Математическое моделирование течений вязкого газа в многосвязном объёме с перфорированными стенками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Семакин, Артём Николаевич

• Семакин, Артём Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семакин, Артём Николаевич

Основные обозначения и сокращения.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА И ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПОРИСТЫЕ СРЕДЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУГА ЗАДАЧ.

1.1. Подходы к исследованию течений в пористой среде.

1.2. Методы численного решения уравнений гидромеханики.

1.3. Определение круга задач.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование течений вязкого газа в многосвязном объёме с перфорированными стенками»

Актуальность темы:

Явления переноса в пористой среде занимают важное место во многих практических приложениях: фильтрация, разработка месторождений углеводородного сырья, хроматография, катализ и т.д. Не менее важными и сложными являются течения продуктов сгорания твёрдых топлив, обтекание конструктивных элементов заряда воспламенителя в ракетном двигателе твёрдого топлива, а также обтекание, прогрев и воспламенение артиллерийского заряда для периода пиростатики выстрела.

Пористая среда с геометрической точки зрения имеет довольно сложное строение, и обычно течение жидкости или газа в такой среде исследуется с помощью перехода от истинных значений гидромеханических величин к фиктивным, которые «размазываются» по всей рассматриваемой среде. Далее, для этих фиктивных величин формулируется система уравнений гидромеханики. Получающаяся в результате этого математическая модель упрощает проблему исследования течения жидкости или газа через пористую среду и в некоторых частных случаях даже позволяет находить аналитические решения. Но все результаты получаются только для осреднённого по объёму течения, получить какие-либо данные о поведении жидкости или газа на уровне пор невозможно.

Однако, все практически важные физические процессы (например, очистка газа от примесей при прохождении через фильтр, разделение смеси на составные компоненты, явление изменения скорости химической реакции при катализе) происходят на уровне пор и характер их протекания во многом зависит от локальной структуры пористой среды.

Поэтому детальное изучение таких явлений, рассмотрение физики и химии подобных процессов возможно только при исследовании течения жидкости или газа непосредственно в данной пористой среде без использования каких-либо дополнительных гипотез и предположений. Следовательно, задачи разработки численной методики решения системы уравнений гидромеханики в пористой среде со сложным геометрическим строением и исследования на её основе поведения жидкости или газа в такой среде являются актуальными.

Среди работ, посвящённых изучению гидромеханики, можно выделить работы Лойцянского Л.Г. [1], Седова Л.И. [2], ШлихтингаГ. [3] и других. Рассмотрению движений газа и жидкости в пористых средах посвящены работы таких учёных, как Лейбензон Л.С. [4], Полубаринова-Кочина П.Я. [5], Щелка-чёв В.Н. [6], Чарный И.А. [7]. Численные методы решения задач гидромеханики приводятся в работах Андерсона Д. [8], Патанкара С. [9], РоучаП. [10], Самарского А.А. [11], Липанова A.M. [12], ФлетчераК. [13].

Объект исследования:

Течение вязкого сжимаемого газа в многосвязных областях.

Предмет исследования:

Методика численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях; течение газа в области, заполненной сферическими частицами.

Цели диссертационной работы:

1. Разработка и реализация метода численного решения уравнений гидромеханики в рассматриваемых многосвязных областях.

2. Исследование течения вязкого газа в объёме с перфорированными стенками, заполненном сферическими частицами.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

1. Создание стандартного набора конечных объёмов, на которые можно разбивать объём, заполненный сферическими частицами.

2. Разработка криволинейной системы координат для каждого выделенного конечного объёма.

3. Выбор формы представления системы уравнений гидромеханики для обеспечения устойчивости вычислительного процесса.

4. Организация взаимодействия соседних конечных объёмов и передачи данных между ними.

5. Создание и тестирование программного комплекса для расчёта течения вязкого газа в объёме с перфорированными стенками, заполненном сферическими частицами.

6. Проведение расчётов для исследования течения вязкого газа в объёме со сферическими частицами.

На защиту выносятся:

1. Методика численного расчёта течения вязкого газа в объёме со сферическими частицами.

2. Результаты тестовых расчётов задачи обтекания сферы, расположенной в неограниченном объёме.

3. Результаты методических расчётов для обоснования процесса сходимости при интегрировании уравнений гидромеханики по пространственным переменным и при измельчении разностной сетки.

4. Результаты параметрических расчётов течения вязкого газа в объёме со сферическими частицами.

Научная новизна работы:

1. Разработана методика численного расчёта течения вязкого газа в многосвязных областях.

2. Впервые проведено исследование поведения вязкого газа в объёме со сферическими частицами на основе численного решения уравнений гидромеханики.

Практическая значимость:

1. Полученные результаты являются новыми и дают представление о характере течения газа через объём, заполненный сферическими частицами.

2. Приведённые теоретические положения могут быть использованы при численном моделировании течения газа в различных многосвязных областях.

3. Представленная методика численного решения уравнений гидромеханики реализована в виде легко модернизируемого программного комплекса для расчёта течений в многосвязных областях с перфорированными стенками.

Апробация работы:

Материалы диссертации апробированы на следующих конференциях: «Динамика изследования — 2008» (София, 2008 г.), «Veda: teorie a praxe - 2008» (Praha, 2008 г.), «Predni уёёескё novinky - 2008» (Praha, 2008 г.), «Naukowy po-tencjal swiata - 2008» (Przemysl, 2008 г.), «Nastolem modern! vёdy - 2008» (Praha, 2008 г.), «Актуальные проблемы науки в России» (Кузнецк, 2008 г.), «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2008 г.), «Актуальные вопросы современной науки» (Таганрог, 2008 г.), «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2008 г.). В целом диссертационная работа докладывалась на Учёном Совете Института прикладной механики УрО РАН (2009 г.).

Публикации:

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 12 статьях [14-25], из них 1 статья [23] - в журнале, рекомендованном ВАК для публикации результатов диссертации на соискание учёной степени доктора и кандидата наук по механике и 2 статьи [24, 25] по перечню ВАК.

Краткое содержание работы по главам:

В первой главе приведён обзор литературы, указаны основные методы исследования течений в пористых средах, рассмотрены методы численного решения уравнений гидромеханики, для каждого метода указаны его достоинства и недостатки. В этой же главе определён круг задач исследования.

Во второй главе рассмотрена методика численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях. Приведён набор стандартных типов конечных объёмов, для каждого из них указана соответствующая криволинейная система координат. Рассмотрен способ получения уравнений гидромеханики, в которых конвективные слагаемые представлены в симметричной форме.

Приведены начальные и граничные условия, метод интерполяции и рассмотрена разностная схема произвольного порядка точности по пространственным переменным.

В третьей главе приведены результаты расчётов течения вязкого газа для случаев, когда в объёме с перфорированными стенками расположено от 1 до 64 сфер. В начале главы представленный в предыдущем разделе численный метод тестируется на задаче обтекания сферы, расположенной в неограниченном объёме сжимаемого газа, в диапазоне чисел Рейнольдса 40-К000. Далее рассматривается обтекание вязким газом одной, двух, трёх и четырёх сфер в ограниченном объёме с одним входом и несколькими выходами, а также неплотная кубическая упаковка сфер (4-64 сферы) при различных Re. Указывается распределение давления и температуры по объёму в целом и по поверхности каждой сферы в отдельности, приводятся средние характеристики течения при входе газа в объём и выходе из него, углы отрыва потока от сфер, углы минимума давления и температуры, коэффициенты сопротивления сфер. Для каждого случая положения сфер рассматривается характер формирования вихрей, образующихся отрывных зон и движения вязкого газа в целом.

Автор выражает глубокую признатёльность научному руководителю работы академику РАН Липанову A.M. за консультации и обсуждение полученных результатов, а также другим коллегам по работе.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Семакин, Артём Николаевич

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, состоят из следующих положений:

1. Разработан метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях на примере прямоугольного объёма с перфорированными стенками, заполненного сферическими частицами. Создан набор стандартных типов конечных объёмов (КО), на которые можно разбить исходную область со сферическими частицами. Для каждого конечного объёма разработана криволинейная система координат. Для организации взаимодействия между КО предложено три метода интерполяции гидромеханических переменных (метод, основанный на вычислении определителей; метод, основанный на разложении функции по формуле Тейлора; метод, основанный на представлении функции в виде отрезка ряда Фурье по ортогональным многочленам). При проведении расчётов разностная схема, построенная исходя из дивергентной формы записи системы уравнений гидромеханики, оказывалась неустойчивой при Re >100. Устойчивость достигнута лишь при переходе к системе уравнений гидромеханики, в которой конвективные слагаемые записываются в симметричной форме.

2. На основе изложенных в главе 2 теоретических положений создан программный комплекс для проведения расчётов течения вязкого газа в объёме с перфорированными стенками, заполненном сферическими частицами. Он протестирован на задаче обтекания сферы в неограниченном объёме в диапазоне чисел Рейнольдса 40-^1000. Полученные значения коэффициента сопротивления сферы, угла отрыва потока и длины отрывной зоны удовлетворительно совпадают с экспериментальными данными и результатами расчётов других авторов.

3. В случае, когда в рассматриваемом ограниченном объёме располагается одна сфера, проведено исследование сходимости решения по количеству точек разностной сетки и порядку точности пространственных производных. Показано, что для получения сходящегося решения достаточно использовать разностную схему четвёртого порядка точности по пространственным переменным.

4. В работе рассмотрено течение вязкого газа в объёме с перфорированными стенками, в котором располагаются одна, две, три и четыре сферы в различных положениях, а также неплотная кубическая упаковка сфер (4-64 сферы) при Re = 100 и Re = 500. Для каждого случая проанализирован характер формирования вихрей, образующихся отрывных зон и движения вязкого газа в целом для объёма в рассматриваемых условиях. В итоге получается, что, когда в объёме располагаются одна, две или три сферы, течение газа при Re = 100 становится стационарным, а при Re = 500 — нестационарным, периодическим. Когда в объёме располагаются четыре и более сфер, течение является стационарным как при Re= 100, так и при Re = 500. Во всех случаях при переходе от Re = 100 к Re = 500 наблюдается увеличение количества вихрей, они становятся более интенсивными и усложняется сама их структура.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семакин, Артём Николаевич, 2010 год

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1-2. СПб.: Издательство «Лань», 2004.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

4. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 244 с.

5. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1952. 676 с.

6. Щелкачёв В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949. 523 с.

7. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 198 с.

8. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 1-2. М.: Мир, 1990.

9. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

10. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 612 с.

11. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Едиториал УРСС, 2004. 248 с.

12. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 161 с.

13. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1-2. М.: Мир, 1991.

14. Липанов A.M., Семакин А.Н. Обтекание вязким газом сферы в объёме с перфорированными стенками // Международная Интернет-конференция «Актуальные вопросы современной науки»: Сборник научных трудов. М.: Издательство «Спутник +», 2008. С. 82-85.

15. Липанов A.M., Семакин А.Н. Обтекание вязким газом сферических частиц в ограниченном объёме // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 4. С. 79-86.

16. Липанов A.M., Семакин А.Н. Обтекание трёх сфер потоком вязкого газа при Re=100 // Вестник ИжГТУ. 2008. № 4. С. 203-205.

17. Липанов A.M., Семакин А.Н. Обтекание вязким газом системы двух сфер в объёме с перфорированными стенками // Математическое моделирование. 2009. Т. 21, №7. С. 67-74.

18. Липанов A.M. Метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях (первое сообщение) // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 12. С. 3-18.

19. Коровин Н.В. Общая химия. М.: Высшая школа, 2000. 558 с.

20. Глинка Н.Л. Общая химия. М.: Интеграл-Пресс, 2004. 728 с.

21. Liu G. High Resolution Modeling of Transport in Porous Media: PhD thesis. Baton Rouge, 2002. 108 p.

22. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 544 с.

23. Пирвердян A.M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. М.: Недра, 1982. 192 с.

24. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 628 с.

25. Механика насыщенных пористых сред / В.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов. М.: Недра, 1970. 339 с.

26. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982. 407 с.

27. Ромм Е.С. Структурные модели порового пространства горных пород. Д.: Недра, 1985. 240 с.

28. Маркин B.C. О капиллярном равновесии в модели пористого тела с пересекающимися порами переменного сечения // Доклады АН СССР. 1963. Т. 151, №3. С. 620-623.

29. Ентов В.М., Фельдман А .Я., Чен-Син Э. Программное моделирование процесса капиллярного вытеснения в пористой среде // Программирование. 1975. №3. С. 67-74.

30. Balhoff М. Modeling the Flow of Non-Newtonian Fluids in Packed Beds at the Pore Scale: PhD thesis. Baton Rouge, 2005. 192 p.

31. Zhang W. Experimental and Computational Analysis of Random Cylinder Packings with Applications: PhD thesis. Baton Rouge, 2006. 162 p.

32. Guo G. The Effects of Local Hydrodynamics on Mass Transfer in Disordered Porous Media: PhD thesis. Baton Rouge, 2002. 99 p.

33. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 641 с.

34. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. JL: Судостроение, 1979. 264 с.

35. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.304 с.

36. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

37. Кудинов П.И. Численное моделирование гидродинамики и теплообмена в задачах с конвективной неустойчивостью и неединственным решением: дис. канд. физ.-мат. наук. Днепропетровск, 1999. 229 с.

38. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 424 с.

39. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Едиториал, 2005.384 с.

40. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.

41. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

42. Liang G. Numerical Simulation of 3D, Complex, Turbulent Flows with Unsteady Coherent Structures: From Hydraulics to Cardiovascular Fluid Mechanics: PhD thesis. Atlanta, 2004. 220 p.

43. Steger J.L., Benek J.A. On the use of composite grid schemes in computational aerodynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1987. Vol. 64. P. 301-320.

44. Khier W., Breuer M., Durst F. Flow structure around trains under side wind conditions: a numerical study // Computers&Fluids. 2000. Vol. 29, № 2. P. 179195.

45. Takanashi D., Takemoto M. An automatic grid generation procedure for complex aircraft configurations // Computers&Fluids. 1995. Vol. 24, № 4. P. 393400.

46. Aoki T. 3D simulation for falling papers // Computer Physics Communications. 2001. Vol. 142, № 1-3. P. 326-329.

47. Tang H.S., Jones S.C., Sotiropoulos F. An overset-grid method for 3D unsteady incompressible flows // Journal of Computational Physics. 2003. Vol. 191, № 2. P. 567-600.

48. Pan H., Damodaran M. Parallel computation of viscous incompressible flows using Godunov-projection method on overlapping grids // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2002. Vol. 39, № 5. P. 441-463.

49. Wright J., Shyy W. A pressure-based composite grid method for Navier-Stokes equations // Journal of Computational Physics. 1993. Vol. 107, № 2. P. 225-238.

50. Ильин B.A., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1999. 224 с.

51. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.О.: Издание ЗАО «Оптимизационные системы и технологии», 2004. 368 с.

52. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М.: Высшая ттткола, 1967. 655 с.

53. Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1973. 754 с.

54. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике. Минск: Тетрасистемс, 1999. 640 с.

55. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физико-математическая литература, 2000. 376 с.

56. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А.С. Пархоменко. М.: Наука, 1968. 912 с.

57. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 176 с.

58. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Изд-во МГУ, 1990. 328 с.

59. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. 160 с.

60. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. СПб.: Издательство «Лань», 2002. 688 с.

61. Эйдерман В.Я. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 256 с.

62. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. 260 с.

63. Комеч А.И. Практическое решение уравнений математической физики: Учеб.-метод. пособие. Механико-математический факультет МГУ, 1993. 155 с.

64. Русяк И.Г., Горохов М.М., Колосов С.М. Постановка задачи пространственного течения несжимаемой жидкости в криволинейных координатах // Интеллектуальные системы в производстве. 2006. № 1. С. 68-93.

65. Колосов С.М., Русяк И.Г. Течение вязкой теплопроводной жидкости в канале с криволинейной образующей // Вестник ИжГТУ. 2006. № 4. С. 17-21.

66. Федорченко А.Т. О методике численного исследования нестационарных дозвуковых течений вязкого газа в каналах. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. Т. 21, № 5. С. 1215-1231.

67. Федорченко А.Т. О расчётных моделях взаимодействия вихрей с проницаемой границей области дозвукового потока. // Доклады Академии наук СССР. 1983. Т. 273, № 1. С. 66-70.

68. Федорченко А.Т. О проблеме вывода вихрей через проницаемую границу расчётной области нестационарного дозвукового потока. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. Т. 26, № 1. С. 114129.

69. Федорченко А. Т. Численное исследование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа во внезапно расширяющемся плоском канале. // Механика жидкости и газа. 1988. № 4. С. 32-41.

70. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Физматлит, 1962. 464 с.

71. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

72. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

73. Кудрявцев JI.Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. Т. 1-2. М.: Высшая школа, 1981.

74. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.

75. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 801 с.

76. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

77. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. 297 с.

78. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. М.: МИКАП, 1994. 382 с.

79. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделирование развития вихревых структур в отрывных течениях // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № Ю. С. 13-23.

80. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Математическое моделирование турбулентных течений // Математическое моделирование. 1997. Т. 9, №2. С. 113-116.

81. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделированиевязких дозвуковых потоков при числе Рейнольдса 104 //Математическое моделирование. 1997. Т. 9, № 3. С. 3—12.

82. Липанов A.M., Ключников И.Г., Глухова Е. Ю. Решение модельных задач методами высокого порядка точности //Математическое моделирование. 1997. Т. 9, №2. С. 106-110.

83. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений методами высокого порядка точности // Современные проблемы внутренней баллистики РДТТ / Под ред. А.В. Алиева. Ижевск: ИПМ УрО РАН, 1996. С. 9-37.

84. Ключников И.Г. Прямое численное моделирование дозвуковых турбулентных течений газа: дис. д-ра физ.-матем. наук. Ижевск, 1999. 230 с.

85. Горохов М.М. Математическое моделирование обтекания и горения гранул твёрдого топлива в турбулентных потоках: дис. д-ра физ.-мат. наук. Ижевск, 2005. 258 с.

86. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами / Под ред. Л.Е. Стернина. М.: Машиностроение, 1980. 184 с.

87. Гущин В. А., Матюшин П. В. Численное моделирование пространственных отрывных течений // Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике: Сб. трудов конференции (Ижевск, 1996). Ижевск: ИПМ УрО РАН, 1996. С. 44-61.

88. Jenson V. Viscous flow round a sphere of low Reynolds number // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1959. Vol. 249. P. 346-366.

89. Taneda S. Experimental investigation of the wake behind a sphere at low Reynolds numbers // Journal of the Physical Society of Japan. 1956. Vol. 11, № 10. P. 1104-1108.

90. Rimon Y., Cheng S.I. Numerical solution of a uniform flow over a sphere at intermediate Reynolds numbers // Physics of Fluids. 1969. Vol. 12, Jv|° 5. P. 949959.

91. Волков В.И., Мухин В.А., Накоряков B.E. Исследование структуры течения в пористой среде // Журнал прикладной химии. 1981. Т. 54, Jte 4. С. 838-842.