Математическое моделирование процесса распространения волн в жидких и сыпучих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Перегудин, Сергей Иванович

• Перегудин, Сергей Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Перегудин, Сергей Иванович

Введение. Состояние вопроса и краткий обзор работы

Глава 1. Внутренние волны малой амплитуды над неровным дном

§ 1.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 1.2. Течение над неровным дном при наличии свободной поверхности.

§ 1.3. Прохождение волны над неровным дном.

§ 1.4. Распространение волн на течении при наличии постоянно действующих возмущений, приложенных к свободной поверхности.

§ 1.5. Внутренние волны установившегося вида в стратифицированной жидкости.

Глава 2. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины

§ 2.1. Потенциальное обтекание неровного дна потоком однородной жидкости.

§ 2.2. Обтекаппе неровного дна потоком стратифицированной жидкости.

Глава 3. Волновые движения неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности

§ 3.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 3.2. Линейный вариант задачи.

§ 3.3. Построение нелинейной модели.

§ 3.4. Внутренние волны конечной амплитуды.

3.4.1. Первое (линейное) приближение.

3.4.2. Второе приближение.

3.4.3. Третье приближение.

Глава 4. Воздействие волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе

§ 4.1. Постановка задачи в переменных Эйлера и метод ее решения

§ 4.2. Стоячие волны конечной амплитуды в двуслойной жидкости.

§ 4.3. Высота волн у стенки и нагрузка на нее.

Глава 5. Воздействие трехмерных воли конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе

§5.1. Постановка задачи и метод её решения.

§ 5.2. Стоячие волны конечной амплитуды в двухслойной жидкости.

5.2.1. Первое (линейное) приближение.

5.2.2. Второе приближение.

5.2.3. Третье приближение.•.

§5.3. Вычисление давления вблизи стенки.

Глава 6. Воздействие пространственных волн произвольного направления на вертикальную стенку

§6.1. Построение математической модели.

§ 6.2. Решение задачи о волнах малой амплитуды.

§6.3. Решение задачи о волнах конечной амплитуды

§ 6.4. Расчет нагрузки па вертикальную стенку

Глава 7. Волновые движения в непрерывно стратифицированиой жидкости

§7.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 7.2. Свободные волны в стратифицированной жидкости.

§ 7.3. Внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости.

§ 7.4. Выпужденые внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости.

§ 7.5. Свободные внутренние волны при наличии горизонтальной диффузии плотности.

Глава 8. Плоские волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой

§ 8.1. Волны па поверхности сыпучей среды. Условия и механизм их образования.

§ 8.2. Потенциальное движение двух слоев однородной жидкости.

§ 8.3. Потенциальное движение двух слоев однородной жидкости, движущихся с разными скоростями.

§ 8.4. Непотенцнальпое движение двух слоев неоднородной жидкости

Глава 9. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред

§ 9.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 9.2. Непотепцпальпое движение двух слоев однородной жидкости.

§ 9.3. Воздействие потенциального потока однородной жидкости на рельеф дна.

§ 9.4. Движение двух однородных слоев с одинаковой скоростью.

§ 9.5. Движение двух однородных слоев с разными скоростями

§ 9.6. Внутренние волны малой амплитуды в канале с деформируемым основанием.

Глава 10. Длинные волны над сыпучей средой

§ 10.1. Длинные волны в слое однородной жидкости

Глава 11. Пространственные длинные волны в неоднородной жидкости над деформируемым дном

§ 11.1. Построение математической модели.

§ 11.2. Воздействие длинных воли на рельеф дна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процесса распространения волн в жидких и сыпучих средах»

Развитие человечества неразрывно связано с океаном. Водный покров земного шара в два раза превосходит по площади часть, занимаемую сушей. Море посылает человеку многообразие растптелыюго и животного мира, дает огромный энергетический потенциал, по сей день морские пути остаются одним из важных средств общения, прибрежные зоны имеют ианболее благоприятную и устойчивую экологическую обстановку. В будущем человечество еще в большей степени будет связано с океаном — строительные сооружения дальше продвинутся в море, затаенная энергия водной толщи послужит на пользу человеку. Однако для этого необходимо глубокое знание сущности происходящих в океане процессов.

Во все времена волновые явления были и остаются необыкновенно привлекательными для исследователей благодаря богатству и разнообразию видимых форм движения наряду с труднодоступпостыо управляющих ими законов и актуальностью практических рекомендаций.

Взаимодействие океана и атмосферы влияет на погоду п климат различных регионов земного шара. Морские волны деформируют берега, оказывают силовое воздействие па прибрежные и морские гидротехнические сооружения, влияют на мореходность судов п условия базирования морского транспорта. В связи с этим проблеме динамики морей и океанов уделяется большое внимание.

Природа волн очень многообразна. По форме могут различаться периодические волны, уедппеипые п стоячие волны, боры, гидравлические прыжки и волны поппжепня уровня, внутренние волны в стратифицнрованной среде, приливные, корабельные волны и многие другие. Существуют волны малой и большой амплитуды, отмечаются заострение и обрушение вершин ветровых волн, перемешивание скользящих слоев разной плотности, деформация волн, вызванная неровностью дна, наличием берегов или плавающих тел, частично или полностью погруженных в жидкость. Для инженерной практики важно знать параметры, ответственные за механизмы возникновения и роста воли, законы их распространения, взаимодействия и действия на твердые тела, уметь использовать естественные и создавать искусственные сооружения, ограждающие акватории от морского волнения. Таков далеко не полный перечень задач, составляющих предмет теории волн.

Основу теории воли образуют методы математического моделирования и результаты качественного анализа моделей, методы изучения асимптотических форм движения, учета силовых и энергетических балансов. Для описания воли используются их относительные высоты п длины, дисперсионные соотношения, переносимые волнами импульс, энергия п другие параметры, выделяющие те или иные конкретные свойства. Ряд критериев подобия позволяет изучать волновые движения стратифицированной жидкости экспериментально: в природных или искусственных каналах и водоемах. Однако большая трудоемкость и высокая стоимость физического моделирования, условность переноса лабораторных результатов на натуру, а иногда и непреодолимые сложности в постановке опыта позволяют выделить методы теоретической гидродинамики в ряд наиболее перспективных.

Основы теории волн на воде были заложены, классиками теоретической гидродинамики — Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, О. Кошп, Д. Бериулли, С. Пуассоном и другими исследователями. Упрощение задачи о волнах, положенное в основу теории бесконечно малых волн, предложено О. Коши [172]. Теория волновых движений развивалась главиым образом в связи с вопросами качки корабля, волнового сопротивления, а также теории приливных волн в каналах и реках. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн малой амплитуды, следует отметить П. Лапласа, М.В. Остроградского, Дж. Эри, Дж. Стокса, У. Кельвина, Дж. Рэлея, Г. Ламба, У. Рэнкина и других ученых. Большой вклад в теорию гидравлики внесли Б. Сеи-Венан и Ж. Буссинеск. Позднее А. Пуанкаре представил свои исследования, в особенности в теории фигур равновесия вращающихся н гравитиру-ющпх жидкостей. В этой же области еще ранее значительный вклад был внесен A.M. Ляпуновым. Теорию упрощенных судовых форм создали Дж. Митчелл и независимо от него Н.Е. Жуковский.

В силу сложности исходной задачи о волнах на воде были рассмотрены различные упрощенные модели — линейные начально-краевые задачи с различного вида граничными условиями. Однако для описания волн большой высоты требовалось рассматривать задачу в нелинейной постановке, и Дж. Стоке [191, 192] в 1847 г. предложил метод последовательных приближений для описания коротких воли большой высоты. Следует отметить, что одно из наиболее выдающихся достижений в теории волн с чисто математической точки зрения — доказательство существования прогрессивных волн конечной амплитуды — было получено А. И. Некрасовым [81] в 1921 г. и, независимо от пего, другим методом Т. Леви-Чивнта [186] в 1925 г. Большую роль в развитии теории волновых движений жидкости сыграли труды Н.Е. Кочина [65], Л. Н. Сретенского [147], Л. PI. Седова [139], Дж. Стокера[148] и других. Их методы исследования позволяют решать новые задачи морской гидротехники и гидродинамики судна. Я. И. Секерж-Зенькович [140, 141] построил полную теорию стоячих волн. Одновременно развивалась теория длинных волн [G8, 7G, 83, 143, 154, 170, 177]. Большой круг задач распространения нелинейных длинных волн описывается уравнением Кортевега— де Вриза (КдВ) [49, 184]. Уравнение КдВ допускает солнтонпые решения [180|, которые описывают классические уединенные волны, затухающие на бесконечности. Примером среды, где уравнение КдВ адекватно описывает решения типа бегущих поверхностных волн малой амплитуды, служит тяжелая идеальная несжимаемая жидкость конечной глубины без учета поверхностного натяжения [49, 69,169,178]. В монографин [73] представлено исследование ряда задач нелинейной теории распространения длинных поверхностных и внутренних волн в неоднородной жидкости с учетом эффектов стратификации, вихревых образований, слоя смешения, а также обобщены известные уравнения мелкой воды.

Настоящая диссертация посвящена одному из важных вопросов теории волн — внутренним волнам, распространяющимся в стратифицированной жидкости. Внутренние волны были описаны теоретически еще в середине прошлого столетия, а обнаружены в океане только на рубеже прошлого и нынешнего столетий [66]. Поначалу эти волны воспринимались как досадная помеха, нарушающая «правильное» поведение океанских вод. Потребовалось еще более полувека, чтобы осознать широкую распространенность и важную роль внутренних воли в жизни океана. Сегодня ясно, что волны внутри океана в существенной мере определяют изменчивость толщи вод в широком диапазоне пространственных и временных масштабов.

Общеизвестные трудности исследования задач теории поверхностных и внутренних гравитационных воли связаны, в первую очередь, с существенной нелинейностью граничных условий па свободной поверхности и поверхностях раздела относительно однородных слоев, а также с тем, что сами эти поверхности суть функции неизвестные и подлежат определению. Кроме того, в случае дна, имеющего неровности, краевое условие пепротекания через дно будет линейным, но с переменными по горизонтальным координатам коэффициентами, а в случае деформируемого дна — и по времени. Учет граничных условий соприкосновения тел с жидкостью также вносит существенные трудности. Поэтому нелинейная задача теории внутренних и поверхностных гравитационных волн не была решена, несмотря на усилия выдающихся ученых на протяжении двух веков. Трудности на этом пути оказались чрезмерно большими, и это обстоятельство обусловило переход к решению упрощенных волновых задач, ведущих свое начало от исследований Ж. Лагранжа.

Необходимо отметить, что точные результаты составляют наименьшую часть всех известных достижений в теории волн. Доказанные теоремы существования стационарных решений относятся к плоским задачам, а по неустановившимся движениям до недавнего времени таких теорем не было вообще. Новые точные результаты по трехмерным стационарным волнам и задаче Коши—Пуассона отражены в монографиях Л.В. Овсянникова [82], С.А. Габова [38] и А.Г. Свешникова [40], а также В.Ю. Ляпидевского и В.М. Тешукова [73].

К настоящему времени получено большое число приближенных решений. Лидирует линейная теория, наиболее разработанная в рамках всех моделей: для плоской и пространственной постановок, для неустановившихся и стационарных движений, для конечнослойпой (в частности, однослойной) и непрерывной стратификации, для поверхностных и внутренних волн, причем во всем диапазоне длин воли. Очень важное нелинейное приближение дает теория мелкой воды, предназначенная для описания длинных волн. К ней примыкает приближение Буссинеска [24, 78], вообще говоря, нелинейное, но чаще всего используемое в линейном варианте. Исторически первыми были стоксовы асимптотические разложения решений в ряды по степеням малой амплитуды. Широкое применение приобрели волны КдВ (Кортевега — де Врпза) [184, 185[, приближенно описывающие распространение воли второго приближения, распространяющихся в одном направлении. Названы лишь крупные модели, носящие общин характер, т. е. не зависящие от конкретных постановок. Вместе с тем имеется много частных приближенных методов исследования тех или. иных специальных задач.

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии и физики атмосферы, а также с использованием криогенных жидкостей в технике и рядом других проблем наибольший интерес вызывают задачи о распространении внутренних волн в стратифицированных жидкостях. Под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой (плотность, теплоемкость, динамическая вязкость и другие) в стационарном состоянии изменяются непрерывно пли скачком лишь в одном выделенном направлении. Иначе говоря, в стационарном состоянии жидкости ее физические характеристики являются лишь функцией одной пространственной переменной [40]. Стратификация жидкости может быть вызвана различными физическими причинами. Наиболее часто встречающейся из них является сила тяжести. Эта сила создает в жидкости такое распределение ее частиц, растворенных в ней солей и взвешенных суспензий, при котором возникает неоднородность жидкости вдоль направления гравитационного поля. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные наблюдения, оказывает наиболее существенное влияние (ио сравнению с другими видами стратификации) на динамические свойства жидкости и процессы распространения в ней внутренних воли. Поэтому в дальнейшем, говоря о стратифицированной жидкости, будем подразумевать жидкость со стратификацией плотности, вызванной силой тяжести.

Наличие стратификации жидкости по плотности и силы тяжести приводит к появлению новых динамических свойств жидкости. Взаимодействие силы тяжести и архимедовой силы вызывает возникновение квазиунругон силы вдоль направления гравитационного поля.

Колебательпые свойства жидкости, обусловленные этой квазиупругой силой, характеризуются частотой Вяйсяля — Брента соо, являющейся основной частотной характеристикой динамических свойств стратифицированной жидкости. Детальный анализ физических основ появления этой квазиупругой силы и связанной с пей частоты Вяйсяля — Брепта содержится в работах [24, 66, 78, 153].

Внутренние волны могут распространяться и во вращающихся однородных жидкостях, где наличие силы Кориолиса создает условия, необходимые для существования этих воли. Оказывается, что между внутренними волнами, распространяющимися во вращающихся и стратифицированных жидкостях, существует аналогия [40]. В математическом плане данная аналогия проявляется в общности уравнений, описывающих эти волны, структуры их фундаментальных решений и в других свойствах. Рассмотрению вопросов как математического, так и физического характера, связанных с наличием указанной аналогии, посвящены работы [39, 41, 44, 183].

Реальный Мировой океан представляет собой сложную динамическую систему, в частности он вращается вместе с Землей и стратифицирован по глубине. Наряду с акустическими, поверхностными и планетарными волнами, а также волнами Россбн внутренние волны участвуют в создании сложных волновых полей в океане. Следовательно, правильное описание этих полей невозможно без учета внутренних воли [25, 51, 72, 156]. В связи с этим следует отметить, что экспериментальные исследования и натурные наблюдения внутренних воли представляют собой достаточно сложную в техническом отношении задачу. Таким образом, значение теоретических исследовании в данной области многократно возрастает.

Одним из первых, строгих в математическом отношении исследований по теории внутренних воли, следует считать исследование С.Л. Соболева [140| по теории вращающихся жидкостей, в котором было выведено уравнение, описывающее малые колебания однородной вращающейся жидкости и получившее в дальнейшем название уравнения Соболева. Основное уравнение динамики внутренних волн в стратифицированной жидкости по своему характеру относится к тому же типу уравнений, что и уравнение Соболева. Упомянутое исследование C.JI. Соболева было продолжено P.A. Александряном [2]; В.Н. Масленниковой [74], В.П. Масловым [75], Т.И. Зеленяком [46], Н.Д. Копачевскнм [56, 57] и рядом других авторов [35, 36, 37, 47, 54, 145]. В работах М.И. Вишика [33] и С.А. Гальперна [42, 43] рассматривались начально-краевые задачи, обобщающие уравнение Соболева.

Что касается задач динамики внутренних воли в стратифицированной жидкости, то в настоящее время, несмотря иа их органическую связь с задачами теории вращающихся жидкостей, они в математическом плане изучены значительно слабее, хотя и здесь имеется довольно обширная литература, среди которой можно выделить работы С.Я. Секерж-Зеньковича [142], Н.Д. Копачевского и его учеников [58, 59, 60, 149], С.А. Габова [38] и А.Г. Свешникова [39].

Сказанное выше относится к линейной теории внутренних воли. История строгих исследований по нелинейной теории восходит к классической работе М. Дюбрейль-Жакотен [174], подробное изложение которой содержится в монографии [147]. Из современных исследователей следует отметить.работы JI.B. Овсянникова п ряда других авторов, составивших содержание монографии [82], Ю.З. Миропольского [78], А.М. Тер-Крикорова, К.А. Бежанова [16 - 19], [151], JI.B. Черкесова [27] н ряда других авторов. Асимптотическому анализу нелинейных воли в непрерывно стратифицированной жидкости посвящены работы С.Я. Секерж-Зеньковича [142]. Исследования Дюбрейль-Жакотеп по теории стационарных внутренних волн продолжены A.B. Бп-цадзе [22, 23].

Таким образом, задачи теории внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости в настоящее время составляют один из важных вопросов теории волн, механики, прикладной математики и математической физики.

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Перегудин, Сергей Иванович

Основные результаты выполненного исследования изложены в монографии [113] и опубликованы в работах [12, 15, 16, 84—132, 187, 188].

Заключение

В настоящей работе изучен процесс распространения внутренних волн малой амплитуды в слое стратифицированной жидкости переменной ограниченной глубины при наличии течения. Для конкретных случаев стратификации получено точное решение краевой задачи, в частности, для случая, когда плотность экспоненциально убывает с высотой.

Проведен анализ процесса распространения волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости. Рассмотрены случаи конечной и бесконечной глубины жидкости. Представлены дисперсионные соотношения и аналитические решения, позволяющие выявить общие закономерности изучаемого процесса.

Исследованы закономерности силового воздействия нелинейных стоячих воли в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при фронтальном подходе. Приведены выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки.

С помощью асимптотических методов построено решение нелинейной задачи о течении однородной жидкости в канале переменной глубины. Решена аналогичная задача для стратифицированной жидкости. Для конкретного случая изменения плотности и скорости набегающего потока представлено точное решение краевой задачи, позволяющее оценить влияние стратификации и рельефа на волновой режНхМ.

Исследованы закономерности силового воздействия бегущих пространственных воли конечной амплитуды в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при произвольном подходе и стоячих пространственных волн в двухслойной жидкости при фронтальном подходе.

Установлена зависимость фазовой скорости от амплитуды волны, выведены выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки.

Изучен процесс распространения воли в непрерывно стратифицированной жидкости. Сформулированы и исследованы задачи распространения свободных волн в стратифицированной жидкости, вынужденных внутренних волн во вращающейся стратифицированной жидкости а также свободных внутренних волн при наличии горизонтальной диффузии плотности.

Построена математическая модель распространения плоских и пространственных волн малой амплитуды на поверхности сыпучей среды, вызванных движением жидкости. Рассмотрены частные задачи о потенциальном движении одного и двух слоев однородной жидкости и о вихревом движении одного и двух слоев неоднородной жидкости. В каждой задаче исследована зависимость рельефа дна от реологии донного вещества и гидродинамических характеристик потока жидкости.

В нелинейной постановке рассмотрена двумерная задача о распространении длинных волн в однородной жидкости над деформируемым дном. Поставленная краевая задача приведена к системе трех уравнений с частными производными для горизонтальной скорости жидкости и ординат свободной и донной поверхностей, допускающей для некоторых частных случаев аналитические решения.

В нелинейной постановке рассмотрена пространственная задача о распространении длинных воли в двухслойной жидкости над деформируемым дном. Поставленная краевая задача приведена к системе пяти уравнений с частными производными для горизонтальной компоненты потенциала скорости жидкости в каждом слое и ординат свободной, поверхности скачка плотности и донной поверхностей, допускающей для некоторых частных случаев аналитические решения.

Результаты проведенного исследования могут быть использованы в гидродинамике, морской гидротехнике и при строительстве морских гидротехнических сооружений на стадии проектирования, а также в сравнении и оценке эффективности различных приближенных методов, в частности, численных.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Перегудин, Сергей Иванович, 2005 год

1. Абрашкин A.A., Зенъкович Д.А. О новом классе стационарных внутренних волн на сдвиговом течении. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29. JV°3. С. 377 - 385.

2. Александрии P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системой дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева. // Тр. Моск. мат. об ва. 1960. Я°9. С. 455 - 505.

3. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. — Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003. 504 с.

4. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. JL: Изд-во ЛГУ, 1981. 196 с.

5. Алешков Ю.З. Теория взаимодействия волн с преградами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. 372 с.

6. Алешков Ю.З. Воздействие длинных волн на группу вертикальных цилиндров. // Л.: Вестник ЛГУ. 1987. Сер. 1. Вып. 1. АГ°15. С. 43 46.

7. Алешков Ю.З. Моделирование волновых движений неоднородной жидкости. // JL: Вестник ЛГУ. 1989. Сер. 1. Вып. 3. TV015. С. 39 42.

8. Алешков Ю.З. Течения и волны в океане, С-Пб.: Изд-во С-Пб. Ун-та, 1996. 226 с.

9. Алешков Ю.З. Волны на поверхности сыпучих сред, вызванные потоком жидкости // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 4 (Л/*°25). С. 35 43.

10. Алешков Ю.З. , Перегудин С.И. Внутренние волны конечной амплитуды. // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1994 г., с. 17.

11. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. школа, 1994. 544 с.

12. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

13. Барииое В.А., Перегудин С.И. Пространственные волны малой амплитуды в двухслойной жидкости над деформируемым дном. // Вестник Тюменского государственного университета. 2003. Я°Ъ. С. 184-190.

14. Баринов В.А., Перегудин С.И. Пространственные длинные волны в неоднородной жидкости над деформируемым дном //

15. Бежанов К.А., Онуфриев А.Т., Тер-Крикоров A.M. Пространственная задача обтекания неровности дна потоком слоистой жидкости. // Докл. АН СССР. 1987. Т. 296. №2. С. 303 306.

16. Бежанов К.А., Онуфриев А. Т., Тер-Крикоров A.M. Пространственная задача обтекания керовностидна потоком экспоненциально стратифицированной жидкости конечной глубины. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. №?>. С. 101 111.

17. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости над неровным дном. // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 5. С. 750 760.

18. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. школа, 1991. 303 с.

19. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

20. Бицадзе A.B. Волны в потоке жидкости переменной глубины. и Дпф. уравн. 1978. Т. 14. С. 1053 1059.

21. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 336 с.

22. Бреховских Л.М., Гончаров В.В., Наугольных К.А., Рыбак С.А. Волны вы океане. // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. Л/"°5, 6. С. 842 863.

23. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1965. 608 с.

24. Букатов А.Е., Черкесов Л.В. Волны в неоднородном море. Киев, 1983. 224 с.

25. Букатов А.А. Математическое моделирование процесса распространения длинных волн: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПб., 1992. 14 с.

26. Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 296 с.

27. Великанов М.А. Движение наносов. М., 1948.

28. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. М., 1954.

29. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. — М.: Химия, 1977. 439 с.

30. Вишик М.И. Задача Кошн для уравнения с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. // Мат. сб. 1956. Т. 39. С. 51 148.

31. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кршценко. — М.: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 700 с.

32. Габов С.А. О спектре одной задачи С.Л.Соболева. // ДАН СССР. 1980. Т. 253. 3. С. 521 624.

33. Габов С.А. Спектр и базисы из собственных функций одной задачи об акустических колебаниях вращающейся жидкости. // ДАН СССР. 1980. Т. 254. JV°4. С. 777 779.

34. Габов С.А. О спектре и базисах из собственных функций одной задачи, связанной с колебаниями вращающейся жидкости. // Мат.сб. 1981. Т. 116. №2. С. 245 252.

35. Габов С. А. Новые задачи математической теории волн. М.: Наука. Физматлит, 1998. 448 с.

36. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифициро-ваииых жидкостей. М.: Наука, 1986. 288 с.

37. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 344 с.

38. Габов С.А., Свешников А.Г. О некоторых задачах, связанных с колебаниями стратифицированных жидкостей. // Диф. уравн. 1982. Т. 18. С. 1150 1156.

39. Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными. // Тр. Моск. мат. об-ва. 1960. №9. С. 401 423.

40. Галъперн С.А. Задача Коши для уравнения С.Л.Соболева. // Сиб. мат. жури. 1963. Т. 4. №4. С. 758 773.

41. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометео-издат, 1992. 272 с.

42. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995. 560 с.

43. Знаменская Н.С. Грядовое движение наносов. Л.: Гидрометео-издат, 1968.

44. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. — М.: Физматлит, 2003. 256 с.

45. Йи Чиа-шун. Волновые движения в слоистых жидкостях. // Нелинейные волны. М., 1977. С. 271 296.

46. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1973. 240 с.

47. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1976. 576 с.

48. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М. Л.: ГИТТЛ, 1962. 708 с.

49. Капитонов Б. В. Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости. // Мат. сб. 1979. Т. 109. Л/"°4. С. 607 628.

50. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана. С-П.: Гндро-метеонздат, 1992. 272 с.

51. Копачевский Н.Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей. Препринт /ФТИНГ АН УССР. Харьков, 1978. ЛГ°33 - 77. 60 с.

52. Копачевский Н.Д. Малые движения и собственные колебания идеальной вращающейся жидкости. Препринт /ФТИНГ АН УССР. Харьков. 1978. №38 - 71. 54 с.

53. Копачевский Н.Д., Попуреева Л.Д., Сигал A.B. К задаче о колебаниях стратифицированной жидкости в цилиндрическомбассейне. // Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений« их приложения. Ашхабад, 1985. С. 52 66.

54. Копачевский Н.Д., Темное А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы. //ЖВМиМФ. 1986. Т. 26. Я°Ъ. С. 734 755.

55. Копачевский Н.Д., Темное А.Н. Свободные колебания идеальной стратифицированной жидкости в сосуде. //ЖВМиМФ. 1984. Т. 24. 1. С. 109 123.

56. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М: Физ-матлит, 1994. 320 с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

58. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 560 с.

59. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963, Т. 1. 584 с.

60. Кочин Н.Е. Собр. соч. в 2-х т. М. Л., 1949. Т. 1. 616 е., Т. 2. 538 с.

61. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 270 с. 67| Курош А.Г. Курс.высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с.

62. Лаврентьев М.А. К теории длинных воли. // Прикл. мех. и теор. физика. 1975. М°Ъ. С. 3 46.

63. Лаврентьев М.А. До теорп довгих хвиль. // 36. праць 1нст. матем. АН УССР. 1946. ЛЛ>8. С. 13-69.

64. Ламб Т. Гидродинамика. М. Л., ГИТТЛ, 1947. 928 с.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Т.б. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

66. Ле Блон, Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981. 845 с.

67. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости: Монография. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. — 420 с.

68. Масленникова В.Н. Математические вопросы гидродинамики вращающейся жидкости и системы С.Л.Соболева.: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1971. 28 с.

69. Маслов В. П. О существовании убывающего при £ —» оо решения уравнения С.Л.Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области. // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. Я%. С. 1351 1359.

70. Марчук Ан.Г., Чубарое Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, 1983. 176 с.

71. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.

72. Мирополъский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 384 с.

73. Михайлова Н. А. Перенос твердых частиц турбулентными потоками воды. Л.: Гидрометеоиздат. 1966.

74. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

75. Некрасов А.И. Собрание сочинений в 2-х томах. — М.: Физмат-гнз, 1961. С. 358 439.82| Овсянников Л.В. и др. Нелинейные проблемы теории поверх-постных и внутренних воли. Новосибирск: Наука, 1985. 318 с.

76. Пелииовский Е.Н. Нелинейная динамика волы цунами. Горький, 1982. 226 с.

77. Перегудин С. И. Потенциальное обтекание неровности дна потоком однородной жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 08.07.94, ЛЛТ699 -В 94.

78. Перегудин С.И. Внутренние и поверхностные волны в слоисто неоднородной жидкости. - В кн.: Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", 22 - 24 декабря 1994 года, Саранск. Саранск. 1995, С. 269 - 276.

79. Перегудин С.И. Волны в неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности. // Сборник тезисов Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика), 15 19 мая 1995 года, Киев. С. 93.

80. Перегудин С. И. Внутренние волны установившегося вида в стратифицированной жидкости. // Вопросы механики и процессов управления. С-Пб., 1995. Вып. 17. С. 160-167.

81. Перегудин С. И. Волны конечной амплитуды в. неоднородной жидкости. Автореф. дис. . капд. фнз.-мат. наук. С-Петербург: СПбГУ, 1995. 16 с.

82. Перегудин С.И. Внутренние волны в неоднородной жидкости. // Сборник тезисов Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика), 20 24 мая 1996 года, Киев. С. 17.

83. Перегудин С. И. ' Об установившихся волнах в канале переменной глубины. //Сборник тезисов Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика), 19 23 мая 1997 года, Киев. С. 37.

84. Перегудин С. И. Течение стратифицированной жидкости над неровным дном. // Труды III международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", 19 21 мая 1998 г., Саранск, 1998. С. 19.

85. Перегудин С. И. Трехмерные стоячие волны малой амплитуды в неоднородной жидкости. // Материалы научной конференции Мордовского гос. университета (XXVIII Огаревские чтения), Саранск, декабрь 1999 г. С. 46 49.

86. Перегудин С. И. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред. // Труды Средпеволжского Математического Общества. 2003. Т. 5. С. 130 138.г

87. Перегудин С. И. Математическое моделирование распространения волн малой амплитуды над деформируемым дном. // Естественно- технические исследования: теория, методы, практика. (Межвузовский сборник научных трудов). — Вып. III. Саранск. 2003. С. 140-145.

88. Перегудин С. И. Волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой. // Вестник СПбГУ. 2003. Сер. 1. Вып. 4. Я°2Ъ. С. 97106.

89. Перегудин С.И. Длинные волны над деформируемым дном. // Труды XXXV научной конференции "Процессы управления и устойчивость", Санкт-Петербург, 14-16 апреля 2004 г.: Санкт-Петербург: НИИ Химии СПбГУ. С. 248-250.

90. Перегудин С.И. Внутренние волны малой амплитуды над деформируемым дном. // Труды Средневолжского Математического Общества. Т. 6. Я° 1. Саранск. 2004. С. 155 161.

91. Перегудин С.И. Двумерная модель распространения длинных волн над деформируемым дном. // Труды седьмой международной конференции "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики (ГА-2004)". С-Петербург, 8-10 июня 2004. С. 247-250.

92. Перегудин С. И. Воздействие длинных волн на рельеф дна. // Сборник тезисов международной конференции "Четвертые Окуневские чтения". — С-Петербург, 22-25 июня 2004. С. 39-40.

93. Перегудин С. И. Течения жидкости над сыпучей средой. // Математическое моделирование. 2004. Т. 16. JV°8. С. 70-76.

94. Перегудин С.И. Волны малой амплитуды в канале с твердым и деформируемым основанием. // Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. III. Саранск. 2004. С. 35-48.

95. Перегудин С.И. Распространение воли малой амплитуды в канале с деформируемым основанием. // Известия Тульского Государственного Университета. Серия Математика. Механика.,Информатика. 2004. Том 10. Выпуск. 2. С. 171-177.

96. Перегудин С.И. Математическое моделирование физических процессов как компонент образования. // Интеграция образования. 2004. № 3, С. 162-167.

97. Перегудин С. И. Длинные волны в однородной жидкости над деформируемым дном. // Математическое моделирование, том 16, N 12/2004, С. 123-128.

98. Перегудин С.И. Волны малой амплитуды в двухслойной жидкости над деформируемым дном. // Известия РГПУ им. А.И. Герцена, N 4 (8), 2004, С. 27-34.

99. Перегудин С.И. Математическое моделирование процесса распространения длинных волн над деформируемым дном // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета, Сер. 10, 2004, вып. 4, С. 187-192.

100. Перегудин С.И Волновые движения в жидких и сыпучих средах. Изд-во СПбГУ, 2004. 288 с.

101. Перегудин С.И. Трехмерные волны малой амплитуды над деформируемым дном // Проблемы экологической безопасности и природопользования: Тез. докл. междунар. научно—практ. конф. Москва. 2004. С. 134-138.

102. Перегудин С.П., Холодова С.Е. О силовом воздействии нелинейных стоячих волн на вертикальную стенку при фронтальном подходе. // 7-я Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань, 1997. С. 156.

103. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Взаимодействие трехмерных волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости с вертикальной стенкой при произвольном подходе. // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. Я°3. С. 38 39.

104. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Волны во вращающейся стратифицированной жидкости. // Межвузовский сборник научных трудов. Саранск: СВМО. 2000. С. 93-95.

105. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Волновые движения в непрерывно стратифицированной жидкости . // Труды Средневолжского Математического Общества, Т. 3-4. №\. Саранск. 2002. С. 309 319.

106. Перегудин С.П., Холодова С.Е. Воздействие пространственных волн малой амплитуды на рельеф дна. // Сборник тезисов конференции "Процессы управления и устойчивость"С-Петербургского гос. ун-та. С-Петербург. 2003. С. 222 225.

107. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Течения и волны во вращающейся жидкости между концентрическими полусферами. // Динамика систем и управление. (Межвузовский сборник научных трудов). Саранск. 2003. С. 46-50.

108. Повало-Швейковский Н.Т. К вопросу о происхождении дюн. // Изв. АН СССР, серия геофиз. 1938. Я°2Ъ.

109. Пушкарев В.Ф. Движение влекомых наносов. // Труды ГГИ, 8(62). Л, 1948.135| Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. 224 с.

110. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 1994. 336 с.

111. Ребиндер П.А. Избранные труды. Поверхностные явления в дисперсных системах. Физико-химическая механика. — М.: Наука, 1979. 382 с.

112. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд во МГУ, 1993. 352 с.

113. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х т. М. 1983. Т. 1. 528 е.; 1984. Т. 2. 560 с.

114. Секерэю-Зенькович Я.И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубпиы. // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1951. Т. 15. С. 57-73.

115. Секерж-Зенькович Я.И. Трехмерные стоячие волны конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глубины. // Труды Морск. гидрофиз. ин-та АН СССР. 1959. Я°18. С. 3 39.

116. Секерж-Зенькович С.Я. Неустановившиеся волновые движения стратифицированной несжимаемой жидкости: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. паук. М., 1986. 26 с.

117. Селезов И.Т., Сидорчук В.Н., Яковлев В.В. Трансформация воли в прибрежной зоне шельфа. Киев.: Наук, думка. 1983. 208 с.

118. Синха С. Р. П. Точная теория установившихся волн на свободной поверхности и поверхности раздела двух жидкостей. // ДАН СССР. 1966. Том 168.

119. Сказка В. В. Асимптотика при t —> оо решений одной задачи математической физики. // Мат. сб. 1985. Т. 126. М° 1. С. 3 40.

120. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18.ЛЛ>1. С. 3 50.

121. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука. 1977. 816 с.

122. Стокер Дою. Волны на воде. М.: Иностранная литература. 1959. 618 с.

123. Темное А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в ограниченном объеме: Дне. . канд. физ.-мат. наук. М., 1985. 192 с.

124. Тер-Крикоров A.M. О внутренних волнах в неоднородной жидкости. ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 6. С. 1067-1076.

125. Тер-Крикоров A.M. Пространственные установившиеся течения слоистой жидкости и внутренние волны. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. ЛЛ>3. С. 127 132.

126. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М. 1997, 720 с.

127. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977. 431 с.

128. Уизем Дэ/с. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

129. Уилкинсон У. Л. Неныотоновские жидкости. — М.: Мир, 1964. 216 с.

130. Филлипс О. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1980. 320 с.

131. Фихтенголъц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 3. 656 с.

132. Франклъ Ф.И. О движении песчаных волн // Докл. АН СССР, 1953. Т. 89. М° 1. С. 29 32.

133. Хасанов М.М., Булгакова Г. Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. — Москва-Ижевск: Инт компьютерных исследований. 2003. 288 с.

134. Черкесов J1.B., Иванов В.A., Xapmuee С.М. Введение в гидродинамику и теорию волн.— С-Петербург: Гидрометеоиздат. 1992. 264 с.

135. Шуляк Б. А. К вопросу о динамике песчаных микроформ в береговой зоне моря. // Труды Ин-та океанологии АН СССР. 1958. Т. 28.

136. Шуляк Б. А. Периодические донные структуры волнового потока. // Океанология. 1961. Т. 1, вып. 5.

137. Шуляк Б. А. Некоторые вопросы взаимодействия водного потока с деформируемым дном. // Труды Ин-та океанологии АН СССР. 1961. Т. 48.

138. Шуляк Б.А. Кинематика волнового потока, распространяющегося над рифельной поверхностью дна. // Океанология. 1961. Т. 1, вып. 3.

139. Шуляк Б. А. Физика воли на поверхности сыпучей среды и жидкости. М.: Наука, 1971. 400 с.

140. Amick С. J., Toland J.F. On solitary waves of finite amplitude // Arch. Rat. Mech. Annal. 1981. V. 76. P. 9 95.

141. Amick C.J., Toland J.F. On periodic water waves in the longwave limit // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. — 1981. V. 303. P. 633 -673.

142. Bagnold R. Motion of waves in shallow water. // Proc. Roy. Soc. London A. 1946. V. 187. Af°1008.

143. Beale J.T. The existence of solitary water waves. // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V. 30. P. 373-389.

144. Boussinesq J. Théorie de lintumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire. // Compt. rend. Acad. sei. 1871. V. 72. P. 755 759.

145. Candoll C. Rides formées à la surface du Sable depose au fond de l'eau. // Arch. sei. phys. et natur. Gènève. 1883. V. 9. Af°3.

146. Cauchy A. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie, Oeuvres Complètes d'Augustin Cauchy. 1815. S. 1. V. P. 5 318.

147. Darvin G.H. On the formation of rippelmarks in sand. // Proc. Roy. Soc. London. 1883. V. 36, Af°228.

148. Dubreil-Jacotin M.L. Sur la détermination rigoureuse des ondes permanentes périodiques dempleur finie. // Math. Pures appl. Paris. 1934. V. 13. P. 217 291.

149. Exner F. M. Uber die Wecheselwirkung zwischen Wasser und Geschibe in Flübe. // Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien. 1925. H. 3-4.

150. Forel F.A. Les rides de fond étudiés dans le Las Léman. // Arch, sei. phys. et natur. Gènève. 1883. V. 10. №3.

151. Friedrichs K.O. On the derivation of the shallow water theory. // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. №\. P. 1 87.

152. Friedrichs K.O., Hyers D.H. The existence of solitary waves. // Comm. Pure Appl. Math. 1951. V. 7. P. 517-550.

153. Greenhill. Wave motion in hydrodynamics. // Amer. Journ. of Math. 1887. V. 9.

154. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation. // Phys. Rev. Lett. — 1967. V. 19. P. 1095-1097.

155. Hamman G. Die. Bildung von Sanddünen bei gleichmäbigen Strömung. // Ann. Phys. 1912. Bd. 39. Af°13.

156. Helmholtz H., Piotrovski G. Uber Reinbug tropbarer Flubigkeiten. Wiss. Abhandl., Bd. 1, IX, 1860.

157. Holm D.D. Gyroscopic analogy for collective motion of a stratified fluid, // J. Math. Anal, and Appl. 1986. V. 11. №l. P. 57 80.

158. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves. // Philos. Magazine. S. 5. 1895. V. 39. Af°240. P. 422-443.

159. Laitone E. V. The second approximation to cnoidal and solitary waves. J. Fluid Mech. 1960. V. 9. Af°3. P. 430 444.

160. Levi Civita J. Détermination rigoureuse des ondes permanents d'ampleur finie. // Math. Ann. 1925. V. 93. P. 264 - 314.

161. S.I. Peregudin Spatial wave movements in a non-homogeneous liquid above the loose medium. // Abstracts of the International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, Russia, 24-27 November, 2003. P. 196-197.

162. Polia C. Zur Kinematik der Geschiebebewegung. // Mit. Versuchsanst. Wasserbau und Erdbau, Techn. Hochschule. 1967. Zürich.

163. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves. // Cambridge. Trans. 1847. V. 8. P. 1 212.

164. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves. // Math, and Phys. Papers. Cambridge. 1880. V. 1. P. 197 229.

165. Stokes G.G. Supplement to a paper on the theory of oscillatory waves. // Math, and Phys. Papers. Cambridge. 1880. V. 1. P. 314 326.

166. Webb. Math. Tripos. Papers, 1884.