Математическое моделирование оболочек вращения сложных форм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Пульпинский, Яков Семенович

• Пульпинский, Яков Семенович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Пульпинский, Яков Семенович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБОЛОЧЕК.

1.1 Задачи моделирования формы оболочек вращения.

1.1.1. Математическое моделирование и оптимизация.

1.1.2. Выбор математических критериев оптимизации.

1.2. Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны

1.2.1. Минимальные поверхности.

1.2.2. Поверхности постоянной средней кривизны.

1.2.3. Поверхности Делоне.

1.2.4. Минимальные поверхности в природе.

1.2.5. Жидкие мембраны и проблема Хельфриха (W. Helfrich).

1.2.5.1. Особенности строения жидких мембран.

1.2.5.2. Вариационная проблема Хельфриха (W. Helfrich).

1.3 Поверхности наименьшей площади в строительстве и машиностроении.

Выводы.

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАЗУЮЩИХ

ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФОРМ.

2.1 Поверхности вращения.

2.2. Постановка задачи и вывод уравнений образующих.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Кривизна и радиусы кривизны поверхности.

2.2.3. Краевые условия.

2.2.4. Приведение основных соотношений к безразмерному виду.

2.2.5. Интегрируемые случаи.

2.3. Классификация экстремальных поверхностей.

2.4 Приведение уравнения образующей общего вида к эллиптическим интегралам.

2.5. Использование краевых условий для определения множителей Лагранжа.

Выводы.

ГЛАВА 3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ

РАЗЛИЧНЫХ МНОЖИТЕЛЯХ ЛАГРАНЖА.

3.1. Нодоидные и ундулоидные поверхности.

3.1.1. Уравнение образующей безмоментной равнопрочной. оболочки вращения.

3.1.2. Определение постоянных интегрирования.

3.2.3. Приведение уравнений образующих к эллиптическим интегралам.

3.2. Форма куполов храма Василия Блаженого.

Выводы.

ГЛАВА 4 КАТЕНОИД И ПОВЕРХНОСТЬ КАТЕНОИДНОГО ТИПА.

4.1. Катеноид.

4.2. Математическая модель поверхности катеноидного типа.

4.2.1. Поверхность катеноидного типа, соединяющая два конуса.

Выводы.

ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ «ПенКа».

5.1. Уравнение образующей и параметры поверхности.

5.2. Определение постоянных С и X.

5.3. Приведение к эллиптическим интегралам.

5.4. Интегрируемые случаи.

5.5. Прямая.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование оболочек вращения сложных форм»

Актуальность темы.

Экстремальные условия работы элементов современных конструкций, сложность их формы и значительные габариты делают исключительно трудным и дорогим осуществление натурного эксперимента. Именно поэтому все большее распространение получают вычислительные комплексы, пакеты прикладных программ ANSYS, NASTRAN, Cosmos и др., основанные на применении метода конечных элементов. Эти пакеты программ математического моделирования позволяют решать задачи прочности, теплопроводности, гидромеханики и т.п.

При выполнении прочностных расчетов неизбежен выбор математической модели всей конструкции или отдельных ее частей. Этот выбор включает в себя несколько этапов: построение физической модели материала, учет внешних нагрузок, различных подкреплений и т. д.; выбор геометрии изделия - либо в виде чертежа, либо математического описания всего изделия, либо его части;

Выбор геометрической формы изделия - один из основных этапов проектирования строительных или машиностроительных конструкций.

Тело, обладающее минимальным значением площади поверхности при заданном объёме (минимальное тело), даже не являясь ёмкостью, имеет на практике ряд преимуществ. Так, например, при изготовлении оптимального тела требуется меньше материала. При нанесении защитного покрытия на тела с минимальной площадью поверхности сокращается расход материала, который во многих случаях оказывается намного дороже основного материала. Тела с минимальной площадью поверхности имеют и наименьшие тепловые потери.

Переходные оболочки вращения, соединяющие два трубопровода различных диаметров и имеющие минимальную поверхность, отличаются меньшим гидравлическим сопротивлением.

Очевидно, что масса полых тонкостенных геометрических тел будет пропорциональна площади их поверхности. Таким образом, задача минимизации и оптимизации массы оболочек сводится к задаче по минимизации площади поверхности этих оболочек при заданном их объёме и обеспечению необходимой прочности и жесткости.

Таким образом, актуальность работы не вызывает сомнений. Решаемые в диссертационной работе проблемы обусловлены первостепенным значением геометрических параметров для конструирования строительных и машиностроительных объектов. Вопросы прочности часто являются следствием оптимальной геометрии.

Цель и задачи исследований.

Цель диссертации - получение математических моделей оболочек, образованных вращением вокруг оси симметрии кривой заданной длины и ограничивающих наибольший объем при наименьшей площади поверхности.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

Решить вариационную задачу на условный экстремум по условиям длины кривой, площади и объёма поверхности вращения.

Провести классификацию этих поверхностей по условиям экстремума и выбрать наиболее простые аналитические зависимости для представления образующих.

Выбрать методы математического описания исследуемых оболочек.

Удовлетворить условия гладкого сопряжения для переходных оболочек, соединяющих два конуса.

Научная новизна работы.

При решении неклассической вариационной задачи со свободными концами получено интегральное выражение для кривой, при вращении которой вокруг оси OZ получаем спектр поверхностей, названных экстремальными. При различных сочетаниях неопределенных множителей Лагранжа получаем такие известные поверхности как тор, сфера, цилиндр, весь класс поверхностей Делоне и новый вид поверхностей, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей. Получены уравнения кривых, выраженные посредством эллиптических интегралов.

В результате исследований поверхностей для образующих получены зависимости, выраженные через эллиптические интегралы, а также различные варианты плавного сопряжения поверхностей с двумя конусами.

Получено уравнение нодоидно-ундулоидных поверхностей из условий равнопрочности безмоментных оболочек вращения.

Показано, что купола храма Василия Блаженного являются оболочками наименьшей площади поверхности при заданном объёме.

Методы исследования.

Классический аппарат вариационного исчисления, теория решения дифференциальных уравнений, аппарат специальные функций, стандартные математические программы MATHCAD и MAPLE.

Достоверность результатов обусловлена применением классических методов вариационного исчисления, сравнением результатов, полученных разными методами и совпадением их с результатами других авторов; физическим моделированием нодоидно-ундулоидных поверхностей мыльными пленками.

Основные положения, выносимые на защиту:

Математическая модель семейства оболочек вращения, удовлетворяющая экстремальным значениям длины образующей, объема и площади поверхности вращения.

Математическая модель образующих нодоидно-ундулоидного типа полученная из условий равенства окружных и меридианных напряжений, что позволяет исключить дополнительные подкрепления.

Математическая модель, описываемая уравнениями образующих нодоидно-ундулоидных поверхностей в соединении с двумя конусами.

Математическая модель образующих оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, и результаты исследования ее основных свойств.

Доказательство универсальности нодоидно-ундулоидных поверхностей в природе и строительстве.

Практическое значение диссертации

Переходники в виде прямых ундулоидов и оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, внедряются при строительстве газопроводов в ОАО «Уренгойтрубопроводстрой».

Полученные результаты используются в учебном процессе на архитектурном факультете и институте ПГС Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.

Апробация работы. Материалы диссертации доложены и обсуждены на следующих конференциях:

III Всероссийской конференции с международным участием по теории упругости (Ростов - на - Дону, 2003г)

Международной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы» (Москва, 2001г.);

Международных форумах по проблемам науки, техники, образования. (Москва, 2001 и 2002 г). В 2001 работа «Купол русской церкви как оболочка оптимальной формы» удостоена «Золотого диплома» форума;

Международная конференция «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем» (Таганрог, 2002 г.);

XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005г.);

IV и V Всероссийских семинарах «Проблемы оптимального проектирования сооружений (Новосибирск, 2002 и 2005 г.).

Кроме того, материалы диссертации доложены и обсуждены на семинарах кафедр «Теоретическая механика» Казанского государственного университета, «Теоретическая механика и технология» Пензенского государственного университета, «Теория упругости и биомеханика» Саратовского государственного университета, научно - технических конференциях Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, указателя использованной литературы и приложения на 2 страницах. Текст изложен на 137 страницах, проиллюстрирован 45 рисунками и 8 таблицами. В указателе литературы содержится 70 российских и 28 иностранных источников.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Пульпинский, Яков Семенович, 2006 год

1. Алексеев В.М. Оптимальное управление / В.М, Алексеев, В.М. Ти-хомиров, СВ. Фомин- М,: Наука, 1979.- 430 с.

2. А.с. 219964 МПК F 06j. Элемент оболочки баллона, бака или резер- вуара./ В.Б Черевацкий (СССР). Опубл. в Б.И., 1968г., №19.

3. А.с. 464907 МПК G 7f Способ моделирования оболочек./ Черевац- кий В.Б. (СССР), Опубл. в Б.И. 1975г.№11.

4. Аминов Ю.А. Минимальные поверхности. - Харьков: Изд-во Харь- ковского ун-та, 1978.

5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управле- ния. - М.: Наука, 1969.^ 6. Брунов Н.И. Храм Василия Блаженного в Москве. Покровский со-бор. - М.: Искусство, 1988. - 546 с.

6. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов -М.: Высшая школа, 1990.

7. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчёт оболочек сложной формы. - Киев: Буд1вэльнык, 1990.192 с.

8. Гуревич В.И. Формы оболочек вращения, деформирующихся без ^ изгиба при равномерном давлении / В.И. Гуревич, B.C. Калинин //ДАН СССР.-1981.- Т. 256, №5. - С 1085-1088.

9. Дао Чонг Тхи. Минимальные поверхности и проблема Плато / Дао Ь Чонг Тхи, А.Т. Фоменко -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-312 с.129

10. Елисеев В.В. Теория упругости, построенная на модели оснащен- ной кривой // Механика твердого тела. Известия вузов.-1976. -№3.

11. Иоффе А.Д Расширение вариационных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. // Тр. Моск. мат. о-ва. - 1968. - Т. 18.-С. 187- 246.

12. Лаврентьев М.А. Курс вариационного исчисления / М.А. Лавренть- ев, Л.А. Люстерник - М. - Л: Гостехиздат, 1953.

13. Корпейкин В.В. Оболочки минимальной массы // Справочное науч- но-методическое пособие / В.В. Корпейкин, Е.Н. Петров - Снежинск: Изда-воРФЯц-ВНИИТФ, 1999. -104 с.

14. Кривошапко Н. Торсовые поверхности и оболочки // Справочник. -М.: Изд-воУДН, 1991.-287 с.

15. Кривошапко Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек // Ре- феративная информация. - М.; Изд - во АСВ, 1995. - 273 с.

16. Крейчман М.М. Исследование напряжённо - деформированного со- стояния ундулоидных оболочек // Точные науки. Математика, механика: Сб.асп. работ: /КГУ, 1975.

17. Крейчман М.М. Исследование напряжённо деформированного со- стояния оболочек нодоидного типа, нагруженных быстроменяющейся нагруз-кой. Казань, 1982. Рукопись представлена КГУ. Деп в ВРШИТИ 16 мая 1982,№1532-82.

18. Крейчман М.М. Напряжённо - деформированное состояние нодо- идной оболочки // Точные науки. Математика, механика: Сб. асп. работКГУ/1976.

19. Крейчман М.М. Точные аналитические решения осесимметричной деформации нодоидных и ундулоидных оболочек. Казань, 1977г. Рукописьпредставлена КГУ. Деп в ВИНИТИ 28 марта 1977. Я21197-77.

20. Крейчман М.М. К исследованию новых оптимальных форм оболо- чек вращения / М.М. Крейчман, В.Б. Черевацкий //Исследования по теории пла-стин и оболочек. - Казань: КГУ, 1978. №13.130

21. Крейчман М.М. Об оптимальных формах оболочек вращения / М.М. Крейчман, В.Б. Черевацкий Казань, 1977. Рукопись представлена КГУ.Деп в ВИНИТИ 28 марта 1977, №1197-77.

22. Крейчман М.М. Исследование прочности оболочек сложного очер- тания / М.М. Крейчман, В.Н. Мишин // Точные науки. Математика, механика:Сб. асп. работ /КГУ 1974.

23. Михайленко В.Е. Геометрия. Архитектура / В.Е. Михайленко, А.В. Кащенко - Киев. Буд1вэльнык, 1988г. 174 с.

24. Михайленко В.Е. Конструирование форм современных архитектур- ных сооружений / В.Е. Михайленко, Н. Ковалев- Киев: Буд1вэльнык, 1978. -112 с.

25. Монж Г. Приложение анализа к геометрии. - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - 699 с.

26. Немировский Ю.В. Об оценках веса пластических оптимальных конструкщ1Й // Механика твердого тела. Известия вузов.-1988. -№4.

27. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1958.

28. Отго Ф. Висячие покрытия. -М.: ГСИ, 1960. -179 с.

29. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.г Наука, 1983.- 392 с.

30. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования: Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. -368 с.

31. Пульпинский Я.С. Оптимальное проектирование элементов вы- хлопной системы двигателя внутреннего сгорания // Материалы I Междунар.науч. - техн. конф. - Пенза, 2000. 33-36.

32. Пульпинский Я.С. Об одном новом виде оболочек катеноидного типа // Итоги строительной науки: Материалы Междунар. науч. - техн. конф. -Владимир, 2001. 20-21.

33. Пульпинский Я.С. Купол русской церкви как оболочка оптималь- ной формы // Труды Международного форума по проблемам науки, техники,образования. / Под редакцией В.П.Савиных, В.В.Вищневского-М.: Академиянаук о Земле, 2001. Том I. 95-97.

34. Пульпинский Я.С. Классификация поверхностей, обладающих экс- тремальными свойствами //Проблемы оптимального проектирования сооруже-НИИ: Сб. докл. rV-ro Всероссийский семинар. - Повосибирск: ПГАСУ.-2002. 302-311.

35. Пульпинский Я.С. Пекоторые задачи оптимизации формы оболочек вращения // Актуальные проблемы современного строительства: Сб. тр. 4.2.Строительные конструкции. - Пенза: ПГАСА, 2003. -С. 99-108132

36. Пульпинский Я.С. Новые формы оболочек вращения, обладающие экстремальными свойствами // Труды III Всероссийской конференции по тео-рии упругости с международным участием. Ростов-н/Д.: Новая книга, 2004. -С.С * 305-309.

37. Пульпинский Я.С. Оболочки вращения в виде расширенного семей- ства поверхностей Делоне // Труды XXI международной конференции по тео-рии оболочек и пластин. / Саратовский гос. тех. ун-т. -Саратов,: 2005. 186-191.

38. Рекач В.Г. Расчёт оболочек сложной геометрии / Рекач В.Г., Кри- вошапко Н. - М.; Изд-во УДН, 1988. -185 с.

39. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. - М.: Мир, 1969.215 с.

40. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций с при- "^ ложениями к механике.- М.-Л. ОНТИ, 1936.

41. Тарасевич H.R Математическое и компьютерное моделирование. А Вводный курс. - М.: Эдиториал УРСС, 2001.

42. Троицкий В.А, Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел.-М: Наука, Главная редакция физико - математической литературы, 1982.432с.

43. Фоменко А.Т. Топологические вариационные задачи. - М.: Изд - во МГУ, 1985.

44. Фурсова П.В. Экстремальные принципы в математической биоло- гии / П.В. Фурсова, А.П. Левич, В.Л. Алексеев // Успехи современной биоло-гии, 2003, том 123, № 2, с. 115-137133

45. Хадвигер Г. Легации об объёме, площади поверхности и изопери- метрии. Пер. с нем. -М.: 1966.

46. Черевацкий В.Б. Геометрические характеристики нодоидных и ун- дулоидньк оболочек //Прочность конструкций - Уфа, 1972, №32, 77-87.

47. Черевацкий В.Б. К вопросу изготовления некоторых новых форм оболочек // Динамика, прочность и долговечность деталей машин - Ижевск,1973,вып.2,С.86-91.

48. Черевацкий В.Б. Некоторые изоэпифанные задачи применительно к авиационным двигателям. Дис... канд. техн. наук: 05.07.02. - Рига. РИИГА.1967г., 257стр.

49. Черевацкий В.Б. Некоторые соображения об оболочках максималь- ной вместимости в стыке с конусом // Вопросы динамики и прочности: Труды/РКИИГА. - Рига: 1970. В. 158, 94-101

50. Черевацкий В.Б. Об оболочках максимальной вместимости // Во- просы динамики и прочности: Труды / РКИИГА. - Рига: 1970. В. 158, 102-107.

51. Черевацкий В.Б. Об одной изоэпифанной задаче //Вестник СНО. Естественные науки - Казань: КГУ, 1966. №3. 123 - 130.

52. Черевацкий В.Б. Теоретический и экспериментальный методы оты- екания оболочечных форм // Автомобильный и бездорожный транспорт - Ир-кутск, 1973. 169-178.

53. Черевацкий В.Б. К исследованию нодоидных и ундулоидных обо- лочек / В.Б. Черевацкий, A.M. Григорьев // Исследования по теории пластин иоболочек - Казань: КГУ, 1970. - Вып. VI-VII. - с.251-274.

54. Черевацкий В.Б. О расчёте днищ резервуаров / В.Б. Черевацкий, A.M. Григорьев //Прикладная механика - Киев, 1969, т.5, №10. 65-71.

55. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. - М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит.-ры, 1968. - 455 с.

56. Чирас А.А. Теория и методы оптимизации упруго - пластических систем / А.А. Чирас, А.Э. Бораускас, Р.П. Каркаускас - Л.: Стройиздат, 1974.134

57. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптималь- ного управления: Пер. с англ. - М.: «Мир»,1974.-488 с.

58. Bensimon D., Mutz М. Observation of toroidal vesicles. Phys. Rev. A, 43(8):4525-4527,1991

59. Desemo Markus. Elastic deformation of a fluid membrane upon colloid binding Phys. Rev. E 69,031903 (2004);

60. Delaunay C, Sur la surface de rerolution dont la lourbure moyenne est )j comtante. J. Math, Pures et appl. Ser. 1 (6) (1841), 309-320. With a note appendedby M. Sturm.

61. Dorfineister J. and Паак G., Construction of non-simply connected CMC ^ surfaces via dressing, J. Math. Soc. Japan, 55 (2003), no. 2,335-364.135

62. Dorfineister J., Pedit F., and Wu H., Weierstrass type representation of harmonic maps into symmetric spaces, Comm. Anal. Geom. 6 (1998), no. 4,633-668.

63. Eells J., The surfaces of Delaunay, Math. Intelligencer 9 (1987), 53-57.

64. Fourcade В., Mutz M., and D. Bensimon. Experimental and theoretical study of toroidal vesicles. Phys. Rev. Lett., 68(16):2551-2554,1992.

65. Helfidch. W. Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible ex- periments. Z. Naturforsck, 28c (1973) 693-703.

66. Helfrich W, Deuling H.J. The curvature elasticity of fluid membranes: a catalog of vesicle shapes. J. Phys. France, 37:1335-1345,1976.

67. Helfrich W, Deformation of Lipid Bilayer Spheres by Electric Field, Z.Naturforsch. 29c (1974) 182-183.

68. Kilian M., Constant mean curvature cylinders, Ph.D. thesis, Univ. of Massachusetts, Amherst, 2000.

69. Kilian M., Mclntosh L, and Schmitt N., New constant mean curvature surfaces. Experiment. Math. 9 (2000), no. 4,595-611.

70. Kilian M., Schmitt N., and Sterling L, Dressing CMC n-Noids, Math. Z. 246 (2004), no. 3,501-519.

71. Koiso Miyuki. On the surfaces of Delaunay// Kioto kyoiku daigaku kiyo=Bull. KyokoUniv. Educ.-Ser.B, No 97. - P.13-33 (яп) (библ.: 4 назв)

72. Korevar N., Kusner R., and Solomon В., The structure of complete em- bedded surfaces with constant mean curvature, J. Diff. Geom. 30 (1989), no. 2,465-503.

73. Mclntosh L, Global solutions of the elliptic 2d periodic Toda lattice, Nonlinearity 7 (1994), no. 1,85-108. MR 95g:58108

74. H. Naito, M. Okuda, Z. Ou-Yang. New Solutions to the Helfrich Varia- tion Problem for the Shapes of Lipid Bilayer Vesicles:Beyond Delaunay's Surfaces//Physical Review Letters. Vol 74, No 21 (May 1995), P. 4345-4348.

75. Peterson M. The Red Blood Cell Shape. // J. Diff. Geom. 30 (1989), no. 3,565-573.

76. Smyth В., A generalization of a theorem of Delaunay on constant mean curvature surfaces, IMA Vol. Math. Appl. 51 (1993), 123-130.136

77. Tompson D'Arcy. On Growth and form. - London, 1917.

78. Wilhelm Т., Bruggemann R. Goal functions for the development of natu- ral systems // Ecological Modelling. 2000. V. 132. P. 231.

79. Yates R.C. The Description of a surface of constant curvature. - Amer. Math. Mothly, 1931.