Математическое моделирование процессов теплопереноса в системах с шероховатыми поверхностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Дмитриенко, Григорий Сергеевич

• Дмитриенко, Григорий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дмитриенко, Григорий Сергеевич

Введедние.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ.

Фрактальный подход при моделировании поверхности для решения различных задач.

Основы теории фракталов.

О моделировании профиля и шероховатой поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов теплопереноса в системах с шероховатыми поверхностями»

Введедние Актуальность темы

Реальные физические тела имеют сложные поверхности, что особенно актуально в связи с развитием техники, в которой используются нанообъекты. В связи с этим представляется актуальным решение краевой задачи с реальными поверхностями, которые могут быть моделированы в виде фрактальных или еще более сложных объектов. Учет таких границ является важным при рассмотрении реальных процессов переноса. Кроме задач, относящихся к твердым телам, такая задача представляется актуальной для задач переноса с жидким наполнителем.

Так же в этом случае необходимо решать задачу с подвижной границей в виду существования фазовых переходов, таких как испарение, конденсация, кристаллизация, сублимация, напыление.

Рост статей и публикаций на тему фракталов, как инструменту способному с самых общих позиций охарактеризовать наблюдаемые структуры и процессы в материалах, свидетельствует об актуальности данной проблемы и о широкой возможности такого подхода. Наряду с этим, во многих областях физики в последнее время стало вызывать большой интерес исследование фрактальных множеств [1].

На эксплуатационные свойства деталей машин существенно влияет шероховатость обработанной поверхности. От шероховатости поверхности зависит также устойчивость поверхности против коррозии. На износоустойчивость поверхности влияют сопротивляемость поверхностного слоя разрушению и микрогеометрические отклонения, т. е. отклонения от геометрической формы, которые приводят к неравномерному износу отдельных участков. Не все свойства двух поверхностей, относящихся к одному классу чистоты, могут быть одинаковыми при совпадающих параметрах классов, поэтому принадлежность поверхностей к одному классу чистоты не является достаточным условием для заключения об идентичности поведения деталей при эксплуатации.

В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей [2-5].

Особый интерес представляют механизмы влияния шероховатости поверхности в задачах связанных с магнитными наноструктурами, а так же влияние шероховатости на скорость осаждения аэрозоля на поверхность.

Моделирование поверхности с фрактальными свойствами актуально при решении задач с подвижными границами. Вид поверхности с течением времени определяется механизмами роста, и сохраняет свои свойства на каждом шаге процесса. Например, при осаждении аэрозоля на поверхность или напылении частиц, возникают сложные структуры на поверхности, которые могут быть моделированы в виде фрактального объекта.

Процессы с подвижными границами, например, осаждение наночастиц на поверхность, могут быть описаны на основе моделей фрактального роста, где вид поверхности непрерывно изменяется [6]. В таких моделях поверхность (или профиль поверхности), как правило, определяется решением стохастического дифференциального уравнения. Основным механизмом роста в таких моделях является случайное осаждение частиц, при этом в моделях не учитываются термодинамические характеристики системы.

Во многих реальных физических процессах, например образование кристаллов льда (снежинок, сосулек и т.д.), форма поверхности изменяется не только за счет осаждения частиц малого размера, но и за счет процессов фазового превращения. Фазовая граница может быть представлена в виде фрактального объекта (снежинка и др.). Моделирование процессов изменения межфазных границ приводит к задаче Стефана. При этом под задачей Стефан понимается широкий класс математических моделей, описывающих тепловые, диффузионные процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями среды и поглощением или выделением скрытой теплоты. Такие процессы встречаются в металлургии, при выращивании кристаллов, а также в ряде других областей науки и техники. Наиболее характерной особенностью этих процессов, из-за которых их математические модели являются нелинейными и трудны для анализа, являются неизвестные заранее («свободные») границы между различными фазами.

Одной из альтернативных моделей процесса кристаллизации, появившейся и интенсивно развивающейся в последнее время, является модель фазового поля [7-10]. Как показано в ряде работ, модель фазового поля при предельных значениях параметров близка к классической постановке задачи Стефана (с явно выделенной границей)[9].

Отметим, что такая модель может использоваться для представления реальной поверхности тела при решении задач с неподвижной границей.

Целью настоящей работы является разработка методов построения математических моделей шероховатой поверхности в задачах теплопереноса с подвижными и неподвижными границами, а так же анализ фрактальных и более общих моделей шероховатой поверхности, исследование температурного поля вблизи такой поверхности.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Анализ, построение моделей описывающих поверхность, в том числе фрактальных моделей, моделей случайного осаждения, стохастических дифференциальных уравнений, задающих поверхность.

2. Численное решение задачи теплопереноса с граничными условиями в виде фрактальной поверхности.

3. Моделирование процесса кристаллизации расплава на основе теории фазовых переходов, исследование температурного поля вблизи поверхности. Решение задач с подвижными границами.

4. Моделирование и численный анализ процессов осаждения частиц аэрозоля на поверхность.

5. Исследование данных полученных на туннельном сканирующем микроскопе, оценки фрактальной размерности поверхности образцов, а так же исследование моделей описывающих такого рода поверхности.

Научная новизна:

1. Разработана математическая модель процесса кристаллизации и осаждения частиц на поверхность, отличительной особенностью которой является введение переменного параметра производной порядка вблизи фронта кристаллизации, на основе модели фазового поля.

2. Разработаны алгоритмы решения задачи теплопереноса с фрактальной границей. На основе вычислительного эксперимента по расчету температурного поля вблизи шероховатой поверхности даны оценки влияния шероховатости на решение задачи теплопереноса вблизи шероховатой поверхности.

3. Проведены эксперименты по исследованию геометрии поверхности наноматериалов с использованием сканирующего туннельного микроскопа, отличительной особенностью которых является получение данных шероховатости поверхности. Даны оценки фрактальной размерности поверхности образцов.

4. Разработан программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с использованием существующих методов математического моделирования.

Практическая ценность

Разработанная модель для описания процесса кристаллизации и осаждения частиц аэрозоля на основе модели фазового поля может применяться для учета и коррекции свойств поверхностей при создании наноустройств.

Разработанные в диссертационной работе модели могут быть использованы для анализа технологий обработки и получения шероховатых поверхностей, а так же для анализа размеров систем, в которых необходимо учитывать влияние шероховатости на температурное поле в зависимости от класса обработки.

Теоретическая ценность

Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов, ориентированных на создание математических моделей шероховатой поверхности в задачах с подвижными и неподвижными границами, учитывающих фрактальные свойства поверхности. Развитый метод может быть применен при развитии теории тепломассопереноса в системах с реальными границами.

Методы исследования

В работе применяются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, методы теории вероятностей и математической статистики, теории фракталов, методы теории переноса, функционального анализа.

Разработка и реализация моделей проводилась с использованием объектно-ориентированного программирования на языке С#. Графическое представление решения задач производилась в среде МАТЪАВ.

На защиту выносятся:

Разработанные методы математического моделирования процесса осаждения и кристаллизации для решения задач теплопереноса с подвижной границей.

Реализованные эффективные численные методы для решения задачи теплопереноса в области с фрактальной границей, а так же реализованные методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений для задачи о кристаллизации в терминах модели фазового поля.

Реализованные эффективные численные методы для решения стохастических дифференциальных уравнений, описывающих изменение профиля шероховатой поверхности.

Выявленные условия стабилизации температурного поля вблизи шероховатой поверхности для различных классов шероховатости.

Апробация работы

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин» 2009-2012г.), на XVIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино 2010г.), на XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», 2010г.), на II

Международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин» - Московская Государственная Академия Водного Транспорта с 6 по 11 мая 2011г.).

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 6 печатных работах, в числе которых 2 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ (входящих в базу Scopus), 3 - в сборниках трудов научных конференций и 1 -в монографии.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, 2 приложений и списка литературы из 110 наименований, изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 77 рисунков и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дмитриенко, Григорий Сергеевич

Основные результаты работы:

1. Решена важная задача математического моделирования процессов теплопереноса в системах с шероховатыми поверхностями, отличительной особенностью которой является использование фрактальных и других свойств шероховатой поверхности с целью получения физических данных для решения прикладных задач проектирования наноустройств.

2. Разработаны новые методы математического моделирования процесса кристаллизации и осаждения наночастиц, отличительной особенностью которых является введение переменного параметра производной порядка вблизи фронта кристаллизации, на основе модели фазового поля.

3. Проведено моделирование шероховатости поверхности, а так же задачи теплопереноса в области с подвижными границами, на основе вычислительного эксперимента. Выявлены условия стабилизации температурного поля вблизи шероховатой поверхности для различных классов шероховатости.

4. Разработан программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов по расчету температурного поля в системах с шероховатыми поверхностями. Реализованы численные методы для решения стохастических дифференциальных уравнений, описывающих изменение профиля шероховатой поверхности.

5. Проведены эксперименты по исследованию геометрии поверхности образцов с использованием сканирующего туннельного микроскопа, отличительной особенностью которых является получение данных шероховатости поверхности для дальнейшего использования в математической модели.

6. Полученные результаты могут быть рекомендованы в отраслях промышленности связанных с нанотехнологиями, а так же внедрены в учебный процесс для подготовки бакалавров и магистров по направлению 231300 «Прикладная математика».

Заключение

В работе была предложена новая модель фазового поля, которая может быть использована как для моделирования процессов с подвижной границей, таких как кристаллизация, так и для описания поверхности реальных тел.

Рассмотрены методы математического моделирования процесса кристаллизации и осаждения наночастиц на основе модели фазового поля, отличительной особенностью которых является учет анизотропии энергии поверхностного натяжения, рассматривается модифицированная задача Стефана, а так же исследованы проблемы моделирования шероховатости поверхности.

Для проведения вычислительного эксперимента по расчету температурного поля в системах с подвижными границами рассмотрены эффективные численные методы решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, задачи Стефана в терминах модели фазового поля, задачи теплопроводности.

Используя ресурсы современной вычислительной техники, появилась возможность увеличить сложность моделей при исследовании процессов теплопереноса в системах с шероховатыми поверхностями, учитывающих многообразие факторов, имеющих место в реальных технологических системах.

Описанные в работе подходы и модели, полученные результаты могут быть рекомендованы в отраслях промышленности, связанной с наноэл ектроникой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дмитриенко, Григорий Сергеевич, 2012 год

1. Потапов A.A., Булавкин B.B., Герман В.А., Вячеславова О.Ф., Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур. Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 5.

2. Аксенова О.А., Фрактальная модель шероховатой поверхности, взаимодействующей с разреженным газом, СПбГУ, Матем. моделирование, 13:7 (2001), С. 99-103.

3. Blackmore D., Zhou J. A general fractal distribution function for rough surface profiles. SI AM J. Appl. Math. 1996, v.56, №6, p.1694-1719.

4. Greenwood, J.A. Contact of nominally flat surfaces/J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson// Proc. R. Soc. Series A. 1966.-V.295. - №1422.-P.300-319.

5. Family F., Vicsek Т., Dynamics of Fractal Surfaces, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1991, ISBN 981-02-0720-4.

6. Kobayashi R., Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth, Physica D: Nonlinear Phenomena 1993, Volume: 63, Issue: 3-4, Publisher: Elsevier, Pages: 410-423, ISSN: 01672789.

7. Benes M., Computation studies of anisotropic diffuse interface model of microstructure faormation in solidification, Acta Math. Univ. Comenianae Vol. LXXVT, 1(2007), pp. 39-50 Proceedings of Equadiff 11.

8. Caginalp G., Chen X. Phase field equations in the sinulgar limit of sharp interface problems. In Gurtin, M. and McFadden, G., editors, On the Evolution of Phase Boundaries, 1992, volume 43, pages 1-27. Springer Verlag.

9. Лашин A.M., Моделирование кристаллизации метастабильного расплава, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Препринт ИПМ № 79, Москва, 2001. С 1-31.

10. Mandelbrot Benoit, The Fractal Geometry of Nature, by; W H Freeman & Co, 1982; ISBN 0716711869.

11. Федер E. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир, 1991.-254с.

12. Voss R.F. Random Fractals: Characterization and Measurement, Scaling Phenom- ena in Disordered Systems. New York: Plenum Press. 1985.

13. J. Hutchinson, Fractals and Self Similarity, Indiana Univ. Math. Journal, Vol.30, No.5. (1981), pp.713-747

14. Mauildin R.D. (1986) On the Hausdorf dimension of graphs and random recursive objects. In: Dimensions and Entropies in Chaotic Systems (ed. G. Mayer-Kress, Springer-Verlag, Berlin, pp. 28-33).

15. Mauldin R.D and Wiliams S.C. On the Hausdorf dimension of some graphs, Transactions of the Americam Mathematical Society, Volume 298, Number 2, Decembre 1986.

16. Кочубей A. H. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 4. С. 660-670.

17. Бондаренко A.M., Иващенко Д.С. Численные методы решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функция и приложения», 2007, с. 556-557

18. Самко С. Г. Килбас А.А. Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск «Наука и техника» 1987.

19. Loverro A. Fractional Calculus: History, Definitions, and Applications for the Engineer, Department of Aerospace and Mechanical EngineeringUniversity of Notre Dame Notre Dame, IN 46556, U.S.A.2004.

20. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.). М.: Наука, 1977.

21. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, М.:Наука,1987.

22. Piskunov V.N. Parameterization of aerosol dry deposition velocities on to smooth and rough surfaces, Journal of Aerosol Science, Volume 40, Issue 8, August 2009, p. 664-679.

23. Raupach M.R., Drag and drag partition on rough surfaces, Boundary-Layer Meteorology, Volume 60, Number 4 (1992), p. 375-395.

24. Морозов А.И., И.А. Морозов, А.С. Сигов. Искажения магнитных параметров порядка, вызванные <заряженными> краями атомных ступеней на границе раздела ферромагнетик-антиферромагнетик. ФТТ, 2010, т. 52, вып.2, С. 302-306.

25. Берзин А.А., А.И. Морозов, А.С. Сигов. Эффекты четности-нечетности числа атомов в антиферромагнитной атомной цепочке на ферромагнитной подложке. ФТТ, 2010, т.52, вып.1, С. 110-113.

26. А.И. Морозов, А.С. Сигов. Многослойные магнитные наноструктуры, «Нанонаука и нанотехнологии. Энциклопедия системжизнеобеспечения». М.ЮОО «Издательский дом Магистр-пресс», 2009, 992 стр. стр 243-270.

27. М. Кован, B.C. Корсаков и др.; Под ред. Корсакова. Основы технологии машиностроения: Учебник для вузов / -изд. 3-е, доп. И перераб. -М.: "Машиностроение", 1977.

28. В.М. Бурцев, A.C. Васильев, A.M. Дальский и др., Технология машиностроения: В 2 т. Т. 1. Основы технологии машиностроения: Учебник для вузов ; Под редакцией A.M. Дальского. 2-е изд., стереотип. -М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

29. Горохов Денис Борисович, дисс.: Контактное взаимодействие фрактальных шероховатых поверхностей деталей машин У.е.: кандидат технических наук, Братск, ГОУВПО "Братский Государственый университет", с. 145, 2005.

30. Фукс Н. А., Механика аэрозолей, М., 1955: Аэрозоли, пер. с чеш., М., 1964;

31. Грин X., Лейн В., Аэрозоли — пыли, дымы и туманы, пер. с англ., Л., 1969.

32. Самарский A.A. Теория разностных схем, М.:Наука, 1977.

33. М. А.-Д. Хамад, Матвиенко А. В. Фрактальные свойства микрогеометрии обработанных поверхностей, Спец. "Технология машиностроения", ДонНТУ, 2005.

34. М. А.-Д. Хамад, Матвиенко А. В. Исследование фрактальных свойств микрорельефа обработанных поверхностей. Выпускная работа Спец. "Технология машиностроения", ДонНТУ, 2005.

35. Ашиккалиева К.Х. Фрактальный анализ модификации поверхности монокристаллического кремния при термическом воздействии, Материалы

36. Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2011», ISBN 978-5-317-03634-8.

37. Sayles, R.S. Surface topography as a nonstationary random process/ R.S. Sayles, T.R. Thomas//Nature. 1978. Y.271. p.431-434.

38. Тихомиров, В.П. Двухмерная модель неровностей поверхности твердых тел /В.П. Тихомиров, О.А. Горленко// Трение и износ. 1986.-Т.7. -№3.-С.527-531.

39. В.П. Тихомиров, М.А. Измеров, Модель инженерной поверхности, Вестник Брянского государственного технического университета, №4(28), 2010.

40. Маджумдар, А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей/А. Мад-жумдар, Б. Бхушан// Современное машиностроение.-1991.- №6.- С. 11-23.

41. Pavelescu, D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D. Pavelescu, A. Tudor//Proceedings of the Romanian Academy. Ser. A. 2004. -Vol. 5. - №2.

42. Berry M.V., Lewis H.H., On the Weierstrass-Mandelbrot fractal function, Proc. B. Soc. bond. A 370, 1980.

43. А.Н. Мохель, P.J1. Салганик, А.А. Федотов, Контактное взаимодействие упругих тел при наличии двух резко различных по протяженности масштабов шероховатости их границ, Вычислительная механика сплошных сред. 2008. - Т. 1, № 4. - С. 61-68.

44. Alvin W. Czanderna, Theodore Е. Madey, Cedric J. Powell, Beam Effects, Surface Topography, and Depth Profiling in Surface Analysis, Kluwer academic publishers New York, 2007, ISBN: 9781441932990.

45. Yan-Fei Gao, A.F.Bower, Elastic-plastic contact of a rough surface with Weierstrass profile, Proc. R. Soc. A (2006) 462, 319-348.

46. Yahav Morag, Izhak Etsion, Resolving the contradiction of asperities plastic to elastic mode transition in current contact models of fractal rough surfaces, Department of Mechanical Engineering, Technion, Haifa 32000, Israel Received 25 January 2006.

47. Robert L. Jackson, Jeffrey L. Streator, A multi-scale model for contact between rough surfaces, ScienceDirect, Wear 261 (2006) 1337-1347.

48. Renato Buzio, Corrado Boragno, Fabio Biscarini, Francesco Buatier de Mongeot, The contact mechanics of fractal surfaces, Nature Materials 2, p. 233 -236, 2003.

49. Франк Ф., Мизес P., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ОНТИ, JI.-M.,1937, гл. 13.

50. Огар П. М., Корсак И. И. Влияние характеристик тяжелонагруженного стыка шероховатых поверхностей на герметичность. Братск : БрИИ, 1989. 100 с. Деп. в ВИНИТИ, № 6109-В89.

51. Yan W., Komvopoulos K. Contact analysis of elastic-plastic surfaces // J. Appl. Phys., October 1998. Vol. 84, N. 7. P. 3617-3624.

52. C.B. Гейн, H.A. Зайцев, B.C. Посвянский, Ю.Б. Радвогин, Метод независимых потоков для численного решения многомерного уравнения теплопроводности, РАН Институт прикладной математики им. В.М.Келдыша, Москва 2003.

53. Кудряшова Т. А., Поляков С. В. Параллельные алгоритмы решения многомерных краевых задач для параболических уравнений, УДК 519.63, Институт Математического Моделирования РАН, диссертация, 2002.

54. Данилюк И.И., О задаче Стефана, УМН, том 40, выпуск 5(245), стр. 133-185, 1985.

55. Thomas Blomberg, Heat conduction in two and three dimensions, Computer Modelling of Building Physics Applications, May 1996, Report TVBH-1008, ISBN 91-88722-05-8, Department of Building Physics Lund University, Sweden.

56. Уманцев A.P. Движение плоского фронта при кристаллизации. -Кристаллография. 1985, т. 30, с. 153 160.

57. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth. Rev. Mod. Phys. 1980, v. 52, pp. 1-28.

58. J. Douglas, H.Rachford, On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables, Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), 421-439.

59. McCarthy J.F. One-dimensional phase field models with adaptive grids. -J. Heat Trans. 1998, v. 120, pp. 956 964.

60. Самарский А.А. О регуляризации разностных схем, Журнал вычислительной математики и математической физики, Февраль №1, 1967.

61. F.Pardo, P.Lopez, D.Cabello, M.Balsi, FPGA computation of 3D heat equation, Computational Geosciences, Volume 14, Number 4 (2010), 649-664.

62. Борисов B.T. О механизме нормального роста кристаллов. ДАН СССР. 1963, т. 151, с. 1311 - 1314.

63. T. Won-Hyung Kim, Physically-Based Simulation of Ice Formation, dissertation, University of North Carolina, Chapel Hill 2006.

64. Andersson C., Phase-field Simulation of Dendritic Solidification, Doctoral Dissertation Royal Institute of Technology, Department of Numerical Analysis and Computer Science, Stockholm 2002.

65. Albert-Laszlo Barabasi, H. Eugene Stanley, Fractal concepts in surface growth, Cambridge Univesity Press, 1995.

66. А. И. Лоскутов, О. Я. Урюпина, В. В. Высоцкий, В. И. Ролдугин, Фасетирование поверхности наночастиц золота и адсорбция органических макромолекул, Колоидный журнал, 2009, том 71, № 5, с. 652-656.

67. Григорьев С.Н., Лоскутов А.И., Ошурко В.Б., Урюпина О.Я., Шамурина М.В. Некоторые особенности измерений линейных размеров наночастиц золота в разных физических состояниях, Нанотехника 2011. № 2. С. 38-45.

68. Prahofer M., Stochastic Surface Growth, Dissertation der Fakultat fur Physik der Ludwig-Maximilians-Universitat, Munchen 2003.

69. T. Sasamoto, T. Imamura, Fluctuations of a one-dimensional polynuclear growth model in a half space, Nucl. Phys. В 699 (2004) 503-544.

70. Johanson K., Discrete polinuclear growth and determinantal processes, Communications in Mathematical Physics, Volume 242, Numbers 1-2 (2003), 277329.

71. D. J. Gates and M. Westcott, Stationary states of crystal growth in three dimensions, J. Stat.Phys., 81:681-715, 1995.

72. M. Rost, Continum models for surface growth, Mathematics Subject Classification (2000), Primary 99Z99; Secondary 00A00.

73. Gravner J., Griffeath D., Modeling Snow Crystal Growth I: Rigorous Results for Packard's Digital Snowflakes, Experimental Mathematics, Vol. 15 (2006), No. 4

74. J. Gravner and D. Grieath., Scaling laws for a class of critical cellular automaton growth rules, Janos Bolyai Math. Soc., pages 167-186, Budapest, 1999.

75. Gravner J., Griffeath D., Modeling snow crystal growth III: three-dimensional snowfakes, Physical Review E Statistical, Nonlinear and Soft Matter Physics, 2009.

76. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. II ЖЭТФ. 1937, т. 7, с. 627 - 632.

77. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов / Собр. тр. Т.1.- М.:Наука, 1969,- С.234-261.

78. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости. ЖЭТФ. 1950, т. 20, с. 1064- 1082.

79. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Л.: Артиллерийская академия, 1933.

80. G. Zhou, М. Leu, D. Blackmore, Fractal geometry modeling with applications in surface characterisation and wear prediction, International Journal of Machine Tools and Manufacture, Volume 35, Issue 2, February 1995, Pages 203-209.

81. J. Zhou and D. Blackmore, Fractal Geometry Approaches in Surface Characterization, Modeling, Simulation and Engineering Applications, International Journal of Smart Engineering System Design, 3:159-173, 2001.

82. Ю. Б. Радвогин, Экономичные алгоритмы численного решения многомерного уравнения теплопроводности. ДАН, 2003, т. 388, №3, 295 -297.

83. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of nonuniform system. I. Interfacial free energy. J. Chem. Phys. 1958, v. 28, pp. 258 - 267.

84. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of nonuniform system. III. Nucleation in a two-component incompressible fluid. J. Chem. Phys. 1959, v. 31, pp. 688 - 699.

85. Cahn J.W. Theory of crystal growth and interface motion in crystalline materials. Acta Metall. 1960, v. 8, pp. 554 - 562.

86. Lowen H., Bechhofer J. Critical behavior of crystal growth velocity. -Europhys. Lett. 1991,v.16, pp. 195-200.

87. Lowen H., Bechhoefer J., Tuckerman L. Crystal growth at long time: Critical behavior at the crossover from diffusion to kinetic-limited regimes. Phys. Rev. A. 1992, v.45, pp. 2399 - 2415.

88. Penrose O., Fife P.C. Thermodynamically consistent models of phase-field type for the kinetic of phase transitions Physica D. 1990, v. 43, pp. 44 - 62.

89. Penrose О., Fife P. On the relation between the standard phase-field model and a "thermodynamically consistent" phase-field model. Physica D. 1993, v. 69, pp. 107-113.

90. Caginalp G. An analysis of phase field model of a free boundary. Arch. Ration. Mech. Anal. 1986, v. 92, pp. 205 - 245.

91. Caginalp G., Jones J. A derivation and analysis of phase field models of thermal alloys. -Annal. Phys. 1995, v.237, pp. 66 107.

92. Г. И. Марчук, Методы вычислительной математики. М., "Наука", 1988.

93. А. А. Самарский, Е. С. Николаев, Методы решения сеточных уравнений. М., "Наука", 1978.

94. С. Andersson, Third order asymptotics of a phase-field model, Tech. Rep.TRITA-NA-0217, Department of Numerical Analysis and Computer Science, Royal Institute of Technology, 2002.

95. R. J. Braun and В. T. Murray, Adaptive phase-field computations of dendritic crystal growth, Journal of Crystal Growth, (1997), pp. 41-53.

96. A. S. Almgren and R. F. Almgren, Phase field instabilities and adaptive mesh refinement, in Modern methods for modeling microstructure in materials, SIAM, 1996.

97. R. F. Almgren, Second-order phase field asymptotics for unequal conductivities, SIAM J. Appl. Math, 59 (1999), pp. 2086-2107.

98. M. Kardar, G. Parisi, and Y-C. Zhang, Dynamic Scaling of Growing Interfaces, Physical Review Letters, Vol. 56, 889 892, 1986.

99. Галенко П.К., Модель высокоскоростного затвердевания как проблема неравновестных фазовых переходов, Вестник удмурсткого университета, №4, стр. 61-98, 2005.

100. Bi Z., Sekerka R.F. Phase-field model of solidification of a binary alloy, Physica A. 1998. Vol. 261. P. 95-106.

101. Karma A., Rappel W.-J., Quantitative phase-fie Id modeling of dendritic growth in two and three dimensions// Physical Review E. 1998. Vol. 57, № 4. P. 4323-4349.

102. Karma A., Phase-field formulation for quantitative modeling of alloy solidification// Physical Review Letters. 2001. Vol. 87, № 11. P. 115701-1-4.

103. S.G. Kim, W.T. Kim, Phase field modeling of dendritic growth with high anisotropy, Journal of Crystal Growth, Volume: 275, Issue: 1-2, p. 355-360, 2005.

104. E. В. Радкевич, Об условиях существования классического решения модифицированной задачи Стефана (закон Гиббса-Томсона), Математический сборник 183, № 2, стр.77-101, 1992.