Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Демидова, Анастасия Вячеславовна

• Демидова, Анастасия Вячеславовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Демидова, Анастасия Вячеславовна

Оглавление

Глава 1. Обзор работ по теме диссертации

I

1.1. Обзор моделей популяционной динамики

1.2. Стохастические популяционные модели

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения

1.4. Сведения по стохастическому исчислению

Глава 2. Метод моделирования одношаговых процессов

2.1. Одношаговые процессы. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Основное кинетическое уравнение

2.2. Метод моделирования многомерных одношаговых процессов

2.3. Численное моделирование

Глава 3. Применение метода моделирования одношаговых процессов

3.1. Стохастические модели популяционной динамики

3.2. Стохастические модели популяционных систем с различными меж- и внутривидовыми взаимодействиями

3.3. Стохастическая модель распространения сетевых червей

3.4. Стохастические модели пиринговых протоколов

Заключение

Литература

t

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов»

Введение

Данная работа посвящена разработке метода построения согласованных стохастических моделей для систем, описываемых одношаговыми процессами, а также иллюстрации применения данного метода к системам по-пуляционной динамики и моделированию р2р-протоколов для анализа и обоснования полученных результатов.

Актуальность работы

В проводимых ранее исследованиях, посвященных динамической модели управляющего модуля типа Random Early Detection (RED), возникали модели, схожие с детерминистическими моделями популяционной динамики типа «хищник-жертва» и моделями эпидемии [1-3] . Но при изучении данных моделей выяснилось, что при их построении функции для уравнений, описывающих эти модели, подбираются из общих соображений о процессах, происходящих в конкретных системах. Одним из недостатков изученного в этих работах подхода авторы отмечают его частный характер. Было описано взаимодействие модуля RED и протокола TCP Reno, но его распространение на другие варианты протокола TCP и управляющего модуля не представляется возможным [2].

Поэтому возникла задача, получения модели из первых принципов для различных систем.

Кроме того, детерминистическое описание не всегда дает хорошее (адекватное) представление о системе. В нем не учитываются различные вероятностные факторы, влияющие на поведение системы. Самым распространенным методом введения стохастики в модель является аддитивное добавление стохастического члена, который описывает лишь внешнее воздействие и никак не связан со структурой самой системы. Поэтому встает вопрос, как получить согласованную стохастическую модель.

Как решение этого вопроса возникло предположение о возможности получения стохастического и детерминистического описания системы из одного уравнения. Выяснилось, что для одношаговых процессов такая возможность существует, т.е. при моделировании системы одношаговыми процессами можно получить стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее стохастическое поведение, а уравнения в моментах для него является детерминистическим описанием системы.

На основании изложенной выше научной проблемы сформулированы следующие цель и задачи диссертации.

Цель диссертационной работы

Разработка метода построения стохастических моделей одношаговых процессов с согласованными детерминистической и стохастической частями.

Задачи диссертационной работы

— разработка метода построения согласованной стохастической модели;

— исследование влияния введения стохастики на поведение модели;

— проверка адекватности и обоснование для полученной модели.

Результаты, выносимые на защиту

1. разработан метод построения согласованных стохастических моделей;

2. иллюстрация применения разработанного метода к системам популяци-онной динамики и моделированию р2р-протоколов;

3. проведен качественный и численный анализ полученных результатов с помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса программ.

Научная новизна

1. Предлагается формулировка метода описания стохастического поведения систем с помощью стохастических дифференциальных уравнений, в которых стохастический член описывает не внешнее воздействие на систему (как это обычно бывает [4-8] и др.), а связан со структурой самой системы. '

2. С помощью описанного метода построены и проанализированы стохастические модели для популяционной динамики и р2р-протоколов.

Методы исследования

В работе использовались методы методы теории случайных процессов, теории стохастических дифференциальных уравнений, качественной теории дифференциальных уравнений, а также численные методы.

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность и достоверность результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения использовались строгие и проверенные методы: методы теории случайных процессов, методы теории стохастического исчисления, численные методы Рунге-Кутта для стохастических дифференциальных уравнений, методы качественного анализа обыкновенный дифференциальных уравнений.

Кроме того, где это было возможно, проводилось сравнение полученных результатов с уже хорошо известными, например для сравнения детерминистического поведения систем для полученных моделей с известными детерминистическими моделями.

Практическая значимость

— Применение разработанного метода позволяет получать стохастические модели для описания временной эволюции систем только из знания об общих характеристиках происходящих процессов в исследуемых системах.

— Для описания поведения системы могут быть получены стохастические дифференциальные уравнения в форме уравнения Ланжевена с разделенными стохастической и детерминистической частями, а также уравнение Фоккера-Планка — дифференциальное уравнение в частных производных. Это расширяет количество методов для исследования полученных моделей. В частности можно решать задачи на краевые условия для уравнения Фоккера-Планка или применять статистический анализ и качественные методы для стохастических дифференциальных уравнений.

— Кроме того, полученные стохастические дифференциальные уравнения можно использовать для качественного анализа не только стохастиче-

I

ского, но и детерминистического поведения системы.

— Разработанный метод был применен для исследования модели эпидемии [9], а в работе [10] авторы использовали этот метод для модели модуля RED и протокола TCP Reno в целях демонстрации её применимости к данному кругу задач. В результате была построена расширенная модель управляющего модуля типа RED для трафика типа TCP Reno.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 99 наименований и одного приложения. Диссертация содержит 126 страниц текста, 19 рисунков.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи, аргументирована научная новизна исследований,

показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе проведен обзор работ по теме диссертации.

В разделе 1.1 сделан обзор работ по существующим моделям популя-ционной динамики. Модели популяционной динамики взяты за основу, так как они и подобные им модели имеют широкое применение не только в биологии, но и почти во всех областях науки (в физике, химии, экономике, теории массового обслуживания и др.). Развитие популяционной динамики началось с изучения детерминистических моделей, первой из которых была модель Мальтуса [11] — модель неограниченного роста изолированной популяции. Затем началось усложнение модели вводом дополнительных факторов. Следующим шагом стало изучение динамики взаимодействующих популяций, основной из которых считается модель Лотки-Вольтерра [12,13]. Временная эволюция в этих моделях описывается с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. С появлением и развитием теории случайных процессов началось развитие моделей, учитывающих вероятностные механизмы процессов популяционной динамики. Основные направления стохастического моделирования популяционной динамики описаны в разделе 1.2.

Раздел 1.3 посвящен теории стохастических дифференциальных уравнений и теории стохастического исчисления. Первым стохастическим дифференциальным уравнением принято считать уравнение Ланжевена, описывающее броуновское движение. Кроме того, основной формой записи является стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена, т.е. уравнения, состоящего из стохастической и детерминистической

<

частей. Стохастическое дифференциальное уравнение часто используют для описания стохастического поведения системы, но как правило стохастический член уравнения представляется как внешнее случайное воздействие на систему.

Одной из задач диссертации является задача записи стохастического дифференциального уравнения для системы так, чтобы стохастический член был связан со структурой изучаемой системы. Одно из возможных решений этой задачи — это получение стохастической и детерминистической частей из одного и тоже уравнения. Для этих целей удобно использовать основное кинетическое уравнение, которое может быть аппроксимировано уравнением Фоккера-Планка, для которого,в свою очередь, можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.

Раздел 1.4. содержит основные сведения, необходимые для обозначения связи между стохастическим дифференциальным уравнением и уравнением Фоккера-Планка, а также основные понятия стохастического исчисления.

Во второй главе приводятся основные сведения из теории случайных процессов и на основе этой теории формулируется метод моделирования одношаговых процессов.

В разделе 2.1 приведены основные сведения из теории случайных одношаговых процессов.

Под одношаговыми процессами понимаются марковские процессы с непрерывным временем, принимающие значения в области целых чисел, матрица перехода которых допускает только переходы между соседними

участками.

Рассматривается многомерный одношаговый процесс

X(f) = (X1(t),X2(t),...,Xn(t)) = {Xj(t)J=T^i} , (0.1)

изменяющийся по t на отрезке [0, Т], т.е. t £ [0, Т], где Т - длина временного интервала, на котором задан процесс Х(£). Множество © = {х^, г — 1, то} Е Ng X Ng2 — это множество дискретных значений, которые может принимать случайный процесс.

Для данного одношагового процесса вводятся вероятности переходов в единицу времени s+ и s~ из состояния хг- в состояние x^+i и Xj_i соответственно. При этом считается, что вероятность перехода из состояния х^ на два или белее шагов за единицу времени очень мала. Поэтому можно говорить, что вектор Xf состояния системы изменяются шагами длины Г; и тогда вместо переходов из х^ в x^+i и можно рассматривать переходы изхвх + ггих-г, соответственно.

При моделировании систем, в которых временная эволюция происходит в результате взаимодействия элементов системы удобно описывать с помощью основного кинетического уравнения, (другое название управляющее уравнение [14,15], а в англоязычной литературе носит название Master equation [16]).

Далее встает вопрос, как получить описание исследуемой системы, описываемой одношаговыми процессами, с помощью стохастического дифференциального уравнения в форме уравнения Ланжевена из основного кинетиче-

ского уравнения. Формально к стохастическим уравнениям следует отнести лишь уравнения, содержащие стохастические функции. Таким образом, этому определению удовлетворяют лишь уравнения Ланжевена. Однако они связаны непосредственно с другими уравнениями, а именно с уравнением Фоккера-Планка и основным кинетическим уравнением. Поэтому представляется логичным рассматривать все эти уравнения в совокупности. Поэтому для решения этой задачи предлагается аппроксимировать основное кинетическое уравнение уравнением Фоккера-Планка, для которого можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.

В разделе 2.2 формулируется метод описания и стохастического моделирования систем, описываемых многомерными одношаговыми процессами.

Кроме того, показано, что коэффициенты для уравнения Фоккера-Планка можно получить сразу после записи для изучаемой системы схемы взаимодействия, вектора изменения состояния г и выражений для вероятностей перехода и б", т.е. при практическом применении данного метода нет необходимости записывать основное кинетическое уравнение.

В разделе 2.3. рассмотрен метод Рунге-Кутта для численного решения стохастических дифференциальных уравнений, который используется в третьей главе для иллюстрации полученных результатов.

В третьей главе представлена иллюстрация'применения, описанного во второй главе метода построения стохастических моделей, на примере систем описывающих динамику роста взаимодействующих популяций, таких как «хищник-жертва», симбиоз, конкуренция и их модификации. Целью

является записать их в виде стохастических дифференциальных уравнений и исследовать влияние введения стохастики на поведение системы.

В разделе 3.1. проиллюстрировано применение описанного во второй главе метода на примере модели «хищник-жертва».

Системы с взаимодействием двух видов популяций типа «хищник-жертва» широко исследованы, что позволяет сравнить полученные результаты с уже хорошо известными.

Анализ полученных уравнений показал, что для исследования детерминистического поведения системы, можно использовать вектор сносов А полученного стохастического дифференциального уравнения, т.е. разработанный метод можно использовать для анализа как стохастического, так и детерминистического поведения. Кроме того сделан вывод, что стохастические модели дают более реалистичное описание поведения системы. В частности, для системы «хищник-жертва» в детерминистическом случае, решения уравнений имеют периодический вид и фазовый объем сохраняется,

I

в то время как, введение стохастики в модель, дает монотонное возрастание фазового объема, что говорит о неизбежной гибели одной либо обеих популяций. В целях визуализации полученных результатов было проведено численное моделирование.

В разделе 3.2. разработанный метод применяется для получения и анализа различных стохастических моделей популяционной динамики, таких как модель «хищник-жертва» с учётом межвидовой конкуренции среди жертв, симбиоз, конкуренция и модель взаимодействия трех популяций.

В разделе 3.3. строиться и анализируется стохастическая модель рас-

пространения сетевых червей, вредоносных программ, которые способны самостоятельно находить новые компьютеры для заражения и использовать их для дальнейшего распространения.

В разделе 3.4. строятся стохастические модели р2р-протоколов Еав^аск и В^Тогге^. Раздел посвящен иллюстрации того, что можно применять данный метод для моделирования не только популяционной динамики, но и к техническим задачам.

В Заключении перечислены основные выводы и результаты, полученные в диссертации.

Глава 1. Обзор работ по теме диссертации

1.1. Обзор моделей популяционной^ динамики

Математические модели популяционной динамики имеют широкое применение не только в биологии и экологии, но также для описания процессов, происходящих в системах сходных по своим свойствам с биологическими, например в химии, физике, экономике, телекоммуникациях и т.д.

Большинство моделей описывающих эволюцию популяционных систем являются детерминистическими и имеют следующие недостатки. Во-первых, такие модели не учитывают вероятностный характер процессов рождения и гибели индивидуумов популяций. Во-вторых не учитываются случайные колебания в среде обитания, которые приводят к флуктуациям параметров системы. Этих недостатков лишены стохастические модели, которые, в отличии от детерминистических, учитывают вероятностный характер процессов живой природы и тем самым позволяют более точно описать динамику популяций.

1.1.1. Модель Лотки-Вольтерра

Первой работой в которой формулировался закон роста численности популяции принято считать книгу Т. Мальтуса «Опыт о законе народонаселения» 1798 г. [11]. В своей книге Т. Мальтус предложил модель, согласно

которой динамика численности популяции при условии неограниченных ресурсов описывается уравнением экспоненциального роста:

Следующим шагом развития математического моделирования динамики популяций стало введение в модель фактора ограничивающего размножение. Впервые это было сделано Ферхюльстом в 1838 г., который предложил описывать популяции, рост которых ограничен ресурсами необходимыми для ее размножения, с помощью логистического уравнения [17]:

Здесь параметр К носит название емкости популяции и определяется различными факторами, такими как, например, доступность ресурсов, а параметр а — показатель экспоненциального роста популяции при малой численности.

Эти модели описывают поведение изолированной популяции, и естественным развитием математического моделирования в биологии, стало описание систем в которых популяции взаимодействуют. Первые работы в этом направлении появились в 20-х годах XX века.

Наиболее изученными является системы взаимодействия двух популяций. Два вида могут взаимодействовать между собой различными способами и наиболее распространенная классификация взаимодействия популяций основана на результатах взаимодействия видов, которую предложил

ЛГЩ = аЛГЩ.

(1.1)

(1.2)

Ю. Одум [18]. Данная классификация подразумевает оценивать воздействие одного вида на другой как положительное (+) или отрицательное (-), возрастает или убывает численность популяции одного вида в присутствии другого вида. В итоге, принято выделять три основных типа взаимодействия.

Конкуренция (--) - присутствие каждого вида неблагоприятно сказывается на скорости размножения особей другого вида. Симбиоз (++) - сожительство организмов двух видов, приносящее взаимную пользу.

Взаимодействие (—Ь) - хищник-жертва, паразит-хозяин и т.п.

В общем виде взаимодействие двух популяций можно описать системой дифференциальных уравнений [19,20]:

Здесь переменные и и V — это численность взаимодействующих популяций. Члены типа а^иу, г, у = 1,2 соответствуют межвидовому взаимодействию. Если виды конкурируют, коэффициенты ац отрицательны, иначе виды находятся во взаимодействии типа симбиоз. Если коэффициенты а\ч и а,21 имеют разный знак, происходит взаимодействие типа «хищник-жертва». Члены типа аци2 и а22^2 отражают внутривидовую конкуренцию, а члены а\и и а,2У соответствуют свободному размножению видов (если аг- > 0, то вид размножается, если щ < 0 вид вымирает).

Системы с взаимодействием двух видов популяций типа «хищник-жертва»

(1.3)

наиболее исследованы и для таких систем существует большое количество разнообразных моделей. Самой первой моделью «хищник-жертва», принято считать модель полученную независимо друг от друга А. Лоткой и В. Вольтерра. А. Лотка в своей работе описывал некоторую гипотетическую химическую реакцию вида [21]:

где X, У — промежуточные вещества, коэффициенты к\,к2,к% — скорости химических реакций, А — исходный реагент, а В — продукт реакции. И получил систему дифференциальных уравнений вида:

Эта система полностью совпадает с системой дифференциальных уравнений, полученной Вольтерра, который рассматривал механизм роста численности двух популяций с взаимодействием типа «хищник-жертва». Для получения уравнений Вольтерра в своей работе [13] делает следующие идеализированные представления о характере внутривидовых и межвидовых отношений в системе «хищник-жертва». Для того чтобы охарактеризовать одним числом некоторую популяцию в ограниченной области, делается допущение, что индивидуумы каждого вида однородны (не учитывается возраст и размер). Также предполагается, что тип индивидуума не меняется со временем.

(1.4)

(1.5)

Следующее допущение, которое сделал Вольтерра, состоит в том, что численность индивидуумов каждого вида увеличивается и уменьшается непрерывным образом, т.е. функция описывающая численность вида является непрерывно дифференцируемой функцией. Кроме того в отсутствие хищника популяция жертвы размножается экспоненциально по закону Мальтуса, а популяция хищника при отсутствии жертвы экспоненциально вымирает.

Также предполагается, что количество жертвы, которое потребляет популяция хищника в единицу времени, линейно зависит и от численности популяции жертвы, и от численности популяции хищника, а потребленная хищником биомасса жертвы с постоянным коэффициентом перерабатывается в биомассу хищника. Другие факторы, которые оказывают влияние на динамику популяций, не учитываются (такие как внутривидовая конкуренция, ограниченность ресурсов и т.д.).

Далее рассматривается случай, когда в ограниченной среде сосуществуют два вида, один из которых (хищник) питается за счет индивидуумов

I

второго вида (жертва). Очевидно, что численность жертв будет увеличиваться тем медленнее, чем больше существует хищников, а хищники — тем быстрее, чем многочисленнее жертвы. При этих предположениях В. Вольтерра получил систему дифференциальных уравнений для описания численности видов следующего вида [13]:

<т (1-6)

-^ = (-£2+72^1)^2.

где N1 — численность жертв, N2 - численность хищников, и е2 положительные постоянные коэффициенты, отражающие естественную рождаемость и смертность жертв и хищников соответственно, а 71 и 72 это положительные постоянные коэффициенты, для описания межвидового взаимодействия.

1.1.2. Модификации модели Лотки-Вольтерра

Модель Колмогорова

Основная особенность модели Вольтерра, благодаря которой она стала

1

основой для многих последующих моделей математической биологии, состоит в том, что на основе очень упрощенных представлений о характере системы, с помощью математических средств был сделан вывод о качественном характере поведения такой системы. Однако у этой системы есть существенных недостатка. С одной стороны, данная система не учитывает такие важные факторы взаимодействия популяций, как эффект насыщения хищника, ограниченность ресурсов жертвы и хищника и т.п. [19]. С другой стороны, система (1.6) является негрубой и консервативной, т.е. учет дополнительных факторов может качественным образом изменить характер ее поведения. Таким образом, можно сделать заключение, что данная модель не может служить адекватным описанием колебаний численности популяций в природе. Для решения этой проблемы было предложено большое количество разнообразных моделей, но почти во всех предлагалось описывать вид функции в правой части системы (1.6) в зависимости

от конкретной ситуации [22]. Работа А.Н.Колмогорова [23] стала одной из первых попыток выделить общий критерий для вида функции, которой могут быть описаны те или иные особенности поведения численности взаимодействующих популяций. Впервые было предложено изучать модели взаимодействующих популяций на основе качественных представлений о системе и не расшифровывая детально вид правых частей уравнений динамики, Колмогоров предложил рассмотреть следующую систему

^ = ^(Лад -

т №

где N1 — численность жертв, N2 - численность хищников, а функции ^(Л^), ^2(^1), определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы.

Как и в модели Вольтерра, здесь не учитывается взаимодействие хищников друг с другом, т.е. коэффициент размножения хищников К2 и число жертв Ь, истребляемых одним хищником в единицу времени, не зависят от N2. Также считается, что за малые промежутки времени увеличение числа жертв при наличии хищников равно их приросту в отсутствии хищников за исключением числа жертв, истребляемых хищником. Для исследования поведения решений системы (1.7) Колмогоров делает следующие качественные предположения о характере функций К\{1Ь{Ы\) [23]:

1. ^ < 0, ^1(0) > 0 > ^1(00) > —оо. Т.е. коэффициент размножения жертв в отсутствие хищников монотонно убывает с ростом численности жертв (таким путем учитывается внутривидовая конкуренция среди

жертв и ограниченность пищевых и других ресурсов, необходимых для существования жертв).

2. ^ < Ó, ^2(0) < 0 < ^2(00)- Это неравенство указывают на тот факт, что с ростом численности жертв коэффициент размножения хищников возрастает, переходя от отрицательных значений (когда пища для хищников недостаточно) к положительным.

3. L(Ni) > 0 при Ni > О, L(0) = 0.

Элементарные факторы внутри- и межпопуляционных отношений

Другое направление развития исследований динамики взаимодействующих популяций основано на учете дополнительных факторов и их различных комбинаций. Большой вклад в исследования этого направления внес А.Д. Базыкин [19,24]. Его работы посвящены исследованию динамических режимов в моделях двух и трех взаимодействующих популяций, которые связаны различными биологическими взаимоотношениями, с учетом дополнительных факторов, а также их качественному анализу. Далее перечислены некоторые из наиболее важных факторов, оказывающих принципиальное влияние на меж- и внутрипопуляционные отношения в системе «хищник-жертва» [19]:

1. нелинейная зависимость скорости размножения и смертности жертв при малых значениях численности;

2. конкуренция среди жертв;

3. насыщение хищника;

4. нелинейная зависимость скорости потребления хищниками жертв от численности популяции жертвы;

5. конкуренция среди хищников за жертв;

6. конкуренция среди хищников за отличные от жертвы ресурсы.

Много работ посвящено именно детерминистическим моделям популяци-онной динамики, основанным на системах дифференциальных уравнений. Так, например, работа Дж. Мари [25] является подробным описанием биологической сути описываемых явлений. Особое внимание автор уделяет сравнению результатов анализа математических моделей нелинейных популяционных систем с экспериментальными данными. Много книг посвящено обзору существующих детерминистических популяционных моделей и методам их исследования [17,19,20,22,26-29].

Одной из наиболее актуальных проблем является устойчивость экосистем, а математическим аппаратом для анализа поведения популяционных моделей служит качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций. В книге [19] излагается качественная теория дифференциальных уравнений для анализа кинетики популяционных процессов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Демидова, Анастасия Вячеславовна, 2014 год

Литература

1. Королькова А. В. Определение области возникновения автоколебаний в системах типа red // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 1. — С. 110-112.

2. Королькова А. В., Кулябов Д. С. Математическая модель динамики поведения параметров систем типа red // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 2. — С. 54-64.

3. Королькова А. В., Черноиванов А. И. Моделирование при помощи стохастических дифференциальных уравнений поведения ТСР-трафика при взаимодействии с узлом, работающим по алгоритму RED. — М. : МФТИ, 2009.- Т. 1.- С. 130-133.

4. Ланжевен П. Избранные труды. О теории броуновского движения. — М. : Изд. АН СССР, 1960.-729 с.

5. Перцев Н. В., Логинов К. К. Стохастическая модель динамики биологического сообщества в условиях потребления особями вредных пищевых ресурсов // Математическая биология и биоинформатика. — 2011. — Т. 6, № 1. — С. 1-13. — URL: http://www.matbio.org/2011/Pertsev20lK6_ 1).pdf.

6. Павловский И. П., Суслин В. М. Стохастическая модель эволюции популяции в пространстве // Математическое моделирование. — 1994. — Т. 6, №3.-С. 9-24.

7. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой метематики.— Москва : Фазис, 1998. — 512 с.

8. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — Москва : Мир, 2003. — 408 с.

9. Еферина Е. Г. Согласованное введение стохастики в эпидемиологическую модель // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем»: Тезисы докладов. - М. : РУДН, 2014.- С. 233-235.

10. Велиева Т. Р., Королькова А. В., Кулябов Д. С., Сантуш Б. А. Модель управления очередями на маршрутизаторах // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2014. — № 2. — С. 81-92.

11. Мальтус Т. Р. Опыт закона о народонаселении. — Москва, 1895.

12. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. — BiblioBazaar, 2011. — 492 p.— ISBN: 9781178508116.— URL: http://books.google.ru/books?id= tFN9pwAACAAJ.

13. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование // Успехи физических наук. — 1928. — Т. 8, № 1. — С. 13-34.

14. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — Москва : Мир, 1986. — 528 с.

15. Рёпке Г. Неравновесная стохастическая механика.— Москва : Мир, 1990.- 320 с.

16. Risken Н. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications. — Springer Series in Synergetics, 1984. — 425 p.

17. Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 232 с.

18. Одум Ю. Основы экологии. — Москва : Мир, 1975. — 740 с.

19. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.

20. Рубин А. Б., Пытьева Н. Ф., Ризниченко Г. Ю. Кинетика биологических процессов. — Изд-во Моск. ун-та, 1977. — 330 с.

21. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. — Baltimore : Williams &; Wilkins Company, 1925. — 460 p.

22. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Математические модели биологических продукционных процессов. — Изд-во МГУ, 1993.

23. Колмогоров А. Н. Качественное изучение математических моделей популяций // Проблемы кибернетики. — 1972.— № 25.— С. 101-106.

24. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. — Москва : Наука, 1985. — 182 с.

25. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. — М. : Мир, 1983. — 397 с.

26. Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 183 с.

27. Разжевайкин В. Н. Модели динамики популяций.— М. : ВЦ РАН им. А.А.Дородницына, 2006. — 87 с.

28. Зарипов Ш. X. Дискретные модели популяций. Часть 1. Разностные уравнения. — Казань : Изд-во Казанского государственного университе-

та, 2008. — 36 с.

29. Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии. — М. : Физматлит, 2010. — 400 с.

30. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. — М. : Наука, 1978. — 352 с.

31. Бейли Н. Т. Д. Математика в биологии и медицине. — Москва : Мир, 1970.-326 с.

32. Недорезов JI. В., Утюпин Ю. В., Утюпина С. П. Эффект насыщения в модели системы «хищник-жертва» // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2001. — Т. 4, № 1(7). — С. 150-164.

33. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. — М. : Мир, 1986. — 243 с.

34. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний. — М. : Высшая школа, 2001.-395 с.

35. Масина О. Н., Дружинина О. В. Существование устойчивых состояний равновесия и предельные свойства решений обобщенных систем лотки-вольтерра // Вестник Воронежского государственного университетата. Серия «Физика. Математика». — 2007. — № 1. — С. 55-57.

36. Дружинина О. В., Масина О. Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. — Москва : ВЦ РАН, 2009. — 180 с.

37. Дружинина О. В. Индекс, дивергенция и функции Ляпунова в качественной теории динамических систем. — Москва : ЛЕН АНД, 2013. — 280 с.

38. Калиткин Н. Н., Карпенко Н. В., Михайлов А. П. и др. Математические модели природы и общества.— Москва : Физматлит, 2005. — 360 с.

39. Калиткин Н. Н. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи математических наук. — 2002. — Т. 57, № 2(344). — С. 23-84.

40. Перцев Н. В., Пичугин Б. Ю., Логинов К. К. Статистическое моделирование динамики популяций, развивающихся в условиях воздействия

I

токсичных веществ // Сиб. журн. индустр. матем. — 2011.— № 14:2.— С.- 84-94.

41. Кампен Н. Г. В. Стохастические процессы в физике и химии. — Москва : Высшая школа, 1990. — 376 с.

42. Doi М. Second quantization representation for classical many-particle system // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1976. — Vol. 9, no. 9. — P. 1465-1477. — URL: http: //iopscience. iop. org/0305-4470/ 9/9/008.

43. Doi M. Stochastic theory of diffusion-controlled reaction // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1976. — Vol. 9, no. 9. — P. 14791495. — URL: http://iopscience.iop.org/0305-4470/9/9/009.

44. Moreau M., Oshanin G., Benichou О., Coppey M. Stochastic theory of diffusion-controlled reactions // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications.— 2003.— Vol. 327, no. 1-2.— P. 99-104.— URL: http: //linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0378437103004588.

45. Dodd P. J., Ferguson N. M. A many-body field theory approach to stochastic models in population biology. // PloS one.— 2009.— Vol. 4, no. 9.— P. e6855. — URL: http: //www. pubmedcentral. nih. gov/articlerender.

fcgi?artid=2734401&tool=pmcentrez&rendertype=abstract.

{

46. Hnatich M., Honkonen J. Velocity-fluctuation-induced anomalous kinetics of the A+A-> reaction // Physical review. E, Statistical physics, plasmas, fluids, and related interdisciplinary topics. — 2000. — Vol. 61, no. 4 Pt A. — P. 3904-3911. — URL: http: //www. ncbi. nlm. nih. gov/pubmed/ 11088171.

47. Hnatich M., Honkonen J., Lucivjansky T. Field Theory Approach In Kinetic Reaction: Role Of Random Sources And Sinks. — 2011. — P. 1-14. — arXiv : 1109.6435.

48. Hnatic M., Honkonen J., Lucivjansky T. Field-theoretic technique for ir-

(

reversible reaction processes // Physics of Particles and Nuclei. — 2013. — Vol. 44, no. 2.— P. 316-348.— URL: http://link.springer.com/10. 1134/S1063779613020160.

49. Афанасьев В. H., Колмановский В. В., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. — Москва : Высшая школа, 1989.-448 с.

50. Афанасьев В. Н. Динамические системы управления с неполной информацией: алгоритмическое конструирование. — Москва : УРСС, 2007. — 216 с.

51. Кушнер Г. Д. Стохастическая устойчивость и управление. — Москва : Мир, 1969. — 198 с.

52. Einstein А. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen // Annalen der Physik. — 1905. - no. 322 (8). — P. 549-560.

53. Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение. Сборник статей. — M.-JI. : Главн. ред. общетехн. лит., 1936,— 608 с.

54. Понтрягин JI. С., Андронов А. А., Витт Д. А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ.— 1933.— Т. 3, № 3.— С. 165-180.

55. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Теория вероятностей. Математическая статистика. Том 4. — М. : Наука, 1964.

56. Bernstein S. Principes de la théorie des équations différentielles stochastiques, i // Тр. Физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1934. — Т. 5. — С. 95124.

57. Ito К. Stochastic Intégral. — Tokyo : Proc. Impérial Acad., 1944.

58. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — Москва : Мир, 1986.-329 с.

59. Гихман И. И. Дифференциальные уравнения со случайными функциями. — Киев : Ин-т математики АН УССР, 1964.

60. Гихман И. И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями // Укр.мат.журн. — 1950. — Т. 2, № 3. — С. 45-69.

61. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. — Киев : Наукова думка, 1982. — 612 с.

62. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. — Киев : Наукова думка, 1968. — 356 с.

63. Стратонович P. JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. — Москва : Сов. радио, 1961. — 560 с.

64. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференци-

альных уравнений и стохастических интегралов. — С.Петербург : Наука, 1999.-463 с.

65. Лукшин А. В., Смирнов С. Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. - 1990. - Т. 2, № 11. - С. 108-121.

66. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. — С.Петербург : Изд. Политех. Университета, 2009. — 800 с.

67. Debrabant К., Robler A. Classification of stochastic runge-kutta methods for the weak approximation of stochastic differential equations // Mathematics and Computers in Simulation. — 2008. — Vol. 77, no. 4. — R 408-420.

68. Napoli A. Economical runge-kutta methods with weak second order for stochastic differential equations // Int. J. Contemp. Math. Sciences.— 2010.-Vol. 5, no. 24.-P. 1151-1160.

69. Logmani G. B. High strong order implicit runge-kutta methods for stochastic ordinary differential equations // System Dynamics Society. Proceedings of the 22nd International Conference. — Oxford, England, UK, 2004. — Jule 2529. — URL: http://www.systemdynamics.org/conferences/2004/SDS_ 2004/PAPERS/109L0GHM.pdf.

70. Tocino A., Ardanuy R. Runge-kutta methods for numerical solution of stochastic differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2002. — Vol. 138, no. 2.— P. 219-241.— URL: http:// www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042701003806.

71. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — Москва': Едиториал УРСС,

2005.-488 с.

72. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Т. М. Случайные процессы.— Москва : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 448 с.

73. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — Москва : Физматлит, 2005. — 408 с.

74. Бартлетт М. С. Введение в теорию случайных процессов. — Москва : Иностранная литература, 1958. — 384 с.

75. Дуб Д. Вероятностные процессы. — Москва : Физматгиз, 1963. — 608 с.

76. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. — Москва : Наука, 1996.-400 с.

77. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. — Москва : Сов. радио, 1977. — 488 с.

78. Степанов С. С. Стохастический мир. Электронный ресурс. — 2009. — 376 е. — URL: http://synset.com/pdf/ito.pdf.

79. Леваков А. Стохастические дифференциальные уравнения. — Минск : БГУ, 2009.-231 с.

80. Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. — Москва : Наука, 1986. — 448 с.

81. Чжун К., Уильяме R Введение в стохастическое интегрирование.— Москва : Мир, 1987. — 150 с.

82. Зубарев Н. Д., Морозов Г. В., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. — Москва : Физматлит, 2002. — 432 с.

83. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. — Москва : Наука, 1985. — 560 с.

84. 0ksendal В. К. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin : Springer, 2003. — 360 p.

85. Артемьев С. С., Якунин М. А. Математическое и статистическое моделирование в финансах.— Новосибирск : Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008.— 174 с.

86. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. — Москва : Наука, 1976. — 494 с.

87. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. — Москва : Наука, 1969. — 512 с.

88. Кнорре Д. Г., Эмануэль Н. М. Курс химической кинетики.— М. : Высшая школа, 1984. — 463 с.

89. Калинкин А. В. Схемы взаимодействий: детерминированные и стохастические модели: Метод, указания к выполнению типового расчета по курсу «Дополнительные главы теории случайных процессо». — Москва : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. — 44 с.

90. Геворкян М. Н. Конкретные реализации симплектических численных методов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2013. — № 1. — С. 77-89.

91. Soheili A. R., Namjoo М. Strong approximation of stochastic differential equations with runge-kutta methods // World Journal of Modelling and Simulation. — 2008. —Vol. 4, no. 2. — P. 83-93.

92. Lu F., Wang Z. Two implicit runge-kutta methods for stochastic differential equation // Applied Mathematics. — 2012. — no. 3. —P. 1103-1108.

93. Kinderman A. J., Monahan J. F. Computer generation of random

Mathematical Software. — 1977. — Vol. 3, no. 3. — P. 257-260. — URL: http://stevereads.com/papers_to_read/computer_generation_of_ random_variables_using_the_ratio_of_uniform_deviates.pdf.

94. Кулябов Д. С., Демидова А. В. Введение согласованного стохастического

члена в уравнение модели роста популяций // Вестник РУДЫ. Серия

t

«Математика. Информатика. Физика». — 2012. — № 3. — С. 69-78.

95. Демидова А. В. Уравнения динамики популяций в форме стохастических дифференциальных уравнений // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 1. — С. 67-76.

96. Геворкян М. Н., Демидова А. В., Егоров А. Д. и др. Влияние стохасти-зации на одношаговые модели // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2014. — № 1.— С. 71-85.

97. Захарченко А. Черводинамика — причины и следствия. — 2004. — URL: http://citforum.ru/security/virus/ch_dinamic/.

98. Liang J., Kumar R., Ross K. W. The FastTrack overlay: a measurement study // Computer Networks. — 2006. — no. 50(6): — P. 842-858.

99. Ding С. H., Nutanong S., Buyya R. Peer-to-peer networks for content sharing // Journal of Systems Architecture. — 2006. — no. 52. — P. 737-772.