Тела минимального сопротивления в потоке разреженного газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Нгуен Ван Лам

• Нгуен Ван Лам
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Ван Лам

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБРАЗУЮЩАЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

1.1. Затупление тел вращения. Приближение Ньютона

1.2. Свободномолекулярное приближение

1.3. Локальная модель

Выводы к главе

ГЛАВА 2. СТЕПЕННЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ТЕЛ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

2.1. Образующие тел вращения с плоским затуплением

2.1.1. Приближение Ньютона

2.1.2. Свободномолекулярная модель

2.1.3. Локальный метод для высокоскоростных течений

2.2. Сравнение степенных образующих и образующих, полученных решением уравнения Эйлера

2.3. Степенные эллиптические тела

2.3.1. Уравнение эллиптического тела со степенной функцией

2.3.2. Степенные эллиптические тела минимального сопротивления. Приближение Ньютона

2.3.3. Степенные эллиптические тела минимального сопротивления.

Свободномолекулярная модель

Выводы к главе

ГЛАВА 3. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК К СТЕПЕННЫМ ТЕЛАМ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ВЫСОКОСКОРОСТНОМ

ПОТОКЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

3.1. Разные формы затупления

3.1.1. Степенные тела вращения с разными затуплениями. Приближение

Ньютона

3.1.2. Степенные тела вращения с разными затуплениями. Свободномолекулярная модель

3.1.3. Локальный метод для степенных тел вращения со сферическим затуплением

3.2. Формула для расчета теплообмена в критической точки тел вращения

3.3. Тепловой поток к затупленным телам минимального

сопротивления

Выводы к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК РИСУНКОВ

СПИСОК ТАБЛИЦ

ВВЕДЕНИЕ

История изучения форм тел с минимальным сопротивлением в газах и жидкостях берет начало с Ньютона, который во второй половине XVII века сформулировал задачу, известную как "Аэродинамическая задача Ньютона" [1]. В XVIII веке Эйлер и Лагранж, заложившие основы вариационного исчисления, смогли формализовать подход к ее решению. Во второй половине XX века развитие вариационного исчисления получило новый импульс благодаря появлению высокоскоростных и сверхзвуковых летательных аппаратов, включая те, что перемещаются в верхних слоях атмосферы и в космическом пространстве [2]. В 1969 году был опубликован перевод работы А. Миеле "Теория оптимальных аэродинамических форм" [3], что дало толчок дальнейшим исследованиям, в том числе появлению множества монографий по данной теме [4-6].

В работах [7-10] проведены исследования посвященные нахождению форм тел вращения минимального сопротивления в дозвуковых, трансзвуковых и небольших сверхзвуковых потоках газа. В работе [7] проведено исследование лобового сопротивления в аэродинамической трубе (АДТ) -112 ЦАГИ с использованием весовых испытаний различных моделей носовых частей. В данной работе [7] отмечено, что носовая часть с образующей Рябушинского с плоским затуплением, обладает максимальным значением критического числа Маха м». Эта носовая часть также имеет наименьшее лобовое сопротивление по сравнению с другими известными типами носовых частей в диапазоне от начального момента возникновения волнового сопротивления и до м^ = 0.97. Однако, начиная с определенного значения числа Маха мю = 0.97, оптимальным вариантом с точки зрения лобового сопротивления среди исследованных носовых частей является носовая часть, имеющая степенную форму с определенным показателем степени п =

В работе [8] представлены результаты экспериментальных исследований носовых частей тел вращения с различной формой образующей (Конус, Оживало

Кармана, тело Сирса - Хаака, Тело с фиксированной точкой контура, степенное тело, параболическое тело) в АДТ на механических весах с хвостовой державкой в трансзвуковом потоке газа. Результаты данного работы [8] показывают, что при звуковой скорости набегающего потока оптимальными по лобовому сопротивлению являются степенные и параболические носовые части с показателем степени образующей п = 0.3, лобовое сопротивление которых практически одинаково.

Результаты исследования [8] оптимальных тел вращения с различным формами можно представить на следующей графике.

У

Рисунок 1 - Тела с различной формой образующей при удлинении Л = 2 [8]

1 - Оживало Кармана, 2 - Тело Сирса - Хаака, 3 - Степенное тело, 4 -Параболическое тело.

В работе [9] представлен прямой оптимизационный метод, соединяющий моделирование в системе уравнения Эйлера и алгоритм минимизации Ньютона для того чтобы построить контуры элементов планера и сопла силовой установки высокоскоростного летательного аппарата.

Задача волнового минимального сопротивления для осесимметричной носовой части при заданных ограничениях по объему и габаритам представлена в [10]. В данной работе [10] было предложено аналитическое решение, в рамках которого функция производной радиуса выбрана в точке стыковки образующей с передним торцом. Это позволяет свести задачу минимизации волнового

сопротивления носовой части к проблеме поиска экстремума функции одной переменной в условиях небольших чисел Маха.

Отметим, что решение таких задач связаны с большими математическими и вычислительными трудностями для преодоления которых предложены специальные методы (например, метод локальных вариаций [11]). Метод локальных вариаций[11] играет важную роль во многих разделах механики, математической физики и прикладной математики. Этот метод использовался для решения различных задач механики сплошной среды, а также задач оптимизации движения управляемых объектов. Основное свойство данного метода, состоит в том, что вместо решения непрерывной вариационной задачи решается дискретная задача, в которой заданная функция заменяется ломаной. Кроме этого метода, локальный метод является одним из основных методов исследования динамики разреженных газов, применяемый для определения аэродинамического коэффициента сил, действующих на элемент поверхности тела.

В задачах оптимизации формы тела, основанных на интегральных характеристиках движения, важны явные связи между силами на контактной поверхности тела и его формой. При обтекании тела параметры окружающей среды определяются решением граничной задачи для системы дифференциальных уравнений. Однако точное решение таких задач часто невозможно из-за сложности уравнений для большинства сред. В таких ситуациях приходится использовать упрощенные модели для расчета сил, действующих на поверхность тела.

Для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе распространение получили формулы, найденные из локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения [12-14]. Эта зависимость может

включать в себя скорость движения и характеристики среды (величина плотности, температура и др.), которые считаются постоянными. Наибольшего распространения получила локальная модель из [12], в которой коэффициенты давления и трения равны

Ср = р0 соб а + р соБа; Ст = т0 соБаБта (1)

Здесь а - местный угол атаки элемента поверхности;

коэффициенты р0, р1 ,г0 могут зависеть от числе Рейнольдса Яе, числа Маха М и т.д.

Преимущество данной модели заключается в том, что выражения для коэффициентов давления и трения в предельных случаях по числам Яе соответствует свободномолекулярной модели газа [15] ( Яе ^ 0 ) или ньютоновской модели "редкой среды" [1] (Яе ^ да)

Яе^0, ро =Го = 2, рх =^(у-1)/У (2)

Яе^да, р0 = 2, р 1 = т*0 = 0 (3)

Здесь ^ - температурный фактор;

у - отношение теплоемкостей.

Помимо локальных моделей, для решения задач о минимуме сопротивления тел используются пробные функции. Образующая тела вращения задается в виде функции, зависящие от некоторого количества параметров, вариации которых приводят к решению задачи. Так образующая тела вращения в высокоскоростном потоке газа представляется в виде степенной функции [1618].

В работе [16] применено приближенное решение вариационной задачи поиска оптимальных форм тел вращения в высокоскоростном потоке по модели Ньютона. В [16] демонстрируется, что для тела вращения в высокоскоростном потоке, минимальное сопротивление достигается в случае, когда образующая формы тела представляет собой степенную функцию с показателем степени п = 0.75. В работе [17] был проведен анализ и сравнение результатов расчетов

коэффициента сопротивления для тела вращения в высокоскоростном потоке, имеющего степенную форму, с другими геометрическими формами, такими как конус, затупленный конус и параболический контур. Из решения задачи было установлено, что для сверхзвукового обтекания минимальное сопротивление имеют тела вращения с образующей в виде степенной функции г = х" с показателем степени п = 0.7 при больших значениях числа Маха и значительных удлинениях. Однако, при малых и умеренных числах Маха, тело вращения обладающее минимумом сопротивления имеют показатели степени п = 0.6 - 0.65 . Это свидетельствует о зависимости оптимальной формы от числа Маха и и указывает на необходимость учитывать различные геометрические конфигурации для минимизации волнового сопротивления в разных режимах скоростей.

В статье [18] рассмотрены результаты исследования коэффициента сопротивления для тела вращения степенной формы при различных значениях показателя степени 0 < п < 1 и удлинением Л = 6.63 для числа маха набегающего потока мю = 6. Результаты расчётов, полученных в данной работе [18] указывают на то, что коэффициент сопротивления оптимального степенного тела вращения зависит от длины.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тела минимального сопротивления в потоке разреженного газа»

Актуальность работы

Предложенные в диссертации решения задач оптимизации аэродинамической формы тел различными методами способствуют созданию и проектированию новых космических летательных аппаратов. Тема диссертации является важной и актуальной как для изучений в области динамика разреженного газа, так и для развития авиационно - космической техники в высокоскоростном потоке газа.

Степень разработанности работы

Поиск оптимальных аэродинамических форм притягивает внимание изучений на протяжении всего периода развития аэрокосмической техники. Классическая задача по построению тела с минимальным сопротивлением была исследована в работах [1, 2, 3, 5, 20, 21] с применением формулы Ньютона. Решения таких задач [10, 11, 14, 17, 22] были получены с использованием численных методов. Вместе с развитием космической техники появился интерес к оптимальным задачам высокоскоростной аэродинамики в условиях больших высот и разреженного газа [23, 24, 25]. В этой области необходимо отметить научные труды следующих авторов: А. Миеле, Черноусько Ф.Л., Никольский

A.А., Жилин Ю.Л., Коган М.Н, Гродзовский Г.Л., Бунимович А.И., Черный Г.Г., Крайко А.Н. и др. Из современных авторов отметим: Таковицкий С.А., Голубкин

B.Н., Лапыгин В.И., Якунина Г.Е., Пилюгин Н.Н., Аргучинцева М.А., Вышинский В.В., и т.д.

В данной работе на основе локального метода [12] рассматривается обтекание осесимметричных тел высокоскоростным потоком разреженного газа.

Показывается, что тело минимального сопротивления обязательно имеет плоский торец и угол между образующей такого тела и торцом постоянен для данного числа Рейнольдса и не зависит от длины тела L.

Показывается, что образующая степенной формы осесимметричного тела наименьшего сопротивления [19] практически совпадает с формой тела полученной стандартными методами[3]

Цели и задачи работы Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является найти формы тел вращения минимального сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа при произвольной степени разреженности на основе нескольких локальных моделей, в том числе используя тела вращения со степенной образующей.

Задачи диссертационной работы

В рамках данной работы решены следующие задачи:

1) Построение форм тел вращения минимального сопротивления на основе модели локального взаимодействия в высокоскоростном потоке разреженного газа при произвольной степени разреженности.

2) Построение форм тел вращения минимального сопротивления с степенной образующей.

3) Сравнение форм степенных тел вращения минимального сопротивления с разными затуплениями (плоским, параболическим, гиперболическим, сферическим).

4) Сравнение осесимметричных и эллиптических форм тел минимального сопротивления.

5) Исследование теплового потока в критической точке к степенным телам минимального сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа.

Научная новизна

1) Показано, что образующая тела вращения минимального сопротивления обязательно имеет затупление при произвольной разреженности газа.

2) Обнаружено, что одним из свойство локального метода является фиксированный угол между образующей и плоским торцом не зависящий от удлинения.

3) Получены формы степенных тел вращения со сферическим затуплением минимального сопротивления в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

4) Показано, что наименьший коэффициент лобового минимального сопротивления степенных эллиптических тел реализуется при коэффициенте эллиптичности к = 1 то есть эллиптические тела превращаются в тела вращения.

5) Получены приближенные формулы коэффициентов теплопередачи в критической точке для тела минимального аэродинамического сопротивления в зависимости от чисел Рейнольдса для различных удлинений.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты, полученные в этой диссертации, имеют важное значение для аэродинамики разреженного газа. Эти результаты позволяют определить оптимальную форму тела с минимальным сопротивлением в условиях высокоскоростного потока разреженного газа при проектировании космической современного ракеты или другого летательного аппарата. Это может привести к экономии топлива и увеличению дальности полета летательного аппарата.

Методология и методы исследования

В диссертации используются приближенные локальные методы гиперзвуковой аэродинамики, численные методы вариационного исчисления (Метод Эйлера), методы вычислительной аэродинамики разреженного газа. Для выполнения программы используется язык программирования МАТЕМАТИКА (WOLFRAM MATHEMATICA)

Положения, выносимые на защиту

1) Тело вращения с минимальным сопротивлением обязательно имеет плоский торец.

2) Одним из свойств локального метода является фиксированный угол между образующей осесимметричного тела и плоским торцом не зависящий от удлинения.

3) Использование разных методов (вариационный метод Эйлера и метод пробных степенных функций) позволяет получить близкие формы тела минимального сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа. Отличие между радиусами затупления тела минимального сопротивления, полученных разными методами не превышает 1% в свободномолекулярном случае и в режиме сплошной среды.

4) При больших удлинениях показатели степеней в образующей тела вращения минимального сопротивления стремятся либо к Д> =1-5 = 3/2 при малых числах Re (свободно молекулярные течения), либо к ро = 1.333 = 4/3 при больших числах Re (невязкий газ).

5) Получены формы тела вращения со сферическим затуплением минимального сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа. Радиусы затупления монотонно уменьшаются с увеличением удлинения Л для всех случаев (сферическое, параболическое, гиперболическое затупления).

6) Получены приближенные формулы зависимостей величин коэффициентов теплопередачи для тела минимального сопротивления от числа Рейнольдса для различных удлинений.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением известных методов (локальный метод, вариационный метод Эйлера, методы вычислительной аэродинамики разреженного газа) и строгостью математического аппарата, используемого в исследовании. Кроме того, достоверность подтверждается путем сравнения с результатами задач разреженного газа, полученными другими авторами.

Апробация работы

Основное содержение научной диссертации докладывалось на всероссийских и Международных научных конференциях и семинарах:

1) 63-я Всероссийская научная конференция, г. Жуковский, Аэрокосмические технологии, МФТИ, 23 - 29.11.2020 г;

2) 64-я Всероссийская научная конференция, г. Жуковский, Аэрокосмические технологии, МФТИ, 21 ноября - 03 декабря 2021 г;

3) Международная конференция «Перспективная элементная база микро-и наноэлектроники с использованием современных достижений теоретической физики», 19-21 апреля 2022 г, МГОУ, г. Москва;

4) IX Международная неделя авиакосмических технологий «Aerospace Science Week», 21-25 ноября 2022 г, МАИ, г. Москва;

5) 15th International Conference «Intelligent Systems - 2022» INTELS 2022, 1416 December 2022, RAS, Moscow, Russia;

6) 65-я Всероссийская научная конференция в честь 115 - летия Л. Д. Ландау, г. Жуковский, Аэрокосмические технологии, МФТИ, 03 - 08 апреля 2023 г.

7) Научный семинар С.М. Белоцерковского, 20 июня 2024 г, г. Москва.

Личный вклад автора

Все главные результаты, показанные в данной диссертации, получены автором самостоятельно. Корме того, автор также внес значительный вклад в подготовку всех тезисов, публикаций и материалов, представленных на всероссийских и международных научных конференциях.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты по теме работы были опубликованы в 10 печатных изданиях. Из них 3 статьи опубликованы в научных журналах, включёных в перечень ВАК, 3 статьи - в журналах, входящих в перечень МФТИ (RSCI, K1), 1 статья - в научном издании, индексируемом WEB of SCIENCE (МФТИ, K1) и 3 - в тезисах докладов.

Список публикации Статьи в журналах из списка ВАК

1) Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Тепловой поток в критической точке осесимметричных тел минимального сопротивления. // Вестник МГОУ. Серия: Физика - Математика. — 2021. — № 4. — С. 43-54.

2) Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Степенные тела минимального сопротивления в газовом потоке. // Вестник МГОУ. Серия: Физика — Математика. — 2022. — № 4. — С. 17-34.

3) Горелов С. Л., Нгуен Ван Лам. Тело вращения минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа.// Труды МАИ. — 2020. — № 113. — 5 с.

Статьи в журналах из списка RSCI (K1)

4) Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Тепловой поток в критической точке к осесимметрическим телам минимального сопротивления со степенной образующей и сферическим затуплением в гиперзвуковом потоке разреженного газа. // Учёные записки ЦАГИ. — 2022. — Том 53. — № 2. — С. 21-27.(K1)

5) Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Затупленное осесимметричное тело минимального сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа. // Труды МФТИ. — 2021. — Том 13. — № 1. — С. 96-107. (K1)

6) Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Степенные тела минимального сопротивления и аэродинамическая задача Ньютона.// Труды МФТИ. — 2023. -Том 15. — № 3. — С. 144 - 154.(K1)

Статья в журнале из списка WEB of SCIENCE (K1)

7) V.L. Nguyen. Power - Law Elliptical Bodies of Minimum Drag in a Gas Flow. // Fluid Dynamics. — 2023. — Vol.58. — No. 7. pp. 1367 - 1372 (K1)

Благодарность

Автор выражает благодарность научному руководителю д.физ.-мат. наук, доценту МФТИ С.Л. Горелову, всем преподавателям компьютерного моделирования кафедры МФТИ за всеобщую поддержку, обсуждение полученных результатов и хорошей рекомендации при реализации данной работы.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 главы, заключения и списка литературы. Объём диссертации - 106 страниц, включая 26 рисунков, 17 таблиц и 80 источников литературы.

ГЛАВА 1

ОБРАЗУЮЩАЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО

СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

Как было отмечено во введении, Задача оптимизации аэродинамической формы фактически не поддается точному решению из-за сложности системы дифференциальных уравнений. Следовательно, разрешение данной проблемы становится возможным только при наличии приближенных решений. В первую очередь, эти решения связаны с силой, действующей на поверхности тела, для которой применяемая формула выводиться из приближенных моделей. В данной главе, с помощью численных методов вариационного исчисления решена задача об определении образующей тел вращения минимального сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа. Рассмотрены три приближённые модели: ньютоновское приближение, свободномолекулярное приближение и локальная модель.

Все результаты, показанные в этой главе были опубликованы автором в работе [26]

1.1. Затупление тел вращения. Приближение Ньютона.

Модель Ньютона [1] основывается на предположении, что газовая среда состоит из однородных частиц, которые распределены равномерно и не оказывают взаимного влияния. В рамках этой теории, когда частицы сталкиваются с элементом поверхности тела, они изменяют свою нормальную компоненту импульса, что приводит к возникновению силы давления на поверхность. Отметим, что по данной модели давление на элемент поверхности зависит только от его ориентации относительно направления потока частиц и не зависит от формы остальной части тела.

Важно подчеркнуть, что сопротивление тела определяется лишь формой его головной части. Давление на участках тела, находящихся в аэродинамической тени равно нулю. (Рисунок 1.1)

Аэродинамическая тень ---

Рисунок 1.1 - Схема обтекания тела (Модель Ньютона)[2]

Следуя [2] рассмотрим элемент поверхности с площадью Se и местным углом а между внутренней нормалью и направлением скорости набегающего потока . Пусть плотность среды равна р, и Масса частиц, сталкивающихся с этим элементом в единицу времени равна pV^Secos а. В случае не упругого столкновения, нормальная составляющая силы, действующей на элемент поверхности равна pV^ Se cos2 а, давление равно p = pV^ cos2 а.

После неупругого столкновения, частицы продолжают двигаться вдоль поверхности элемента, сохраняя при этом касательную составляющую количества движен. Так что, коэффициент давления (давление, действующее на элемент поверхности, отнесенное к скоростному напору pV2 /2), можно выразить как:

Ср = 2cos2a (1.1)

Формула (1.1) называется приближением Ньютона. Она очень важна для анализа влияния аэродинамических факторов на поверхности тела и оценки силы

давления, которую тело испытывает в результате взаимодействия с потоком среды.

В динамике разреженного газа задача Ньютона формулируется следующим образом: Задано тело вращения длиной (Ь) и радиусом основания (К). Необходимо определить форму образующей у(х) при которой данное тело обладает минимальным сопротивлением в высокоскоростном потоке разреженного газа. Скорость газа ^ направлена вдоль оси вращения Оу.

В общей случае рассматривается тело, представляющее собой вращающуюся форму и может бытьусечено с плоским затуплением г0. Тогда Формула образующей имеет вид (Если все линейные размеры отнести к радиусу основания К) (Рисунок 1.2)

0, 0 < х < г0

У =

у (х), г < х < 1

(1.2)

Рисунок 1.2 - Схема обтекания тела вращения, представленной образующей

Для нахождения образующей при которой достигается минимальное значение коэффициента сопротивления Сха, предлагается заменить эту образующую у(х) кусочно - линейной функцией. (Рисунок 1.3)

Рисунок 1.3 - Схема замены образующей кусочно - линейной функцией

Для процесса аппроксимации образующей кусочно - линейной функцией предлагается разделить высоту (Ь) на щ отрезков длиной 8у. Затем провести прямые линии через концы этих отрезков до их пересечения с кривой. Следующий шаг включает соединение точек пересечения прямыми линиями, и таким образом заменим кривую у(х) кусочно - линейной функцией. Следовательно, тело, представленное в виде вращающейся формы состоит из щ усечённых конусов (коноидов). Легко увидеть, что изменение параметра (увеличение щ) или уменьшение длины этих отрезков 8у приведет к приближению кусочно - линейной функции к исходной кривой у(х). Рассмотрим обтекание первого из этих коноидов, как показано на Рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Схема обтекания первого коноида

Мы предположим, что ньютоновское приближение применяется, и

обозначим радиус торца как г0, тогда (6 = 0) Ср = 2 и в этом случае, выражение

для силы, действующей на торец, отнесенной к скоростному напору имеет вид

Сс, = . Проекция силы, отнесенной к скоростному напору, действующей на

боковую коническую поверхность в направлении потока газа определяется выражением (^ - площадь конической поверхности).

Сск = 21 cos3 6dSk, dSk = x, ll + — d(dx = x^J 1 + tg2 в d(dx (1.3)

\ dx j

Cck = 4^1 cos3 вф + tg2 в xdx

r0

Тогда коэффициент сопротивления первого коноида запишется:

r __

Cxa = Cct + Cck = 2пгЦ + 4л j cos3 вф + tg2в xdx

(1.4)

(1.5)

При заданных величинах г0, г > &У угол 6 не зависит от X и формула (1.5) может быть вычислена. Обратим внимание на следующее соотношение:

2

5

к

Г,

0

СОБ 0 =

л/1 + £ О

*0 =

8у

Г - Г0

(1.6)

Итак, окончательно получаем выражение:

Г ч2 Л

Сх = 2п

г2 + 'о т

('12 - 'о2 )

(Г1 - 'о )

V

(Г - 'о ) +8у

/

(1.7)

Предполагая, при заданном значении 8у и ', требуется найти такое значение г0 чтобы функция Сха (г0) была минимальна. Картина функции Сха (' ) показана на Рисунке 1.5

Рисунок 1.5 - Картина функции Сха (г0 ) зависит от г0

при различных значениях 8 у Из Рисунка 1.5, очевидно, что функция Сха (г0) имеет минимальное значение . Данное значение может быть определено путем решения уравнения:

(¡Сха / йТц = 0 (1.8)

Тогда, получаем результат по формуле:

* 2 , 42 . ду2 + 2'2 -у1#у4 + 43у2'2

^уг0-(г- г) г =0 ; г =-*- (19)

2г1

Следовательно, при любых значениях ду и ' существует коноид с радиусом сечения г0, при котором аэродинамическое сопротивление минимально. (Рисунок 1.5)

Рассчитаем угол 6 между образующей конуса и его плоским сечением (Рисунок 1.4)

= =--(1.10)

' - Г ду -ру2 + 4>;2

Как было отмечено выше, при ду ^ 0 построенная кусочно - линейная

функция стремится к функции у (х). И при ду ^ 0, tg6 ^ 1, 6 = 45°.

Из проведенного анализа следуют два основных вывода:

• Во первых: Тело вращения, обладающее минимальным аэродинамическим сопротивлением (при условии, что коэффициент давления соответствует формуле приближения Ньютона), должно имеет плоский торец, размер которого зависит от высоты и радиус основания тела.

• Во вторых: Угол между образующей тела вращения, обладающего минимальным аэродинамическим сопротивлением и плоским затуплением

равен 6 = 450. Этот угол не зависит от высоты и радиуса основания тела. Допустим, что все линейные размеры тела относятся к радиусу его основания К, а силы, действующие на тело, относятся к площади его основания и скоростному напору. Тогда, для приближения Ньютона, коэффициент сопротивления записан следующим образом:

1

2 + 4[- х [ 1 + у

Сх = 2г2 + 4 --йх

0 + 4[ ^ГТТ^ (1.11)

Образующая тела вращения у(х) с минимальным сопротивлением в рамках приближения Ньютона может быть представлена в виде двух часчей:

1) Сначала она следует вдоль оси Ох, то есть у(х) = 0 при 0 < х < г0;

2) Затем она подчиняется дифференциальному уравнению Эйлера[3]:

ху'(х)

"1 + ( у'(х) )

= сот1 = т

(1.12)

2

Мы имеем 2 условия, позволяющих найти решение этой задачи:

tg0(rQ ) = у '('о ) (113)

у(х = 1) = Я (Я = Ь / Я)

(114)

Из уравнения (1.12), заменим у' на д, получаем \2 Г

х = т

(1 + д1) ¿у с!х ,

--—, — = д, су = д—ад = т

д сх сд

4д (1+д2)

(1

д

2

сд (1.15)

При х = г , д = 1, т = ' /4 Интегрируя выражение (1.15), получим:

Г

у

V

2 3 4 ,

д +— д - 1п д

+ Мп

у

Из этого уравнения (1.16), получаем: М0 = -7^ /16 Таким образом, Получим систему уравнения:

х

у

'0 (1+д2 )2

4 д

' 3

л

д +—д - 1п д — V* 4* * 4 у

(116)

(1.17)

Пусть д = д* при х = 1 значение величины q меняется в пределах 1 < д < д* когда г0 < х < 1. Более того, при х = 1,у = Л.

Значение параметры д* и г0 определяется решением следующей системы уравнений:

1-'0

Л = Г0 4

( 1 + д*2 ) 2

4 д*

' 3

(1.18)

V

3 7 ^ д*2 + — д*4 - 1п д*--

4 4;

Путем деления второго уравнения данной системы на первое и решая численно полученное, приближенно получаем величину д (Л). После этого, производим дополничельные вычисления, получим:

'0(Л)

4д* (Л)

(1 + д*2(Л))

(1.19)

Подставляя г0 и 1 < д < д* в (1.17), получаем соответственно

оптимальную кривую тела вращения.

На Рисунке 1.6 представлена картина тела вращения минимального сопротивления по приближению Ньютона при некоторых различных удлинениях Л. Видно, что радиус затупления г0 снижается с увеличением удлинения Л .

<

2

Рисунок 1.6 - Картина тела вращения минимального сопротивления по приближению Ньютона Л = 0.5,1,2

1.2. Свободномолекулярное приближение

С ростом высоты полета тела происходит уменьшением плотности окружающего газа. Вместе с этим увеличивается разреженность газа, что приводит к уменьшению частоты столкновений молекул между собой. Тем не менее, при увеличении разреженности газа происходит изменение характера взаимодействия между частицами и поверхностью тела [27]. В динамике разреженного газа, основным критерием разреженности потока газа является

число Кнудсена Kn - отношение средней длины пробега частиц между столкновениями к характерному размеру течения (тела). Различные режимы обтекания характеризуются различными диапазонами значений числа Кнудсена. В соответствии с изменением значения числа Кнудсена выделяются четыре группы режимов течения [15, 28, 29]:

S Режим течения сплошной среды (Kn < 0.01) S Режим течения со скольжением (Kn = 0.01 ^ 0.1) S Переходный режим (Kn = 0.1 ^10) S Режим свободномолекулярного течения (Kn > 10) При режиме свободномолекулярного течения (Kn > 10, Н = 120^200км),

где средняя длина свободного пробега становится великой, взаимодействие молекул с поверхностью тела играет главную роль. В таких течениях столкновения молекул газа между собой можно пренебречь. Тогда коэффициенты аэродинамического давления и трения в свободномолекулярном приближении высокоскоростного потока (при больших скоростях) могут быть определены по следующей формуле [13, 24, 30,31]:

Ср = 2cos2« + z0 cos«, Ct = 2cos«sin«, z0 (y-1)/ у (1.20)

Где X - местный угол атаки элемента поверхности тела вращения, С = T / T , T - температура торможения, Tw - температура поверхности элемента, у - отношение теплоемкостей. (см. Рисунок 1.2).

Задача формулируется аналогично той, что была определена в разделе 1.1. Тогда коэффициент сопротивления коноида можно записаться через выражение (Рисунок 1.4):

f

CXa = 2 + Z0J {Г0,3У ), J (Г0 , 8y)

r2 + r0 ^

(1 - r2) (1 - Г0)

v Vo - Г0 )2+ty2,

В (1.21) , Все линейные размеры относятся к радиусу r .

(1.21)

Рисунок 1.7 - Картина функции J (г0 ,ду) зависит от г0 при различных значениях ду

На Рисунке 1.7 представлена картина изменения функции J(г0 ,ду)

зависит от ' при различных занчениях ду. Видно, что что функция J(г0 ,ду)

имеет минимальное значение. Так же как в случае приближения Ньютона, этот минимум может быть определено путем решения уравнения:

^ / йг0 = О

(1.22)

Решая численно уравнение (1.22). Затем, произведем вычисление угла 6 между образующей конуса и плоским сечением (рис 1.4.)

tg6

ду

1 - г

1.272, 6 = 51.82690

(1.23)

ду^0

Из проведенного анализа следуют два основных вывода:

• Во первых: Тело вращения с минимальным аэродинамическим сопротивлением (при условии, что коэффициенты давления и трения

соответствуют формуле свободномолекулярного приближения), должно имеет плоский торец, размеры которого зависят от высоты и радиус основания тела.

• Во вторых: Угол между образующей тела вращения, обладающего минимальным аэродинамическим сопротивлением и плоским

затуплением равен 0 — 51.82690. Этот угол не зависит от высоты и радиуса основания тела.

Аналогично случаю приближения Ньютона, образующая тела вращения У( х) , обладающая минимальным сопротивлением при свободномолекулярном приближении высокоскоростного потока разделена на две части: 1) сначала она следует вдоль оси Ox, то есть у(х) — 0 при 0 < х < г0; 2) затем она удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера [3], которое имеет вид:

ху

/ ч \ 3/2

(1+у '2)

const — m

Из уравнения (1.24), заменим у' на q, получаем:

>3/2

х — m

(1 + Ч1) ах

---—, ау — д—ад — т

д ад

+ д2 -

(1)

д

3/2

(1.24)

ад (1.25)

При х — г, д — 1.272, т — 0.3г0. Интегриря выражение (1.25), получим:

у — 0.3г

' 1 ( 2д2 - +

3 д

+ып

У

(1.26)

Из этого уравнения (1.26), получаем: М0 — —0.5784г0 Таким образом, Получим систему уравнения:

х = 0.3гп

У = °.>0

д

2 -+ Ш1^1^

3 д

V

\

-1.928

У

(1.27)

Пусть д = д* при х = 1 значение величины д меняется в пределах

1.272 < д < д* когда г0 < х < 1. Более того, при х = 1,у = Л.

Значение параметры д* и г0 определяется решением системы уравнений:

1 = 0.3г

(1 + д*2)

д*

Л = 0.3г

1(2д=2 -1)71 + д2 + 1П1 + ^^

(1.28)

1.928

У

Путем деления второго уравнения данной системы на первое и решая численно полученное, приближенно получаем величину д (Л). После этого, из первого уравнениия, получим:

д* (Л)

Г0(Л) =

0.3 (1 + д2 (Л) )3/2

Подставляя г0 и 1.272 < д < д в (1.27), получаем соответственно оптимальную кривую тела вращения х и у.

На Рисунке 1.8 представлена картина тела вращения минимального сопротивления по свободномолекулярному приближению при различных удлинениях Л. Видно, что с увеличением удлинения, радиус затупления г0 уменьшается.

<

<

Y Л=4.0

R X X

- X X

L X X

> Л=2.0

X

X X X

X X X

X X X ХЛ=1.0

X X x X X v X X X

X л X X V у X

X л X X х XX ' /// X < X

ol Ж .Tft , .....

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Рисунок 1.8 - Картина тела вращения минимального сопротивления по свободномолекулярному приближению. Я = 1,2,4

1.3. Локальная модель

В [32, 33, 34, 35, 36] были проведены расчёты аэродинамических характеристик летательных аппаратов в высокоскоростном потоке разреженного газа с использованием локальной модели. Наибольшего распространения получила локальная модель из [12], в которой коэффициенты давления и трения определяются следуюшими выражениями:

Ср = p0 cos2a + pcosa; Ст = т0cosasina (129)

Функции р0, p1 ,Г0 могут зависеть от числа Рейнольдса Яе, температурного фактора ^ и показателя степени адиабаты у, а - угол между

внутренней нормалью и направлением скорости газа (Рисунок 1.2)

В предельных случаях по числам Яе, коэффициенты давления и трения соответствуют либо приближению Ньютона "редкой среды"[1] (Яе ^ да), либо

свободномолекулярной модели [15] (Яе ^ 0). А в промежуточной области по числам Яе, используем эмпирические формулы:

Po = 2, pl = ^ехр[-(0.125 + 0.078С)Яе], ^ (у-1)/У (130)

5.23 „ „ (3 1Л-2/3

г0 = "-;-—^172, Щ = Яе

Щ + 6.88ехр(0.0072Щ -0.000016Щ2)

-г +-

V 4 ™ 4 у

Где, число Рейнольдса, Яе = рж У^Щ / /л(Т^) - И(Т ) коэффициент вязкости, Т - температура торможения, -р у -плотность и скорость

набегающего потока газа, Щ - радиус основания тела.

Постановка задачи также как в случае приближения Ньютона и свободномолекулярного приближения. В случае локальной модели коэффициент сопротивления (сила сопротивления деленная на скоростной напор и площадь основания) можно выразить формулой:

1 X 1 X

Сха = (Р0 + Р1 -Т0 ) Г)' + Т0 + 2 (Р0 -Т0 ) |:-^ + 2Р1 [ I ^ (131)

Аналогично для локальной модели, используя уравнения (1.30), (1.31), (1.3), (1.6) вычисляем коэффициент сопротивления коноида (Рисунок 1.4):

(г12 - г02)(Г1 - Г0)2 (г12 - г02)(Г1 - Г0 ) ' - 2-+ Р1 I =

(Г1-Г0) + ^ у/( Г1-Г0)2 + 8у

Сха = (Р0 + Рх -Т0 )Г02 + V!2 + (Р0 - *0 -,2 _ 2 + Р1 I 2 (1.32)

На рисунке. 1.9 а, б, в, д показаны кривые зависимости функции Сха (г0,5у) от радиуса сечения г0 для различных значений 5у, Яе.

а)

б)

в)

д)

Рисунок 1.9 - Картина функции Сха (г0,5у) зависит от г(

при различных значениях 5у, Яе

Очевидно, что функция Сха (г0 ,5у) имеет минимальное значение для

любых значений 5у, г. Более того, при уменьшении 5у этот минимальное значение приходит двигаться к стороне единицы. Аналогично в случае свободномолекулярного приближения и приближения Ньютона, этот минимум можно найти из уравнения:

йГо

34

= 0

с1Сха (г, , 5у) л (I-33)

Это уравнение (1.33) можно решить с помощью численных методов. После вычислений мы получаем угол 6 между образующей и плоскостью (Рисунок 1.4): Таблица 1 - Угол 6 в зависимости от числа Рейнольдса Яе

Яе 0 0.1 1 10 100

6 51.82690 50.54410 47.31340 45.25670 450 450

В таблице 1 изображены результаты расчетов углов 6 для разных чисел Рейнольдса Яе. Видно, что угол 6 меняется с 450 до 51.82690 в широком диапазоне числа Рейнольдса и не зависит от высоты и радиуса основания тела.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Ван Лам, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М: Наука, 1989, 688 с.

2. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М: Физматгиз. 1959. 220 с.

3. Миеле А. Теория оптимальных аэродинамических форм. М: Мир, 1969, 508 с.

4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М: Наука. 1974. 480 с.

5. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М: Машиностроение. 1975. 328 с.

6. Петров К.П. Аэродинамика транспортных космических систем. М: УРСС. 2000. 368 с.

7. Вышинский В.В., Кузнецов Е.Н. Исследование обтекания тел вращения с образующей Рябушинского// Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 1. С. 33 - 35.

8. Вышинский В.В., Кузнецов Е.Н., Михайлов П.Д. Тела вращения с минимальном сопротивлением в трансзвуковом потоке газа // Ученые записки ЦАГИ. 1992. Т. XXIII, № 2, С. 78 - 81.

9. Мазуров А.П., Таковицкий С.А. Метод построения оптимальных контуров фюзеляжа и сопла летательных аппаратов на режиме крейсерского сверхзвукового полета// Ученые записки ЦАГИ. 2013. Т. ХЫУ № 3. С. 74 - 81.

10. Таковицкий С.А. Аналитическое решение задачи минимизации волнового сопротивления осесимметричной носовой части в рамках локальной линеаризации // ПММ. 2018. Т. 82. Вып. 6. С. 775 - 782.

11. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.К. Вариационные задачи механики и управления. М: Наука. 1973. 240 с.

12. Галкин В.С., Ерофеев А.И., Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. С. 6 - 10.

13. Николаев В.С. Аппроксимационные формулы для локальных аэродинамических характеристик тел типа крыла в вязком гиперзвуковом потоке в широком диапазоне параметров подобия // Ученые записки ЦАГИ. 1981. Т. XII. № 4. С. 143 - 150.

14. Якунина Г.Е. К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2000. Т. 64. №. 2. С. 199 - 310.

15. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М: Наука. 1967. 440 с.

16. Гродзовский Г.Л. ред. Аэродинамика сверхзвукового обтекания тел вращения степенной формы. М: Машиностроение. 1975. 184 с.

17. Благосклонов В.И., Гродзовский Г.Л. Осесимметричное обтекание тел вращения степенной формы при сверхзвуковых скоростях набегающего потока // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. V. № 6. С. 16 - 22.

18. Кравцов А.Н. Особенности сопротивления тел вращения со степенной формой образующей // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 2, С. 26 -32.

19. Горелов С.Л., Нгуен В.Л. Затупленное осесимметричное тело минимального сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа// Труды МФТИ, 2021, Т.13, №1, С. 96 - 107. С. 96 - 107. DOI: 10.53815/20726759 2021 13 1 96

20. Крайко А. Н., Пудовкин Д.Е., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. - М: Янус-К, 2001. - 132 с.

21. Остапенко Н. А., Якунина Г.Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности // Известия РАН. Механика жикости и газа. 1992. № 1. С. 95 - 106.

22. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. - М: Изд-во МГТУ, 2006. - 448 с.

23. Перминов В.Д., Солодкин Е.Е. Осесимметричые тела с минимального сопротивлением при заданном тепловом потоке к поверхности // Ученые записки ЦАГИ. 1971. Т. 2, № 6. С. 32 - 40.

24. Гусев В.Н., Ерофеев А.И., Климова Т.В., Перепухов В.А., Рябов В.В., Толстых А.И. Теоретические и экпериментальные исследования обтекания тел простой формулы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1855. С. 43.

25. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. Исследование форм поперечного контура конического пространственного тела минимального сопротивления, движущегося в разреженном газе // Известия АН СССР. Механика жикости и газа. 1986. № 5. С.112 - 117.

26. Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Степенные тела минимального сопротивления и аэродинамическая задача Ньютона.// Труды МФТИ. - 2023. - Том 15. - № 3. - С. 144 - 154.

27. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М. наука 1969. 824 с

28. Bird G. A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Oxford University Press. 1994. - 458 P.

29. Белоцерковскийй О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. - М: Физ - Мат. 1994. - 228 с.

30. Выонг Ван Тьен, Горелов С.Л. Нелинейные явления в разреженном газе в задаче Куэтта. // Труды МАИ. 2018. № 10.

31. Березко М.Э., Никитченко Ю.А., Тихоновец А.В. Сшивание кинетической и гидродинамической моделей на примере течения Куэтта. // Труды МАИ. 2017. № 94.

32. Зея Мьо Мьинт. Локальные методы решения задачи обтекания тел высокоскоростными потоками газа // НАУ. 2015. Т. III. № 8. С. 74 - 77.

33. Зея Мьо Мьинт, Хлопков А. Ю. Аэродинамические характеристики летательного аппарата сложной формы с учётом потенциала взаимодействия молекулярного потока с поверхносью // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI. № 5. С. 33 - 45.

34. Khlopkov Yu. I., Chernyshev S. L., Zay Yar Myo Myint. Hypersonic aerothermodynamic investigation for aerospace system // Proceeding of 29th congress of the international council of the aeronautical sciences, St. Petersburg, September 7 - 12, 2014.

35. Khlopkov Yu. I., Zay Yar Myo Myint, Khlopkov A. Yu. Aerodynamic investigation for Prospective Aerospace Vehicle in the Trasitional Regime // International journal of Aeronautical and Space Sciences, 2013. Vol. 14, N. 3, pp. 215 - 221.

36. Zay Yar Myo Myint, Khlopkov Yu. I., Khlopkov A. Yu. Aerothermodynamic investigation for future Hypersonic Aerospace Systems // Proceeding of 4th international Conference on science and Engineering, Yagon, Myanmar, 9-10 December, 2013. (CD - ROM).

37. Крайко А. Н. Об определении тел минимального сопротивления при использовании законов сопротивления Ньютона и Буземана // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 484 - 495.

38. Глушков Н. Н., Кротков Д. П., Шкадов Л. М. Вариация аэродинамической формы тела, приводиящая к уменьшению его сопротивления // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. Т. III. № 2. С. 11 - 20.

39. АргучинцеваМ. А., Пилюгин Н. Н. Оптимизация формы пространственного тела по радиационному тепловому потоку. ТВТ. 2002. Т. 40, Вып. 4, С. 603 - 616.

40. Шипилин А. В. Оптимальные формы тел с присоединенными ударными волнами // Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкость и газа. 1966. № 4. С. 9 - 18.

41. Eggers A. J. Jr., Resnikoff M. M., Dennis. D. H. Bodies of revolution having minimum drag at high supersonic air speeds // NACA. Report N 1306. 1957. 12 P-

42. Крайко А. А., Пьянков К. С. Эффективные прямые методы в задачах построения оптимальных аэродинамических форм // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т.50. № 9. С. 1624 - 1631.

43. Лапшина Т. В., Остапенко Н. А. Об условии минимума волного сопротивления // ДАН. 2009. Т. 424. № 2. С. 190 - 196.

44. Глушков Н. Н., Кроткое Д. П., Шкадов Л. М. Экспериментальная проверка прямого метода оптимизации аэродинамической формы тел при сверхзвуковых скоростях // Уч. зап. ЦАГИ. 1978. Т. IX. № 1. С. 1 - 10.

45. Коган М. Н. О телах минимального сопротивления в сверхзвуковом потоке газа // ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 207 - 212.

46. Giannakoglou K. C. Design of optimal aerodynamic shapes using stochastic optimization methods and computational intelligence // Prog. in Aerospace Sci. 2002. Vol. 38. P. 43 - 76.

47. Крацов А. Н. Особенности сопротивления тел вращения со степенной формой образющей // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII. № 2. С. 26 - 32.

48. Obayashi S., Tsukahara T. Comparison of optimization algorithms for aerodynamic shape design // AIAA J. 1997. Vol. 35. N. 8. P. 1413 - 1415.

49. Bentamy A., Trepanier J. Y., Guibault F. Wing shape optimization using a constraint NURBS surface geometrical representation // Proc. 23rd Cong. of ICAS. 2002. Toronto, Canada. Paper ICAS. P. 123.1 - 123.11.

50. Крайко. А. Н., Пудовиков Д. Е., Пьяников К. С., Тилляева Н. И. Оссесимметричные головные части заданного удлинения, оптимальные или близкие к оптимальным по волновому сопротивлению // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 5. С. 795 - 828.

51. Иванюшкин Д. С., Таковицкий С. А. Носовые части минимального волнового сопротивления с передним торцом и степенной образующей // Уч. Зап. ЦАГИ. 2009. Т. XL. № 5. С. 35 - 40.

52. Зея Мъо Мъинт, Чжо Зин. Расчет аэродинамических характеристик летательного аппарата в высокоскоростном потоке разреженного газа // Труды МАИ. 2010. Вып. 40. С. 1 - 19.

53. Иоффе А. О., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. - М: Наука, ГРФМЛ, 1974. - 480 с.

54. Гелъфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. - М: ГИФМЛ, 1961. - 228 с.

55. Крайко А. Н. Вариационнын задачи газовой динамики. - М.: Наука, 1979. - 447 с.

56. И. И. Блехмана. Вибрации в технике т2 Колебания нелинейных механических систем. М: Наука. 1979. - 351 с.

57. V. L. Nguyen. Power - Law Elliptical Bodies of Minimum Drag in a Gas Flow // Fluid Dynamics. 2023. Vol. 58. No. 7. pp. 1367 - 1372.

58. Горелов С. Л., Нгуен Ван Лам. Тело вращения минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды МАИ. 2020. № 113. - 5 с.

59. Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Степенные тела минимального сопротивления в газовом потоке. // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика - Математика. - 2022. - № 4. - С. 17 - 34.

60. Бунимович А. И., В. Г. Чистолинов. Аналитический метод определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке газа различной разреженности. // Труды ЦАГИ. - 1977. Вып. 1833.

61. Баранцев Р. Г., Л. А. Васильев [и др.]. Аэродинамика разреженных газов: аэродинамический расчет в разреженном газе на основе гипотезы локальности.// - Л : Изд-во ЛГУ, 1969. вып. 4. - 198 с.

62. Алексеева Е. В., Р. Г. Баранцев. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе.// - Изд-во ЛГУ. 1976.

63. Баранцев Р. Г., Энгельгарт В. Н. Асимптотические методы в механике газа и жидкости. // - Л: Изд-во ЛГУ. - 1987. 88 с.

64. Багаев Г. И., Клеменов Г. П., А. М. Харитонов. Проблемы экспериментального изучения сверхзвуковых течений.// - М.: Наука. 1977.

65. Егоров И. В, Ерофеев А.И. Исследование гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе сплошностредного и кинетического подходов // Ученые записки ЦАГИ. 1997. Т. XXVIII. № 2. С. 23 - 40.

66. Выонг Ван Тьен, Горелов С. Л., Русаков С. В. Эффекты немонотонности аэродинамических характеристик пластины в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды МАИ. 2020. № 110.

67. Горелов С. Л., Русаков С. В. Физико - химическая модель гиперзвукового обтекания тел разреженным газом // Изв. РАН. Сер. Механика жидкость и газа. 2002. № 3.

68. А. В. Ботин, В. П. Провоторов, В. В. Рябов, Э. А. Степанов. Теплообмен в окрестности пространственной критической точки неравновесного вязкого ударного слоя при произвольной каталитической активности поверхности // Труды ЦАГИ. 1999. Вып. 2514.

69. Провоторов В. П., Степанов Э. А. Приближенные зависимости для расчета теплообмена на теле, обтекаемом гиперзвуковым потоком газа // Ученые записки ЦАГИ, 1992, Т. XXIII, № 2, С. 25 - 29.

70. Obayashi S., Tsukahara T. Comparison of optimization algorithms for aerodynamic shape design // AIAA J. 1997. Vol. 35. N. 8. P. 1413 - 1415.

71. Bentamy A., Trepanier J. Y., Guibault F. Wing shape optimization using a constraint NURBS surface geometrical representation // Proc. 23rd Cong. of ICAS. 2002. Toronto, Canada. Paper ICAS. P. 123.1 - 123.11.

72. Lee K. D., Eyi S. Transonic airfoil design by constrained optimization // AIAA 91 - 3287, AIAA 9 - th Applied aerodynamics conf., 23 - 25 sept., Baltimore, MD, 1991.

73. Горелов С. Л., Нгуен В. Л. Тепловой поток в критической точке осесимметричых тел минимального сопротивления. Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика - Математика. -2021. - № 4. - С. 43 - 54.

74. Миско Г. Ю. Построение оптимального сопла гиперзвукового летательного аппарата при заданных габаритах и моменте // Изв. РАН. Сер. Механика жидкость и газа. 1999. №. 1. С. 118 - 124.

75. С. Л. Горелов, В. Л. Нгуен. Тепловой поток в критической точке к осесимметрическим телам минимального сопротивления со степенной образующей и сферическим затуплением в гиперзвуковом потоке разреженного газа. // Ученые записки ЦАГИ. 2022. Т. LIII. № 2. С. 21 - 27.

76. Fay J. A, Riddell F. R. Theory of stagnation point heat transfer in dissociation air // J. Aeronaut. Sci., 1958. Vol. 25. № 2.

77. Горелов С. Л. Применение метода самоподобной интерполяции к задачам динамики разреженного газа // Прикладная Математика и Механика, 2005. Т. 69, Вып. 3, С. 438 - 444.

78. С. Л. Горелов, В. Л. Нгуен. Затупление осесимметричное тело минимального сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа. // труды 64-й Всероссийской научной конференции МФТИ. 2021. С. 113 -114.

79. Нгуен. Л. В., Горелов С. Л. Осесимметричные тела минимального аэродинамического сопротивления в газовом потоке.// Тезисы 21 - й международной конференции «Авиация и космонавтика» МАИ. 2022. С 406 - 408.

80. В. Л. Нгуен. Степенные тела минимального сопротивления и аэродинамическая задача Ньютона. // Тезисы 65-й Всероссийской научной конференции в честь 115-летия Л.Д. Ландау. МФТИ. 2023. С. 264 - 265.

СПИСОК РИСУНКОВ

1 - Тела с различной формой образующей при удлинении Л = 2 [8]....................5

1.1 - Схема обтекания тела (Модель Ньютона)[2]................................................18

1.2 - Схема обтекания тела вращения, представленной образующей...............19

1.3 - Схема замены образующей кусочно - линейной функцией......................20

1.4 - Схема обтекания первого коноида................................................................21

1.5 - Картина функции Cxa (г0 ) зависит от г0 при различных значениях 8у

.............................................................................................................................. 22

1.6 - Картина тела вращения минимального сопротивления по приближению Ньютона Л = 0.5,1,2........................................................................................26

1.7 - Картина функции J (г0 ,8у) зависит от г0 при различных значениях 8у

.............................................................................................................................. 28

1.8 - Картина тела вращения минимального сопротивления по свободномолекулярному приближению. Л = 1,2,4.........................................31

1.9 - Картина функции Сха (г0 ,8у) зависит от г0 при различных значениях 8у,Яе ..................................................................................................................33

1.10 а), б), в) - Картина тела вращения минимального сопротивления по локальной модели при разных чисел Рейнольдса Яе...........................................36

2.1 - Схема обтекания степенного тела с плоским затуплением..........................39

2.2 - Формы степенных тел вращения наименьшего сопротивления для некоторых удлинений Л..........................................................................................42

2.3 - Формы степенных тел вращения наименьшего сопротивления для различных удлинений Л .........................................................................................45

2.4 - а), б), в). Формы степенных тел вращения наименьшего сопротивления для различных чисел Рейнольдса Яе............................................................................53

2.5 - Формы тел минимального сопротивления по приближению Ньютона..................................................................................................................... 55

2.6 - Формы тел минимального сопротивления по свободномолекулярной модели .......................................................................................................................55

2.7 а) б) в) - Формы степенных тел минимального сопротивления в промежуточной области при различных числах Рейнолься. Линии - степенная функция (приближенный метод пробных степенных функций), красное перекрестие - численный метод (Эйлера)..............................................................57

2.8 - Схема эллиптического тела со степенной функцией (к = 2,«0 = 3/4,Я = 5) .................................................................................................................................... 60

2.9 - Cz в зависимости от удлинения Я при различных значениях коэффициента эллиптичности k.......................................................................................................64

2.10 - Cz в зависимости от удлинения Я для различных значений k при определенном значении ^ = 0.1, у = 1.4.................................................................68

3.1 - Схема обтекания степенного тела с затуплением..........................................72

3.2 - Я, , Я в зависимости от удлинения Я в случае Ньютона........................83

3.3 - Я,Яр,Я в зависимости от удлинения Я в свободномолекулярном случае

.................................................................................................................................... 83

3.4 - Коэффициент теплопередачи в критической точке. Сплошная линия -формула (3.16), пунктирная линия - формула (3.18), точки обозначают значения, полученные методом Монте-Карло ........................................................................ 89

3.5 - Зависимость отношения коэффициента теплопередачи к его свободно-молекулярному значению (согласно формуле (3.18)) от числа Рейнольдса для различных удлинений..............................................................................................90

СПИСОК ТАБЛИЦ

1 - Угол 0 в зависимости от числа Рейнольдса Яе ..............................................34

2 - Результаты расчётов величин Д, а0= Д1 и п при которых достигается минимум Сх для разных удлинений Я..................................................................41

3 - Сравнение значений Сх для тел вращения с плоским затуплением и значений Сх0 без затупления по свободномолекулярной модели........................................44

4 - Значения Д0, г* , Сх, в зависимости от удлинения Я при различных числах Яе..................................................................................................................48

5 - Результаты сопоставления величин Д и г при которых коэффициент сопротивления минимален по свободномолекулярной модели и локальной модели при малых числах Яе..................................................................................49

6 - Результаты сопоставления величин Д и г при которых коэффициент сопротивления минимален по приближению Ньютона и локальной модели при больших числах Яе..................................................................................................50

7 - Сравнение радиуса затупления тела минимального сопротивления по приближению Ньютона............................................................................................ 58

8 - Сравнение радиуса затупления тела минимального сопротивления по свободномолекулярной модели............................................................................... 58

9 - Значения величин а0 и Cz в зависимости от удлинения Я при различных значений к по приближению Ньютона...................................................................63

10 - Значения величин а0 и Cz в зависимости от удлинения Я при различных значений к по свободномолекулярной модели......................................................67

11 - Величины Д, п, Я , Схр, Сх0 в зависимости от удлинения Я..................75

12 - Сравнение значений Схь, Схр , Я, Я по приближению Ньютона.............77

13 - Величины Д, г, Я, Я, Я , Сх8, Схк, Схр в зависимости от удлинения Я .................................................................................................................................... 78

14 - Величины Д, г, Я , Схр, Сх в зависимости от удлинения Л...................80

15 - Величины Д, г, Ь, Я, Я, Схй Сх^ в зависимости от удлинения Л .................................................................................................................................... 81

16 - Величины Д, г , Я, Я, Я, Сх^, Сх1г, Сх^ в зависимости от удлинения Л .................................................................................................................................... 82

17 - Величины Д, Я, Сх5, Сх в зависимости от удлинения Л для разных чисел

Яе ..............................................................................................................................86