Математическое моделирование распределения электронов в плазме по энергиям с использованием сглаживающего функционала Тихонова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Басма, Исмаил Ибрахим

• Басма, Исмаил Ибрахим
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Басма, Исмаил Ибрахим

Оглавление

Введение

Глава 1 Постановка задачи

1.1 Электронный циклотронный резонанс в физике плазмы. Обзор исследований, экспериментальная установка

1.2 Физическая и математическая модель. Основное уравнение

Глава 2 Устойчивое решение обратной задачи

2.1 Устойчивые методы решения уравнений первого рода

2.2 Построение сглаживающего функционала Тихонова и уравнения Эйлера

2.3 Краевые задачи для стабилизаторов нулевого, первого, второго и третьего поряков

2.3.1 Краевые задачи для стабилизаторов первого порядка

2.3.2 Краевые задачи для стабилизаторов второго порядка

2.3.3 Краевые задачи для стабилизаторов третьего порядка

2.4 Дискретизация уравнения Эйлера

2.4.1 Дискретизация интегрального оператора и правой части уравнения Эйлера

2.4.2 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка

2.4.3 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором второго порядка

2.4.4 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором третьего порядка

2.5 Дискретизация уравнения Эйлера с порядком 0(Д2)

2.5.1 Первый порядок стабилизатора

2.5.2 Второй порядок стабилизатора

Глава 3 Численное исследование задачи

3.1 Тестирование алгоритма на модельных примерах

3.2 Решение задач диагностики плазмы с экспериментальными данными

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование распределения электронов в плазме по энергиям с использованием сглаживающего функционала Тихонова»

Введение

Математическое моделирование - мощный инструмент исследования задач прикладного характера. Сочетание строгого математического исследования и вычислительного эксперимента позволяет эффективно решать широкий круг новых и классических задач [13,21,28,41,64,76-78,82-85,113, 147].

В данной диссертации в основе решения прикладной задачи - изучение характеристик ЭЦР -плазмы низкого давления в диапазоне рабочих параметров плазменного ускорителя.

Целью экспериментальных исследований являось изучение характеристик исходной плазмы, создавемой в магнитной ловушке пробочного типа в диапазоне рабочих параметров, обеспечивающих функционирование экспериментального стенда для изучения механизма гиромагнитного авторезонанса.

Несмотря на длительную историю изучения циклотронно - резонансного взаимодействия частиц плазмы с сверхвысокочастотными полями в неоднородном магнитном поле, изучение плазмы эцр - разряда низкого давления продолжает представлять интерес, как с фундаментальной, так и прикладных точек зрения.

Основное внимание в настоящей работе уделено определению одного

из основных параметров исходной плазмы: функции распределения электронов по энергиям. Функция распределения электронов не может быть измерена непосредственно и это обстоятельство диктует необходимость совершенствования косвенных методов определения этой функции, что и представляет собой актуальную задачу.

В работе [66] показано, что функция распределения электронов по энергиям может быть получена как решение интегрального уравнения первого рода, представляюшего собой некорректно поставленную задачу. Устойчивое решение может быть получено применением метода регуляризации Тихонова, то есть минимизацией некоторого функционала. В то же время остается актуальной задача построения стабилизатора в функционале, учитывающего специфику поведения искомого решения.

Целью диссертационной работы является повышение качества устойчивого приближенного решения интегрального уравнения первого рода в приложении к задаче диагностики высокотемпературной плазмы применением различных конструкций стабилизаторов в функционале Тихонова, в частности, применением стабилизаторов повышенного порядка.

Научная новизна и значимость.

Получены новые устойчивые вычислительные алгоритмы решения уравнения Фредгольма первого рода, в частности, связанного с обратной задачей физики плазмы, основанные на использовании стабилизаторов повышенного порядка в функционале Тихонова и специальном выборе граничных условий, а также - дискретизации задачи, приводящей к повышен-

ному (второму) порядку по шагу дискретизации.

Разработанные вычислительные алгоритмы применены к решению обратной задачи физики плазмы в новой экспериментальной постановке.

Практическая ценность.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в исследованиях по физике плазмы при изучении параметров состояния плазмы косвенными методами, а также для решения различных обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.

Основное содержание диссертации

Первая глава содержит материалы к постановке задачи и анализу поставленной задачи.

В первом параграфе дан краткий обзор исследований по электронному циклотронному резонансу в плазме и приведено описание экспериментальной установки, с которой снимались данные для математической обработки, методами, разработанными в данной диссертации.

Как известно ЭЦР - разряд в условиях низких давлений является высокоэффективными источником плазмы, области практического применения которого весьма разнообразны.

Компонентный состав такой плазмы в магнитном поле ловушки пробочного типа состоит из популяции холодных и горячих электронов и ионов с различной степенью ионизации, а температура холодной электронной компоненты намного превышает температуру ионов и атомов газа. В виду малой эффективности энергообмена между компонентами плазма разряда

такого типа далека от состояний термодинамического равновесия, а ФРЭЭ отлична от максвелловской.

В условиях проводимых экспериментальных исследований плазма ЭЦР - разряда является исходной для функционирования гирорезонанс-ного плазменного ускорителя. Влияние параметров исходной плазмы на выходные характеристики ускорителя ставят задачу изучения изменения характеристик и параметров плазмы при варьировании разрядных условий для оптимизации режима захвата электронной компоненты исходной плазмы в процесс ускорения.

Во втором параграфе приведено основное уравнение- уравнение Фредгольма первого рода, связывающего спектр тормозного излучения N с функцией / распределения электронов по энергиям:

Здесь же кратко воспроизведен вывод [66] этого уравнения для пояснения смысла формирующих его функций. Это уравнение является основной задачей, решаемой в диссертации.

Во второй главе диссертации разработаны и обоснованы устойчивые вычислительные алгоритмы решения задачи, поставленной во втором параграфе первой главы как уравнение Фредгольма первого рода.

В первом параграфе дан обзор по некорректным задачам, приводящим к уравнению первого рода. Приведены численные алгоритмы решения такой задачи, обсуждаются различные способы выбора стабилизатора

ь

а

в функционале Тихонова и алгоритмы нахождения экстремалей функционала. Следует отметить, что как показывает обзор в этом параграфе, авторы работ как правило ограничиваются рассмотрением функционалов, соответствующих стабилизаторам нулевого и первого порядка.

В втором параграфе приведен сглаживающий функционал Тихонова со стабилизатором порядка £ и в соответствие с [73] получено уравнение Эйлера для специального выбора граничных условий для искомой функции: выбираются нулевые граничные условия для производных максимально возможного порядка, а именно

К*Ки + а(-1){е)и^ = К* И5 иЮ(а) = и®{Ь) = О

г^-1)(а) = 0

В третьем параграфе рассматривается варианты стабилизаторов первого, второго и третьего порядка, в частности для стабилизатора второго (повышенного) порядка предлагаемая в диссертации краевая задача имеет вид

К*Ки + аи& = К*М5, и" (а) = 0, и"{Ь) = 0,

и"'{а)= 0, и"'{Ь) = 0.

В четвертом параграфе преведена дискретизация уравнений Эйлера, рассмотренных в третьем параграфе. Задача сведена к системам линейных уравнений. Получены соответствующие матрицы линейных систем. Отдельно рассматривается дискретизация ядра интегрального оператора.

В пятом параграфе второй главы показано, что рассмотренная в четвертом параграфе дискретизация дает порядок аппроксимации уравнения Фредгольма О (К) Здесь же получены дискретизации, обеспечивающие порядок аппроксимации О (/г2)

В третьей главе приведены результаты численного эксперимента В первом параграфе третьей главы рассматриваются различные модельные примеры В качестве функции распределение выбирается распределение Максвелла

Во втором параграфе третьей главы приведены результаты расчетов на основе экспериментальных данных, включая (прибложенный) способ формирования ядра интегрального оператора

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации Полученные в диссертации результаты опубликованы в 5 работах [8-10,34,35]

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Электронный циклотронный резонанс в физике плазмы.

Обзор исследований, экспериментальная установка.

Изучение фундаментальных процессов резонансного взаимодействия магнитоактивной плазмы с электромагнитными волнами СВЧ диапазона тесно связано с проблемами генерации, нагрева плазмы и ее удержания, исследование которых необходимо для решения широкого спектра фундаментальных и прикладных задач.

Особое место в ряду этих исследований занимает изучение электронного циклотронного резонанса (ЭЦР). Интенсивное изучение этой проблемы началось в 60-х годах, когда в работе [166] было изучено движение электронов в стационарном однородном магнитном поле при наличии бегущей электромагнитной волны, когда обеспечивается условие электронно-циклотронного резонанса toce = си, где шсе = еВ/т^с - циклотронная частота электрона в магнитном поле, и> - частота осциллирующего электрического поля. Исследования позволили определить условия резонансного взаимодействия электронов с электромагнитной волной и динамику частиц с учетом релятивистских эффектов.

Явление электронного циклотронного резонанса (ЭЦР) играет фундаментальную роль в физике плазмы [65]. Оно широко используется для

нагрева плазмы и генерации тока в установках для термоядерного синтеза, для генерации многозарядных ионов и сгустков плазмы, генерации электромагнитного излучения различных диапазонов и в различных плазменных технологиях, [120].

Первые экспериментальные исследования ЭЦР проводились в рамках программ по термоядерному синтезу с целью изучения нагрева и удержания плазмы в магнитных ловушках разного типа [12,22,88,103,130].

Результаты фундаментальных исследований по ЭЦР-взаимодействию в области УТС были положены в основу практического приложения такой плазмы как источника частиц и излучений.

Наиболее распространенное использование ЭЦР-плазмы, как источника многозарядных ионов [116], далеко не исчерпывает ее возможности. Ввиду того, что ЭЦР-плазма устойчиво реализуется в широком диапазоне давлений 10~3 - Ю-5 Topp, достигает высоких степеней ионизации (до 10) и диссоциации (до 100) и чистоты плазмообразующего газа, обладает высокими значениями электронной температуры по сравнению с другими типами разрядов, сфера ее применения достаточно обширна.

Так исследования последних 30 лет, показали, что достаточно простое управление параметрами ЭЦР - плазмы (плотность и температура) позволяет избирательно осуществлять наперед заданные физические и плазменно-химические процессы приводящие к генерации атомов, ионов и радикалов, широко используемых в технологиях тонкопленочного покрытия, обработки готовых полупроводниковых структур и создании много-

слойных структур. Явление ЭЦР широко используется при генерации высокотемпературной плазмы [87,91] являющейся интенсивным источником излучения различной природы [102] синхротронное [55] и тормозное [7] а также в технике создания мощных генераторов СВЧ -диапазона [17,97] и ускорительной технике [114].

Магнитное удержание высокотемпературной плазмы сопровождается мощными радиационными процессами. Тормозное излучение является одним из основных механизмов радиационных потерь, возникающее при кулоновском рассеянии энергичных электронов на ионах присутствующих в плазменной фазе. Так, мощность тормозного излучения тормозного излучения из единицы объёма плазмы с концентрацией электроновпе, М~3, эффективным зарядом ионов Z, температурой электронов Т^, , может быть оценена согласно [80].

рЬг = 1.42 х ю-^г^щ^/тГнЫт^)

Уже в ранних работах по УТС было обнаружено, что под действием ВЧ волн в зеркальных магнитных ловушках в условиях резонанса возникает жесткое тормозное рентгеновское излучение [38].

Одночастичная теория ЭЦР-взаимодействия показывает, что в ЭЦР-плазме низкого давления в распределении электронов по энергиям наблюдаются два максимума, свидетельствующие о наличии двух электронных компонент холодной (тепловой) и горячей (надтепловой). Холодные и горячие электроны существенно разнесены по энергетической шкале, что свидетельствует о разном механизме их взаимодействия с резонансным полем,

холодные без энергообмена с СВЧ-полем, в то время, как нагрев электронов горячей компоненты обеспечивается в результате их взаимодействий с СВЧ-полем, и плохом тепловом контакте.

Изучение поведения свойств и параметров такой плазмы, как было сказано выше, представляет интерес с точки зрения создания высокоэффективных источников излучения и разработки новых методов ускорения компонент плазмы. Основными задачами диагностики плазмы является определение поведения основных параметров (концентраций, температур) ее компонентного состава, а также функций распределения различных компонент плазмы по энергиям.

Однако, при экспериментальных исследованиях, необходимо учитывать, что практически любой диагностический метод является косвенным, т.к. строится на определенной физической модели. Одним из наиболее эффективных методов определения параметров плазмы и функций распределения электронной компоненты плазмы по энергиям в условиях локального термодинамического равновесия является изучение спектра излучения в континууме. В случае высокотемпературной плазмы это спектр тормозного излучения, возникающего при рассеянии электронов на ионах плазмы.

В основе классического метода определения плазменных параметров (концентрации и температуры) по спектральным измерениям тормозного излучения лежит предположение о максвелловском распределении электронов изучаемой плазмы и необходимые процедуры абсолютной калибровки спектрометрического оборудования.

В этих условиях необходим учет линейных размеров области генерации излучения, квантовой и энергетической эффективности регистрации детектора, скорости его загрузки, эффекта режекции.

Таким образом, сутью экспериментальных исследований является по регистрируемым (измеряемым) величинам определить пространственно-временное изменение параметров неоднородной нестационарной высокотемпературной плазмы.

За редким исключением [66,95,96] авторы большинства исследований свойств ЭЦР-плазмы по умолчанию считают, что ф.р.э.э. является макс-велловской и в этом случае спектр излучения описывается известным выражением [79]:

1{е) = 2.4 х 10-16пенпгг^д{кТек,£).{ТеН)-1^ ехр^, [/с э В/сттГ3с"1 ср~1)

где £, Теь - энергия рентгеновского кванта и температура измеряются в кэВ, пе, пг - плотность электронной и ионной компонент плазмы (ст~3), Z - эффективный заряд ионов, д^^е) - фактор Гаунта, зависящий от температуры электронов. Такой подход позволяет определить концентрацию и температуру горячей электронной компоненты.

Пионерской работой по изменению подхода к такой диагностике является работа [66] в которой нахождение ф.р.э.э. по измеренным спектрам тормозного излучения осуществлялось путем решения обратной задачи с учетом аппаратурных параметров и эффектов, учитывающих возможные изменение спектров за счет процессов поглощения в спектрометрическом тракте.

Однако, данный подход был применен для конкретного случая и не является универсальным.

Данная работа направлена на решение прикладной задачи определения ф.р.э.э. исходной ЭЦР-плазмы в зеркальной магнитной ловушке плазменного ускорителя [11].

Эксперименты по изучению первичной плазмы заполняющей магнитную ловушку пробочного типа ускорителя в условиях ЭЦР проводились на экспериментальной установке, общая схема которой представлена на рис. (1.1.1). Цилиндрический ТЕщ резонатор —1, помещенный в статическое

<м

Рис. 1.1.1.

магнитное поле ловушки пробочного типа —2, запитывался в режиме периодических прямоугольных импульсов от магнетронного генератора с выходной мощностью 2.5 кВт.

Магнитное поле указанной конфигурации создавалось с помощью двух

электромагнитов с магнитным замыканием, изготовленного из магнито-мягкого материала (пермалой). Пробочное отношение ловушки составляло — 1.6 в пределах межполюсного расстояния (Ь = 120 мм) - рис. (1.1.2) Величина индукции магнитного поля могло плавно варьироваться при сохранении продольного профиля магнитного поля при изменении тока в катушках электромагнитов. В экспериментальных исследованиях, имею-

щих отношение к постановке задачи диссертационной работы изучалось поведение основных параметров горячей электронной компоненты плазмы ЭЦР-разряда низкого давления в зависимости от изменения давления рабочего газа, значения магнитного поля в медианной плоскости пробочной ловушки и падающей мощности СВЧ генератора.

Диагностика высокотемпературной компоненты плазмы осуществлялась методами спектрометрических и радиометрических диагностик парамет-

Рис. 1.1.2.

ров тормозного излучения с газовой мишени в телесный угол коллимационной системы применяемого детектора (25 х 25, АТа1{Т1)). Спектральные измерения проводились в диапазоне энергий 10 — 70 кэВ.

Для исключения искажений регистрируемых спектров излучения, за счет излучения возникающего при взаимодействии быстрых электронов со стенками резонатора, а также помех природного характера была предусмотрена защита детекторной секции свинцовым экраном со стенками толщиной 50 мм и коллимационным каналом диаметром 8 мм и длиной 160 мм. В геометрии эксперимента телескопическая система позволяла регистрировать излучение в телесном угле 0,002 ср с объема плазмы 4, 5ст3.

Калибровка блока детектирования (АЧХ, квантовая и энергетическая эффективность регистрации) проводилась по эталонным источникам излучений (спектрометрические источники :241Лш,133 Ва,137 С в22 А^а) в спектральной области энергий определяемой условиями проводимых экспериментов.

Исследования были направлены на получение информации о параметрах и поведении популяции горячих электронов при изменении разрядных условий в диапазоне рабочих режимов плазменного ускорителя. В результате была получена база данных по параметрам излучения с газовой мишени при изменении указанных выше параметров (давление, магнитное поле, СВЧ-мощность) в диапазоне рабочих режимов плазменного ускорителя.

На рис. (1.1.3) представлены рабочие спектры излучения полученные

при изменении падающей мощности при индукции магнитного поля в медианной плоскости, соответствующей точному значению ЭЦР. На рисунках

600- 1000 Вт

1500 Вт

500- - 2000 Вт

2500 Вт

В - 880 Гс

400-

300- P„-l,5 10JTopp

200-

100-О-

30 40 SO 60 70 80

Энергия. Е (КэВ)

Рис. 1.1.3.

(1.1.4) а, б представлены исходные спектры, полученные при изменении индукции магнитного поля в минимуме ловушки и давлении в рабочем объеме.

6000

5000

4000

■¿ 3000

J 2000

1000

Bz=830Gs

Вг=Я0 G» • Bz=8éOG>

Bz=880 Gs

• Bz=900Gs

Bz=920Gs

• Bz=9«Gs

Bz=960Gí

Pm=lJ10!Topp

P =2500 Вт ВС

30 40 50 60 70 Энергия. Е (КэВ)

80

4000 Bz=830 Gs

Bz=840 Gs

3500 - Bz=860 Gs Bz=S80 Gs

зооо • Bz=900Gs

i Bz=920Gs

2500 • Bz=940Gs

2000. Bz=960 Gs Рш =2.4 10 ! Topp

1500 P =2500 Bi I явв.

1000 V "4

500 0

Энерпи. Е (КэВ)

Рис. 1.1.4.

Результаты, представленные на рисунках (1.1.3) и (1.1.4), иллюстрируют что увеличение напряженности магнитного поля и мощности приводит к существенном увеличению интенсивности и уширению энергетического спектра излучения.

В следующем параграфе приведено основное уравнение, связывающее функцию распределения электронов по энергиям с измеренным спектром тормозного излучения (включая краткое воспроизведение вывода уравнения по [66])

1.2. Физическая и математическая модель. Основное уравнение.

Функция распределения электронов плазмы по энергиям /(е) является одной из главных характеристик высокотемпературной плазмы. Эта функция может быть определена по измеряемому спектру тормозного излучения решением интегрального уравнения Фредгольма первого рода вида [66]

Известно, что эта задача некорректно поставлена, это означает, что малые изменения о) могут приводить к сколь угодно большим изменениям решения /(£). В данном случае экспериментально получаемый спектр тормозного излучения Л^(-Ео) содержит неконтролируемые ошибки измерений и таким образом при решении задачи необходимо применять регуляризи-рующие алгоритмы.

В статье [66] для решения этой задачи применяется метод регуляризации [73] - метод построения устойчивых приближенных решений интегральных уравнений первого рода. Как показывает вычислительный эксперимент опирающийся на вычислительные алгоритмы [73], эти алгоритмы не лишены некоторых недостатков, приводящих к искажениям приближенного решения. Прежде чем перейти к построению модификаций этих алгоритмов, приведе краткое описание структуры ядра в уравнении (1.2.1), следуя [66].

ъ

(1.2.1)

а

Распределение интенсивности тормозного излучения образующееся при рассеянии электронов на ионах плазмы можно описать функцией

1(Е) = |з.1015^О/(£) &

Е

где 1(Е) - интенсивность излучения фотонов с энергией Е из единицы объема плазмы, X - заряд рассеивающих ионов, - плотность рассеивающих ионов, /(г) - функция распределения электронов по энергиям. Имея в виду, что

1(Е) = п{Е)Е

где п(Е) - число квантов с энергией Е, излучаемых единицей обьема плазмы в единицу веремени, то

п(Я) = /(е)^, ко = З.Ю15^2ДГ0.

Е

Для учета искажений спектра, которое вносят измерительные приборы, введедем модулирующие функции. В частности введем функцию fl{E) -отношение числа зарегистрированных п' квантов с энергией Е, к числу п падающих на детектор в единицу времени

и тогда

п'(Е) = МЕ)п(Е),

Введем также функцию разрешения прибора - отношение

числа п" зарегистрированных квантов в качестве квантов, имеющих энер-

гию Ео, к числу п' зарегистрированных квантов с энергией Е: или

п'\Ей) = Ь{Ей,Е)п'{Е).

Отсюда получаем число квантов А^(^о), регистрируемых в единицу времени в приборе в качестве квантов, имеющих энергию Е^

оо оо

ЩЩ) = У п"(Е$)с1Е = 1п\Е)Ь(Ео,Е)<1Е = о о

оо оо оо

= I п(ЕШЕ)МЕо,Е)аЕ = || I ¡(е)^МЕ)Ь(Е0,Е)с1Е.

О 0 £

Меняя порядок интегрирования, получим

оо оо

М(Е0) = 1<1Е1 =

О Е

ОО £

о о

оо

где

= I К(Е01е)у/ёт<к,

о

£

К(Е0, е) = 11 ШмЕо, Е)йЕ. (1.2.2)

о

Обозначая ср{е) = получим

А^(Е0) = J К(Е0,е)ср(е)с1£, (1.2.3)

о

В [66] функция fi(E) принималась равной

h{E) = {1 + ехр[—(0.124 + 0.0325Е]}-1, (1.2.4)

для Е > 32 кэв,

а функция ¡2{Е$,Е) описывается гауссовской кривой [23] с экспериментально определяемой дисперсией

= 4(0.051+ 5f г

Учтем теперь, что для е > 150 кэв f{e) мала, поэтому предел интегрирования можно ограничить величиной Ь = 150 кэв. Для Е < а = 32 кэв

функция f\(E) имеет другой вид. Поэтому ядро K{Eq,e) заменяем ядром

£

к,(ад = 7 J ^p-f2(E0,E)dE,

а

Очевидно, для е > а

£

AK = K{EQ,e)-K1(EQ,e) = ^ J ^-f2(E0,E)dE.

а

Поскольку для \Е0 — Е\ > 10 кэв функция /2(^0, Е) < 0,1 и /2{Eq, Е) является гауссовской кривой, то для Eq > 42,8 кэв АК мало и ядро K(Eq, е) можно заменить на Ki(Eq,s).

Таким образом, вместо (1.2.2),(1.2.3) получаем:

ь

N{E0) = J K1(E0ie)ip{e)de1 (1.2.6)

£

Кг{Е0, е) = 7 / ^/2(^0, E)dE, (1.2.7)

а

c<E0<d, а = 32, с = 42,8 b = d = 150 (в кэв).

где функции /1 и /2 имеют вид (1.2.4) и (1.2.5) соответственно.

Пусть теперь функция N(Eq) измеряется, т.е. известна, а функция

<р(е) - искомая величина, тогда из (1.2.6) получаем уравнение

ь

J K1(E0,e)tp(E)d£ = N(E0) (1.2.8)

а

В обозначениях

Н(Е0, е) = уДе^Щ, е), <р{е) = y/if{e) (1.2.9)

получим уравнение вида

ь

J H{E0,£)f(s)d£ = N(E0) (1.2.10)

а

Уравнение (1.2.8) далее будем записывать также в виде

Kp = N (1.2.11)

Эта задача или задача (1.2.8) представляет собой уравнение Фредгольма первого рода и решается в следующих главах диссертации. Задача (1.2.8) некорректно поставлена и поскольку правая часть уравнения (1.2.8) определяется приближенно, как результат измерений то задача заключается в построении устойчивого приближенного решения этого уравнения достаточно хорошего качества.

Глава 2. Устойчивое решение обратной задачи

2.1. Устойчивые методы решения уравнений первого рода

Известно [73] что уравнение Фредгольма первого рода (в том числе уравнение (1.2.8)) представлает собой некорректно поставленную задачу. Методы решения некорректно поставленных задач, получивших статус не имеющих смысла, в работах Адамара Ж. [5], интенсивно развивались в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и их учеников и ряда зарубежных ученых. Эталонными задачами для применения этих методов стали задача Коши для уравнения Лапласа [33, 48-51] и обратная задача потенциала [36,58,59,67,72,74], возникающие во многих прикладных задачах, прежде всего в геофизике, а также - уравнение Фредгольма первого рода., к которому сводятся эти, а так же многие другие прикладные проблемы. В работах в основном советских, российских математиков, построена теория и методы решения некорректно поставленных задач, которые с достаточной полнотой изложены во многих монографиях [15,16,37,44,46,47,56,69,70,73] и учебниках [24,29,32,39,40,63,86]. Эти методы позволили решать многие важные прикладные задачи. В настоящее время круг рассматриваемых задач расширяется [6,30,31,43,53,54,60,62], методы и качество получаемых решений совершенствуются. Задача (1.2.8) решалась в работе [66] в условиях конкретного физического эксперимен-

та с конкретными параметрами установки и рабочего материала. Получение устойчивого приближенного решения достигалось применением метода сглаживающего функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка. В данной диссертации рассматривается физический эксперимент, проводимый на установке лаборатории Физики плазмы кафедры прикладной физики РУДН и исследуются возможности улучшения качества приближенного решения интегрального уравнения путем повышения порядка стабилизатора в функционале Тихонова. Ниже приведен краткий обзор результатов по устойчивому решению уравнения Фредгольма первого рода, полученных в последнее время.

В работе [52]рассматриваютея особенности применения многопроцессорных систем для решения обратных задач, сводящихся к многомерным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции. Предлагается параллельный алгоритм решения такого типа задач на примере наиболее общих с практической точки зрения двумерного и трехмерного случаев. Эффективность данного подхода демонстрируется на примере решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне его корпуса.

Для разрывных функций и функций с особенностями методы решения уравнений I рода разработаны в [1-4].

В работе [159] рассмотрены вариационные методы для неограниченных замкнутых операторов.

В [157] предложен метод и исследована его сходимость (получены

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Басма, Исмаил Ибрахим, 2015 год

Литература

1. Агеев А. Л., Антонова Т.В. Регуляризирующие алгоритмы выделения разрывов в некорректных задачах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т.48, No 8. С. 1362 -1370.

2. Агеев А. Л., Антонова Т.В. Метод локализации особенностей реш-ния уравнения 1 рода со ступенчатым ядром // Изв.вузов. Математика. 2011. т. С.З -13.

3. Агеев А. Л., Антонова Т.В. Восстановление функции с конечным чилсом разрывов 1 рода по защумленным данным // Изв. вузов. Математика. 2001. JVfi7. С.65-68. Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т.48, No 8. С.1362 -1370.

4. Агеев А. Л., Антонова Т.В.Новые методы локализации разрывов зашумленной функции // Сиб. Журн. вычисл. математики 2010. Т.13, т. С.375 -386.

5. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. // М.: Наука, 1978, 352 с.

6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. // М.: Наука. 1988. 288 с.

7. Андреев В.В., Валмашнов A.A., Умное A.M., и др. ЭЦР плазма как источник рентгеновского излучения: эксперимент и численное моделирование. // Известия Академии наук, серия физическая. 2003, Т. 67, №, С.1314-1321.

8. Андреев В.В., Ибрахим В.И., Ланеев Е.В., Муратов М.Н.Об

устойчивом решении одной обратной задачи физики плазмы.// Информационно - телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем. 23-27 апреля 2012г., Москва, РУДН, с.233.

9. Андреев В.В., Ибрахим В.И., Ланеев Е.В., Муратов

М.Н.Численное восстановление функции распределения по энергии электронов в плазме по спектру излучения.// Вестник РУДН. Серия математика информатика физика. 2012. №4. С. 68-72.

10. Андреев В.В., Ибрахим В.И., Ланеев Е.В., Муратов М.Н.

Об устойчивом численном решении одного интегрального уравнения применимого в диагностике высокотемпературной плазмы.// Вестник РУДН. Сер. Математика Физика Информатика., 2012,№2. с 86-88.

11. Андреев В.В., Новицкий A.A., Умное A.M., Чупров Д.В.

//Приборы и техника эксперимента, 2012, №3, с. 15—16.

12. Арсеньев Ю.А., Глаголев В.М. //Nuclear Fusion, Suppl. 2, 1962, p.678-69.

13. Баев A.B. Принцип Лагранжа в задаче оптимального обращения линейных операторов в конечномерных пространствах при наличии априорной информации о решении //ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. №9. С. 15121523.

14. Вакушинский A.B., Гончарский A.B., Степанова Л.Д. Применение алгоритмов итерационной регуляризации для решения обратных задач гравиметрии // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1986. №10. С.43-50.

15. Вакушинский A.B., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.:Изд-во МГУ. 1989.- 197 с.

16. Вакушинский A.B., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.:Наука. 1989.- 126 с.

17. Братман В.Л. и др. //ЖТФ 71 (8) 72 (2001).

18. Бахвалов U.C. Численные методы. М.: Наука. 1975.

19. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., 1996.

20. Белов Ю.Я., Любанова А.Ш., Польынцева C.B., Сорокин Р.В., Фроленков И.В. Обратные задачи математической физики. Красноярск Сфу.. 2008. 153с.

21. Березкин В.Е., Лотов A.B. Сравнение двух аппроксимаций гра-

ницы Парето // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2014, Т. 54, №9, 1455-1464.

22. Будников В.Н., Виноградов Н.И., Голант В.Е. и др. Исследование плазмы, созданной СВЧ полем в режиме циклотронного резонанса. // ЖТФ. 1967. Т. 37. №5. С. 851

23. Вартанов Н.С., Самойлов П. С. Практические методы сцинтилля-ционной гамма-спектроскопии, Атомиздат, 1964.

24. Васильева A.B., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: Наука, 2002. 160с.

25. Васильева М.П., Ягола А.Г. Применение многопроцессорных систем для решения двумерных интегральных уравнений Фредгольма I рода.//Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4 .

26. Васин В.В., Т.И. Серёмсникова. Об Одном Алгоритме Решенмя Уравнения Фредгольма Стильтьеса. //Известия Высших Учебных Заведений. 2001, Математика, №4(467).

27. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Метод вычислителных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии. //ЖЭТФ. 2011. т.зз. т.

28. Вабищевич П.Н. Вычислительные методы математической Физики обратные задачи и управления. //Вузовская Книга. 2009. 268с.:ил.

29. Гласко B.B. Обратные задачи математической физики. Изд-во МГУ, 1984. 112 С.

30. Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. -М.:Наука, 1985. -350с.

31. Дмитриев В.И. Обратные задачи геофизики: монография. -М:МАКС ПРЕСС, 2012. -340С.

32. Севастьянов Л.А., Ловецкий К.П., Ланеев.Е.В. Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур.// Учебное пособие. Москва. 2008, 135с.

33. Жданов М.С. Аналог интеграла Коши в теории геофизических полей. М.:Наука. 1984.

34. Ибрахим Б. И. О Дискретизации уравнения Эйлера для функционала Тихинова со стабилизатором второго порядка в одной обратной задаче физики плазмы.// Информационно - телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем. 23-27 апреля 2012г., Москва, РУДН, с.278.

35. Ибрахим Б.И., Муратов М.Н., Новицкий A.A., Чупров Д.В.

Спектральные исследования и восстановление функции распределения горячей компоненты ЭЦР- плазмы низкого давления// НИЦ « Курчатовский Институт». 23-26 октября 2012г., Москва, Россия, с. 179.

36. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное

решение обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1962. Т. 142. №5. С. 998-1000.

37. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978. 206 с.

38. Иоффе М.С., Кадомцев В.В. // УФН. 1970. Т. 100. С. 601.

39. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи.// - Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2009. - 458с.

40. Калиткин H.H. Численные методы.// - М.: Наука. 1978. -512 с.

41. Каменев Г.К., Лотов A.B., Майская Т.С. Итеративный метод построения покрытий многомерной единичной сферы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. №2. С. 181-194.

42. Ковальчук И.К., Левенец В.В., Щур A.A., Кожевникова

М. Ф. Численное моделирование задачи восстановления профиля концентрации примеси по характеристическому рентгеновскому излучению, возбуждаемому протонами.// «Вюник Харювського ушверсите-ту», №664, 2005.

43. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г.

Обратные задачи колебательной спектроскопии. -М.: Изд-во МГУ, 1993. -240с.

44. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. // Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 92 с.

45. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода.// ДАН СССР, Т. 133, № (1960), 277-280.

46. Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи.// Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999, 702 с.

47. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П.

Некорректные задачи математической физики и анализа.// М.:Наука, 1980. 288 с.

48. Ланеев Е.В.О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. №8(1). С. 21-28.

49. Ланеев Е.В., Муратов М.Н., Табет Адель Салех Абдулхак.

Задача продолжения нестационарного температурного поля с произвольной поверхности. // Вестник РУДН. Серия Математика. 2010. №2(1). С. 110-112.

50. Ланеев Е. В., Муратов М. Н., Табет Адель Салех Абдулхак.

Об устойчивом продолжении решений уравнения теплопроводности с неточно заданной границы. // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика.2011. №1. С. 36-43.

51. Ланеев Е. В. Некорректные задачи продолжения гармонических функций и потенциальных полей и методы их решения.//-М.: 2006.-139с.

52. Лукъяненко Д.В., Ягола А.Г. использование многопроцессорных систем для решения обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода.// Тр. ИММ УрО РАН, 2012. 18:1, с.222-234.

53. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру. Матем. зам. 2012, 92,1, 59-67.

54. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении решений разностных уравнений по неточным измерениям, Проблемы математического анализа.// 2013. 69, 47-54; English transi, in Journal of Mathematical Sciences (New York), 189, 4, 596-603.

55. Макулькин A.B. Возможный источник стабильного, широкополосного терагерцевого когерентного синхротронного излучения на основе сверхминиатюрного синхротрона // Атомная энергия. 2006, Т. 101, №5, С. 846-852.

56. Морозов В.А. Регулярные методы решения некоррекно поставленных задач.// М., 1987. 240 с.

57. Морозов В.А., Мухамадиев Э.М., Назимов A.B. О проблеме регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных алгебраических уравнений //ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. №12. С. 1971-1978.

58. Недялков И. П. О некоторых некорректных задачах теории потенци-

ала и их приложении в разведочной геофизике.// София: Изд-во Болг. АН. 1978.

59. Новиков П. С. О единственности обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1938. Т. 19. №3. С. 165-169.

60. Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках, Матем. сб., 2014, 205, 10. 77-106.

61. Самарский А. А. Теория разностных схем. //М.: наука, 1977. 552с.

62. Сивкова Е. О. Наилучшее восстановление лапласиана функции и точные неравенства, Фундамент, и прикл. матем., 2013, 18, 5, 175-185.

63. Танана В.П. Численные методы решения некорректно постоавленных задач //Учеб. пособие. Челябинск: Челяб. гос.ун-т, 2005. Т. 18. 54с.

64. Терлецкий А.Я., Третьяков Н.П., Степина С.П., Щепилов

В.Д. Метод ведущих индикаторов в прогнозировании макроэкономических показателей // Вестник РУДН, серия Математика. Информатика. Физика, 2010, №2(1), С. 106-108.

65. Тимофеев А.В. Резонансные явления в колебаниях плазмы//- М.: Физматлит, 2000. - 224 с.

66. Тихонов А.Н., Аликаев В.В. Арсенин В.Я, А.А.Думова Определение Функции распределения электронов плазмы спектру тормозного излучения//ЖЭТФ. 1968. Т. 55. вып 5(11). С. 1903-1908.

67. Тихонов А. H. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т. 39. №5. С. 195-197.

68. Тихонов А. Н. ДАН СССР. 151, 501, 1963.

69. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г.

Численные методы решения некорректных задач.//-М.: Наука, 1990. -230с.

70. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. //-М.: Наука, 1995. -311с.

71. Тихонов А.Н., Гласко В.В. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах//ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. №3. С. 463-473.

72. Тихонов А.Н., Гласко В.В., Литвиненко O.K., Мелихов В.Р.

О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. №1. С. 30-48.

73. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.// М.: Наука, 1979. 288 с.

74. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении метода регуляризации в задачах геофизической интерпретации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №1. С. 38-47.

75. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений I рода //ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. №3. С. 564-571.

76. Третьяков Н.П. Применение метода коллокаций для прогнозирования макроэкономических показателей//Ученые записки. РГСУ, №3, 2012, с.252-255.

77. Третьяков Н.П., Терлецкий А. Я. Обобщение абелевой калибровочной симметрии //Вестник РУДН, серия Математика. Информатика. Физика, 2010, №2(1), С. 94-99.

78. Третьяков Н.П. Уравнения движения для систем с быстрым внешним воздействием //Вестник РУДН, серия Математика. Информатика. Физика, 2009, №1, С. 56-61.

79. Хадлстоун Р., Леонард С. Диагностика плазмы под редакцю. // М: изд. Мир 1967.-515 с.

80. Хвесюк В.И., Чирков А.Ю., Рыжков С.-В.Учет тормозного излучения из релятивистской плазмы // XXXIX международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и У ТС 6-12 февраля 2012г.

81. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров.// М.: Наука. 1968.

82. Шамолин М. В. Задача о движении тела в сопротивляющейся среде с учетом зависимости момента силы сопротивления от угловой скорости.//Матем. моделирование, 24:10 (2012), 109-132.

83. Шамолин М. В. Движение твердого тела в сопротивляющейся среде.// Матем. моделирование,23:12 (2011), 79-104.

84. Шамолин М. В. Диагностика одной системы прямого управления движением летательных аппаратов.// Электронное моделирование, 32:1 (2010), 45-52.

85. Шамолин М. В. Диагностика движения летательного аппарата в режиме планирующего спуска.// ", Электронное моделирование, 32:5 (2010), 31-44.

86. Ягола А.Г., Ван Янфей, Степанова И.Э., Титаренко В.Н.06-

ратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике.// -М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. - 216с.

87. Alexeff I. Hot electron plasma by ECR followed by magnetic compression. // Vol 32, 19, p.1035, 1974

88. Alikaev V.V., Glagolev V.M.// PlasmaPhysics, 1968, v.10, p.753-774.

89. Amato U., Hughes W. Maximum entropy regularization of Fredholm integral equations of the first Kind. // Inverse problems, 1991, №7, 793808.

90. Andreas Kleefeld Numerical results for linear Fredholm integral equations of the first kind over surfaces in 3D. //International Journal of Computer Mathematics, Vol. 00, No. 00, November 2010, p. 1-16.

91. Andreev V.V., Umnov A.M. Relativistic plasma and electron bunches in plasma synchrotrons of GYRAC. //Plasma Sources Science and Technology, Volume 8, Number 3, 1999 , pp. 479-487.

92. Andreyev S.A., Guseynov SH.E., Yunusov S.M., Labendik V.P.

Application of Tikhonov's regularization method for stable finding the diagnostic matrix of gte with a priori given accuracy, part iii: development of methods for the determination of the regularization parameter. //Mathematical Applications in Science and Mechanics.

93. Barry Simon. Resonances in one dimension and Fredholm determinants. 11 Journal of Functional Analysis 178, 2000, 396-420.

94. Bernd Hofmann. Approximate source conditions in Tikhonov-Phillips regularization and consequences for inverse problems with multiplication operators. // Math. Meth. Appl. Sci. 29, 2006 ,351-371.

95. Bernhardt K. // Plasma Physics, 1976, v. 18, p.77-84.

96. Bernhardi K., Wiesemdnn K. // Plasma Physics, -1982, v.20, №28, -p.867-884.

97. Bratman V.L. // Tech. Phys.46 1001 (2001).

98. Calvetti D., Morigib S., Reichel L., Sgallarid F. Tikhonov regularization and the L-curve for large discrete ill-posed problems. // Journal of Computational and Applied Mathematics 123, 2000,423-446.

99. Calvetti D., Reichel L., Shuibi A. Tikhonov regularization of large symmetric problems. // Numer. Linear Algebra Appl. 2005: 12:127-139.

100. Chein-Shan Liu, Satya N. Atluri A Fictitious Time Integration Method for the Numerical Solution of the Fredholm Integral Equation and

for Numerical Differentiation of Noisy Data, and Its Relation to the Filter Theory. // CMES, vol.41, no.3, pp.243-261, 2009.

101. Chu-Li Fu, You-Bin Zhu, Chun-Yu Qiu Wavelet regularization for an inverse heat conduction problem. // J.Math. Anal. Appl.288, 2003, c.212-222.

102. Cismaru C., Shohet J.L. Plasma vacuum ultraviolet emission in an electron cyclotron resonance etcher // Applied Physics Letters, 1999, v.74, №18, p. 2599 -2601.

103. Dandl R.A., England A.C., Ard W.B al.Properties of a high-beta plasma produced by electron-cyclotron heating.// Nucl.Fusion.1964. V. 4. P. 344.

104. Delin Chu, Lijing Lin, Roger C.E. Tan and Yimin Wei. Condition numbers and perturbation analysis for the Tikhonov regularization of discrete ill-posed problems. // Numer. Linear Algebra Appl.18 , 2011, c.87-103.

105. Denche M., Bessila K. A modified quasi-boundary value method for ill-posed preoblem. // J.Math. Anal. Appl. 301, 2005, c.419-426.

106. Dorota Krawczyk-Stanfdo , Marek Rudnicki Regularization parameter selection in discrete ill-posed problems —the use of the u-curve. // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci., 2007, Vol. 17, №. 2, 157-164.

107. Elena Bautu, Elena Pelican. Numerical Solution For

Fredholm First Kind Integral Equations Occurring In Synthesis Of Electromagnetic Fields. //Ovidius University, Constanta, 900527, Romania erogojina,epelicanReceived September 12, 2006.

108. Elena Pelican. Spline Approximation Techniques and Regularization Methods for First Kind Integral Equations. //Caius Iacob conference on fluid mechanics and technical applications bucharest, Romania, November 2005.

109. Enrico De Micheli, Nicodemo Magnoli, Giovanni Alberto Viano

On the regularization of fredholm integral equations of the first kind. // Math. CA. 30 sep., 2005.

110. Enrico De Micheli, Nicodemo Magnoli, Giovanni Alberto Viano

Metric and probabilistic information associated with Fredholm integral equations of the first kind. // Journal of integral equations and applications. Volume 14, Number 3, Fall 2002.

111. Farshid Mirzaee, Sima Piroozfar. Numerical solution of the linear two-dimensional Fredholm integral equations of the second kind via two-dimensional triangular orthogonal functions. // Journal of King Saud University (science), 2010, №. 22, c. 185-193.

112. Frank B., Mark A.L. Comparing parameter choice methods for regularization of ill - posed problems. // Preprint submited to Elservier, 2010.

113. Fernando Ogay, Nikolay P. Tretyakov, and Maximo A. Aguero

Catastrophe and Hysteresis by the Emerging of Soliton-Like Solutions in a Nerve Model.// Journal of Nonlinear Dynamics, vol. 2014, Article ID 710152, 8 pages, 2014. doi:10.1155/2014/710152.

114. Gal Olivier Gyrac - A compact, cyclic electron accelerator. // IEEE Transactions on Plasma Science (ISSN 0093-3813), vol. 17, Aug. 1989, p. 622-629.

115. Gazzola S., Novati P. Automatic parameter setting for Arnoldi-Tikhonov methods. // Journal of Computational and Applied Mathematics (Impact Factor: 0.99). 01/2014; DOI: 10.1016/j.cam.2013.07.023.

116. Geller R. Electron Cyclotron Resonance Ion Sources and ECR Plasmas. 11 IOP, Bristol, UK, 1996

117. Gottfried Bruckner, Jin Cheng. Tikhonov Regularization For An Integral Equation Of The First Kind With Logarithmic Kernel. //National Natural Science Foundation of china 19501001,1998 .

118. Groetsch. C. W. Uniform Convergence Of Regularization Methods For Fredholm Equations Of The First Kind. //J. Austral Math. Soc.(Series A) 39 (1985), 282-286.

119. Groetsch. C. W., Guacaneme J. Arcangeli's method for fredholm equations of the first kind, //proceedings of the american mathematical society. Volume 99, Number 2, February 1987

120. Guest G. Electron Cyclotron Heating of Plasmas

JOHN WILEY-VCH Verlag GmbH and Co, Weinheim, 2009, 253 p.

121. Gutiérrez-Tapia C., Flores-LLamas H. A comparative analysis of the electron energy distribution function obtained by regularization methods and by a least-squares fitting.//PACS, 2004, №52.70.Ds,52.50.Sw,52.80.Pi. MEXICO.

122. Hanna G., Roumeliotis J., Kucera A. Collocation And Fredholm Integral Equations Of The First Kind. //Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics Volume 6, Issue 5, Article 131, 2005.

123. Herbert Egger, Heinz W. Engl. Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing: Convergence analysis and rates. // supported by the the Austrian national science foundation FWF under grant SFB F013/08.

124. Heinz W. Engl, Martin Hanke. Regularization of inverse problems.// Puplished by Kluwer academic publishers. Vol. 375, 1996, 321c.

125. Heinz W. Engl, Andreas Neubauer. An Improved Version of Marti's Method for Solving Ill-Posed Linear Integral Equations.// mathematics of computation volume 45. number 172 october 1985. paces 405-416.

126. Hofmann B. Approximate source conditions in regularization and an application to multiplication operators. // Mathematical Modelling and Analysis 2005. Pages 29-34.

127. Hong Dua b., Minggen Cuic. Approximate solution of the Fredholm integral equation of the first kind in a reproducing kernel Hilbert space. // Applied mathematics letters 21, 2008, c.617-623.

128. Hui Cao. Discretized Tikhonov-Phillips regularization for a naturally linearized parameter identification problem. // Journal of Complexity 21, 2005, c.864-877.

129. Igor I. Antokhin Solving light curves of WR+O binaries: the regularization approach. // Bulletin de la Societe Royale des Sciences de Liege, Vol. 80, 2011, p. 549 - 554.

130. Ikegami H., Ikezi H., Hosokawa M. Shell structure of a hot-electron plasma. // Phys. Rev. Letters. 1967. V. 19. N. 14. P. 778.

131. Jaime H. Hoyos, Carlos A. Rodriguez Numerical solution of an eigenvalue program for bounded plasma. // Revista ingenierHas universidad de Medellin, vol.10, №.19, c. 179-188.

132. Jiang Cheng-Shun, Wang Xian-Chao Dynamical Systems Method for Solving First Kind of Operator Equations with Disturbance Item. //Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011. ICICA 2011, Part I, CCIS 243, pp. 52-59, 2011.

133. Jian-guo Tang. An implicit method for linear ill-posed problems with perturbed operators. // Math. Meth. Appl. Sci. 29, 2006 , c. 1327-1338.

134. Jin wen, Ting wei. Regularized solution to the Fredholm integral

equation of the first kind with noisy data. //J. Appl. Math, and Informatics Vol. 29(2011), №. 1 - 2, pp. 23 - 37.

135. Kabanikhin S.I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems. //J. Inv. Ill-posed problems. №16, 2008, c.317-357.

136. Kendall Atkinson. A Personal perspective on the history of the numerical analysis of Fredholm integral equations of the second kind. // The university of Iowa 2008.

137. Koshev N., Beilina. L. A posteriori error estimates for Fredholm integral equations of the first kind. //Chalmers University Of Technology University Of Gothenburg Gothenburg Sweden 2012.

138. Khosrow Maleknejad, Reza Mollapourasl,Parvin Torabi, Mahdiyeh Alizadeh. Solution of First kind Fredholm Integral Equation by Sine Function. //World Academy of Science, Engineering and Technology Vol:4 2010-06-23.

139. Liang Jian Deng, Ting Zhu Huang, Xi Le Zhao, Liang Zhao, and Si Wang Signal restoration combining Tikhonov regularization and multilevel method with thresholding strategy.//J. Opt. Soc. Am. A , Vol. 30, No. 5 , May 2013.

140. Marco Prato Regularization methods for the solution of inverse problems in solar X-ray and imaging spectroscopy.//Archives of Computational Methods in Engineering manuscript. May 26, 2014, (Impact Factor: 2.93). 16(2):109-160.

141. Martin fuhry, LothaR reic A new tikhonov regularization method.//Numerical Algorithms. March 2012, Volume 59, Issue 3, pp 433445

142. Massone A.M., Piana M., Prato M. Regularized solution of the solar Bremsstrahlung inverse problem: model dependence and implementation issues.//Inverse Problems in Science and Engineering. Vol. 00, No. 00, 2004, c.1-25.

143. Melina Freitag. Tikhonov régularisation for (Large) inverse problems. // 17th ILAS Conference Braunschweig, Germany ,2011 , 157c.

144. Michael Pemberton. Tikhonov Regularization Applied to Hilbert Matrices. // Department of Mathematics Marshall University, Huntington, WV 25755, May 3, 2005.

145. Michiel E. Höchstenbach, Lothar Reichel. An Iterative Method For Tikhonov Regularization With A General Linear Regularization Operator. //Department of Mathematics and Computing Science, Eindhoven University of Technology. Version June 15, 2010.

146. Nikolay Koshev , Larisa Beilina. An adaptive finite element method for Fredholm integral equations of the first kind and its verification on experimental data. // Preprint 2012.

147. 1. Nikolay P. Tretyakov, Alexandre Ya. Terletsky, Vladimir N. Lukash, Maximo A. Aguero Generalization of Abelian Gauge

Symmetry, Dark Matter and Cosmological Expansion // Journal of Modern Physics. 2014. - V.5.- 1.- P.34-43.

148. Nick Polydorides, Mengdi Wang, Dimitri P. Bertsekas. AQuasi Monte CarloMethod for Large-Scale Inverse Problems. // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. Volume 23, 2012, pp 385-398.

149. Nguyen N.C. A Note on Tikhonov regularization of linear Ill-posed problems. // Massachusetts institute of technology. 2006, 4c.

150. Pao c.v. Numerical methods for nonlinear integro-parabolic equations of Fredholm type. // Computers and Mathematics with Applications 41,2001, c.857-877.

151. Patricia K. Lamm. Future-Sequential regularization methods for Ill-posed Volterra equations applications to the inverse heat conduction problem. // Department of Mathematics,Michigan State University East Lansing, MI 48824-1027. 29c.

152. Peter Mathé, Sergei V. Pereverzev The discretized discrepancy principle under general source conditions. //Journal of Complexity 22 (2006) p. 371 - 381.

153. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well-posed, Ill-posed, and intermediate problems. // Copyright by Koninklijke Brill NV, Leiden, The Netherlands. 2005, 225c.

154. Pérez Marrtínez R.A. Radiative corrections to hot quantum

electrodynamics plasma. // Revista Mexicana de fisica 42, 1996, №4, c.573-587.

155. Prot O., SantolSak O., Trotignon J-G. Ill-posed problem solving by an entropy regularization method. Application to the propagation analysis of electromagnetic waves. // Department of Mathematics Michigan State University East Lansing, MI c.48824-1027.

156. Rajan M.P. An efficient discretization scheme for solving ill-posed problems. // J. Math. Anal. Appl. 313 (2006) 654-677.

157. Rajan M.P. Convergence analysis of a regularized approximation for solving Fredholm integral equations of the first kind.// J.Math. Anal. Appl. 279, 2003, c.522-530.

158. Ramm A.G. A new discrepancy principle. //J. Math. Anal. Appl. 310 (2005) 342-345.

159. Ramm A.G. Regularization ill-posed problem with unbounded operators. // J.Math. Anal. Appl. 271, 2002, 542-545.

160. Ramm A.G. Linear Ill-Posed Problems and Dynamical Systems. // Journal of Mathematical Analysis and Applications 258, 448-456, 2001.

161. Ramm A.G. Ill-posed problems with unbounded operators. //J. Math. Anal. Appl. 325 (2007) 490-495.

162. Rashidinia J., Babolian E., Mahmoodi Z. Spline Collocation for

Fredholm integral equations. // Mathematical Sciences Vol. 5, No.2 ,2011, c.147-158.

163. Rashidinia J., Zarebnia M. Convergence of approximate solution of system of Fredholm integral equations. // J.Math. Anal. Appl. 333, 2007, c.1216-1227.

164. Reichel L.,Sadok H., Shyshkov A. Greedy Tikhonov regularization for large linear ill-posed problems. // International Journal of Computer Mathematics. Vol. 00, No. 00, Month 200x, 2007, 1-20.

165. Robert Boyer , William M.Y. Goh. On the zero attractor of the Euler polynomials. // Advances in Applied Mathematics 38, 2007, c.97-132.

166. Roberts C.S., Buchsbaume S.J. //PhysicalReview, v.135, 1964, p. A381 - A389

167. Ross A. Lippert , Ryan M. Rifkin. Infinite-s limits for Tikhonov regularization. // Journal of Machine Learning Research 7 , 2006 , c.855-876.

168. Sapto W. Indratno, A.G. Ramm. An iterative method for solving Fredholm integral equations of the first kind. //Department of Mathematics, Kansas State University, Manhattan, KS 66506-2602, USA

169. Sergei Pereverzyev, Eberhard Schock Morozov's discrepancy principle for Tikhonov regularization of severely ill- posed problems

in finite-dimensional subspaces. //Numerical Functional Analysis and Optimization (Impact Factor: 0.5). 01/2000; 21:901-916.

170. Sergey G. Solodky. Optimal discretization for ill-posed integral equations with finitely smoothing operators. //УкраТнський Математич-ний Вюник Том 5 (2008), Ж 3, 382 - 393.

171. Serezhnikova T.I. Regularization and adaptation for the approximation of nonsmooth solutions for fredgolm first kind integral equations. //Universal Journal of Computational Mathematics 2(1): 11-16, 2014

172. Seung Hun Lee, Junghee Kim, Lee J.H., Wonho Choe. Modified Phillips-Tikhonov regularization for plasma tomography. // Current Applied Physics xxx, (2009) c.xxx-xxx.

173. Solodky S. G. The optimal approximations for solving linear Ill-posed problems. // Journal of complexity 17, 2001, c.98-116.

174. Tautenhahn U, Qi-nian Jin. Tikhonov regularization and a posteriori rules for solving nonlinear ill posed problems. //Inverse Problems 19 (2003) 1-21.

175. Thamban Nair. M. Nystrom Method as Regularization for Integral Equations of the First Kind. //The Chinese Academy of Sciences, Beijing, China, 12-15 July , 2010.

176. Thamban Naira M., Sergei V. Pereverzevb. Regularized collocation

method for Fredholm integral equations of the first kind. // Journal of Complexity 23, 2007, c.454-467.

177. Vasin V. V. Some tendencies in the Tikhonov regularization of ill-posed problems. //J. Inv. Ill-posed problems, Vol. 14, (2006), №.8, c. 813-840.

178. Victor D. Efros. Method to solve integral equations of the First kind with an approximate input. //European Centre for Theoretical Studies in Nuclear Physics and Related Areas (ECT),Villa Tambosi, 1-38123 Villazzano (Trento), Italy.

179. Vito E De, Caponnetto A., Rosasco L. Discretization Error Analysis for Tikhonov Regularization in Learning Theory. //Analysis and Applications (Impact Factor: 0.98). 11/2011; 04(01).

180. Weimin Han, Jianguo Huang, Kamran Kazmi, and Yu Chen.

A numerical method for a Cauchy problem for elliptic partial differential equations. // Inverse problems 23, 2007, c.2401-2415.

181. Xinjie Li, Gongsheng Li. A Note on Solving High-order Hilbert Matrix Equation by Tikhonov Regularization. // Journal of Information and Computational Science 9: 7 (2012) 1957-1966.

182. You Yunxiang, Miao Guoping. On the regularization method of the first kind of Fredholm integral equation with a complex kernel and its application. //Applied Mathematics and Mechanics (English Edition, Vol: 19, No. 1, Jan. 1998). //Mathematics Subject Classification. Primary: 45B05, 44A60; Secondary: 45A05,49M99, 2000.