R.A. Lebensohn, J. Llorca, C.N. Tomé // International Journal of Plasticity. - 2012. - Vol. 28.

- P. 124-140.

43. Galan-Lopez J. Advanced Crystal Plasticity Modeling of Multi-Phase Steels: Work-Hardening, Strain Rate Sensitivity and Formability / J. Galan-Lopez, B. Shakerifard, J. Ochoa-Avendano, L.A.I. Kestens // Applied Sciences. - 2021. - Vol. 11.

- 6122.

44. Rida A. Understanding the strain rate sensitivity of nanocrystalline copper using molecular dynamics simulations / A. Rida, M. Micoulaut, E. Rouhaud, A. Makke // Computational Materials Science. - 2020. - Vol. 172. - Р. 109294.

45. Kubin L.P. Strain nonuniformities and plastic instabilities / L.P. Kubin, Y. Estrin // Physical Review Applied. - 1988. - Vol. 23, is. 4. - P. 573-583.

46. Shaw J.A. Initiation and propagation of localized deformation in elasto-plastic strips under uniaxial tension / J.A. Shaw, S. Kyriakides // International Journal of Plasticity. - 1997. - Vol. 13, is. 10. - P. 837-871.

47. Makarov P.V. The structure of deformation autosoliton fronts in rocks and geomedia / P.V. Makarov, I.Yu. Smolin, V.A. Zimina // Geodynamics & Tectonophysics. - 2021. - Vol. 12, is. 1. - P. 100-111.

48. Eremin M.O. Microstructure-based finite-difference analysis of the plastic flow in low-carbon steel / M.O. Eremin, A.O. Chirkov, M.V. Nadezhkin, L.B. Zuev // European Journal of Mechanics - A/Solids. - 2022 - Vol. 93. - Р. 104531.

49. Yoshida F. A plasticity model describing yield-point phenomena of steels and its application to FE simulation of temper rolling / F. Yoshida, Y. Kaneda, S. Yamamoto, // International Journal of Plasticity. - 2008.- Vol. 24, is. 10. - P. 1792-1818.

50. Balokhonov R. The computational micromechanics of materials with porous ceramic coatings / R. Balokhonov, A. Zinoviev, V. Romanova, O. Zinovieva // Meccanica. - 2016. - Vol. 51, is. 2. -P. 415-428.

51. Eremin M.O. Evaluation of fracture toughness of ZrO2-3.0 mol% Y2O3 ceramics utilizing wedge splitting loading of double cantilever specimen with a chevron notch / M.O. Eremin, E.E. Deryugin, S. Schmauder // Engineering Failure Analysis. -2020. - Vol. 110. - P. 104409.

52. Makarov P.V. Modelling of the deformation and destruction of a tini-tib2 metal-ceramic composite fabricated by direct laser deposition / P.V. Makarov, R.A. Bakeev, A.Yu. Peryshkin, A.S. Zhukov, M.Kh. Ziatdinov, V.V. Promakhov // Engineering Fracture Mechanics. - 2019. - Vol. 222. - P. 106712.

53. Wilkins M. Computer Simulation of Dynamic Phenomena / M. Wilkins. -Springer-Verlag, 1999. - 246 p.

54. Makarov P. Slow motions as inelastic strain autowaves in ductile and brittle media / P. Makarov, A. Peryshkin // Physical Mesomechanics. - 2017. - Vol. 20, is. 2. -P. 209-221.

55. Taylor G.I. The mechanism of plastic deformation of crystals. part i. theoretical // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. - 1934. - Vol. 145, is. 855. - P. 362-387.

56. Armstrong R.W. Engineering science aspects of the Hall-Petch relation // Acta Mechanica. - 2014. - Vol. 225, is. 4. - P. 1013-1028.

57. Romanova V. Microstructure-based simulations of quasistatic deformation using explicit dynamic approach / V. Romanova, R. Balokhonov, E. Emelianova [et al.] // Facta Universitatis, Series: Mechanical Engineering [S.l.]. - 2019. - Vol. 17, is. 2. - P. 243-254.

58. Tsukahara H. Finite element simulation of the Piobert-Luders behavior in an uniaxial tensile test / H. Tsukahara, T. Iung // Materials Science and Engineering: A. -1998. - Vol. 248, is.1-2. - P. 304-308.

59. Kyriakides S. On the Propagation of Luders Bands in Steel Strips / S. Kyriakides, J.E. Miller // ASME Journal of Applied Mechanics. - 2000. - Vol. 67, is. 4. - P. 645-654.

60. Makarov P.V. Plastic deformation behavior of mild steel subjected to ultrasonic treatment / P.V. Makarov, V.A. Romanova, R.R. Balokhonov // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 1997. - Vol. 28, is. 2. - P. 141-146.

61. Балохонов Р.Р. Иерархическое моделирование деформации и разрушения материалов композиционной структуры : дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Р.Р. Балохонов. - Томск. - 2008. - 306 с.

62. Гилман Д.Д. Микродинамическая теория пластичности / Д.Д. Гилман. -М. : Металлургия, 1972. - С. 18-37.

63. Зуев Л.Б. Физика макролокализации пластического течения / Л.Б. Зуев, В.И. Данилов, С.А. Баранникова. - Новосибирск : Наука, 2008. - 328 с.

64. Lim H. Investigating mesh sensitivity and polycrystalline RVEs in crystal plasticity finite element simulations / H. Lim, C.C. Battaile, J.E. Bishop, J.W. Foulk // International Journal of Plasticity. - 2019. - Vol. 121. -P. 101-115.

65. Kolsky H. Stress waves in solids // Journal of Sound and Vibration - 1964. -Vol. 1, is. 1. - P. 88-110.

66. Barannikova S. Significant correlation between macroscopic and microscopic parameters for the description of localized plastic flow auto-waves in deforming alloys / S. Barannikova, A.V. Ponomareva, L.B. Zuev [et al] // Solid State Communications. -2012. - Vol. 152, is. 9. - P. 784-787.

67. Romanova V.A. A method of step-by-step packing and its application in generating 3d microstructures of polycrystalline and composite materials / V.A. Romanova, R.R. Balokhonov // Engineering with Computers. - 2021. Vol. 37. P 241250.

68. Zonghui H. Quantitative investigation on the individual contribution of twinning and dislocation slip to creep in dilute Mg-Y alloys with various grain sizes / H. Zonghui, Y. Zhang, J. Liang, Y. Li // Journal of Alloys and Compounds. - 2024. - Vol. 990. - Р. 174473.

69. Barannikova S.A. Regularities of macroscopic localization of plastic deformation in the stretching of a low-carbon steel / S.A. Barannikova, D.A. Kosinov, M.V. Nadezhkin [et al.] // Russian Physics Journal. - 2014. - Vol. 57. - P. 396-402.

70. Cottrell A.H. Dislocations and plastic flow in crystals / A.H. Cottrell. - Oxford: Oxford University Press. - 1953. - 234 p.

71. Saraev Yu.N. Distribution of residual stresses in welded joint in 09G2S steel produced by adaptive pulsed-arc welding / Yu.N. Saraev, V.P. Bezborodov, A.A. Grigoyeva [et al.] // Welding International. - 2014. - Vol. 29 - P. 131-134.

72. Zerovnik A. The yield-point phenomenon and cyclic plasticity of the uniaxially loaded specimens / A. Zerovnik, V. Pepel, I. Prebil, R. Kunc // Materials & Design. -2016. -Vol. 92 - P. 971-977.

73. Avril S. Identification of elastovisco-plastic parameters and characterization of Lüders behavior using digital image correlation and the virtual fields method / S. Avril, F. Pierron, M.A. Sutton, J. Yan // Mechanics of Materials. - 2008. - Vol. 40 - P. 729742.

74. Zuev L.B. Elaboration of speckle photography techniques for plastic flow analysis / L.B. Zuev, V.V. Gorbatenko, K.V. Pavlichev // Measurement Science and Technology. - 2010. - Vol. 21. - P. 054014-18.

75. Mudrock R.N. Strain-rate fluctuations during macroscopically uniform deformation of a solution-strengthened alloy / R.N. Mudrock, M.A. Lebyodkin, P. Kurath [et al.] // Scripta Materialia. - 2011. - Vol. 65. - P. 1093-1096.

76. Lebyodkin M.A. On the similarity of plastic flow processes during smooth and jerky flow: Statistical analysis / M.A. Lebyodkin, N.P. Kobelev, Y. Bougherira [et al.] // Acta Materialia. - 2012. - Vol. 60, is. 9. - P. 3729-3740.

77. Roth A. On the critical strain for the onset of plastic instability in an austenitic FeMnC steel / A. Roth, T.A. Lebedkina, M.A. Lebyodkin // Materials Science and Engineering: A. - 2012. - Vol. 539. - P. 280-284.

78. Zhang X. Experimental study on rate dependence of macroscopic domain and stress hysteresis in NiTi shape memory alloy strips / X. Zhang, P. Feng, Y. He [et al.] // International Journal of Mechanical Sciences. - 2010. - Vol. 52, is. 12. - P. 1660-1670.

79. Schwaiger R Some critical experiments on the strain-rate sensitivity of nanocrystalline nickel / R. Schwaiger, B. Moser, M. Dao [et al] // Acta Materialia. - 2003. - Vol. 51. - P. 5159-5172.

80. Conrad H. Mechanism for grain size hardening and softening in Zn / H. Conrad, J. Narayan // Acta Materialia. - 2002. - Vol. 50. - P. 5067-5078.

81. Jang D. Grain size dependence of plastic deformation in nanocrystalline iron / D. Jang, M. Atzmon // Journal of Applied Physics. -2003. - Vol. 93. - P. 9282-9286.

82. Keller C. Hall-Petch behavior of Ni polycrystals with a few grains per thickness / C.Keller, E. Hug // Materials Letters. - 2008. - Vol. 62. - P. 1718-1720.

83. Rupert T.J. Strain localization in a nanocrystalline metal: Atomic mechanisms and the effect of testing conditions // Journal of Applied Physics. - 2013. - Vol. 114, is. 3. - 033527.

84. Peng L. A constitutive model for metal plastic deformation at micro/meso scale with consideration of grain orientation and its evolution / L. Peng, Z. Xu, Z. Gao, M. Fu // International Journal of Mechanical Sciences. - 2018. - Vol. 138-139. - P. 74-85.

85. Leu D.-K. Modeling of Size Effect on Tensile Flow Stress of Sheet Metal in Microforming // Journal of Manufacturing Science and Engineering. 2008. - Vol. 131, is. 1. - P. 011002.

86. Lai X.M. Material behavior modelling in micro/meso-scale forming process with considering size/scale effects. / X.M. Lai, L.F. Peng, P. Hu [et al.] // Computational Materials Science. - 2008. - Vol. 43. - P. 1003-9.

87. Emelianova E.S. Plastic strain localization in polycrystalline titanium. numerical simulation / E.S. Emelianova, V.A. Romanova, R.R. Balokhonov, M.V. Sergeev // Russian Physics Journal. - 2020. - Vol. 62, is. 9. - P. 1539-1551.

88. Ma A. Studying the effect of grain boundaries in dislocation density based crystal-plasticity finite element simulations / A. Ma, F. Roters, D. Raabe // International Journal of Solids and Structures. - 2006. - Vol. 43, is. 24. - P. 7287-7303.

89. Marchenko A. Crystal plasticity simulation of strain aging phenomena in phB±-titanium at room temperature / A. Marchenko, M. Maziere, S. Forest, J.-L. Strudel // International Journal of Plasticity. - 2016. - Vol. 85. - P. 1-33.

90. Toribio J. Influence of Microstructure on Strength and Ductility in Fully Pearlitic Steels / J. Toribio, B. González, J.-C. Matos, F.-J. Ayaso // Metals. - 2016. -Vol. 6. - P. 318.

91. Kostina A. The Entropy of an Armco Iron under Irreversible Deformation / A. Kostina, O. Plekhov // Entropy. - 2015. - Vol. 17, is. 1. - P. 264-276.

92. Hutchinson J.W. Plastic deformation of bcc polycrystals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1964. - Vol. 12. - P. 25-33.

93. Rosenfield A.R. The significance of ^, the friction stress contribution to the yield point of b.c.c. metals // Journal of institute of metals. - 1962. - Vol. 91. - P. 104.

94. Hollomon J.H. Tensile Deformation // Transactions of the Metallurgical Society of AIME. - 1945. - Vol. 162. - P. 268-290.

95. Takaki S. Review on the hall-petch relation in ferritic steel // Materials Science Forum. - 2010. - Vol. 654 - P. 11-16.

96. Szkopiak Z.C. The hall-petch parameters of niobium determined by the grain size and extrapolation methods // Materials Science and Engineering. - 1972. - Vol. 9. -P. 7-13.

97. Suits J.C. Plastic microstrain in silicon-iron / J.C. Suits, B. Chalmers // Acta Metallurgica. - 1961. - Vol. 9, is. 9. - P. 854-860.

98. Carrington W.E. Slip nuclei in silicon-iron / W.E. Carrington, D. McLean // Acta Metallurgica. - 1965. - Vol. 13, is. 5. - P. 493-499.

99. Beckert M. Handbuch der metallographischen Atzverfahren / M. Beckert, H. Klemm - Leipzig: VEB Deutscher Verlag, 1984. - 400 S.

100. Armstrong R.W. The Dislocation Mechanics of Crystal/Polycrystal Plasticity // Crystals. - 2022. - Vol. 12. - P. 1199.

101. Mucha M. Experiments and numerical simulations of Lueders bands and Portevin-Le Chatelier effect in aluminium alloy AW5083/ M. Mucha, L. Rose, B. Wcislo [et al] // Archives of Mechanics. - 2023 - Vol. 75, №. 3. - P 301-336.

102. Al-Abbasi F.M. Predicting the deformation behavior of ferrite-pearlite steels using micro mechanical modeling of cells // Mechanics of Materials. - 2013. - Vol. 63, is. 15. -P. 48-64.

103. Allain S. Microstructure based modeling for the mechanical behavior of ferrite-pearlite steels suitable to capture isotropic and kinematic hardening / S. Allain, O.

Bouaziz // Materials Science and Engineering: A. -2008. - Vol. 496, is. 1-2. - P. 329336.

104. Amirmaleki M. 3D micromechanical modeling of dual phase steels using the representative volume element method / M. Amirmaleki, J. Samei, D.E. Green [et al.] // Mechanics of Materials. - 2016. - Vol. 101. - P. 27-39.

105. Bouquerel J. Microstructure-based model for the static mechanical behaviour of multiphase steels / J. Bouquerel, K. Verbeken, B.C. De Cooman // Acta Materialia. -2006. - Vol. 54, is. 6. - P. 1443-1456.

106. Choi S.-H. The effect of crystallographic orientation on the micromechanical deformation and failure behaviors of DP980 steel during uniaxial tension / S.-H. Choi, E.-Y. Kim, W. Woo [et al.] // International Journal of Plasticity. - 2013. - Vol. 45. - P. 85-102.

107. Enomoto M. A model for lüders band formation and plastic instability in iron related with the strain softening due to the Johnston-Gilman-Hahn theory / M. Enomoto, E. Furubayashi // Scripta Metallurgica. -1979. - Vol.13, is. 2. - P. 113-117.

108. Gutiérrez I.Work-hardening of ferrite and microstructure-based modelling of its mechanical behaviour under tension / I. Gutiérrez, M.A. Altuna // Acta Materialia. -2008. - Vol. 56, is. 17. - P. 4682-4690.

109. Sodjit S. Microstructure based prediction of strain hardening behavior of dual phase steels / S. Sodjit, V. Uthaisangsuk // Materials & Design. - 2012. - Vol. 41. - P. 370-379.

110. Suh D.-W. FEM Modeling of Flow Curves for Ferrite/Pearlite Two-Phase Steels / D.-W. Suh, J.-H. Bae, J.-Y. Cho [et al.] // ISIJ International. - 2001. - Vol.41, is. 7. - P. 782-787.

111. Zimina V.A. Features of the stress state of porous brittle materials under tensile conditions / V.A. Zimina, I.Yu. Smolin // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2022. - Is. 2. - P.35-44.

112. Armstrong R.W. Flow stress/strain rate/grain size coupling for fcc polycrystals / R.W. Armstrong, P. Rodriguez // Philosophical Magazine. - 2006. - Vol. 86 - P. 5787-5796.

113. Gurses E. Constitutive modeling of strain rate effects in nanocrystalline and ultrafine grained polycrystals / E.Gurses, T.E. Sayed // International Journal of Solids and Structures. - 2011. - Vol. 48, is. 10. - P. 1610-1616.

114. Zhang Y.T. Prediction of the Luders band if fine grained steel strips under uniaxial tension / Y.T. Zhang, T. Ao, W. Jiao, Y.H. Cui // Computational Materials Science. - 2008. - Vol. 41. - P. 547-552.

115. Yu K. A method for determining r-value of aluminium sheets with Portevin-Le Chatelier effect / K. Yu, L. Hou, M. Guo [et al.] //Materials Science & Engineering A.

- 2021. - Vol. 814. - Р. 141246.

116. Sun H.B. Effect of strain rate on Luders band propagating velocity and Luders strain for annealed mild steel under uniaxial tension / H.B. Sun, F. Yoshida, M. Ohmori, X. Ma // Materials Letters. - 2003. - Vol. 57. - P. 4535-4539.

117. Hajidehi M. Gradient-enhanced model and its micromorphic regularization for simulation of Luders-like bands in shape memory alloys / M. Hajidehi, S. Stupkiewicz // International Journal of Solid and Structures. - 2018. - Vol. 135. - P. 208-218.

118. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity / R. Hill. - Oxford: Clarendon Press, 1950. - 355 p.

119. Itoh M. FEM Analysis for nonuniform yielding processes in mild steel plates under stretching / M. Itoh, F. Yoshida, Y. Yamashita, M. Ohmori / JSME International Journal Series. - 1992. - Vol. 1, is. 35. - P. 70-77.

120. Романова В.А. Численное исследование деформационных процессов на поверхности и в объеме трехмерных поликристаллов // Физическая мезомеханика.

- 2009. - Т. 12, № 2. - С. 5-16.

121. Eremin M. Mesomechanical Aspects of the Strain-Rate Sensitivity of Armco-Iron Pulled in Tension / M. Eremin, A. Chirkov, V. Danilov // Crystals - 2023. - Vol. 13, is. 6. - Р. 866.

122. Eremin M.O. Mesoscale Computational Study of the Parabolic Hardening Stage of Plastic Flow in a Low-Carbon Steel / M.O. Eremin, A.O. Chirkov // Russian Physics Journal. - 2023. - Vol. 65, is. 11. - P. 2010-2015.

123. Chirkov A.O. Influence of up-down-up constitutive equation parameters on yield plateau stage of mild steel samples subjected to stretching / A.O. Chirkov, M.O. Eremin // Journal of Applied and Computational Mechanics. - 2022. - Vol.8, is. 4. - P. 1315-1323.