Метод статического учета высших форм колебаний в задачах динамики конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ле Ты Куанг Чунг

• Ле Ты Куанг Чунг
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Ле Ты Куанг Чунг

Введение

Глава 1. Обзор существующих методик динамического расчета сооружений

1.1 Нормативно-технические базы по динамическому расчёту сооружений

1.2 Методы решения динамических задач

1.3 Методы синтеза подконструкций

1.4 Методы учета вклада высших форм колебаний

1.5 Выводы по первой главе

Глава 2. Метод статического учета высших форм колебаний в задачах динамики конструкций

2.1 Вынужденные колебания без демпфирования

2.1.1 Определение собственных частот и форм колебаний

2.1.2 Стандартный метод разложения по собственным формам колебаний

2.2 Методы статического учета вклада высших форм колебаний

2.2.1 Метод «матрицы остаточной податливости»

2.2.2 Метод «остаточного члена»

2.3 Алгоритм решения задачи методом статического учета высших форм колебаний с использованием стандартных программных комплексов

2.4 Вынужденные колебания с демпфированием

2.5 Аналитическое решение задачи о гармоническом воздействии распределенной нагрузки

2.6 Аналитическое решение задачи под действием нестационарного сосредоточенного момента

2.7 Выводы по второй главе

Глава 3. Применение метода статического учета высших форм колебаний при решении динамических задач разных типов

3.1 Пространственная рама

3.2 Изгибаемая плита

3.3 Металлическая ферма

3.4 Расчёт строительных конструкций на несколько динамических воздействий

3.4.1 Описание задачи

3.4.2 Решение задачи методом статического учета высших форм колебаний

3.4.3 Решение задачи методом прямого интегрирования уравнений движения

3.4.4 Сравнение результатов решения предлагаемым методом и методом прямого интегрирования уравнений движения

3.5 Колебания конструкции под действием гармонической нагрузки с экспоненциально убывающей амплитудой

3.5.1 Решение динамической задачи по методу статического учета высших форм колебаний

3.5.2 Решение динамической задачи методом прямого интегрирования уравнений движения

3.6 Выводы по третьей главе

Глава 4. Использование метода статического учета высших форм колебаний в задачах анализа сейсмостойкости сооружений

4.1 Расчет сооружений по акселерограммам землетрясений

4.2 Методика генерации сейсмического воздействия

4.3 Исходные данные для анализа сейсмостойкости жилого здания

4.4 Расчет конструкции на сейсмические воздействия

4.4.1 Расчет с использованием метода прямого интегрирования уравнений движения по сейсмограмме

4.4.2 Расчет на сейсмические воздействия по акселерограмме

4.4.3 Расчет с использованием линейно-спектральной методики

4.4.4 Метод статического учета высших форм колебаний

4.5 Выводы по четвертой главе

Заключение

Список литературы

Приложение А - Публикации по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод статического учета высших форм колебаний в задачах динамики конструкций»

Введение

Актуальность темы диссертации. При расчете строительных конструкций на динамические воздействия с использованием программных комплексов чаще всего используется метод разложения по собственным формам колебаний -модальный метод. Теоретически такой метод может дать точное решение динамической задачи при условии, что будет учтено полное количество собственных форм колебаний, которые имеет математическая модель конструкции - модель с конечным числом динамических степеней свободы. Однако, динамические расчеты для сложных конструкций, которые имеют большие расчетные схемы со многими степенями свободы требуют значительного времени, что является неудобным, например, на этапе предварительного проектирования, когда необходимо в сжатые сроки рассмотреть несколько вариантов и выбрать из них оптимальный. Поэтому на практике для ускорения процесса проектирования динамические расчеты выполняют приближенно с учетом ограниченного количества первых собственных форм колебаний. Вклад в динамическую реакцию сооружения неучтенных высших форм колебаний, как правило, никак не оценивается. Погрешность приближенного решения динамической задачи при этом может оказаться значительной. В результате строительные конструкции проектируются с избыточным запасом прочности, что приводит к значительному увеличению стоимости сооружений.

Поэтому разработка методов динамических расчетов, которые позволяют повысить точность результатов и принимать на этой основе более экономичные проектные решения является актуальной задачей.

Степень разработанности темы исследования. Методы учета вклада высших форм колебаний тесно связаны с методами подконструкций - методами конденсации (уменьшения) количества неизвестных при решении динамических задач. Разработкой и исследованием методов подконструкций занималось большое количество отечественных и зарубежных специалистов. В России и бывшем СССР этим вопросам посвящены исследования В.В. Безделева, Р.К. Низамова, В.Н.

Вернигора, С.А. Зегжда, А.Н. Бирбраера, Ю.В. Сазонова, Б.В. Цейтлина, А.И. Лиходеда, В.В. Сидорова, А.В. Филимонова, А.Г. Тяпина, А.М. Белостоцкого, А.Л. Потапенко, П.А. Акимова, Ш.Х. Солтаханова, М.П. Юшкова, В.А. Киндера, и др. За рубежом методами подконструкций занимались Hurty W.C., MacNeal R.H., Rubin S., Hintz R.M., Craig R.R., Chang C.J., Leung A.Y.T., Allen K., Petyt M., Wang Z.W., Leger P., Wilson E.L., Ookuma M., Nagamatsu A., Chopra A.K., и др.

Существует несколько методов приближенного учета высших форм колебаний. Эти методы разработаны, в основном, для решения задач сейсмостойкости строительных конструкций. Для других видов динамических нагрузок применение этих методов разработано недостаточно. Одним из способов учета вклада высших форм колебаний является метод матрицы остаточной податливости. Однако, прямое использование этого метода невозможно на существующих программных комплексах и требует написания дополнительных подпрограмм.

Цели исследования. Разработать метод статического учета вклада высших форм колебаний для решения задач динамики конструкций при произвольных динамических воздействиях. Разработать такую форму реализации этого метода, которая ориентирована на применение существующих программных комплексов и не требует написания и использования дополнительных подпрограмм.

Задачи исследования. Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

1. Разработать методику (алгоритм) метода статического учета вклада высших форм колебаний, ориентированную на использование существующих программных комплексов.

2. Разработать способ решения статических задач в виде разложения по собственным формам колебаний при использовании программных комплексов.

3. Разработать методику применения способа статического учета вклада высших форм колебаний для различных, в том числе сейсмических, видов динамических воздействий.

4. Исследовать точность предложенного способа при решении задач динамики для различных типов строительных конструкций и различных видов динамических воздействий.

Объектом исследования являются строительные конструкции при динамических воздействиях.

Предметом исследования является метод учета вклада высших форм колебаний для решения задач динамики конструкций при произвольных динамических воздействиях.

Научная новизна диссертационного исследования:

1. Разработан алгоритм метода учета вклада высших форм колебаний для решения задач динамики строительных конструкций с помощью существующих программных комплексов.

2. Разработан способ решения статических задач в виде разложения по собственным формам колебаний при использовании существующих программных комплексов.

3. Разработана методика применения метода статического учета высших форм колебаний в задачах динамики строительных конструкций при произвольных, в том числе сейсмических, динамических воздействиях.

Теоретическая значимость диссертационной работы. Метод статического учета высших форм колебаний распространён на задачи динамики конструкций при любых динамических воздействиях.

Практическая значимость диссертационной работы. Метод позволяет повысить точность результатов решения задач динамики строительных конструкций, при этом возможно использование существующих программных комплексов без необходимости использования дополнительных подпрограмм.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач в диссертации использовались апробированные методы строительной механики, динамики сооружений, математического моделирования сейсмических воздействий. Результаты исследований сопоставлялись с аналитическими

решениями тестовых задач, с численными результатами, полученными другими методами, и с опубликованными результатами расчетов других авторов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм метода статического учета вклада высших форм колебаний.

2. Способ решения статических задач в виде разложения по собственным формам колебаний при использовании существующих программных комплексов.

3. Методика применения метода статического учета высших форм колебаний в задачах динамики строительных конструкций при произвольных, в том числе сейсмических, динамических воздействиях.

4. Оценка точности метода на примерах тестовых задач при различных видах динамических воздействий.

Личное участие автора. Автор участвовал в постановке задач диссертации, разработке метода статического учета вклада высших форм колебаний для решения задач динамики конструкций при произвольных динамических воздействиях. К личному вкладу также относятся написание научных статей и апробация результатов исследования.

Степень достоверности и апробация результатов работы базируется на использовании апробированных методов строительной механики, динамики сооружений, математического моделирования сейсмических воздействий, применении сертифицированного Российской академией архитектуры и строительных наук программного комплекса SCAD Office, а также сравнении результатов, полученных разными методами расчета и с опубликованными результатами расчетов других авторов.

Основные теоретические положения и численные результаты

диссертационной работы подтверждены апробацией на следующих конференциях

и семинарах: XLVIII Конференции «Неделя науки СПбПУ» (СПб, СПбГПУ, 18-23

ноября 2019 г.); Международной конференции «Энергетика, экология и

строительство (EECE-2019)» (СПб, СПбГПУ, 19-20 ноября 2019 г.); Научном

семинаре, посвященного 110-летию доктора технических наук, профессора Олега

Александровича Савинова (СПб, ПГУПС и ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, 03-06

7

февраля 2020 г.); XXII Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 22-26 марта 2021 г.).

Область исследования диссертационной работы соответствует требованиям паспорта научной специальности ВАК: 2.1.9 - Строительная механика, включает следующие области исследований:

- п. 1: «Общие принципы расчета сооружений и их элементов»;

- п. 4: «Численные методы расчета сооружений и их элементов»;

- п. 7: «Теория и методы расчета сооружений в экстремальных ситуациях (землетрясения, ураганы, взрывы и так далее)».

Публикации. Основные положения, изложенные в диссертации и выносимые на защиту, опубликованы в 6 научных работах, в том числе - в 4 работах в научных изданиях, входящих в действующий перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (Перечень рецензируемых научных изданий), 2 работы опубликованы в журналах, индексируемых в международных реферативных базах Scopus, Web of Science и других.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 119 страницах печатного текста, состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 152 наименований. В работе представлено 36 рисунков, 43 таблицы и 124 формулы.

Глава 1. Обзор существующих методик динамического расчета сооружений

В этой главе представлены некоторые методы динамического расчета строительных конструкций. Особенное внимание уделяется методам синтеза подконструкций и связанным с ними вопросам учета вклада в решение динамической задачи высших форм колебаний.

В строгой математической постановке задача динамики любой строительной конструкции имеет бесконечное число динамических степеней свободы и, соответственно, бесконечное число собственных частот и форм колебаний. На практике такая задача приближенно приводится к задаче с конечным числом динамических степеней свободы, например, методом конечных элементов. В дальнейшем изложение будет вестись для задач с конечным числом степеней свободы.

1.1 Нормативно-технические базы по динамическому расчёту сооружений

При решении задач динамики конструкций и сооружений часто проектировщик обязан использовать целый ряд стандартов и норм [1-4].

Так, в СП «Нагрузки и воздействия» [1] даны указания по учёту динамических нагрузок при расчёте зданий и сооружений по предельным состояниям первой и второй групп.

Государственный стандарт «Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения» [3] устанавливает общие принципы расчёта сооружений на динамические воздействия для обеспечения надежности строительных конструкций и оснований сооружений (Пункты 6.1.3, 11.3 и 11.4).

Согласно СП 14.13330.2018 «Строительство в сейсмических районах» [4]

регламентирует методы расчёта сооружений на сейсмические воздействия, а также

объёмно-планировочные решения при проектировании сейсмостойких зданий и

сооружений. В пункте 5.9 СП 14.13330.2018 сказано, что усилия в конструкциях и

их элементах следует определять с учетом высших форм их собственных

колебаний. Там же установлено минимальное число форм собственных колебаний,

9

учитываемых в расчете. Достаточное количество собственных форм назначается таким образом, «чтобы сумма эффективных модальных масс, учтенных в расчете, составляла не менее 90% общей массы системы, возбуждаемой по направлению действия сейсмического воздействия для горизонтальных воздействий и не менее 75% для вертикального воздействия. Должны быть учтены все формы собственных колебаний, эффективная модальная масса которых превышает 5%». Кроме нахождения достаточного количества собственных форм, «для сложных систем с неравномерным распределением жесткостей и масс необходимо учитывать остаточный член от отброшенных форм колебаний», однако информация о способе его учета в данном документе отсутствует. Также в документе говорится, что для зданий и сооружений простой конструктивной формы при применении консольных расчетных динамических моделей (РДМ) усилия в конструкциях допускается определять с учетом не менее трех форм собственных колебаний, если период первой (низшей) формы собственных колебаний имеет значение Т>0,4 с, и с учетом только первой формы, если Т<0,4 с.

В других странах также разработаны нормативные документы, регламентирующие расчет строительных конструкций на сейсмические воздействия [5-7]. В работах [8,9] выполнено сопоставление этих норм с российскими. Для оценки сейсмического воздействия на сооружение в России используется понятие «спектральная кривая коэффициента динамичности» - в, а в зарубежных нормах - понятие упругого спектра реакций. Кривые коэффициента динамичности в в российских нормах строятся как функции периода свободных колебаний осциллятора. В зарубежных нормах этот же коэфициент называется спектором реакций, что отражает физическую сущность этого параметра. По мнению ряда инженеров, коэффициент динамичности показывает, во сколько раз динамическое воздействие превышает статическое. Поэтому вместо термина «спектральная кривая коэффициента динамичности», по мнению автора, лучше использовать «спектр реакций». В настоящее время в России понятие спектр ответа используется только при расчетах на сейсмостойкость строительных конструкций и оборудования АЭС.

1.2 Методы решения динамических задач

Многие воздействия на здания и сооружения носят динамический характер, приводящий конструкции и их элементы в колебательное движение. Например, к таким воздействиям можно отнести ветровую нагрузку [10,11], ударную [12-14] или вибрационную нагрузку от инженерного оборудования [15-18], землетрясения [19-25] и техногенные аварии [26-30], и так далее (см. Рисунок 1.1). При расчете конструкций на динамические воздействия, наиболее часто используется метод разложения по собственным формам колебаний или спектральный метод [11,12,25,31,32,13-17,19,20,23]. Он закреплен в действующих нормативных документах [4], поскольку достаточно прост в реализации и может достаточно точно оценить реакцию системы на сейсмическое воздействие.

Рисунок 1.1 - Характеристики и источники типовых динамических нагрузок: (а) гармоническая; (б) периодическая; (в) импульсивная; (г) длительная

t

Спектральный метод основан на том, что сложные колебания строительных конструкций можно рассмотреть в качестве суперпозиции колебаний (см. Рисунок 1.2) по их собственным формам [15,16,19-21,25]. Современные расчетные схемы строительных конструкций могут иметь несколько миллионов степеней свободы и нахождение решения по всем формам - достаточно сложная задача, даже при использовании наиболее современных и мощных ЭВМ. Основной вклад в колебания конструкции практически вносят первые собственные формы колебаний, в то время как старшие, или высшие, формы обладают низкой энергетической ценностью и мало вляют на напряжено-деформированное состояние системы.

Рисунок 1.2 - Метод модальной суперпозиции

На практике, инженер-расчетчик сам выбирает количество учитываемых форм

и, чем больше это число, тем дольше выполняется расчет, причем данная

зависимость имеет нелинейно возрастающий характер. Как было сказано выше,

данный метод вызывает ряд вопросов у специалистов, следовательно, должны быть

разработаны надежные и эффективные методы определения собственных частот и

форм колебаний строительных конструкций.

12

Наиболее точными методами решения задач строительной механики являются метод сил и метод перемещений, которые применяются и в динамических задачах (Рисунок 1.3). Оба этих метода применяются, как при ручных аналитических расчётах [13,23,33-37], так и при автоматизированных расчётах. В соременных конечно-элементных комплексах чаще всего применяется метод перемещений. При этом уравнения во всех случаях решаются известными численными методами.

Наиболее универсальным численным методом является метод прямого интегрирования по времени (МПИ) [12,15,38-43]. Этот метод применим не только к линейным, но и к нелинейным задачам. в то же время, он является достаточно сложным и дорогостоящим, ввиду его трудоёмкости по вычислительным затратам.

В частности, при расчете сооружений на динамические нагрузки и использовании МПИ по времени воздействия для гарантии точности результатов следует проводить несколько расчетов с разными шагами по времени. Как было сказано выше, время расчета может быть очень большим. Поэтому этот метод целесообразно использовать в тех ситуациях, когда необходим уточненный анализ особо ответственных конструкций.

Одним из наиболее распространенных методов решения динамических задач расчета строительных конструкций является метод разложения по формам собственных колебаний (спектральный метод) [11,12,25,31,32,13-17,19,20,23]. Следовательно, должны быть разработаны надежные и эффективные методы определения собственных частот и форм колебаний строительных конструкций.

т

Рисунок 1.3 - Динамическое равновесие: а - невесомая балка с точечными массами; б - масса в условиях динамического равновесия

В 40-х годах XX века для определения основных частот и форм собственных колебаний систем с произвольным числом степеней свободы появились приближенные методы расчета, такие как метод Дюнкерлея, метод Релея, метод последовательных приближений и т.д. [44,45]. В эти же годы, кроме методов, которые основаны на решении интегральных и дифференциальных уравнений, применялись методы Лагранжа, Ритца, Галеркина [44,46]. Кроме того, существует немало современных методов, позволяющих получить приближенное решение задач динамики сооружений. Например, метод конечных элементов, метод использования передаточных и импульсивных переходных функций для решения линейных динамических систем, метод продолжения решения по параметру в сочетании с процедурой Рунге-Кутта, метод граничных элементов и так далее.

В работах [47-50] введен метод использования передаточных и импульсивных переходных функций для решения задач динамики сооружений. В работе [47] показано, что функции относительно просто позволяют получить точные формулы расчёта массивных тел на периодические и импульсивные нагрузки.

В работах [51-54] показано использование метода граничных элементов (МГЭ) для решения задач динамики.

В статье [55] представлен алгоритм дискретной сингулярной свертки (ДСК) для прогнозирования и анализа высокочастотных колебаний конструкций. Несмотря на значительные усилия, предпринятые в последние несколько десятилетий, численное прогнозирование высокочастотных колебаний остается сложной задачей из-за численной нестабильности существующих вычислительных методов. В статье [56] представлен алгоритм ДСК для прогнозирования и анализа высокочастотной вибрации конструкций.

В статье [57] авторы рассмотрели вопрос расчёта зданий в сейсмически

опасных районах, недостатки линейно-спектрального и нелинейного

динамического методов расчёта. Авторами было предложено использование

методики нелинейного статического анализа сейсмической устойчивости зданий и

сооружений. Стальная рама была рассчитана нелинейными статическим и

динамическим методами и было проведено сравнение полученных результатов. В

14

этой работе была показана важность учета высших форм колебаний и необходимость анализировать их влияние на реакцию системы.

В настоящее время метод конечных элементов широко используется при решении задач динамики строительства (см. Рисунок 1.4 и Рисунок 1.5). Этот метод применяется в современных компьютерных программных комплексах, например, SCAD, Лира, ANSYS и др. Соответственно, многие авторы сосредоточились на исследовании и внедрении научных работ, связанных с этой проблемой [14,18,63— 65,20,42,43,58-62].

Рисунок 1.4 - Пример разбиения на конечные элементы

Рисунок 1.5 - Типы конечных элементов

Современные расчетные схемы сооружений могут содержать миллионы динамических степеней свободы. Вычислить полный набор собственных частот и форм колебаний для задач такой размерности практически невозможно. Поэтому в практических задачах учитывается сравнительно небольшое число форм колебаний в сравнении с полным количеством степеней свободы. Таким образом, важным становится вопрос определения необходимого количества учитываемых собственных форм или оценки вклада неучтенных высших собственных форм колебаний.

Очень часто возникает необходимость вносить в расчетную модель различные поправки, что существенно удлиняет время на проектирование и требует больших вычислительных мощностей. В связи с этим возникает важный и актуальный вопрос по уменьшению количества учитываемых форм без потерь точности результата. Получение более точного решения позволит уже на этапе предварительного проектирования получать более экономичные варианты сооружения, которые затем будут использованы для детальной проработки отдельных элементов и узлов конструкции.

1.3 Методы синтеза подконструкций

Современные конечно-элементные модели сложных строительных конструкций могут содержать миллионы динамических степеней свободы и соответствующее количество собственных частот и форм колебаний. Даже с использованием современной вычислительной техники решение полной проблемы собственных значений с таким количеством неизвестных практически невозможно. Таким образом, перед инженером встает вопрос о сокращении учитываемого количества собственных форм с одновременным получением достаточной точности результатов.

Для некоторых строительных конструкций вопрос о необходимости учета вклада в решение отброшенных высших форм колебаний оказывается важным, так как зафиксированы случаи разрушения сооружений из-за недостаточного

количества учтенных форм колебаний [66]. Необходимость в учете вклада высших форм колебаний также часто возникает при расчете строительных конструкций на сейсмическую нагрузку. Этот вопрос рассматривался во многих работах [9,11,19,21,24,31,32,42], однако, эффективных и достаточно простых для реализации способов учета высших форм колебаний разработано не так много.

Одним из эффективных способов снижения размерности и соответственно времени решения задач динамического расчета строительных конструкций является метод суперэлементов. Наиболее развитыми вариантами метода суперэлементов являются методы динамического синтеза подконструкций. Эти методы являются основными среди современных подходов, используемых для редукции (снижения вычислительной размерности) больших динамических задач. Наибольшее распространение эти подходы получили за рубежом [67,68,7786,69,87,88,70-76], подробный обзор некоторых приведен в [89,90]. Исследования метода динамического синтеза подконструкций отечественными авторами представлено в работах [66,91,100-107,92-99].

В методах синтеза подконструкций используется неполный набор собственных форм колебаний подконструкций со свободными или фиксированными границами, который дополняется учетом вклада игнорируемых (остаточных) форм. Достоинством такого подхода является то, что подконструкции, из которых состоит полная конечно-элементная модель, обладают значительно меньшим количеством динамических степеней свободы и могут быть рассчитаны независимо друг от друга и за значительно меньшее время. Кроме того, если некоторые подконструкции являются одинаковыми, то достаточно выполнить редукцию лишь однажды, что сократит время расчета. Использование такого подхода также делает возможным применение различных численных методов к различным подконструкциям. Разные подкострукции могут быть смоделированы, проанализированы в разных местах, в разное время и разными группами проектировщиков.

Использование методов синтеза подконструкций требует достаточно

высокой квалификации инженера, так как погрешность расчета может оказаться

17

значительно большей, чем при расчете полной модели системы, например, при пропуске форм колебаний, при недостаточном количестве учтенных внутренних форм колебаний подконструкций и т.д. [89].

1.4 Методы учета вклада высших форм колебаний

Развитие методов синтеза подкострукций способствовало разработке методов учета вклада неучтенных (отброшенных) высокочастотных форм колебаний.

Важность учета вклада высших форм колебаний отмечалась в работах многих авторов. Например, в статьях [108,109] авторы показывают, что выделение квазистатических составляющих позволяет значительно ускорить сходимость ряда по собственным формам колебаний, что имеет важное значение при действии на сооружение сосредоточенных динамических воздействий. Подход к оценке вклада отброшенных тонов колебаний при вычислении чувствительности форм колебаний к вариациям параметров с помощью внесения в динамический расчет статической поправки, рассмотрен в работе [110].

Методы учета высших форм колебаний разрабатывались, в основном, для задач анализа сейсмостойкости конструкций. В работе [111] рассмотрены различные способы учета вклада высших форм колебаний в задачах сейсмостойкости при использовании линейно-спектрального метода.

В работах [112-114] применительно к задачам сейсмостойкости сооружений авторы предлагают приближенный метод оценки реакции системы по всем высокочастотным формам, объединяя их в одну глобальную форму. Сделан вывод, что при увеличении числа учитываемых форм, сходимость результата по перемещениям выше, чем по усилиям, а значит высшие формы могут существенно влиять на локальные усилия.

В статье [115] предложена методика учета высших форм колебаний при оценке сейсмостойкости многоэтажных стальных однопролетных рам нелинейным статическим методом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ле Ты Куанг Чунг, 2022 год

и - ы

и,

8м =

8е =

М - м.

мт

е - й?

йт

(2.111) (2.112) (2.113)

где и, М и е - решения задачи по разными методами; ит, Мт и йт - точные решения задачи для перемещения, изгибающего момента и перерезывающей силы, соответственно.

Таблица 2.6 - Сравнение трех методов решения задачи динамики с точными результатами

п Стандартный метод По концепции «остаточного члена» Предлагаемый метод

8и 8м 8е 8и 8м 8е 8и 8м 8е

%

1 0,27 2,13 19,78 0,03 1,56 6,06 0,01 0,05 0,89

3 0,01 0,40 9,36 0,02 0,32 2,74 0,01 0,02 0,55

5 0,01 0,14 6,44 0,01 0,01 1,25 0,01 0,00 0,24

7 0,00 0,02 5,21 0,00 0,00 0,25 0,00 0,00 0,19

9 0,00 0,03 3,96 0,00 0,00 0,07 0,00 0,00 0,06

11 0,00 0,02 3,37 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Анализ результатов, приведенных в таблице 2.6, позволяет сделать следующий вывод:

Результаты, полученные для перемещений

Методы решения динамических задач с помощью статического учета отброшенных форм колебаний дают погрешность в сотые доли процента уже при учете одной первой формы колебаний, в то время как стандартный метод решения дает такую погрешность лишь с 5-ю формами колебаний.

Результаты, полученные для изгибающих моментов

Методы решения динамических задач с помощью статического учета отброшенных форм колебаний и по концепции «остаточного члена» дают практически точное значение с 3-я формами колебаний, в то время как стандартный динамический метод дает такое значение с 7-ю формами колебаний.

Результаты, полученные для перерезывающей силы

Методы решения динамических задач с помощью статического учета отброшенных форм колебаний и по концепции «остаточного члена» дают практически точное значение с 7-ю формами колебаний.

2.6 Аналитическое решение задачи под действием нестационарного

сосредоточенного момента

В данном параграфе рассматривается задача о колебаниях однопролетной балки (см. Рисунок 2.3) под действием нестационарного сосредоточенного момента [109]:

м (г) = м 0г2

Рисунок 2.3 - Расчетная схема динамической задачи

(2.114)

Для этой задачи, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

имеет вид:

m ^ + EI ^Ц = -M nt 2S'( x -1).

at2 ax4 0

(2.115)

где S'( x -1) - производная дельта-функции.

В статье [109] приведено точное решение уравнения (2.115) с начальными условиями и(х,0) = 0, ~ (-*,0) = 0:

M ^

и( x, t) = M £ ml i

JL - А

2 4

С с

(1 - cos co.t)

X (l) Xt (x),

ч -2Mnt2 ^ 1 ík . íkX

M (x, t) =-— Е cos—sin— +

к i=1 i 2 2l

64MJ4 m ^ 1

. ikX

n

+--Е ~ (1 - cos Ш) cos — sin

к EI i=1 i

2 2l

где С

•2 2 i к

1 m2

4l2 \

(2.116)

(2.117)

EI

— - собственная частота колебаний, соответствующая форме m

колебаний Xi (x) = sin —.

1 2l

Далее была точно решена вспомогательная статическая задача от действия статического сосредоточенного момента M' = Mn(t* )2, где t - время, соответствующее рассматриваемому моменту времени (см. Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - Расчетная схема статической задачи

Точное решение статической задачи можно искать из уравнения:

EI

d 2и (x)

_ст v /

M (x),

ст

(2.118)

где М т (х) =

М

—х, 0 < х < / 2/

М'

(х - 21), / < х < 21

21

и следующих граничных условий:

ыст (0) = 0, ыст (21) = 0. (2.119)

Точное решение задачи (2.118) и (2.119) имеет вид [109]:

:х(х2 -/2), 0 < х < /

(х - 2/)(х2 - 4/х + 3/2), / < х < 2/.

ыт (х) =

ст ^ '

х( х2

12Е1/ М'

(2.120)

12Е1/

Следующим шагом метода является приближенное решение статической задачи (2.118) и (2.119) методом разложения в ряд по формам собственных колебаний. Решение неоднородного уравнения будем искать в виде суммы перемещений, возникающих по п первым формам колебаний:

ыПст (х) = ЕЛХ (х). (2.121)

¡■=1

где Д - искомые коэффициенты.

Отметим, что при любых значениях постоянных Д функция ыПсТ (х)

удовлетворяет граничным условиям (2.119).

Используя свойство ортогональности собственных форм, стандартным способом находим выражения для коэффициентов Ак:

2/ клх

IМст (^

Ак =- 0 , 2 2 2/-2-• (2-122)

к ж 2/ • 2, кжх , Е1—^ 181И (-)ах

Таким образом, решение (2.121) имеет вид

2/ лжх^

п IМст (х)81П(-—)ах .

ып т (х) = -£ -^г- ¡жх). (2.123)

-1 EI¡-жгJ• 81п2(—)ах 2/

4/2 0 2/

Метод статического учета высших форм колебаний заключается в том, что

искомое динамическое перемещение ищется по формуле:

47

и( х, г) = ып (X, г) + [ит (х) - ипт (х)], (2.124)

где ип (х, г) - приближенное решение динамической задачи с учетом п собственных

форм; ит (х) - точное решение статической задачи (2.118); ипст (х) - приближенное

решение статической задачи (2.118) с учетом п собственных форм. Для поиска изгибающего момента имеем аналогичную формулу:

М (х, г) = Мп (х, г) + [М Ст (х) - Мпст (х)], (2.125)

где Мп (х, г) - приближенное решение динамической задачи; Мт (х) - точное

решение статической задачи; Мпст (х) - приближенное решение статической

задачи.

Пусть дана железобетонная балка (Рисунок 2.3) со следующими геометрическими параметрами: длина Ь = 8 м; ширина и высота прямоугольного поперечного сечения соответственно Ь = 0,25 м и н = 0,5 м. Материалом балки

является железобетон класса В25. Величина М 0 была выбрана равной 10 кНм/с2. Масса единицы длины балки т = 312,5 кг/м.

Рассмотрим нахождение прогиба и изгибающего момента на расстоянии х = 0,25Ь при г = 0,4 с. Результаты решения стандартным методом по формулам (2.116) и (2.117) приведены в таблице 2.7. Погрешности вычислялись по формулам:

8 =

и - иТ

п Т

иТ

8 =

М - Мт

п Т

(2.126)

(2.127)

Мт

где в качестве точных ответов взяты значения ит = -12,797 мм и Мт = 398,44 Нм при п = 350.

Таблица 2.7 - Решение динамической задачи стандартным методом

п ип , мм 8 , % ип ' Мп, Нм 8м, % 1" п

2 -13,207 3,20 509,19 27,79

6 -12,718 0,62 339,42 14,81

10 -12,824 0,21 441,28 10,75

15 -12,785 0,09 368,52 7,51

Продолжение таблицы 2.7

20 -12,803 0,05 425,11 6,69

25 -12,793 0,03 378,81 4,93

30 -12,796 0,01 384,04 3,62

35 -12,798 0,01 413,99 3,90

50 -12,797 0,00 409,67 2,82

100 -12,797 0,00 404,98 1,64

150 -12,797 0,00 396,54 0,48

200 -12,797 0,00 397,34 0,28

250 -12,797 0,00 401,91 0,87

300 -12,797 0,00 401,59 0,79

350 -12,797 0,00 398,44 0,00

0,010

мм, и

Точное решение статической задачи (2.118) составляет ыс М т = 400,00 Нм. Решение этой статической задачи методом разложения в ряд по

формам собственных колебаний по формулам (2.123) приведено в таблице 2.8. Таблица 2.8 - Решение статической задачи динамическим методом

п Кст , мм М , Нм п,ст э

2 -0,011 509,30

6 -0,010 339,53

10 -0,010 441,39

15 -0,010 368,63

20 -0,010 425,22

25 -0,010 378,92

30 -0,010 384,15

35 -0,010 414,10

50 -0,010 409,78

100 -0,010 405,09

150 -0,010 399,98

200 -0,010 397,45

250 -0,010 400,00

Результаты решения задачи методом статического учета высших форм колебаний по формулам (2.124) и (2.125) приведены в таблице 2.9. Погрешности вычислялись по формулам:

8

ы - ы

ы,

(2.128)

¿м =

м - мт

мт

(2.129)

Таблица 2.9 - Решение задачи со статическим учётом высших форм колебаний

п и , мм ¿и , % м , Нм ¿м , %

2 -13,206 3,20 399,89 0,36

6 -12,718 0,62 399,89 0,36

10 -12,824 0,21 399,89 0,36

15 -12,785 0,09 399,89 0,36

20 -12,803 0,05 399,89 0,36

25 -12,793 0,03 399,89 0,36

30 -12,796 0,01 399,89 0,36

35 -12,798 0,01 399,89 0,36

50 -12,797 0,00 399,89 0,36

100 -12,797 0,00 399,89 0,36

Точные решения и результаты при расчетах по разным методам приведены на рисунках 2.5-2.6.

-12,5

-12,7

^ -12,9

-13,1

-13,3

0 10 20 30 40 50 60

7

п

Точное решение • Стандартный метод - ■ -Предлагаемый метод Рисунок 2.5 - Прогиб балки в момент времени г = 0,4 с.

550 500

300

0 20 40 60 80 100 120

п

--Точное решение • Стандартный метод - -Предлагаемый метод

Рисунок 2.6 - Изгибающий момент в момент времени г = 0,4 с.

Как видно из таблицы 2.9, при учете всего 2-х первых форм собственных колебаний, метод статического учета высших форм колебаний дает результаты практический совпавшие с решением стандартным методом, с погрешностью 3,20% по сравнению с точным решением. Для изгибающего момента, предлагаемый метод при тех же 2-х формах дает погрешность менее 1%, а стандартный метод дает результат с погрешностью 28% (Таблица 2.7).

Далее были проведены аналогичные вычисления в нескольких разных моментах времени при учете только двух первых форм колебаний. Результаты приведены в таблице 2.10.

Таблица 2.10 - Решение задачи в разные моменты времени различными методами

Моменты времени Точное решение Стандартный метод при п = 2 Предлагаемый метод при п = 2

г, с ит, мм Мт, Н-м ип, мм Mn, Н-м ^ мм М, Н-м

0,30 -7,20 224,21 -7,43 286,40 -7,43 224,92

0,35 -9,80 305,24 -10,11 389,89 -10,11 306,21

0,40 -12,80 398,62 -13,21 509,19 -13,21 399,89

0,45 -16,20 504,63 -16,72 644,57 -16,72 506,24

Точные решения нестационарной динамической задачи в зависимости от времени и результаты, полученные разными методами, при учете только двух первых форм колебаний приведены на рисунках 2.7-2.8.

-6

0

-8

-10

м 2 -12

!=Т

-14 -16 -18

0,25

0,45

0,5

Точное решение

Ъ с

Стандартный метод - -Предлагаемый метод

Рисунок 2.7 - Прогиб балки в зависимости от времени

700 600

2 500

Н,

2 400 300 200

0,25

0,3

0,45

0,35 0,4

Ъ с

Точное решение--Стандартный метод - ■ -Предлагаемый метод

0,5

Рисунок 2.8 - Изгибающий момент в зависимости от времени

Анализ результатов, приведенных в таблице 2.10, позволяет найти погрешности различных методов по формулам (2.128) и (2.129). Эти погрешности приведены в таблице 2.11.

Таблица 2.11 - Сравнение результатов разных методов с точным решением

Моменты времени Стандартный метод при п = 2 Предлагаемый метод при п = 2

Ып Мп Ы М

с % % % %

0,30 3,21 27,74 3,21 0,32

0,35 3,20 27,73 3,20 0,32

0,40 3,20 27,74 3,20 0,32

0,45 3,20 27,73 3,20 0,32

Анализ результатов, приведенных в таблице 2.11, позволяет сделать следующий вывод: Для перемещения, при решении динамической задачи с нестационарной нагрузкой с учетом только 2-х форм колебаний метод статического учета высших форм дает результаты с погрешностью 3,2% по сравнению с точным решением; для изгибающего момента, предлагаемый метод дает результаты практически совпавшие с точным решением, стандартный метод при учете 2-х форм колебаний дает результаты с погрешностью 28%.

2.7 Выводы по второй главе

1. В данной главе приведены теоретические основы метода статического учета высших форм колебаний - «метода матрицы остаточной податливости» - для задач с конечным числом динамических степеней свободы.

2. Рассмотрены задачи: с учетом демпфирования и без учета; с гармонической нагрузкой и с произвольной нестационарной нагрузкой. Для всех задач метод статического учета высших форм колебаний сводится к основной трехчленной формуле. Первые два слагаемых формулы могут быть вычислены на любом стандартном программом комплексе для расчета строительных конструкций.

3. Третье слагаемое основной формулы представляет собой приближенное

статическое решение, полученное разложением по первым собственным формам

53

колебаний. Для вычисления этого слагаемого предложен и обоснован способ введения вспомогательной гармонической нагрузки очень малой частотой воздействия (6 = 0,0001 - 0,001 рад/с). Этот способ позволяет вычислить третье слагаемое основной формулы также на стандартном программном комплексе.

4. На примерах двух задач (с гармонической и нестационарной динамической нагрузками), имеющих аналитическое решение, исследована точность предлагаемого метода учета высших форм колебаний. Как показано на численных примерах, предложенный метод дает высокую точность решения по сравнению со стандартным методом разложения по собственным формам колебаний. Высокая точность решения получается не только по перемещениям, но и по усилиям.

5. Высокая точность определения усилий при учете небольшого количества собственных форм колебаний позволит принимать более экономичные проектные решения, в частности, на этапе предварительного проектирования строительных конструкций.

Глава 3. Применение метода статического учета высших форм колебаний при решении динамических задач разных типов

В настоящей главе рассматриваются примеры применения метода статического учета высших форм колебаний при численном решении динамических задач с использованием программного комплекса. Показана возможность применения метода для задач с различными типами динамических воздействий: одна гармоническая нагрузка; несколько одновременно действующих гармонических нагрузок с разными частотами; нестационарная нагрузка (гармоническая нагрузка с экспоненциально убывающей амплитудой). Во всех примерах проведено сравнение результатов предлагаемого метода с результатами, полученными стандартным методом разложения по формам собственных колебаний. В задачах с нестационарной нагрузкой результаты сравнивались с решением, полученным методом прямого интегрирования уравнений движения системы (МПИ).

Численное решение задач проводилось с использованием программного комплекса SCAD Office.

3.1 Пространственная рама

Рассмотрим пример расчёта конструкции под действием динамического воздействия (см. Рисунок 3.1) [124,125]. Габаритные размеры расчетной пространственной рамы составляют 12 х 10 х 14 м, размеры поперечных сечений элементов: 20 х 20, 35 х 40, 50 х 50 см2 (см. Рисунок 3.2). В качестве материала принят бетон В25. Для железобетонных конструкций, коэффициент неупругого сопротивления материала принят / = 0,09.

Рисунок 3.1 - Номера узлов и ^ _ _ ^

Рисунок 3.2 - Расчетная схема рамы

стержней рамы

На раме в узле №15 действует гармоническая динамическая нагрузка р( 1)=Ро$>1п(01) по направлению X с амплитудой силы Ро = 100 кН и угловой частотой в двух вариантах в1 = 8 рад^ и в2 = 13 рад^ (см. Рисунок 3.1). Рассмотрено перемещение узла 25 по направлению Х, а также изгибающий момент относительно оси Y, продольная сила N и перерезывающая сила Q относительно оси Z в элементе N57.

По результатам модального анализа определено несколько первых собственных частот рамы, которые приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 - Собственные частоты колебаний рамы

Номер собственной формы Собственные частоты

Частота, Гц Угловая частота, рад/с

1 1,71 10,73

2 1,82 11,40

3 2,31 14,51

4 3,79 23,82

5 3,85 24,19

6 4,12 25,89

7 5,73 35,99

При решении динамической задачи методом разложения в ряд по формам собственных колебаний (стандартным методом) при разном числе учитываемых в расчете форм получаем результаты, которые приведены в таблицах 3.2 и 3.3.

Таблица 3.2 - Расчет рамы стандартным методом при 61 = 8 рад/с

п 61 = 8, рад/с

и 2, мм и25 , мм N 57, кН М57, кНм 657, кН

1 -0,26 -15,14 2,19 -5,665 1,450

2 -0,26 -15,15 2,36 -5,760 1,505

3 -0,27 -16,10 2,24 -6,218 1,624

4 -4,25 -12,05 7,33 -99,74 28,04

5 -4,25 -12,05 7,14 -99,74 28,04

10 -4,98 -12,75 4,58 -115,59 32,12

15 -4,64 -12,85 7,24 -107,93 29,84

30 -4,62 -12,81 6,23 -106,42 29,03

60 -4,62 -12,81 5,88 -106,58 29,17

100 -4,62 -12,81 5,92 -106,58 29,17

140 -4,62 -12,81 5,92 -106,58 29,17

Из таблицы 3.2, видно что точным решением динамической задачи можно считать решение, полученное при учёте 100-ти форм. Таблица 3.3 - Расчет рамы стандартным методом при 62 = 13 рад/с

п 62 = 13 рад/с

и 2, мм и25 , мм N57, кН М57, кН м 657, кН

1 -0,24 14,09 2,04 -5,272 1,350

2 -0,24 14,10 2,31 -5,423 1,437

3 -0,20 12,05 2,77 -4,582 1,239

4 -4,84 16,79 3,79 -113,98 32,23

5 -4,84 16,79 3,55 -113,90 32,21

7 -5,55 17,02 0,81 -128,89 35,93

10 -5,64 16,07 0,84 -131,15 36,60

30 -5,29 15,97 3,25 -123,43 34,30

60 -5,28 16,01 2,27 -121,92 33,49

120 -5,28 16,01 1,95 -122,08 33,63

140 -5,28 16,01 1,96 -122,08 33,63

160 -5,28 16,01 1,98 -122,08 33,63

Из таблицы 3.3 видно что точным решением динамической задачи можно считать решение, полученное при учёте 120-ти форм.

Далее была точно решена вспомогательная статическая задача от силы, равной амплитуде вынуждающей силы Р0. Точные статические перемещения узлов 2 и 25

составили соответственно -4,00 и -4,58 мм, продольная сила N = 4,27 кН, изгибающий момент М = -92,14 кНм и перерезывающая сила Q = 25,20 кН в элементе N57.

Следующим шагом статическая задача была решена методом разложения в ряд по формам собственных колебаний (динамическим методом) при частоте вынуждающей силы в = 0,0001 рад/с, при такой частоте решение динамической задачи практически совпадает с решением задачи статики. Результаты расчета приведены в таблице 3.4.

Таблица 3.4 - Статический расчет динамическим методом

п и 2, мм и 25, мм N 57, кН М57, кНм Q57, кН

1 -0,12 -6,82 0,99 -2,55 0,65

2 -0,12 -6,82 1,07 -2,60 0,68

3 -0,13 -7,47 0,98 -2,90 0,76

4 -3,66 -3,84 5,51 -85,97 24,22

5 -3,66 -3,84 5,34 -85,92 24,21

7 -4,27 -3,64 3,08 -99,10 27,55

10 -4,35 -4,52 2,99 -101,10 28,14

50 -4,01 -4,58 4,27 -92,06 25,05

100 -4,00 -4,58 4,43 -91,90 24,97

150 -4,00 -4,58 4,27 -92,14 25,20

Из таблицы 3.4 видно, что способ решения статической задачи динамическим методом с очень малой частотой вынуждающей силы действительно сходится к точному решению задачи статики при увеличении количества учитываемых форм колебаний.

Как следует из таблиц 3.2 и 3.3 практически точное решение задачи динамики было получено при учете 140 форм собственных колебаний. В таблице 3.5 приведены: точное решение, результаты при расчете по стандартном методу и по предлагаемому методу при учете 5 и 7 собственных форм.

Таблица 3.5 - Результаты расчета рамы

№ п/п Наименование решения и 2, мм u25, мм * 57, кН м 57, кНм 657, кН

в\ = 8, рад/с

(1) Стандартный метод при п = 5 -4,25 -12,05 7,138 -99,74 28,04

(2) Стандартный метод при п = 10 -4,98 -12,75 4,584 -115,59 32,12

(3) Стандартный метод при п = 30 -4,64 -12,85 7,235 -107,93 29,84

(4) Стандартный метод при п = 60 -4,62 -12,81 6,227 -106,42 29,03

(5) Динамическое точное решение -4,62 -12,81 5,915 -106,58 29,17

(6) Статическое точное -4,00 -4,58 4,272 -92,14 25,20

(7) Статическое при п = 5 -3,66 -3,84 5,340 -85,92 24,21

(8) Статический вклад высших форм (п.6-п.7) -0,34 -0,74 -1,068 -6,21 0,99

(9) Предлагаемый метод при п = 5 (п.1+п.8) -4,59 -12,79 6,070 -105,96 29,03

вг = 13, рад/с

(1) Стандартный метод при п = 7 -5,55 17,02 0,81 -128,89 35,93

(2) Стандартный метод при п = 10 -5,64 16,07 0,84 -131,15 36,60

(3) Стандартный метод при п = 30 -5,29 15,97 3,25 -123,43 34,30

(4) Стандартный метод при п = 60 -5,28 16,01 2,27 -121,92 33,49

(5) Динамическое точное решение -5,28 16,01 1,98 -122,08 33,62

(6) Статическое точное -4,00 -4,58 4,27 -92,14 25,20

(7) Статическое при п = 7 -4,27 -3,64 3,08 -99,10 27,55

(8) Статический вклад высших форм (п.6-п.7) 0,27 -0,94 1,19 6,96 -2,35

(9) Предлагаемый метод при п = 7 (п.1+п.8) -5,28 16,08 2,00 -121,92 33,58

Анализ результатов, приведенных в таблице 3.5, позволяет найти погрешности различных методов. Эти погрешности приведены в таблице 3.6.

Таблица 3.6 - Сравнение результатов разных методов

Разность между Погрешность и2 и25 N 57 м 57 657

01 = 8, рад/с

(1)и(5) 5, % 8,04 5,93 20,68 6,42 3,88

(2) и (5) 7,79 0,49 22,50 8,45 10,12

(3) и (5) 0,39 0,27 22,32 1,27 2,31

(4) и (5) 0,00 0,00 5,27 0,15 0,46

(9) и (5) 0,75 0,14 2,62 0,59 0,46

Продолжение таблицы 3.6

02 = 13, рад/с

(1)и(5) 5, % 5,09 6,34 59,08 5,58 6,86

(2) и (5) 6,87 0,40 57,70 7,43 8,84

(3) и (5) 0,34 0,21 64,33 1,11 2,01

(4) и (5) 0,00 0,00 14,80 0,13 0,40

(9) и (5) 0,13 0,47 1,27 0,13 0,12

Анализ результатов, приведенных в таблице 3.6, позволяет сделать следующий вывод: Применение метода статического учета высших форм колебаний позволяет значительно повысить точность результатов как по перемещениям, так и по усилиям, по сравнению со стандартным методом. Например, стандартный метод при учете 5 или 7 форм дает погрешности 5-8%, для продольной силы погрешность достигает 60%; предлагаемый метод при учете 5 или 7 форм даёт погрешности 0,5-3%.

Далее приведен пример, показывающий возможность получения более экономичного проектного решения, при использовании результатов решения задачи динамики предлагаемым методом.

Пример расчета армирования колонны

В соответствии с требованиями СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции» [126], расчет был выполнен для колонны N57, выполняемой из бетона марки В25 (Яь= 14,5 103 кН/м2), с применением арматуры класса А500 = 435 1 03 кН/м2).

Для определения сечения арматуры сначала определяется коэффициент

М

ат =-

т у • Я • Ь • к

I Ь1 1КЬ и

2 < аЯ = 0,372,

(3.1)

где к0 = к - а = 50 - 5 = 45 см; уЬ1 = 0,9; Ь = 0,5 м.

При ат < аЯ арматура в сжатой зоне не требуется, значение аЯ определяется по

таблице 6.14 [126].

При отсутствии арматуры в сжатой зоне сечение арматуры определяется по следующей формуле:

А =Гы • ЯЬ • Ь • К0 • (1 1 ~ 2 ' ат ) (3 2)

8 Я '

В таблице 3.7 показаны результаты армирования колонны, где т - масса

единицы длины арматуры.

Таблица 3.7 - Результат армирования колонны

Метод решения задачи динамики м, кНм а т аб расч, см2 Сортамент, П х ёв Ай факт, см2 т, кг/м

Стандартный метод при п = 7 128,89 0,10 7,13 2x22 7,60 5,97

Предлагаемый метод при п = 7 121,92 0,09 6,11 2x20 6,28 4,93

Из таблицы 3.7 видно что для армирования колонны при решении задачи стандартным методом необходимо было бы использовать 2 стержня диаметром 22 мм. При расчете предлагаемым методом можно использовать использовать 2 стержня диаметром 20 мм.

3.2 Изгибаемая плита

Рассмотрим пример расчёта конструкции под действием динамического воздействия (Рисунок 3.3) [124,127]. Размеры расчетной плиты составляют 4 м х 5 м с толщиной - 0,20 м. В узле №268 действует гармоническая нагрузка р( г)=Р(вт( вг) по направлению Р( = 100 кН, угловые частоты также задавались в двух вариантах в;=110 рад/с и в2=150 рад/с. Для железобетонных конструкций, коэффициент неупругого сопротивления материала принят у = 0,09.

Рисунок 3.3 - Расчетная схема плиты

В данном случае было рассмотрено вертикальное перемещение узла 68, изгибающий момент относительно оси У в элементе N49 и перерезывающая сила относительно оси X в элементе N71 (см. Рисунок 3.3).

По результатам модального анализа определено несколько первых собственных частот рамы, которые приведены в таблице 3.8. Таблица 3.8 - Собственные частоты колебаний плиты

Номер собственной Собственные частоты

формы Техническая частота, Гц Угловая частота, рад/с

1 20,7 129,9