Матричные преобразования и вещественный метод интерполяции для операторных пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Беломытцева, Елена Геннадьевна

• Беломытцева, Елена Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беломытцева, Елена Геннадьевна

Введение

I. Мультипликаторы в пространствах матриц

1.1. Вспомогательные определения.

1.2. Преобразование %р<г.

II. Вещественный метод интерполяции для пар алгебр Неймана

2.1. Вспомогательные определения.

2.2. Определение пар алгебр фон Неймана.

2.3. Примеры пар алгебр фон Неймана.

2.4. Структурная теорема для пар алгебр Неймана

2.5. ^-функционал.

2.6. Вычисление ^-функционала в паре {а42(#0)> а42(Я1)} •

2.7. Вычисление ^-функционала в паре {М^(Яо), М£2(Ях) }

2.8. Вычисление /('-функционала в паре модульных гомоморфизмов {Ьв(Но), Ьв(Н\)}.

2.9. Описание пространств (Ло, Л^в,р.

III. Вполне непрерывные продолжения неполных треугольных матриц

3.1. Расширение блок-матрицы 2 X 2 до вполне непрерывного оператора.

3.2. Случай конечных верхнетреугольных блок-матриц

3.3. Случай бесконечных блок-матриц.

3.4. Вычисление ^-функционала для пар пространств вполне непрерывных операторов {^(До), З^Щ)}

IV. Общая задача продолжения неполных матриц до вполне непрерывных операторов

4.1. Вспомогательные определения.

4.2. Теорема о вполне непрерывном продолжении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Матричные преобразования и вещественный метод интерполяции для операторных пространств»

Изучение пространств операторов и изучение свойств треугольных матриц взаимодействуют, по-видимому, с самого начала возникновения этих понятий в теории операторов. Один из важнейших результатов, касающийся этих объектов, - это знаменитая теорема В.И. Мацаева, доказавшего, что преобразование треугольного усечения действует во всех идеалах Неймана-Шаттена при 1 < р < оо. Этот результат был дополнен исследованием треугольных усечений в пространствах вблизи краев шкалы Бр, что привело к введению и изучению идеалов операторов, отличных от идеалов Неймана-Шаттена, аналогов функциональных пространств Лоренца и Мар-цинкевича. Преобразование треугольного усечения является частным случаем мультипликаторов Шура, которые подробно изучались в виде трансформаторов, задаваемых двойными операторными интегралами в работах М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка (см., например обзор [14]). Содержательные результаты о подпространствах треугольных матриц в симметрично - нормированных идеалах были получены в работах Ж.Пизье (см., в частности [46]). В работах В.И. Овчинникова [31],[32],[33] было замечено, что при изучении интерполяции между пространствами операторов, действующих в разных гильбертовых пространствах естественно возникают подпространства треугольных матриц. С их помощью описываются пересечения пространств операторов, сумма и тому подобные преобразования пространств. Данная работа примыкает к указанному кругу задач.

Часть результатов относится к свойствам мультипликаторов Шура, близких к преобразованиям треугольного усечения. Как известно, для некоторых подмножеств индексов бесконечной матрицы, преобразование, определяемое умножением на характеристическую функцию этого подмножества, задает оператор неограниченный в классах Неймана-Шаттена. (Это означает, что такие пространства не являются функциональными решетками матриц см. [41].) Теорема Мацаева говорит о том, что умножение на характеристическую функцию множества индексов, определяющих верхнетреугольную часть матрицы, все же является ограниченным оператором во всех идеалах Неймана-Шаттена 5Р при 1 < р < оо. В первой главе данной диссертации найден довольно широкий класс подмножеств индексов таких, что умножение на характеристическую функцию этих подмножеств, определяет преобразование, действующее в идеалах Бр при 1 < р < оо, подобно теореме Мацаева. Это позволило, найти новые ограниченные мультипликаторы Шура в классах Бр.

Вторая глава посвящена развитию идеи В.И. Овчинникова о связи треугольных матриц и интерполяции в пространствах операторов, действующих в разных пространствах. Здесь найдена новая формула для ^-функционала в парах алгебр Неймана, действующих в различных гильбертовых пространствах. В результате удалось доказать, что пары "одинаковых" алгебр Неймана, действующие в разных гильбертовых пространствах оказываются К-подпарами пары, образованной всеми операторами, действующими в соответствующих пространствах. Это, в свою очередь, позволяет описать пространства Лионса-Петре, построенные на паре алгебр Неймана.

В третьей главе результаты о расширении треугольных матриц применяются для изучения пары пространств вполне непрерывных операторов, действующих в разных гильбертовых пространствах. Здесь так же, как и в случае пары алгебр Неймана, оказалось, что пара вполне непрерывных операторов является /Г-подпарой пары ограниченных операторов. Для доказательства этого факта пришлось обобщить результаты С. Пэрротта (см.[45]) и В. Арвесона (см. [36]) о вполне непрерывном расширении треугольных матриц.

В четвертой главе найдено как необходимое так, и достаточное условие существования ограниченного и вполне непрерывного продолжения для специального класса неполных матриц, значительно расширяющих класс треугольных неполных матриц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беломытцева, Елена Геннадьевна, 2010 год

1. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман - М. : Наука, 1966. -443 с.

2. Беломытцева Е.Г. Обобщение теоремы Мацаева о мультипликаторах / Е.Г. Беломытцева // Современные методы теории функций и смежные проблемы : Воронежская зимняя мат. шк. Тез. докл. Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 40-41.

3. Беломытцева Е.Г. О мультипликаторах в пространствах матриц /Е.Г. Беломытцева / / Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж : Воронеж, гос. пед. ун-т, 2001. - С. 6-13.

4. Беломытцева Е.Г. О /Г-функционале в парах алгебр фон Неймана / Е.Г. Беломытцева // Труды молодых ученых физико-математического факультета : Межвуз. сб. тр. Курск, 2001. -С. 21-30.

5. Беломытцева Е.Г. Вычисление /^-функционала в паре алгебр фон Неймана / Е.Г. Беломытцева // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения XII": Воронежская весенняя мат. шк. Тез. докл. - Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 18-19.

6. Беломытцева Е.Г. Вещественный метод интерполяции для пар алгебр Неймана / Е.Г. Беломытцева, В.И. Овчинников // Труды математического факультета. Воронеж : ВорГУ, 2001. - Вып. 5. - С. 10-23.

7. Беломытцева Е.Г. О парах алгебр Неймана / Б.Г.Беломытцева, В.И.Овчинников // Воронежская зимняя математическая школа-2002. Воронеж : ВорГУ, 2002. - С. 7-8.

8. Беломытцева Е.Г. Вполне непрерывные продолжения подматриц / Е.Г. Беломытцева // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2003.- С. 20-28.

9. Беломытцева Е.Г. Расширение матриц / Е.Г. Беломытцева // Воронежская зимняя мат. шк. 2004. - Воронеж : ВорГУ, 2004. - С. 23-24.

10. Беломытцева Е.Г. О продолжении неполных матриц до вполне непрерывных операторов в 12 / Е.Г. Беломытцева // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней мат. шк. "Понтрягинские чтения XX". - Воронеж : ВГУ, 2009. - С. 22-23.

11. Беломытцева Е.Г. О продолжении неполных матриц до вполне непрерывных операторов / Е.Г. Беломытцева // Математические заметки. 2010. - Т. 87, N 3.- 0. 453-455.

12. Берг Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лёфстрём. М. : Мир, 1980 - 264 с.

13. Бирман М.Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк Л. : ЛГУ, 1980. - 264 с.

14. Бирман М.Ш. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов / М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк // Успехи математических наук. 1977. - Т. 32. - Вып. 1(193). - С. 17-84.

15. Браттели У. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика / У. Браттели, Д. Робинсон. М. : Мир, 1982. - 512 с.

16. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1965. - 448 с.

17. Гохберг И.Ц Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1967. - 448 с.

18. ДанфордН. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М. : Иностр. лит,-1962. - 563 с.

19. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. / Ж. Диксмье. -М. : Наука, 1974. 399 с.

20. Дмитриев В.И. Основы теории интерполяции линейных операторов / В.И. Дмитриев, С.Г. Крейн, В.И. Овчинников // Геометрия линейных пространств и теория операторов. Ярославль : ЯрГУ, 1977. - С.31-74

21. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семёнов. М. : Наука, 1978. - 400 с.

22. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн. М. : Наука, 1977. - 367 с.

23. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В.Б. Лидский // ДАН СССР. 1958. - Т. 125,- N 3.- С. 485-488.

24. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

25. Мацаев В.И. О вольтеровых операторах, получаемых возмущением самосопряженных / В.И. Мацаев // ДАН СССР. 1961. -Т. 139, - N 4. - С. 810-814.

26. Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Мерфи. -М. : Факториал, 1997. 336 с.

27. Наймарк М.А. Нормированные кольца / М.А. Наймарк. М. : Наука, 1968. - 664 с.

28. Овчинников В.И. Когерентно ядерные операторы в парах гильбертовых пространств / В.И. Овчинников // Математические заметки. 1998. - Т. 63, N 6.-0. 866-872.

29. Овчинников В.И. Интерполяция операторов класса Зр в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки. 1980. - Т. 27, N 2.-0. 273-282.

30. Овчинников В.И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В.И. Овчинников // Функциональный анализ и его приложения. 1994. - Т. 28, N 3. - С. 80-82.

31. Овчинников В.И. Расширение подматриц и некоммутативное пространство ВМО / В.И. Овчинников // Труды математического факультета. Воронеж : ВорГУ, 1999. - Вып. 4. - С. 72-77.

32. Овчинников В.И. Некоммутативные пространства ВМО, когерентная ядерность и ограниченные расширения матриц / В.И. Овчинников // Докл. РАН. 1998. - Т. 363, N 1. - С. 17-19.

33. Овчинников В.И. Некоммутативные аналоги пространств гладких функций / В.И. Овчинников // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ : Междунар. конф., Москва, 27 апреля-3 мая 1995. - С. 208-209

34. Овчинников В.И. Оптимальная интерполяционная теорема для квазибанаховых пространств 1р с весами и для операторов из классов Неймана Шаттена в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки. - 1993. - Т. 53, N 2. - С. 94-99.

35. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. М. : Изд-во иностр. лит., 1962. - 829 с.

36. Arveson W. Interpolation problems in nest algebras / W. Arveson // Journal of Functional Analysis. 1975. - Vol. 20. - P. 208-233.

37. Brudnyi Ju.A. Interpolation Functors and Interpolation Spaces / Ju.A. Brudnyi, N.Ya. Krugliak. Amsterdam : North Holland., 1991. - 632 p.

38. Davidson K.R. Nest algebras / K.R. Davidson London : Longman Sci. and Techn., 1988. - 411 p.

39. Dodds P.G. Lipschitz continuity of the absolute value and Riesz projection in symmetric operator spaces / P.G. Dodds, T.K. Dodds, B. Pagter, F.A. Sukochev // Journal of Functional Analysis. 1997. - Vol. 148. - P. 28-69.

40. Dodds P.G. Lipschitz continuty of the absolute value in preduals of semifinite factors / P.G. Dodds, T.K. Dodds, B. Pagter, F.A. Sukochev // Journal of Functional Analysis. 1997. - Vol. 148. - P. 1-35.

41. Kwapien S. The main triangle projection in matrix spaces and its application / S. Kwapien, A. Pelczynski // Studia Mathematica. -1970. Vol. 34. - P. 43-68.

42. Lewis D.R. An isomorphic charecterization of the Schmidt class / D.R. Lewis // Compositio Mathematica. 1975. - Vol.30. - N 3. -P. 293-297.

43. Nehari Z. On bounded bilinear forms / Z. Nehari // Annals of Mathematics. 1957. - Vol. 65. - P. 153-162.

44. Ovchinnikov V.l. Lions-Peetre Construction for Couples of Operator Spaces / V.l. Ovchinnikov // Russian Journal of Mathematical Physics. 1995. - Vol. 3. - P. 407-410.

45. Parrott S. On a quotient norm and the Sz.-Nagy-Foias lifting Theorem / S. Parrott // Journal of Functional Analysis. ~ 1978. Vol. 30. - P. 311-328.

46. Pisier G. Interpolation between Hp spaces and non-commutive generalization I / G. Pisier // Pacific Journal of Mathematics. -1992. Vol. 155. - N 2. - P. 441-468.