Математическое моделирование упругих прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ломтева Ксения Олеговна

• Ломтева Ксения Олеговна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Ломтева Ксения Олеговна

ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. О математических моделях в теории пластин и известных численных решениях для прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями

1.2. Основные численные методы решения граничных задач теории пластин

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН

2.1. Защемленная по всему контуру прямоугольная пластина с центральным ребром жесткости

2.2. Вычисление критерия сходимости, результаты численного эксперимента, анализ сходимости рядов

2.3. Защемленная пластина с двумя центральными ребрами жесткости, идущими параллельно сторонам

3. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЛАСТИНЫ, ДВЕ СМЕЖНЫЕ КРОМКИ КОТОРОЙ ЗАЩЕМЛЕНЫ, А ДВЕ ДРУГИЕ СВОБОДНЫ

3.1. Физическая и математическая модели. Постановка задачи

3.2. Анализ сходимости рядов, входящих в решение. Сходимость итерационного процесса

3.3. Результаты численного эксперимента

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НА МАЛОМ УЧАСТКЕ

4.1. Физическая и математическая модели задачи

4.2. Обоснование метода и построение решения для сосредоточенной силы

4.3. Результаты численного эксперимента

4.4. Анализ сходимости итерационного процесса и рядов, входящих в решение

4.5. Построение решения и численные результаты для нагрузки, распределенной на малом участке

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование упругих прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями»

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность темы исследования. В различных областях техники, таких как судостроение, авиастроение, гидротехническое и гражданское строительство, возникает проблема оценки параметров напряженно -деформированного состояния (НДС) прямоугольных пластин как элементов обшивки, судовых переборок, палубного настила и т.п. Эта проблема является важной общенаучной и государственной задачей, особенно при создании уникальных по своей сложности и размерам сооружений. Стремление избежать возможных техногенных катастроф, применение новых материалов, работа конструкций в сложных условиях предъявляют повышенные требования к методам расчета на изгиб отдельных элементов и конструкции в целом, а также к достоверности численных результатов, полученных этими методами. Многие приближенные теории и методы решения краевых задач требуют в современных условиях оценки точности полученных результатов путем сравнения с «эталонными» задачами, которые имеют точное решение в замкнутом виде или которое можно получить сколь угодно точно (например, методом последовательных приближений). Создание и применение новых, более точных, методов позволяет также выявить особенности поведения элементов конструкций в отдельных (опасных) точках, где возможны концентрации напряжений. Численные результаты, полученные этими методами, могут быть использованы для снижения металлоемкости различных конструкций и позволяют также «тестировать» другие приближенные методы: метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) и др.

Математические модели упругих пластин с защемленным контуром, а также пластин, у которых защемлены три, два смежных края или один край, а остальные свободны, приводят к проблеме получения точного решения и поэтому представляют большой интерес для исследования. Указанные пла-

стины, могут быть подкреплены ребрами жесткости между основным силовым набором.

Для современного этапа развития авиа- и судостроения, гражданского и промышленного строительства при анализе НДС плоских элементов различных конструкций актуально использование новых численно-аналитических методов, которые направлены на широкое использование компьютерных вычислений.

МКЭ часто считают универсальным методом расчетов на прочность, однако он эффективен для нахождения приближенных решений краевых задач и имеет свои недостатки вычислительного характера. Поэтому и сейчас актуальны аналитические и численно-аналитические методы исследования, когда подстановкой во все условия задачи можно проверить полученное решение. В данной работе используется именно такой метод.

2. Степень разработанности темы исследования. Математические модели тонких упругих однородных изотропных пластин с защемленно-свободными краями исследовались рядом авторов с помощью различных приближенных методов с той или иной степенью точности численных результатов.

Пластины с ребрами жесткости исследовались, в основном, с помощью дельта-функции энергетическими методами в первом приближении. Здесь следует отметить работы Бубнова И.Г., Галеркина Б.Г., Савина Г.Н., Флейшмана Н.П., Голоскокова Д.П. и др.

Мало изучены пластины с двумя смежными защемленными краями и двумя свободными.

Пластины, защемленные по контуру, рассматривались в работах Тимошенко С.П., Бубнова И.Г., Канторовича Л.В. и Крылова В.И., Папковича П.Ф., Сухотерина М.В. и др.

Во многих работах остается открытым вопрос о достоверности полученных численных результатов, о близости их к точному решению задачи.

3. Цель работы и задачи исследования. Цель работы: использование и дальнейшее развитие итерационного метода суперпозиции исправляющих функций для исследования изгиба плоских элементов различных конструкций, увеличение точности расчетов их НДС, решение с их помощью новых инженерных задач.

Задачи исследования:

1. построение численно-аналитического итерационного процесса суперпозиции исправляющих функций, который позволит получить с высокой точностью решения задач изгиба гладких и ребристых прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями;

2. доказательство сходимости итерационных решений к точным решениям;

3. разработка комплексов программ для расчетов НДС;

4. получение достоверных численных результатов НДС указанных прямоугольных пластин, их анализ, сравнение с известными решениями.

5. представление численных результатов в табличной и графической форме для использования проектно-конструкторскими организациями.

4. Научная новизна. В настоящей работе впервые использован итерационный метод суперпозиции исправляющих функций для математического моделирования ряда задач изгиба ребристых и гладких прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями, который позволяет получить решение с высокой точностью с помощью относительно простого алгоритма. Этим методом решены задачи изгиба защемленной по контуру пластины с центральным ребром жесткости; пластины с двумя центральными ребрами жесткости, идущими параллельно сторонам; пластины, две смежные стороны которой защемлены, а две другие свободны; пластины, защемленной по всему контуру и нагруженной на малом участке.

Численно-аналитически доказана сходимость итерационных процессов к точному решению, составлены комплексы вычислительных программ и получены численные результаты НДС рассматриваемых пластин.

5. Теоретическая и практическая значимость работы. Используемый метод и полученные им численные результаты расчета НДС могут найти применение в теоретических исследованиях и практических расчетах на прочность плоских прямоугольных элементов различных конструкций в проектно-конструкторских организациях, а также для решения других задач математической физики, допускающих подобный подход.

6. Методология и методы исследования. В исследованиях, имеющих теоретический характер, использовались теория пластин; математический аппарат теории числовых рядов и рядов Фурье; интегрального и дифференциального исчисления функции одной и нескольких переменных; решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Численные результаты получены в системе аналитических вычислений Maple по алгоритмам и программам применяемого итерационного метода суперпозиции исправляющих функций.

7. Положения, выносимые на защиту:

1. практическое применение итерационного метода суперпозиции исправляющих функций для математического моделирования определенного класса задач изгиба прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями с высокой точностью; алгоритмы численной реализации метода; комплексы программ для проведения численных экспериментов;

2. доказательство сходимости итерационного процесса к точному решению; доказательство сходимости рядов для функции прогибов и изгибающих моментов.

3. математическое моделирование упругой пластины, защемленной по контуру, с одним и двумя центральными ребрами жесткости;

4. математическое моделирование упругой пластины с двумя смежными

защемленными краями и двумя свободными от действия равномерной

поперечной нагрузки, а также защемленной по контуру прямоугольной

7

пластины от действия поперечной нагрузки, заданной на малом участке.

8. Степень достоверности и апробация результатов работы. Все

теоретические результаты получены с использованием основных положений теории упругости, теории пластин, теории рядов Фурье, бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, дифференциального и интегрального исчислений. На основании построенных алгоритмов были составлены программы вычисления НДС прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями и получены численные результаты в системе аналитических вычислений Maple, которые сравнивались с известными решениями; производился анализ полученных результатов с математической и физической точки зрения, а также исследовалось асимптотическое поведение решения.

Основные положения и результаты, полученные в диссертации, были представлены

1. на IV межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Современные тенденции и перспективы развития водного транспорта России» (2013 г., ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова», г. Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7);

2. на V межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Современные тенденции и перспективы развития водного транспорта России» (2014 г., ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова», г. Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7);

3. на научном семинаре по прикладным задачам механики Института проблем машиноведения РАН (19.02.2015 г., ИПМаш РАН, г. Санкт-Петербург, Васильевский остров, Большой проспект, 61);

4. на научном семинаре кафедры высшей математики университета ИТМО (17.11.2015 г., Университет ИТМО, г. Санкт-Петербург, Кронверкский проспект, д.49.).

9. Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ФГБОУ ВО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова».

Основные научные и практические результаты диссертационной работы доведены до алгоритмов и программных продуктов, на которые получено Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Публикации.

По теме диссертационного исследования опубликовано 7 научных статей, в том числе 5 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ; получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014613491. В статьях, выполненных в соавторстве, доля автора составляет 60%. Автором выполнен основной объем теоретических исследований, получены численные результаты и проведен их анализ и сравнение с известными решениями. Личный вклад автора в публикациях составляет 1, 6 п.л.

10. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка, используемых сокращений, списка литературы, включающего 115 наименований, и приложений. Содержание диссертационного исследования изложено на 152 страницах, включает в себя 38 рисунков и 10 таблиц.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. О математических моделях в теории пластин и известных численных решениях для прямоугольных пластин с защемленно-свободными краями

Расчетной физической моделью многих плоских элементов конструкций, таких как обшивка судна, палубное перекрытие (настил), плоские элементы силового набора (полки балок, стрингеров, шпангоутов), обшивка гидротехнических сооружений (гидрозатворов, шлюзовых ворот), аналогичные элементы в конструкции самолетов, торпед и т. д. является прямоугольная пластина постоянной или переменной толщины. Пластина может находиться под действием различных нагрузок: поперечной нагрузки, приводящей к изгибу пластины; сжимающих усилий в ее плоскости, приводящих, если они значительны, к потере устойчивости; динамических нагрузок, приводящих к колебаниям пластины, и т.д.

Прямоугольные пластины могут иметь различное соединение своего контура с основной силовой конструкцией. Края пластины могут быть свободно опертыми (по всей длине или в отдельных точках), защемленными, свободными и т.д. Мы будем рассматривать пластины с защемленно-свободными краями (кромками или сторонами), для которых не известны замкнутые аналитические решения задачи изгиба.

Наиболее часто встречается жесткое закрепление по всему контуру (заделка). Это, прежде всего, элементы обшивки судов, гидрозатворов, шлюзовых ворот между основным силовым набором, плоские днища малых судов, днища резервуаров и т.д. Между основным силовым набором (стрингеры, шпангоуты), который можно считать абсолютно жестким по сравнению с пластиной (панелью обшивки), пластина может быть подкреплена дополнительным, менее жестким силовым набором, - ребрами жесткости. Их назначение - уменьшить деформации и напряжения в пластине, если при заданной толщине исчерпаны ее прочностные качества для данной нагрузки. Ореб-

ренность пластины может быть редкой (одно-два или малое число ребер) и частой, когда их много. Располагаются они обычно параллельно сторонам пластины (продольное, поперечное или перекрестное расположение). При наличии пяти и более ребер в каждом направлении пластина может рассчитываться как анизотропная.

Ребристые пластины называют еще и пластинами с нерегулярной структурой, т.е. их можно считать гладкими, но имеющими скачки жесткости по линиям расположения ребер. Это, безусловно, создает большие трудности при решении задач изгиба, устойчивости и колебаний таких пластин. Известные решения, зачастую, получены лишь в первом приближении, не содержат оценки точности полученных численных результатов.

Мало исследованы также прямоугольные пластины, две смежные стороны которых защемлены, а две другие свободны. Подобные плоские элементы являются физической моделью откатных ворот гидросооружений (раздвижных заслонок водоводов), козырьков П-образных в плане зданий, элементов палубного настила судна, приборных панелей (плат) и т.д.

Мы будем рассматривать пластины постоянной толщины. В зависимости от отношения толщины пластины к основным ее размерам в плане различают три вида пластин, существенно отличающихся друг от друга характером распределения напряжений и методами расчета [1]:

• толстые пластины (плиты);

• тонкие пластины;

• мембраны.

Обычно считают, что плиты имеют отношение к/а < 1/5, где И - толщина пластины, а - длина меньшей стороны пластины. Сразу отметим, что границы указанных выше видов пластин достаточно условны.

У толстых пластин толщина значительна по сравнению с ее размерами в плане, и они настолько жестки, что касательные напряжения т, возникающие по сечениям от перерезывающих сил, имеют тот же порядок, что и

нормальные напряжения сг, вызванные изгибом. Плоскость, свободная от цепных усилий (усилий, действующих в плоскости) и от деформаций, смещается по отношению к срединной плоскости, а нормальные напряжения распределяются по высоте сечения по нелинейному закону.

Теория толстых плит использует весь аппарат теории упругости (трехмерная задача), однако трудности вычислительного характера не позволяют должным образом использовать эту теорию в практических расчетах.

Основоположниками теории толстых плит считают Michell 1И [2] и Лява [3]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Б.Г. Галеркина [4] и других авторов.

Тонкие жесткие пластины имеют толщину 1/40 < И / а < 1/5.

Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, такая пластина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w не превосходит толщины И. Эпюра нормальных напряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна. Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.

При поперечном нагружении тонкой пластины, закрепленной на контуре, в ней могут появиться и цепные усилия вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пластины. Усилия в плоскости пластины могут передаваться также от других элементов конструкции через силовой набор. Деформацию пластины в этом случае называют сложным изгибом.

Теория изгиба тонких пластин предложена немецким физиком Г. Кирхгоффом в 1850 г. [5, 6]. Она основана на двух упрощающих расчет предположениях: гипотезе прямых нормалей и предположении о несжимаемости материала пластины по ее толщине. Эти гипотезы позволили уменьшить число условий для каждого края с трех (для толстых пластин) до двух. При этом игнорируется искажение элементов пластины, производимое перерезывающими силами, т.е. деформация поперечного сдвига. Наибольшее ко-

12

личество работ в области пластин посвящено расчетам по теории Кирхгоф-фа, дающей во многих случаях надежные численные результаты.

Теорию тонких жестких пластин Кирхгоффа называют теперь классической теорией, в отличие от уточненных теорий, учитывающих деформацию поперечного сдвига. Пластины, рассчитываемые по уточненным теориям, называют пластинами Рейсснера или пластинами типа Тимошенко. Эти пластины относят также к пластинам средней толщины (промежуточным между тонкими и толстыми пластинами). Неточность классической теории заметно проявляется в областях пластины вблизи ее контура, вблизи малых отверстий, а так же вблизи точек перехода от защемленного края к свободному, где происходит резкая смена граничных условий.

Мы будем решать задачи в рамках классической теории тонких пластин, однако отметим, что используемый в настоящей работе метод бесконечной суперпозиции исправляющих функций можно применить и для пластин Рейсснера, несмотря на возникающие при этом более сложные краевые задачи.

Мембранами называют пластины, имеющие отношение к / а < 1/40.

Мембраны - это тонкие и гибкие пластины, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их закрепляют на всем контуре. При этом нагрузка выдерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений.

Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину.

Мембраны широко применяются в различных акустических аппаратах и гидравлических устройствах.

Главное отличие между указанными выше видами пластин состоит в соотношении между величиной цепных и изгибных усилий, которое может быть определено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от

13

способа закрепления на контуре и от величины отношения продольных сил к изгибающим моментам может быть отнесена к тому или к другому виду.

Расчет тонких упругих пластин (жестких пластин) на изгиб от действия поперечной нагрузки q сводится к интегрированию уравнения

д^ ^ д^ дV а

■ + 2—-—г + ■ -

дх4

дх2ду2 ду4

Б

(1.1)

или, что то же самое,

у2у2 w=а / п

при двух граничных условиях для функции прогибов w на каждой кромке пластины. Это уравнение называется уравнением С. Жермен-Лагранжа [7, 8].

Здесь Б = ЕИ /[12(1 -у2)"

цилиндрическая жесткость материала пластины;

Е -модуль Юнга материала пластины; V - коэффициент Пуассона.

Граничные условия свободно опертого края: равенство нулю прогибов и изгибающих моментов в перпендикулярном направлении. Для защемленного края: равенство нулю прогибов и углов поворота в перпендикулярном направлении. Для свободного края: равенство нулю изгибающих моментов и обобщенных перерезывающих сил в перпендикулярном направлении.

Выражения изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента М^,

а также обобщенных перерезывающих сил V, V имеют вид [9]:

М = - Б

д w

~дх2

■ + у-

2

д w

ду2

V = - б

С з3

д w

дх

f (2-у)

Л

д w

дхду2

М =- Б

у

V =-Б

ду2 ^д3 w

■ + у-

2

д w

дх2

ду

f (2-у)

3

д w дх 2ду

(1.2)

М = -Б(1 -у

ху V }дхду

Следует отметить, что в угловых точках свободной части прямоугольного контура дополнительно должны обращаться в нуль крутящие моменты М (условие отсутствия сосредоточенных сил).

Края пластины могут быть свободно оперты или жестко заделаны на упругие балки. Если B - жесткость балки (ребра жесткости) на изгиб, то граничные условия для такого края (например, x = const) будут [1, 9]:

дw ^ „д4w ^fd3w N d3w

J + (2

— = 0, B— = -D

дх dy

дх дхду

(1.3)

V ^ ^^ у

Здесь первое условие выражает отсутствие углов поворота кромки в перпендикулярном направлении. Второе условие - есть условие совместности деформаций балки и пластины в месте их соединения (дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, для которой поперечной нагрузкой является перерезывающая сила пластины).

Наиболее простой задачей является задача об изгибе прямоугольной свободно опертой пластины под действием распределенной поперечной нагрузки. Первое решение этой задачи было получено Navier [10]. Он дал новый вывод основного дифференциального уравнения равновесия пластин и получил решение данной задачи в форме двойного тригонометрического ряда.

Mourice Levy [11] предложил искать упругую поверхность пластины в форме не двойного, а ординарного ряда. Основываясь на этом методе, Esta-nava M.S. [12], Б.Г.Галеркин [13], И.Г.Бубнов [14] получили большое число решений для различных случаев опирания и загрузки прямоугольных пластин. Следует отметить, что решения в конечном виде получены для случаев, когда два противоположных края пластины свободно оперты. При этом на двух других могут быть любые условия.

Граничные условия на защемленной по всему контуру прямоугольной пластине являются геометрическими условиями. Защемленные (заделанные) кромки не могут изгибаться и поворачиваться, т.е. их прогиб и его первая частная производная в перпендикулярном направлении равны нулю (задача Дирихле и Неймана).

Первые приближенные численные результаты по расчету прогибов и напряжений в прямоугольных пластинах, защемленных по всему контуру, как отмечает С.П. Тимошенко [9], были получены в 1902 г. Б.М. Кояловичем в его докторской диссертации [15]. Автор использовал принцип аддитивности (суперпозиции) решений для свободно опертой пластины, нагруженной пролетной нагрузкой и опорными моментами. Им была получена бесконечная система алгебраических уравнений относительно коэффициентов тригонометрических рядов по двум координатам и исследован процесс последовательных приближений для решения редуцированной системы.

В дальнейшем изгибу защемленной пластины было посвящено много работ, в особенности для случая равномерной поперечной нагрузки. Эта задача стала эталонной, на которой проверялись различные приближенные методы в случае иного вида поперечной нагрузки.

С.П. Тимошенко [16] искал прогиб в виде суммы трех функций: многочлена четвертой степени по двум координатам, удовлетворяющего дифференциальному уравнению изгиба и условию отсутствия прогибов на контуре, и двух ординарных рядов, являющихся бигармоническими функциями с неопределенными коэффициентами. При удовлетворении всем граничным условиям задачи с использованием суперпозиции отдельных физических задач получилась бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов тригонометрических рядов. Процедура решения соответствующей укороченной системы уравнений являлась в то время достаточно громоздкой. С.П. Тимошенко [9] получил значения прогибов и изгибающих моментов в отдельных точках пластины при удержании в рядах четырех слагаемых (размер соответствующей редуцированной системы алгебраических уравнений). В частности прогиб в центре квадратной пластины составил = 0,00126 qaA / В. Следует отметить, что это значение вычислено с хорошей точностью ввиду быстрой сходимости числовых рядов в этой точке и служит надежным ориентиром для других исследо-

вателей, использующих различные приближенные методы. Максимальное значение изгибающих моментов достигалось в серединах защемленных кромок и составило Мх |х=±а/2= М^ |х=0 = 0,0513 qa2. В центре квадратной пла-

у=0 y=±b/2

стины Мх |х=0 = М |х=0 = 0,0231 qa2. Вычисления соответствующих величин

>>=0 >>=0

для пластин с различным отношением сторон было выполнено Т. Эвансом [17] (Evans T.H.). Соответствующая таблица приводится в [9]. Заметим, что сходимость тригонометрических рядов ухудшается при дифференцировании, поэтому приведенные выше значения изгибающих моментов менее достоверны, так как выражения моментов (1.2) представляют комбинации вторых частных производных функции прогибов.

В книге Л.В. Канторовича и В.И. Крылова [18] приводится решение той же задачи, полученное H. Hencky [19] в 1913г., который использовал тот же многочлен в качестве частного решения и аналогичные тригонометрические ряды, но коэффициенты рядов находил непосредственно при удовлетворении граничным условиям задачи, что более рационально, чем решение в работе [9]. H. Hencky вычислил 13 (!) коэффициентов указанных рядов, что по тем временам было сделать не просто. Значения изгибающих моментов квадратной пластины получились такими:

мх lx=±a/2 = Му |x=0 = 0,05125 qa2; Мх U = Му U = 0,023 qa2,

у=0 y=±b/2 у=0 у=0

что весьма близко к результатам T. Evans.

Л.В. Канторович и В.И. Крылов [18] доказали регулярность бесконечной системы, полученной H. Hencky. Единственность ограниченного решения, как они отмечают, была доказана П.С. Бондаренко.

И.Г. Бубнов [20] для решения этой же задачи также использовал сумму многочлена четвертой степени и двух рядов Фурье. Одна из постоянных многочлена определялась так, чтобы повысить сходимость тригонометрических рядов, но эти ряды все равно сходились плохо. Автор для изгибающих мо-

ментов удерживал 13 членов в рядах. Он составил таблицы моментов и прогибов в равномерно нагруженной пластине, края которой защемлены.

Woltaszak I.A. [21] с помощью метода Hencky H., получил численные результаты, которые совпали с результатами И.Г. Бубнова.

В несколько менее высоком приближении, чем И.Г.Бубновым, эта задача решалась Б.Г.Галеркиным [22], но посредством более простых выкладок. Граничные условия удовлетворялись приближенно только тремя членами каждого ряда.

Л.С. Лейбензон [23] предложил метод смягчения (релаксации) граничных условий. Этот метод состоит в том, что в интегральном смысле удовлетворяется условие отсутствия углов поворотов заделанных сечений, это дает завышенные значения прогибов в центре пластины. В методе смягчения граничных условий требуется, чтобы выполнялось:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ломтева Ксения Олеговна, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч. 2. М., Судпромгиз, 1941.

2. Michell I.H. Proc. math. soc. - London, 1900.

3. Ляв А. Математическая теория упругости. Русский перевод. 1935.

4. Галеркин Б.Г. Напряженное состояние при изгибе прямоугольной плиты по теориям толстых плит и теории тонких плит. Сб. Ленинградского института сооружений.

5. Kirchhoff G. Journal fur mathem., Crelle, bd. 40, 1850.

6. Кирхгофф Г. Механика (Лекции по математической физике), изд-во АН СССР, М., 1962.

7. Germain S. Recherches sur la theorie des suriaces elastiques. Парижская академия наук, 1821.

8. Germain S. Recherches sur la nature les bornes. L'académie des sciences de Paris, 1826.

9. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 1963.

10. Navier. Extrait des recherches sur la flexion des plans elastiques. Bull. Soc. Phil.-math., Paris, 1823.

11. Levy M. C. R. Paris, 1899, p.535.

12. Estanava M.S. Annalles des lecole normale superieur, 1900.

13. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты, 1935.

14. Бубнов И.Г. Курс строительной механики корабля, 1912-1914.

15. Коялович Б.М. Об одном уравнении с частными производными четвертого порядка. - док. дисс., СПб, 1902.

16. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. - СПб, 1916.

17. Evans T.H. J. Appl. Mech., v. 6, p.A-7, 1939/

18. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. ГИТТЛ, Л.-М., 1949, 695 с.

19. Henecky H. Der Spannungszustand in rechteckigen Platten. - München, 1913.

20. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. - СПб, 1914, т. 2.

21. Woltaszak I.A., J. Appl. Mech., 1937, v. 4.

22. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. Госстройиздат, 1933.

23. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л., ГИТТЛ, 1947.

24. Гринберг Г.А., Уфлянд Я.С. Об изгибе прямоугольной пластины с закрепленным контуром под действием произвольной нагрузки.- ПММ, 1949, т.13, № 4, с.413 - 434.

25. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в теории упругости.- М., Изд-во АН СССР, 1963, 347 с.

26. Репман Ю.В. Общий метод расчета тонких плит.- сб. Пластинки и оболочки, 1939, с. 149-179.

27. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстройиздат, 1958.

28. Рвачев В.Л., Курпа Л.В., Склепус Н.Г., Учишвили Л.А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. Киев, "Наукова думка", 1973.

29. Даревский В.М., Шаринов И.Л. Новое решение задачи об изгибе защемленной по краям прямоугольной пластинки, -В сб. Успехи механики деформируемых сред, М., Наука, 1975, с. 183- 194.

30. Лурье С.А. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру. - МТТ, Т I, 1982, с. 159 - 168.

31. Lamble J.H., Choudhary J.P. Support reaction stresses and deflections for plates subjected to uniform transverse loading.- Quart. Trans. Instn. Naval. Archit. 1953, v.95, № 4, p.329-349.

32. Белкин А.Е., Гаврюшин С.С. Расчет пластин методом конечных элементов: Учеб. пособие.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, 232 с.

13 7

33. Сухотерин М.В. Об одном методе исследования изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины. - Доклады академии наук Армянской ССР, 1987, LXXXV, № 4, с. 147-151.

34. Sistla Rajaram. Error analysis of finite element results on plates with nonuniform grids,- AIAA Journal, 1993, 31, № 6, 1075-1076.

35. Bahlmann D., Korneev V.G. A fast solver for the clamped plate problem in a rectangle based on a boundary potentials method,- Ж. выч. мат. и мат. физ., 1996, 36, № 7, с. 174-190 (англ.).

36. Сеницкий Ю.Э. Изгиб тонкой прямоугольной пластины при различных условиях закрепления на контуре,- Изв. вузов. Стр-во, 1998, № 6, с. 1823.

37. Голоскоков Д.П., Голоскоков П.Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит.- СПб.: СПГУВК, 2008, 254 с.

38. Халилов С.А., Минтюк В.Б., Ткаченко Д.А. Построение и исследование аналитико-численного решения задачи об изгибе жестко защемленной прямоугольной пластины.- Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии, №49, 2011, с. 81-94.

39. Joung D. J. Appl. Mech., v. 6, p. A-114, 1939.

40. Лычев С.А., Салеев С.В. Замкнутое решение задачи об изгибе жестко закрепленной прямоугольной пластины,- Вестн. Самар.гос. ун-та, 2006, № 2, с. 62-73.

41. Алейников И.А., Власова Е.В. О приближенной решении краевой задачи для неоднородного бигармонического уравнения. - Математическое моделирование, 2004, т. 16, № 8, с. 94-98.

42. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. - М., ГИТТЛ, 1953, 423 с.

43. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. - т. 2, М., АН СССР, 1953.

44. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.-ОГИЗ, ГИТТЛ, М.-Л., 1947, 355 с.

45. Сухотерин М.В. Изгиб защемленной ребристой панели. - Научн.-техн. ведомости СПбГПУ (Физико-математические науки), 2009, № 4 (88), с. 19-24.

46. Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластины и оболочки с ребрами жесткости. - Киев, Наукова Думка, 1964, - 284 с.

47. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. - М. Гостехиз-дат, 1951, 341 с.

48. Вайнберг Д.В. Напряженное состояние составных дисков и пластин. -Киев, изд-во АН УССР, 1952.

49. Шереметьев М.П. Пластинки с подкрепленным краем. - Львов, изд-во Львовск. гос. ун-та, 1960.

50. Гудьер Д., Ходж Ф. Упругость и пластичность. -Иностр. лит., 1960, 743 с.

51. Голоскоков Д.П. , Грищенков А.А. Математическое моделирование упругих тонкостенных систем.- СПб.: СПГУВК, 1999. - 149 с.

52. Сурьянинов Н.Г., Козолуп Г.Н. Метод Канторовича-Власова в задаче изгиба ребристых пластин. - Труды Одесского политехн. ун-та, 2009, вып. 1-2 (33-34), с. 204-209.

53. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л., ЛГУ, 1980, 196 с.

54. Михайлов Б.К., Гаянов Ф.Ф. Использование специальных разрывных функций для расчета ребристых оболочек и пластинок. Изв. вузов, Стр-во и архитект., 1985, №5, с.24-28.

55. Михайлов Б.К., Кипиани Г.О. Деформированность и устойчивость пространственных пластинчатых систем с разрывными параметрами. С-Петербург, Стройиздат, 1996, 443 с.

56. Кан С.Н., Каплан Ю.И. Применение разрывных функций при расчете подкрепленных пластин. - Изв. вузов. Стр-во и архитект., 1975, №9, с.38-42.

57. Ростовцев Г.Г. К вопросу о приведенной ширине ортотропной пластинки. - Тр. Ленингр. ин-та инж. гражд. воздушн. флота, 1937. - №10.

58. Гребень Е.С. Основные уравнения теории ребристых оболочек и пластинок. В кн.: «Расчет пространственных конструкций» -М.,Стройиздат, 1965, вып. 10, с. 81-91.

59. Барышников С.О. Прочность, устойчивость, колебания плоских элементов судовых конструкций / С.О. Барышников, М.В.Сухотерин. -СПб: Судостроение, 2012. - 167 с.

60. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. - М: Гостехиздат, 1955.

61. Sezawa K. Zeitschr. Angew. Math. Mech., Bd. 12, 1932, s. 227.

62. Taylor G. I. Zeitschr. Angew. Math. Mech., Bd. 13, 1933, s. 147.

63. Faxen O. H. Zeitschr. Angew. Math. Mech., Bd. 15, 1935, s. 268

64. Reissner E., J. Math. and Phys., 1944, v. 23.

65. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates.- J. appl. Mech., 12, 1945, A69-A77.

66. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин.- Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 1997, № 3, с. 150-155.

67. Гольденвейзер А.Л. Замечание о статье В.В.Васильева «Об асимптотическом методе обоснования теории пластин».- Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 1997, № 4, с. 150-158.

68. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин,- Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 1992, № 3, с. 4864.

69. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теории пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера,- Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 1990, № 6, с. 124-138.

70. Сухотерин М.В. К исследованию изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера.- Прикл. механика, АН УССР, 1990, т. 26, № 7, с. 120 - 124.

71. Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига.- Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королева, 2008, № 1(14), с. 174-180.

72. Otsu Satoshi, Uchiyama Takeshi, Dobashi Yoshizo. Analysis based on Reiss-ner theory for rectangular plates with all edges built-in.-Bull. Fac. Eng. Hokkaido Univ., 1984, 123, 77-89.

73. Assiff Thomas C., Yen David H.Y. On the solutions of clamped Reissner -Mindlin plates under transverse loads,- Quart. Appl. Math., 1987, 45, № 4, 679-690.

74. Sub Weiming, Yang Guangsong. Rational finite element method for elastic bending of Reissner plates,- Appl. Math. and Mech. Engl. Ed., 1999, 20, № 2, 193-199.

75. Барган С.В., Михайловский Е.И. Сдвиговая модель и метод Тимошенко в задаче об изгибе жестко защемленной пластины, - Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого тв. тела, Вып. 9, Тр. Северозападной региональной конференции молодых ученых, СПб, апр. 2005, с. 52-65.

76. Белубекян М.В., Саноян Ю.Г. Расчет изгиба жестко закрепленной пластины при равномерной нагрузке по уточненной теории,- Труды 4 Всероссийской научной конференции, ч. 1, Самара, СамГТУ, 2007, с. 42-45.

77. Karman T. Encyklopedie der mathematischen Wissenschaften, v. 4, p. 349, 1910.

78. Foppl A. Vorlesungen uber technische Mechanik, v. 5, p.132, 1907.

79. Euler L. De motu vibratorio tympanorum. - Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, 1767, v. X, p. 243.

80. Runge C. Zeitschrift Mathem. und Phys. - 56, 225, 1908.

81. Marcus H. Armierter Beton, 107, 1919.

82. Hencky H. Zeitschrift Angew. Math. Mech., 1, 81, 1921.

83. Hencky H. Zeitschrift Angew. Math. Mech., 2, 58, 1922

141

84. Southwell R.V. Relaxation Methods in Theoretical Physics . Oxford University Press, Fair Lawn, N. J. , 1946.

85. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Киев, Изд-во АН УССР, 1952.

86. Варвак П.М., Губерман И.О., Мирошниченко М.М., Предтеченский Н.Д. Таблицы для расчета прямоугольных плит. Киев, Изд-во АН УССР, 1959.

87. Coull A., Rao K.S. Analysis of cantilever plates by the linesolution technique. - Appl.Sci.Res., v. 18, N 4, 1967.

88. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. К применению метода прямых для расчета пластин. - Труды Казанск. авиац. ин-та, 1972, вып. 143.

89. Nash W.A. Several approximate analysis of the bending of a rectangular cantilever plate by uniform normal pressure. - J. Appl. Mech., 1952, v. 19, N 1.

90. Leissa A.W., Niederfuhr F.W. A study of the cantilevered plate subjected to a uniform loading. - J. Aero. Sci., 1962, 29, N 2.

91. Петров Ю.П., Лившиц А.Л., Лившиц В.Л. Расчет на изгиб консольной пластины методом граничной коллокации. - В сб. Самолетостроение и техника возд. флота, 1967, вып. 12.

92. Анохина С.И. Расчет консольной пластины методом коллокации. - Труды Ленингр. ин-та инж. жел.-дор. тр-та, 1968, вып. 287.

93. Ritz W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik.- Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 135, pages 1—61, 1909.

94. Бубнов И.Г. Отзыв о сочинениях проф. С.П. Тимошенко, удостоенных премии им. Журавского. - Сборник ин-та путей сообщения, СПб., 1913, вып.81, с.13-36.

95. Галёркин Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. // Вестник инженеров. — 1915. — Т. 1. — С. 897—908.

96. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости, Гостехиздат, 1943.

97. Даль Ю.М. Об изгибе упругой консольной пластины переменной толщины. - В сб. Расчет пространств. кон-ций. М., Стройиздат, 1974, вып. XVI.

98. Фролов В.М. Применение метода корректирующей функции в расчетах деформаций консольных пластин. - Труды ЦАГИ, 1957, вып. 705.

99. Рабинский Н.Л. Расчет консольных пластин. - В сб. Прочность и устойчивость эл-тов тонкостенных кон-ций. М., "Машиностроение", 1967, Труды Моск. авиац. ин-та, вып. 169.

100. Prokopov V.K. and Sukhoterin M.V. Variational method for determining the flexure of a bracket.- J. International Applied Mechanics, New York, 1978, vol.14, No. 5, pp. 537-540.

101. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Variations. - Bull. Amer. Math. Soc. , 1943, v. 49, № 1, p. 1-23.

102. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection analysis of Complex Structures. - J. Aero. Sci. v. 23, 1956, p. 805-823.

103. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М., «Недра», 1974.

104. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций Л., «Судостроение», 1974.

105. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. М., «Энергия», 1971.

106. Васильев В.З. Применение метода наложения неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра. - В сб. Механика стержневых систем и сплошных сред. Труды Ленингр. инж.-строит. ин-та, 1973, № 73.

107. Сухотерин М.В. Итерационный метод решения задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины. - Прикл. механика, АН УССР, 1982, т.18, № 5, с. 121 - 125.

108. Сухотерин М.В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин. С. Петербург, 2009, Изд-во Политехнического ун-та, 265 с.

109. Барышников С.О. Расчет на изгиб прямоугольной панели обшивки с центральным ребром жесткости / Барышников С.О., Ломтева К.О., Сухотерин М.В. // Вестник гос. ун-та морского и речного флота, 2013, вып. 3 (22), с. 59-65.

110. Ломтева К.О. Вычисление деформаций прямоугольной панели обшивки с ребром жесткости от действия поперечной нагрузки // Вестник гос. унта морского и речного флота, 2014, вып. 1 (23), с. 77-83.

111. Ломтева К.О. Математическое моделирование изгиба защемленной по всем граням прямоугольной панели обшивки судна с центральным ребром жесткости // Материалы IV межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Современные тенденции и перспективы развития водного транспорта России», 15-16 мая 2013 года. -СПб.: ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова, 2013, стр. 156-161.

112. Ломтева К.О. Математическое моделирование изгиба защемленной по всем граням прямоугольной панели обшивки судна с двумя центральными ребрами жесткости, идущими параллельно сторонам // Материалы V межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Современные тенденции и перспективы развития водного транспорта России», 14 мая 2014 года. - СПб.: ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова, 2014, стр. 121-126.

113. Ломтева К.О. Расчет изгиба прямоугольной панели палубного перекрытия судна // Журнал университета водных коммуникаций, 2012, вып. 4 (XVI), с. 72-78.

114. Ломтева К.О. Оценка действия сосредоточенной силы на обшивку судна / Ломтева К.О., Сухотерин М.В. // Журнал университета водных коммуникаций, 2011, вып. 1 (IX), с. 43-47.

115. Ломтева К.О. Деформации и напряжения в обшивке судна от навала на стену шлюзовой камеры / Ломтева К.О., Сухотерин М.В. // Журнал университета водных коммуникаций, 2011, вып. 3 (XI), с. 54 -56.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Программа вычисления деформаций защемленной по всем краям прямоугольной пластины с центральным ребром жесткости в среде «Maple»

> #защемленная с одним ребром restart;

g:=1; nu:=0.3; G:=0.5; M:=40; n:=19; Digits:=30; inter-

face(displayprecision=10);

print ("Начальные коэффициенты Bk"):

for i1 by 2 to n do

s:=(i1+1)/2:

mu[s]:=evalf(Pi*i1/g):

Ld[s]:=evalf(Pi*i1/2):

bk[s]:=evalf(0.5*g/(Ld[s])A3): as0[s]:=evalf(2/(g*(mu[s])A3)): eta[s]:=evalf(tanh(Ld[s]*g/2)+Ld[s]*g/2/cosh(Ld[s]*g/2)A2): ksi[s]:=evalf(coth(mu[s])/mu[s]+1/sinh(mu[s])A2+0.5*G*(1-(mu[s]/sinh(mu[s]))A2)):

B[s]:=evalf(-bk[s]/eta[s]): BS[s]:=B[s]: ts[s]:=0: as[s]:=0: CS[s]:=0: DS[s]:=0: ES[s]:=0: FS[s]:=0: if s<11 then print(B[s]): end if: end do:

for m1 to M do print(m1):

for i2 by 2 to n do

s:=(i2+1)/2:

for i3 by 2 to n do

k:=(i3+1)/2:

as[s]:=evalf(as[s]-

8/g*mu[s]*Ld[k]A2*bk[k]/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2/eta[k]): ts[s]:=evalf(ts[s]-8/g*G*mu[s]*(-

1)Ak*Ld[k]A3*(Ld[k]A2+2*mu[s]A2)*bk[k]/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2/eta[k ]):

end do:

if m1=1 then as[s]:=as[s]+as0[s]: end if: DE[s]:=evalf(-0.5/ksi[s]*(2*as[s]/mu[s]/sinh(mu[s])+(1-(mu[s]/sinh(mu[s]))A2)*ts[s]/mu[s]A4)): C[s]:=evalf(-0.5*(G*mu[s]*DE[s]+ts[s]/mu[s]A3)): E[s]:=evalf(-mu[s]*C[s]):

FE[s]:=evalf(C[s]*(1-mu[s]*coth(mu[s]))-coth(mu[s])*DE[s]): CS[s]:=CS[s]+C[s]: DS[s]:=DS[s]+DE[s]: ES[s]:=ES[s]+E[s]: FS[s]:=FS[s]+FE[s]: end do:

for k1 by 2 to n do k:=(k1+1)/2: bk[k]:=0: end do:

print("Коэффициенты Cs и Ds"): for s to 10 do print(C[s], DE[s]): end do:

for i4 by 2 to n do k:=(i4+1)/2:

for i5 by 2 to n do s:=(i5+1)/2:

bk[k]:=bk[k]+evalf(2*mu[s]A2/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2/ksi[s]*((-1)лк*(-

G*mu[s]A2*as[s]/sinh(mu[s])+(coth(mu[s])+mu[s]/sinh(mu[s])A2)*ts [s]/mu[s]A2)-Ld[k]*((2/mu[s]*(1+1/sinh(mu[s])A2)+G*(coth(mu[s])-mu[s]/sinh(mu[s])A2))*as[s]-ts[s]/mu[s]A2/sinh(mu[s])))): end do:

B[k]:=-bk[k]/eta[k]: BS[k]:=BS[k]+B[k]: end do:

for s1 by 2 to n do s:=(s1+1)/2: as[s]:=0: ts[s]:=0: end do:

рг^М"Коэффициенты B[k]"): for k to 10 do print(B[k]): end do: end do:

print("CyMMapHbie коэффициенты B,C,D"): for k to 10 do print(BS[k],CS[k],DS[k]): end do:

>w:=(x,y)->-0.125*(xA2-gA2/4)*(yA2-2*y)+Sum((x*tanh(Ld[j]*x)-

g/2*tanh(Ld[j]*g/2))*cosh(Ld[j]*x)*BS[j]*sin(Ld[j]*y)/cosh(Ld[j]

*g/2),j=1..(n+1)/2)+Sum((-1)Am*(CS[m]*sinh(mu[m]*(y-

1))+DS[m]*cosh(mu[m]*(y-1))+ES[m]*(y-1)*cosh(mu[m]*(y-

1))+FS[m]*(y-1)*sinh(mu[m]*(y-1)))*cos(mu[m]*x),m=1..(n+1)/2);

evalf(w(0,0.5));

evalf(w(0,1));

evalf(w(0.25*g,1));

> plot3d(w(x,y),x=-0.5*g..0.5*g, y=0..1);

Программа вычисления НДС пластны, у которой две смежные кромки защемлены, а две другие свободны, в среде «Maple»

> restart;

n:=199; g:=1; nu:=0.3; N:=6; interface(displayprecision=5); Dig-its:=150;

for i1 by 2 to n do

s:=(i1+1)/2: mu[s]:=evalf(Pi*i1/g/2):

Ld[s]:=evalf(Pi*i1/2):

Ldg[s]:=evalf(Ld[s]*g):

eta[s]:=evalf((3+nu)*(1-nu)+((1-

nu)A2*Ldg[s]A2+4)/sinh(Ldg[s])A2):

ksi[s]:=evalf((3+nu)*(1-nu)+((1-nu)A2*mu[s]A2+4)/sinh(mu[s])A2): tek[s]:=evalf(-g/Ld[s]A3):

mk[s]:=evalf(-(1/Ld[s]A3+nu*gA2/(2*Ld[s]))):

tes[s]:=evalf(-1/(g*mu[s]A3)):

ms[s]:=evalf(-1/g*(1/mu[s]A3+nu/(2*mu[s]))):

Gtk[s]:=evalf(((3+nu)*coth(Ldg[s])+(1-

nu)*Ldg[s]/sinh(Ldg[s])A2)*(1-nu)*Ld[s]):

Gmk[s]:=evalf((2*coth(Ldg[s])-(1-nu)*Ldg[s])/sinh(Ldg[s])): Utk[s]:=evalf(Gmk[s]*Ld[s]):

Umk[s]:=evalf(coth(Ldg[s])+Ldg[s]/sinh(Ldg[s])A2):

Gts[s]:=evalf(((3+nu)*coth(mu[s])+(1-

nu)*mu[s]/sinh(mu[s])A2)*(1-nu)*mu[s]):

Gms[s]:=evalf((2*coth(mu[s])-(1-nu)*mu[s])/sinh(mu[s])): Uts[s]:=evalf(Gms[s]*mu[s]):

Ums[s]:=evalf(coth(mu[s])+mu[s]/sinh(mu[s])A2): Gk[s]:=evalf(Gtk[s]*tek[s]+Gmk[s]*mk[s]): Uk[s]:=evalf(Utk[s]*tek[s]-Umk[s]*mk[s]): Ak[s]:=evalf(-(1+nu)/Ld[s]/eta[s]*(Gmk[s]*tek[s]-Umk[s]*mk[s]/Ld[s])):

Bk[s]:=evalf(-1/Ld[s]/eta[s]*((1+nu+(1-

nu)*Ldg[s]*coth(Ldg[s]))*2*tek[s]/sinh(Ldg[s])-(1+nu+(1-nu)*Ldg[s]A2/sinh(Ldg[s])A2)*mk[s]/Ld[s])): Ck[s]:=evalf((1-nu)/(1+nu)*Ld[s]*Ak[s]): Dk[s]:=evalf(mk[s]/2/Ld[s]-(1-nu)/2*Ld[s]*Bk[s]): Aks[s]:=Ak[s]: Bks[s]:=Bk[s]: Cks[s]:=Ck[s]: Dks[s]:=Dk[s]: Ass[s]:=0: Bss[s]:=0: Css[s]:=0: Dss[s]:=0: end do:

print("Начальные невязки tes, ms, tek, mk");

for i1 by 2 to 9 do

s:=(i1+1)/2:

print(tes[s],ms[s],tek[s],mk[s]); end do:

print("Начальные коэффициенты Ak, Bk, Ck, Dk");

for i1 by 2 to 9 do

s:=(i1+1)/2:

print(Ak[s],Bk[s],Ck[s],Dk[s]); end do:

# Начало итерационного процесса for m to N do print("Номер итерации",ш): for i2 by 2 to n do s:=(i2+1)/2: for j2 by 2 to n do k:=(j2 + 1)/2: tes[s]:=tes[s]+evalf(-

4/g/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2/eta[k]*(Ld[k]*mu[s]*Gk[k] - (-

1)As*(mu[s]A2+nu*Ld[k]A2)*Uk[k])):

ms[s]:=ms[s]+evalf(-4/g*mu[s]*(-

1)A(k+1)/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2/eta[k]*((Ld[k]A2+nu*mu[s]A2)*Gk[k]-

(-1)As*(1-nu)A2*Ld[k]*mu[s]*Uk[k])):

end do:

As[s]:=evalf(-(1+nu)/mu[s]/ksi[s]*(Gms[s]*tes[s]-Ums[s]*ms[s]/mu[s])):

Bs[s]:=evalf(-1/mu[s]/ksi[s]*((1+nu+(1-nu)*mu[s]*coth(mu[s]))*2*tes[s]/sinh(mu[s])-(1+nu+(1-nu)*mu[s]A2/sinh(mu[s])A2)*ms[s]/mu[s])): Cs[s]:=evalf((1-nu)/(1+nu)*mu[s]*As[s]): Ds[s]:=evalf(ms[s]/2/mu[s]-(1-nu)/2*mu[s]*Bs[s]): Ass[s]:=Ass[s]+As[s]: Bss[s]:=Bss[s]+Bs[s]: Css[s]:=Css[s]+Cs[s]: Dss[s]:=Dss[s]+Ds[s]:

end do:

print("Невязки tes, ms"): for i1 by 2 to 9 do s:=(i1+1)/2: print(tes[s],ms[s]); end do:

for j3 by 2 to n do s:=(j3 + 1)/2:

Gs[s]:=evalf(Gts[s]*tes[s]+Gms[s]*ms[s]): Us[s]:=evalf(Uts[s]*tes[s]-Ums[s]*ms[s]):

end do:

for i6 by 2 to n do k:=(i6+1)/2: tek[k]:=0: mk[k]:=0: end do:

for i3 by 2 to n do

k:=(i3+1)/2:

for j4 by 2 to n do

s:=(j4 + 1)/2:

tek[k]:=tek[k]+evalf(-

4/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2/ksi[s]*(Ld[k]*mu[s]*Gs[s]- (-

1)Ak*(Ld[k]A2+nu*mu[s]A2)*Us[s])):

mk[k]:=mk[k]+evalf(-4*Ld[k]*(-

1)A(s + 1)/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2/ksi[s]*((mu[s]A2+nu*Ld[k]A2)*Gs[s]-

(-1)Ak*(1-nu)A2*Ld[k]*mu[s]*Us[s])):

end do:

Ak[k]:=evalf(-(1+nu)/Ld[k]/eta[k]*(Gmk[k]*tek[k]-Umk[k]*mk[k]/Ld[k])):

Bk[k]:=evalf(-1/Ld[k]/eta[k]*((1+nu+(1-

nu)*Ldg[k]*coth(Ldg[k]))*2*tek[k]/sinh(Ldg[k])-(1+nu+(1-nu)*Ldg[k]A2/sinh(Ldg[k])A2)*mk[k]/Ld[k])): Ck[k]:=evalf((1-nu)/(1+nu)*Ld[k]*Ak[k]): Dk[k]:=evalf(mk[k]/2/Ld[k]-(1-nu)/2*Ld[k]*Bk[k]): Aks[k]:=Aks[k]+Ak[k]: Bks[k]:=Bks[k]+Bk[k]: Cks[k]:=Cks[k]+Ck[k]: Dks[k]:=Dks[k]+Dk[k]: tek1[k]:=evalf(Ak[k]*Ld[k]*cosh(Ldg[k])-

Bk[k]*Ld[k]*sinh(Ldg[k])+(cosh(Ldg[k])+Ldg[k]*sinh(Ldg[k]))*Ck[k

]-(sinh(Ldg[k])+Ldg[k]*cosh(Ldg[k]))*Dk[k]):

end do:

print("Невязки tek, mk"): for i1 by 2 to 9 do k:=(i1+1)/2: print(tek[k],mk[k]); end do:

for j1 by 2 to n do k:=(j1 + 1)/2:

Gk[k]:=evalf(Gtk[k]*tek[k]+Gmk[k]*mk[k]): Uk[k]:=evalf(Utk[k]*tek[k]-Umk[k]*mk[k]): end do:

for i7 by 2 to n do s:=(i7+1)/2: tes[s]:=0: ms[s]:=0:

end do: end do;

# Конец итерационного цикла P1:=0: P2:=0:

print("Число итераций", N):

print("Суммарные коэффициенты Ak,Bk,Ck,Dk"):

for i9 by 2 to 19 do

k:=(i9+1)/2:

print(Aks[k], Bks[k], Cks[k], Dks[k]): P1:=P1-(-1)Ak*Bks[k]: P2:=P2-(-1)Ak*Bss[k]: end do:

print("Суммарные коэффициенты As,Bs,Cs,Ds"):

for j9 by 2 to 19 do

s:=(j9+1)/2:

print(Ass[s], Bss[s], Css[s], Dss[s]): end do:

wg1:=-0.125*gA2+P1+P2:

print("Прогиб свободного угла и его составляющие"):

print(wg1, P1, P2);

w:=(x,y)->-0.125*(xA2-2*g*x)*(yA2-

2*y)+Sum((Aks[m2]*sinh(Ld[m2]*(x-g))+Bks[m2]*cosh(Ld[m2]*(x-g))+Cks [m2]*(x-g)*cosh (Ld [m2]*(x-g))+Dks [m2]*(x-g)*sinh(Ld[m2]*(x-

g)))*sin(Ld[m2]*y),m2=1..(n+1)/2)+Sum((Ass[m1]*sinh(mu[m1]*(y-

1))+Bss[m1]*cosh(mu[m1]*(y-1))+Css[m1]*(y-1)*cosh(mu[m1]*(y-

1))+Dss[m1]*(y-1)*sinh(mu[m1]*(y-

1)))*sin(mu[m1]*x),m1=1..(n+1)/2);

evalf(w(g,1)); evalf(w(g,0.9)); evalf(w(g,0.8));

evalf(w(g,0.7)); evalf(w(g,0.6)); evalf(w(g,0.5));

evalf(w(g,0.4));

plot3d(w(x,y),x=0..g,y=0..1);

Mx:=(x,y)->(-1)*((-.250*yA2+.500*y)+nu*(-

.250*xA2+.500*x))+Sum(mu[m3]*((1-nu)*mu[m3]*sinh(mu[m3]*(y-

1))*Ass[m3]+(1-nu)*mu[m3]*cosh(mu[m3]*(y-1))*Bss[m3]+((1-

nu)*mu[m3]*(y-1)*cosh(mu[m3]*(y-1))-2*nu*sinh(mu[m3]*(y-

1)))*Css[m3]+((1-nu)*mu[m3]*(y-1)*sinh(mu[m3]*(y-1))-

2*nu*cosh(mu[m3]*(y-1)))*Dss[m3])*sin(mu[m3]*x),m3=1..(n+1)/2)-

Sum(Ld[m4]*((1-nu)*Ld[m4]*sinh(Ld[m4]*(x-g))*Aks[m4]+(1-

nu)*Ld[m4]*cosh(Ld[m4]*(x-g))*Bks[m4] + (2*sinh(Ld[m4]*(x-g)) + (1-

nu)*Ld[m4]*(x-g)*cosh(Ld[m4]*(x-g)))*Cks[m4] + (2*cosh(Ld[m4]*(x-

g)) + (1-nu)*Ld[m4]*(x-g)*sinh(Ld[m4]*(x-

g)))*Dks[m4])*sin(Ld[m4]*y),m4=1..(n+1)/2);

evalf(Mx(g,1)); evalf(Mx(g,0.9)); evalf(Mx(g,0.8));

evalf(Mx(g,0.7)); evalf(Mx(g,0.6)); evalf(Mx(g,0.5));

evalf(Mx(g,0.4));

plot3d(Mx(x,y),x=0..g,y=0..1);

My:=(x,y)->(-1)*((-.250*xA2+.500*x)+nu*(-.250*yA2+.500*y))-Sum(mu[m5]*((1-nu)*mu[m5]*sinh(mu[m5]*(y-1))*Ass[m5] + (1-nu)*mu[m5]*cosh(mu[m5]*(y-1))*Bss[m5] + (2*sinh(mu[m5]*(y-1)) + (1-nu)*mu[m5]*(y-1)*cosh(mu[m5]*(y-1)))*Css[m5] + (2*cosh(mu[m5]*(y-1)) + (1-nu)*mu[m5]*(y-1)*sinh(mu[m5]*(y-

1)))*Dss[m5])*sin(mu[m5]*x),m5=1..(n+1)/2)+Sum(Ld[m6]*((1-

nu)*Ld[m6]*sinh(Ld[m6]*(x-g))*Aks[m6] + (1-

nu)*Ld[m6]*cosh(Ld[m6]*(x-g))*Bks[m6] + ((1-nu)*Ld[m6]*(x-g)*cosh(Ld[m6]*(x-g)) -2*nu*sinh(Ld[m6]*(x-g)))*Cks[m6] + ((1-nu)*Ld[m6]*(x-g)*sinh(Ld[m6]*(x-g)) -2*nu*cosh(Ld[m6]*(x-g)))*Dks[m6])*sin(Ld[m6]*y),m6=1..(n+1)/2); evalf(My(g,1)); evalf(My(g,0.9)); evalf(My(g,0.8)); evalf(My(g,0.7)); evalf(My(g,0.6)); evalf(My(g,0.5)); evalf(My(g,0.4)); plot3d(My(x,y),x=0..g,y=0..1);

Программа вычисления характеристик НДС пластины, защемленной по всем краям, от действия нагрузки, распределенной на малом участке, в среде

«Maple»

Изменяемые параметры: N - число итераций; g - отношение сторон пластины; n - число членов в рядах; u,v - размеры нагруженного участка;

> restart;

n:=199; g:=1; nu:=0.3; N:=12; Digits:=10;

u:=g; v:=1;

for i1 by 2 to n do

s:=(i1+1)/2: mu[s]:= evalf(Pi*i1/g): mup[s]:=evalf(mu[s]/2): Ld[s]:=evalf(Pi*i1): Ldp[s]:=evalf(Ld[s]*g/2): eta[s]:=evalf(tanh(Ldp[s])+Ldp[s]/(cosh(Ldp[s]))A2): ksi[s]:=evalf(tanh(mup[s])+mup[s]/(cosh(mup[s]))A2): muu[s]:=mu[s]*u/2: Ldv[s]:=Ld[s]*v/2: end do:

for k to (n+1)/2 do a0[k]:=0: b0[k]:=0: CS[k]:=0: DS[k]:=0: end do:

for k to (n+1)/2 do for s to (n+1)/2 do

a0[k]:=a0[k]+evalf(4*sin(Ldv[k])/Ldv[k]*(-1)As*mu[s]/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2*sin(muu[s])/muu[s]):

b0[s]:=b0[s]+evalf(4*sin(muu[s])/muu[s]*(-

1)Ak*Ld[k]/(Ld[k]A2+mu[s]A2)A2*sin(Ldv[k])/Ldv[k]): end do: end do:

for k to (n+1)/2 do B[k]:=a0[k]/eta[k]: A[k]:=-g/2*tanh(Ldp[k])*B[k]: BS[k]:=B[k]: AS[k]:=A[k]: end do:

for m to N do print(m): for i6 by 2 to n do s:=(i6+1)/2: b[s]:=0: a[s]:=0: end do:

for i2 by 2 to n do s:=(i2+1)/2: EDK:=1: for j2 by 2 to n do k:=(j2 + 1)/2:

if m=1 then EDK:=(-1)Ak: end if: b[s]:=b[s]-

evalf(8*mu[s]*EDK*(Ld[k])A2*B[k]/(g*((Ld[k])A2+(mu[s])A2)A2)):

end do:

EDS:=(-1)As:

if m=1 then b[s]:=b0[s]+EDS*b[s]: end if: De[s]:=evalf(b[s]/ksi[s]): C[s]:=evalf(-0.5*tanh(mup[s])*De[s]): Den[s]:=De[s]: Cn[s]:=C[s]:

if m>1 then Den[s]:=EDS*De[s]: Cn[s]:=EDS*C[s]: end if: DS[s]:=DS[s]+Den[s]: CS[s]:=CS[s]+Cn[s]: end do:

for j1 by 2 to n do k:=(j1 + 1)/2: EDK:=(-1)Ak: EDS:=1:

for i3 by 2 to n do s:=(i3+1)/2:

if m=1 then EDS:=(-1)As: end if: a[k]:=a[k]-

evalf(8*Ld[k]*EDS*(mu[s])A2*De[s]/((Ld[k])A2+(mu[s])A2)A2): end do:

B[k]:=a[k]/eta[k]: A[k]:=-0.5*g*tanh(Ldp[k])*B[k]: Bn[k]:=EDK*B[k]: An[k]:=EDK*A[k]: BS[k]:=BS[k]+Bn[k]: AS[k]:=AS[k]+An[k]: end do: end do:

for k from 1 to 10 do print(AS[k], BS[k], CS[k], DS[k]): end do:

> w:=(x,y)->Sum(((AS[k5]*cosh(Ld[k5]*x)+BS[k5]*x*sinh(Ld[k5]*x)) /cosh(Ldp[k5])-

4*sin(Ldv[k5])/Ldv[k5]*Sum(sin(muu[s1])/muu[s1]*cos(mu[s1]*x)/(( Ld[k5])A2+(mu[s1])A2)A2,s1=1..(n+1)/2))*cos(Ld[k5]*y),k5=1..(n+1 )/2)+Sum((CS[s5]*cosh(mu[s5]*y)+DS[s5]*y*sinh(mu[s5]*y))/cosh(mu p[s5])*cos(mu[s5]*x),s5=1..(n+1)/2);

evalf(w(0,0)); evalf(w(0.2*g,0.2)); evalf(w(0.3*g,0.3));

> plot3d(w(x,y),x=-0.5*g..0.5*g,y=-0.5..0.5);

> Mx:=(x,y) ->-

4*Sum(sin(Ldv[k6])/Ldv[k6]*Sum(sin(muu[s6])/muu[s6]*(mu[s6]A2+nu *Ld[k6]A2)*cos(mu[s6]*x)/(Ld[k6]A2+mu[s6]A2)A2,s6=1..(n+1)/2)*co s(Ld[k6]*y),k6=1..(n+1)/2)-Sum(Ld[k7]*BS[k7]*(2*cosh(Ld[k7]*x)+(1-nu)*Ld[k7]*(x*sinh(Ld[k7]*x)-

0.5*g*tanh(Ldp[k7])*cosh(Ld[k7]*x)))*cos(Ld[k7]*y)/cosh(Ldp[k7]) ,k7=1..(n+1)/2)-Sum(mu[s7]*DS[s7]*(2*nu*cosh(mu[s7]*y)-(1-nu)*mu[s7]*(y*sinh(mu[s7]*y)-

0.5*tanh(mup[s7])*cosh(mu[s7]*y)))*cos(mu[s7]*x)/cosh(mup[s7]),s 7=1..(n+1)/2);

evalf(Mx(0,0)),evalf(Mx(0,0.2)),evalf(Mx(0,0.5)),evalf(Mx(0.5*g, 0));

>plot3d(Mx(x,y),x=-0.5*g..0.5*g,y=-0.5..0.5);