Методы управления риском в организационных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Яо Кэюй

• Яо Кэюй
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Яо Кэюй

Оглавление

Введение

Глава 1. Робастные методы в задаче управления риском

1.1. Оптимальный портфель с учётом предпочтений инвестора

1.2. Метод максимального правдоподобия

1.3. Робастные методы решения задачи построения оптимального 27 портфеля.

1.4. Примеры. 34 Заключение к первой главе. 51 Глава 2. Метод главных компонент в задаче управления риском

2.1. Постановки задач управления риском

2.2. Алгоритмы решения задач управления риском

2.3. Примеры. 69 Заключение ко второй главе. 78 Глава 3. Метод случайного инвестирования в задаче управления 79 риском.

3.1. Случайное инвестирование

3.2. Примеры. 90 Заключение к третьей главе. 102 Заключение. 103 Список литературы

Введение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы управления риском в организационных системах»

Общая характеристика работы.

Актуальность темы исследования.

Современные процессы, происходящие на финансовом рынке, приводят к необходимости рассматривать его как сложную организационную систему, в которой в качестве активных агентов выступают инвесторы; при этом одной из основных задач является задача управления риском. Для решения этой задачи в классической постановке Г. Марковица необходимо знать вероятностную меру, необходимую для вычисления вектора средних значений и ковариационной матрицы доходностей рисковых активов. Основной сложностью является то, что такая вероятностная мера, как правило, неизвестна. Вместо неизвестной меры можно использовать обучающую выборку, на основе которой оценить вектор средних значений и ковариационную матрицу. Подстановка выборочных значений вместо неизвестных параметров позволяет найти решение, которое будет зависеть от выборки и не будет робастным по отношению к изменению выборки. Поэтому разработка робастных методов и алгоритмов решения задач управления риском в организационных системах является актуальной.

Ещё одной проблемой управления в современных организационных системах является огромное количество типов рисковых активов, что приводит к большой размерности ковариационной матрицы доходностей рисковых активов. Поэтому разработка теоретических основ управления в организационных системах, в основе которых лежит сокращение размерности исходной задачи и последующее применение алгоритмов онлайн-обучения, также является актуальной.

Развитие методов машинного обучения позволяет применять их для решения различных задач, в том числе задач управления в огранизационных системах. К примеру, вместо стандартной диверсификации по Марковицу можно использовать алгоритм случайного инвестирования. Поэтому разработка информационного и программного обеспечения систем

управления и механизмов принятия решений в организационных системах является актуальной.

Цели и задачи диссертационной работы.

Основной целью данной работы является разработка методов решения задач управления в организационных системах, а также разработка комплекса программ для реализации этих алгоритмов.

Для реализации поставленной цели необходимо было решить следующие задачи, а именно, предложить и теоретически обосновать методы решения задач управления риском в различных постановках, основанные на:

1.Алгоритме MCD.

2.Метрике Вассерштайна.

3.Методе главных компонент.

4.Методах онлайн-обучения. Методология исследования.

Для выполнения поставленных выше целей использовались: 1.Численные и аналитические методы.

2.Методы и результаты теории вероятностей и математической статистики.

3.Методы решения оптимизационных задач.

4.Методы и результаты кластерного анализа.

5.Методы и результаты линейной алгебры.

6.Методы и результаты онлайн-обучения.

Программная реализация была осуществлена с помощью языка программирования Python.

Научную новизну составляют положения, выносимые на защиту.

1.Робастные методы и алгоритмы решения задач управления риском в организационных системах, основанные на алгоритме MCD и метрике Вассерштайна.

2.Теоретические основы управления в организационных системах, в основе которых лежит сокращение размерности исходной задачи и последующее применение алгоритмов онлайн-обучения.

3.Информационное и программное обеспечение систем управления и механизмов принятия решений в организационных системах: алгоритм случайного инвестирования. Теоретическая и практическая значимость.

Часть диссертационной работы носит теоретический характер и относится к фундаментальным исследованиям. Построенные новые методы, и алгоритмы, созданные комплексы программ достаточно универсальны и применимы для решения многих теоретических и прикладных задач.

Программный комплекс «Программа построения оптимального портфеля на основе метода главных компонент» зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности: свидетельство №2024663536, дата регистрации 07.06.2024 г. (автор: Яо Кэюй).

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные результаты могут применяться не только в теории управления в организационных системах, но и в других областях. Результаты, полученные в диссертации, могут быть также применены при чтении курсов в Институте математики, механики и компьютерных наук им. И.И.Воровича Южного федерального университета, таких, как «Методы оптимизации и исследование операций», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Стохастическая финансовая математика», «Анализ временных рядов», «Эконометрика», «Задачи оптимального управления». Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационном исследовании результатов основывается на строгих доказательствах представленных утверждений и теорем; подтверждении теоретических выкладок численными расчётами; представлении результатов диссертационного исследования на различных научных конференциях и научных семинарах.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на международных и всероссийских симпозиумах, конференциях и семинарах:

«Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития (СИТО)», Ростов-на-Дону, 2022, 2023, 2024; «Современные методы, проблемы и приложения теории операторов и гармонического анализа (OTHA)», Ростов-на-Дону, 2023; «Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленой математике», Сочи, 2022.

Публикации.

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 4 работах. Из них 3 статьи опубликованы в научных изданиях, входящих в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук» (категория К1). Все публикации соответствуют научной специальности 2.3.4. Управление в организационных системах (технические науки).

Личный вклад автора.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации некоторых результатов проводилась совместно с соавторами. В этих случаях соискателю принадлежит разработка методов, алгоритмов и программных комплексов, а также получение, обработка и анализ полученных результатов.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (110 наименований) и приложения. Объём диссертационного исследования составляет 116 страниц, включая 23 рисунка и 29 таблиц.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, к.ф.-м.н., доц. Даниловой Н.В., а также д.т.н., проф. Белявскому Г.И. за консультации в области онлайн-обучения.

Первая глава диссертации посвящена робастным методам управления риском. Проблема, решаемая в этой главе, возникает из -за естественного желания управлять активными системами, опираясь на данные

с учетом неопределённостей как внешних, так и внутренних. Неопределённости могут иметь разную природу и, следовательно, разные модели используются при описании. В нашем исследовании применяется вероятностная модель, в основе которой вероятностное пространство (О, Е, р. Обычно с первыми двумя элементами триплета не возникает

проблем при рассмотрении объекта управления. Последний элемент по своему смыслу - это прогноз, который, как правило, в задачах управления считается неизвестным. Поэтому он подлежит оценке перед решением задач управления. Следовательно, реалистические алгоритмы управления должны включать методы прогноза.

В данной главе при решении задач управления применяется идеология диверсификации риска или портфельная идеология. При построении оптимального портфеля для разнообразных критериев качества портфеля в большинстве случаев в моделях второго порядка используется среднее значение и ковариационная матрица, которые требуется оценить по выборке. Используется два наиболее популярных подхода. Один из них связан с получением робастных (устойчивых) оценок при помощи эллипсоида минимального объёма, содержащего заданное число элементов выборки. Этот метод позволяет эффективно противостоять такому явлению, как засоренность выборки. Метод хорошо сочетается с кластерным анализом с одним из наиболее применяемым методом анализа данных. Кластерный анализ данных позволяет рассматривать задачу управления как минимаксную задачу, что повышает робастность решений за счет использования нескольких вариантов оценок (прогнозов).

Дальнейшее развитие идеи многих вариантов оценок параметров при принятии решений приводит к использованию идеи многих вариантов распределений. Много вариантов распределений приводит к известной в математической статистике структуре (О,/>Р). Здесь Р - множество

вероятностных мер на измеримом пространстве (О, Р). В диссертации

предполагается, что О - вещественное векторное пространство, Р -борелевская а -алгебра. Далее предполагается наличие метрики на множестве вероятностных мер на измеримом пространстве (О, Р). Наличие метрики

позволяет выбрать в качестве множества Р е -окрестность некоторого номинального распределения Рпош. В диссертации принято в качестве основного источника информации использовать выборку из генеральной совокупности, не делая предположений о генеральной совокупности. Относительно выборки делаются стандартные предположения о независимости и одинаковой распределенности её элементов. С выборкой

1 п

естественно связать эмпирическое распределение Р^х) = — а {¿х),5а {¿х)

n1=— г г

- меры Дирака. Элементы ai - элементы выборки. В первой главе мы ограничились рассмотрением эмпирических распределений, порождаемых выборками одинакового объёма. При выборе расстояния между распределениями мы ограничились расстоянием Вассерштейна. Симметричная диивергенция Лейблера-Кульбака

/ ч р {¿ъ) р {¿ъ)

ЬК {Рг,Р2 ) = ЕР —Ц—т + ЕР —т сложно вычисляется для эмпирических

2 Р2 Ш 1 Р1 Ш

распределений, и поэтому предпочтение было отдано расстоянию Вассерштейна. Расстояние Вассертштейна порядка р вычисляется в результате решения задачи об оптимальном переносе энергии:

К р ,Р2 )=

1

г \-

р

т/ 11|х - у||р к^х,¿у) , |к^х,¿у)4у = Р1 {¿х),

) к"

| к^х, ¿у)^х = Р2 {¿х).

к"

Допустим первое распределение

^ п 1 п

Р1 {¿х) = 1 ^5а {¿х),Р2{¿у) = -{¿у), тогда расстояние Вассерштейна п7=1 1 пм ]

Жрр,р2) = гп/¿¿|| х - у

п

V ''=— ]=!

| п \ П 1

.¿П . = — .¿п. = — . Таким образом, п м п

вычисление расстояния Вассерштейна связано с решением транспортной задачи. Применение двойственности позволяет выразить расстояние Вассерштейна следующим образом:

Ж (Р— .Р2 ) =

Г '

— ^ъир п

V V V

ЛЛЛ

п п(\ ¿ф(а ЬЕпЪ)

«=1 ]=1 у у у

супремум ищется по всем

непрерывным и ограниченным функциям, удовлетворяющим условию:

У(Х )-ф( у )<

х -

Применение подстановки ц позволяет записать

следующую двойственную формулу для расстояния Вассерштейна:

( \( п ^

Ж (р .Р2 )= — шр ¿(фа )-у(ъл(г)))

V п V г=1

у у

( 1 п

неравенство Жр (р1. Р2) < — 21 |а - Ъф

V п г=1

Используем условие и получим

Данное неравенство справедливо

для любой подстановки, поэтому справедливо неравенство:

( 1 п

Жр (р р )< — гп/ ¿Щ - Ъц(г п ,_1

Инфимум вычисляется по всем

подстановкам. Данное неравенство может быть использовано для вычисления окрестности, однако, как показал анализ, сложность данного подхода сопоставима со сложностью вычислений окрестности при

помощи прямой транспортной задачи, поэтому было принято решение использовать для вычисления окрестности прямую транспортную задачу. В первой главе представлено такое решение, которое позволило найти аналитическое решение внутренней задачи и свести проблему робастной инвестиции к стандартной задаче оптимального управления.

Во второй главе диссертации больше внимания уделяется корректировке управления в динамической задаче оптимального управления

1

1

)

1

по мере поступления новой информации. Корректировка делает управление адаптивным к внешним обстоятельствам или робастным. Данное исследование можно развивать в двух направлениях. Первое направление связано с рекуррентной статистикой. Рекуррентная статистика может быть использована в задачах диверсификации риска опосредовано для получения оптимальных оценок параметров, которые затем используются для вычисления оптимального решения. Данный подход можно при определенных допущениях сопоставить с одним из методов обучения в реальном времени, а именно, с методом, который называется методом следования за лидером. Второе направление связано с обучением в реальном времени. В свою очередь в обучении в реальном времени можно выделить три направления. В исторической перспективе первым появилось обучение с конечным множеством «экспертов». В некотором смысле, данный метод был реализован в первой главе в связи с кластерным анализов. Каждый выделенный кластер можно рассматривать в качестве эксперта. Второе направление, названное обучением в реальном времени, реализовано в этой главе. Обучение в реальном времени предназначено для вычисления оптимального значение функционала, определённого на возможных траекториях. Повышенное внимание к этому направлению связано с тем, что много задач управления активными системами сводимы к подобного рода задачам оптимального управления. Третье направление, а именно, обучение с подкреплением, связано с управляемым марковским процессом, управлением за счёт обратной связи, и, наконец, с уравнением Беллмана, и рекуррентными методами его решения.

Серьезным недостатком обучения в реальном времени является медленная сходимость. Особенно этот отрицательный факт проявляет себя в признаковых пространствах большой размерности. Поэтому решено было сосредоточится на задачах, в которых присутствует характеристическая структура, содержащая небольшое число элементов, через которые можно выразить остальные элементы модели. Скрытые элементы структуры

принято называть факторами, а процесс описания структуры называют факторным анализом. Факторный анализ широко применяется в современном анализе данных, точнее, линейный факторный анализ. Нелинейный факторный анализ применяется реже. Интересна связь факторного анализа с персептронами, при этом используется структура, названная узким горлышком. Применяемый в факторном анализе персептрон имеет один внутренний слой с числом нейронов, равным числу факторов. Нелинейность можно внедрить в модель, используя нелинейные функции активации для нейронов внутреннего слоя. Однако, было принято решение ограничиться линейным факторным анализом.

Задача идентификации линейной факторной модели заключается в представлении известно симметричной и положительно определённой

матрицы C в виде: С = UUT + D. Размер матрицы C - п х п, размер матрицы U - п х т, матрица D - диагональная матрица. Предполагается, что т « п. Это представление соответствует линейной модели х = и/ + е. Здесь случайный вектор х - вектор основного пространства признаков в задаче управления активными системами на основе признаков, случайный вектор / - вектор скрытых факторов, случайный вектор е - вектор ошибок. Считается, что элементы векторов / и е - некоррелированные случайные величины, причём дисперсии элементов вектора / равны собственным числам матрицы С, дисперсии элементов вектора е равны . Векторы / и е -независимые случайные векторы. В главе рассматривается один из простых

Т 2

вариантов данной модели. Предполагается, что ити = I и D=аI. Отметим важный элемент, а именно, задача идентификации модели факторного анализа не имеет однозначного решения, то есть является некорректной. Однозначность появляется при существенном ограничении. Следует предположить, что первичные признаки распределены по нормальному закону. Такое предположение противоречит основной цели исследования - робастности технологий. Отметим один важный инвариант

всех решений - это маломерное подпространство, которое является подпространством столбцов матрицы и. Инвариантное подпространство является собственным подпространством матрицы С. Если матрицу С рассматривать как ковариационную матрицу, то маломерному подпространству можно придать другой смысл. Его можно рассматривать как ближайшее в среднем квадратическом смысле к случайному вектору признаков, по которым реализуется управление активной системой, подпространство заданной размерности. Именно в этом контексте инвариантное подпространство применяется в диссертации с целью сократить размерность, чтобы алгоритмы управления активной системой, использующие обучение в реальном времени, выглядели реалистично. В предлагаемом управлении просматриваются два этапа. Сначала исполняется идентификация маломерного подпространства. Затем решается задача обучения в реальном времени. Данная схема является эффективной, если выполняется предположение о существовании маломерного подпространства, которое обладает свойством эргодичности, относительно которого флуктуирует случайный вектор признаков управления активными системами. Данная методика является регрессией, в которой регрессором является маломерное подпространство. Желание получить унифицированный алгоритм управления делает обоснованным применение обучения в реальном времени при вычислении маломерного подпространства. В стандартном алгоритме сперва находится оценка ковариационной матрицы С , которая затем факторизуется, например, вычисляются т первых её собственных векторов. Представленная в диссертации методика является рекуррентным алгоритмом решения серии оптимизационных задач.

В третьей главе диссертации изучается в качестве средства управления активными системами случайная инвестиция как альтернатива портфелю. По своей природе случайная инвестиция является смешанной стратегией поведения. Как для портфеля, так и для случайной инвестиции, результат (доходность) является случайной величиной. Если рассматривать

две числовые характеристики - среднее и дисперсию, то эти показатели совпадают у доходностей портфеля и случайной инвестиции, при условии, что элементы портфеля неотрицательны. Заметим, что неотрицательные элементы портфеля можно рассматривать как распределение вероятностей случайной инвестиции. Иначе обстоит дело для других измерителей риска, например, для VaR и CVaR. Задача управления риском для этих критериев является основным содержанием третьей главы диссертации. Задача рассматривается в двух постановках. Первая касается фиксированной выборки. Применяемая техника связана с решением серии задач математического программирования. Вторая связана с неограниченной выборкой. В этой постановке применяется оптимизация в реальном времени. В частности, используется спуск по экспоненциальному градиенту. Первый метод вычисляет фиксированный закон распределения для оптимальной случайной инвестиции, которая в дальнейшем эксплуатируется без изменений. Во втором методе закон распределения случайной инвестиции корректируется в процессе поступления новой информации. В принципе, коррекции могут продолжаться неограниченно долго. В этом смысл применения термина «неограниченная выборка». Данный метод некоторым образом совпадает с игрой «многорукий бандит», в которой выбор руки происходит случайно и напоминает случайную инвестицию. Многорукий бандит очень часто используется в качестве модели в задачах управления активными системами. В большинстве исследований, связанных с этой моделью, в качестве метода, который призван решать задачу оптимизации в реальном времени, применяется обучение с подкреплением. Техника, применённая в диссертации, отличается в лучшую сторону, поскольку не предполагает восстановление промежуточной Q -функции, которая далее бы

использовалось для синтеза закона распределения для случайной инвестиции. Сходимость метода обучения с подкреплением при определённых условиях гарантирует сходимость к Q -функции, а не к оптимальной инвестиции. Кроме этого очевидного преимущества,

предлагаемый метод без существенного изменения позволяет дополнить множество, из которого выбирается решение, существенной опцией «отказ от принятия решения». Для этого, как продемонстрировано в третьей главе, потребовалось добавить матричную игру, которая решается при каждой коррекции распределения вероятностей случайной иевестиции. Следует отметить, что матричная игра не имеет седловой точки, поэтому её решением является смешанная стратегия. В итоге удалось предложить эффективный метод управления активной системой, в котором случайная инвестиция сочетается со случайным отказом от инвестиции. Далее приведён обзор литературы, отражающий современное состояние исследований в области задач, для которых предложены новые решения.

Обзор литературы.

В [1-11] изложены классические подходы решения задач управления риском и их приложения в финансовой математике. В [1-3] рассматриваются вопросы нахождения оптимальных решений для индивидуумов и фирм в предположении полной определённости на рынке. При этом в [1] рассматривается общая теория, в [2] рассматриваются методы вычисления капитала и теория инвестирования, в [3] рассматриваются методы начисления дивидендов. В [4,5] рассматриваются аналогичные задачи, но в предположении условий неопределённости. При этом в [4] рассматриваются методы анализа экономических временных рядов, в [5] приводится диверсификация по Марковицу. В [6,7] рассматриваются две классические теории: «модель ценообразования основных фондов» и «арбитражная теория расчётов». В [9-11] приводятся задачи построения оптимального портфеля в различных постановках. При этом в [10] рассматривается критерий mean-variance для оценивания портфеля; в [11] приводятся приложения на рынке ценных бумаг в Токио. В [12,106,107] введено понятие меры риска VaR; в [13] введено понятие меры риска CVaR. В [14-17,22,23] приводятся робастные методы нахождения оптимального портфеля. В [18] приводится робастный метод нахождения оптимального портфеля, основанный на

кластеризации выборки. Алгоритмам кластеризации выбрки посвящены работы [19-21]. В [24] приводится робастный метод нахождения оптимального портфеля, основанный на метрике Вассерштайна. В [25-27] приводится алгоритм МСБ и его модификации, в частности, быстрый алгоритм МСБ. В [28,29] приводятся алгоритмы выбора количества элементов выборки, попавших в эллипсоид минимального объёма.

В [30,31] изложены основные принципы метода главных компонент. В [32-34] приведены факторные модели и их применения в финансовой математике. При этом в [32] анализируется доходность облигаций, в [33] приводится анализ временной структуры дисперсионных курсов свопа, и находятся оптимальные дисперсионные своп-инвестиции. В [34] приводится многомерная оценка портфеля с минимальным риском в рамках статистических факторных моделей. В [35] представлен алгоритм вычисления оптимального портфеля, основанный на методе главных компонент и методе Монте-Карло. В [36] представлен алгоритм вычисления оптимального портфеля, основанный на анализе главных компонент ядра. В [37] представлен алгоритм вычисления оптимального портфеля, основанный на методе главных компонент и моментах высоких порядков. В [38] представлен алгоритм вычисления оптимального портфеля, основанный на методе главных компонент, и его применение на фондовой бирже. В [39] представлен алгоритм вычисления оптимального портфеля, основанный на методе главных компонент и измерению эффективности в системе риска убытков. В [40] изложены основные принципы теории временных рядов. В [41] изложен метод главных компонент и его применение для высокочастотных данных. В [42] представлены различные методы построения оптимального портфеля, в том числе на основе метода главных компонент.

В [43-97] представлены алгоритмы онлайн-обучения и их применение к решению задач вычисления оптимального портфеля. В [43] представлены базовые алгортмы онлайн-обучения, при этом этом основной акцент сделан

на новой интерпретации скорости передачи информации. В [44] представлены алгоритмы выбора оптимального портфеля с помощью онлайн -обучения с использованием мультипликативных обновлений. В [45] приведены алгоритмы построения оптимального портфеля с помощью онлайн-обучения и метода Ньютона. В [46] рассматриваются алгоритмы нахождения оптимального портфеля с помощью онлайн-обучения, при этом используется логарифмическая функция сожаления. В [47] рассматривается вопрос построения оптимального портфеля за короткий промежуток времени, используя методы онлайн-обучения. В [48] рассматривается вопрос выбора наилучшего актива для инвестирования с помощью методов онлайн -обучения. В [49-51] приведены стратегии выбора оптимального портфеля на основе возврата к среднему и методов онлайн-обучения. В [52] приведены непараметрические методы прогнозирования. В [53-55] приведены методы построения логарифмически оптимального портфеля с помощью методов онлайн-обучения. В [56-62,72] изучаются методы «советов экспертов» для построения оптимального портфеля. При этом в [57] изучается алгоритм «взвешенного большинства», в [58] изучается алгоритм «мета-оптимизации», в [59,61] изучается алгоритм «слабого агрегирования», в [60] изучается алгоритм «комбинированных советов экспертов», в [62] применяются алгоритм агрегирования и алгоритм экспоненциального градиента. В [63] изучаются методы онлайн-обучения для построения оптимального портфеля в случае меры риска СУаЯ. В [64-66] изучаются методы онлайн-обучения для построения оптимального портфеля в случае наличия дополнительных ограничений. При этом в [64] рассматриваются ограничения по времени, в [65] рассматриваются долгосрочные ограничения, в [66] рассматриваются стохастические ограничения. В [67,68,97] рассматриваются алгоритмы выпуклой онлайн-оптимизации. В [69,70,73,78] представлены классические алгоритмы онлайн-обучения и адаптивного онлайн-обучения. В [75,76] представлены алгоритмы онлайн-градиентного спуска. В [77,79] рассматриваются алгоритмы онлайн-обучения для случая одного и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яо Кэюй, 2025 год

Список литературы.

1.Fisher, I. The theory of interest / Fisher I. - New York: Macmillan. - 1930. -566 p.

2.Miller, M. The cost of capital, corporation finance and the theory of investment / Miller M., Modigliani F. // American Economic Review. - 1958. - Vol. 48, No. 3. - P. 261-297.

3.Miller, M. Dividend policy, growth and the valuation of shares / Miller M., Modigliani F. // Journal of Business. - 1961. - Vol. 34. - P. 411-433.

4.Kendall, M. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices / Kendall M. // Journal of the Royal Statistical Society. - 1953. - Vol. 96. - P. 11-25.

5.Markowitz, H. Portfolio selection / Markowitz H. // Journal of Finance. - 1952. -Vol. 7. - P. 77-91.

6.Sharpe, W. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk / Sharpe W. // Journal of Finance. - 1964. - Vol. 19, No. 3. - P. 425-442.

7.Ross, S. The arbitrage theory of capital asset pricing / Ross S. // Journal of Economic Theory. - 1976. - Vol. 13, No. 3. - P. 341-360.

8.Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1.Факты, модели / Ширяев А.Н. // М.:ФАЗИС. - 2004. - 512 с.

9.Brandt, M. Portfolio choice problems / Brandt M. // Handbook of Financial Econometrics. - 2010. - Vol. 1. - P. 269-336.

10.Steinbach, M. Markowitz revisited: mean-variance models in financial portfolio analysis / Steinbach M. // SIAM Review. - 2001. - Vol. 43, No. 1. - P. 31-85.

11.Konno, H. Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its applications to Tokyo stock market / Konno H., Yamazaki H. // Management Science. - 1991. - Vol. 37, No. 5. - P. 519-531.

12.Basak, S. Value-at-risk-based risk management: optimal policies and asset prices / Basak S., Shapiro A. // Review of Financial Studues. - 2001. - Vol. 14, No. 2. - P. 371-405.

13.Rockafellar, R. Optimization of conditional value-at-risk / Rockafellar R., Uryasev S. // Journal of Risk. - 2000. - Vol. 2, No. 3. - P. 21-42.

14.Fabozzi, F. Robust portfolios: contributions from operations research and finance / Fabozzi F., Huang D., Zhou G. // Annals of Operations Research. - 2010. - Vol. 176. - P. 191-220.

15.Pflug, G. A review on ambiguity in stochastic portfolio optimization / Pflug G., Pohl M. // Set-Valued and Variational Analysis. - 2018. - Vol. 26. - P. 733-757.

16.Wozabal, D. A framework for optimization under ambiguity / Wozabal D. // Annals of Operations Research. - 2012. - Vol. 193, No. 1. - P. 21-47.

17.Pflug, G. Ambiguity in portfolio selection / Pflug G., Wozabal D. // Quantitative Finance. - 2007. - Vol. 7, No. 4. - P. 435-442.

18.Белявский, Г.И. Обучение без учителя и робастная оптимизация в задаче об оптимальном портфеле / Белявский Г.И., Данилова Н.В., Логунов А.Д. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2020. -№4. - С. 4-9.

19.Glavach, V. Ten lectures on structural and statistical pattern recognition / Glavach V., Schlesinger M. // Naukova dumka. - 2002. - 522 p. (in Russian)

20.Duda, R. Pattern classification / Duda R., Hart P., Stork D. // Wiley(2ed). -2000. - 688 p.

21.Oded, M. Clustering methods. Data mining and knowledge discovery handbook / Oded M., Rokach L. // Springer US. - 2005. - P. 321-352.

22.Ben-Tal, A. Robust optimization / Ben-Tal A., Ghaoui L., Nemirovski A. // Princeton University Press. - 2009. - 542 p.

23.Bandi, C. Robust option pricing / Bandi C., Bertsimas D. // European Journal of Operational Research. - Vol. 239, No. 3. - 2014. - P. 842-853.

24.Blanchety, G. Distributionally robust mean-variance portfolio selection with Wasserstein distances / Blanchet J., Chen L., Zhou X. // Management Science. -2021. - Vol. 68, No. 9. - P. 6382-6410.

25.Boudt, K. The Minimum Regularized Covariance Determinant estimator / Boudt K., Rousseeuv P., Vanduffel S., Verdonck T. // Statistics and computing. -2020. - Vol. 30. - P. 113-128.

26.Rousseeuv, P. A fast algorithm for the Minimum Covariance Determinant estimator / Rousseeuv P., Van Driessen K. // Technometrics. - 1999. - Vol. 41. -P. 212-223.

27.Debruyen, M. Minimum covariance determinant and extension / Hubert M., Debruyen M., Rousseeuv P. // arhiv: 1709.07045v1[stat.ME]. - 2017.

28.Hampel, F. A general qualitative definition of robustness / Hampel F. // Annals of mathematical statistics. - 1971. - Vol. 42. - P. 1887-1896.

29.Grossmann, W. Multivariate estimation with high breakdown point / Grossmann W., Pflug G., Rousseeuv P., Vincze I., Wertz W. // Mathematical Statistics and Applications. - 1985. - P. 283-297.

30.Pearson, K. On line and planes of closest fit to systems of points in space / Pearson K. // Philosophical magazine and Journal of science. - 1901. - Vol. 2. - P. 559-572.

31.Hotelling, H. Analysis of a complex of statistical variables into principal components / Hotelling H. // Journal of Educational Psychology. - 1933. - Vol. 24. - p. 417-441.

32.Litterman, R. Common factors affecting bond returns / Litterman R., Sheinkman J. // Journal of Fixed Income. - 1991. - Vol. 1. - P. 54-61.

33.Egloff, D. The term structure of variance swap rates and optimal variance swap investments / Egloff M., Leippold M., Wu L. // Journal of financial and quantitative analysis. - 2010. - Vol. 45, No. 5. - P. 1279-1310.

34.Ding, Y. High dimensional minimum variance portfolio estimation under statistical factor models / Ding Y., Yingying L., Xinghua Z. // Journal of econometrics. - 2021. - Vol. 222, No. 1. - P. 502-515.

35.Kreinin, A. Principal component analysis in quasi Monte-Carlo simulation / Kreinin A., Merkoulovitch L., Rosen D., Zerbs M. // Algo research quarterly. -1988. -Vol. 1, No. 2. - P. 21-30.

36.Albuquerque, P. Between nonlinearities, complexity and noises: an application on portfolio selection using kernel principal component analysis / Albuquerque P.,

Nascimento I., Machado J., Peng Y. // Entropy. - 2019. - Vol. 21, No. 4. - P. 376403.

37.Chen, C. Robust multiobjective portfolio with higher moments / Chen, C., Zhou Y. // Expert Systems with applications. - 2018. - Vol. 100. - P. 165-181. 38.Sharpe, W. Mutual fund performance / Sharpe W. // Journal of Business. -1966. - Vol. 39, No. 1. - P. 119-138.

39.Price, L. Performance measurement in a downside risk framework / Price L., Sortino F. // Journal of Investing. - 1994. - Vol. 3. - P. 59-64.

40.Brillinger, D. Time series: Data analysis and theory / Brillinger D. // SIAM. -2001. - 540 p.

41.Ait-Sahalla, Y. Principal component analysis of high-frequency data / Ait-Sahalla Y., Xiu D. // Journal of the American statistical association. - 2019. - Vol. 114, No. 525. - P. 287-303.

42.Cover, T. Universal portfolios / Cover T. // Mathematical finance. - 1991. -Vol. 1, No. 1. - P. 1-19.

43.Kelly, J. A new interpretation of information rate / Kelly J. // Bell System Technical Journal. - 1956. - Vol. 35. - P. 917-926.

44.Helmbold, D. Online portfolio selection using multiplicative updates / Hembold D., Schapire R., Singer Y., Warmuth M. // Mathematical Finance. - 1998. - Vol. 8, No. 4. - P. 325-347.

45.Agarwal, A. Algorithms for portfolio management based on the Newton method / Agarwal A., Hazan E., Kale S., Schapire R. // Proceedings of the 23rd International conference on machine learning. - 2006. - P. 9-16.

46.Luo, H. Efficient online portfolio with logarithmic regret / Luo H., Wei C., Zheng K. // Proceedings of the 32nd International Conference on Neural Information Processing Systems. - 2018. - P. 8245-8260.

47.van Erven, T. Open problem: Fast and optimal online portfolio selection / van Erven T., Koolen W., Kotlowski W. // Proceedings of the 33rd Conference on Learning Theory. PMLR. - 2020. - Vol. 125. - P. 3864-3869.

48.Borodin, A. Can we learn to beat the best stock / Borodin A., El-Yaniv R., Gogan V. // Journal of Artificial Intelligence Research. - 2004. - Vol. 21. - P. 579594.

49.Gopalkrishnan, V. PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection / Gopalkrishnan V., Hoi S., Li B., Zhao P. // Machine learning. - 2012. - Vol. 87. - P. 221-258.

50.Hoi, S. Moving average reversion strategy for online portfolio selection / Hoi S., Li B., Lio Z., Sahoo D. // Artificial Intelligence. - 2015. - Vol. 222. - P. 104123.

51.Hoi, S. Robust median reversion strategy for online portfolio selection / Hoi S., Huang D., Li B., Zhou J. // IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering. - 2016. - Vol. 28, No. 9. - P. 2480-2493.

52.Gyorfi, L. Nonparametric prediction / Gyorfi L., Schafer D. // Advances in Learning Theory: Methods, Models and Applications. (NATO Science Series: Computer and Systems Sciences 190). - 2003. - P. 341-356.

53.Gyorfi, L. Empirical log-optimal portfolio selections: a survey / Gyorfi L., Ottucsak G., Urban A. // Machine learning for financial engineering. - 2012. - P. 81-118.

54.Hoi, S. Online portfolio selection: A survey / Hoi S., Li B., // ACM Computing Surveys (CSUR). - 2014. - Vol. 46, No. 3. - P. 1-36.

55.Algoet, P. Asymptotic optimality and asymptotic equipartition properties of log-optimum investment / Algoet P., Cover T. // The Annals of Probability. -1988. - Vol. 16, No. 2. - P. 876-898.

56.Vovk, V. A game of prediction with expert advice / Vovk V. // Journal of Computer and System Sciences. - 1998. - Vol. 56, No. 2. - P. 153-173.

57.Littlestone, N. The weighted majority algorithm / Littlestone N., Warmuth M. // Information and computation. - 1994. - Vol. 108, No. 2. - P. 212-261.

58.Banerjee, A. Meta optimization and its application to portfolio selection / Banerjee, A., Das P. // Proceedings of the 17th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining. - 2011. - P. 1163-1171.

59.Kalnishkan, Y., Vyugin M. The weak aggregating algorithm and weak mixability / Kalnishkan, Y., Vyugin M. // Journal of Computer and System Sciences. - 2008. - Vol. 74, No. 8. - P. 1228-1244.

60.Yang, X. Online portfolio selection strategy based on combining experts' advice / Yang X., Zhang Y. // Computational Economics. - 2017. - Vol. 50, No. 1. - P. 141-159.

61.He, J. Universal portfolio selection strategy by aggregating online expert advice / He J., Yang X. // Optimization and Engineering. - 2022. - Vol. 23, No. 1. - P. 125.

62.He, J. Aggregating exponential gradient expert advice for online portfolio selection / He J., Yang X., Zhang Y. // Journal of the Operational Research Society. - 2022. - Vol. 73, No. 3. - P. 587-597.

63.El-Yaniv, R. Growth-optimal portfolio selection under CVaR constraints / El-Yaniv R., Uziel G. // Proceedings of the 21st International Conference on Artificial Intelligence and Statistics. PMLR. - 2018. - P. 48-57.

64.Mannor, S. Online learning with sample path constraints / Mannor S., Tsitsiklis J., Yu J. // Journal of Machine Learning Research. - 2009. - Vol. 10. - P. 569-590.

65.Jin, R. Trading regret for efficiency: online convex optimization with long term constraints / Jin R., Mahdavi M., Yang T. // Journal of Machine Learning Research. - Vol. 13. - 2012. - P. 2503-2528.

66.Neely, M. Online Convex Optimization with Stochastic Constraints / Neely M., Yu H., Wei X. // 31st Conference on Neural Information Processing Systems (NIPS 2017). Long Beach. CA. USA. - 2017.

67.Shalev-Shwartz, S. Online learning and online convex optimization / Shalev-Shwartz S. // Foundations and Trends in Machine Learning. - 2011. - Vol. 4, No. 2. - P. 107-194.

68.Hazan, E. Introduction to online convex optimization / Hazan E. // Foundations and Trends in Optimization. - 2016. - Vol. 2. - P. 157-325.

69.McMahan, H. A survey of algorithms and analysis for adaptive online learning / McMahan H. // Journal of Machine Learning Research. - 2017. - Vol. 18. - P. 150.

70.Orabona, F. A modern introduction to online learning / Orabona F. // arXiv:1912.13213 [cs.LG]. - 2019.

71. Rachlin, A. Online learning via sequential complexities / Rachlin A., Sridharan K., Tewari A. // arXiv:1006.1138v3[cs.LG]. - 2014.

72.Cesa-Bianchi, N. How to use expert advice / Cesa-Bianchi N., Freund Y., Haussler D., Helmbold D., Shapire R., Warmuth M. // Journal of the ACM. -1997. - Vol. 44, No. 3. - P. 427-485.

73.Cesa-Bianchi, N., Lugosi G. Prediction, learning and games / Cesa-Bianchi N., Lugosi G. // Cambridge. - 2006. - 394 p.

74.Dallying, A., Salmon J. Sharp oracle inequalities for aggregation of affine estimators / Dallying A., Salmon J. // Annals of Statistics. - 2012. - Vol. 40, No. 4. - P. 2327-2355.

75.Rigollet, P., Tsybakov A. Sparse estimation by exponential weighting / Rigollet P., Tsybakov A. // Statistical Science. - 2012. - Vol. 27, No. 4. - P. 558-575.

76.Kivinen, J. Exponentiated gradient versus gradient descent for linear predictors / Kivinen J., Warmuth M. // Information and Computation. - 1997. - Vol. 132. - P. 1-63.

77.Abernethy, J. Competing in the dark: an efficient algorithm for bandit linear optimization / Abernethy J., Hazan E., Rakhlin A. // Proceedings of the 21st Annual Conference on Learning Theory. - 2008. - P. 263-273.

78.Shalev-Shwartz, S. Online learning: theory, algorithms, and applications / Shalev-Shwartz S. // Ph.D. Thesis, Hebrew University, Jerusalem. - 2007. 79.Zinkevich, M. Theoretical guarantees for algorithms in multi-agent settings / Zinkevich M. // PhD Thesis, School of Computer Science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA. - 2004.

80.McMahan, H. Adaptive bound optimization for online convex optimization / McMahan H., Streeter M. // Proceedings of the 23rd Annual Conference on Learning Theory. - 2010. - P. 244-256.

81.Duchi, J. Adaptive subgradient methods for online learning and stochastic optimization / Duchi J., Hazan E., SingerY. // Journal of Machine Learning Research. - 2011. - Vol. 12. - P. 2121-2159.

82.Dentcheva, D. Lectures on stochastic programming. Modeling and theory / Dentcheva D., Ruszczynski A., Shapiro A. // MPS-SIAM series on Optimization. -2009. - 436 p.

83.Dayan, P. Q-learning / Dayan P., Watkins C. // Machine learning. - 1992. -Vol. 8. - P. 279-292.

84.Mannor, S. Markov decision processes with arbitrary reward processes / Mannor S., Shimkin N., Yu J. // Mathematics of Operations Research. - 2009. -Vol. 34, No. 3. - P. 737-757.

85.Guan, P. Online Markov decision processes with Kullback-Leibler control cost / Guan P., Raginsky M., Willett R. // IEEE Transactions on Automatic Control. -2014. - Vol. 59, No. 6. - P. 1423-1438.

86.Mansour, Y. Online convex optimization in adversarial Markov decision processes / Mansour Y., Rozenberg A. // Proceedings of the 36th International Conference on Machine Learning, PLMR. - 2019. - Vol. 97. - P. 5478-5486.

87.Even-Dar, E. Online Markov decision processes / Even-Dar E., Kakade S., Mansour Y. // Mathematics of Operations Research. - 2009. - Vol. 34, No. 3. - P. 726-736.

88.Li, N. Online learning for Markov decision processes in nonstationary environments: a dynamic regret analysis / Li N., Li Y. // Proceedings of American Control Conference. - 2019. - P. 1232-1237.

89.Roth, A. Efficiently learning from revealed preference / Roth A., Zadimoghaddam M. // Proceedings of the 8th International Conference on Internet and Networks Economics. - 2012. - Vol. 7695. - P. 114-127.

90.Blum, A. Learning what's going on: reconstructing preferences and priorities from opaque transactions / Blum A., Mansour Y., Morgenstern J. // Proceedings of the 16th ACM Conference on Economics and Computation. - 2015. - P. 601-618.

91.Den Boer, A. Dynamic pricing and learning: historical origins, current research, and new directions / Den Boer A. // Surveys in Operations Research and Management Science. - 2015. - Vol. 20, No. 1. - P. 1-18.

92.Roth, A. Multidimensional dynamic pricing for welfare maximization / Roth A., Slivkins A., Ullman J., Wu Z. // ACM Transactions on Economics and Computation (TEAC). - 2020. - Vol. 8, No. 1. - P. 1-35.

93.Roth, A. Watch and learn: optimizing from revealed preferences feedback / Roth A., Ullman J., Wu Z. // Proceedings of the 48th Annual ACM Symposium on Theory of Computing. - 2016. - P. 949-962.

94.Mehta, R. Social welfare and profit maximization from revealed preferences / Mehta R., Ji Z., Telgarsky M. // In: Christodoulou G., Harks T. (eds) Web and Internet Economics. WINE 2018. Lecture Notes in Computer Science. - 2018. -Vol. 11316.

95.Rokhlin, D. Resource allocation in communication networks with large number of users: the dual stochastic gradient method / Rokhlin D. // Theory of Probability and Its Applications. - 2021. - Vol. 66, No. 1. - P. 105-120.

96.Rokhlin, D. SOLO FTRL algorithm for production management with transfer prices / Rokhlin D., Ougolnitsky G. // Journal of Mathematical Sciences. - 2022. -Vol. 266, No. 2. - P. 325-341.

97.Hazan, E. Introduction to online convex optimization / Hazan E. // Foundations and trends in optimization. - 2016. - Vol. 2. - P. 157-325.

98.Данилова, Н.В. Дихотомический метод кластеризации и оптимальный портфель / Данилова Н.В., Житников Д.И. // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2022. - №4. - С. 15-20.

99.Белявский, Г.И. Оптимальный портфель и доверительное множество / Белявский Г.И., Данилова Н.В. // Journal of Mathematical Sciences. - 2022. -No. 266. - P. 251-257.

100.Brian, E. Cluster Analysis / Brian E., Landau S., Leese M., Stahl D. // Wiley. -2011. - 330 p.

101.Bollerslev, T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity / Bollerslev T. // Journal of Econometrics. - 1986. - Vol. 31. - P. 307-327.

102.Bollerslev, T. A capital asset pricing model with time varying covariances / Bollerslev T., Engle R., Wooldridge J. // Journal of Political Economy. - 1988. -Vol. 96, No. 1. - P. 116-131.

103.Havkins, D. Multivariate exponentially weighted moving covariance matrix / Havkins D., Maboudou-Tchao E. // Technometrics. - 2008. - Vol. 50, No. 2. - P. 155-166.

104.Heiden, M. Pitfalls of the Cholesky decomposition for forecast multivariate volatility / Heiden M. // Available at SSRN2686482. - 2015.

105.Barrat, S. Covariance prediction via convex optimization / Barrat S., Boyd S. // arXiv: 2101.12416v1. - 2015.

106.Duffie, D., Pan J. An overview of Value-at-Risk / Duffie, D., Pan J. // Journal of Derivatives. - 1997. - Vol. 4. - P. 7-49.

107.Pritsker, M. Evaluating Value-at-Risk methodologies: Accuracy versus computational time / Pritsker M. // Journal of Financial Services Research. - 1997.

- Vol. 12, No. 2. -P. 201-242.

108.Artzner, P. Thinking Coherently / Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. // Risk. - 1997. - V. 10. - P. 68-71.

109.Murphy, K. Probabilistic machine learning: An introduction / Murthy K. // MIT press. - 2022. - 864 p.

110.Beliavsky, G. A model to coordinate interests in investment management / Beliavsky G., Danilova N., Ougolnitsky G. // International Game Theory Review.

- 2023. - Vol. 25, No. 1. - P. 1-12.

Приложение.

Справка о внедрении результатов диссертационной работы.

Certificate of implement Htiun и Г scie-nlilie mulls in л firm or tnliTprisr

Yao keyu wor(is for unbalanced sample processing of financial data apjiliealions fur Kdi daia in July-Scplember 2024.

She used "The minimal eovaiian« determinant algorithm for contaminated samples" method, hi-lpri us ro better ctimjiLetc the iiukLl-ILn.ii fmedieticms, identify all the fraudulent transaelions {high loeaii), and save (he cost of exclusion. Identify all fraudulent iransaclions under the premise of including a minimum number of ntiimul customers in the- screeninit setif c fhijih aeturecy rate). Under certain conditions (he methixli ¿he u№ have helped our tvu&ineis greatly.