Методы и алгоритмы калибровки математической модели погрешности средств траекторных измерений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Колодяжный, Артем Николаевич

• Колодяжный, Артем Николаевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Колодяжный, Артем Николаевич

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Постановка задачи исследований.

1.1. Задача калибровки математической модели погрешности ТРИ.

1.2. Классификация погрешностей измерений.

1.3. Модель погрешности измерений. Постановка задачи калибровки.

1.4. Оценка закона распределения и характеристик погрешностей ТРИ.

1.5. Анализ основных этапов решения задачи калибровки.

1.6. Выводы.

Глава 2. Выявление аномальных результатов измерений.

2.1. Проблема выявления аномальных результатов измерений.

2.2. Выявление аномальных измерений с использование вейвлетов.

2.2.1. Вейвлет-анализ в определении аномальностей.

2.2.2. Алгоритм определения аномальных измерений с использованием вейвлетов

2.3. Выводы.

Глава 3. Сглаживание измерений.

3.1. Задача сглаживания измерений.

3.2. Выбор оптимального размера окна сглаживания равноточных измерений.

3.3. Выбор оптимального размера окна сглаживания неравноточных измерений

3.4. Оценка регулярной составляющей ТРИ.

3.5. Выводы.

Глава 4. Оценивание систематических погрешностей измерений.

4.1. Метод рекуррентной фильтрации с декомпозицией по вектору мешающих параметров.

4.2. Модификация алгоритма оценивания с декомпозицией на основе устойчивых методов вычислений.

4.3. Методика определения систематических погрешностей ТРИ на основе их представления в виде ортогональных полиномов.

4.4. Выводы.

Глава 5. Оценивание погрешности временной привязки измерений.

5.1. Метод оценивания временных задержек измерений.

5.2. Применение методики к обработке ТРИ.

5.3. Выводы.

Глава 6. Программный комплекс моделирования процессов обработки ТРИ.

6.1. Описание программного комплекса.

6.1.1. Программа анализа вейвлет-пакетов.

6.1.2. Программа определения аномальных измерений.

6.1.3. Программа оценивания регулярной погрешности измерений.

6.1.4. Программа оценивания систематических погрешностей измерений.

6.1.5. Программа оценивания погрешности временной привязки измерений.

6.2 Описание обрабатываемых данных.

6.3. Обработка реальных данных.

6.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы калибровки математической модели погрешности средств траекторных измерений»

Актуальность

Настоящая работа посвящена исследованию методов и алгоритмов калибровки (параметрической идентификации) математической модели погрешности средств траекторных измерений (ТРИ). В качестве предметной области происхождения ТРИ рассматриваются измерения, полученные при наблюдении пусков объектов ракетно-космической техники (РКТ) разнородным многопозиционным измерительным комплексом.

Несмотря на многолетний опыт решения задач обработки измерений, в том числе, на одном из её этапов - калибровке математической модели погрешности, не существует универсального метода, позволяющего с высоким качеством проводить обработку измерений в реальных условиях. Объясняется это тем, что реальные измерения содержат помимо собственно сигнала ещё и ряд априори неизвестных факторов, осложняющих обработку измерительной информации. К таким факторам относятся систематические и случайные погрешности, а также аномальные измерения (АИ). Статистические характеристики погрешности измерений, реализованные в измерительном эксперименте, как правило, лишь весьма приближенно описываются паспортными значениями. Погрешность измерений естественным образом определяется самим измерительным средством, а также условиями проведения измерительного эксперимента, что порождает большое многообразие вариантов, учет которых затрудняет разработку универсального метода обработки результатов измерений. Поэтому в выбранной предметной области в настоящее время значительное место в обработке измерений занимает ручной труд квалифицированного оператора-обработчика. В то же время, развитие науки привело к появлению новых математических методов, позволяющих создавать новые эффективные алгоритмы обработки измерений, такие как адаптивное и робастное оценивание, вейвлет-технологии. Тема диссертационной работы, связанная с разработкой и исследованием новых методов и алгоритмов оценивания параметров математической модели погрешности измерений по данным измерительного эксперимента, основанных на последних достижениях в области обработки измерительной информации, представляется актуальной и востребованной как в научном, так и в практическом плане.

Любой качественный метод статистической обработки ТРИ требует знания характеристик погрешностей. Калибровка математической модели погрешности направлена на оценивание этих характеристик. Сравнение паспортных значений погрешности измерений измерительного средства с фактическими оценками позволяет судить о качестве и стабильности его работы, о необходимости проведения профилактических мероприятий на нем и имеет реальную практическую ценность. В результате использования при обработке ТРИ более точной модели погрешности измерений удается повысить качество результатов, например, оценок параметров движения объекта исследования.

Применяя гипотезу об аддитивности модели погрешности измерений в работе рассматриваются следующие ее составляющие: аномальные (сингулярные) измерения, регулярная погрешность (РП), систематическая погрешность (СП), в том числе погрешность временной привязки (ПВП) измерений. Исследование методов и алгоритмов оценивания этих параметров по результатам измерений является основной задачей диссертации.

В работе проведены исследования в следующих направлениях:

- разработка математической модели погрешности средств внешнетраекторных измерений, включающей систематическую и случайную (регулярную и сингулярную) составляющие;

- разработка алгоритма выявления и устранения аномальных измерений;

- разработка алгоритма оценивания характеристик регулярной составляющей (PC) погрешности измерений на основе методов сглаживания равноточных и неравноточных измерений и выработка практических рекомендаций по его применению;

- разработка метода оценивания систематической погрешности, в том числе и нестационарной;

- разработка методики оценивания погрешности временной привязки измерений;

- апробация разработанных алгоритмов путем статистического моделирования их работы, а также, обработкой реальных измерений.

Методы исследования. В диссертационной работе использовался аппарат теории случайных процессов и их фильтрации, математического анализа и линейной алгебры, теории моделирования, методов вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается результатами математического моделирования и экспериментальных исследований.

Основные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель погрешности ТРИ;

- алгоритм выявления аномальных ТРИ (формирования «опорной выборки») с использованием вейвлет-анализа;

- аналитические оценки оптимального размера окна сглаживания измерений и построенный на их основе алгоритм оценивания характеристик регулярной погрешности измерений;

- численно-устойчивая модификация метода оценивания систематических погрешностей измерений, представляемых линейной комбинацией ортогональных полиномов;

- методика оценивания погрешностей временной привязки измерений.

Научную новизну работы составляют:

1. Математическая модель погрешности ТРИ основанная на исследовании реальных данных.

2. Алгоритм выявления аномальных измерений - формирования «опорной выборки» (ОВ) с использованием вейвлет-анализа, работающий более эффективно, по сравнению с классическим методом формирования ОВ, за счет возможности исключения в ОВ множественных аномальностей.

3. Теоретические оценки оптимальных размеров окна сглаживания для случаев равноточных и неравноточных измерений, а также алгоритм сглаживания, построенный с их использованием, позволяющий уменьшить остаточные шумы в результатах обработки, а также оценить регулярную погрешность измерений.

4. Модификация численно-устойчивого метода оценивания систематических погрешностей измерений представляемых линейной комбинацией ортогональных полиномов (ОП), и дающая возможность при увеличении порядка аппроксимации не пересчитывать ранее найденные коэффициенты разложения, тем самым, сокращая количество вычислений и повышая качество анализа поведения систематических погрешностей в задачах большой размерности.

5. Методика оценивания погрешности временной привязки измерений, позволяющая определять постоянную временную ошибку в измерениях различных измерительных средств, учет которой повышает качество обработки данных.

Научная значимость работы состоит в том, что в ней предлагается, а также теоретически и практически обосновывается совокупность методов и алгоритмов, составляющих фундамент технологии решения задачи калибровки математической модели погрешности средств ТРИ.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты непосредственно ориентированы на решение прикладных проблем, связанных с повышением точности и достоверности результатов обработки ТРИ.

Разработанные методы можно применять для более широкого круга задач, в которых необходим анализ погрешностей измерений.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования были внедрены на Информационно-вычислительном центре Центра эксплуатации измерительного комплекса филиал ФГУП «Научно-производственное объединение измерительной техники» г.Байконур, в том числе в рамках ОКР «Байконур-2007».

Разработанные методические материалы использовались в учебном процессе при проведении лабораторных и курсовых работ по курсу «Численные методы», для студентов специальности 230401 в Московском Авиационном Институте филиале «Восход» г. Байконур.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные статьи (2 статьи -из перечня изданий, рекомендованных ВАК). 3 статьи находятся в печати.

Структура работы

Работа состоит из 6 глав, заключения, списка используемой литературы.

В главе 1 проводится классификация погрешностей измерений, обзор методов оценивания их параметров, анализируются недостатки существующих методов и возможные пути решения, дается постановка задачи исследования.

В главе 2 рассматривается вопрос определения аномальных результатов измерений, приводится разработанный алгоритм определения аномальных ТРИ (формирования «опорной выборки») с использованием вейвлет-анализа и результаты экспериментов по применению алгоритма.

В главе 3 рассматривается вопрос сглаживания измерений, приводятся разработанные методы выбора оптимального размера окна сглаживания равноточных и неравноточных измерений, алгоритм расчета параметров регулярной составляющей ТРИ.

В главе 4 рассматривается вопрос оценивания систематических погрешностей измерений, приводится модификация метода определения погрешностей ТРИ на основе их представления в виде ортогональных полиномов, а также результаты экспериментов по применению методики.

В главе 5 рассматривается вопрос оценивания погрешности временной привязки измерений, приводится разработанный метод оценивания и результаты экспериментов по его применению.

Глава 6 содержит описание разработанного программного комплекса моделирования процессов обработки ТРИ и моделируемых данных, а также результатов численных экспериментов с реальными данными.

Объем работы составляет 144 печатных листов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колодяжный, Артем Николаевич

6.4. Выводы

Рассмотрено описание и структура разработанного программного комплекса моделирования процессов обработки ТРИ.

Программы комплекса используется для подтверждения работоспособности предложенных методов и алгоритмов, а также анализа области их применения. Приводится методология работы с ПО.

Проведено описание моделируемых измерений и моделей движения КЛ на ПУТ и АУТ.

Рассмотрены результаты экспериментов применения алгоритмов к реальным данным, которые легли в основу актов внедрения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Предложена вероятностная математическая модель погрешности измерений внешнетраекторных средств, включающая аномальные измерения, регулярную и систематическую погрешности и погрешность временной привязки измерений.

2. Исследован закон распределения регулярной составляющей реальных ТРИ, количественные оценки содержания аномальных измерений. Полученные результаты подтвердили правомерность предложенной модели погрешности измерений.

3. Подобраны классы вейвлетов, с помощью которых можно наиболее качественно производить поиск аномальных ТРИ. Разработан новый алгоритм формирования «опорной выборки» на основе вейвлет-анализа, позволяющий сформировать «опорную выборку» в случае множественных аномальностей.

4. Получены аналитические оценки оптимального размера окна сглаживания равноточных и неравноточных измерений полиномами разных порядков. На их основе разработан высокоэффективный алгоритм оценки СКО регулярной погрешности измерений.

5. Разработана численно-устойчивая модификация метода оценивания систематических погрешностей измерений на основе метода рекуррентной фильтрации с декомпозицией по вектору мешающих параметров с новой моделью представления погрешностей - в виде линейной комбинации ортогональных полиномов, дающая возможность повысить точность оценки систематических погрешностей в задачах большой размерности и сократить количество вычислений.

6. Разработана новая методика оценивания погрешностей временной привязки измерений, позволяющая оценивать их одновременно в нескольких ИС.

7. Создан программный комплекс, моделирующий работу рассматриваемых методов и алгоритмов, подтверждающий их работоспособность и эффективность.

8. Предложена усовершенствованная технологическая база обработки ТРИ. Разработанные при этом методы можно применять для более широкого круга задач, в которых необходим анализ погрешностей измерений.

Итогом обобщения полученных результатов явилась формулировка выносимых на защиту положений.

Дальнейшая работа может быть направлена на оптимизацию разработанных алгоритмов, поиск новых подходов к решению задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Колодяжный, Артем Николаевич, 2008 год

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. - М.: Наука, 1977. - 224 с.

2. Алексеев К.А. Вейвлет-анализ сигналов датчиков. Конспект лекций: Пенза, ИИЦПГУ, 2001.-60 с.

3. Алексеев К.А. Модели и алгоритмы вейвлет-обработки сигналов датчиков с применением лифтинга. 4.1. Теоретические основы лифтинга, 4.2. Численное моделирование // Датчики и системы, 2002, №1. с. 3-9. -№2. - с. 2-5.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет анализ: основы теории и примеры применения. // Успехи физических наук, 1996, т.166, №11. с.1145-1170.

5. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана. М.: Мир, 1988.- 168 с.

6. Бакут П.А., Жулина Ю.З., Иванчук Н.А. Обнаружение движущихся объектов. М.: Сов. радио, 1980. - 283 с.

7. Бартон Р., Юнгве А. Обработка данных летных испытаний с использованием фильтра Калмана. //Вопросы ракетной техники, 1972, №2. с.18-33.

8. Бахшиян Б.Ц., Назаров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1981. - 360 с.

9. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений. М.: Недра, 1983. - 223 с.

10. Болынев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.- 416 с.

11. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982.-200 с.

12. Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1984 -262 с.

13. Брандин В.Н., Разоренов Т.Н. Определение траекторий космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. - 216 с.

14. Гаджиев Ч.М. Последовательный метод калибровки измерительных средств с использованием фильтра Калмана. // Измерительная техника 2006, №4. с.32-38.

15. Гетманов В.Г. Цифровая обработка неравномерно дискретизиованных сигналов на основе аппроксимационных сплайнов. // Измерительная техника 2003, №3. с. 24-28.

16. Гильбо Е.П., Челпанов И.Б. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора. М.: Советское радио, 1976. - 344 с.

17. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1990. -288 с.

18. Даугавет А.И., Колодяжный А.Н., Постников Е.В. «Оценка оптимального размера окна сглаживания равноточных измерений». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2006, вып. 3. с. 91 -99.

19. Дмитриевский А.А и др. Баллистика и навигация ракет. М.: Машиностроение, 1985. - 312 с.

20. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-Р, 2002. - 444 с.

21. Евдокимов В.П., Покрас В.П. Методы обработки данных в научных космических экспериментах М.: Наука, 1977. - 270 с.

22. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров. Обзор. // Автоматика и телемеханика, 1978, №8. с. 66-101.

23. Ершов А.А., Липцер Р.Ш. Робастный фильтр Калмана в дискретном времени. // Автоматика и телемеханика, 1978, №3. с. 60-69.

24. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. -М.: Советское радио, 1978. 348 с.

25. Жданюк Б.Ф. Введение в статистическую баллистику летательных аппаратов. М ^Министерство обороны СССР, 1971. - 196 с.

26. Ивановский С.А., Постников Е.В. Устойчивый метод обработки измерений при наличии мешающих параметров. // Сб. докл. международной конф. SCM'2001 по мягким вычислениям и измерениям. СПб., июнь 2001, т.2. с. 23-26.

27. Ивановский С.А., Постников Е.В. Технология обработки разнородных измерений с априорной параметрической неопределенностью. // Сб. докл. международной конф. SCM'2002 по мягким вычислениям и измерениям. СПб., июнь 2002, т.2. с.92-95.

28. Катковник В .Я., Полуэктов Р.А, Многомерные дискретные системы управления. М.: Наука, 1966. - 416 с.

29. Киселев В. Г. Фильтрация измерений при неполной информации об объекте и каналах измерений. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, №3. с. 188

30. Колодяжный А.Н. «Применение вейвлетов для выявления сингулярных выбросов в траекторных измерениях». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2006, вып. 1 с. 95 - 100.

31. Колодяжный А.Н. «Исследование законов распределений случайных погрешностей измерений траекторной системы «Кама». // Сборник научных трудов «Исследование и моделирование ракетно-космических комплексов и их элементов», -М.: Изд-во МАИ, 2007. с. 10 - 15.

32. Колодяжный А.Н. «Исследование законов распределений случайных погрешностей в измерениях оптического траекторного средства «Висмутин». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2007, вып. 2.-е. 15-18.

33. Колодяжный А.Н. «Алгоритм исключения из обработки аномальных результатов измерений на основе использования вейвлет технологий». // Тезисы докладов 4-ой международной конференции «Авиация и космонавтика-2005» М.: Изд-во МАИ, 2005. - с. 80.

34. Кондратьев В.С, Котов А.Ф., Марков Л.Н. Многопозиционные радиотехнические системы. М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

35. Космические траекторные измерения. Под ред. П.А. Агаджанова, В.Е. Дулевича, А.А.Коростелева. М.: Сов. радио, 1969. - 504 с.

36. Кузовков Н.Х., Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. М.: Машиностроение 1982. - 216 с.

37. Лебедев А.А., Герасюта И.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970. - 244 с.

38. Лебедев А.А., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. - 199 с.

39. Лемешко Б.Ю. О задаче идентификации закона распределения случайной составляющей погрешности измерений. // Метрология, 2004, № 7. с. 8-17.

40. Лемешко Б.Ю. Робастные методы оценивания и отбраковка аномальных измерений. // Заводская лаборатория. 1997, том 63, № 5. с. 43-49.

41. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1958. - 334 с.

42. Ломако Г.И. Определение и анализ движения по экспериментальным данным. МО СССР, 1983г. - с. 270.

43. Лоусон Ч., Хэнсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1988. - 232 с.

44. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1982. - 224 с.

45. Мардаз К. Статистический анализ угловых наблюдении. М.: Наука, 1978. -240 с.

46. Меркушева А.В. Классы преобразований нестационарного сигнала в информационно-измерительных системах. Время масштабные (вейвлет-) преобразования для спектрально-временного анализа. // Научное приборостроение, 2002, том 12, №3.-с. 68-82.

47. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989. - 312с.

48. Малютин Ю.М., Экало А.В. Применение ЭВМ для решения задач идентификации объектов. Л.: Изд. ЛГУ, 1988. - 256 с.

49. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Сов.радио, 1978. - 192 с.

50. Найденов В.Г. Оптимальная фильтрация многомерных случайных процессов траекторных измерений с несинхронными по времени компонентами. // Информационно измерительные и управляющие системы, 2007, т.5, №9. с. 3-9.

51. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. -Л.: Энергоатомиздат, 1985. 248 с.

52. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. Под ред. М. Бассвиля, А. Банвениста. М.: Мир, 1989. - 278 с.

53. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 208 с.

54. Огороднийчук Н.Д. Обработка траекторной информации. Ч. I. Киев:1. КВВАИУ, 1981. 141 с.

55. Орлов А.И. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся наблюдений // Заводская лаборатория. 1992, т. 58, № 7. с. 40-42.

56. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973. - 321 с.

57. Постников Е.В. Оценка влияния погрешностей временной привязки измерений. Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Серия "Информатика, управление и компьютерные технологии". 2007, Вып.2. с.19 - 23.

58. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. - с.496.

59. Смоляк С.А., Титаренко В.П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика, 1980. - 208 с.

60. Сотсков Б.М., Щербаков В.Ю. Теория и техника калмановской фильтрации при наличии мешающих параметров. // Зарубежная радиоэлектроника, 1983, №2. с. 3-28.

61. Строгов Г.В., Макшанов А.В., Мусаев А.А. Устойчивые методы обработки измерений (обзор). // Зарубежная радиоэлектроника, 1982, №9. с. 9-46.

62. Сухорученков Б.И. Математические модели и методы анализа характеристик летательных аппаратов.- Министерство Обороны СССР, 1985. 322 с.

63. Устойчивые статистические методы оценки данных. Под ред. Р.Л. Лонера, Г.Н. Уилкинсона. М.: Машиностроение, 1984. - 231 с.

64. Фомин A.M. Отбраковка аномальных измерений М.: Атомиздат, 1988. - 126с.

65. Фомин А.Ф., Новоселов О.В., Плющев А.В. Обработка аномальных результатов измерений. М.: Энергоатомиздат, 1985 - 200 е.

66. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния. Под редакцией В.М. Золотарева. М.: Мир, 1989. -257 с.

67. Хардле В., Крекьячарян Ж., Пикар Д. и Цыбаков А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения (перевод К.А.Алексеева). // www.matlab.exponenta.ru/wavelet/book6/index.html, октябрь 2002.

68. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

69. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. - 303 с.

70. Цыпкин Я.В. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1988.-400 с.

71. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.- 352 с.

72. Шапиро Е.И. Рекурсивный алгоритм фильтрации с учетом аномальных ошибок. Радиотехника и электроника, 1980, №2, - с.290-295.

73. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука 1976-С.416.

74. Яшин А.В., Лотонов М.А. Выбор метода решения задачи идентификации законов распределения случайных погрешностей средств измерений // Измерительная техника. 2003, № 3. с. 3-5.

75. Anderson В., Moore J. Optimal filtering. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, USA, 1979.-p. 357.

76. Bar-Shalom Y., Li X. R.,.Kirubarajan T, Estimation with Applications to Tracking and Navigation. New York: John Wiley & Sons, 2001. p. 322.

77. Chui С. K. and Chen G., Kalman Filtering with Real-Time Applications. New York: Springer-Verlag, 2nded 1991.

78. Daum F. E. Beyond Kalman filters: practical design of nonlinear filters. // in Proc. SPIE, vol. 2561, ,1995. p. 252-262.

79. Donoho, D. Statistical estimation and optimal recovery., // Annals of Statistics 22,1994. p. 238-270.

80. Donoho, D., Johnstone, I. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage. // Biometrika 81, 1994. p. 425-455.

81. Donoho D.L., Johnstone I.M. Neo-classical minimax problems, thresholding, and adaptation// Bernoulli, 1996, №1. p. 39-62.

82. Donoho D.L. De-noising by soft-thresholding. // IEEE Trans, on Inform. Theory,1995, №3.-p. 613-627.

83. Gustafsson F., Gunnarsson F., Bergman N., Forssell U., Jansson J., Karlsson R., Nordlund P.-J., Particle filters for positioning, navigation and tracking. // IEEE Trans. Signal Processing, vol. 50, February 2002. p. 425-437.

84. Global Positioning system: Theory and Applications / Edited by Parkinson B.W., Spilker J.J. American Institute of Aeronautics and Astronautics. Inc. Washington, 1996, V. 1-2.-p. 1540

85. Farina A., Ristic В., Benvenuti D.Tracking a ballistic target: comparison of several non linear filters. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. 38, № 3, 2002. -.p. 854-867.

86. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering. // IEEE Trans. Automatic Control, 1969, vol. AC-14, №4 p. 359-367.

87. Friedland B. Notes on separate bias estimation. // IEEE Trans. Automatic Control, 1978, vol. AC-23, №4 - p. 735-738.

88. Kaminsky P.G., Bryson A.E., Schmidt S.F. Discrete square root filtering: a survey of current techniques. // IEEE Trans. Aut. Contr., 1971, Vol. AC-16, № 6. -p. 727-735.

89. Mendel J.M. Extension of Friedland's bias filtering technique to a class of nonlinear system. // IEEE Trans. Aut. Contr., 1972, Vol. AC-17. p. 693-698.

90. Niehsen W., Robust Kalman filtering with generalized Gaussian measurement noise, Corporate Res. & Dev., Robert Bosch GmbH, Hildesheim. // Aerospace and Electronic Systems IEEE, Publication Date: Oct 2002 Volume: 38, Issue: 4 p. 1409- 1412.

91. Rioul, O., Vetterli, M. Wavelets and signal processing, // IEEE Signal Processing Magazine 8(4), 1991 .p. 14-38.

92. Ristic В., Arulampalam S., Gordon N. Beyond the Kalman Filter. Particle Filters for Tracking Applications. Artech House Publ., Boston London, 2004 - p. 297.

93. Verghese G., Friedlander В., Kailath T. Scattering theory and linear least-squares estimation, Part 3: Estimation. // IEEE Trans. Automatic Control, 1980, v. AC-25, №4 p. 794-802.

94. Wang L.-S., Chiang Y.-T.,Chang F.-R. Filtering method for nonlinear systems with constraints //IEEE Proc. Control Theory and Appl, vol. 149, November 2002.- p. 525-531.