Математическое моделирование температурного состояния конструкций из неоднородных материалов на основе двойственной вариационной формулировки сопряженной задачи теплопроводности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Родиков, Алексей Викторович

• Родиков, Алексей Викторович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Родиков, Алексей Викторович

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вариационная формулировка задачи.

2.2.1. Построение прямого функционала.

2.2.2. Построение встречного функционала.

2.3. Требования к аппроксимации допустимых функции альтернативных функционалов.

2.3.1. Допустимые функции прямого функционала.

2.3.2. Допустимые функции встречного функционала.

2.4. Оценка точности численного решения.

2.4.1. Определение среднеквадратической погрешности.

2.4.2. Определение двусторонней оценки собственных значений оператора задачи.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Вариационная формулировка задачи.

3.2.1. Построение прямого функционала.

3.2.2. Построение встречного функционала.

3.3. Требования к аппроксимации допустимых функций альтернативных функционалов.

3.3.1. Допустимые функции прямого функционала.

3.3.2. Допустимые функции встречного функционала.

3.4. Оценка точности численного решения.

3.4.1. Определение среднеквадратической погрешности.

3.4.2. Определение нижней границы первого собственного значения оператора задачи.

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

4.1. Однородное ребро.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Вариационная формулировка задачи.

4.1.3. Аналитическое решение.

4.1.4. Численное решение.

4.1.5. Результаты компьютерного моделирования.

4.2. Неоднородный стержень.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Вариационная формулировка задачи.

4.2.3. Аналитическое решение.

4.2.4. Численное решение.

4.2.5. Результаты компьютерного моделирования.

4.3. Оболочка камеры сгорания двигателя.

4.3.1. Случай идеального контакта между внутренней и наружной стенкой

4.3.1.1. Постановка задачи.

4.3.1.2. Вариационная формулировка задачи.

4.3.1.3. Применение метода конечных элементов.

4.3.1.4. Определение разности значений функционалов.

4.3.1.5. Результаты компьютерного моделирования.

4.3.2. Случай неидеального контакта между внутренней и наружной стенкой.

4.3.2.1. Постановка задачи.

4.3.2.2. Вариационная формулировка задачи.

4.3.2.3. Результаты компьютерного моделирования.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование температурного состояния конструкций из неоднородных материалов на основе двойственной вариационной формулировки сопряженной задачи теплопроводности»

Для многих отраслей промышленности, таких как ракето- и самолетостроение, характерны конструкции, работающие в условиях интенсивных тепловых воздействий [10, 11, 14, 47, 49, 61]. Работоспособность и долговечность таких теплонапряженных конструкций зависит от взаимосвязанных факторов, которые являются предметом изучения различных разделов механики. Учет этих факторов приводит к необходимости решения задач по определению температурного состояния элементов конструкции.

Актуальность работы. Проблема достоверности определения температурного состояния элементов конструкции является в современной технике одной из важнейших. От успешного ее решения зависят возможности повышения надежности, эффективности и ресурса работы энергетических установок и теплонапряженных узлов различных машин и агрегатов.

Нахождению точного аналитического решения задач по определению температурного состояния посвящена обширная литература [17, 19, 23, 31, 45, 33, 63], но нахождение точного аналитического решения, как правило связано с большими, а иногда с непреодолимыми трудностями. С прикладной же точки зрения наряду с аналитическим решением не меньшее значение имеет получение приближенного численного решения. Причем приближенные методы с инженерной точки зрения считаются приемлемыми, если при разумных затратах труда и времени дают не только необходимую информацию о значениях искомых функций, но и обеспечивают оценку достоверности этой информации. Выполнение этого требования имеет большое значение при анализе результатов численного решения и их прикладной интерпретации, а также важно при разработке систем автоматизированного проектирования теплофизических установок и оборудования.

В последнее время при разработке и сравнительном анализе методов решения задач теплопроводности указанному требованию уделяется определенное внимание [8, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 54], однако эти вопросы еще не получили достаточного освещения. В данной работе предпринята попытка положить в основу изложения методов расчета инженерный подход, предусматривающий возможность оценки достоверности получаемой информации о температурном состоянии конструкции.

Одним из подходов, удовлетворяющих подобному требованию, является подход, основанный на использовании вариационной формулировки задачи, которая должна включать в себя альтернативные функционалы, то есть функционалы, достигающие в стационарных точках на истинном решении равных значений, но один из них, называемый прямым, достигает в стационарной точке минимума, а второй, называемый встречным, максимума. Это позволяет найти среднюю квадратическую погрешность этого численного решения.

Данная работа посвящена построению вариационной постановки сопряженных задач для тел различной структуры и нахождению среднеквадратической погрешности численного решения таких сопряженных задач. Показано, что вариационная формулировка сопряженных задач теплопроводности не только дает возможность эффективно использовать приближенные методы для расчета температурного поля в твердом теле, но и содержит в себе объективный интегральный критерий точности получаемого приближенного решения. В работе представлено применение метода конечных элементов для численного решения сопряженных задач стационарной теплопроводности и оценки погрешности этого решения, а также разработан метод нахождения нижней границы первого собственного значения операторов рассматриваемых задач, которая необходима для нахождения среднеквадратической погрешности.

Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов для математического моделирования температурного состояния стационарных сопряженных задач теплопроводности и определению оценки погрешности полученного приближенного решения.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:

• построение двойственной вариационной формулировки сопряженных задач стационарной теплопроводности;

• разработка методики определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности;

• разработка методики определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом.

Научная новизна. Разработана методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности, а также методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом. Методами математического моделирования изучено влияние густоты сетки конечно элементной модели на погрешность численного решения стационарных сопряженных задач теплопроводности.

Получена двойственная вариационная формулировка для сопряженной стационарной нелинейной задачи теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле.

Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических положений теории теплопроводности, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных численных результатов с известными аналитическими решениями.

Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках НИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчетов, анализа работоспособности и применения конструкций, подверженных интенсивным тепловым воздействиям.

На защиту выносятся следующие положения;

• двойственная вариационная формулировка сопряженной задачи стационарной теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле;

• методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом;

• методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных нелинейных стационарных задач теплопроводности;

• результаты математического моделирования температурного состояния теплонапряженных конструкций двигателя.

Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на XIV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г. Рыбинске в 2003г.; Научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004г.; XV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г. Калуге в 2005г.; международной научной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные программы механики», посвященной 90-летию Феодосьева В.И. в г. Москве в 2006г.; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2003 - 2006г.

Публикации. Основное содержание работы изложены в статьях и тезисах выступлений на конференции [26, 25, 24, 53, 54, 55].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов и приложения. Работа изложена на 199 страницах, содержит 32 иллюстрации и 12 таблиц. Библиография включает 64 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Родиков, Алексей Викторович, 2006 год

1. Авдеев В.П., Зарубин B.C. Использование функций тока теплового потока для оценки точности численного решения задач теплопроводности // Вопросы теплопередачи. - М, 1981. - С. 96-103.

2. Агеев В.П., Алик В.П. Марков Ю.М. Библиотека алгоритмов. М.: Советское радио, 1976. - Вып. 2 - 136с.

3. Акаев А., Дулънев Г.Н., Об одном приближенном методе решения основных стационарных и нестационарных краевых задач теплопроводности // Тепло- и массоперенос. Минск, 1972. - Т.8. - С. 161-170.

4. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544с.

5. Балабух Л.И., Алфутов H.A., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. М.: Высшая школа, 1984. - 391с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Физматлит, 2000. 622с.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 544с.

8. Ванъко В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.—488с.

9. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 700с.

10. Градштейн И.С., Рыжик КМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1963. 1100с.13 .Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях: Пер. с англ. М.: Мир, 1970. - 322с.

11. Гущин В.Н. Основы устройства и конструирования космических аппаратов: Учебник для вузов. М.: Машиностроение, - 2003. - 272с.

12. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 336с.

13. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования -М.: Наука, 1976.-320с.П.Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике: Учебник для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 336с.

14. Зарубин B.C. Вариационные методы решения нелинейных задач теплопроводности. // Тепломассообмен-VI. Минск, 1980. - Т. 9. -С.62-65.

15. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности -М.: Энергоатомиздат, 1983.-328с.20 .Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкции. М.: Машиностроение, 1985. - 293с.

16. Зарубин B.C., Кувыркин Т.Н. Математические модели термомеханики М.: Физматлит, 2002. - 328с.

17. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-541с.

18. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-318с.

19. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.

20. Каханер Д., Моулер К, Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575с.

21. Керн Д., Краус А. Развитые поверхности теплообмена: Пер. с англ. -М.: Энергия, 1977.-464с.ЗА.Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.-228с.

22. Коздоба Л.А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса.-М.: Энергия, 1972. -296с.

23. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. 6-е изд: Пер. с англ. СПб.: Издательство «Лань», 2003- 832с.

24. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. -536с.АА.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 216с.

25. Поляев В.М., Майоров В.А., Васильев 77.77. Гидродинамика и теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1988. - 168с.

26. Потемкин В.Г. Введение в Matlab. М.: Диалог МИФИ, 2001. - 238с.

27. Пэдовен. Решение задач анизотропной теплопроводности методомМонте-Карло // Теплопередача. 1974. -№ 3. - С. 182-183

28. Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б.С. Елепов, A.A. Кронберг, Г.А. Михайлов, К.К. Сабельфельд. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1980. - 176с.

29. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во московского университета, 1986. -368с.

30. Самулъ В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982.-264с.

31. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1979.-392с.

32. Соболь КМ. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. -312с.

33. Современные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. / Под ред. А.Д. Горбунова. М.: Мир, 1979. -312с.

34. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972.-736с.ЬА.Черноусъко Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные методы механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238с.