Математическое моделирование процессов переноса в глубинных недрах Земли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Степанов, Андрей Алексеевич

• Степанов, Андрей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степанов, Андрей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

Цель работы и ее актуальность.

Методы исследования.

Научная новизна.

Практическая значимость.

Достоверность.

Внедрение научных результатов.

Апробация работы.

Публикации.

Объем и структура диссертационной работы.

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ.

1.1 Строение Земли.

1.2 Распространение тепла в мантии Земли.

1.3 Конвекция в жидком ядре Земли.

1.3.1 Краткая предыстория вопроса.

1.3.2 Гидромагнитное геодинамо.

1.3.3 Физическая картина течения.

1.3.4 Течение Праудмана-Стюартсона.

1.4 Адаптивные расчетные сетки.

Выводы по главе.

ГЛАВА 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О ТЕПЛОВОМ СОСТОЯНИИ МАНТИИ.

2.1 Оценка эффективной теплопроводности.

2.2 Приближенное решение уравнений теплопереноса.

2.3 Общая методика определения теплопереноса в мантии.

2.4 Тепловая модель Земли.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧ

НОГО ТЕЧЕНИЯ В ЖИДКОМ ЯДРЕ.

3.1 Течение жидкости во вращающейся системе координат.

3.2 Физико-математическая модель.

3.3 Численная модель и конечно-разностная аппроксимация.

3.4 Результаты математического моделирования.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНАЯ БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ SCL.

4.1 Актуальность разработки библиотеки.

4.2 Общая структура и идеология библиотеки ScL.

4.3 Модули библиотеки ScL.

4.3.1 Модуль scl Utility.

4.3.2 Модуль sclMath.

4.3.3 Модуль sclCommon.

4.3.4 Модуль sclMesh.

4.3.5 Модуль sclLinearAlgebra.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов переноса в глубинных недрах Земли»

Цель работы и ее актуальность

Процессы, происходящие в недрах звезд, планет и спутников, на сегодняшний день являются плохо изученными как теоретически, так практически, и численно.

При теоретическом исследовании основные трудности связаны с высокой математической сложностью моделей. Космические размеры и огромные градиенты физических параметров приводят к появлению достаточно тонких в космических масштабах структур, поведение и взаимодействие которых полностью определяют характер протекающих процессов. К сожалению, на сегодняшний день теоретически удалось разрешить достаточно узкий круг задач при существенных физических допущениях при их постановке.

С практической точки зрения остаются неизвестными состав и свойства веществ исследуемых систем. Взять непосредственно образцы с помощью современных технических средств не представляется возможным. В тоже время нельзя и экспериментально смоделировать те физические условия, которые имеют место в глубинных недрах. Имеющиеся на сегодняшний день оценки получены экстраполяцией экспериментальных данных для «чистых» веществ, а также по косвенным наблюдениям происходящих явлений (распространение сейсмических волн, прецессия и др.). При этом используются различные математические модели, которые чаще всего опираются на недостоверно известные сведения, и как следствие, результаты различных авторов сильно отличаются друг от друга.

Развитие численных методов, а также мощности вычислительных систем позволяют надеяться на то, что в ближайшем будущем удастся детально смоделировать происходящие в недрах планет процессы. Однако, применяемые в данной области физики методы математического моделирования очень требовательны к ресурсам вычислительных систем, и, даже с учетом роста производительности последних, эти подходы в ближайшее обозримое буду6 щее не позволят смоделировать процессы при параметрах близких к реальным физическим параметрам веществ.

Достаточно большое количество коммерческих программных комплексов предназначенных для математического моделирования задач гидравлики, газовой динамики, прочности, теплопереноса еще до сих пор не способны решать многие специализированные исследовательские задачи. В связи с этим для их решения существует необходимость в разработке собственных программных кодов. К сожалению, набор программного инструментария для относительно быстрого создания собственных программных кодов весьма ограничен и часто требует от исследователя практически профессиональных навыков программирования, что сильно ограничивает круг людей, которые могли бы решать такие задачи.

В связи с этим работа, посвященная развитию методов математического моделирования в геофизике, на основе подходов, хорошо зарекомендовавших себя в других отраслях науки и техники, и созданию простого в использовании и интуитивно понятного программного инструментария для решения задач математического моделирования, несомненно, является актуальной.

В работе рассматриваются два связанных между собой явления, рассмотренных на примере нашей планеты, - эффективный перенос тепла от границы жидкое ядро-мантия к поверхности Земли и гидродинамическое течение, возникающее в жидком ядре при слегка дифференциальном вращении мантии и твердого внутреннего ядра.

Цель работы состоит в создании математических моделей, методов и алгоритмов решения более эффективных, чем традиционно используемые в геофизике для математического моделирования процессов теплопереноса в мантии и гидродинамического течения в ядре Земли, а также создании программных средств для их реализации.

В соответствии с поставленной целью определены следующие задачи исследования:

1. Разработать простой метод определения теплового состояния планет, имеющих слоистую структуру, и построить самосогласованную тепловую модель мантии Земли, опираясь только на достаточно уверенно определяемые величины.

2. Рассмотреть простейшую модель течения в жидком ядре Земли и получить ее численное решение методом, использующим адаптацию расчетной сетки к возникающим тонким гидродинамическим пограничным и сдвиговым слоям.

3. Разработать библиотеку программных кодов для реализации методов и алгоритмов вычислительной математики и визуализации результатов численных расчетов.

Методы исследования

Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы математического моделирования, дифференциальной геометрии, теория гармонических отображений, теория подобия и размерностей, методы вычислительной математики и объектно-ориентированного программирования.

Основные результаты работы. На защиту выносятся следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

1. Самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные, и ее метод построения для космических объектов слоистой структуры, основанный на разложении решения уравнения теплопереноса в ряд Тейлора по временной переменной.

2. Математическая модель течения в жидком ядре Земли, использующая метод контрольных объемов с адаптацией расчетной сетки под градиент компонент вектора скорости.

3. Программная библиотека методов и алгоритмов вычислительной математики и программный комплекс трехмерной визуализации и обработки численных результатов расчетов.

Научная новизна

1. Впервые построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные - величину теплового потока с поверхности и значения температуры в реперных точках, соответствующих фазовым переходам веществ. Рассмотрена зависимость теплового состояния мантии Земли от некоторых неуверенно определяемых величин, таких как эффективная теплопроводность внешней оболочки (земная кора и океаны), температуры на границе ядро-мантия. Построенная модель позволяет независимо оценить среднее содержание радиоактивных источников в земной коре. Пользуясь полученными результатами можно легко оценить распределения температуры и теплового потока в недрах Земли, а также их эволюцию в зависимости от уточняемых величин (температура на границе ядро-мантия, количество радиоактивных источников и т.п.). Разработанный метод построения тепловой модели планеты является оригинальным (независимым от других) методом определения температуры и теплового потока и может быть использован как один из критериев для проверки корректности других методов.

2. Построена численная модель осесимметричного течения в жидком ядре, основанной на конечно-разностной дискретизации с использованием подвижной адаптивной расчетной сетки, и на персональном компьютере получены решения системы уравнений Навье-Стокса с характерным числом

Экмана вплоть до значений Ю 8 (такие же результаты были достигнуты другими авторами с использованием длительного счета на суперкомпьютерах). Показано, что применение данного подхода для моделирования более сложного течения в недрах Земли и других космических объектах с учетом магнитного поля предпочтительнее, чем методов, использующих разложение решения по сферическим гармоникам.

3. Для достижения полученных результатов на языке программирования С++ разработана кроссплатформенная библиотека программных кодов, позволяющая:

- единообразно работать с расчетными сетками, имеющими различную структуру, а также сопоставлять им данные любого типа, которые могут быть связаны с любой структурной единицей (узлы, ребра, грани, ячейки и т.п.) расчетной сетки;

- единообразно работать с векторами и матрицами различного вида (полноразмерными, разреженными, ленточными и т.п.), с полным сохранением их привычной математической интерпретации и семантики языка программирования С++;

- осуществлять визуализацию расчетных данных с использованием кроссплатформенной библиотеки трехмерной графики OpenGL.

Практическая значимость

Численные результаты, полученные в ходе работы, показали эффективность разработанных моделей по сравнению с имеющимися подходами в геофизике.

Разработанная простая и самосогласованная тепловая модель мантии может быть применена для определения теплового состояния других космических объектов, состоящих из сферических оболочек.

Моделирование течения в жидком ядре Земли с использованием подвижных адаптивных расчетных сеток уже сегодня позволяет получить достоверные результаты для параметров близких к реальным параметрам в ее недрах, при этом требуют несравнимо меньших затрат вычислительных ресурсов.

Разработанная программная библиотека внедрена в промышленную эксплуатацию и нашла свое применение при решении наукоемких задач в ряде программных комплексов, успешно используемых в промышленных, научных и учебных целях.

Полученные в численных экспериментах результаты углубляют понимание происходящих в недрах планет процессов, и механизмы формирования и взаимодействия тончайших гидродинамических структур.

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается их соответствием общепринятым представлениям, сравнением их с другими подобными работами, проверкой программной реализации на ряде тестовых задач, а так же с теоретическими результатами, имеющими место в асимптотическом пределе, для задачи о течении между двумя слегка дифференциально вращающимися коаксиальными сферами.

Внедрение научных результатов

Полученные в диссертационной работе результаты, используются в программных комплексах «TurbBlade2D», «TurbBlade2.5D» для построение расчетных сеток, которые применяются на ОАО «НПО «Сатурн» в процессе проектирования лопаток турбомашин, в программных средствах для решения сопряженных задач, а также в программном комплексе трехмерной визуализации и обработки результатов численных расчетов «VisuaBDpro», применяемом на ОАО «НПО «Сатурн» и кафедре общей и технической физике Рыбинской государственной авиационной технологической академии имени П.А. Соловьева, что подтверждается соответствующими актами внедрения.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии и образование на рубеже веков» (РГАТА, г.Рыбинск, 2002), на семинаре отдела «Постоянного магнитного поля Земли» (г.Троицк, ИЗМИР АН, 2002), на международной ассамблее EGU-EGS-EEE (г.Ницца, 2003), международной конференции «PROBLEMS OF GEOCOSMOS» (СпГУ, г.Санкт-Петербург, 2004, 2006), на международном семинаре «Построение расчетных сеток: теория и приложения» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2002), на всероссийской конференции «Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2004), на Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2006) на 8-ом симпозиуме SEDI (Калифорния, США, 2002), на международных конференциях «Палеомагнетизм и магнетизм горных пород» (геофизическая обсерватория «Борок», 2001 -2003), на международной конференции «Супервычисления» (г.Саров, ВНИИЭФ, 2004), на семинарах профессора Д.Д. Соколова (г.Москва, ВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003 - 2004), на объединенном семинаре кафедры прикладной математики и Средневолжского математического общества под руководством Е.В. Воскресенского (г. Саранск, 2007).

По материалам работы в 2002 году автор получил диплом лауреата областного конкурса на лучшую научно-исследовательскую работу. Работа выполнялась в рамках ряда проектов: грант Министерства высшего образования АОЗ-2.13-375, грант РФФИ 02-05-64888, грантов ИНТАС 99-0348 и 03-515807.

Публикации

Основные материалы диссертационной работы достаточно полно опубликованы в доступных литературных источниках. По результатам проведенных исследований опубликовано 9 работ, в том числе одна статья в издании, рекомендованном ВАК, и одна программа, имеющая свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, которая приравнивается к публикациям в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем и структура диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Объем диссертации составляет 159 страниц машинописного текста и 5 приложений, список использованных источников содержит 106 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Степанов, Андрей Алексеевич

Выводы по главе

В настоящее время работы направленные на создание программных средств, позволяющих достаточно легко ставить и решать задачи математического моделирования, являются весьма актуальными.

В ходе работы над диссертацией на объектно-ориентированном языке программирования С++ разработана программная библиотека ScL (,Scientific Library), которая предоставляет пользователю набор структур данных и методов работы с ними при решении задач связанных с использованием: расчетных сеток (модуль sclMesh), аппарата линейной алгебры (sclLinearAlgebra), трехмерной визуализации (sclGraphics).

Разработанная структура и заложенная идеология в основу библиотеки ScL позволяет легко освоить работу с ней, так как семантика библиотеки полностью соответствует ожидаемой математической интерпретации.

На базе представленной библиотеки разработан целый ряд программного обеспечения используемого в промышленных и научно-исследовательских целях на ОАО «НПО «Сатурн» и кафедре обшей и технической физики РГАТА им. П.А. Соловьева [100], [101], [102], [103], [104], [105]. Программный комплекс Visual3Dpro для автоматической обработки и визуализации результатов трехмерных численных расчетов с использованием расчетных сеток разработанный автором представлен в приложение Д.

Опыт применения библиотеки ScL показал, что ее использование ведет к существенному уменьшению необходимого для решения поставленной задачи программного кода (более чем в несколько раз), при этом, практически, исключая возможность некорректной работы с памятью ЭВМ, не теряя при этом в производительности вычислений.

Впервые построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные - величину теплового потока с поверхности и значения температуры в реперных точках, соответствующих фазовым переходам веществ. Рассмотрена зависимость теплового состояния мантии Земли от некоторых неуверенно определяемых величин, таких как эффективная теплопроводность внешней оболочки (земная кора и океаны), температуры на границе ядро-мантия. Построенная модель позволяет независимо оценить среднее содержание радиоактивных источников в земной коре. Пользуясь полученными результатами можно легко оценить распределения температуры и теплового потока в недрах Земли, а также их эволюцию в зависимости от уточняемых величин (температура на границе ядро-мантия, количество радиоактивных источников и т.п.). Разработанный метод построения тепловой модели планеты является оригинальным (независимым от других) методом определения температуры и теплового потока и может быть использован как один из критериев для проверки корректности других методов.

Построена численная модель осесимметричного течения в жидком ядре, основанной на конечно-разностной дискретизации с использованием подвижной адаптивной расчетной сетки, и на персональном компьютере получены решения системы уравнений Навье-Стокса с характерным числом Экмана вплоть до значений 10~8 (такие же результаты были достигнуты другими авторами с использованием длительного счета на суперкомпьютерах). Показано, что применение данного подхода для моделирования более сложного течения в недрах Земли и других космических объектах с учетом магнитного поля предпочтительнее, чем методов, использующих разложение решения по сферическим гармоникам.

Для достижения полученных результатов на языке программирования С++ разработана кроссплатформенная библиотека программных кодов, позволяющая:

- единообразно работать с расчетными сетками, имеющими различную структуру, а также сопоставлять им данные любого типа, которые могут быть связаны с любой структурной единицей (узлы, ребра, грани, ячейки и т.п.) расчетной сетки;

- единообразно работать с векторами и матрицами различного вида (полноразмерными, разреженными, ленточными и т.п.), с полным сохранением их привычной математической интерпретации и семантики языка программирования С++;

- осуществлять визуализацию расчетных данных с использованием кроссплатформенной библиотеки трехмерной графики OpenGL.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степанов, Андрей Алексеевич, 2007 год

1. М.Ф. Иванова. Общая геология. Учебник для студентов ун-тов. М.: Высшая школа, 1974. - 400 е., ил.

2. Б. Болт. В глубинах Земли. О чем рассказывают землетрясения. Пер. с англ. М.: Мир, 1984, - 189с., ил.

3. Мамсуров М.С. Сейсмология и сейсмометрия. М.: Знание, 1982. 48 с. -(Новое в жизни, науке, технике. Сер. "Науки о Земле"; № 4).

4. A.M. Dziewonski, D.L. Anderson. Preliminary Reference Earth Model. Physics of Earth and Planetary Interiors, 25 (1981), pages 297 356.

5. F. Birch. Composition of the Earth's mantle. Geophys. J. Roy. Astr. Soc., 4 (1961), pp.295-311.

6. Ф. Стэйси. Физика Земли. Пер. с англ. -М.: Мир, 1972, 344 с.

7. Q. Williams, Е. Knittle, R. Jeanloz. The high-pressure melting curve of iron: a technical discussion. J. Geophys. Res., 96 (1991), pp. 2171 -2184.

8. O.L. Anderson, A. Duba. Experimental melting curve of iron revisited. J. Geophys. Res. 102 (1997), 22659-22669.

9. R. Bouhler. Temperature in the Earth's core from melting point Measurements of iron at high static pressures. Nature 363 (1993), 534 536.

10. Takesi Yukutake2000. The inner core and the surface heat flow as clues to estimating the initial temperature of the Earth's core. Physics of Earth and Planetary Interiors, 121 (2000), pages 103 137.

11. Жарков B.H., Трубицын В.П. Физика планетных недр. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 448 с.

12. Любимова Е.А. Термика Земли и Луны. М.: Наука, 1958.

13. Lubimova Е.А. Thermal history of the Earth with consideration of the variable thermal conductivity of its mantle. Geophys. J., Roy. Astron. Soc., 1,115 (1958).

14. Mac Donald G. J. F. Calculation of the thermal history of the Earth. // J. Geophys. Res., vol.64, 1959, pp.1967 1977.

15. Авсюк Ю.Н., Адушкин В.В., Овчинников В.М. Комплексное исследование подвижности внутреннего ядра Земли. Ж. Физика Земли, №8, 2001, с.64-75.

16. Van Schmus W.R. Natural radioactivity of the crust and mantle. Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants. AGU Reference Shelf 1. Am. Geo-phys., 1995, p.p. 283-291.

17. Stacey F.D. Physics of the Earth. Brookfield Press, Queensland, Australia, 1992,513р.

18. Loper D.E. The nature and consequences of thermal interaction twixt core and mantle. J. Geomagn. Geoelectr. 43 (1991), P. 79 -91.

19. Roberts P.H., Glatzmaier G.A. Geodynamo theory and simulations. Review of Modern Physics, Vol. 72, No. 4, 2000, pp. 1081 1123.

20. G.A. Glatzmaier, P.H. Roberts. Simulating the geodynamo. Contemporary Physics, 1997, volume 38, number 4, pages 269 288

21. Жарков B.H. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1978.

22. Старченко С.В., Степанов А.А. Источники и потоки тепла в мантии Земли // ДАН, 2002, Т. 384, № 3, С. 391 394.

23. Starchenko S., Stepanov A. Heat sources and fluxes in the Earth's mantle// Do-clady Earth Science, vol. 384,2002, N. 4, P. 438 441.

24. Степанов A.A., Старченко C.B. Тепловой поток из ядра Земли и внутренние источники в мантии. Труды РНКТ-3 в восьми томах. 2002. Том 7, с 258262.

25. Stepanov A.A., Starchenko S.V. The numerical modeling of Proudman-Stewartson's flow. // The Works of 5th International Conference "PROBLEM OF GEOCOSMOS". 2004. p. 264 268.

26. Stevenson D.J., Spohn Т., Schubert G. Magnetism and thermal evolution of the terrestrial planets // ICARUS 54, 1983, P. 466 489.

27. H.N. Pollack, S.J. Hurter, J.R. Juhnson. Heat flow from the Earth's interior: analyses of the global data set // Rev. Geophys., 1993, V.31. P. 267 280.

28. Рыков B.B., Трубицын В.П. Численное моделирование мантийной конвекции и тектоники континентальных плит, Вычислительная сейсмология. 1994, т. 26. Геодинамика и прогноз землетрясений С.94-102.

29. Рыков В.В., Трубицын В.П. Трехмерная модель мантийной конвекции с движущимися континентами, Вычислительная сейсмология 1994, т.27, Теоретические проблемы геодинамики и сейсмологии. С. 21-41

30. Трубицын В.Р. Бобров A.M., Кубышкин В.В. Тепловая конвекция в мантии, вызванная горизонтальным и вертикальным градиентом температуры // Физика Земли. 1991. № 5. С. 12-23.

31. Трубицын В.П., Белавина Ю.Ф., Рыков В.В. Тепловая конвекция в мантии с переменной вязкостью и континентальной плитой конечных размеров // Физика Земли. 1994, N 7/8, С. 5-17.

32. Тычков С.А., Червов В.В., Черных Г.Г. О численном моделировании тепловой конвекции в мантии Земли. // Доклады академии наук, 2005, том 402, №2, с. 248-254.

33. Parmentier Е.М., Sotin С. and Travis B.J. Turbulent 3-D thermal convection in an infinite Prandl number, volumetrically heated fluid; Implication for mantle dynamics. // Geophys.J. Int., 1994,116. 241-254.

34. Исаченко В.П., ОсиповаВ.А., Сукомел A.C. Теплопередача. M.: Энергия, 1975,-488 с.

35. X. Song, P.G. Richards. Seismological evidence for differential rotation of the Earth's inner core. Nature, 382 (1996), pp. 221 -224.

36. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978, 736 с.

37. Starchenko S.V., Jones С.A. Typical velocities and magnetic field strengths in planetary interiors // ICARUS, 2002, V. 157 (2), P. 426 435.

38. F.H. Harlow, J.E. Welch. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluid, 1965, vol. 8, No. 12, pp. 2182-2189.

39. S.V. Patankar, D.V. Spalding. A calculation procedure for heat mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows. Int. J. Heat Mass Transfer. 1972. vol 15, p. 1787.

40. Патанкар C.B. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984, пер. с англ., под ред. В.Д. Вилен-ского, 152 с.

41. Belotserkovskii О.М. Mathematical Modelling on Informatics: Numerical Simulation in the Mechanics of Continuous Media. M.: Moscow State University of Printing Arts, 1997. - 252 pp.

42. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems. J. Comput. Phys., 1967, vol. 2, No. 1, pp. 12 26.

43. Иваненко С.А. Адаптивно гармонические сетки. М.: Вычислительный центр РАН, 1997,-182 с.

44. J.F. Thompson, Z.U.A. Warsi, C.W. Mastin. Numerical grid generation. (Nord-Holland, N.Y. etc.), 1985

45. J.U. Brackbill. Adaptive grid with directional control. J. Сотр. Phys., 1993, Vol. 108, No. 1, pp. 38-50.

46. Б.Н. Делоне. О пустом шаре. Изв. АН СССР, 1934, Сер. VII, т.6, с. 793 -800.

47. M.G. Voronoi. Nouvelles applications des parametres continus a la theorie des formes quadratiques. J. Reine u. Angew. 134, pp. 198 287.

48. Годунов C.K., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976,400 с.

49. A.M. Winslow. Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a non-uniform triangle mesh. J. Comput. Phys., 1966, Vol. 1, No 2, pp. 149 172.

50. А.Ф. Сидоров. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток. Тр. матем. ин-та АН СССР, 1966, т. 74, с. 147 151.

51. A.S. Dvinsky. Adaptive grid generation from harmonic maps on Riemanian manifolds. J. Сотр. Phys., 1991, Vol. 95, No. 3, pp. 450 476.

52. Степанов A.A., Старков Р.Ю. Алгоритм построения двумерной расчетной сетки для решения задач газовой динамики в решетках турбомашин. Сб. трудов семинара "Построение расчетных сеток: теория и приложения" М.: Вычислительный центр РАН, 2002,- с.317-326

53. С.А. Иваненко. Вариационные методы построения адаптивных сеток. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, т. 43, № 6, с.830 844.

54. V.D. Liseikin. On some interpretations of a smoothness functional used in constructing regular and adaptive grids. Russ. J. Numer. Anal. Modelling, Vol. 8, No. 6, pp. 507-518.

55. J.M. Ball. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity. Arch. Ration. Mech. Analys., 1997, v. 63, pp. 337-403.

56. B.A. Гаранжа. Управление метрическими свойствами пространственных отображений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, т. 43, № 6, с.818 829.

57. С.А. Иваненко. Управление формой ячеек в процессе построения сетки. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2000, т. 40, № 11, с. 1662 1684.

58. Handbook of grid generation. Ed. J.F. Thompson, B.K. Soni. Weatherill. Boca Raton, Fl.: CRC Press, 1990.

59. G. Berti. GrAL the Grid Algorithms Library, http://www.math.tu-cottbus.de/~berti/gral, 2001.

60. G. Berti, Generic software components for Scientific Computing, Ph.D. thesis, Faculty of mathematics, computer science, and natural science, BTU Cottbus, Germany, 2000.

61. Jeremy G. Siek and Andrew Lumsdaine. The matrix template library: A unifying framework for numerical linear algebra. In Parallel Object Oriented Scientific Computing. ECOOP, 1998.

62. The CGAL project. The CGAL home page. Computational Geometry Algorithms Library. http://www.cs.uu.nl/CGAL/, 1999.

63. OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox, http://www.opencfd.co.uk/ openfoam/

64. W.J. Schroeder, K.M. Martin, and W.E. Lorensen. The Visualization Toolkit An Object Oriented Approach to 3D Graphics. Prentice Hall, 1996.

65. The Qt. Trolltech. The Qt homepage, http://www.trolltech.com/, 1994.

66. The OpenGL. Silicon Graphics Inc. The OpenGL homepage, http://www.open-gl.org/, 1992.

67. M. Lee, A.A. Stepanov. The standard template library. Technical report, Hewlett-Packard Laboratories, February 1995.

68. Никитина JI.B., Рузмайкин A.A. Течение внутри Земли, создаваемое относительным вращением мантии и твердого ядра // Геомагнетизм и Аэрономия. 1990. Том. 30. С. 127-131.

69. Старченко С.В. Магнитогидродинамика вязкого сферического слоя, вращающегося в сильном потенциальном поле // ЖЭТФ. 1997. Том. 112. № 6-12. С. 1-23.

70. Старченко С.В. Суперкритическая конвекция при сверхбыстром МГД-вращении // ЖЭТФ. 1999. Том. 115. № 5. С. 1708 1720.

71. Braginsky, S. I. and Roberts, P. H. Equations governing convection in the Earth's core and the geodynamo // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1995. Vol. 79. P. 1-97.

72. Busse, F. H. Thermal instabilities in rapidly rotating system // J. Fluid Mech. 1970. Vol.44. P. 441-460.

73. Glatzmaier, G. A. and Roberts, P. H. An anelastic evolutionary geodynamo simulation driven by compositional and thermal convection // Physica D. 1996. Vol. 97. P. 81-94.

74. Lister, J. R. and Buffett, B. A. The strength and efficiency of thermal and compositional convection in the geodynamo // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. Vol. 91. P. 17-30.

75. Proudman, I. The almost rigid rotation of a viscous fluid between concentric spheres//J. Fluid Mech. 1956. Vol. 1. P. 505-516.

76. Roberts, P. H., Jones, C. A. and Calderwood, A. R. Energy fluxes and ohmic dissipation in the Earth's core // to appear in Earth's core and lower mantle 2001 eds. C.A. Jones, A.M. Soward and K. Zhang, Gordon and Breach.

77. Ruzmaikin, A. A. and Starchenko, S. V. On the origin of Uranus and Neptune magnetic fields // Icarus. 1991. Vol. 93. P. 82 87.

78. Starchenko, S. V. Supercritical magneto-convection in rapidly rotating planetary cores // Phys. Earth Planet. Inter. 2000. Vol. 117. № 1-4. P. 225 235.

79. Starchenko, S. V. Anelastic planetary magnetohydrodynamics // NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 2001. Vol. 26. P. 217 224.

80. Stewartson, K. On almost rigid rotations. Part 2 // J. Fluid Mech. 1966. Vol. 26. P. 131-144.

81. Wijs, G. A. et al. The viscosity of liquid iron at the physical conditions of the Earth's core // Nature. 1998. Vol. 392. P. 805 807.

82. Kleeorin, N., Rogachevskii, I., Ruzmaikin, A., Soward A. and S. Starchenko, Axisymmetric Flow between Differentially Rotating Spheres in a Dipole Magnetic Field // J. Fluid Mech., 1997, 344, 213-244.

83. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988,410 с.

84. Дж. Райе. Матричные вычисления и математическое обеспечение. Пер. с англ. М.: Мир, 1984,264 с.

85. С.И. Брагинский. Геомагнитное динамо // Известия АН СССР, Физика Земли, №9,1978, с. 74-89.

86. С.И. Брагинский, О строении слоя F и причинах конвекции в ядре Земли, ДАН СССР, том 149, №6, 1963.

87. Т. Каулинг, Магнитная гидродинамика, Москва, «Иностранная литература», 1959.

88. У. Паркинсон, Введение в геомагнетизм, Москва, «Мир», 1986.

89. Dormy Е., Cardin P., Jault D. MHD flow in a slightly differentially rotating spherical shell, with conducting inner core, in a dipolar magnetic field // Earth and Planetary Science Letters, 1998, vol. 160, P. 15 30.

90. Hollerbach R. Magnetohydrodynamics Ekman and Stewartson layers in a rotating spherical shell //Proc. R. Soc. Lond. A, 1994, vol. 444, P. 333-346.

91. Решетняк М.Ю. Вращение твердого ядра с учетом слоя Экмана // ДАН,2002, том 384, № 1,С. 103-107.

92. Цупал И., Хейда П., Решетняк М.Ю. Слой Стюартсона под воздействием сил Лоренца и Архимеда // Вычислительные методы и программирование,2003, том 4, №2, С. 9-15.

93. Старченко С.В., Котельникова М.С. Симметричный тепломассоперенос во вращающемся сферическом слое //ЖЭТФ, 2002, Т. 121 (3), С. 538 550.

94. D.J. Stevenson, Т. Spohn, G. Schubert. Magnetism and thermal evolution of the terrestrial Planets // ICARUS, 1983, No. 54, p. 466 489.

95. Освой самостоятельно UML за 24 часа, 2-е издание: Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2002. - 352 с.

96. Степанов А.А., Дылинов А.Н., Кретинин Г.В. Программный комплекс оптимизации для проектирования узлов турбомашин. XV Школа семинар под руководствам академика А.И. Леонтьева. Калуга, 2005.

97. Степанов А.А., Смирнова М.А. Обмен данными при решении сопряженных задач. Труды Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления». М.: Издательство «Фолиум», 2006, с. 166-171.

98. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006613408 от 29 сентября 2006 г. Модуль визуализации и контроля параметров компрессорной лопатки.

99. Степанов А.А., Тепловое состояние и гидродинамика глубинных недр Земли. Саранск: Средневолжское матем. общество, 2007, препринт №109. 36 с.

100. Листинг программы для решения задачи о тепловом состоянии мантии1. Некоторые константы> mlrdyears := 365.25 * 24 * 3600 * 1е9;> pi := 4.0 * atan(1.0);> Qtotal := 44е12;> q0 := 4. 722376e-009;> ql := -2.680118e-026;

101. Результаты решения обратной задачи теплопереноса в мантии Земли