Метод контрольного объема на неструктурированной сетке для моделирования гидродинамических процессов и распространения радиоволн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Фирсов, Дмитрий Константинович

• Фирсов, Дмитрий Константинович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Фирсов, Дмитрий Константинович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД КОНТРОЛЬНЫХ ОБЪЕМОВ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННОЙ СЕТКЕ

§1.1. Преимущества метода контрольных объемов

§ 1.2. Неструктурированная сетка и сеточные генераторы

п. 1.1.1. Описание элементов, вычисление площадей граней и объёмов

п. 1.1.2. Представление сетки в теле программы

§ 1.3. Форма конечного объёма и осреднённые значения

§ 1.4. Обобщение метода контрольных объёмов на суперэлементные методы высокого порядка

§ 1.5. Параллельные вычисления уравнений в частных производных

п. 1.5.1. Алгоритм параллелизации на ЭВМ с распределенной памятью

п. 1.5.2. Алгоритм параллелизации на многопроцессорной ЭВМ

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНТРОЛЬНЫХ ОБЪЁМОВ К УРАВНЕНИЯМ

НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

§ 2.1. Аппроксимация операторов градиента и дивергенции

§ 2.2. Локальная интерполяция MUSCL второго порядка точности

§ 2.3. Аппроксимация диффузии

§ 2.4. Аппроксимация конвекции

§ 2.5. Аппроксимации высокого порядка точности

п. 2.5.1. Построение шаблона схемы высокого порядка точности

п. 2.5.2. Выбор весов для элементов интерполяционного полинома

п. 2.5.3. Использование интерполяции высокого порядка точности

§ 2.6. Построение и решение системы линейных алгебраических уравнений

п. 2.6.1. Построение СЛАУ из аппроксимации уравнения Пуассона

п. 2.6.2. Матрицы аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях Навъе-

Стокса

§ 2.7. Решение полученной системы алгебраических уравнений

п. 2.7.1. Матрица системы уравнений

п. 2.7.2. Итерационный метод решения системы уравнений (2.55)

п. 2.7.3. Процедура SIMPLE

п. 2.7.4. Понятие разреженной матрицы

п. 2.7.5. Итерационные методы для решения систем линейных уравнений

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНТРОЛЬНЫХ ОБЪЕМОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛ А

§ 3.1. Метод контрольного объема для векторных законов сохранения

§ 3.2. Законы сохранения в теории электромагнетизма

п. 3.2.1. Грань между элементами имеющими разные электрофизические свойства

п. 3.2.2. Случай грани на поверхности идеального проводника

§ 3.3. Отраженное электромагнитное поле

п. 3.3.1. Отраженное электромагнитное поле в диэлектриках

п. 3.3.2. Отраженное поле на поверхности совершенного проводника

§ 3.4. Альтернативная форма записи уравнений Максвелла

п. 3.4.1. Отраженное магнитное поле

§ 3.5. Моделирование источников электромагнитного излучения

п. 3.5.1. Моделирование тонких проводов для метода контрольных объёмов

п. 3.5.2. Противопоточная аппроксимация телеграфных уравнений

п. 3.5.3. Оконечные колебательные контуры на концах телеграфных уравнений

§ 3.6. Граничные условия для уравнений Максвелла в задачах электромагнетизма

п. 3.6.1. Поглощающие граничные условия

п. 3.6.2. Граничные условия Лиао [70,71]

Экстраполяционная схема Лиао

Обобщённая интерполяционная формула для граничных условий

п. 3.6.3. Граничные условия, основанные на интегральных уравнениях

Быстрый расчет интегральных уравнений

ГЛАВА 4. СВЯЗЬ МЕТОДА КОНТРОЛЬНЫХ ОБЪЁМОВ И МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

§4.1. Некоторые сведения из теории разностных схем

§ 4.2. Взаимосвязь метода конечных разностей и метода контрольных объёмов

§ 4.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений Навье - Стокса

п. 4.3.1. Система определяющих уравнений

п. 4.3.2. Неявная конечно-разностная аппроксимация уравнений движения

п. 4.3.3. Обратимость матрицы 2

п. 4.3.4. Дискретизация конвективной части

§ 4.4. Новый способ дискретизации уравнений Навье - Стокса, основанный на алгебраическом

разложении решения

п. 4.4.1. Способ построения решения на основе разложения давления

§ 4.5. Применение метода конечных разностей к восстановлению изображений

ГЛАВА 5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ЯВНЫХ СХЕМ НА ОСНОВЕ КОНТРОЛЬНЫХ ОБЪЁМОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

§ 5.1. Существующие критерии устойчивости и понятие энергетической нормы

§ 5.2. Шаг по времени в терминах энергетической нормы

§ 5.3. Шаг по времени для метода контрольных объёмов для уравнений Максвелла

п. 5.3.1. Схема первого порядка точности для уравнений Максвелла

п. 5.3.2. Выражения для максимальной энергии

п. 5.3.3. Оптимальный способ вычисления критерия устойчивости

п. 5.3.4. Критерий устойчивости для схем высокого порядка точности

п. 5.3.5. Численные эксперименты

§ 5.4. Явные схемы интегрирования по времени

п. 5.4.1. Предиктор-корректор

п. 5.4.2. Схемы Рунге-Кутта для интегрирования по времени

§ 5.5. Явные схемы с локальным шагом по времени

п. 5.5.1. Согласованные шаги по времени, набранные по степеням двойки

п. 5.5.2. Произвольные согласования в шагах по времени

п. 5.5.3. Некоторые аспекты реализации локальных шагов по времени

п. 5.5.4. Оптимизация выбора локальных шагов по времени

ГЛАВА 6. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ МЕТОДА КОНТРОЛЬНЫХ ОБЪЁМОВ

§6.1. Течение в каверне

п. 6.1.1. Описание численного эксперимента

п. 6.1.2. Описание полученных результатов

§ 6.2. Течение в каверне с вырезанной фигурой произвольной формы

п. 6.2.1. Описание численного эксперимента

п. 6.2.2. Описание полученных результатов

§ 6.3. Течение в канале с уступом

п. 6.3.1. Описание численного эксперимента

п. 6.3.2. Описание полученных результатов

§ 6.4. Обтекание полуцилиндра в канале

п. 6.4.1. Описание численного эксперимента

п. 6.4.2. Описание полученных результатов

§ 6.5. Течение в области произвольной формы

§ 6.6. Расчет движения проводящей жидкости методом конечных разностей под воздействием

магнитного поля

§ 6.7. Расчет уравнений Максвелла, модель точечного электрического диполя

§ 6.8. Расчет отраженного поля от объектов

п. 6.8.1. Отражение от металлической сферы

п. 6.8.2. Отражение от диэлектрического проводящего куба

§ 6.9. Численные эксперименты с различными граничными условиями для уравнений Максвелла

п. 6.9.1. Отражение от металлической сферы, заключенной в кубическую расчетную

область

п. 6.9.2. Отражение от двух кубических металлических объектов

§ 6.10. Расчеты движения электромагнитного поля на основе моделей тонких проводов

п. 6.10.1. Моделирование антенны штырь и антенны диполь

п. 6.10.2. Расчет резонансных частот для металлического резонатора

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод контрольного объема на неструктурированной сетке для моделирования гидродинамических процессов и распространения радиоволн»

Введение

Многие физические процессы, такие как движение газов, жидкостей, распространение радиоволн, могут быть описаны уравнениями в частных производных. Наряду с этим, реальные инженерные задачи требуют физических расчетов в областях сложной геометрической формы, поэтому при моделировании физических процессов в различных устройствах особое предпочтение отдается численным методам, построенным на неструктурированных сетках. Именно по этой причине такие численные методы для расчета распространения радиоволн и движения токопроводящих, ионизированных сред широко используются при моделировании гиперзвуковых летательных аппаратов и каналов плазменных ускорителей [1-9], а также задач о расчете электрической дуги [10]. Диссертационная работа посвящена обобщению подходов применяемых для аппроксимирования уравнений Навье-Стокса, применяемых для описания движения жидкостей и газов, на уравнения Максвелла, что актуально при решении задач магнитогидродинамики, когда необходимо применять единые аппроксимационные методы.

Набор численных методов для уравнений Максвелла имеет свою специфику и многие методы, применимые для расчета движения сплошных сред не применяются для расчета уравнений Максвелла. Более того, многие численные методы для моделирования распространения радиоволн основаны на интегральных уравнениях и позволяют рассчитывать задачи только лишь для отдельной частоты, что не является приемлемым для расчета движения токопроводящих сред в магнитном поле. Именно поэтому возникает необходимость обобщения численных методов, предназначенных для расчета движения жидкостей и газов на задачи о распространении радиоволн. Более того, многие численные методы для моделирования движения радиоволн основаны на полуаналитических соотношениях, не обобщаемых на задачи о движении жидкостей и газов. Одним из важных приложений численных методов к расчету уравнений Максвелла является получение форм электромагнитного поля, оптимально распространяющегося через волноводы определенной формы. Если в 60х годах двадцатого века для расчета волноводов требовалось использовать полуаналитические численные решения [11], специфичные для каждой из задач, то в настоящее время в связи с прогрессом в численных алгоритмах расчета уравнений в частных производных можно получать численные решения для таких задач на основе более универсальных численных методов. Последние достижения в методах расчетов на нерегулярной сетке позволяют моделировать, в том числе и сложные приборы, такие как антенны сотовых телефонов и оборудование сопряжения с ними [12-17]. К примерам таких задач относятся [11,18,19] в которых приведены полуаналитиче-

5

ские решения задач о распространения радиоволн в волноводах. В настоящее время для получения подобных результатов доступны сверхмощные ЭВМ с использованием которых можно численно найти все собственные значения и вектора аппроксимированных операторов уравнений в частных производных, получая тем самым решения задачи о распространении радиоволн в волноводах и сопряженных устройствах. В результате подбор волноводов с оптимальными параметрами для проектируемых устройств становится проще и нагляднее.

Примерами таких задач служат резонирующие антенные комплексы, такие как [20,21], для расчета которых часто используются алгоритмы основанные на вычислении характеристик распределения радиоволн одной характерной частоты [22]. Последние алгоритмы зачастую используют интегральное уравнение, решаемое на поверхности устройства без использования объёмных сеток в которых для ускорения произведения матрицы аппроксимации интегрального уравнения на вектор используется идея быстрого преобразования Фурье с использованием предобуславливателя на псевдо Теплицевой матрице [173]. Анализ поведения приборов на основе алгоритмов, рассчитывающих распространение радиоволн для отдельных частот, требует проведения целой серии расчетов для каждой из гармоник. Однако, моделирование распространения радиоволн в нелинейных средах должно учитывать переизлучение энергии на некотором спектре частот, отличном от частот источника излучения, что делает расчёт и анализ таких проблем затруднительным. Использование временной зависимости для расчета компонент электромагнитных полей позволяет моделировать поведение нелинейных сред в широком диапазоне частот и для сигналов различной формы, что открывает возможность моделирования движения токопроводящих сред, модель движения которых описывается системой уравнений Максвелла для переменных, зависящих от времени, совместно с уравнениями Навье-Стокса. Последнее позволяет рассчитывать движение плазмы или электропроводящей жидкости под воздействием электромагнитных полей, что делает возможным моделирование сложных химических реакций, движения плазмы вокруг летательных аппаратов, магнетроны, магнитогидродинамические генераторы [176] и прочие современные устройства, используемые для создания наночастиц или пучков плазмы.

Одним из наиболее часто используемых методов решения уравнений в частных производных в инженерных приложениях, особенно уравнений Навье-Стокса, является метод контрольных объемов, важным достоинством которого является выполнение как локальных законов сохранения на каждом из расчетных элементов, так и глобальных законов сохранения во всей расчетной области. Выполнение таких законов чрезвычайно важно в задачах гидромеханики. Именно по этой причине, для расчёта мультифизических задач о движение токопроводящих сред в электромагнитном поле и не нарушения общности подхода к аппрокси-

мированию систем уравнений в частных производных важно изучить подходы к аппроксимированию уравнений Максвелла методом контрольных объёмов. Необходимо отметить, что применение метода контрольных объёмов к решению уравнений Максвелла не было в достаточной мере изучено и первые широко известные работы [62,65] по этому методу датируются 1999-2000 годами. Последнее связано в первую очередь с высокой диссипативностью метода контрольных объёмов. Тем не менее обобщение метода контрольных объёмов на уравнение Максвелла привело к необходимости изучения аппроксимации векторных законов сохранения и соответственно расширению набора аппроксимационных способов для решения мультифизических задач.

Уравнения Максвелла, записанные во временных переменных, подобны по своей структуре уравнениям Навье-Стокса для расчёта движения нестационарных сред [26]. При исследовании проблем связанных с движением жидкости и газа и воздействия их на обтекаемые ими твёрдые тела, рассматривается модель сплошной текучей вязкой среды, которая подчиняется уравнениям Навье-Стокса. Одна из простейших моделей гидродинамики - модель несжимаемой ньютоновской жидкости, которая при отсутствии воздействия внешних сил имеет вид:

|р(и,+ й'Уи)-цУ2н+ V р=0,

[У-и=0,

где р - давление, р - плотность, V - коэффициент кинематической вязкости, / - время, и -вектор скоростей.

Уравнения Навье-Стокса характеризуются тем, что содержат как линейные, так и нелинейные дифференциальные операторы, аппроксимационные матрицы которых имеют нетривиальную форму и требуют специальных численных процедур при их реализации в глобальной системе алгебраических уравнений.

Решение уравнений Навье-Стокса методом контрольных объёмов основано на применении скалярных законов сохранения, применяемых при аппроксимации дивергенции. В случае применения уравнений Максвелла дивергентные законы сохранения необходимо обобщить на векторные законы сохранения, используемые для аппроксимации уравнений Максвелла на основе оператора ротора, которые можно записать в виде:

UдlE-VxH+oE = -J, [ \хд,Н+^хЕ = 0,

где Е - электрическое поле, Н - магнитное поле, а - проводимость среды, е - электрическая проницаемость среды, - магнитная проницаемость среды. 3 - источниковый член. Дифференциальный оператор Ухф=го/(ф) есть ротор вектора ф . Так же обозначив через

7

0=еЕ вектор электрической индукции, а через В=\хН вектор магнитной индукции приведем закон Гаусса для электрического поля У-2)=4 лр - электрический заряд является источником электрической индукции и для магнитного поля V-!? =0 - отсутствие магнитных зарядов.

Учёт векторных законов сохранения особо важен при расчете мультифизических задач и позволяет рассматривать подходы к аппроксимированию систем уравнений в частных производных в более общем векторном виде, требующем применения матричных противопоточ-ных схем. Последнее позволяет более абстрактно взглянуть на проблему аппроксимации систем уравнений в частных производных и расширить аппроксимационый аппарат для метода контрольных объёмов.

Одной из мультифизических задач является моделирование движения токопроводящей жидкости под воздействием магнитного поля. Моделирование таких процессов важно, например, при расчете МГД электростанций и тока крови по кровеносным сосудам под воздействием электромагнитного поля. Движение таких жидкостей описываются системой уравнений [129]:

е5,£,-УхЯ=у\ цед1Н,+УхЕ=0,

■ у=а(Я-цеиХ#),

ц- Аи+Уу> = [Д.у ХН,

V и=0,

здесь под I1е будем понимать магнитную проницаемость среды. С целью упрощения уравнений Максвелла, записанных в полной формулировке на практике зачастую используются упрощенные уравнения, описывающие движение токопроводящей жидкости под воздействием стационарного электромагнитного поля:

д ф=У-(ихя0),

р[д,и+ «Vи)—[х-Д и+ Vр-)ХВ, у-и=0,

здесь у есть вектор плотности электрического тока. В работах [27,28] такая система уравнений решалась методом установления, раздельно по каждому физическому процессу, что приводит к неоправданному усложнению алгоритма и к длительным вычислениям. Поэтому, в данной работе были проведены исследования аппроксимации и решения полных уравнений Максвелла, которые позволили сформировать подходы к решению таких систем в с использованием векторных законов сохранения, одновременно для всех физических процессов.

Именно по этой причине важно иметь надежные численные схемы для моделирования уравнений Максвелла во временном диапазоне на неструктурированной сетке, на которой можно использовать те же самые подходы, что и для уравнений Навье-Стокса. Здесь следует отметить ещё раз, что аппроксимация уравнений Максвелла методом контрольных объёмов на неструктурированной сетке интересна тем, что является обобщением скалярных законов сохранения на векторные. За счет сложной структуры взаимодействия потоков электромагнитного поля на гранях расчетных элементов для уравнений Максвелла векторные законы сохранения записываются в виде матричной противопоточной схемы, основанной на разложении матрицы взаимодействия потоков на гранях расчетных элементов на две. Одна из матриц положительно определенна и учитывает влияние элемента на самого себя, а матрица, учитывающая влияние входящих потоков из соседнего элемента отрицательно определенная. Поскольку уравнения Максвелла являются линейными, то анализ их матриц потоков намного проще, чем анализ нелинейных уравнений, что позволяет сформировать набор подходов к анализу других линейных и нелинейных систем уравнений в частных производных.

Применение метода контрольных объёмов к уравнениям Максвелла уже обсуждалось в работах [62,65,108,109], но ни в одной из них не применялись схемы высокого порядка точности [37,68], которые широко используются для решения сложных задач в гидродинамике, требующих применения схем высокого порядка точности [177,178]. Несмотря на высокую диссипацию, характерную для метода контрольных объёмов, применение схем высокого порядка точности, в том числе и существенно неосциллирующих [37], для решения уравнений Максвелла даёт существенный прирост точности численного решения по отношению к аналитическому [68]. Использованный в работе уровень абстракции записи уравнений Максвелла позволяет применять схемы различного порядка точности и анализировать устойчивость явных схем, основанных на векторных законах сохранения.

Несмотря на то, что аппроксимацию уравнений Навье-Стокса можно проводить только лишь с использованием скалярных законов сохранения, их полная аппроксимация требует применения матричного анализа расчётной схемы. Матричный анализ расчетной схемы для уравнений Навье-Стокса, проведенный совместно с анализом уравнений Максвелла, позволяет описать основные способы исследования численных схем для уравнений в частных производных на неструктурированных сетках.

Метод контрольных объёмов позволяет использовать сеточные элементы с плоскими гранями для получения приемлемой точности, вплоть до схем третьего порядка точности (§ 1.4., стр. 30). Применение же метода конечных элементов и его вариаций, таких как метод спектральных элементов или метода на основе разрывного Галёркина [174,175] требует использо-

вания больших многоузловых криволинейных элементов, позволяющих описывать геометрию расчётных областей с высоким порядок точности. Последнее делает метод менее простым в использовании и приводит к большему количеству вычислений. По этой причине использование метода контрольных объёмов имеет больший смысл для задач до 3-го порядка точности включительно. Для достижения более высокой точности на минимальном числе узлов имеет смысл переходить к использованию спектральных базисных функций в методах на основе разрывного Галёркина [174,175].

Метод контрольных объёмов или интегро-интерполяционный метод в значительной мере связан с методом конечных разностей, и является обобщением полиномиальной интерполяции с одномерного случая, являющегося методом конечных разностей, на многомерный случай неструктурированной сетки. При этом для повышения качества расчетов используется интегральное соотношение Гаусса-Остроградского между уравнениями в частных производных и интегральными соотношениями потоков на гранях элементов. Последнее переносит весь вес интерполяции с центров элементов и численной аппроксимации производных в узловых точках в центрах элементов на интерполяционные соотношения потоков на гранях элементов. Из факта некорректности аппроксимации производных [136] мы фактически используем интегральные соотношения как одну из форм интерпретации аппроксимации производных численного решения на элементах неструктурированной сетки, накрывающей область решения, которая имеет больший физический смысл, чем обычная аппроксимация производных. В результате применения соотношения Гаусса-Острограцкого мы можем добиться выполнения законов сохранения, основанных на построении взаимоэквивалентных взаимодействий между соседними элементами. Более того, при применении метода контрольных объёмов, основные вычисления ведутся на основе осреднённых значений на элементах, что позволяет исключить высокочастотные колебания решения, и как результат стабилизировать аппроксимацию вокруг разрывов решения.

Поскольку уравнения Максвелла содержат лишь первые производные как по пространству так и по времени, то для их разрешения обычно применяются явные схемы, которые нуждаются в детальном исследовании критерия устойчивости. Критерий устойчивости для явных схем на структурированных сетках с использованием анализа фон Неймана [32] зачастую может быть получен аналитически в терминах геометрических параметров элементов и в общем выглядят как Д/ = С Р7Л , где С некоторая аналитическая константа, V объём элемента, а А общая площадь всех граней элемента. Попытка оценки устойчивости на неструктурированной сетке для векторных законов сохранения, в общем случае приводит к необходимости численных вычислений С . Тем не менее, для уравнений Максвелла, уже

были получены неплохие аналитические оценки шага по времени для явных схем [62,65] для которых С=1 и 2 соответственно. В настоящей работе проведен численный анализ критерия устойчивости, который был представлен в работе [63]. В результате был получен улучшенный критерий устойчивости для которого 2<С<3 в зависимости от геометрии расчетных элементов. Более того, для структурированной сетки, состоящей из кубических элементов численный результат ( С=3 ) полностью совпал с результатами применения критерия фон Неймана.

С целью проверки эффективности новой оценки шага по времени и схем высокого порядка точности был реализован численный алгоритм расчета уравнений Максвелла на неструктурированной сетке как с обычными поглощающими граничными условиями, так и с интегральными уравнениями в качестве граничных условий. Алгоритм имел точность аппроксимации вплоть до четвертого порядка точности по времени и пятого по пространству. Тем не менее, использование порядка точности выше третьего имеет смысл только лишь при применении спектральных базисных функций в численных схемах на основе методов конечных элементов.

Интегральные граничные условия использовались для учета взаимодействий, как между отдельными подобластями содержащими конструктивные элементы приборов, так и для возвращения энергии отраженных радиоволн в расчетную область. Несмотря на то, что для интегральных уравнений не использовались алгоритмы, ускоряющие счет, в работе приводится информация об основных способах ускорения расчета интегральных уравнений, записанных на двумерных плоскостях на примере алгоритма восстановления резкости цифровых фотографий.

Полученные численные алгоритмы расчета уравнений Навье-Стокса и уравнений Максвелла были применены к стандартному набору задач гидромеханики и электротехники. Численные результаты продемонстрировали высокую эффективность примененных численных схем.

Целью данной работы является обобщение метода контрольных объёмов, со скалярных законов сохранения на векторные, примененные к уравнениям Навье-Стокса и Максвелла, аппроксимированные на неструктурированной сетке. А также гибридизация с другими численными методами.

Для достижения поставленной пели были решены следующие задачи:

1. На основе метода контрольных объёмов созданы алгоритмы расчета уравнений Навье Стокса и Максвелла различных порядков точности.

2. Получен новый критерий устойчивости явных схем высокого порядка точности на основе векторных законов сохранения, записанных для уравнений Максвелла и проверен на различных задачах с использованием локальных шагов по времени.

3. Создан алгоритм расчета интегральных граничных условий для уравнений Максвелла. Интегральные уравнения применялись для обмена между изолированными частями объёмной сетки и получения надёжных граничных условий.

4. Созданы алгоритмы восстановления изображений на основе интегральных уравнений и уравнений в частных производных, раскрывающих основные подходы к аппроксимированию производных вокруг разрывов решения и способы применения интегральных уравнений.

Основные положения выносимые на защиту

1. Обобщен метод контрольного объёма высокого порядка точности на векторные законы сохранения, записанные на основе уравнений Максвелла.

2. С использованием уравнений Максвелла улучшен критерий устойчивости для явных схем на основе метода контрольного объёма, записанного для векторных законов сохранения, на неструктурированной сетке.

3. Получено обобщение принципа максимума для схем высокого порядка точности со скалярных законов сохранения на векторные. Принцип максимума позволяет использовать критерий устойчивости, полученный для схем первого порядка точности, при исследовании устойчивости схем высокого порядка точности.

4. На основе уравнений максвелла, для векторных законов сохранения предложен способ гибридизации метода контрольных объёмов с интегральными уравнениями на основе возвращения потоков электромагнитного излучения в расчетную область.

5. Предложен эффективный способ оценки обратного интегрального уравнения с быстро убывающим ядром.

Научная новизна: Работа посвящена обобщению метода контрольных объёмов на уравнения Максвелла, которые требуют применения векторных законов сохранения. За счет сложной структуры взаимодействия между электрическим и магнитным полями изучение таких аппроксимаций позволяет сформировать обобщенные подходы к аппроксимированию произвольных уравнений в частных производных, которые будут справедливы для широкого круга задач. В работе впервые применяется метод контрольных объёмов высокого порядка точности для уравнений Максвелла, обобщенный с задач гидродинамики. Приведён новый критерий устойчивости для уравнений Максвелла на неструктурированной сетке, который позволил получить результаты согласованные с результатами анализа фон Неймана на структури-

рованной сетке. Для сокращения объёма вычислений была проведена впервые гибридизация метода контрольных объёмов с интегральными уравнениями. Для существенного повышения скорости расчетов интегральных уравнений с быстро убывающим ядром был предложен эффективный способ оценки обратного оператора к интегральному. Был предложен способ оценки давления на твердых стенках для метода контрольных объёмов, примененного к расчету движения несжимаемой жидкости.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в возможности использовать метод контрольного объёма высокого порядка для систем уравнений в частных производных с использованием векторных законов сохранения. Для явных схем, аппроксимации систем уравнений в частных производных методом контрольного объёма на неструктурированной сетке получен новый критерий устойчивости, основанный на векторных законах сохранения, который позволяет получать для структурированной сетки тот же критерий устойчивости, что и для критерия фон Неймана. На примере уравнений Максвелла показана возможность использования гибридизации метода контрольного объёма с интегральными уравнениями, что позволяет значительно ускорить расчёты в областях значительных размеров. Найден способ существенного ускорения и повышения качества оценки обратного оператора к интегральному уравнению с существенным убыванием ядра, последний способ дал существенное ускорение и возрастание качества при восстановлении резкости изображений.

Достоверность результатов и выводов диссертационной работы обеспечивается строгостью используемых математических методов, непротиворечивостью результатов и выводов, их согласованностью с аналитическими решениями и результатами расчетов других авторов. Результаты применения схем высокого порядка тестировались на аналитических решениях и дали хорошие результаты. Новый критерий устойчивости для явных схем тестировался на схемах с локальными шагами по времени, что позволило получить устойчивость на практических задачах. Гибридизация интегральных уравнений с методом контрольных объёмов проверялась на примерах расчета обмена информацией как между изолированными подобластями так и на сплошной сетке, окружающей исследуемые объекты.

Использование результатов работы

Была разработана универсальная среда решения уравнений Максвелла на неструктурированной стеке, которая использовалась в Университете Манитобы для решения различных прикладных задач. Для Томского государственного университета было разработано учебное пособие [179], в котором приводится детальное описание алгоритма решения уравнений На-вье-Стокса методом контрольного объёма.

Апробация работы: Основные результаты работы докладывались в 18 докладах на 14 российски и международных конференциях:

1. «Механика летательных аппаратов» Томск 1999 г.,

2. "Вычислительные технологии-2000" Новосибирск 2000 г,

3. Конференция молодых ученых, посвященная 10 летию ИВТ СО РАН Новосибирск 2000 г.

4. Конференция посвященная 80-летию академика Н.Н. Яненко, Новосибирск 2001.

5. Международная конференция по Математике и Механике 16-18 Сентября 2003., Россия, Томск, Международная летняя школа молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления» 2-9 Июня 2002, Ростов-на-Дону,

6. XI Международный Симпозиум «Оптика Атмосферы и Океана, Оптика, Атмосферная физика» 23-26 Июня, 2004, Томск.

7. FACE, June 19-20, 2006, University of Victoria, Victoria, ВС, Canada.

8. 23rd Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics March 19-23, 2007 - Verona, Italy ACES.

9. CAIMS*SCMAI 2007 The annual meeting of the Canadian Applied and Industrial Mathematics Society, May 20-24 2007, Banff Center, Alberta, Canada.

10. Union Radio Scientific Internationale-URSI, Chicago, Illinois, USA on August 07-16, 2008, March 30 - April 4, 2008.

11. 24th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics - Niagara Falls, 2008, ACES.

12. ACES 2006, Miami, Florida March 12-16 20062, March 30 - April 4, 2008.

13. ICIAM 2011 — 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, July 18 - 22, 2011, Vancouver, ВС, Canada.

14. SIAM Conference on Computational Science and Engineering, February 28 - March 4, 2011, Grand Sierra Resort and Casino, USA.

Вклад автора: При получении результатов работы автором внесен основной вклад, заключающийся в создании численный алгоритмов, проведении математического анализа численных алгоритмов. А также автором работы была проведена существенная работа по математической формализации физических и инженерных постановок задач, использовавшихся для исследования численных схем. Основное направление инженерных и физических исследований для уравнений Максвелла было сформулировано Джузеппе Ло Ветри. Шу Хонг Люй сформулировал список проблем по восстановлению изображений, в результате работы над которыми были получены новые результаты по восстановлению поврежденных изображений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фирсов, Дмитрий Константинович, 2014 год

Литература

1 Козлов А.Н. Кинетика ионизации и рекомбинации в канале плазменного ускорителя. // Известия РАН, механика жидкости и газа. 2000, № 5, с. 181-188.

2 Козлов А.Н. Модель пристеночной проводимости в окрестности макронеоднородной зеркально отражающей поверхности. // Физика плазмы, 2002, т. 28, № 2, с. 180-187.

3 Козлов А.Н. Влияние продольного магнитного поля на эффект Холла в канале плазменного ускорителя. // Известия РАН, механика жидкости и газа, 2003, № 4, с. 165-175.

4 Козлов А.Н. Динамика вращающихся потоков в канале плазменного ускорителя с продольным магнитным полем. // Физика плазмы, 2006, т. 32, № 5, с. 413-422.

5 Kozlov A.N., Zaborov A.M. Formation of the current attachments in plasma accelerator channel under influence of the longitudinal magnetic field. // Problems of Atomic Science and Technology. Series: Plasma Physics, 2006, N 6, p. 138-140.

6 Морозов A.M., Козлов А.Н. Эффект самоочищения потока водородной плазмы в ускорителе КСПУ. // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества - 2007" под ред. Фортова В.Е. и др. Изд. ИПХФ РАН, Черноголовка, 2007, с. 316-319.

7 Козлов А.Н. Воздействие продольного магнитного поля на компрессионные потоки плазмы. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2007, № 87.

8 Kozlov A.N. Basis of the quasi-steady plasma accelerator theory in the presence of a longitudinal magnetic field. // J. Plasma Physics, 2008, vol. 74, part 2, p. 261-286.

9 Друкаренко С.П., Климов H.С., Козлов А.H., Москачева A.A., Подковыров B.JJ. Приэлек-тродные процессы в квазистационарном плазменном ускорителе (КСПУ) с продольным магнитным полем. // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества - 2008" под ред. Фортова В.Е. и др. Изд. ИПХФ РАН, Черноголовка, 2008, с. 262-265.

10 Э. Б. Кулумбаев, Т. Б. Никуличева, Метод расчета магнитного поля в магнитогидродинами-ческих моделях электрической дуги // Математическое моделирование 2012 год, том 24, номер 10, стр. 40-50.

11 А. С. Ильинский, А. Г. Свешников, "Методы исследования нерегулярных волноводов", Ж. вычисл. матем. и матем. Физ., 8:2 (1968), 363-373.

12 Григорьев А.Д., Салимое Р.В. Моделирование волновых электромагнитных полей методом векторных конечных элементов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. — 2005. Вып. 1,- С. 82-85.

13 Салимое Р. В. Встраивание сосредоточенных элементов и портов в векторный метод конечных элементов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2. С. 66-69.

14 Григорьев А. Д., Салимое Р. В., Тихонов Р. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенны сотового телефона различнымипрограммными средствами. // Труды конференции, посвященной Дню радио, Изд-во СПбГЭТУ, 2008, с. 28.

15 Григорьев А. Д., Салимое Р. В., Тихонов Р. И. Расчет поля и параметров антенн сотовых телефонов. // Материалы 8-й международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов: Изд-во СГТУ, 2008, с. 243 249.

16 Григорьев А. Д., Салимое Р. В., Тихонов Р. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенн сотовых телефонов.//. Материалы научн.-техн. семинара "Инновационные разработки в СВЧ технике и электронике". СПб.: Изд-во СПбГЭТУ, с. 16-17, 2008.

17 Григорьев А. Д., Салимое Р. В., Тихонов Р. И. Моделировние антенн сотовых телефонов методом векторных конечных элементов// Радиотехника и электроника, том 57, № 3, Март 2012, С. 261-270.

18 Э. А. Хорошева, Ю. Г. Смирнов Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. - 2006. -№5.-С. 106-114.

19 Э. А. Хорошева, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1. - С. 2-13.

20 F. Edelvik, G. Ledfelt, P. Lotstedt, D. J. Riley, "An Unconditionally Stable Subcell Model for Arbitrarily Oriented Thin Wires in the FETD Method," // IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. EMC-51, No 8, pp. 1797-1805, Aug. 2003.

21 F. Edelvik, "A New Technique for Accurate and Stable Modeling of Arbitrarily Oriented Thin Wires in the FDTD Method," // IEEE Trans. Electromagn. Compat., Vol. EMC-45, No. 2, pp. 416-423, May 2003.

22 Gibson, Walton C. "The Method of Moments in Electromagnetics," Chapman & Hall/CRC, 2008.

23 Бетяев С. К. Гидродинамика: проблемы и парадоксы // Успехи физ. Наук. Т. 165 № 3 С.299-329.

24 Бабенко К. И. Основы численного анализа // М.: Наука, 1986.

25 Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р., Вычислительная гидромеханика и теплообмен // М.: Мир, 1990, т. 1,2.

26 К. Флетчер Вычислительные методы в динамике жидкостей // М.: Мир, 1991, т. 1,2.

27 Бубенчиков A.M., Клевцова А.В., Фирсов Д.К. Приближение «узкого канала» для течения токопроводящей жидкости // Вестник Томского гос. ун-та. Бюл. опер. науч. инф. 2001. № 4. Численные методы в динамике вязкой жидкости. С. 53-63.

28 А. М. Бубенчиков, А. В. Клевцова, Д. К. Фирсов, "Течение проводящей жидкости в тонких трубках в поперечном магнитном поле", Матем. моделирование, Том 15, № 9 (2003), 7587.

29 А. М. Бубенчиков, А. В. Клевцова, С. Н. Харламов, "Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного поля", Матем. Моделирование, Том 16, № 3 (2004), 109-122.

30 Papanastasiou Т. С., Georgiou G. С., Alexandrou А. N. Viscous fluid flow // CRC Press LLC, 2000.

31 Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., and Zang T. A., Spectral Methods in Fluid Dynamics // Springer Verlag, Berlin, 1988.

32 J. G. Charney, R. Fjortoft, J. von Neumann, "Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation", Tellus 2, (1950), pp 237-254.

33 Walker J. S., Fast Fourier Transform // CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.

34 J. M. С Pereira, M. N. Kobayashi, J. C. F. Pereira. A Fourth-Order Accurate Finite Volume Compact Method for the Incompressible Navier-Stokes Solutions // Journal of Computational Physics, 2000, V.167, P.217-243.

35 M. Piller, E. Stalio. Finite-volume compact schemes on staggered grids // Journal of Computational Physics, xxx (2003) xxx-xxx (in press)

36 Jonathan Richard Shewchuk. Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation //Computational Geometry, 2002, V.22, P. 21-74.

37 Carl F. Ollivier-Gooch Quasi-ENO Schemes for Unstructured Meshes Based on Unlimited Data-Dependent Least-Squares Reconstruction, Journal of Computational Physics, Vol. 133 (1), 1997, pp 6-17.

38 X.-D. Liu, S. Osher, T. Chan, Weighted essentially non-oscillatory schemes// J. Comput. Phys. Vol. 115, 1994, p. 200.

39 G.-S. Jiang, C.-W. Shu, Efficient implementation of weighted ENO schemes//J. Comput. Phys. 126 ,1996, p. 202.

40 S. Wandzura, H. Xiao Symmetric Quarature Rules on a Triangle, Computers and Mathematics with Applictaions 45, (2003) pp 1829-1840.

41 Carl Ollivier-Gooch, Michael Van Altena A high-order-Accurate Unstructured Mesh Finite-Volume Scheme for the Advection-Diffusion Equation // Journal of Computational Physics, 2002, V. 181, P. 729-752.

42 Jeffrey A. Wright, Richard W. Smith. An Edge-Based Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations on Polygonal Meshes // Journal of Computational Physics, 2001, V. 169, P. 2443.

43 S. Yu. Sadov and P. N. Shivakumar and D. Firsov and S. H. Lui and R. Thulasiram, Mathematical Model of Ice Melting on Transmission Line, J. Math. Model. Algorithms, 2007, c. 273-286.

44 Dongjoo Kim, Haecheon Choi. A second order Time-Accurate Finite Volume Method for Unsteady Incompressible Flow on Hybrid Unstructured Grids // Journal of Computational Physics, 2000, V.162, P.411-428.

45 Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Численное исследование вихревых структур в прямоугольной каверне. Сборник статей «Вычислительная гидродинамика». Томск. 1999г. с.8-14.

46 Yong Zhao, Baili Zhang. A High-order characteristics upwind FV method for incompressible flow and heat transfer simulation on unstructured grids //Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2000, V.190, P.733-756.

47 N. K. Lambropoulos, D. G. Koubogiannis, К. C. Giannakoglou. Acceleration of a Navier-Stokes equation solver for unstructured grids using agglomeration multigrid and parallel processing // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 193, pp. 781-803, 2004.

48 Chin Hoe Tao, Yong Zhao. Parallel unsteady incompressible viscous flow computations using an unstructured multigrid method // Journal of Computational Physics, 2003, V. 192, P. 277-311.

49 С. T. Chan, K. Anastasiou. Solution of incompressible flows with or without a free surface using the finite volume method on unstructured triangular meshes // Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1999, V. 29, P. 35-57.

50 Sylvain Boivin, Florent Cayre, Jean-Marc Herard. A finite volume method to solve the Navier-Stokes equations for incompressible flows on unstructured meshes // Int. J. Therm. Sci., 2000, V.39, P. 806-825.

51 M. E. Hubbard Multidimensional Slope Limiters for MUSCL-Type Finite Volume Schemes on Unstructured Grids // Journal of Computational Physics, 1999, V.155, P.54-74.

52 Ji-Wen Wang, Ru-Xu Liu. A comparative study of finite volume methods on unstructured meshes for simulation of 2D shallow water wave problems. // Mathematics and Computers in Simulations. 2000. V.53. P.171-184.

53 С. Патанкар Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости // М. Энергоатомиздат, 1984.

54 С.М. Rhie, W.L. Chow Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation //AIAA Journal. 1983. V. 21. № 11. P. 1525-1532.

55 Yousef Saad Itertive Methods for Sparse Linear Systems 2000.

56 A. J. Baker Finite Element Computational Fluid Mechanics // Hemisphere Publishing Corporation, 1983, p.510.

57 J. Kim and P. Moin Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 1985, V. 59, № 308.

58 Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К., Котовщикова М.А. Численное решение плоских задач динамики вязкой жидкости методом контрольных объемов на треугольных сетках // Математическое Моделирование. 2007, Том 19, №6, с. 71-85.

59 D. С. Wan, В. S. V. Patnaik, and G. W. Wei Discrete Singular Convolution-Finite Subdomain Method for the Solution of Incompressible Viscous Flows // Journal of Computational Physics 2002, V. 180, p. 229-255.

60 Т. Г. Елизарова, В. В. Серегин Аппроксимация квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках // Вестник Московского Университета, серия 3. Физика. Астрономия, 2005. №4, с. 15-18.

61 В. F. Armaly, F. Durst, J. С. F. Pereira, and В. Schifnung Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow // J. Fluid Mech. 1983, V. 127, № 473.

62 P. Bonnet, X. Ferrieres, P.L. Michielsen, P. Klotz, "Finite Volume Time Domain Method," in Time Domain Electromagnetics, S.M. Rao (editor), Academic Press, San Diego, 1999.

63 D.K. Firsov and J. LoVetri, "New Stability Criterion for Unstructured Mesh Upwinding FVTD Schemes for Maxwell's Equations," ACES Journal, Vol. 23, No. 3, pp. 193-199, September 2008.

64 Д.К. Фирсов "Устойчивость явных схем решения уравнений Максвелла методом контрольных объёмов высокого порядка точности", (В печати).

65 S. Piperno, "L2-Stability of the upwind first order finite volume scheme for the Maxwell equations in two and three dimensions on arbitrary unstructured meshes", Mathematical Modeling and Numerical Analysis,Vol. 34, No. 1, pp. 139-158, 2000.

66 Dmitry K. Firsov, Ian Jeffrey, Joe LoVetri and Colin Gilmore "An Object Oriented Finite-Volume Time-Domain Computational Engine", ACES 2006, Miami, Florida March 12-16 2006.

67 Dmitry Firsov, Joe LoVetri, Ian Jeffrey, Vladimir Okhmatovskiy, and Walid Chamma "HighOrder FVTD on Unstructured Grids", ACES 2006, Miami, Florida March 12-16 2006.

68 D. Firsov, J. LoVetri, I. Jeffrey, V. Okhmatovski, C. Gilmore, W. Chamma,"High-Order FVTD on Unstructured Grids using an Object-Oriented Computational Engine", ACES Journal vol. 22, no. 1, pp. 71-82, March 2007.

69 C. Kaye, C. Gilmore, P. Mojabi, D. Firsov, J. LoVetri Development of a Resonant Chamber Microwave Tomography System //Ultra-Wideband, Short Pulse Electromagnetics 9, ISBN 9780-387-77844-0. Springer Science+BusinessMedia, LLC, 2010, p. 481-488.

70 Z.P. Liao, H.L. Wong, B.P. Yang, Y.F. Yuan, "A transmitting boundary for transient wave analyses," Scientia Sinica (Series A), vol. 27, no 10, pp. 1063-1076, October 1984.

71 R. L. Wagner, W. C. Chew, "An Analysis of Liao's Absorbing Boundary Condition," Technical Report: Department of Electrical and Computer Engineering, University of Illinois Urbana, IL.

72 R.W. Ziolkowski, N.K Madsen, and R.C. Carpenter, "Three-Dimensional Computer Modeling of Electromagnetic Fields: A Global Lookback Lattice Scheme," J. Comp. Phys., Vol. 50, pp. 360408, 1983.

73 P. Bonnet, X. Ferrieres, P.L. Michielsen, P. Klotz, "Finite Volume Time Domain Method," in Time Domain Electromagnetics, S.M. Rao (editor), Academic Press, San Diego, 1999.

74 Cameron J. Kaye, Dmitry Firsov, Ali M. Mehrabani, Lotfollah Shafai and Joe LoVetri, "Design of Low-Profile Wire Antennas Over an AMC Using FVTD», ACES 2008, Niagra Falls 2008.

75 R. Holland and L. Simpson, "Finite-difference analysis of EMP cou-pling to thin struts and wires," IEEE Trans. Electromagn. Compat., Vol. EMC-23, pp. 88-97, May 1981.

76 G.J. Burke, D.J. Steich, "Extension of a thin-wire algorithm for wires moved laterally within a mesh," Proc. 15th Annual Review of Progress in Applied Comp. Electromagn., Vol. 1, pp. 404411, 1999.

77 C.J. Railton, B.P. Koh, and I.J. Craddock, "The Treatment of Thin Wires in the FDTD Method Using a Weighted Residuals Approach," IEEE Trans, on Antennas and Prop., Vol. 52, No. 11, Nov. 2004.

78 B. Noll, Evaluation of a bounded high-resolution scheme for combustor flow computations AIAA J., vol. 30, No. 1, p.64 (1992).

79 H. Cheng, L. Greengard, V. Rokhlin, "A Fast Adaptive Multipole Algorithm in Three Dimensions", Journal of Computational PhysicsVolume 155, Issue 2, 1 November 1999, Pages 468-498.

80 D.K. Firsov , S.H. Lui "A fast deblurring algorithm'V/Applied Mathematics and Computation 183(1): pp 285-291 (2006).

81 R.H. Chan, T.F. Chan, C.K. Wong, Cosine transform based preconditioners for total variation deblurring, IEEE Trans. Image Proc. 8 (1999) 1472-1478.

82 C.R. Vogel, M.E. Oman, Fast, robust total variation-based reconstruction of noisy, blurred images, IEEE Trans. Image Proc. 7 (1998) 813-824.

83 Dmitry K. FirsovL Joe LoVetri and Vladimir Okhmatovski 'TVTD - Integral Equation Hybrid for Maxwell's Equations", FACE, June 19-20, 2006, University of Victoria, Victoria, BC, Canada.

84 D.K. Firsov and J. LoVetri, "FVTD—Integral Equation Hybrid for Maxwell's Equations," Int. J. of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields (Special Issue on Frontiers of Applied Computational Electromagnetics), vol. 21, no. 1-2, pp. 29-42, January-April 2008.

85 S. Gottlieb, C. W. Shu, E. Tadmor, "Strong Stability -Preserving High-Order Time Discretization Methods", SIAM Review, vol. 43, no. 1, pp. 89-112, 2001.

86 J. S. Hesthaven and T. Warburton, "Nodal High-Order Methods on Unstructured Grids", Journal of Computational Physics 181, 186-221 (2002).

87 A. Sankaranarayanan, "A Hamiltonian form of Maxwell's equations", Progress of Theoretical Physics, Vol. 43, No. 5, May 1970, pp 1204-1212.

199

88 JI. А. Алексеева, "Гамильтонова форма уравнений Максвелла и ее обобщенные решения",// Дифференциальные Уравнения, Т. 39 (2003). №6. с. 769-776.

89 Л. А. Алексеева, "Полевые аналоги законов ньютона для одной модели электро-гравимаг-нитного поля", Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1(11), том 6, 2009.

90 А. С. Лебедев, М. П. Федорук, О. В. Штырина, "Решение нестационарных уравнений Максвелла для сред с неоднородными свойствами методом конечных объемов", // Вычислительные технологии, Том 10, № 2, 2005, с. 60-72.

91 Э. 77. Шурина, М. Ю. Великая, М. 77. Федорук "Об алгоритмах решения уравнений Максвелла на неструктурированных сетках", // Вычислительные технологии, Том 5, № 6, 2000, с. 99-116.

92 Прокопъева Л.Ю., Шокин Ю.И., Лебедев A.C., Федорук М.П. "Параллельная реализация метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке" // Вычислительные технологии. - 2007. - Т. 12. - Вып: Спецвыпуск № 4. - с. 59-69.

93 Shokin Y.I., Fedoruk М.Р., Lebedev A.S., "Finite volume algorithm for non-stationary Maxwell equations on an unstructured grid" // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 2007. - Vol. 22. -No. 1. - p. 1-18.

94 А. С. Лебедев, M. 77. Федорук, О. В. Штырина, "Конечно-объемный алгоритм решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке", Ж. вычисл. матем. и матем. Физ., 46:7 (2006), с. 1286-1301.

95 Прокопъева Л.Ю., Федорук М.П., Лебедев A.C. "Параллельный алгоритм метода конечных объемов для решения трехмерных уравнений Максвелла в нанокомпозитных средах" // Вычислительные методы и программирование. - 2009. - Т. 10. - № 1. - С. 32-37.

96 Прокопъева Л.70., "Моделирование анизотропных метаматериалов с помощью параллельной реализации метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла", Вычислительные технологии, 2009, т. 14 №3 , с.58-68.

97 77. Б. Бахолдин, 77. 77. Козлов, А. 77. Кондратьева, "Численная методика решения уравнений Максвелла при наличии скачков электрофизических параметров среды", // Математическое Моделирование, 1996, Том 8 №4, с. 105-112.

98 77. Б. Бахолдин, 77. 77. Козлов, А. 77. Кондратьева, "Использование модели узкой щели в трехмерных расчетах взаимодей-ствия электромагнитных волн с идеально проводящими телами" // Математическое моделирование, 1994, Том 6 №8, с. 92-104.

99 77. Б. Бахолдин, 77. 77. Козлов, А. 77. Кондратьева, "Численное решение уравнений Максвелла при наличии скачков электрофизических параметров среды в задачах взаимодействия импульсного электромагнитного поля с биообъектами" // Математическое моделирование, 1997, Том 9 №8, с. 29-35.

100 77. Б. Бахолдин, 77. 77. Козлов, Д. Я. Кондратьева, "Методика расчета токов и зарядов, наводимых на поверхностях тел произвольной формы электромагнитным полем в свободном пространстве" // Математическое моделирование, 1991, т. 3, № 5, с. 74-80.

101 77. Б. Бахолдин, 77. 77. Козлов, А. 77. Кондратьева, "Методика расчета токов и зарядов, наводимых на поверхностях тел произвольной формы электромагнитным полем вблизи поверхности земли" // Математическое моделирование, 1992, т. 4, №5, с. 80-84.

102 77. Б. Бахолдин, 77. 77. Козлов, А. 77. Кондратьева, "О новом варианте алгоритма, предназначенном для решения трехмерных уравнений Максвелла при наличии в расчетной обла-

сти нескольких тел сложной формы" // Математическое моделирование, 1993, т. 5, № 10, с. 91-95.

103 А. М. Бубенчиков, В. С. Попонин, Д. К. Фирсов, "Спектральный метод решения плоских краевых задач на неструктурированной сетке", // Математическое моделирование, 2007, т. 19 № 10, с. 3-14.

104 А. Ф. Мастрюков, Б. Г. Михайленко, "Решение двумерных уравнений Максвелла спектральным методом JIareppa", Сиб. журн. вычисл. Матем., 13:2 (2010), 143-160.

105 Sun, Yuzhi and Wang, Z.J., "High-Order Spectral Volume Method for the Navier-Stokes Equations on Unstructured Grids," //AIAA Paper No. 2004-2133.

106 Z.J. Wang, L. Zhang and Y. Liu, "Spectral (Finite) Volume Method for Conservation Laws on Unstructured Grids IV: Extension to Two-Dimensional Euler Equations", // J. of Comput. Physics, Vol. 194, No. 2, pp. 716-741 (2004).

107 Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Second Edition, University of Michigan, 2000.

108 Christophe Fumeaux, Dirk Baumann, Pascal Leuchtmann, Rüdiger Vahldieck, "A generalized local time-step scheme for the FVTD method for efficient simulation of microwave antennas" // 33rd European Microwave Conference, 2003.

109 Christophe Fumeaux, Dirk Baumann, Pascal Leuchtmann and Rüdiger Vahldieck "A Generalized Local Time-Step Scheme for Efficient FVTD Simulations in Strongly Inhomogeneous Meshes" // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 52, No. 3, March 2004.

110 Margarete О. Domingues , Sönia M. Gomes , Olivier Roussel, Kai Schneider, "An adaptive multiresolution scheme with local time stepping for evolutionary PDEs", Journal of Computational Physics, v.227 n.8, p.3758-3780, April, 2008.

111 David J. Hardy, Daniel I. Okunbor, Robert D. Skeel, "Symplectic variable step size integration for N-body problems" // Applied Numerical Mathematics 29 (1999) 19-30.

112 Siegfried MEuller and Youssef Stiriba, "Fully Adaptive Multiscale Schemes for Conservation Laws Employing Locally Varying Time Stepping" // Journal of Scientific Computing, Vol. 30, No. 3, March 2007.

113 Clint Dawson and Robert Kirby "High resolution schemes for conservation laws with locally varying time steps", // SIAM J. Sei. Comput., Vol. 22, no. 6, pp. 2256-2281.

114 Mostafa Bendahmane, Raimund Bürgerb, Ricardo Ruiz-Baier, Kai Schneider "Adaptive multiresolution schemes with local time stepping for two-dimensional degenerate reaction-diffusion systems", // Applied Numerical Mathematics 59 (2009) 1668-1692.

115 Hua-zhong Tang, Gerald Warnecke "High resolution schemes for conservation laws and convection-diffusion equations with varyinc time and space grids" // Journal of Computational Mathematics, Vol.24, No.2, 2006, 121-140.

116 Motohiro Takayama, Ryuji Sakai, Nobuhiro Kato, Tomofumi Shimada, "Molatomium: Parallel Programming Model in Practice" // HotPar 2010, June 14-15, Berkeley, CA.

117 Ian Jeffrey, Dmitry К Firsov, Colin Gilmore, Vladimir Okhmatovski and Joe LoVetri "Parallel High-Order EM-FVTD on an Unstructured Mesh" 23rd Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics March 19-23, 2007 - Verona, Italy 2007 ACES, 401-408

118.D./C Firsov , S.H. Lui "Domain decomposition methods in image processing using Gaussian curvature" // J. Comput. Appl. Math. 193 (2006), No. 2, pp. 460-473.

119 J.K. Salmon, "Parallel Hierarchical N-Body Methods", Ph.D. thesis, Caltech, 1990.

120 V. Shankar, C. Rowell, W. F. Hall, "An Unstructured Grid-Based Parallel Solver for TimeDomain Maxwell's Equations", IEEE Anten, and Propagat. Soc. Int. Symp., Vol. 1, pp. 90-101, June 1999.

121 T.3. Исмагилов, А.И. Горбачёв, "Параллельный алгоритм для решения трехмерных уравнений максвелла с разрывной диэлектрической проницаемостью на призматических сетках" // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12. с. 128-136.

122 Т.З. Исмагилов, "Параллельный алгоритм для решения трехмерных уравнений максвелла с разрывной диэлектрической проницаемостью на тетраэдральных сетках" // Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. Т. 14. №4, с. 152-159.

\2Ъ А.Н. Андрианов, A.B. Березин, A.C. Воронцов, КН. Ефимкин, М.Б. Марков, "Моделирование электромагнитных полей радиационного происхождения на многопроцессорных вычислительных системах " // Математическое моделирование, 2008 г., том 20, номер 3, с. 98114.

124 Воеводин В.В. Параллельные вычисления. Серия "Научное издание". - СПб.: БХВ-Петер-бург, 2002. - 608 с.

125 Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Физматгиз 1959.

126 Г.Р. Шрагер, А.Н. Козлобородов, В.А. Якутенок Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск. Издательство Томского университета 1999 г. 231с.

127 Грынь В. И. О семействах точных решений стационарных уравнений Эйлера и На-вье-Стокса Ред. Ж. вычисл. мат. и мат. физ. РАН. - М., 1998. - 94. - Библиогр.: Библиогр.: 8 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 11.03.98, N 712-В98

128 Бытев В.О. Инвариантные решения уравнений Навье - Стокса. ПМТФ, 1972, №6. с. 5665.

129 Пейре Роже, Тейлор Томас Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Ленинград. Гидрометеоиздат 1986 г.

130 Perktold К., Peter R., and Resch M. Pulsatile Non-Newtonian Blood Flow Simulation Throgh a Bifurcation with an Anevrism// J. Of Biorheolohy.9189.Vol.26.P. 1011-1030.

131 Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М. Мир, 1981.

132 Burie J. В., Marion M. Multilevel methods in space and time for the Navier-Stokes equations // SLAM J. Numer. Anal. - 1997. - 34, 4. C. 1574-1599.

133 Calgaro C., Debussche A., Laminie J. On a multilevel approach for the two dimensional Navier-Stokes equations with finite elements // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 1998. - 27, Spec. Issue. - C. 241-258.

134 Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. Москва «Мир» 1986 г. 448 с.

135 Белов И.А., Кудрявцев H.A. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. - Л.: энергоатом-издат, Ленинградское отделение. 1987. 224с.

136 Самарский A.A. Теория разностных схем. Москва. «Наука». 1989г. 616 с.

137 Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 1989.-289 с.

138 Nishida Hidetoshi A new non-staggered finite difference method for solving the incompressible Navier-Stokes equations // Proc. 7th Int. Symp. Comput. Fluid Dyn., Beijing, Sept. 15-19, 1997. - Beijing, 1997. - C. 280-285.

139 Сокольников И. Тензорный анализ. - Москва. «Наука». 1971. 376 с.

140 Piquet J., Vasseur X. Multigrid Preconditioned Krylov Subspace Method for Three-dimensional Numerical Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations. Numerical Algorithms, Vol.17 (1998) 1,2, p.1-32.

141 Demuren A. O., Ibraheem S. O. Multigrid method for the Euler and Navier-Stokes equations // AIAA Journal. - 1998. - 36, 1. - C. 31-37.

142 Jenssen Carl В., Weinerfelt Per A. Parallel implicit time-accurate Navier-Stokes computations using coarse grid correction //AIAA Journal. - 1998. - 36, 6. - C. 946-951.

143 Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. М.: Мир, 1987, 592 с.

144 Захаров В.П., Шуркина Э.П. Об одном численном алгоритме интегрирования системы уравнений Навье-Стокса. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. Модели физ. Процессов. 1994. №4 с.45-52.

145 Абдрашин В.Н., Лапко C.JI. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса. I. Дифференциальные уравнения. 1992 т.28 №7 с. 1154-1167.

146 Абдрашин В.Н., Лапко С.Л. Об одно классе итерационных методов решения Уравнений Навье-Стокса Дифференциальные уравнения. 1993 т.29 №9 с. 1561-1574.

147 Лапко СЛ., Рашид А.Н. Разностные схемы для многомерного уравнения конвективной диффузии. Дифференциальные уравнения. 1994 т.ЗО №1 с. 175-177.

148 Абдрашин В.Н., Лапко В.Н. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса.II. Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №12 с.2094-2105.

149 Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Нестационарное течение жидкости в канале произвольной геометрии, http://www.ict.nsc.ru/ws/ct-2000/.

150Верланъ А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев. «Наукова думка». 1986. 542с.

151 А. М. Бубенчиков, Д. К. Фирсов, М. А. Котовщикова, "Ламинарное вязкое течение в искривленных каналах сложного сечения", Матем. моделирование, Том 16 №11, 2004, с. 107119.

152 Mallinson Davis. False diffusion in numerical fluid mechanics. Univ., of new south woks, School of mechanics and industry. Engineering report. 1972. FMT 1.

153 Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Численное исследование вихревых структур в прямоугольной каверне. Сборник статей «Вычислительная гидродинамика». Томск. 1999г. с.8-14.

154 Leonard В.P.A. Stable and accurate connective modeling procedure based on quadratic upstream interpolation. Computational methods in applied mechanics and engineering. 1979. Vol. 19, №1 P59-98.

155 Есаулов А. О., Старченко A.B. К выбору схемы для численного решения уравнений переноса. Сборник статей «Вычислительная гидродинамика». Томск. 1999г. с.8-14.

\56Noll В. Evaluation of a bounded high-resolution scheme for combustor flow computations. AIAA Journal. 1992. Vol.30, № 1. P.64-69.

157 Tremback Craig J.,Powell James, Cotton William R., Pielke Roger A. Nhe foward-in-time upstream advection scheme: extention to high orders. Monthly weather review. 1987. Vol.115, February. P.540-555.

158 Фирсов Д.К. Конечно-разностный алгоритм расчета течений несжимаемой вязкой жидкости, основанный на алгебраическом разложении скоростей. Труды международной конференции, посвященной 80-летию академика Н.Н.Яненко. Новосибирск, Академгородок, 24 -29 июня 2001 года, с.658-665.

159 Фирсов Д.К. Расчет течения несжимаемой жидкости на неортогональной неразнесенной сетке. Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. Т. II. с. 156-160.

160 Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Разностная схема для интегрирования уравнений Навье -Стокса несжимаемой вязкой жидкости на неразнесенной неортогональной сетке // Вестник Томского гос. ун-та. Бюл. опер. науч. инф. 2001. № 4. Численные методы в динамике вязкой жидкости. С. 5-22.

161 Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К, Альбрандт Е.В. Гемодинамика крупных кровеносных сосудов с аневризмой // Вестник Томского гос. ун-та. Бюл. опер. науч. инф. 2001. № 4. Численные методы в динамике вязкой жидкости. С. 23-31.

162 Толстых А.И. Об итерационных схемах с нецентрированными компактными аппроксимациями. ДАН, Математика, 1992. Том 326. № 3. с. 425-430.

163 А. В. Березин, А. А. Крюков, Б. Д. Плющенков, "Метод вычисления электромагнитного поля с заданным волновым фронтом", Математическое Моделирование, 2011, Том 23, №3, с. 109-126.

164 Kane Yee "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media". IEEE Transactions on Antennas and Propagation 1966, Vol 14, № 3, pp 302-307.

165 S. Osher, L. Rudin, Feature-oriented image enhancement using shock filters, SIAM J. Numer. Anal. 27 (1990) 919-940.

166 P. Perona, J. Malik, Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 12 (1990) 629-639.

167 S.H. Lee, S.J. Keun, Noise removal based on nonlinear diffusion with Gauss curvature conductance, 2003, Preprint.

168 Г. Шлихтинг Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974, 712с.

169 Тананаев В.А. Течения в каналах МГД-устройств. - М.: Атомиздат, 1979, 368с.

170 G. Aubert, P. Kornprobst, Mathematical Problems in Image Processing, Springer, Berlin, 2002.

171 G. Sapiro, Geometeric Partial Differential Equations and Image Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

172 J. Weickert, Anisotropic Diffusion in Image Processing, Teubner, Stuttgart, 1998.

\1Ъ Akhmed Ould Khaoua Toepliz preconditioner for pseudo toeplitz matrices 11 Mecanica Computationa Volume, Bahia Blanca, Argentina November 2003, pp 1421-1429.

174 Guido Kanschat Discontinuous Galerkin Methods for Viscous Incompressible Flow. Deutscher Universitats-Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007, 183p.

175 Serge Piperno Symplectic local time-stepping in non-dissipative DGTG methods applied to wave propagation problems // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis Vol. 40, No 5, 2006, pp. 815-841.

\16D.V. Gaitonde Tip-to-tail scramjet simulation with plasma-assisted control // Computer Architecture, 2004. Proceedings. 31st Annual International Symposium on 7-11 June 2004, p. 199-205.

177 Z. J. Zhang and С. P. T. Groth, Parallel High-Order Anisotropic Block-Based Adaptive Mesh Refinement Finite-Volume Scheme, AIAA Paper 2011-3695, June 2011.

178 S. D. McDonald, M. R. J. Charest, and С. P. T. Groth, High-Order CENO Finite-Volume Schemes for Multi-Block Unstructured Mesh, AIAA Paper 2011-3854, June 2011.

179 Д. К. Фирсов «Метод контрольного объёма на неструктурированной сетке в вычислительной механике», Учебное пособие, Томский Государственный Университет, 2007 г.

180 Т. Barth, М. Ohlberger, Finite volume methods: foundation and analysis, in: E. Stein, R. de Borst, T.J.R. Hughes (Eds.), Encyclopedia of Computational Mechanics, Wiley, 2004, pp. 1—57.