Метод максимальной энтропии в теории случайно-возмущенных динамических уравнений и его приложение к задачам теоретической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Миронов, Павел Павлович

• Миронов, Павел Павлович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Миронов, Павел Павлович

Общая характеристика работы...........................................................................5

Глава 1. Введение..................................................................................................17

1.1 Методы анализа динамических систем.............................................18

1.1.1 Методы качественного анализа решений динамических уравнений................................................................................19

1.1.2 Методы решения стохастических динамических уравнений..........22

1.2 Методы усреднения динамических уравнений................................. 23

1.3 Методы замыкания динамических систем уравнений........................ 26

Глава 2. Метод максимальной энтропии......................................................30

2.1 Общее описание..............................................................................................30

2.2 Многомерный ме тод максимальной энтропии с высшими

моментами.....................................................................................32

2.3 Метод Рейнольдса для конечномерных динамических систем..............34

2.4 Метод максимальной энтропии для стохастических систем............... 36

2.5 Полная система уравнений для моментов ..................................... 40

2.6 Удельная плотность вероятности ................................................ 41

2.7 Системы с квадратичной нелинейностью..................................... 42

2.8 Квадратичное представление динамических систем ........................ 44

2.9 Заключение ........................................................................... 46

Глава 3. Состояние с максимальной энтропией.........................................48

3.1 Описание теории ..................................................................... 48

3.2 Уравнение Ферхюльста..............................................................51

3.2.1 Усредненное уравнение Ферхюльста...................................... 52

3.2.2 Замкнутая система уравнений Рейнольдса................................ 53

3.2.3 Стационарная точка и ее устойчивость.................................... 54

3.2.4 Аналитическое решение усредненной системы.......................... 56

3.2.5 Анализ устойчивости аналитического решения ........................60

3.2.6 Выводы ........................................................................... 61

?

3.3 Система Вольтерра-Лотки......................................................... 62

3.3.1 Усредненные уравнения Вольтерра-Лотки.............................. 63

3.3.2 Метод максимальной энтропии и замкнутая система усредненных уравнений Рейнольдса........................................................................65

3.3.3 Стационарная точка и ее устойчивость.....................................67

3.3.4 Состояние с максимальной энтропией.....................................70

3.3.5 Асимптотическая форма уравнений при большой дисперсии........ 74

3.3.6 Выводы........................................................................... 76

3.4 Уравнения Эйлера вращения твердого тела....................................... 78

3.4.1 Анализ усредненных уравнений Эйлера................................... 78

3.4.2 Выводы............................................................................80

3.5 Модель Лоренца..................................................................... 80

3.5.1 Анализ модели Лоренца....................................................... 81

3.5.2 Выводы........................................................................... 84

3.6 Случайно-возмущенный математический маятник............................84

3.6.1 Квадратичное представление................................................ 84

3.6.2 Анализ модели стохастического маятника в квадратичном представлении .......................................................................................... 85

3.6.3 Выводы............................................................................90

3.7 Анализ эффективности применения ММЭ к динамическим

моделям.................................................................................. 90

Глава 4. Модели образования дефектов под действием флуктуирующего излучения ...........................................................................................................................94

4.1 Описание теории.............................................................................................94

4.2 Модель атомной кластеризации под действием флуктуирующего радиационного фона.................................................................................................95

4.2.1 Общее описание модели........................................................95

4.2.2 Состояние с максимальной энтропией .....................................99

4.3 Модель атомной кластеризации под действием случайного радиационного излучения с диффузией............................................... 100

4.4 Уравнение нелинейной диффузии в кристаллической среде.............. 104

4.4.1 Описание модели .............................................................. 104

4.4.2 Анализ стохастического уравнения нелинейной диффузии.......... 106

4.5 Заключение...........................................................................112

Глава 5. Модель солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуа-ций плазмы............................................................................... 115

5.1 Описание теории.......................................................................................... 115

5.2 Решение задачи о солнечном ветре.............................................................117

5.2.1 Случай адиабатичности потока частиц солнечной плазмы...........117

5.2.2 Случай изотермичности потока частиц солнечной плазмы...........122

5.2.3 "Сшивка" решений для двух уравнений состояния солнечной

плазмы........................................................................................................ 127

5.3 Расширенная нестационарная модель солнечного ветра в декартовых координатах................................................................................. 129

5.4 Расширенная нестационарная модель солнечного ветра в сферических координатах................................................................................. 131

5.5 Заключение............................................................................ 134

Литература................................................................................ 136

Общая характеристика работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод максимальной энтропии в теории случайно-возмущенных динамических уравнений и его приложение к задачам теоретической физики»

Актуальность работы.

Качественный анализ динамики нелинейных физических систем, включающий анализ устойчивости систем и их асимптотическое поведение, является одной из самых распространенных задач теоретической физики, имеющей приложение в различных ее разделах, начиная от физики биологических систем и заканчивая астрофизикой. Например, одной из часто возникающих задач в биофизике, физической химии и физике конденсированного состояния вещества является исследование систем типа Вольтерра-Лотки [1, 80], описывающих динамику взаимодействия нескольких типов реагентов. В биофизике - это динамика популяций, широко известным примером которой является модель двухвидовой популяции типа «хищник-жертва» [1, 2, 81]. При исследовании реакторных материалов под облучением пользуются моделями, описывающими изменение концентраций дефектов с учетом нелинейной составляющей, учитывающей радиационный поток или лазерное излучение [3, 4, 48, 49]. Для астрофизики одной из важных задач является описание основных характеристик солнечного ветра, а именно скорости и плотности потока частиц [5, 6, 7]. Все перечисленные физические модели в своем исходном виде не учитывают случайное внутреннее и внешнее воздействие, которое всегда присутствует в системе. Поэтому общая задача описания динамики нелинейных систем под действием шума является актуальной задачей.

К настоящему времени существует целый ряд математических методов,

позволяющих исследовать нелинейные динамические уравнения в различных

случаях. Наиболее широко распространенным подходом является численный

анализ исходных уравнений [8, 9]. Еще одними из используемых методов

анализа предлагаемых моделей служит исследование моделей на

устойчивость по Ляпунову [10, 11]. Однако, несмотря на эффективность

предлагаемых методов, они обладают одним недостатком, который

заключается в том, что при анализе решений не учитывается случайное

5

внешнее влияние, сопровождающее исследуемую систему в реальности. Следовательно, существует необходимость искать дополнительные методы и подходы к описанию нелинейных физических задач. В работах [12, 13, 14] был предложен метод исследования случайно-возмущенных уравнений на основе анализа уравнений усредненной динамики по методу Рейнольдса с выводом условий замыкания системы уравнений Рейнольдса с помощью метода максимальной энтропии [15]. В работах [12, 14] этот метод применялся к одномерным механическим системам, а в [13] - к уравнениям вязкой жидкости. Использование принципа максимума энтропии для вывода условий замыкания усредненных уравнений Рейнольдса основано на общей "термодинамической" идее, состоящей в том, что состояния с максимальной энтропией должны максимально наблюдаться в природе и быть максимально устойчивыми [15]. Следовательно, использование данного подхода для задач динамики случайно-возмущенных систем является обоснованным.

Цель работы.

Основной целью работы является построение метода замкнутого описания усредненной динамики случайно-возмущенных конечномерных систем в форме дифференциальных уравнений. Динамическими переменными такого описания являются моменты вероятностных распределений их исходных параметров. Такое описание позволит получать исчерпывающую, качественную и количественную информацию об асимптотическом поведении статистических моментов вероятностных распределений динамических параметров системы. Данная цель достигается с помощью специального варианта метода максимальной энтропии. Другой целью работы является получение решений для статистических параметров распределений в конкретных задачах теоретической физики, в частности, в моделях механических систем типа нелинейных осцилляторов и вращающихся тел, атомной кластеризации и моделях динамики солнечного ветра.

б

Задачи исследования.

1. Разработать специальную формулировку метода максимальной энтропии в применении к конечномерным случайно-возмущенным динамическим системам, которая использует метод усреднения по ансамблю типа метода Рейнольдса в теории турбулентности.

2. В рамках метода максимальной энтропии построить вариационную процедуру вывода замкнутой системы уравнений для статистических моментов нелинейных динамических систем.

3. Исследовать общие закономерности структуры решений замкнутой системы усредненных уравнений для моментов, а также их асимптотического поведения.

4. Исследовать модель атомной кластеризации под действием флуктуирующего радиационного излучения. Описать усредненную динамику предлагаемой системы, найти ее решение и сравнить результаты с решениями исходной модели.

5. Исследовать модель солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы в приближении Паркера. Описать усредненную динамику предлагаемой системы, найти ее решение и сравнить результаты с решениями исходной модели.

Методы исследования.

Для исследования случайно-возмущенных нелинейных уравнений в диссертации применяется метод, Рейнольдса, а также метод максимальной энтропии, развиваемые в главе 2. Для анализа конечномерных динамических систем с помощью метода максимальной энтропии разработан новый метод квадратичного представления систем. Также применяются известные методы качественного анализа динамических систем и методы анализа их устойчивости с помощью теории возмущений.

Научная новизна.

В работе представлены следующие результаты.

1) На основе метода Рейнольдса разработан новый вариант метода максимальной энтропии (ММЭ), позволяющий получать замкнутое описание динамики моментов вероятностных распределений параметров произвольных конечномерных случайно-возмущенных динамических систем.

2) Для анализа конечномерных систем с полиномиальной нелинейностью (системы полиномиального типа) построен новый метод их преобразования к представлению, названному квадратичным. В рамках метода любая динамическая система полиномиального типа представляется системой большей размерности, но с квадратичной нелинейностью, что приводит в рамках ММЭ к нормальному закону распределения флуктуаций в системе.

3) Выделен особый класс решений уравнений для моментов, полученных с помощью ММЭ, названный состоянием с максимальной энтропией. Этот особый класс реализует наблюдаемое устойчивое поведение средних значений и моментов систем вблизи их невозмущенного состояния.

4) Найдены условия устойчивости при различных свойствах случайного процесса стационарных решений ряда исследуемых уравнений.

5) Построена новая модель динамики роста кластеров в первоначально однородной нелинейной среде под действием внешнего случайно флуктуирующего излучения. Исследованы условия возникновения в такой среде когерентных, в том числе, периодических структур.

6) Построена новая модель солнечного ветра в упрощенной формулировке Паркера, но учитывающая турбулентные флуктуации плазмы и изменение их характеристик в зависимости от расстояния от Солнца.

Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической физики. Описанные в

диссертации случайно-возмущенные модели Ферхюльста, Вольтерра-Лотки, атомной кластеризации, нелинейной диффузии, Эйлера вращения твердого тела, Лоренца, случайно-возмущенного математического маятника и система Паркера солнечного ветра могут быть использованы для решения демографических, биологических, радиационных, механических и астрофизических задач динамики нелинейных систем с последующим сравнением теоретических расчетов с экспериментальными данными.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Совокупность уравнений динамики конечномерных СВ-систем, относительно средних значений и моментов переменных задачи (уравнения Рейнольдса), может быть замкнута с помощью условия достижения системой состояния с максимальной энтропией на заданном интервале времени. Это условие эквивалентно переходу системы в состояние локального равновесия. Усредненная система, замкну тая с помощью метода максимальной энтропии, допускает, по крайней мере, один интеграл движения, соответствующий закону сохранения полной удельной энтропии системы.

2) Для любой конечномерной динамической системы с полиномиальной нелинсйностыо существует квадратичное представление, преобразующее систему к форме с нелинейностью не выше второго порядка. Распределение вероятностей флуктуаций координат любой системы в квадратичном представлении, построенное с помощью метода максимальной энтропии, является нормальным.

3) Среди всех решений замкнутой системы усредненных уравнений, построенных по методу максимальной энтропии, существует решение, описывающее состояние с максимальной энтропией среди всех других решений, выделенное условием равенства нулю всех или части корреляций между параметрами системы.

4) Усредненные уравнения модели формирования кластеров в материале под действием внешнего радиационного облучения имеют

растущие по времени и периодические по координатам решения, соответствующие образованию периодических структур в облучаемом материале. Выделенное решение с максимумом энтропии описывает периодические вариации структуры кластера вблизи невозмущенных решений, связанные с малыми вариациями корреляций между концентрациями дефектов.

5) В рамках развитого, метода существует замкнутая модель радиального течения солнечного (звездного) ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы (обобщенная модель Паркера). Обобщенная модель Паркера с учетом турбулентных флуктуаций плазмы дает более адекватное описание параметров солнечной плазмы на дальних расстояниях от Солнца, чем исходная модель Паркера.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Теоретической физики Ульяновского государственного университета и Научно-исследовательского технологического института, а также на конференциях: Седьмая международная конференция «Математическое моделирование физических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля 2009 года); Вторая Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 29 августа — 4 сентября 2010 года); Шестая всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 26-28 января 2011 года); «Конференция-конкурс молодых физиков России» (г. Москва, 31 января 2011 года); XVII Зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 года); XVIII международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 11-15 апреля 2011 года); Конференция «Космос и наука» (г. Ульяновск, 2012 год); XIX международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 9-13 апреля 2012 года); Третья

Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 27 августа - 1 сентября 2012 года); VII Всероссийская конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (г. Саратов, 24-26 сентября 2012 года); Седьмая всероссийской конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 29-31 января 2013 года); Международная молодежная научная школа-универсиада «Микромир и макромир-2013» (г. Москва, 15-27 апреля 2013 года); IL Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники (г. Москва, 14-17 мая 2013 года); Международный семинар "Нелинейные поля в теории гравитации и космологии" и Российская школа "Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений" (г. Казань, 21-26 октября 2013 года); Междунаро/щая зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии "Петровские чтения-2014" (г. Казань, 17-21 февраля 2014 года); L Всероссийская конференция rio проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники (г. Москва, 13-16 мая 2014 года); 15-я Российская гравитационная конференция «Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике» (г. Казань, 30 июня - 5 июля 2014 года); Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 25 августа — 1 сентября 2014 года).

Публикации.

Диссертация выполнена на основе работ [1а] - [6а] (см. список ниже), опубликованных в ведущих российских журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно с научным руководителем. Вклад автора в приведенные в диссертации результаты является основным.

Структура, объем и содержание диссертации.

Работа состоит из пяти глав. Список литературы содержит 139 наименований. Общий объем 148 страниц.

Первая глава является вводной и содержит аргументацию актуальности исследуемой проблемы, обзор научной литературы, посвященной затронутым в диссертации темам, описание полученных в диссертации результатов и оценку их значения для теории случайно-возмущенных систем и решения прикладных физических задач.

Вторая глава содержит описание метода максимальной энтропии применительно к нелинейным системам.

Третья глава содержит описание рассматриваемых в работе конечномерных динамических систем, их усреднение по методу РейноЛьдса с последующим применением метода максимальной энтропии и анализом моделей на устойчивость при различных свойствах случайного процесса.

Четвертая глава содержит описание применения метода максимальной энтропии к моделям образования дефектов в материалах под действием флуктуирующего излучения и анализ замкнутых усредненных систем на устойчивость при различных свойствах случайного процесса.

Пятая глава содержит описание применения метода максимальной энтропии к модели Паркера солнечного ветра. Вычисляются и анализируются решения системы уравнений, соответствующие усредненным параметрам солнечного ветра. Получено решение системы усредненных уравнений в состоянии с нулевыми корреляциями.

Публикации по теме диссертации.

Публикации в журналах, входящих в список ВАК:

[1а] Журавлев В.М., Миронов П.П. Динамика случайно-возмущенной системы Вольтерра-Лотки и метод максимальной энтропии // Нелинейный мир - 2011. - Т. 9, №4. - С. 201-212.

[2а] П.1Т. Миронов, В.М. Журавлев. Случайно-возмущенные динамические системы типа Вольтерра-Лотки и метод максимальной энтропии // Приложение к журналу «Физическое образование в ВУЗах». -2011. - Т. 17, № 1. - С. 18.

[За] П.Г1. Миронов. Стохастическая модель атомной кластеризации под воздействием радиационного излучения и метод максимальной энтропии // Приложение к журналу «Физическое образование в ВУЗах». - 2012. - Т. 18, № 4. - С. 20.

[4а] В.М. Журавлев, П.П. Миронов. Случайно-возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». - 2013. - № 1 (30). - С. 352-360.

[5а] Журавлев В.М., Миронов П.П. Динамика случайно-возмущенного уравнения Ферхюльста и метод максимальной энтропии // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2013. - № 2 (26). - С. 156-170.

[6а] Журавлев В.М., Миронов П.П., Летуновский С.В. Построение огибающей и локальной частоты стохастического процесса на основе модели осциллятора с флуктуирующей частотой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 3 (27). - С. 153-165.

Публикации в прочих изданиях:

[7а] Миронов П.П., Журавлев В.М., Метод максимальной энтропии и модель солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы // Всероссийский журнал научных публикаций - 2013. - № 4 (19). - С. 2 - 5.

[8а] Журавлев В.М., Миронов П.П. Случайно-возмущенные динамические системы и принцип максимума энтропии // Ученые записки Ульяновского государственного университета. - 2013. - № 1. - С. 191 - 199.

[9а] Журавлев В.М.. Миронов П.П. Случайно-возмущенные динамические системы в квадратичном представлении и метод максимальной энтропии // Всероссийский журнал научных публикаций. -

2014. - № 4 (24). - С. 2-7.

[10а] Миронов ГШ., Журавлев В.М. Метод Рейнольдеа для случайно-возмущенных уравнений Вольтерра-Лотке // Труды Седьмой международной конференции «Математическое моделирование физических, технических, социальных систем и процессов». - Ульяновск: УлГУ. - 2009. - С. 188.

[11а] Шляпин В.А., Миронов ГШ., Журавлев В.М., Корнилов Д.А. Метод максимальной энтропии в теории случайно-возмущенных нелинейных динамических систем // Вторая Международная конференция «Математическая физика и ее приложения». - Самара: СамГУ. - 2010. - С 345.

[12а] Д.А. Корнилов, В.М. Журавлев, П.П. Миронов, В.А. Шляпин. Метод максимальной энтропии в теории случайно-возмущенных динамических систем, связанных с задачами атомной кластеризации под действием радиационного облучения // Труды Шестой всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Часть 1. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2011. - С. 197-198.

[13а] Миронов ГШ., Журавлев В.М. Случайно-возмущенные динамические системы кинетики радиационного образования кластеров и метод максимальной энтропии // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. - Пермь: ИМСС УрО РАН. - 2011. - С.229.

[14а] Миронов ГШ. Случайно-возмущенные динамические системы типа Вольтерра-Лотки и метод максимальной энтропии // Материалы XVIII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Секция «Физика». Подсекция «Теоретическая физика». - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. - Т.2. - 2011. - С 147.

[15а] Миронов ГШ. Случайно-возмущенные динамические уравнения Эйлера для вращения твердого тела и метод максимальной энтропии // Материалы XIX международной научной конференции С1_удентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Секция «Физика». Подсекция «Математическое моделирование». - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. - 2012. -С.115-116.

[16а] В.М. Журавлев, П.П. Миронов. Случайно-возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии // Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: Материалы конф. / под ред. Чл.-корр. РАН И.В. Воловича и д.ф.-м.н., проф. В.П. Радченко. - Самара: СамГТУ. - 2012. - С. 134.

[17а] П.П. Миронов, В.М. Журавлев. Стохастическая динамика нелинейных уравнений и метод максимальной энтропии // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика". - Саратов: СФ ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН. - 2012. - С. 93.

[18а] Миронов Г1.П., Журавлев В.М. Стохастическая динамика модели аттрактора Лоренца и метод максимальной энтропии // Труды Шестой всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Часть 1.-М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2013. - С. 286-287.

[19а] Миронов П.П., Бызыкчи А.Н., Журавлев В.М. Модель солнечного ветра с учетом турбулентности плазмы и метод максимальной энтропии // Сборник тезисов IL Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Секция «Физика плазмы и взаимодействие электромагнитного излучения с веществом». -М.: РУДН. - 2013. - С. 150-154.

[20а] П.П. Миронов, В.М. Журавлев. Метод максимальной энтропии и модели солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы // Труды международного семинара "Нелинейные поля в теории гравитации и космологии" и Российской школы "Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений". - Казань: К(П)ФУ. -2013.- С. 145-146.

[21а] Г1.11. Миронов, В.М. Журавлев. Модель солнечного ветра с учетом турбулентности плазмы и метод максимальной энтропии // Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии

"Петровские чтеиия-2014". Аннотации лекций. Тезисы докладов. - Казань: К(П)ФУ.-2014.-С. 21-23.

[22а] Миронов ГШ.. Журавлев В.М. Метод максимальной энтропии в расширенной модели солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы. Сборник тезисов Ь Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Секция «Физика плазмы и взаимодействие электромагнитного излучения с веществом». - М.: РУДН. - 2014. - С. 168-170.

[23а] П.П. Миронов, В.М. Журавлев. Метод максимальной энтропии в расширенной модели солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы. ХУ-я Российская гравитационная конференция «Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике», Международная школа по гравитации и космологии «011АС08-2014». Материалы конференции. - Казань: К(П)ФУ. - 2014. - С. 183-184.

[24а] В.М. Журавлев, П.П. Миронов. Метод максимальной энтропии в задачах теории динамических систем. Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения». - Самара: СамГТУ. -2014. - С. 167-168.

Глава 1. Введение.

Рассматриваемые в работе модели широко используются в таких областях как ядерная физика, физика твердого тела, астрофизика, биология, демография.

С точки зрения идеологии кинетических моделей [1] внутреннее содержание рассматриваемых в работе уравнений является простым и ясным, что дает основание использовать их для моделирования реальных систем. Однако, поскольку модели являются жесткими (см., например, [16]), применение их на практике оказывается ограниченным, в частности, из-за неполной ясности с их поведением при наличии случайного внешнего воздействия. Такое воздействие всегда присутствует в реальных системах. При наличии внешнего случайного воздействия речь может идти лишь об описании динамики системы "в среднем" [17]. Однако при усреднении исходных уравнений полученная совокупность уравнений для моментов случайных величин уже оказывается незамкнутой, а при различных способах замыкания обладает различными свойствами, которые могут существенно отличаться от свойств исходной системы. В дальнейшем подобные уравнения будем называть случайно-возмущенными уравнениями или сокращенно - СВ-уравнениями.

В работах [12, 13, 14] был предложен метод исследования случайно-возмущенных уравнений на основе анализа уравнений усредненной динамики по методу Рейнольдса с выводом условий замыкания системы уравнений Рейнольдса с помощью метода максимальной энтропии [15]. В работах [12, 14] этот метод применялся к одномерным механическим системам, а в [13] - к уравнениям вязкой жидкости. Использование принципа максимума энтропии для вывода условий замыкания усредненных уравнений Рейнольдса основано на общей "термодинамической" идее, состоящей в том, что состояния с максимальной энтропией должны быть максимально устойчивыми [15]. Однако, хотя такая гипотеза и является очень правдоподобной, для различных систем прямое ее доказательство

17

представляет ряд сложностей. Для одномерных механических систем эта сложность состоит в том, что свойства "термодинамической" устойчивости смешиваются со свойствами устойчивости самой механической системы как таковой. Разделить их для уравнений усредненной динамики в этом случае оказывается невозможным. Даже если невозмущенная одномерная механическая система является устойчивой, например, частица находится в потенциальной яме, то при наличии внешнего случайного воздействия с нулевой средней силой, система может обмениваться энергией с окружающей средой, что может приводить к неконтролируемой потере устойчивости в среднем. Поэтому для демонстрации факта наличия "термодинамической" устойчивости усредненных систем необходимо иметь простую систему, для которой эффекты, специфичные для механических систем, не имеют существенного значения. На роль такой системы подходят рассматриваемые в работе модели.

1.1 Методы анализа динамических систем

Прежде чем говорить о методах анализа дифференциальных уравнений, описывающих физические явления, необходимо пояснить, что такие системы по характеру случайности поведениямогут быть двух видов: стохастические и нестохастические.

Для нестохастических уравнений, то есть для тех, которые не подвержены влиянию случайного шума, существует большое количество методов анализа. Часто решение рассматриваемых систем вычисляется аналитически [18, 52]. Это является наиболее корректным и объективным результатом анализа динамической модели. При невозможности решить систему аналитически пользуются различными численными методами [19, 22]. В этом случае явное выражение для неизвестных величин получить не удается, однако появляется возможность построить и проанализировать графики, описывающие рассматриваемую модель.

В случае, когда динамика системы уравнений имеет случайный характер, получение и анализ решения такой системы представляются куда более сложными. Такие уравнения называются случайно-возмущенными или стохастическими. В литературе приводятся различные методы исследования нестохастических и стохастических процессов и уравнений.

1.1.1 Методы качественного анализа решений динамических уравнений

При решении систем дифференциальных уравнений, описывающих физические явления, часто прибегают к анализу устойчивости этих решений. В зависимости от выбранного механизма устойчивостьрешения может быть линейной, асимптотической, устойчивостью по Ляпунову, и др. [18, 20]. Дадим определения.

Тривиальное решение х = 0 системы

х = /(/.х), хеЯ", /: /х□-»/?",

/ V 0-1)

/(>.0) = 0,

где О - область пространства Я", содержащая начало координат, 7=[г;оо],

называется устойчивым по Ляпунову, если для любых /0е/ и £>0

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миронов, Павел Павлович, 2015 год

Литература:

[1] Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Ч. 1. -М.-Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. —231 с.

[2] Вольтерра В. Теория функционалов и интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — Пер. с англ. М. К. Керимова. — М.: Наука, 1982, —304 с.

[3] В.В. Светухин, В.Н. Голованов, В.Д. Рисованый. Сборник статей. Моделирование поведения под облучением реакторных материалов. -Ульяновск: УлГУ. - 2007. - 205 с.

[4] О. I. Velichko. Radiation-enhanced diffusion of impurity atoms in silicon layers. 17 p (2014). http://arxiv.org/pdf/1410.6195.pdf

[5] Паркер Ю., Космические магнитные поля, М.: Мир, Т. 1,2, (1982). - 1088 с.

[6] С.-И. Акасофу, С. Чепмен, Солнечно-земная физика, М.: Мир, Т. 2.-512 е., (1975).

[7] И.С. Веселовский, Солнечный ветер и гелиосферное магнитное поле, В Сб. Модель космоса. Т.1. Под ред. Ю.И. Логачева. Изд. М.: КДУ, (2007).

[8] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

[9] Ю.Л. Климонтович. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем / Предисл. Г.Г. Малинецкого. Изд. 2-е. М.: КомКнига, 2007. - 328 с. (Синергетика: от прошлого к будущему.)

[10] H.H. Безуглова, Ю.А. Суковатов, К.Ю. Суковатов. Использование

улучшенного способа замыкания уравнений турбулентности для расчетов

136

горизонтально-неоднородного пограничного слоя атмосферы // Ползуновский вестник. - № 2. - 2004. - с. 103 - 105.

[11] Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции: Пер. с англ. - М.: Мир. - 1986. - 148 е., ил.

[12] Журавлев В.М., Шляпин В.А. Принцип вторичного максимума энтропии и уравнения Рейнольдса в стохастической динамике одномерных нелинейных систем // Нелинейный мир. - 2008. - Т.6, N7. - с. 352-363.

[13] Журавлев В.М. Турбулентность течений несжимаемой жидкости вблизи локального равновесия и принцип вторичного максимума энтропии // ЖТФ. -2009. - Т. 79, N 1. - с. 16-27.

[14] Журавлев В.М., Шляпин В.А. Метод сопряженных функций в стохастическойдинамикеодномерных нелинейных систем и принцип вторичного максимума энтропии // Сб. Прикладная математика и механика. -2009. - УлГТУ, Ульяновск. - с. 72 - 88.

[15] Ю.Л.Климонтович. Введение в физику открытых систем. М.: "Янус-К", 2002. - 284 С.

[16] В.И. Арнольд. "Жесткие" и "мягкие" математические модели. М.: МЦНМО, 2000. - 32 С.

[17] А. С. Монин, A.M. Яглом. Статистическая гидромеханика. 4.1. М.: Наука, 1967, 639 С; 4.2 1969, 720 С.

[18] Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2007. - 560 с. - ISBN978-5-9221-0784-6.

[19] Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. «Численные методы решения некорректных задач» (1990).

[20] Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954. - с. 159 - 169.

137

[21] Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. — М., 1981. — С. 88-116.

[22] Кузнецов С. П., Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // Динамический хаос (курс лекций). — М.: Физматлит, 2001.

[23] A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko, Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 6, no. 6 (1996), pp. 1177-1183.

[24] Metropolis, N., Ulam, S. The Monte Carlo Method, — Journal of the American Statistical Association, 1949, 44, № 247, pp. 335—341.

[25] Fishman, George S. Monte Carlo : concepts, algorithms, and applications. — Springer, 1996. — ISBN 0-387-94527-X.

[26] Анищенко В. С. и др. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. - т. 169. - 1999. - N1.

[27] Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев - Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988.

[28] Крылов Н.М., Боголюбов H.H., Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний, К., 1934.

[29] Боголюбов H.H. О некоторых статических методах в математической физике, К., 1945

[30] У.Фриш. Турбулентность. Наследие Колмогорова. М.: Фазис, (1998), 343с.

[31] Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2001. 108 с.

[32] П. Г. Фрик. Турбулентность: Модели и подходы. 4.1 Пермь, (1998), 107 С.; 4.2 Пермь, (1999), 138 С.

[33] Wilcox D. С. Turbulence modeling for CFD. 1998, 537 p.

[34] E. А. Гончаров, В. 10. Колобянин, 10. В. Янилкин. Метод замыкания уравнений лагранжевой газодинамики в смешанных ячейках, основанный на равенстве скоростей компонентов // "ВАНТ" Серия: Математическое моделирование физических процессов,- №4.-7 С. (2006).

[35] А.П. Левич. Принцип максимума энтропии и теоремы вариационного моделирования // Успехи современной биологии. - 2004. - т. 124. - № 6. - с. 321.

[36] Левич А.П. Экологические подходы к регулированю типов цветения эвтрофных водоемов // Доклады Академии наук. 1995а. - Т.341. - №1. -С.130-133.

[37] Левич А.П. Критерии самоорганизации и управляющие параметры в экологии сообществ // Труды международной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах". Суздаль. - 1995 б. - СЛ 08-113.

[38] Ebeling W., Engel A. Models of Evolutionary Systems and their Application to Optimization Problems // Syst. Anal. Model.Simul. 1986.V. 3. P. 377.

[39] P. Л. Стратонович. Теория информации. M.: Сов. радио (1975), 424 с.

[40] Б. Р. Фриден. Оценки, энтропия, правдоподобие. ТИИЭР, 73, N 12, 78 (1985)

[41] Burg J.P. In ргос/ 37-th Meet. Society of Exploration Geophysisists. Oklahoma city, Oct. 31, 1967

[42] Дворянинов Г.С., Журавлев В.М., Прусов А.В. Метод максимальной энтропии в многомерном спектральном анализе // Преп. МГИ АН УССР, 1986. Ч. 1,2.

[43] Крамер Г. Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

[44] Кендалл М., Стьюард А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.

[45] А.Д. Базыкин. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва - Ижевск: ИКИ, 2003, 368 с.

[46] Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972.

[47] Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

[48] И.О. Явтушенко, A.C. Кадочкин, С.Г. Новиков, A.B. Беринцев, Д.А. Столяров. Экспериментальное исследование процесса структурирования поверхности металла фемтосекундными лазерными импульсами высокой мощности // Известия самарского научного центра российской академии наук. - № 4. - с. 1033 - 1037 (2013).

[49] Макаров Г.Н. Применение лазеров в нанотехнологии: получение наночастиц и наноструктур методами лазерной абляции и лазерной нанолитографии // УФЫ. - 2013. - Т. 183, №7. - С. 673-718.

[50] В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно. Автоволновые процессы (под ред. Д.С. Чернавского). М.: Наука, 1987.

[51] Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.

[52] Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

[53] Журавлев В.М. Об одном классе моделей автоволн в активных средах с диффузией, допускающих точные решения. // Письма в ЖЭТФ. - 1997. - Т. 65, в. 3. - С. 285.

[54] Журавлев В.М. Диффузионные цепочки Тоды в моделях нелинейных волн в активных средах. // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 114, в. 6.

[55] Журавлев В.М. Точные решения уравнения нелинейной диффузии и, = Д1пм + Лм в двумерном координатном пространстве. // ТМФ. - 2000, Т. 124, №2.-с. 265 - 278.

[56] Журавлев В.М. Физика околоземного космического пространства. Курс лекций. Методическое пособие. Самара-Ульяновск. 2010. 180 с.

[57] В.Н. Николаевский. Пространственное осреднение и теория турбулентности. В сб. Вихри и волны. Серия Новое в зарубежной науке № 33. Механика. Под ред. В.Н. Николаевского. М.: Мир, 266 (1984)

[58] C.JI. Марпл-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, (1990).

[59] Финк JI.M. Сигналы, помехи, ошибки. - М.: Радио и связь, 1984. - 256 с.

[60] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1988.

[61] Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. — М.: Мир, 1989.— 540 с.

[62] Злобин В.А. Проблема оценки мгновенной частоты дискретного сигнала. Метод развертывания фазы дискретного сигнала. // Телекоммуникации и транспорт. - №4. - с 29. - 2009.

[63] Щуплов В.В. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2011, 131 с.

[64] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика, Т. 1,(1973).

[65] А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. - М.: Физматлит, 2005.

[66] Горбацкий В.Г. Газодинамические неустойчивости в астрофизических системах: Учеб. пособие. - СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1999. - 168 с.

[67] Burgers I. М. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. 1948, 1, p. 171-199.

[68] Cox S.M., King A.C. On the asymptotic solution of a high-order nonlinear ordinary differential equation // Proc. R. Soc. London A. 1997, 453, p. 711-728.

[69] Овсянников JT.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1978. - 400 с.

[70] Инсаров Г.Э. Ступенчатая модель роста и размножения организмов // Количественные аспекты роста организмов. - М.: Наука. - 1975. - С.114-118.

[71] Климонтович ЮЛ. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус. 1995.

[72] Левич А.П., Алексеев В.Л. Энтропийный экстремальный принцип в экологии сообществ: результаты и обсуждение // Биофизика. - 1997. - Т.42. Вып.2. - С.534-541.

[73] Левич А.П., Алексеев В.Л., Никулин В.А. Математические аспекты вариационного моделирования в экологии сообществ // Математическое моделирование. - 1994. - Т.6, №5. - С.55-71.

[74] Семевский Ф.Н., Семенов С.М. Математическое моделирование экологических процессов. Л.: Гидрометеоиздат. 1982.

[75] Фейнман Р. Статистическая механика. М.: Мир. 1975.

[76] Gibbs J.W. Elementary principles in statistical mechanics. N.Y.: Longmans. 1902.

[77] Gzyl H. The Method of Maximum Entropy. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific. 1995.

[78] Lotka A. Contribution to the energetics of evolution // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1922. V.8. 6. Pp.147-151.

[79] McArthur R.H. Fluctuations of animal populations and measure of community stability // Ecology. 1955. V.36. №7. Pp. 533 - 536.

[80] Samuelson P.A. A biological list-action principle for the ecological model of Volterra-Lotka // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1974. V.71. 8. Pp.3041-3044.

[81] Schmelzer J., Ebeling W., Feistel R. Contributions to the theory of competing predators. III. On the existence of extremum principles // Stud. Biophys. 1981. V.82. 2. Pp.157-158.

[82] Webb J.N. Hamilton's variational principle and ecological models // Ecological Modelling. 1995. V.80. Pp.35-40.

[83] Арцимович JI.A., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. - М.: Атомиздат, 1979.

[84] Lichtenberg A.J., Lieberman М.А. Regular and stochastic motion. - N. Y.: Springer - Verlag, 1983. (Перевод: Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984).

[85] Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.

[86] Заславский Г.М. Статистическая необратимость в нелинейных системах. -М.: Наука, 1970.

[87] Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. - М.: Наука, 1984.

[88] Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Современные проблемы математики. Динамические системы. Т. 1, 2. - М.: ВИНИТИ, 1985.

[89] Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. // Nonlinear Dynamicsand Turbulence / Eds. Barenblatt, Loos, Joseph. - Boston: Pitman, 1983. - P. 1.

[90] Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. - М.: ИЛ, 1947.

[91] Sagdeev R.Z., Galeev A.A. Nonlinear Plasma theory. - N. Y.: Benjamin, 1969.

[92] Кадомцев Б.Б. Турбулентность плазмы // Вопросы теории плазмы. - М.: Атомиздат. - 1964. - Вып. 4. - С. 188.

[93] Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. - М.: Мир, 1969.

[94] Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наук, думка, 1971.

[95] Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. Избранные труды. - Киев: Наук.думка, 1970. - Т. 2. - С. 99.

[96] Williams R.F. The structure of Lorenz Attractors. Lecture Notes in Mathematics, 615. - В.: Springer-Verlag, 1977. - P. 94.

[97] Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца//Нелинейные волны.-М.: Наука. - 1979.-С. 212.

[98] Берзин А.А. и др. // Физика плазмы. - 1987. - Т. 13. - С. 592 - 600.

[99] Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.M. // Nonlinear Phenomena in Plasma Physics and Hydrodynamics / Eds R.Z. Sagdeev. - Moscow: Mir, 1986.

[100] Заславский Г.М., Мальков М.А., Сагдеев Р.З., Шапиро В.Д. // Физика плазмы. - 1986. - Т. 12. - С. 788.

[101] Д.В. Козлов, B.IT. Голованов, Н.А. Бунаков. Изменение свойств материала корпуса реактора ВВЭР-1000 под влиянием нейтронного облучения в исследовательских реакторах // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - Т. 14, № 4 (4). - С. 1062 - 1067.

[102] Алексеенко Н.Н., Амаев А.Д., Горынин И.В., Николаев Ю.А.Радиационное повреждение стали корпусов водо-водяных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1981. 191 с.

[103] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Гидродинамика. -М., «НАУКА», 1986.

[104] Cover, Т.М. and Thomas, J.А. (2006) Elements of Information Theory. John Wiley& Sons, Inc.NewJersy.

[105] Debnath, L. (2004). Nonlinear Differential Equations for Scientists and Engineers. Birkhauser, Boston.

[106] Ellis, S. Richard (1985).Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics. Springer, New York.

[107] Веселовский И.С. и др. Моделирование статических распределений в пространстве параметров солнечного ветра и межпланетного магнитного поля с использованием искусственных нейтронных сетей. // Астроном. Вестник. - 2000. - Т. 34, №2. - С. 131 - 138.

[108] Пудовкин М. И. Солнечный ветер // Соросовский образовательный журнал. - 1996. - № 12. - с. 87-94.

[109] Eugene Parker. Dynamics of the Interplanetary Gas and Magnetic Fields // The Astrophysical Journal 128: 664. (1958).

[110] Хундхаузен А. Расширение короны и солнечный ветер. М.: Мир, 1976. 302 с.

[111] Коваленко В.А. Солнечный ветер. М.: Наука, 1983. 272 с.

[112] Пудовкин М.И., Семенов B.C. Теория пересоединения и взаимодействие солнечного ветра с магнитосферой Земли. М.: Наука, 1985. 126 с.

[113] В.В. Алексеев, И.И. Крышев, Т.Г. Сазыкина. Физическое и математическое моделирование экосистем. С.-П.: Гидрометеоиздат, 1992, 368 с.

[114] Г.Ю. Ризниченко. Математические модели в биофизике и экологии. Москва - Ижевск: ИКИ, 2003, 184 с.

[115] Н. Бейли. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970, 327 с.

[116] Г.Ю. Ризниченко, А.Б. Рубин. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: изд-во Московского университета, 1993, 302 с.

[117] Б.Н. Белинцев. Физические основы биологического формообразования. М.: Наука, ГР Физ.-мат. лит., 1991, 253 с.

[118] Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, ГР Физ.-мат. лит., 1975, 344 с.

[119] Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. Математическая биофизика. М.: Наука, ГР Физ.-мат. лит., 1984, 304 с.

[120] А.Б. Рубин, Н.Ф. Пытьева, Г.Ю. Ризниченко. Кинетика биологических процессов. М.: изд-во Московского университета, 1977, 328 с.

[121] Б.Г. Заславский, P.A. Полуэктов. Управление экологическими системами. М.: Наука, ГР Физ.-мат. лит., 1988, 296 с.

[122] Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, ГР Физ.-мат. лит., 1978, 352 с.

[123] Дж. М. Смит. Математические идеи в биологии. М.: Мир, 1970, 180 с.

[124] Дж. Мари. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, 399 с.

[125] Дж. М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976, 184 с.

[126] C.B. Фомин, М.Б. Беркенблит. Математические проблемы в биологии. М.: Наука, ГР Физ.-мат. лит., 1973, 200 с.

[127] Л.А. Петросян, В.В. Захаров. Введение в математическую экологию. Ленинград: изд-во Ленинградского университета, 1986, 224 с.

[128] Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. Пер. сангл. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 240 с.

[129] Advanced Composition Explorer // Philip's Astronomy Encyclopedia / Moore P. (ed). London, 2002. ISBN 0-540-07863-8.P. 5.

[130] Темам P. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. — 2-е изд. — М.: Мир, 1981, —408 с.

[131] Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов A.M., Чусов М.А. Нелинейные системы гидродинамического типа. - М.: «Наука». - 1974. - 161 с.

[132] Ю.Г. Рудой. Математическая структура равновесной термодинамики и статистической механики, - М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований. - 2013. - 368 с.

[133] В.М. Журавлев, П.П. Миронов, Динамика случайно-возмущенной системы Вольтерра-Лотки и метод максимальной энтропии // Нелинейный мир. - Т.9, № 4. - С. 201-212 (2011).

[134] В.М. Журавлев, ГШ. Миронов, Случайно-возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Физико-математические науки". - №1(30). - С. 352-360 (2013).

[135] Журавлев В.М., Миронов П.П. Динамика случайно-возмущенного уравнения Ферхюльста и метод максимальной энтропии // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -№2 (26).- 2013. - С. 156-170.

[136] Журавлев В.М., Миронов П.П., Летуновский C.B. Построение огибающей и локальной частоты стохастического процесса на основе модели осциллятора с флуктуирующей частотой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - №3 (27). -2013.-С. 153-165.

[137] Миронов П.П., Журавлев В.М., Метод максимальной энтропии и модель солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы // Всероссийский журнал научных публикаций. - № 4 (19). - С. 2-5 (2013).

[138] Журавлев В.М., Миронов П.Г1. Случайно-возмущенные динамические системы и принцип максимума энтропии // Ученые записки Ульяновского государственного университета. - Т.9, № 1. - 2013. - С. 191 - 199.

[139] Журавлев В.М., Миронов П.П. Случайно-возмущенные динамические системы в квадратичном представлении и метод максимальной энтропии // Всероссийский журнал научных публикаций. - № 4 (24). - С. 2-7 (2014).