Математическое моделирование взаимодействия магнитных и акустических полей в электропроводящей пористой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Имомназаров Шерзад Холматжонович

• Имомназаров Шерзад Холматжонович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Имомназаров Шерзад Холматжонович

Введение

Глава 1. Динамические уравнения для модели движения проводящей жидкости в пористой среде

1.1 Динамические уравнения магнитопороупругости в обратимом приближении

1.2 Динамические уравнения магнитопороупругости в диссипативном приближении

Глава 2. Волны в насыщенной электролитом пористой среде во внешнем постоянном магнитном поле

2.1 Уравнения движения для насыщенных проводящих пористых сред в бездиссипативном приближении

2.2 Поверхностные волны типа Лява в проводящей пористой среде

2.3 Поперечная электромагнитоакустическая волна

2.4 Дисперсионный анализ

2.5 Выводы ко второй главе

Глава 3. Исследование задачи магнитопороупругости в частотной области

3.1 Система уравнений магнитопороупругости

3.2 Постановка задачи

3.3 Обобщенная постановка задачи магнитопороупругости

3.4 МКЭ дискретизация

3.5 Выводы к третьей главе

Глава 4. Численное решение одномерной динамической задачи магнитопороупругости

4.1 Постановка задачи

4.2 Алгоритм решения

4.3 Численные эксперименты

4.4 Выводы к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программный комплекс М^-рог

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимодействия магнитных и акустических полей в электропроводящей пористой среде»

Актуальность работы.

Математические модели подземной гидродинамики, описывающие влияние потока флюида на напряженно-деформированное состояние окружающей среды, всегда представляли большой практический интерес. Математическое моделирование многофазных течений в насыщенных электролитом пористых средах с взаимосвязанными гидродинамическими и термодинамическими явлениями, обусловленными фазовыми превращениями и критическими условиями, востребовано в широком спектре задач подземной гидромеханики. Актуальность данного исследования связана с тем, что его результаты могут использоваться для научно-обоснованного прогнозирования и оптимизации показателей эксплуатации нефтяных и газовых скважин, при описании природных процессов, при разработке новых технологий георазведки.

Развитие геофизических методов разведки часто связано с построением новых уравнений геофизических процессов и исследованием новых эффектов на основе анализа полученных дифференциальных уравнений. На основе индукционного метода электромагнитного каротажа (см. [1]) определяется электропроводность горной породы и поиск новых методов измерения кинетических параметров, характеризующих насыщенную природными рассолами пористую среду. Актуальной заключается в нахождении новых способов определения электропроводности в многопараметрических средах.

Электроразведка основана на модели среды, описываемой уравнениями электродинамики сплошных сред. При замыкании уравнений используется классический закон Ома, а также линейное уравнение состояния. По откликам амплитуд электромагнитных полей (например, в скважине), определяют диэлектрическую проницаемость и электропроводность. Знание электропроводности позволяет делать косвенные выводы о характеристиках горной породы. Однако, уравнения электродинамики сплошной среды, как правило не учитывают многообразие свойств флюидонасыщенной пористой

среды: проницаемость каркаса, ее пористость, потенциал двойного электрического слоя, т.е. всего того, что представляет реальную среду. Кроме того, бурение скважин [2] нарушает существующие в недрах Земли гидродинамические связи. Проявляющаяся при бурении разность между литостатическим и гидростатическим давлениями приводит к возникновению потоков проводящей жидкости в скважину. Эти потоки порождают электрическое поле, которое измеряется в методе спонтанного каротажа. Исходя из концепции самосогласованного поля, можно предложить новые геофизические методы, основанные на способах нарушения равновесного состояния среды, в частности, можно использовать наблюдаемые в реальной геологической среде функциональные связи между локальной плотностью тока и напряженностью электрического поля [3].

Горные породы представляют собой сложно-построенные пористые системы, состоящие из твердых минералов и внутрипоровой жидкости. В таких средах под действием приложенного электромагнитного поля возникают и взаимодействуют между собой силовые поля различной физико-химической природы. Примерами таких полей являются поля, участвующие в сейсмоэлектрических процессах [4], и поля вызванной поляризации среды электрокинетической или электрохимической природы [5, 6, 7]. Последовательное изучение особенностей распространения сейсмических волн в насыщенных пористых средах с учетом влияния электрических полей началось с открытия А.Г. Ивановым в 1939 году электросейсмического эффекта [8]. Первым, кто построил математическую модель распространения сейсмических волн в насыщенных жидкостью пористых средах и исследовал механизм электризации влажной почвы, был Я.И. Френкель в 1944 [9]. В линейной теории Я.И. Френкеля описание поведения пористого каркаса основывалось на линейном соотношении упругости, вводилась основанная на вязком трении сила межфазного взаимодействия. Решение вопроса о причинах "электризации" почвы в рамках предложенной модели Я.И. Френкелем было связано с наличием относительной скорости подсистем. Следствием модели Френкеля был вывод о существовании двух

значений скорости распространения продольных волн, соответствующих быстрой волне со слабым затуханием и медленной волне с сильным затуханием. В 1956 году М. Био в [10, 11] развил также линейную теорию пороупругости, описывающую распространение сейсмических волн в двухфазной пористой насыщенной жидкостью среде, являющейся линейной совмещенной моделью теории упругости и уравнения Эйлера. В 1959 году Л.Я. Косачевский показал тождественность линейных двухскоростных теорий Я.И. Френкеля и М. Био в описании акустических явлений [12]. Нелинейные теории двухскоростных сплошных сред были развиты в работах П.Ш. Робертс, Д.Е. Лопе (1987) [13], В.Н. Доровского (1989) [14] с использованием метода законов сохранения, впервые предложенного Л.Д. Ландау (1941) [15] и последовательно представленного И.М. Халатниковым (1952) [16]. Метод законов сохранения применялся при исследовании динамики реологических насыщенных пористых сред, многоскоростных многофазных систем [17, 18, 19, 20, 21]. Расчеты по распространению волн Стоунли на границе жидкости и насыщенной пористой среды в рамках континуальной теории фильтрации [22] продемонстрировали хорошее согласие с результатами экспериментов [23] для ряда искусственных и природных сред. Решение уравнений линейной теории пороупругости для однородной среды представляет собой три типа колебаний: одного поперечной и двух продольных. Динамические и кинематические характеристики этих колебаний зависят не только от значений модулей упругости и физических плотностей подсистем соответствующих фаз, но и от петрофизических параметров пористой среды, таких, как пористость и проницаемость. Эти свойства пористых сред открыли новые возможности перед сейсморазведкой и, особенно, перед акустическим каротажем [24]. Из уравнений теории пороупругости следует, что насыщающая жидкость не движется синхронно с упруго-деформируемой средой, т.е. возникает поток жидкости относительно упругого твердого каркаса горной породы. Избирательная адсорбция ионов из порового раствора твердым скелетом горной породы приводит к тому, что ее жидкая и твердая фазы оказываются противоположно заряженными и их

относительное движение создает сторонний электрический ток. Следовательно, порождается электромагнитное поле. Электромагнитные поля, измеряемые на поверхности Земли, либо внутри скважины, несут информацию о глубине залегания насыщенной жидкостью горной породы, ее флюидонасыщенности, пористости, проницаемости и других петрофизических параметрах. Эти связи позволяют использовать сейсмоэлектрический эффект при решении разнообразных прикладных задач инженерной и нефтегазовой геологии, металлургии, биомеханики и т.д.

Сейсмоэлектрический эффект электрокинетической природы математически описал С. Прайд в 1994 году в статье [4] с помощью линейной совмещенной модели, объединяющей уравнения Френкеля-Био и электродинамики в частотной области. Связь между уравнениями Френкеля-Био и электродинамики основывалась на выражении для стороннего тока, а именно, вводился частотно зависимый электрокинетический коэффициент, определяющий сторонний электрический ток, порождаемый потоком насыщающей пористую среду жидкостью. Именно в нем содержится основная информация о пористой среде, которую несет в себе электромагнитное поле электрокинетического происхождения. В теории С. Прайда не учитывались магнитоакустические эффекты. Теория не предполагала рассмотрение нестационарных процессов. Эффект аномального значения комплексной диэлектрической проницаемости описан в работах С.С. Духина и В.Н. Шилова (1972) [25] и экспериментально подтвержден для флюидонасыщенных горных пород в работе Ц.М. Левицкой (1984) [26]. Из совмещенных теорий электромагнетизма в пористых флюидонасыщенных средах, построенных на первых принципах, можно выделить теории В.Н. Доровского, Х.Х. Имомназарова (1994) [27] и В.Н. Доровского, С.В. Доровского (2009) [28], учитывающей эффекты поляризации.

Теоретическая значимость уравнений, учитывающих электрокинетические эффекты в пористых флюидонасыщенных средах, приобретает особую актуальность в настоящее время при развитии диэлектрической спектроскопии в скважинных условиях в килогерцовом диапазоне электромагнитного поля.

Диэлектрическая спектроскопия способна отслеживать коллоидную структуру водонефтяных смесей, связанную воду, фазовые переходы и т.д. (см. [29]). Располагая полными непротиворечивыми уравнениями диэлектрически поляризующейся среды, возникает возможность разрабатывать широкий класс методов измерения характеристик многопараметрических сред, привлекая комбинации акустических, магнитоакустических, электроакустических и индукционных методов зондирования.

Электродинамические индукционные приборы, измеряющие электропроводность формации в скважинных условиях, позволяют измерить незначительную часть свойств насыщенной горной породы. Акустические методы, например, в скважинных схемах с использованием волн Стоунли, позволяют измерить проницаемость формации. Поскольку проницаемость пористой формации в значительной степени зависит от способа ее измерения, представляется предпочтительным произвести упомянутые измерения в рамках единого измерения, что возможно при использовании электроакустических методов, позволяющих проводить одновременно измерение проницаемости и электропроводности, а также электроакустической постоянной. Принципиальная возможность таких измерений была показана в работе [28] при исследовании электроакустического эффекта в магнитоакустике пористых насыщенных сред. В присутствии постоянного магнитного поля в пористой насыщенной электропроводящей среде электромагнитное индукционное зондирование квазистационарным электромагнитным полем порождает акустический отклик, позволяющий при измерении амплитуды этого отклика произвести одновременно измерение электропроводности и проницаемости исследуемой формации при известном значении электроакустического параметра. Эффект акустического отклика исследовался на примере плоской границы раздела сред (см. Доровский, Доровский, 2009; Доровский, 2014). В работах [28, 29] рассмотрена плоская задача об индукционном возбуждении поперечных волн с границы, разделяющей скважину и насыщенное электролитом пористое полупространство. Природа возбуждения плоских волн носит электроакустический характер, взаимодействие

волн обусловлено магнитогидродинамическим эффектом. Плотность тока представляется омическим и магнитогидродинамическим вкладами. Электропроводящим носителем является проводящий электрический ток флюид. В такой системе возможно измерение проводимости с учетом влияния проницаемости, проводимости, пористости, двойного электрического слоя. Инструментальными измерительными приборами измеряются характерные акустические амплитуды и частоты, при этом процедура определения электропроводности не требует знания других характеристик среды.

Реальные полевые условия подразумевают наличие цилиндрической геометрии скважины с конечным радиусом, что вносит поправки в характерные частоты и в технологическую измерительную конструкцию. Цель работы заключается в практической реализации идей работы [28] в применении к скважинным условиям. В представленной работе изучается математическая модель магнитопороупругости в цилиндрической геометрии. Используемая математическая модель и методы позволяют исследовать эффекты магнитопороупругости в гетерофазных средах с водным электролитом. Используемый метод и алгоритм решения позволяет эффективно проводить расчёты при моделировании гетерофазной среды и исследовать возникающие в таких средах различные эффекты. Конкретной задачей является математическое моделирование динамики магнитопороупругих сред с учетом электрокинетического коэффициента.

Целью данной работы является построение математической модели магнитопороупругости для аксиальной симметрии, с учетом эффектов, обусловленных проницаемостью, проводимостью, пористостью. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: 1. Исследовать возбуждение магнитоупругих SH-волн в полубесконечной идеально проводящей пористой среде, имеющей поверхностный слой. Показать, что внешнее постоянное магнитное поле может вызвать такие волны даже там, где они отсутствуют в идеально-пористой среде.

2. Исследовать затухание поперечной магнитоакустической волны, обусловленное проводимостью, проницаемостью и электроакустической постоянной.

3. Доказать существование и единственность обобщенного решения краевой задачи магнитопороупругости в частотной области.

4. Численно решить в частотной области задачу магнитопороупругости на основе МКЭ без учета обсадной колонны.

5. Показать существование характерной частоты для осесимметрической задачи, при которой измеренные амплитуды скоростей смещений матрицы на устье скважины совпадают и принимают меньшее значение по сравнению с плоским случаем.

6. Исследовать задачу распространения сейсмомагнитных волн в насыщенной электролитом пористой среде.

7. Рассмотреть задачу магнитоакустического отклика пористой насыщенной электролитом среды на электромагнитное воздействие для скважины конечного радиуса.

8. Предложить технологическую схему измерения электропроводности и проницаемости среды, насыщенной электролитом формации.

Для описания эффектов, обусловленных кинетическими коэффициентами, в работе построена термодинамически согласованная математическая модель магнитопороупругости с учетом аксиальной симметрии. Данное исследование, в отличие от ранее исследованных плоских математических моделей, имеет дело с реальной геометрией скважины. Численно решена в частотной области задача магнитопороупругости на основе МКЭ без учета обсадной колонны. Также решена задача распространения сейсмомагнитных волн в насыщенной электролитом пористой среде. Рассмотрена задача магнитоакустического отклика пористой насыщенной электролитом среды на электромагнитное воздействие со скважины конечного радиуса. Предложена технологическая схема измерения электропроводности и проницаемости насыщенной электролитом формации.

Целью анализа аксиально симметричной задачи являлась демонстрация предлагаемой технологической схемы измерения электропроводности и проницаемости насыщенной электролитом формации. В диссертации иллюстрируются принципиальные моменты предлагаемой измерительной технологии. Дальнейшее исследование необходимо проводить численно на более сложных двумерных и трехмерных моделях. Именно в этом направлении необходимо двигаться в дальнейших исследованиях для придания предлагаемой технологической схеме большей гибкости при конструировании скважинного прибора.

Научная новизна:

1. Впервые исследована задача возбуждения магнитоупругих SH-волн в полубесконечной идеально проводящей пористой среде, имеющей поверхностный слой. Показано, что внешнее постоянное магнитное поле может вызвать такие волны, когда они отсутствуют в идеально пористом случае.

2. Исследовано затухание поперечной волны в диссипативном приближении, обусловленное эффектами, связанными с проводимостью, проницаемостью и электроакустической постоянной.

3. Доказано существование и единственность обобщенного решения краевой задачи магнитопороупругости в частотной области.

4. Численно решена в частотной области задача магнитопороупругости на основе МКЭ в случае возбуждения магнитоупругих SH-волн в идеально проводящей пористой среде.

5. Показано существование характерной частоты для осесимметрической задачи, при которой измеренные амплитуды скоростей смещений матрицы на устье скважины совпадают и принимают меньшее значение по сравнению с плоским случаем.

6. Исследована задача распространения сейсмомагнитных волн в насыщенной электролитом пористой среде.

7. Решена задача магнитоакустического отклика пористой насыщенной электролитом среды на электромагнитное воздействие со скважины конечного радиуса.

8. Предложена технологическая схема скважинного измерения электропроводности и проницаемости насыщенной электролитом формации.

Практическая значимость Результаты диссертационной работы могут быть использованы в разработке сложных современных технологических схем, используемых в геофизических исследованиях скважин нефтегазовой промышленности.

Методология и методы исследования. Теоретическое и численное моделирование в насыщенных электролитом пористых средах проводилось в рамках стандартной технологии математического моделирования: построение математической модели, ее анализ, создание алгоритма, проведение численных расчетов. В диссертационной работе использовались методы механики сплошных сред, термодинамики, электродинамики, математической физики и вычислительной математики. При исследовании волн Лява в слоистом пористом полупространстве использовался метод разделения переменных. При исследовании вопросов корректности краевой задачи магнитопороупругости в частотной области был использован метод Рисса-Фредгольма. Численное решение проведено на основе метода конечных элементов. При численном решении нестационарной начально-краевой задачи магнитопороупругости был использован метод интегральных преобразований Лагерра по времени и метод конечных разностей по радиальной переменной.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Показано возбуждение магнитоупругих SH-волн в полубесконечной идеально проводящей пористой среде, имеющей поверхностный слой. Показано, что внешнее постоянное магнитное поле может вызвать такие волны даже там, где они отсутствуют в идеально-пористой среде.

2. Доказано существование и единственность обобщенного решения краевой задачи магнитопороупругости в частотной области. Численно решена в частотной области осесимметрическая задача магнитопороупругости на основе МКЭ в случае возбуждения магнитоупругих SH-волн в идеально проводящей пористой среде.

3. Исследована задача распространения сейсмомагнитных волн в насыщенной электролитом пористой среде с учетом обсадной колонны. Решена задача магнитоакустического отклика насыщенной электролитом пористой среды на электромагнитное воздействие для скважины конечного радиуса.

4. Показано существование характерной частоты для осесимметрической задачи, при которой измеренные амплитуды скоростей смещений матрицы на устье скважины совпадают и принимают меньшее значение по сравнению с плоским случаем. Предложена технологическая схема измерения электропроводности и проницаемости насыщенной электролитом формации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

1. Наличием предельных переходов к известным односкоростным и плоским моделям.

2. Использованием методов исследования задач магнитопористости, корректным применением апробированного математического аппарата и численных методов решения соответствующих задач.

Материалы диссертации обсуждались и получили одобрение на всероссийских и международных конференциях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. The Republic scientific conference with participation foreign scientists Modern Problems of Dynamical Systems and Their Applications, 2017, Tashkent.

2. Интерэкспо ГЕО-Сибирь. XI Междунар. науч. конгр., Новосибирск: Междунар. науч. конф. "Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды, геоэкология", в 2017, 2018 годах.

3. Конференция молодых ученых ИВМиМГ СО РАН в 2015, 2016, 2017, 2023 годах.

4. Республиканская научная конференция с участием зарубежных ученых «Актуальные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения», 2017, Ташкент.

5. Семинары лаборатории численного моделирования сейсмических полей ИВМиМГ СО РАН, лаборатории моделирования динамики эндогенных и техногенных процессов ИГМ СО РАН, лаборатории дифференциальных уравнений и смежных вопросов анализа ИМ СО РАН, лаборатории вычислительных проблем задач математической физики ИМ СО РАН, лаборатории фильтрации ИГиЛ СО РАН.

Личный вклад. Автор принимал активное участие на всех этапах работ. Получил систему дифференциальных уравнений магнитопористости в диссипативном приближении с учетом проницаемости, проводимости и электроакустической постоянной, для осесимметричного случая. Провел исследование вопросов корректности обобщенного решения краевой задачи магнитопористости в частотной области. Принимал участие в разработке алгоритма и численной реализации решения начально-краевой задачи магнитопористости. Провел исследование математической модели возбуждения волн типа Лява в насыщенной электролитом слоистой пористой среде. Показал существование характерной частоты, при которой измеренные амплитуды акустических поперечных волн на устье скважины совпадают и принимают меньшее по сравнению с плоским случаем значение. Предложил технологическую схему измерения электропроводности и проницаемости насыщенной электролитом формации.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 -в тезисах докладов.

Благодарности научному руководителю к.ф.-м.н. А.А. Михайлову, за помощь в численной реализации нестационарной задачи магнитопористости;

соавтору д.ф.-м.н. М. В. Уреву, обеспечившему законченность исследований задач магнитопористости в частотной области; д.ф.-м.н. В.Н. Доровскому, поддержавшему исследования электроакустических эффектов в теории магнитопористости; к.ф.-м.н. Ю.В. Перепечко, за множественные обсуждения проблем, затронутых в диссертации; а также сотрудникам лаборатории численного моделирования сейсмических полей ИВМиМГ СО РАН и лаборатории моделирования динамики эндогенных и техногенных процессов ИГМ СО РАН за всесторонний анализ работы на рабочих семинарах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, приложения. Полный объём диссертации составляет 92 страницы, включая 22 рисунка. Список литературы содержит 55 наименований.

Глава 1. Динамические уравнения для модели движения проводящей жидкости в пористой среде

В данной главе, следуя [27, 28, 30] приводится квазилинейная система уравнений Максвелла и уравнений континуальной теории фильтрации, как в бездиссипативном, так и в диссипативном гидродинамическом приближении.

1.1 Динамические уравнения магнитопороупругости в обратимом

приближении

Произвольная частица насыщенной жидкостью упругой пористой среды представляется локально сосуществующими, взаимно проникающими проводящими подсистемами. Введем в рассмотрение две локально заданные вектор-функции:

и - скорость движения проводящей упругой пористой среды с парциальной плотностью р5 и проводимостью о,,;

V - скорость движения проводящей жидкости, заполняющей пористую среду с парциальной плотностью р и проводимостью .

Локально композиционный элемент системы в целом характеризуется энтропией единицы объема £, плотностью Р, температурой Т, давлением р, химическим потенциалом р, метрическим тензором упругой деформации , энергией единицы объема е, напряженностью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В, отнесенными ко всему локальному элементу континуума.

Первое начало термодинамики сформулируем в системе отсчета, связанной с покоем проводящей жидкой подсистемы. Пометив индексом "0" величины, относящиеся к указанной системе, имеем термодинамическое тождество:

1 ( В ^ ( Е ^ = ТёБ + рйр + (и - V, ) + — + —, <¿8 + —, дЕ . (1.1.1)

2 V 1 V 1

С т? Л

V4Л 1

V4Л 1

где

]о= Р* (и _ V) - плотность относительного импульса;

е0 - внутренняя энергия единицы объема насыщенной пористой среды. Первые два члена соответствуют термодинамическому соотношению для дифференциала энергии неподвижной жидкости при постоянном объеме. Третье слагаемое выражает тот факт, что относительная скорость есть производная энергии по относительному импульсу [31]. Четвертое слагаемое представляет собой энергию упругой деформации. Последние два слагаемых есть электромагнитная энергия.

Плотность континуума является аддитивной функцией парциальных плотностей подсистем:

Р = Р* +Р1 •

Для нее выполняется закон сохранения массы:

ддР + йщ = 0, (1.1.2)

дг

] = ри + р\.

В обратимом приближении должна сохраняться энтропия системы. Имея в

Б .

виду, что поток энтропии равен ~ ] [13], напишем уравнение сохранения

энтропии в виде:

дБ ^ +

— ]

уР у

= 0.

(1.1.3)

дг

Деформацию пористого пространства, следуя [32, 33], опишем уравнением для метрического тензора деформации gik:

^ + gкi дiUj + gijд ки] + д у

gk1 д,и, + gjдки, + и,д ^кк = 0

(1.1.4)

р*=^ (gik) •

Последнее соотношение связывает парциальную плотность упруго-деформируемого континуума с определителем метрического тензора деформации

При наличии электромагнитного поля в правую часть закона сохранения импульса следует добавить силу Лоренца:

д! 1

!+дкпк = - [I в]., (1.1.5)

П = РэЧЩ +р V ^ + Р$к + §!к • Одновременно в уравнение движения проводящей жидкости следует включить электромагнитную силу £

^ + ( V, V) V = -Ум - ^ УТ + Г (1.1.6)

Кроме того, для проводящего континуума должны выполняться уравнения Максвелла в СГС:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Имомназаров Шерзад Холматжонович, 2025 год

источнике:

кг

/т = / (г) е"2 Ц: (кг) й (кг),

где Ц -ортонормированные полиномы Лагерра. Далее вычисляем коэффициенты разложения по Лагерру для функции /(г + Т0), используя аналитическую формулу для плоской волны, приходящей в момент времени То:

/ = Т/тЦ-т (кТ ) - ЪЛт-1 (кТ ) .

т=0 т=0

Здесь Ц -ортонормированные полиномы Лагерра нулевого порядка. Анализируя сходимость, вычисленных таким образом, коэффициентов /, можно найти требуемое количество гармоник для восстановления волнового поля в заданный момент времени Т .

2. Задаются значения плотностей и скоростей распостранения упругих колебаний р1, се, с( в узлах равномерной сетки с шагом Аг по пространственной координате г.

3. Для аппроксимации производных на равномерной сетке с шагом Аг со вторым порядком точности используются центральныне разности вида:

й2п щ - 2щ + п_х йг 2 Аг 2

о

du щ - u_x dr 2Ar

На основе данной апроксимации записывется система алгебраических уравнений:

AaW(m) = F(m-1),

где

ЛА - 18-ти диагональная ленточная матрица. Главная диагональ матрицы ЛА :

Л = diag | ^ + a (1) h + a2 (1) + a3 о)+ a4 (1)+ a5 i1)+ a6 i1 )J

i = 1,...,K . Вектор решения системы:

W(m) = (V, (m),V2 (m),...,VK (mjf, Вектор правой части системы:

( т—1 т—1 т—1 т—1 т—1 т—1 ЛТ

Ъ (т)= И2^(т — п)и^,к2^{т — п^-И^-И^-И^-И^ ,

V и=0 и=0 и=0 и=0 и=0 и=0 У

4. Для решения системы алгебраических уравнений используется метод сопряженных градиентов. Рекуррентные формулы метода сопряженных градиентов для искомого приближенного решения хп решения системы Ах = Ь имеют вид:

хп+1 = хп + ап (хп — хп—1 ) + Рп( Ахп — Ь),

где

ап = Рп°п—1 > —1

ßn =

,Т-П I ,-,-П

°n + °n-\

a (Jk определяются по формуле:

( A ( Axn-b ) ,Axn-b ) ^ = (Axk - b, Axk - b) '

Данный алгоритм позволяет учитывать ленточную структуру матрицы A. Скорость сходимости метода зависит от обусловленности этой матрицы. В используемом алгоритме хорошая обусловленность матрицы системы достигается путём располажения параметра преобразования Лагерра h на главной диагонали матрицы.

5. Воспользовавшись формулами обращения преобразований Лагерра:

_^ оо |

W{rj) = СhtyХ--—Wm{r)Ll{ht\

m=o (m + а)\

получим искомые значения функции компонент волнового поля:

%( r,t) ,UZ ( r,t) ,vv( r,t) ,vz (r,t) ,BV( r,t) ,Bz (r,t).