Математическое моделирование термомеханических процессов в многофазных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Алексеев Михаил Владиславович

• Алексеев Михаил Владиславович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Алексеев Михаил Владиславович

Введение

Глава 1. Методы моделирования многофазных сред

с разрешением межфазных границ

§ 1,1, Классификация моделей по способу разрешения границ

§ 1,2, Модели «четкой границы»

1.2.1, Представлении поверхности в рамках подхода

Volume of Fluid

1.2.2, Метод множеств уровня (level-set method)

1.2.3, Другие подходы и примеры применения

§ 1,3, Термодинамически обоснованные модели

с «диффузной границей»

§ 1,4, Модели гидродинамического типа

§ 1,5, Модели с полным тензором напряжений

§ 1,6, Методы построения

термодинамически согласованных моделей

Глава 2. Многофазная модель

с гиперупругим поведением фаз

§ 2,1, Основные обозначения

§ 2,2, Вывод многофазной модели

2.2.1, Основные определения и «геометрические» уравнения

2.2.2, Основные уравнения

2.2.3, Уравнения для объемной доли и вид обменного слагаемого для дие-торсии

2.2.4. Энтропийное неравенство

2.2.5. Процедура Колмана-Нолла

2.2.6. Замкнутая формулировка модели

§ 2.3. Частные случаи

2.3.1. Модели типа Баера-Нунциато

с шаровым тензором напряжений

Модель Baer [1]

Модель Drew [2]

Модель Coquel |3|

Модель Kapilla [4]

Модель Coquel [5,6]

Модель Muller [7]

2.3.2. Модели с полным тензором напряжений

Модель Годунова-Роменекого

Модель Favrie [8]

§ 2.4. Заключение

Глава 3. Математические модели динамики многофазных сред

§ 3.1. Модель Годунова-Роменекого

3.1.1. Однородная модель

3.1.2. Кусочно-однородная модель

§ 3.2. Модель Баера-Нунциато

Глава 4. Вычислительные алгоритмы

§ 4,1, Разрывный метод Галёркина

4.1.1, Разрывный метод Галеркнна для неконеервативной системы гиперболических уравнений

4.1.2, Алгоритм расщепления

4.1.3, Алгоритм интегрирования однородной гиперболической системы уравнений

4.1.4, Алгоритм расчета релаксационных слагаемых

§ 4,2, Применение ограничителей в разрывном методе Галеркнна

4.2.1. Индикатор немонотонности

4.2.2. Лимитер Криводоновой

4.2.3. Лимитер \VK.\0-S

4.2.4. Лимитер, обеспечивающий положительность объемных долей и плотностей

4.2.5. Комплексное лимитирование

Глава 5. Описание программной реализации

§ 5.1. Архитектура программного комплекса

§ 5.2. РШР-.ШЧ.ТН'НЛЯК как часть программного комплекса

Глава 6. Результаты расчетов

§ 6.1. Расчеты для гиперупругих моделей

6.1.1. Расчеты в рамках однородной модели

§ 6.2. Результаты численных экспериментов для модели Баера-Нунциато

6.2.1. Тестовые расчеты без релаксации

6.2.2. Тестовые расчеты с релаксацией

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование термомеханических процессов в многофазных средах»

Введение

Актуальность темы исследования Математическое моделирование поведения многофазных конденсированных сред с прямым разрешением динамики границ раздела фаз с применением эйлерового описания среды в настоящее время становится все более актуальным, С одной стороны, это связано с обилием практических приложений (к которым относятся, в частности, задачи физики взрыва и удара), с другой — с увеличением сложности решаемых задач. Эйлеровы подходы обладают рядом преимуществ по сравнению с традиционными лагранжевыми и смешанными эйлерово-лагранжевыми, В частности, они позволяют учитывать такие процессы, как фрагментация среды, термодинамически согласованный учет поверхностных сил, контактных разрывов, фазовых переходов — без явного выделения и аппроксимации расчетной сеткой соответствующих внутренних границ. Помимо этого, в соответствии с современными представлениями, эйлеровы подходы считаются перспективными для решения задач со «сверхбольшими» деформациями,

В настоящее время известно множество математических моделей, обладающих указанными свойствами. По способу разрешения границ их можно условно разделить на два класса. Первый включает в себя модели с «четкой» границей, В этом случае поверхности раздела фаз представляют собой достаточно гладкие многообразия коразмерности один во вмещающем среду пространстве, В каждой из подобластей однородности (фазе) поведение системы описывается в рамках выбранной модели, при этом ее параметры и решения могут терпеть разрыв на межфазной границе. Для моделей данного класса необходимо явно формулировать условия согласования на межфазных границах. Второй класс моделей состоит из моделей с «диффузной» границей, где предполагается, что зоны однородности отделены друг от друга узким слоем конечной толщины, в пределах которого значения физических полей меняются непрерывно, но быстро, В этом случае условия согласования обычно не формулируются явно в виде независимых соотношений, а входят в правые части уравнений, описывающих динамику среды, В настоящее время к задачам такого типа проявляется большой интерес. Разработки ведутся как в направлении создания эффективных вычислительных алгоритмов, так и построения математических моделей.

Основной сложностью при описании динамики многофазных течений является подход к представлению межфазных границ. Разрывы физических полей, возникающих на границах, представляют большую трудность как для математической моделирования, так и для применяемых вычислительных методов и алгоритмов. Таким образом,

техника представления межфазных границ в модели является ключевым фактором. Кратко рассмотрим упрощенную классификацию по представлению межфазных границ для математических моделей, которые пригодны для описания динамики конденсированных сред со свободными границами раздела фаз. Под фазами будем понимать физически однородные области, являющейся частью гетерогенной системы, которые отделены друг от друга поверхностями разделов.

Модели динамики многофазных сред можно разделить на два больших класса: (а) модели с четкой границей, (б) модели с диффузной границей,

В рамках моделей с четкой границей поверхности раздела фаз представляют собой математические поверхности нулевой толщины, то есть достаточно гладкие многообразия коразмерности один во вмещающем среду пространстве, В каждой из фаз поведение системы описывается в рамках выбранной модели, при этом ее параметры и решения могут терпеть разрыв на межфазной границе. На границе между фазами должны быть заданы условия согласования, которые связывают между собой значения соответствующих величин по разные стороны от границы. Для описания динамики такой системы в общем случае необходимо уметь решать как уравнения в областях однородности (с учетом условий согласования), так и рассчитывать динамику границы раздела фаз. Таким образом, в общей системе уравнений появляются специфические уравнения, управляющие динамикой границ раздела сред, для решения которых должны применяться соответствующие вычислительные алгоритмы.

Серьезной проблемой при построении подобных моделей является тот факт, что в ходе своей эволюции границы раздела фаз могут претерпевать изменения, в том числе топологические. Типичным примером такой задачи является задача о взаимодействии пузыря газа, находящегося в жидкости, с распространяющейся по жидкости ударной волной (shock-bubble interaction problem) [9]. Известен целый ряд методов решения этой задачи. Исторически первыми из них являются методы, основанные на прямой трассировке точек границы. Эти методы сравнительно просты, однако, вообще говоря не позволяют рассматривать задачи, в которых границы могут претерпевать топологические превращения. По этой причине в последние десятилетия широкое распространение получили методы, основанные на неявном представлении границ, К таким методам относятся методы типа Volume of fluid [10,11], множеств уровня [12] и его варианты (в частности, консервативный метод множеств уровня).

Модели с диффузной границей предполагают, что зоны однородности отделены друг от друга узким слоем конечной толщины, в пределах которого значения физических полей меняются непрерывно, но быстро, В этом случае условия согласования обычно не формулируются, а входят в правые части уравнений, описывающих динамику среды, В содержательных постановках параметр порядка может являться, например, распределением концентрации определенной фазы в пространстве.

Можно выделить следующие преимущества моделей с диффузной границей. По сравнению с моделями с четкой границей достигается большая гибкость в выборе урав-

нений состояния. Более того, данный класс моделей является консервативным по массе, энергии и импульсу для смеси. Это приводит к точным вычислениям термодинамических потенциалов на межфазных границах. При этом модели данного типа допускают решение в рамках единого вычислительного алгоритма для всех групп уравнений. Помимо этого, как указано выше, в данных моделях межфазные границы могут создаваться и разрушаться в ходе эволюции. Модели с диффузной границей в большинстве важных случаев могут быть построены как термодинамически корректные.

Цели и задачи исследования. Целью работы является создание комплекса средств математического моделирования для анализа динамики многофазных сред в рамках эйлерового подхода. Основными направлениями исследований является решение задач с прямым разрешением границ раздела фаз и с существенно различными свойствами фаз (материалов). Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1, Выполнен анализ современных методов моделирования многофазных гидродинамических течений с прямым разрешением динамики границ раздела фаз

2, Разработаны математические модели для описания многофазных гидродинамических течений с прямым разрешением динамики границ раздела фаз, в том числе с фазами, имеющими гиперупругое поведение,

3, Разработаны вычислительные алгоритмы для решения задач многофазной гидродинамики в рассматриваемом классе постановок,

4, Разработанные модели и алгоритмы реализованы в виде параллельного программного комплекса, пригодного для моделирования задач в реалистичных постановках,

5, Выполнены валидация и верификация разработанных математических моделей, алгоритмов и их программной реализации.

Научная новизна исследования состоит в:

1, Новой полностью неравновесной чисто эйлеровой математической модели типа Баера-Нунциато для описания динамики многофазной среды с гиперупругим поведением фаз. Модель характеризуется набором из двух «интерфейсных» скоростей, ее частными случаями являются большинство представленных в литературе сред с шаровым тензором напряжений. Модель является термодинамически согласованной, ее вывод выполнен в рамках методов рациональной термомеханики сплошных сред,

2, Новых вычислительных алгоритмах решения уравнений модели типа Баера-Нунциато и модели типа Годунова-Роменекого для описания динамики многофазных сред на основе разрывного метода Галеркина с использованием новой многосоставной схемы лимитирования консервативных и простых переменных,

3, Параллельной программной реализации разработанных моделей и алгоритмов, пригодной для моделирования многофазных гидродинамических течений и дина-

мики неоднородных сред е гиперупругим поведением фаз в дискретных постановках актуальных сеточных размерностей.

Положения, выносимые на защиту.

1, Разработаны математические модели, пригодные для описания динамики многофазных сред с прямым разрешением динамики раздела фаз, в том числе для сред с гиперупругим поведением. Вывод моделей выполнен термодинамически обоснованным способом, известные модели типа Баера-Нунциато с шаровым тензором напряжений являются частными случаями предложенной в работе модели,

2, Разработан комплекс вычислительных алгоритмов на основе разрывного метода Галеркина для моделирования динамики многофазных сред,

3, Выполнена параллельная программная реализация разработанных алгоритмов,

4, Представлены результаты численного решения задач в тестовых и содержательных постановках, подтверждающие корректность реализованных моделей и алгоритмов для целевого класса задач.

Научная значимость и практическая ценность исследования заключается в разработанных математических моделях, соответствующих вариантов алгоритмов разрывного метода Галеркина и параллельной программной реализации, пригодной для анализа задач в реалистичных постановках.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1, Международная конференция «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций», г, Томск, 1-5 октября 2019 г,

2, Международная конференция «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций», г, Томск, 1-5 октября 2018 г,

3, International Conference on Mathematical Modelling in Physical Sciences, г, Москва, 27-31 октября 2018 г,

4, 4-ая Международная научная школа молодых ученых «Физическое и математическое моделирование процессов в геосредах», г, Москва, 24-26 октября 2018 г,

5, Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященная памяти академика Леонида Ивановича Седова в связи со сто-десятилетием со дня его рождения, г, Москва, 15 ноября 2017 г,

6, Семинар «Математическое моделирование» под руководством В, Ф, Тишкина и А, А, Кулешова, 1111 \I им, М, В, Келдыша РАН, г, Москва, 17 января 2023 г,

7, Семинар «Вычислительные методы и математическое моделирование» им, Ю.11. Попова под руководством проф. М, П, Галанина и проф. В, М, Чечёткина в

1111X1 им. М. В. Келдыша РАН, г. Москва (№ 280, 26 декабря 2022 г.; № 259, 27 декабря 2021 г.; № 211, 19 ноября 2018 г.)

Публикации. По теме работы опубликовано 11 печатных работ [13-23], 8 из которых в международных базах цитирования, 1 в сборниках докладов конференций и 2 в других изданиях.

Содержание работы. Во введении данной работы формулируются цели и задачи исследования, обосновывается актуальность и научная значимость работы,

В первой главе представлен краткий обзор существующих подходов к моделированию многофазных сред, В параграфе 1,4 приведены существующие модели и подходы для сред, в которых имеется только объемная деформация, т.е. тензор напряжений имеет диагональный вид, В параграфе 1,5 проведен обзор существующих моделей для динамики многофазных сред, содержащих полный тензор деформации.

Во второй главе в разделе 2,2 представлен вывод многофазной модели с учетом гиперупругого поведения фаз в рамках процедуры Колмана-Нолла, В разделе 2,3,1 рассмотрены возможные частные случаи представленной модели,

В третьей главе в разделе 3,1 представлена модель Годунова-Роменекого для описания динамики упругого тела в эйлеровой постановке, В параграфе 3,1,1 описан общеизвестный однофазный вариант, содержащий только консервативные слагаемые и единственное уравнение состояния в расчетной области, В параграфе 3,1,2 вводится функция уровня, применяемая для взвешивания «фаз» в расчетной области. Приведена формулировка задачи для неоднородного случая гиперупругой модели Году ног,н-Роменского, Далее в главе представлена модель Баера-Нунциато для описания динамики многофазных сред, В разделе 3,2 представлена математическая модель Баера-Нунциато, описывающая поведение двухфазной среды, а также кратко дан обзор возможных замыкающих соотношений для полученной модели,

В четвертой главе представлена численная схема для системы гиперболических уравнений на основе разрывного метода Галеркина, В параграфе 4,1,1 описана общая схема для случая системы гиперболических уравнений, содержащих неконсервативные слагаемые, а также кратко описан способ введения обобщенного решения в случае разрывных коэффициентов в этих слагаемых. Помимо этого, в параграфе представлена общая схема для системы гиперболических уравнений, содержащих как консервативные, так и неконсервативные слагаемые, а также варианты численных потоков на основе метода Годунова для данной схемы. Далее в главе представлен алгоритм расщепления в параграфе 4,1,2, а также процедура интегрирования по времени с помощью метода Рунге-Кутты в параграфе 4,1,3, Далее представлен алгоритм расчета релаксационных слагаемых в параграфе 4,1,4, Далее в параграфе 4,2 описаны варианты ограничителей (лимитеров), применяемых в данной работе.

В пятой главе представлено описание программной реализации исследуемых математических моделей, а также соответствующих вычислительных алгоритмов в виде программного комплекса DIMP-MULTIPHASE, Комплекс основан на программной платформе DIMP, которая предоставляет набор средств, обеспечивающих эффективную реализацию явных вычислительных алгоритмов для решения широкого класса задач с применением декартовых ортогональных сеток [24],

Языком реализации является С++ с использованием интерфейса параллельного программирования MPI, Разбиение расчетной сетки для межпроцессорного обмена осуществлено с помощью библиотеки Metis, Для написания конфигурационных файлов используется встраиваемый язык программирования Lúa, Результаты расчетов могут быть сохранены в формате VTK,

Программный комплекс DIMP-Multiphase состоит из двух модулей: DIMP-Hyper для решения задач гиперупругости и DIMP-BN для решения задач многофазных течений, Общая база вычислительных алгоритмов реализована на уровне DIMP-Multiphase и предоставляет возможность проведения расчетов с использованием метода RK/DG с восполнением решения до произвольного порядка, а также интегрирование по времени методом l'y нге-К у ti ы. задаваемом с помощью таблицы Бутчера,

В шестой главе представлены результаты вычислительных экспериментов с использованием разрывного метода Галеркина и интегрирования по времени методом Рунге-Кутты третьего порядка (TVDRK3) для моделей Годунова-Роменекого и Баера-Нунциато, В разделе 6,1 представлены результаты расчетов для модели Годунова-Роменекого, В параграфе 6,1,1 представлены результаты расчета однофазной однородной модели, приведены формулировки и данные тестовых расчетов, В параграфе 6,1,1 приведены тесты для упругой задачи, содержащей неоднородности и различные параметры уравнения состояния для каждой из «фаз». Далее представлен пример трехмерного расчета, В параграфе 6,2 представлены результаты расчета для тестов модели Баера-Нунциато без релаксации в параграфе 6,2,1 и с релаксацией в параграфе 6,2,2, Задачи включают в себя различные постановки, в том числе соответствующие экспериментальным данным,

В заключении сформулированы основные результаты работы и направления дальнейшего развития.

Объем и структура работы. Работа состоит из Введения, 6 глав и Заключения, Полный объем работы составляет 128 страниц, включая 21 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 137 наименований.

Глава 1. Методы моделирования многофазных сред с разрешением межфазных границ

В настоящее время существует значительный интерес к разработке средств и методов математического моделирования для анализа высокоинтенсивных ударно-волновых процессов в неоднородных конденсированных средах (твердых телах и жидкостях), порождаемых интенсивными механическими и тепловыми нагрузками.

Традиционно, для решения таких задач используются модели, основанные на лагранжевом (материальном) описании среды. Их достоинством является возможность разработки эффективных вычислительных алгоритмов, в том числе при наличии больших перемещений и деформаций точек среды, и простота отслеживания границ раздела материалов с различными термодинамическими и реологическими свойствами, поскольку при лагранжевом описании границы раздела различных материалов не меняются.

Типичной проблемой таких методов в случае больших перемещений и деформаций среды является сильное возмущение расчетной сетки в эйлеровых координатах: в ходе расчета могут появляться ячейки, геометрия которых несовместна с моделью деформации среды. Например, в ходе расчета может возникать «перехлест» граней ячеек сетки («□ ^м») или их вырождение («□ ^Д» и др.). Это привело в разработке методов на основе смешанного эйлерово-лагранжевого (СЭЛ, ALE — Arbitrary Lagrangian-Eulerian) способа описания среды, В этом случае для описания движения материальных точек среды и точек расчетной области (сетки) используется два параметризованных временем отображения из лагранжевых координат в эйлеровы, имеющих одинаковый образ лагранжевой области в эйлеровом пространстве. Одно из этих отображений описывает движение материальных точек среды, второе — движение расчетной сетки. Это позволяет, с одной стороны, избежать проблемы возмущений сетки в эйлеровых координатах, а с другой — формально сохранить все достоинства лагранжевого описания. На основе этих подходов созданы такие коды, как Allegra [25] и его активно развиваемый современный аналог BLAST [26], Отметим также коды HYDRA [27], LASNEX [28,29], ICFP3 [30].

Использование смешанных эйлерово-лагранжевых переменных вызывает ряд технических сложностей, связанных с устойчивой реализацией соответствующего класса алгоритмов. Так, «узким» местом этих подходов являются алгоритмы генерации (перестройки) адаптивных сеток в ходе расчета и корректная переинтерполяция на них физических полей («remesh/remap»), В частности, значительное число работ, по-

10

священных развитию базового ядра кода А11е§га посвящено именно этим вопросам и вопросам восстановления межфазных границ [31-35],

Одновременно с этими трудностями использования СЭЛ-подходов, они сложны для реализации в случаях, когда в модели присутствуют динамические границы (например, фазовых переходов или фронтов химических реакций и др., когда скорость движения фронта относительно материальных точек среды отлична от нуля), большое число несвязных подобластей (например, гранулированные среды), взаимодействие границ (упругий контакт), фрагментация среды (разлет «осколков») и так далее.

По этой причине в настоящее время для решения задач с «экстремальными» деформациями все большее значение приобретают методы, основанные на эйлеровом описании поведения среды. Одной из центральных проблем, связанных с применением моделей такого типа, является необходимость описания динамики межфазных границ (в том числе границ расчетной области). При этом использование чисто эйлеровых подходов позволяет успешно решать задачи с динамическими фронтами (фронты химических реакций, детонации, горения, фазовых переходов), учитывать поверхностные эффекты (при их наличии; например, поверхностное натяжение и др.) и фрагментацию среды, описывать процессы унифицированно в рамках единой системы уравнений для сред с существенно различными термодинамическими и механическими свойствами («твердое тело»/«газ») и т.д. Примеры эйлеровых подходов для решения указанных примеров задач приведены в, например, в [8,36-41],

Дополнительные достоинства эйлеровых подходов проявляются при использовании реалистичных вексельных геометрических моделей среды, В моделях такого типа геометрия области и распределение свойств в ней задается трехмерным бинарным массивом, каждый элемент которого имеет значение «О» или «1», При этом области материала соответствует, например, значение «1», а ячейки со значениями «О» являются пустотами. Другими словами, в простейшем случае область расчета задается в виде трехмерной двухцветной «фотографии» образца материала, где один из цветов соответствует «фону», а второй — непосредственно «изображению». Актуальность воксельного представления геометрии расчетной области связана с тем, что для ряда искусственных и природных сред геометрия расчетной области не может быть охарактеризована точно (например, это касается геометрической структуры распределения фаз композиционного материала). Для построения геометрических моделей таких сред часто используют компьютерную микротомографию.

При использовании вексельных геометрических моделей среды, их структура таких сред известна с конечной точностью (пространственным разрешением, который определяется шагом вексельной сетки). По этой причине точное представление границ между материалами или границ раздела фаз материала, или границ между различными материалами, характерное для лагранжевых методов, является избыточным, В таких условиях представление границы более естественно в рамках модели типа «диффузной границы», когда реальная граница заменяется «размазанной» на конечную толщину.

Примерами моделей многоматериальных (тиШгг^епа1) и многофазных сред, основанных на эйлеровом описании, являются модели гидродинамики суспензий или эмульсий с прямым разрешением структуры как дисперсной, так и диспергирующей сред (однородно по пространству описывается гидродинамическое течение в рамках модели Навье-Стокса при наличии в потоке множества частиц или капель, описываемых уравнениями теории упругости без явного разрешения их границ), моделирование ударного взаимодействия упругоплаетичеекого ударника с преградой с образованием осколков при одновременном расчете порождаемого движением твердых тел газодинамического течения вокруг них.

Ценой такой общности является необходимость использования очень мелких эйлеровых расчетных сеток (в том числе адаптивных динамических [42]) и/или способов восполнения решения высокого порядка — прежде всего, для разрешения «тонкой» диффузной границы. Отчасти, эта проблема решается с помощью современной высокопроизводительной вычислительной техники [43],

Описанные выше достоинства и общность эйлеровых подходов делают перспективным их использование для решения сложных комплексных задач математического моделирования поведения многофазных сред при высокоинтенсивном и импульсном нагружении,

§ 1.1. Классификация моделей по способу разрешения границ

В настоящем разделе дается упрощенная классификация математических моделей и вычислительных алгоритмов, которые пригодны для описания динамики конденсированных сред со свободными (внутренними) границами раздела фаз. Под фазами будем понимать физически однородные области, являющейся частью гетерогенной системы, которые отделены друг от друга поверхностями разделов.

Модели с «четкой» границей. В этом случае поверхности раздела фаз представляют собой строго заданные границы, то есть достаточно гладкие многообразия коразмерности один во вмещающем среду пространстве, В каждой из подобластей однородности (фазе) поведение системы описывается в рамках выбранной модели, при этом ее параметры и решения могут терпеть разрыв на межфазной границе. На границе между фазами должны быть заданы соответствующие условия согласования, которые связывают между собой значения соответствующих величин по разные стороны от границы. Для описания динамики такой системы в общем случае необходимо уметь решать как уравнения в областях однородности (с учетом условий согласования), так и рассчитывать динамику границы раздела фаз.

Существует целый ряд способов описания динамики границ, часть из которых описана ниже.

Модели с «диффузной» границей. Модели е диффузной границей предполагают, что зоны однородности отделены друг от друга узким слоем конечной толщины, в пределах которого значения физических полей меняются непрерывно, но быстро, В этом случае условия согласования обычно не формулируются явно в виде независимых соотношений, а входят в правые части уравнений, описывающих динамику среды. Технически представление границы основано на том, что границей считается неявно заданная кривая или поверхность вида ф = 1/2, где параметр по рядка ф является заданной в пространстве функцией, которая имеет вид сглаженной характеристической функций множества Q. В содержательных постановках параметр порядка может являться, например, распределением концентрации определенной фазы в пространстве. Применение такого подхода в рамках эйлеровых моделей не приводит к существенным сложностям.

Модели такого типа строятся одним из двух способов,

1, В соответствии с первым способом действующие на границе раздела фаз поверхностные силы формально добавляются в правую часть системы динамических уравнений с использованием отнесенной к поверхности раздела фаз меры Дирака («поверхностной» дельта-функции). Далее строится аппроксимация указанной меры Дирака подходящей дельтаобразной последовательностью с носителем конечной меры. Ширина «размывания» меры Дирака обычно является параметром модели. При его стремлении к нулю регуляризованная таким образом модель «сходится» к исходной модели с четкой границей, В качестве примера приведем методы типа CST — Continuous Surface Tension или CSF — Continuous Surface Force для расчета (многофазных) течений эмульсий [44], Зачастую такие подходы приводят к построению удобных для численной реализации моделей, которые, тем не менее, не всегда являются термодинамически согласованными и не обеспечивают выполнение фундаментальных законов термодинамики (в частности, неравенства Клаузиуса-Дюгема, которое является формулировкой второго закона термодинамики [45-47],

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алексеев Михаил Владиславович, 2023 год

Литература

[1] Baer M., Nunziato J, Theory for deflagration-to-detonation transition (DDT) in granular explosives, —1983,

[2] Drew D,, Passman S, Theory of multieomponent fluids, — Springer Science & Business Media, 2006.-Vol. 135.

[3] Closure laws for a two-fluid two-pressure model / Coquel Frédéric, Gallouët Thierry, Hérard Jean-Marc, and Seguin Nicolas // Comptes Rendus Mathématique. — 2002.— Vol. 334, no. 10.-P. 927-932.

[4] Two-phase modeling of deflagration-to-detonation transition in granular materials: Reduced equations / Kapila A., Menikoff R., Bdzil J., Son S,, and Stewart D. // Physics of Fluids. - 2001. - Vol. 13, no. 10. - P. 3002-3024. - Access mode: https : //doi.org/10.1063/1.1398042.

[5] A class of two-fluid two-phase flow models / Coquel Frédéric, Hérard Jean-Marc, Saleh Khaled, and Seguin Nicolas // 42nd AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit.-2012.-P. 3356.

[6] Hérard Jean-Marc, Hurisse Olivier. A fractional step method to compute a class of compressible gas-liquid flows // Computers and Fluids. — 2012. — feb. — Vol. 55. — P. 57-69.

[7] Millier S., Hantke M., Richter P. Closure conditions for non-equilibrium multi-component models // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2015. — aug. — Vol. 28, no. 4.-P. 1157-1189.

[8] Favrie N,, Gavrilvuk S,, Saurel R. Solid-fluid diffuse interface model in cases of extreme deformations // Journal of Computational Physics, — 2009, — Vol, 228, no, 16, — P. 6037-6077.

[9] Quirk J., Kami S. On the dynamics of a shock-bubble interaction // Journal of Fluid Mechanics. - 1996. - Vol. 318. - P. 129-163.

[10] Hirt C,, Nichols B. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // Journal of Computational Physics, — 1981, — Vol, 39, no, 1, —P. 201225.

[11] Pilliod Jr J,, Puckett E, Second-order accurate volume-of-fluid algorithms for tracking material interfaces // Journal of Computational Physics, — 2004, — Vol, 199, no, 2,— P. 465-502.

[12] Osher S,, Sethian J, Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jaeobi formulations // Journal of Computational Physics, — 1988.-Vol. 79, no. l.-P. 12-49.

[13] Alekseev M,, Savenkov E,, Voronin F, EKDG method solution for hyperbolic hvperelastie model // Journal of Physics: Conference Series, — 2018, — dec, — Vol, 1141.-P. 012044.

[14] Алексеев M. В, Савенков E. Б. Решение нелинейной задачи гиперупругости сис-пользованпем разрывного метода галеркина // Физическое и математическое моделирование процессов в геосредах. — 2018. — С. 21-22.

[15] Alekseev М,, Savenkov Е. Numerical Simulation of Heterogeneous Hvperelastie Model with EKDG // Physical and Mathematical Modeling of Earth and Environment Processes (2018). - Springer, 2019.-P. 295-302.

[16] Алексеев M. В., Савенков E. Б. Применение разрывного метода Галеркина для решения одномерных гиперболических задач гиперупругости в неоднородной среде / / Препринты Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. —

2019. .V" 88.-С. 20.

[17] Alekseev М,, Savenkov Е. Runge-Kutta discontinuous Galerkin method for hyperbolic hyperelastieitv equations for inhomogeneous medium, // Mathematica Montisnigri,—

2020. - Vol. 47. - P. 52-64.

[18] Алексеев M. В., Савенков E. В., Воронин Ф. Н. Численное решение уравнений Баера-Нунциаторазрывным методом Галеркина // Препринты 1111 \ I им. М.В.Келдыша. - 2020. - по. 48. - Р. 1-23.

[19] Alekseev Mikhail, Savenkov Evgenv, Runge-Kutta discontinuous Galerkin method for Baer-Nunziato model with 'simple WENO' limiting of conservative variables // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, — 2021, — apr, — Vol. 36, no. 2. - P. 57-74.

[20] P.P. Тухватуллина M.B. Алексеев, Савенков Е.Б. Численное решение уравнений релаксационной моделии Баера-Нунциато с помощью разрывного метода Галеркина // Дифференциальные уравнения. — 2021. — Vol. 57, по. 7.— Р. 988-1002.

[21] Алексеев М.В., Савенков Е.Б. Математическая модель двухфазной гиперупругой среды. «Скалярный» случай // Препринты 1111 \I им. М.В.Келдыша. — 2022. — по. 40.-Р. 1-63.

[22] Р.Р. Полехина М.В. Алексеев, Савенков Е.Б. Валндацня вычислительного алгоритма на основе разрывногометода Галеркина для релаксационной модели Баера-Нунциато // Дифференциальные уравнения, — 2022, — Vol, 58, по, 7, — Р. 977-994,

[23] Алексеев М.В, Численное моделирование двухфазных течений в рамках релаксационной модели Баера-Нунциато // Вычислительные методы и программирование. — 2023. — май. — Vol. 24. — Р. 182-194. — Access mode: https: //num-meth. ru/ index.php/j ournal/article/view/1285.

[24] Балашов В. А, Савенков E. Б, Четверушкин Б. Н. Вычислительные технологии программного комплекса DiMI'-Hydro для моделирования микротечений // Математическое моделирование. — 2019. — Т. 31, JV2 7. — С. 21-44.

[25] Alegra - Sandia National Laboratories : 2019(1 декабря 2019 г.). — http://www.es. sandia.gov/ALEGRA/Alegra_Home.html.

[26] BLAST - Computing - LLNL : 2019(1 декабря 2019 г.). - https://computation. llnl.gov/projects/blast.

[27] A Radiation-Hydrodynamics Code Comparison for Laser-Produced Plasmas: FLASH versus HYDRA and the Results of Validation Experiments / Orban Chris, Fatenejad Milad, Chawla Sugreev, Wilks Scott, and Lamb Don. — 2013. — 06.

[28] LASNEX code for inertial confinement fusion : Rep. / California Univ. ; executor: Zimmerman G, Kershaw D, Bailey D, Harte J : 1977.

[29] LASNEX-A 2-D physics code for modeling ICF / Harte JA, Alley WE, Bailey DS, Eddleman JL, and Zimmerman GB // Foreword iii WARP3d, a Three-Dimensional PIC Code for High-Current. - 1996. - Vol. 129.

[30] The radiation-hydrodvnamie ICF3D code / Shestakov AI, Prasad MK, Milovieh JL, Gentile NA, Painter JF, and Furnish G // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 2000. - Vol. 187, no. 1-2.-P. 181-200.

[31] Mosso S,, Garasi C,, Drake R. A smoothed two-and three-dimensional interface reconstruction method // Computing and visualization in science, — 2009, — Vol, 12, no. 7.-P. 365-381.

[32] Algorithm developments in alegra guided by testing. : Rep. / Sandia National Lab.(SNL-NM), Albuquerque, NM (United States) ; executor: Rider William J, Robinson Allen C, Weirs V Gregory et al. : 2007.

[33] Consequences for scalability arising from multi-material modeling. : Rep. / Sandia National Lab.(SNL-NM), Albuquerque, NM (United States) ; executor: Robinson Allen С : 2007.

[34] ALEGEA: An arbitrary Lagrangian-Eulerian multimaterial, multiphysics code / Robinson Allen, Brunner Thomas, Carroll Susan, Drake Richard, Garasi Christopher, Gardiner Thomas, Haill Thomas, Hanshaw Heath, Hensinger David, Labreche Duane, et al, // 46th aiaa aerospace sciences meeting and exhibit, — 2008, — P. 1235,

[35] Algorithmic properties of the midpoint predictor-corrector time integrator, : Rep, / Sandia National Laboratories (SNL), Albuquerque, NM, and Livermore, CA ; executor: Rider William J, Love Edward, Scovazzi Guglielmo : 2009,

[36] Abgrall Rémi, How to prevent pressure oscillations in multicomponent flow calculations: a quasi conservative approach // Journal of Computational Physics, — 1996.-Vol. 125, no. l.-P. 150-160.

[37] Miller GH, Colella P. A high-order Eulerian Godunov method for elastic-plastic flow in solids // Journal of computational physics. — 2001. — Vol. 167, no. 1, —P. 131-176.

[38] Miller GH, Colella P. A conservative three-dimensional Eulerian method for coupled solid-fluid shock capturing // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 183, no. l.-P. 26-82.

[39] Saurel R,, Petitpas F,, Berry R. Simple and efficient relaxation methods for interfaces separating compressible fluids, eavitating flows and shocks in multiphase mixtures // Journal of Computational Physics, — 2009, — Vol, 228, no, 5,— P. 1678-1712,

[40] Favrie N,, Gavrilvuk S. Diffuse interface model for compressible fluid-compressible elastic-plastic solid interaction // Journal of Computational Physics, — 2012, — Vol, 231, no. 7.-P. 2695-2723.

[41] Ndanou S,, Favrie N,, Gavrilvuk S. Multi-solid and multi-fluid diffuse interface model: Applications to dynamic fracture and fragmentation // Journal of Computational Physics. - 2015. - aug. - Vol. 295. - P. 523-555.

[42] Berger Marsha J, Oliger Joseph. Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations // Journal of Computational Physics. — 1984. — mar. — Vol. 53, no. 3.-P. 484-512.

[43] High performance CPU/GPU multiresolution Poisson solver / Van Rees Wim M, Rossinelli Diego, Hadjidoukas Panagiotis, and Koumoutsakos Petros // Parallel Computing: Accelerating Computational Science and Engineering (CSE). — IOS Press, 2014.-P. 481-490.

[44] Brackbill J.U, Kothe D.B, Zemach C. A continuum method for modeling surface tension // Journal of Computational Physics. — 1992. — jun. — Vol. 100, no. 2. — P. 335-354.

[45] Kondaurov VI, Thermomeehanies of phase transitions of the first order in solids // Russian Journal of Earth Sciences, — 2002, — Vol, 4, no, 2, — P. 85-102,

[46] Годунов С,, Роменекнй E, Элементы механики сплошных сред и законы сохранения, — Науч. кн. Новосибирск, 1998,

[47] Truesdell С, Rational Thermodynamics, — Springer New York, 2012, — 578 p. — ISBN: 9781461252061. - Access mode: https://www.ebook.de/de/product/ 25265024/c_truesdell_rational_thermodynamics.html.

[48] Mauri Roberto. Non-equilibrium thermodynamics in multiphase flows. — Springer Science & Business Media, 2012.

[49] Maitre E. Review of numerical methods for free interfaces // Les Houches. — 2006. — Vol. 27.-P. 31.

[50] Chiodi Robert, Desjardins Olivier. A reformulation of the conservative level set reinitialization equation for accurate and robust simulation of complex multiphase flows // Journal of Computational Physics. — 2017. — Vol. 343. — P. 186-200.

[51] Aniszewski W,, Menard Т., Marek M. Volume of Fluid (VOF) type adveetion methods in two-phase flow: A comparative study // Computers and fluids, — 2014, — jun, — Vol. 97.-P. 52-73.

[52] Fedkiw Stanley Osher Ronald, Osher Stanley. Level set methods and dynamic implicit surfaces // Surfaces. — 2002. — Vol. 44, no. 77.— P. 685.

[53] Adalsteinsson David, Sethian James A. A fast level set method for propagating interfaces // Journal of computational physics. — 1995. — Vol. 118, no. 2. — P. 269277.

[54] Sussman Mark, Smereka Peter, Osher Stanley. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow // Journal of Computational physics. — 1994.-Vol. 114, no. l.-P. 146-159.

[55] Braeunig J., Desjardins В., Ghidaglia J. A totally Eulerian cell centered Finite Volume solver for multi-material fluid flows. — 2008.

[56] Braeunig J., Desjardins В., Ghidaglia J. A totally Eulerian finite volume solver for multi-material fluid flows // European Journal of Mechanics-B/Fluids. — 2009. — Vol. 28, no. 4. - P. 475-485.

[57] Loubere R,, Braeunig J., Ghidaglia J. A totally Eulerian Finite Volume solver for multimaterial fluid flows: Enhanced Natural Interface Positioning (ENIP) // European Journal of Mechanics-B/Fluids, - 2012. - Vol. 31. - P. 1-11.

[58] Exact and approximate solutions of Eiemann problems in non-linear elasticity / Barton P., Drikakis D,, Eomenski E,, and Titarev V, // Journal of Computational Physics. - 2009. - Vol. 228, no. 18. - P. 7046-7068.

[59] Barton Philip Trevor, Drikakis Dimitris, Eomenski EI. An Eulerian finite-volume scheme for large elastoplastic deformations in solids // International journal for numerical methods in engineering. — 2010. — Vol. 81, no. 4. — P. 453-484.

[60] Barton P. An Eulerian method for finite deformation anisotropic damage with application to high strain-rate problems // International Journal of Plasticity. — 2016.-Vol. 83.-P. 225-251.

[61] A simple Cartesian scheme for compressible multimaterials / Gorsse Y,, Iollo A., Milcent T. and Telib H. // Journal of Computational Physics. — 2014. — Vol. 272. — P. 772-798.

[62] Michael L,, Nikiforakis N. A multi-phvsics methodology for the simulation of reactive flow and elastoplastic structural response // Journal of Computational Physics. — 2018.-Vol. 367.-P. 1-27.

[63] Нигматулин P. II. Основы механики гетерогенных сред. — Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит.

[64] Рахматулин X. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикладная математика и механика. — 1956. — Т. 20, JV2 2. — С. 184-195.

[65] Perigaud G,, Saurel Е. A compressible flow model with capillary effects // Journal of Computational Physics.-2005.-Vol. 209, no. l.-P. 139-178.

[66] Нигматулин P. II. Механика сплошной среды. — M. : ГЭОТАР-Медиа, 2014.

[67] Two-phase modeling of DDT: Structure of the velocity-relaxation zone / Kapila A., Son S., Bdzil J., Menikoff E., and Stewart D. // Physics of Fluids. -1997. - Vol. 9, no. 12.-P. 3885-3897.

[68] Murrone A., Guillard H. A five equation reduced model for compressible two phase flow problems // Journal of Computational Physics. — 2005. — Vol. 202, no. 2. — P. 664-698.

[69] Abgrall E,, Saurel E. Discrete equations for physical and numerical compressible multiphase mixtures // Journal of Computational Physics. —2003. — Vol. 186, no. 2. — P. 361-396.

[70] Gallou§t Т., Herard J., Seguin N. Numerical modeling of two-phase flows using the two-fluid two-pressure approach // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2004. - Vol. 14, no. 05. - P. 663-700.

[71] Ambroso A., Chalons C,, Raviart P. A Godunov-type method for the seven-equation model of compressible two-phase flow // Computers & Fluids, — 2012, — Vol, 54, — P. 67-91.

[72] Progress in the development of compressible, multiphase flow modeling capability for nuclear reactor flow applications : Rep. / Idaho National Laboratory (INL) ; executor: Berry R,, Saurel R,, Petitpas F. et al. : 2008.

[73] Роменекий Евгений Игоревич, Термодинамически согласованная система законов сохранения течения сжимаемой жидкости в пористой упругой среде // Сибирский журнал индустриальной математики, — 2011, — Т. 14, № 4, — С, 86-97,

[74] Evaluation of an Eulerian multi-material mixture formulation based on a single inverse deformation gradient tensor field / Ghaisas N,, Subramaniam A., Lele S,, and Cook A, // Center for Turbulence Research Annual Briefs, — 2017, — Vol, 2017, no, LLNL-JRNL-741479,

[75] Subramaniam A,, Ghaisas N,, Lele S, High-Order Eulerian Simulations of Multimaterial Elastic-Plastic Flow // Journal of Fluids Engineering, — 2018, — Vol, 140, no. 5.

[76] Coleman Bernard D, Noll Walter. The thermodynamics of elastic materials with heat conduction and viscosity // The foundations of mechanics and thermodynamics. — Springer, 1974.— P. 145-156.

[77] Truesdell Clifford. The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics // Journal of Rational Mechanics and Analysis. — 1952. — Vol. 1. — P. 125-300.

[78] Noll Walter. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media // The Foundations of Mechanics and Thermodynamics. — Springer, 1974. — P. 1-30.

[79] Bedford A, Drumheller Do S. Theories of immiscible and structured mixtures // International Journal of Engineering Science. — 1983. — Vol. 21, no. 8. — P. 863-960.

[80] Ghaisas Niranjan S,, Subramaniam Akshav, Lele Sanjiva K. High-Order Eulerian Methods for Elastic-Plastic Flow in Solids and Coupling with Fluid Flows // 46th AIAA Fluid Dynamics Conference, — American Institute of Aeronautics and Astronautics, — 2016, — jun,

[81] Drumheller DS, On theories for reacting immiscible mixtures // International journal of engineering science, — 2000, — Vol, 38, no, 3, —P. 347-382,

[82] Schumacher Shane C, Baer Melvin R. Generalized continuum mixture theory for multimaterial shock physics // International Journal of Multiphase Flow. — 2021. — Vol. 144. - P. 103790.

[83] Годунов Сергей Константинович. Интересный класс квазилинейных систем // Доклады Академии наук / Российская академия наук. — 1961. — Vol. 139. — Р. 521523.

[84] Romensky E.I. Hyperbolic systems of thermodynamically compatible conservation laws in continuum mechanics // Mathematical and Computer Modelling. — 1998. — nov. — Vol. 28, no. 10.-P. 115-130.

[85] Continuum mechanics and thermodynamics in the Hamilton and the Godunov-tvpe formulations / Peshkov Ilva, Pavelka Michal, Eomenski Evgeniv, and Grmela Miroslav // Continuum Mechanics and Thermodynamics, — 2018, — jan, — Vol. 30, no. 6.-P. 1343-1378.

[86] Gavrilvuk Sergey. Multiphase flow modeling via Hamilton's principle // Variational models and methods in solid and fluid mechanics. — Springer, 2011. — P. 163-210.

[87] Блохин A. M,, Дорог,скин В. H. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума. — РАН, Сиб. отд-ние, Объед. ин-т геологии, геофизики и минералогии, Ин-т математики, Новосибирск, 1994.

[88] Димитриенко Ю. И. Нелинейная механика сплошной среды. — М. : Физматлит, 2009.

[89] Noll Walter, Truesdell С. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. — Springer Berlin Heidelberg, 2013. - 602 p. - ISBN: 9783662103883. - Access mode: https://www.ebook.de/de/product/33543395/walter_noll_c_truesdell_ the_non_linear_field_theories_of_mechanics.html.

[90] Zheng Q.-S. Theory of Eepresentations for Tensor Functions—A Unified Invariant Approach to Constitutive Equations // Applied Mechanics Eeviews, — 1994. — nov. — Vol. 47, no. 11.-P. 545-587.

[91] Hantke M, Müller S, Grabowskv L. News on Baer-Nunziato-tvpe model at pressure equilibrium // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2021. — Vol. 33, no. 3. — P. 767-788.

[92] Hurisse Olivier. Various choices of source terms for a class of two-fluid two-velocity models // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 2021. — mar. — Vol. 55, no. 2. - P. 357-380.

[93] Perrier Vincent, Gutiérrez Enrique. Derivation and Closure of Baer and Nunziato Type Multiphase Models by Averaging a Simple Stochastic Model // Multiscale Modeling Simulation. -2021. -jan. -Vol. 19, no. l.-P. 401-439.

[94] Hérard Jean-Marc. A three-phase flow model // Mathematical and Computer

Modelling. - 2007. - mar. - Vol. 45, no. 5-6. - P. 732-755.

124

[95] Two-phase modeling of deflagration-to-detonation transition in granular materials: A critical examination of modeling issues / Bdzil J, В., Menikoff H.. Son S, F,, Kapila A. K., and Stewart D. S. // Physics of Fluids. - 1999. - Vol. 11, no. 2. -P. 378-402.-https://doi.Org/10.1063/l.869887.

[96] Годунов С., Роменекнй E. Нестационарные уравнения нелинейной теории упругости в эйлеровых координатах // J. Appl, Meeh, Tech. Phvs, — 1972. Т. 13. .V" 6. С. 868-884.

[97] Miller G. Minimal rotationallv invariant bases for hyperelastieity // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 2004. - Vol. 64, no. 6.-P. 2050-2075.

[98] Gavrilvuk S.L., Favrie N,, Saurel E. Modelling wave dynamics of compressible elastic materials // Journal of Computational Physics. — 2008. — Vol. 227, no. 5,— P. 2941-2969. — Access mode: https://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0021999107005220,

[99] Andrianov N,, Warnecke G. The Eiemann problem for the Baer-Nunziato two-phase flow model // Journal of Computational Physics. — 2004. — Vol. 195, no. 2, —P. 434464.

[100] Daude F,, Berry R,, Galon P. A Finite-Volume method for compressible non-equilibrium two-phase flows in networks of elastic pipelines using the Baer-Nunziato model // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2019. — Vol. 354.-P. 820-849.

[101] Saurel R,, Abgrall R. A simple method for compressible multifluid flows // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1999. — Vol. 21, no. 3. — P. 1115-1145.

[102] Янилкин Ю.В. Тесты для гидрокодов, моделирующих ударноволновые течения в многокомпонентных средах. В 2 томах. Т.1. Газодинамика : учебное пособие. — Саров : Российский федеральный ядерный центр - ВНИИЭФ, 2017.— ISBN: 9785-9515-0352-7.

[103] Liu X.-D., Osher S,, Chan T. Weighted essentially non-oscillatorv schemes // Journal of computational physics. — 1994. — Vol. 115, no. 1. — P. 200-212.

[104] Jiang G.-S. Efficient implementation of weighted ENO schemes. — Department of Mathematics, University of California, Los Angeles, 1995.

[105] Cockburn В., Shu C.-W. The Runge-Kutta local projeetion-diseontinuous-Galerkin finite element method for scalar conservation laws // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 1991. — Vol. 25, no. 3. — P. 337-361.

[106] Cockburn В., Shu C.-W. TVB Eunge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws, ii. General framework // Mathematics of computation, — 1989, — Vol, 52, no, 186, — P. 411-435,

[107] Cockburn B.and Lin S, Yi,, Shu C.-W, TVB Eunge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws. III. One-dimensional systems // J. Comput. Phvs. — 1989. — Vol. 84, no. 1, —P. 90-113.

[108] Yan Jue, Shu Chi-Wang, Local Discontinuous Galerkin Methods for Partial Differential Equations with Higher Order Derivatives // Journal of Scientific Computing, — 2002, — 01.-Vol. 17.-P. 27-47.

[109] Colombeau Jean-François. Multiplication of distributions // Bulletin of the american mathematical society. — 1990. — Vol. 23, no. 2. — P. 251-268.

[110] Cauret Jean-Jacques, Colombeau Jean-François, Le Eoux AY. Discontinuous generalized solutions of nonlinear noneonservative hyperbolic equations // Journal of mathematical analysis and applications. — 1989. — Vol. 139, no. 2. — P. 552-573.

[111] Alouges François, Merlet Benoit. Approximate shock curves for non-conservative hyperbolic systems in one space dimension // Journal of Hyperbolic Differential Equations. - 2004. - Vol. 1, no. 04. - P. 769-788.

[112] Chalmers Noel, Lorin Emmanuel. On the numerical approximation of one-dimensional noneonservative hyperbolic systems // Journal of Computational Science. — 2013. — Vol. 4, no. 1-2.-P. 111-124.

[113] Dal Maso G., Lefloeh P., Murat F. Definition and weak stability of noneonservative products // Journal de mathématiques pures et appliquées. — 1995. — Vol. 74, no. 6. — P. 483-548.

[114] Parés C. Numerical methods for noneonservative hyperbolic systems: a theoretical framework. // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2006. — Vol. 44, no. 1. — P. 300321.

[115] Dumbser Michael, Balsara Dinshaw. A new efficient formulation of the HLLEM Eiemann solver for general conservative and non-conservative hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. — 2016. — 01. — Vol. 304. — P. 275-319.

[116] Wanner Gerhard. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — Mir, 1999.

[117] A comparison of artificial viscosity, limiters, and filters, for high order discontinuous Galerkin solutions in nonlinear settings / Michoski C,, Dawson C,, Kubatko E,, Wirasaet D,, Brus S,, and Westerink J, // Journal of Scientific Computing, — 2016, — Vol. 66, no. l.-P. 406-434.

[118] Persson P.-O.and Peraire J, Sub-cell shock capturing for discontinuous Galerkin methods // 44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, — 2006, — P. 112,

[119] Diffusion-based limiters for discontinuous galerkin methods-part I: one-dimensional equations / Moura R,, Affonso R., da Silva A,, and Ortega M, // 22nd International Congress of Mechanical Engineering, — 2013, — P. 3-7,

[120] Zhong X,, Shu C.-W, A simple weighted essentially nonoseillatorv limiter for Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods // Journal of Computational Physics, — 2013.-Vol. 232, no. l.-P. 397-415.

[121] Krivodonova L. Limiters for high-order discontinuous Galerkin methods // Journal of Computational Physics. - 2007. - Vol. 226, no. l.-P. 879-896.

[122] Rhebergen S,, Bokhove O,, van der Vegt J. Discontinuous Galerkin finite element methods for hyperbolic noneonservative partial differential equations // Journal of Computational Physics.-2008.-Vol. 227, no. 3.-P. 1887-1922.

[123] Harten Ami. ENO schemes with subcell resolution // Journal of Computational Physics. — 1989. — Vol. 83, no. 1. — P. 148-184. — Access mode: https: //www. sciencedirect.com/science/article/pii/002199918990226X.

[124] Shock detection and limiting with discontinuous Galerkin methods for hyperbolic conservation laws / Krivodonova L,, Xin J., Remacle J.-F., Chevaugeon N,, and Flaherty J.E. // Applied Numerical Mathematics. - 2004. - Vol. 48, no. 3.-P. 323338. — Workshop on Innovative Time Integrators for PDEs. Access mode: https: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168927403001831.

[125] Graham Richard L,, Woodall Timothy S,, Squvres Jeffrey M. Open MPI: A Flexible High Performance MPI // Parallel Processing and Applied Mathematics / ed, by Wvrzvkowski Roman, Dongarra Jack, Meyer Norbert, Wasniewski Jerzv, — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg. — 2006. — P. 228-239.

[126] Karvpis George, Kumar Vipin, A Fast and High Quality Multilevel Scheme for Partitioning Irregular Graphs // Siam Journal on Scientific Computing, — 1999, — 01.-Vol. 20.-P. 359-392.

[127] Ierusalimsehy Roberto, de Figueiredo Luiz Henrique, Filho Waldemar Celes. Lua -An Extensible Extension Language // Software: Practice and Experience. — 1996. — Vol. 26, no. 6. - P. 635-652.

[128] Schroeder Will, Martin Ken, Lorensen Bill. The Visualization Toolkit. — Kitware, 2006.

[129] BOOST С++ Libraries : 2019 (1 декабря 2019 г.). - https://www.boost. org/.

[130] EIGEN : 2020 (1 января 2020 г.). - http://eigen.tuxfamily.org/index.php? title=Main_Page.

[131] STAN Math Library : 2020 (1 января 2020 г.). - https ://github.com/stan-dev/ math,

[132] Того E, Eiemann solvers and numerical methods for fluid dynamics: a practical introduction, — Springer Science & Business Media, 2013,

[133] Upwind methods for the Baer-Nunziato equations and higher-order reconstruction using artificial viscosity / Fravsse F,, Eedondo C,, Eubio G,, and Valero E, // Journal of Computational Physics. - 2016. - Vol. 326. - P. 805-827.

[134] Franquet E,, Perrier V. Eunge-Kutta discontinuous Galerkin method for the approximation of Baer and Nunziato type multiphase models // Journal of Computational Physics. - 2012. - 06. - Vol. 231. - P. 4096-4141.

[135] Dumbser Michael, Hidalgo Arturo, Zanotti Olindo. High order space-time adaptive ADEE-WENO finite volume schemes for non-conservative hyperbolic systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2014. — Vol. 268. — P. 359-387. — Access mode: https://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0045782513002491.

[136] Laves G, Le Métayer О. Quantitative numerical and experimental studies of the shock accelerated heterogeneous bubbles motion // Physics of Fluids. — 2007. — Vol. 19, no. 4.-P. 042105.

[137] Nowakowski AF, Ballil A, Nieolleau FCGA. Passage of a shock wave through inhomogeneous media and its impact on gas-bubble deformation // Physical Review E.-2015.-Vol. 92, no. 2.-P. 023028.