Многокубитные микроволновые операции на флаксониумах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мажорин Григорий Стефанович

• Мажорин Григорий Стефанович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Мажорин Григорий Стефанович

2.1 Теоретические основы

2.1.1 Квантование сверхпроводникового резонатора

2.1.2 Джозефсоновский переход

2.1.3 Трансмон

2.1.4 Флаксониум

2.1.5 Матричные элементы

2.1.6 Дисперсионное считывание

2.1.7 Двухкубитное взаимодействие

2.1.8 Двухкубитные операции

2.1.9 Трёхкубитные операции

2.2 Экспериментальные методы исследования

2.2.1 Однотоновая спектроскопия

2.2.2 Двухтоновая спектроскопия

2.2.3 Осцилляции Раби

2.2.4 Осцилляции Рамзи

2.2.5 Калибровка однокубитных импульсов

3 Трехкубитная операция CCZ

3.1 Концепция операции

3.1.1 Схема процессора

3.1.2 Метод выполнения операции CCZ

3.1.3 Протокол подавления двухкубитных фазовых ошибок

3.2 Численное моделирование

3.2.1 Когерентная динамика

3.2.2 Некогерентные ошибки

3.2.3 Устойчивость к технологическим ошибкам

3.3 Разработка чертежа

3.3.1 Двухмодовый флаксониум

3.3.2 Параметры схемы

3.3.3 Линии управления и считывания

3.3.4 Послойный чертеж

3.4 Экспериментальная реализация

3.4.1 Экспериментальная установка

3.4.2 Характеризация кубитов

3.4.3 Калибровка трехкубитной операции

3.4.4 Измерение точности трехкубитной операции

3.5 Выводы по главе

4 Влияние ангармонизма на близкорезонансные Раби осцилляции

4.1 Теоретический анализ

4.1.1 Основные приближения

4.1.2 Частота Раби

4.1.3 Оценка ошибок при выполнении запутывающих операций

4.2 Экспериментальные исследования

4.2.1 Образец и экспериментальная установка

4.2.2 Определения энергетических параметров флаксониума

4.2.3 Измерение амплитудно-частотной характеристики

4.2.4 Влияние ангармонизма на частоту Раби

4.2.5 Анализ применимости теоретических приближений

4.2.6 Выводы по главе

5 Заключение 98 Список литературы

1 Введение

Квантовые вычисления [1], основанные на явлениях квантовой суперпозиции и запутанности, представляют собой активно развивающееся направление современной науки и техники. Они открывают возможность решения задач, недоступных для классических вычислительных устройств, в таких областях, как квантовая химия [2,3] и моделирование физических процессов [4,5], а также позволяют значительно ускорить существующие методы оптимизации [6-9] и машинного обучения [10].

В течение последних десятилетий предложено и исследовано большое количество различных физических платформ для реализации универсального квантового вычислителя, в том числе на основе спинов электронов в кремнии [11,12], ионов в оптических ловушках [13,14], ультрахолодных атомов [15,16], квантовых точек [17,18], поляризации фотонов [19,20] и сверхпроводниковых куби-тов [21-24]. Отработанные при производстве классических процессоров методы микролитографии [25], а также наличие широкого набора управляющей электроники, работающей в гигагерцовом диапазоне [26] стали одними из факторов для бурного развития процессоров именно на сверхпроводниковых кубитах. Неоспоримым преимуществом является возможность управления параметрами сверхпроводниковых схем, позволяющая создавать широкий класс квантовых систем с заданными характеристиками [26-29] - как специализированных квантовых симуляторов сложных физических явлений [30-34], так и масштабируемых универсальных квантовых процессоров [35-40].

Появление трансмонов [41] стало ключевым моментом в развитии сверхпроводниковой платформы квантовых вычислений, обеспечив прорыв в экспериментальных возможностях и приведя, в частности, к демонстрации квантового преимущества [35-37, 42] и эффективной коррекции квантовых ошибок [38-40, 43-45]. Основными достоинствами трансмона по сравнению с предшествующими архитектурами являются устойчивость к флуктуациям заряда, относительная простота изготовления и высокая воспроизводимость параметров. Тем не менее, трансмонные схемы столкнулись с рядом ограничений. Во-первых, транс-

моны обладают достаточно высокой чувствительностью к диэлектрическим шумам [46-48]. Для наиболее распространенного метода изготовления - алюминиевых кубитов на подложке из высокоомного кремния - характерные времена когерентности и релаксации составляют порядка 100 мкс [49-51]. Диэлектрические потери связаны с наличием двухуровневых систем на границах различных сред, особенно на границах металл-диэлектрик и металл-воздух, возникающих из-за недостаточно качественной обработки и очистки поверхности, что приводит к потере когерентности и флуктуациям параметров схемы [52-55]. Использование новых материалов и методов подготовки [56,57], в частности, тантала и сапфира, позволило существенно уменьшить диэлектрические потери и реализовать трансмоны с временами когерентности выше 1 мс [58]. Во-вторых, низкий ангармонизм трансмона (около 200 МГц) существенно ограничивает эффективность проведения операций. Например, длительность выполнения однокубит-ных операций составляет более 20 нс [35,37], а максимально достигнутая точность - 99.994 % [58]. Использование более коротких импульсов приводит к увеличению вероятности утечек из вычислительного подпространства. В отличие от ошибок, вызванных релаксацией и декогеренцией, утечки могут потребовать дополнительных методов и ресурсов для детектирования и коррекции [59,60]. Хотя влияние низкого ангармонизма на эффективность схем наиболее наглядно проявляется при выполнении однокубитных операций, риск возникновения утечек существенно ограничивает и выбор методов реализации запутывающих операций. Таким образом, несмотря на успешное применение трансмонов для построения многокубитных квантовых процессоров [35,37,61], низкий ангармо-низм затрудняет дальнейшее качественное повышение их эффективности, что стимулирует поиск альтернативных решений.

Развитие технологий производства сверхпроводниковых структур с высокой кинетической индуктивностью [62-65] привело к появлению альтернативы трансмону - флаксониуму [66]. Этот тип кубитов характеризуется низкой рабочей частотой (менее 1 ГГц), что упрощает управление и снижает влияние диэлектрических потерь, позволяя достигать времен когерентности более 1 мс [67] даже при изготовлении кубитов из алюминия на кремниевой подложке. Кроме

того, ангармонизм флаксониумов порядка 1 ГГц позволяет использовать короткие (менее 6 нс) однокубитные импульсы, не вызывая утечек и позволяя достигать точности однокубитных операций выше 99.997 % [68]. Нетривиальная структура уровней энергии и высокий ангармонизм флаксониума открывает возможности для реализации различных схем двухкубитных операций -как между напрямую связанными кубитами [69-71], так и с использованием соединительных элементов [72-75], позволяющих управлять эффективным взаимодействием. Важным достижением стала экспериментальная демонстрация двухкубитного процессора, на котором точность двухкубитной операции без повторной калибровки сохранялась выше 99.9 % в течение 24 дней [76]. Совокупность этих свойств позволяет рассматривать флаксониумы как перспективную замену трансмонам в масштабируемых квантовых процессорах.

Однокубитных и двухкубитных операций достаточно для реализации любого квантового алгоритма [1]. Однако во многих прикладных задачах оказывается эффективнее использовать многокубитные запутывающие операции. Одной из таких операций является трёхкубитная операция Тофолли [77], которая ускоряет выполнение широкого класса алгоритмов - в том числе вариационных квантовых диагонализаторов [78-81] и квантовых приближённых алгоритмов оптимизации [82-84], востребованных в химии, физике и экономике. Кроме того, операция Тофолли позволяет реализовывать коррекцию квантовых ошибок без использования дополнительных вспомогательных кубитов [85]. Таким образом, реализация высокоточной трёхкубитной операции важна как для разработки малоразмерных устройств ограниченной точности, так и для построения масштабируемых отказоустойчивых квантовых процессоров.

Операция Тофолли может быть реализована с помощью набора одно- и двухкубитных операций, однако даже при полносвязной структуре требуется не менее пяти двухкубитных операций [86]. Для сверхпроводниковых систем, где обычно кубиты связаны только с ближайшими соседями, потребуется ещё больше операций. Сократить их число можно за счёт использования невычислительных уровней, однако такие уровни более чувствительны к шуму, что ограничивает эффективность подхода [87-89]. Альтернативный метод - реализа-

ция прямого трёхкубитного запутывания. Трёхкубитное взаимодействие можно реализовать либо путём прямой связи между тремя кубитами [90-94], либо с использованием соединительного элемента [95-97]. На текущий момент точность трёхкубитных операций, реализованных на сверхпроводниковых кубитах, не превышает 98.3 % при длительности около 350 нс [90]. Среди ограничений существующих подходов можно отметить низкую точность, сложность калибровки и необходимость одновременного применения нескольких управляющих импульсов. Поэтому разработка простого и эффективного метода реализации трёхкубитной операции остаётся актуальной задачей.

Настоящая работа посвящена разработке и экспериментальной демонстрации прямого метода выполнения трёхкубитной операции посредством микроволнового возбуждения соединительного элемента. Преимуществами предложенного подхода являются простота калибровки, высокая скорость проведения операции и низкий уровень когерентных ошибок.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многокубитные микроволновые операции на флаксониумах»

Актуальность работы.

Создание практически полезного квантового вычислительного устройства является одной из ключевых задач современной науки и технологии. Интенсивное развитие области квантовых вычислений стимулирует поиск новых подходов к реализации эффективных многокубитных устройств. В этом контексте проведённые исследования многокубитных запутывающих операций на процессоре, построенном на основе перспективных кубитов-флаксониумов, открывают возможности как для создания малоразмерных квантовых процессоров ограниченной точности, способных выполнять практически полезные задачи, так и для построения масштабируемой архитектуры отказоустойчивого квантового процессора.

Цель работы

Целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное исследование методов выполнения микроволновых многокубитных операций на сверхпроводниковом квантовом процессоре на основе кубитов-флаксониумов.

Для достижения цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработать метод выполнения трёхкубитной операции CCZ посредством микроволнового возбуждения соединительного элемента.

2. Разработать метод подавления двухкубитных фазовых ошибок.

3. Рассчитать параметры цепей и разработать послойную структуру трёх-кубитного процессора, состоящего из трёх вычислительных кубитов-флаксониумов и соединительного элемента трансмона, пригодную для экспериментальной демонстрации трехкубитной операции CCZ.

4. Экспериментально реализовать трёхкубитную операцию CCZ и измерить её точность методом перекрёстно-энтропийного тестирования.

5. Экспериментально и теоретически исследовать влияние ангармонизма на частоту Раби перехода 0 — 1 кубита в условиях, характерных для проведения многокубитной запутывающей операции.

6. Проанализировать влияние изменения частоты Раби соединительного элемента на точность запутывающей операции из-за взаимодействия микроволнового сигнала с его вторым уровнем.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Микроволновое возбуждение соединительного элемента-трансмона, частота которого зависит от состояния вычислительных кубитов-флаксониумов, позволяет реализовать операцию CCZ длительности 195 нс с когерентными ошибками менее 0.01 %.

2. Метод подавления двухкубитных фазовых ошибок позволяет уменьшить длительность операции с 195 нс до 95 нс с сохранением величины когерентных ошибок менее 0.01 %.

3. Точность трёхкубитной операции CCZ, измеренная методом перекрестно-энтропийного тестирования, равна 94.2 ± 0.6 %.

4. Наклон линейной зависимости квадрата частоты осцилляций Раби от квадрата амплитуды возбуждающего сигнала пропорционален отношению разности частот возбуждающего сигнала и основного перехода ку-бита к ангармонизму в условиях слабого близкорезонансного сигнала.

Научная новизна исследования

Впервые разработан и экспериментально исследован трехкубитный квантовый процессор на основе флаксониумов с естественной трехкубитной операцией CCZ, реализуемой с использованием нового подхода - микроволнового возбуждения соединительного элемента. Разработан метод подавления двухкубитных фазовых ошибок. Впервые проведено теоретическое и экспериментальное исследование влияния ангармонизма на частоту Раби основного перехода в условиях многокубитной операции и дана оценка соответствующей ошибки.

Практическая значимость

В рамках работы разработана и экспериментально реализована эффективная методика выполнения операции CCZ на специально спроектированном трёхкубитном процессоре на основе флаксониумов. Операция CCZ может быть использована для ускорения и повышения точности широкого класса практически значимых задач, актуальных для физики, химии, экономики и логистики, включая вариационные квантовые диагонализаторы и квантовые алгоритмы оптимизации. Также данная операция открывает возможность реализации схем коррекции ошибок без использования вспомогательных кубитов. Таким образом, работа вносит вклад в развитие квантовых вычислений на сверхпроводниковых элементах как в направлении создания практически полезных малоразмерных шумных устройств, так и в разработке масштабируемых, отказоустойчивых универсальных квантовых процессоров.

Личный вклад автора

Автор самостоятельно выполнил численные расчёты динамики системы под действием микроволнового возбуждения, соответствующей реализации трёхку-битной операции, разработал послойную архитектуру трёхкубитного квантового процессора, принимал непосредственное участие в экспериментальном ис-

следовании трёхкубитного образца и анализе полученных данных. Кроме того, автор самостоятельно провёл теоретическое и экспериментальное исследование влияния ангармонизма на частоту Раби основного перехода, а также численно оценил вклад изменения этой частоты в ошибку запутывающей операции. Автор принимал участие на всех этапах исследования: от постановки задач до написания статьи.

Апробация работы

Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались на следующих конференциях:

1. 6th International Conference on Quantum Technologies ICQT-2021, Москва, Россия, июль 2021 (стендовый доклад)

2. 64th All-Russian Scientific Conference of MIPT, Долгопрудный, Россия, ноябрь 2021 (устный доклад)

3. XXIV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов», Москва, Россия, апрель 2022 (устный доклад)

4. 65th All-Russian Scientific Conference of MIPT, Долгопрудный, Россия, апрель 2023 (устный доклад)

5. 7th International Conference on Quantum Technologies ICQT-2023, Москва, Россия, июль 2023 (стендовый доклад)

6. Сверхпроводимость в наноструктурах 2023, Москва, Россия, сентябрь 2023 (устный доклад)

7. 1st Russian-sino Workshop on quantum science and technology, Москва, Россия, июнь 2024 (устный доклад)

8. XXIX Симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника», Нижний Новгород, Россия, март 2025 (устный доклад)

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 статьях, опубликованных в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus.

2 Сверхпроводниковые кубиты

Сверхпроводниковые кубиты являются одной из наиболее перспективных и успешно развивающихся платформ для реализации квантовых вычислений. Их ключевые преимущества - высокая скорость и точность квантовых операций, а также возможность проектировать искусственные квантовые структуры с заданными свойствами - напрямую вытекают из особенностей используемой физической реализации и соседствуют с соответствующими ограничениями. Например, в отличие от платформ, основанных на естественных квантовых системах, таких как атомы, ионы или фотоны, сверхпроводниковые кубиты представляют собой искусственно созданные макроскопические объекты. Это, с одной стороны, позволяет гибко управлять их параметрами и создавать структуры с уникальными свойствами, а с другой - приводит к невозможности изготовления двух полностью идентичных кубитов. Также характерная для сверхпроводниковых систем локальная связь преимущественно с ближайшими соседями, с одной стороны, упрощает масштабирование, позволяя сохранять высокую точность операций в больших массивах кубитов, но с другой - увеличивает число операций, необходимых для реализации многих квантовых алгоритмов. Таким образом, понимание фундаментальных особенностей платформы имеет ключевое значение для её эффективного использования, а также для выбора приоритетных направлений дальнейших исследований.

Сверхпроводниковые квантовые схемы являются обширной и активно развивающейся областью, по которой существует множество подробных обзоров [22,26,98]. В связи с этим данная глава не претендует на полноту описания платформы, а ограничивается изложением сведений, необходимых для понимания сути и результатов проведённой диссертационной работы.

2.1 Теоретические основы

2.1.1 Квантование сверхпроводникового резонатора

Одним из наиболее широко применяемых и важных подходов к описанию квантовых сверхпроводниковых схем является метод квантования электрических цепей [99-101]. Этот подход позволяет свести макроскопическую динамику системы к описанию посредством небольшого набора эффективных переменных - магнитного потока Ф(£) и заряда Q(t), определяемых следующим образом:

Ф(£) = / V(О Q(t)= ( I(t/) dt/, (2.1)

./—то ./—то

где V(^ — напряжение на элементе, а I(^ — ток, протекающий через него.

В качестве иллюстрации, рассмотрим квантование резонансного Ь^-контура, представляющего собой параллельное соединение ёмкости С и индуктивности Ь. Применяя второй закон Кирхгофа к Ь^-контуру, получим уравнение баланса токов через конденсатор (1с) и индуктивность (/¿):

ф

1Ь + 1с = 0 ^ - + С Ф = 0. (2.2)

Ь

Этому уравнению соответствует следующий лагранжиан:

С = С Ф2 — ^Ф2. (2.3)

2 2Ь v 7

Применяя преобразование Лежандра, получим выражение для гамильтониана:

Q2 Ф2

н = 2Сс + 2Ь, (24)

Л С '

где заряд Q = ^ = С<2 является канонически сопряжённой переменной к магнитному потоку Ф. В квантовом случае соответствующие операторы удовлетворяют коммутационному соотношению:

[Ф ,<)] = гП. (2.5)

Для дальнейшего анализа удобно ввести операторы рождения и уничтожения & и а, удовлетворяющие стандартному коммутационному соотношению

[а,аЦ = 1. Переменные Q и Ф выражаются через них следующим образом:

Q = («f - a), Ф = ^ (at + а), (2.6)

где Z0 = \JL/C — характеристический импеданс резонатора. Подставляя эти выражения в гамильтониан, получим стандартную форму гамильтониана гармонического осциллятора:

H = ata + 0 , (2.7)

где собственная частота резонатора равна шг = .

Гармонический осциллятор обладает эквидистантным спектром, в котором уровни разделены энергией hwr. Такой спектр не позволяет выбрать два уровня, эффективно отделённых от остальных, и поэтому не пригоден для реализации кубита. Для получения неэквидистантного спектра в сверхпроводниковых схемах линейную индуктивность заменяют нелинейным элементом - джозеф-соновским переходом.

2.1.2 Джозефсоновский переход

Джозефсоновский переход [102] представляет собой два сверхпроводниковых электрода, разделённых областью с подавленной сверхпроводимостью - так называемой слабой связью. Для реализации сверхпроводниковых кубитов в качестве такой слабой связи, как правило, используется тонкий туннельный слой диэлектрика, образующий SIS-структуру (Superconductor-Insulator-Superconductor).

Благодаря малой толщине барьера волновые функции электронов по обе стороны перехода перекрываются, что позволяет куперовским парам туннели-ровать через барьер, формируя бездиссипативный ток. Его величина описывается первым уравнением Джозефсона:

I = Ic sin ф, (2.8)

где ф - разность фаз параметра порядка сверхпроводников по разные стороны контакта, а Ic - критический ток.

Второе уравнение Джозефсона связывает скорость изменения фазы с напряжением:

V = £ dr. (2.9)

2e dt v 7

Используя уравнения (2.8) и (2.9), получим выражение для джозефсонов-ской энергии и индуктивности:

Ej (Г) = [ VI dt = Ej (1 - cos Г), Lj (Г) = V = Th ± (2.10)

'0

I 2eIc cos Г

где = 41е.

Нелинейность, бездиссипативность и контролируемость параметров делают джозефсоновский переход ключевым элементом при построении сверхпроводниковых кубитов. В совокупности с линейными компонентами (индуктивно-стями и ёмкостями), он позволяет реализовать различные архитектуры кубитов: зарядовый кубит [103], потоковый кубит [104-106], г£-СКВИД [107], транс-мон [41], флаксониум [66, 108] и 0-п кубит [109]. В следующих разделах рассмотрены наиболее распространённые кубиты: трансмон и флаксониум.

2.1.3 Трансмон

Для описания сверхпроводниковых систем принято использовать безразмерные канонически сопряженные переменные: количество куперовских пар п = /2е и сверхпроводящую фазу ф = ф^Ф, где Фо = Н/2в - квант магнитного потока. Коммутатор и гамильтониан осциллятора в таких обозначениях принимают следующий вид:

[ф,п] = г, Н = 4Ес п2 + , (2.11)

где Ес = 2С - зарядовая энергия, определяемая ёмкостью С, а Ех = -индуктивная энергия, связанная с индуктивностью Ь.

Трансмон [41] представляет собой джозефсоновский переход, шунтированный большой ёмкостью, так что: EJ ^ Ес. При необходимости управления частотой кубита одиночный переход может быть заменён на контур с двумя

контактами (СКВИД), что позволит варьировать эффективную джозефсонов-скую энергию с помощью внешнего магнитного потока. Гамильтониан трансмо-на имеет вид:

H = 4Ecn2 - Ej cos ф, (2.12)

где Ec — зарядовая энергия, EJ — энергия (эффективная) Джозефсона.

Частота основного перехода ш01 определяется как

hw01 « V8EJEC - Ec, (2.13)

а ангармонизм а, задающий разницу между частотами переходов ш12 и ш01, приближённо равен

а = ш12 — ш01 « —Ec. (2.14)

Косинусоидальный потенциал трансмона для низких энергий слабо отличается от параболического, что делает его спектр близким к спектру квантового осциллятора. Это приводит к сравнительно низкому значению ангармониз-ма. Характерные значения ангармонизма находятся в диапазоне от —200 до —400 МГц при частоте основного перехода порядка 5 ГГц.

Приближённое выражение для зарядовой дисперсии m-го уровня имеет вид:

« Ec • exp (—VEЩ , (2.15)

Видно, что чувствительности трансмона к зарядовому шуму экспоненциально спадает при росте отношения джозефсоновской энергии к емкостной -J.

Основными ограничениями когерентности трансмонов являются диэлектрические потери, в частности связанные с двухуровневыми системами на границах металл-вакуум и металл-диэлектрик. Одним из способов минимизации таких потерь является использование новых материалов и методик подготовки поверхностей. Так, для алюминиевых кубитов на высокоомном кремнии характерны времена когерентности порядка 100 мкс [49-51], а для танталовых на сапфире достигались уже более 1 мс [58].

С увеличением шунтирующей ёмкости уменьшается влияние зарядового шума, однако одновременно снижается и ангармонизм, что ограничивает мини-

мальную длительность однокубитных операций без возбуждения нежелательных высокоэнергетических переходов. Рекордная достигнутая точность однокубитных операций на трансмоне равна 99.994% при длительности 40 нс [58].

2.1.4 Флаксониум

Флаксониум [66] образуется при шунтировании джозефсоновского перехода супериндуктивностью [65] - элементом с высокой индуктивностью и характеристическим импедансом, превышающим квант сопротивления Rq = ~ 6.5 кОм. Такая супериндуктивность может быть реализована с помощью массивов джозефсоновских переходов [65,110] или нанопроводов из материалов с высокой кинетической индуктивностью, таких как гранулированный алюминий [64] или NbTi [62,63].

Гамильтониан флаксониума имеет вид:

2

H = 4Ecfi2 - Ej cos (¿ + 1 El((£> + 2п, (2.16)

2 V ф0 /

где El - индуктивная энергия супериндуктивности, а ФеХ; - внешний магнитный поток.

При внешнем потоке ФеХ; = Ф0/2, соответствующем рабочей точке, потенциал флаксониума приближённо описывается как двухъямный, с барьером порядка Ej и кинетической энергией Ec. Потенциал и волновые функции для первых 5 состояний флаксониума в рабочей точке проиллюстрированы на рис. 2.1. Частота основного перехода в этом случае определяется амплитудой туннелирова-ния, экспоненциально зависящей от отношения Ej/Ec, что делает флаксониум чувствительным к технологическим вариациям параметров перехода.

Супериндуктивность уменьшает чувствительность флаксониума к потоковому шуму, более того в рабочей точке в первом порядке она и вовсе отсутствует. Диэлектрические потери также существенно снижены за счёт малых матричных элементов оператора заряда. Благодаря этим факторам были достигнуты времена когерентности, превышающие 1 мс [67].

Высокий ангармонизм флаксониума (порядка 1 ГГц) практически не ограничивает длительность и точность однокубитных операций, что проиллюстри-

ровано на рис. 2.1 (б). В частности, было показано, что для низкочастотных флаксониумов (частота около 200 МГц), возбуждаемых линейно поляризованным сигналом, основным ограничением точности служат члены обратного вращения (поп-НЖА). Использование круговой поляризации или специализированного импульса позволило достичь точности операций выше 99.997 % при длительности порядка 6 нс [68]. В качестве иллюстрации существенно меньших утечек на рис. 2.1 (б) приведено сравнение выполнения однокубитных операций на трансмоне и флаксониуме.

(б) аГ-

)

■12)

а

И)

■12)

-10 1 Магнитный поток квант

■1«

п

Трансмон

Флаксониум

-И) -Ю>

Рисунок 2.1: (а) Собственные состояния флаксониума при значении внешнего магнитного потока равном половине кванта магнитного потока. Потенциал изображен сплошной черной линией. Цветом обозначены собственные волновые функции (кривые) и собственные энергии (прямые), соответствующие первым пяти состояниям флаксониума.(б) Сравнение однокубитных операций на ку-битах трансмоне и флаксониуме. Сплошными чёрными линиями обозначено вычислительное пространство, пунктирная линия соответствует следующему возбуждённому уровню в случае эквидистантного спектра, красная линия -второму возбуждённому состоянию, с энергией отличной от эквидистантного спектра на величину ангармонизма а (2.14), синей кривой показано микроволновое возбуждение на частоте основного перехода кубита. Чёрные стрелки обозначают переходы между вычислительными состояниями, красные - утечки на второй возбуждённый уровень. Интенсивность красных стрелок иллюстрирует, что вероятность таких утечек для флаксониума значительно ниже, чем для трансмона.

Благодаря высоким временам когерентности и ангармонизму, флаксониум рассматривается в качестве перспективной замены трансмона в архитектурах масштабируемых квантовых процессоров [111,112], несмотря на большую сложность обеспечения воспроизводимости параметров при производстве.

2.1.5 Матричные элементы

Для управления кубитом необходимо связать его с внешним управляющим оборудованием, подающим ток в контур кубита или напряжение на один из его электродов. Для описания взаимодействия кубита с внешним полем удобно использовать матричное представление операторов числа куперовских пар п и сверхпроводящей фазы <ф в собственном базисе гамильтониана.

Для выбора наиболее эффективного способа управления важно знать соотношение между матричными элементами операторов <ф и п. Эти операторы являются канонически сопряжёнными и аналогичны координате и импульсу в системе с одной степенью свободы. Гамильтониан такой системы имеет вид:

Я = 4£сп2 + и (<ф), (2.17)

где 4Есп2 - аналог кинетической энергии, а и(<ф) - аналог потенциальной.

Для установления связи между матричными элементами операторов п и <ф рассмотрим коммутатор оператора фазы с гамильтонианом. С одной стороны:

[Н, ф = [4Есп2, ф = 8Есп[п, ф = -8%Есп. (2.18)

С другой стороны, этот коммутатор связан с производной оператора фазы по времени:

Т

<а|[Н, фф] |в> = -т<а|сф|в> = Тиар<а|сф|в>, (2.19)

%

где - частота перехода между собственными состояниями |а> и |в>.

Из этого соотношения следует связь между матричными элементами операторов п и ф:

(а|й |в> = г ^ (а|ф|в>. (2.20)

Это выражение показывает, что эффективность ёмкостной связи, пропорциональной (а|п|в>, возрастает с увеличением частоты перехода, по сравнению с индуктивной связью, пропорциональной (а|ф|в>. Данный факт необходимо учитывать при проектировании квантовых процессоров и выборе схем и методов управления.

Например, можно оценить предпочтительный способ управления кубитом с точки зрения минимизации утечек в уровень | 2> при реализации однокубитных операций. Для трансмонов с отрицательным ангармонизмом (ш12 < (х>01) выполняется соотношение — < —. Соответственно, при использовании микро-

П01 фи ' 1 1

волновой антенны (емкостной связи) воздействие второго уровня на точность однокубитных операций будет меньше. Для флаксониумов с положительным ангармонизмом (ш12 > ^01) наоборот > фр^, поэтому выгоднее использовать потоковую линию (индуктивную связь).

2.1.6 Дисперсионное считывание

Дисперсионное считывание [113] является в настоящее время наиболее распространённым методом измерения состояния сверхпроводниковых кубитов. Для реализации считывания кубит (синий) индуктивно или емкостно связывают с резонатором (красный), который, в свою очередь, подключён к передающей линии (оранжевый), используемой для подачи считывающего импульса (см. Рис. 2.2).

Гамильтониан системы "кубит-резонатор"можно записать в виде:

Н = Яч + Ьшг а)а + дпд (а + аг), (2.21)

где Иц - гамильтониан кубита, иг - частота резонатора, а^ и а - операторы рождения и уничтожения фотона в резонаторе, д - константа связи, щ - оператор числа куперовских пар кубита (для индуктивной связи вместо щ будет стоять оператор сверхпроводящей фазы фч).

Частота сигнала

Рисунок 2.2: Дисперсионное считывание. (а) Пример копланарной структуры схемы считывания одиночного кубита. Кубит изображен синим цветом, индивидуальный резонатор считывания - красным, считывающая линия - оранжевым. (б) Эквивалентная электрическая схема кубита, емкостно связанного с резонатором. (в) Амлитуда отклика резонатора для основного и первого возбужденного состояния кубита. Расстояние между экстремумами соответствует значению дифференциального дисперсионного сдвига хоь

Рассматривая взаимодействие как возмущение, найдём сдвиг уровня энергии резонатора в зависимости от состояния кубита. Невозмущённые уровни системы можно представить как Еа,1 = Еа + 1Е0, где Еа - энергия уровня кубита, I - число фотонов в резонаторе, Е0 = Ншг - энергия одного фотона. Согласно теории возмущений второго порядка, поправка к уровню энергии имеет вид:

Ю | а + а+|/)|2Кв |2

6Еа,1 = д2 ^

в=а,3=1

Еа I — Е

вл

(2.22)

Так как в резонаторе возможны только переходы между соседними уровнями, выражение упрощается до:

$Еа,1 = д2

в=а ^

(I + 1)Кв |2

Еа — Ев + Ео Еа — Ев — Е

1|Пав Р

+

(2.23)

Дисперсионный сдвиг резонатора определяется как разность между энерги-

ями его соседних уровней:

^ _ Еа,1+1 - Ед,1 _ 2\па.в (2 24)

Ха _ к _ д ,22 ,22 , ( )

П в=а а в - ^2

где ,ав _ (Еа - Ев)/к.

На практике важен дифференциальный дисперсионный сдвиг, определяемый как:

2|йа7,а7 2 2|йв7 Г ,в7

Хае _ Ха - Хв _ д252 2|'йа7^? - .д2 Е 2|йв7^^ . (2.25)

Таким образом, отклик резонатора на микроволновый сигнал, подаваемый в считывающую линию, зависит от состояния кубита, что позволяет определять это состояние по измеренному сигналу, как проиллюстрировано на Рис. 2.2 (с).

Однако связь с резонатором также приводит к дополнительным потерям: снижению времени жизни кубита за счёт релаксации через резонатор (эффект Парселла [114]), а также к дефазировке, вызванной флуктуациями числа фотонов в резонаторе [115]. Поэтому связь должна быть слабой для минимизации этих эффектов, но одновременно достаточной, чтобы различить дисперсионный сдвиг Х01.

Для трансмона, обладающего низким ангармонизмом и разрешенными переходами только между соседними уровнями, связь с резонатором осуществляется напрямую через вычислительное подпространство. Это ведёт к релаксации в считывающую линию, и для подавления этого эффекта часто используют Парселл-фильтр, размещаемый между кубитом и резонатором [116,117].

В случае флаксониума структура энергетических уровней и правила отбора позволяют реализовать связь с резонатором через переходы с участием высокоэнергетических уровней, оставляя вычислительное подпространство практически нетронутым. Таким образом, в архитектуре на основе флаксониумов возможно реализовать одновременно эффективное считывание и высокие времена когерентности без использования дополнительных фильтров.

2.1.7 Двухкубитное взаимодействие

Для построения квантового вычислительного устройства необходимо обеспечить управляемое взаимодействие между кубитами. В различных архитектурах кубиты могут быть соединены с помощью ёмкостной, гальванической или индуктивной связи. Высокая кинетическая индуктивность флаксониума, делает его слабовосприимчивым к внешним потоковым возмущениям, что существенно снижает эффективность индуктивной связи. Наиболее широко применяются ёмкостная, гальваническая и смешанная формы связи.

Емкостная связь усиливается при увеличении частоты перехода, что позволяет эффективно задействовать высокоэнергетические уровни и отделить вычислительное пространство от остального спектра. Напротив, сила гальванической связи обычно уменьшается с ростом частоты, и она используется преимущественно в тех случаях, когда требуется сильная гибридизация вычислительных состояний [118].

Независимо от конкретной реализации, влияние взаимодействия удобно анализировать в базисе собственных состояний отдельных кубитов. В этом представлении двухкубитное взаимодействие классифицируют как поперечное (типа XX), продольное (типа ZZ) или смешанное (например, ZX).

Поперечному взаимодействию соответствует член в гамильтониане вида <7ж1)<7ж2), где <7ж') - матрица Паули ax для i-го кубита. Такое взаимодействие приводит к обмену энергией между кубитами и гибридизации их состояний. Используя такое взаимодействие можно реализовать операцию CSWAP(^):

CSWAP(^) =

(2.26)

10 0 0

0 cos (I) i sin (I) 0 0 i sin (I) cos (I) 0 0 0 0 1

частный случай которой ISWAP=CSWAP(n).

Продольное взаимодействие описывается членом ст^ст^. Оно не вызывает обмена возбуждением между кубитами. Вместо этого оно приводит к нарушению аддитивности частот уровней: шц = ш01 + ш10. Это с одной стороны может

приводить к ошибкам при выполнении однокубитных операций, а с другой позволяет накапливать условную фазу и реализовывать операцию СРЬазе(ф):

СРЬаэе(ф) _

(2.27)

10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 егф

частный случай которой операция CZ=CPhase(п).

Смешанный тип взаимодействия, например, а^'а!2', может использоваться для реализации, например, операции СЯж(ф):

СЯх(ф) _

10 01

0 0

0 0

0 0 сое (ф) —г Бт (ф) 0 0 —г Бт (ф) сое (ф)

(2.28)

частный случай которой СЯж(п) с точностью до однокубитного виртуального Z-вращения первого кубита на угол п/2 эквивалентен операции СКОТ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мажорин Григорий Стефанович, 2025 год

Список литературы

[1] Nielsen Michael A., Chuang Isaac L. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition. — 10th edition. — USA: Cambridge University Press, 2011.

[2] Quantum chemistry in the age of quantum computing / Yudong Cao, Jonathan Romero, Jonathan P Olson et al. // Chemical reviews. — 2019.

— Vol. 119, no. 19. — Pp. 10856-10915.

[3] Quantum computational chemistry / Sam McArdle, Suguru Endo, Alan Aspuru-Guzik et al. // Reviews of Modern Physics. — 2020. — Vol. 92, no. 1. — P. 015003.

[4] Feynman Richard P. Simulating physics with computers // Int. j. Theor. phys.

— 1982. — Vol. 21, no. 467-488.

[5] Quantum computers as universal quantum simulators: state-of-the-art and perspectives / Francesco Tacchino, Alessandro Chiesa, Stefano Carretta, Dario Gerace // Advanced Quantum Technologies. — 2020. — Vol. 3, no. 3.

— P. 1900052.

[6] Grover Lov K. Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Jul. — Vol. 79. — Pp. 325-328.

[7] Shor Peter W. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer // SIAM Journal on Computing.

— 1997. — Oct. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 1484-1509.

[8] Orus Roman, Mugel Samuel, Lizaso Enrique. Quantum computing for finance: Overview and prospects // Reviews in Physics. — 2019. — Vol. 4. — P. 100028.

[9] Wang Yan, Kim Jungin E, Suresh Krishnan. Opportunities and challenges of quantum computing for engineering optimization // Journal of Computing and Information Science in Engineering. — 2023. — Vol. 23, no. 6. — P. 060817.

[10] Quantum machine learning / Jacob Biamonte, Peter Wittek, Nicola Pancotti et al. // Nature. — 2017. — Vol. 549, no. 7671. — Pp. 195-202.

[11] Kane Bruce E. A silicon-based nuclear spin quantum computer // Nature. — 1998. — Vol. 393, no. 6681. — Pp. 133-137.

[12] Single-shot readout of an electron spin in silicon / Andrea Morello, Jar-ryd J. Pla, Floris A. Zwanenburg et al. // Nature. — 2010. — Sep. — Vol. 467, no. 7316. — Pp. 687-691.

[13] Cirac J. I., Zoller P. Quantum Computations with Cold Trapped Ions // Phys. Rev. Lett. — 1995. — May. — Vol. 74. — Pp. 4091-4094.

[14] Haffner H, Roos C, Blatt R. Quantum computing with trapped ions // Physics Reports. — 2008. — Dec. — Vol. 469, no. 4. — Pp. 155-203.

[15] Jaksch D., Zoller P. The cold atom Hubbard toolbox // Annals of Physics. — 2005. — Vol. 315, no. 1. — Pp. 52-79. — Special Issue.

[16] Gross Christian, Bloch Immanuel. Quantum simulations with ultracold atoms in optical lattices // Science. — 2017. — Vol. 357, no. 6355. — Pp. 995-1001.

[17] Quantum Information Processing Using Quantum Dot Spins and Cavity QED / A. Imamog"lu, D. D. Awschalom, G. Burkard et al. // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Nov. — Vol. 83. — Pp. 4204-4207.

[18] Coherent Manipulation of Coupled Electron Spins in Semiconductor Quantum Dots / J. R. Petta, A. C. Johnson, J. M. Taylor et al. // Science. — 2005. — Vol. 309, no. 5744. — Pp. 2180-2184.

[19] Knill Emanuel, Laflamme Raymond, Milburn Gerald J. A scheme for efficient quantum computation with linear optics // nature. — 2001. — Vol. 409, no. 6816. — Pp. 46-52.

[20] High-Fidelity Quantum Logic Operations Using Linear Optical Elements / J. D. Franson, M. M. Donegan, M. J. Fitch et al. // Phys. Rev. Lett. — 2002.

— Sep. — Vol. 89. — P. 137901.

[21] Devoret Michel H, Schoelkopf Robert J. Superconducting circuits for quantum information: an outlook // Science. — 2013. — Vol. 339, no. 6124. — Pp. 11691174.

[22] Wendin G. Quantum information processing with superconducting circuits: a review // Reports on Progress in Physics. — 2017. — Sep. — Vol. 80, no. 10.

— P. 106001.

[23] Gambetta Jay M., Chow Jerry M., Steffen Matthias. Building logical qubits in a superconducting quantum computing system // npj Quantum Information.

— 2017. — Jan. — Vol. 3, no. 1.

[24] Scalable Quantum Processor Based on Superconducting Fluxonium Qubits / GS Mazhorin, AS Kaz'mina, TA Chudakova et al. // Radiophysics and Quantum Electronics. — 2024. — Pp. 1-14.

[25] Microlithography Science and Technology / Ed. by Bruce W. Smith, Kazua-ki Suzuki. — 3th edition. — Boca Raton: CRC Press, 2020.

[26] A quantum engineer's guide to superconducting qubits / P. Krantz, M. Kjaer-gaard, F. Yan et al. // Applied Physics Reviews. — 2019. — Jun. — Vol. 6, no. 2.

[27] Superconducting quantum computing: a review / He-Liang Huang, Dachao Wu, Daojin Fan, Xiaobo Zhu // Science China Information Sciences.

— 2020. — Jul. — Vol. 63, no. 8.

[28] Vool Uri, Devoret Michel. Introduction to quantum electromagnetic circuits // International Journal of Circuit Theory and Applications. — 2017. — Jun. — Vol. 45, no. 7. — Pp. 897-934.

[29] Circuit quantum electrodynamics / Alexandre Blais, Arne L. Grimsmo, S. M. Girvin, Andreas Wallraff // Reviews of Modern Physics. — 2021. — May.

— Vol. 93, no. 2.

[30] Emulating weak localization using a solid-state quantum circuit / Yu Chen, P Roushan, D Sank et al. // Nature communications. — 2014. — Vol. 5, no. 1.

— P. 5184.

[31] Measuring a topological transition in an artificial spin-1/2 system / MD Schroer, MH Kolodrubetz, WF Kindel et al. // Physical review letters. — 2014. — Vol. 113, no. 5. — P. 050402.

[32] Digital quantum simulation of fermionic models with a superconducting circuit / Rami Barends, Lucas Lamata, Julian Kelly et al. // Nature communications. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 7654.

[33] Photon transport in a Bose-Hubbard chain of superconducting artificial atoms / Gleb P Fedorov, SV Remizov, DS Shapiro et al. // Physical Review Letters. — 2021. — Vol. 126, no. 18. — P. 180503.

[34] Cavity-QED simulation of a quantum metamaterial with tunable disorder / Grigoriy S Mazhorin, Ilya N Moskalenko, Ilya S Besedin et al. // Physical Review A. — 2022. — Vol. 105, no. 3. — P. 033519.

[35] Quantum supremacy using a programmable superconducting processor / Frank Arute, Kunal Arya, Ryan Babbush et al. // Nature. — 2019. — Vol. 574, no. 7779. — Pp. 505-510.

[36] Strong Quantum Computational Advantage Using a Superconducting Quantum Processor / Yulin Wu, Wan-Su Bao, Sirui Cao et al. // Phys. Rev. Lett.

— 2021. — Vol. 127. — P. 180501.

[37] Establishing a New Benchmark in Quantum Computational Advantage with 105-qubit Zuchongzhi 3.0 Processor / Dongxin Gao, Daojin Fan, Chen Zha et al. // Phys. Rev. Lett. — 2025. — Vol. 134. — P. 090601.

[38] Suppressing quantum errors by scaling a surface code logical qubit / Ra-jeev Acharya, Igor Aleiner, Richard Allen et al. // Nature. — 2023. — Vol. 614, no. 7949. — Pp. 676-681.

[39] Realization of an error-correcting surface code with superconducting qubits / Youwei Zhao, Yangsen Ye, He-Liang Huang et al. // Physical Review Letters.

— 2022. — Vol. 129, no. 3. — P. 030501.

[40] Paetznick A., da Silva M. P., Ryan-Anderson C. et al. Demonstration of logical qubits and repeated error correction with better-than-physical error rates. — 2024.

[41] Charge-insensitive qubit design derived from the Cooper pair box / J. Koch, T. M. Yu, J. Gambetta et al. // Physical Review A. — 2007. — Vol. 76, no. 4.

— P. 042319.

[42] Phase transitions in random circuit sampling / A. Morvan, B. Villalonga, X. Mi et al. // Nature. — 2024. — Vol. 634, no. 8033. — P. 328-333.

[43] Exponential suppression of bit or phase errors with cyclic error correction / Zijun Chen, Kevin J Satzinger, Juan Atalaya et al. // Nature. — 2021. — Jul.

— Vol. 595, no. 7867. — Pp. 383-387.

[44] Realizing repeated quantum error correction in a distance-three surface code / Sebastian Krinner, Nathan Lacroix, Ants Remm et al. // Nature. — 2022. — May. — Vol. 605, no. 7911. — Pp. 669-674.

[45] Entangling Four Logical Qubits beyond Break-Even in a Nonlocal Code / Yifan Hong, Elijah Durso-Sabina, David Hayes, Andrew Lucas // Physical Review Letters. — 2024. — Vol. 133, no. 18.

[46] Investigating surface loss effects in superconducting transmon qubits / Jay M Gambetta, Conal E Murray, Y-K-K Fung et al. // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. — 2016. — Vol. 27, no. 1. — Pp. 1-5.

[47] Microscopic relaxation channels in materials for superconducting qubits / An-jali Premkumar, Conan Weiland, Sooyeon Hwang et al. // Communications Materials. — 2021. — Vol. 2, no. 1. — P. 72.

[48] Surface participation and dielectric loss in superconducting qubits / C. Wang, C. Axline, Y. Y. Gao et al. // Applied Physics Letters. — 2015. — 10. — Vol. 107, no. 16. — P. 162601.

[49] Superconducting quantum circuits at the surface code threshold for fault tolerance / Rami Barends, Julian Kelly, Anthony Megrant et al. // Nature. — 2014. — Vol. 508, no. 7497. — Pp. 500-503.

[50] Verifying multipartite entangled Greenberger-Horne-Zeilinger states via multiple quantum coherences / Ken X Wei, Isaac Lauer, Srikanth Srinivasan et al. // Physical Review A. — 2020. — Vol. 101, no. 3. — P. 032343.

[51] Characterization and reduction of capacitive loss induced by sub-micron Josephson junction fabrication in superconducting qubits / A Dunsworth, A Megrant, C Quintana et al. // Applied Physics Letters. — 2017. — Vol. 111, no. 2.

[52] Disentangling losses in tantalum superconducting circuits / Kevin D Crowley, Russell A McLellan, Aveek Dutta et al. // Physical Review X. — 2023. — Vol. 13, no. 4. — P. 041005.

[53] McDermott Robert. Materials origins of decoherence in superconducting qubits // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. — 2009. — Vol. 19, no. 1. — Pp. 2-13.

[54] Interacting two-level defects as sources of fluctuating high-frequency noise in superconducting circuits / Clemens Miiller, Jiirgen Lisenfeld, Alexander Shnir-

man, Stefano Poletto // Physical Review B. — 2015. — Vol. 92, no. 3. — P. 035442.

[55] Two-level systems in superconducting quantum devices due to trapped quasi-particles / S. E. de Graaf, L. Faoro, L. B. Ioffe et al. // Science Advances. — 2020. — Vol. 6, no. 51. — P. eabc5055.

[56] New material platform for superconducting transmon qubits with coherence times exceeding 0.3 milliseconds / Alexander P.M. Place, Lila V.H. Rodgers, Pranav Mundada et al. // Nature Communications. — 2021. — Dec. — Vol. 12, no. 1. — Pp. 1-6.

[57] Towards practical quantum computers: Transmon qubit with a lifetime approaching 0.5 milliseconds / Chenlu Wang, Xuegang Li, Huikai Xu et al. // npj Quantum Information. — 2022. — Vol. 8, no. 1. — P. 3.

[58] 2D transmons with lifetimes and coherence times exceeding 1 millisecond / Matthew P Bland, Faranak Bahrami, Jeronimo GC Martinez et al. // arXiv preprint arXiv:2503.14798. — 2025.

[59] Removing leakage-induced correlated errors in superconducting quantum error correction / Matt McEwen, Dvir Kafri, Z Chen et al. // Nature communications. — 2021. — Vol. 12, no. 1. — P. 1761.

[60] Overcoming leakage in quantum error correction / Kevin C Miao, Matt McEwen, Juan Atalaya et al. // Nature Physics. — 2023. — Vol. 19, no. 12. — Pp. 1780-1786.

[61] Quantum error correction below the surface code threshold / Rajeev Acharya, Laleh Aghababaie-Beni, Igor Aleiner et al. // Nature. — 2025. — Vol. 638. — P. 920-926.

[62] Niepce David, Burnett Jonathan, Bylander Jonas. High Kinetic Inductance NbN Nanowire Superinductors // Phys. Rev. Appl. — 2019. — Apr. — Vol. 11. — P. 044014.

[63] Nanowire Superinductance Fluxonium Qubit / T. M. Hazard, A. Gyenis, A. Di Paolo et al. // Phys. Rev. Lett. — 2019. — Jan. — Vol. 122. — P. 010504.

[64] Granular aluminium as a superconducting material for high-impedance quantum circuits / Lukas Grünhaupt, Martin Spiecker, Daria Gusenkova et al. // Nature materials. — 2019. — Vol. 18, no. 8. — Pp. 816-819.

[65] Manucharyan V. E. Superinductance: Ph.D. thesis / Yale University. — 2012.

[66] Fluxonium: Single Cooper-Pair Circuit Free of Charge Offsets / V. E. Manucharyan, J. Koch, L. I. Glazman, M. H. Devoret // Science. — 2009. — Vol. 326, no. 5949. — Pp. 113-116.

[67] Millisecond coherence in a superconducting qubit / Aaron Somoroff, Quentin Ficheux, Raymond A Mencia et al. // Physical Review Letters. — 2023. — Vol. 130, no. 26. — P. 267001.

[68] Suppressing counter-rotating errors for fast single-qubit gates with fluxonium / David A Rower, Leon Ding, Helin Zhang et al. // PRX Quantum. — 2024. — Vol. 5, no. 4. — P. 040342.

[69] Fast logic with slow qubits: microwave-activated controlled-Z gate on low-frequency fluxoniums / Quentin Ficheux, Long B Nguyen, Aaron Somoroff et al. // Physical Review X. — 2021. — Vol. 11, no. 2. — P. 021026.

[70] Fluxonium: An alternative qubit platform for high-fidelity operations / Feng Bao, Hao Deng, Dawei Ding et al. // Physical review letters. — 2022. — Vol. 129, no. 1. — P. 010502.

[71] Native approach to controlled-Z gates in inductively coupled fluxonium qubits / Xizheng Ma, Gengyan Zhang, Feng Wu et al. // Physical Review Letters. — 2024. — Vol. 132, no. 6. — P. 060602.

[72] High fidelity two-qubit gates on fluxoniums using a tunable coupler / Ilya N Moskalenko, Ilya A Simakov, Nikolay N Abramov et al. // npj Quantum Information. — 2022. — Vol. 8, no. 1. — P. 130.

[73] High-fidelity controlled-Z gate with maximal intermediate leakage operating at the speed limit in a superconducting quantum processor / V Negirneac, H Ali, N Muthusubramanian et al. // Physical Review Letters. — 2021. — Vol. 126, no. 22. — P. 220502.

[74] Coupler microwave-activated controlled-phase gate on fluxonium qubits / Ilya A Simakov, Grigoriy S Mazhorin, Ilya N Moskalenko et al. // PRX Quantum. — 2023. — Vol. 4, no. 4. — P. 040321.

[75] High-fidelity, frequency-flexible two-qubit fluxonium gates with a transmon coupler / Leon Ding, Max Hays, Youngkyu Sung et al. // Physical Review X.

— 2023. — Vol. 13, no. 3. — P. 031035.

[76] 24 Days-Stable CNOT Gate on Fluxonium Qubits with Over 99.9% Fidelity / Wei-Ju Lin, Hyunheung Cho, Yinqi Chen et al. // PRX Quantum. — 2025.

— Vol. 6, no. 1. — P. 010349.

[77] Shende Vivek V., Markov Igor L. On the CNOT-cost of TOFFOLI gates // Quantum Inf. Comput. — 2008. — Vol. 9. — Pp. 461-486.

[78] Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets / Abhinav Kandala, Antonio Mezzacapo, Kristan Temme et al. // Nature. — 2017. — Vol. 549, no. 7671. — Pp. 242-246.

[79] A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor / Alberto Pe-ruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt et al. // Nature Communications. — 2014. — Vol. 5. — P. 4213.

[80] Quantum optimization using variational algorithms on near-term quantum devices / Nikolaj Moll, Panagiotis Barkoutsos, Lev S. Bishop et al. // Quantum Science and Technology. — 2018. — Vol. 3, no. 3. — P. 030503.

[81] Hartree-Fock on a superconducting qubit quantum computer / Google AI Quantum, Collaborators*!, Frank Arute et al. // Science. — 2020. — Vol. 369, no. 6507. — Pp. 1084-1089.

[82] Quantum approximate optimization of non-planar graph problems on a planar superconducting processor / Matthew P Harrigan, Kevin J Sung, Matthew Neeley et al. // Nature Physics. — 2021. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 332-336.

[83] Quantum approximate optimization algorithm: Performance, mechanism, and implementation on near-term devices / Leo Zhou, Sheng-Tao Wang, Soon-won Choi et al. // Physical Review X. — 2020. — Vol. 10, no. 2. — P. 021067.

[84] Improving the performance of deep quantum optimization algorithms with continuous gate sets / Nathan Lacroix, Christoph Hellings, Christian Kraglund Andersen et al. // PRX Quantum. — 2020. — Vol. 1, no. 2. — P. 020304.

[85] Reußen Sascha, Locher David F, Müller Markus. Measurement-free fault-tolerant quantum error correction in near-term devices // PRX Quantum. — 2024. — Vol. 5, no. 1. — P. 010333.

[86] Yu Nengkun, Duan Runyao, Ying Mingsheng. Five two-qubit gates are necessary for implementing the Toffoli gate // Physical Review A—Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2013. — Vol. 88, no. 1. — P. 010304.

[87] Nikolaeva Anastasiia S, Kiktenko Evgeniy O, Fedorov Aleksey K. Decomposing the generalized Toffoli gate with qutrits // Physical review A. — 2022. — Vol. 105, no. 3. — P. 032621.

[88] Implementing the quantum von Neumann architecture with superconducting circuits / Matteo Mariantoni, Haiyan Wang, Takashi Yamamoto et al. // Science. — 2011. — Vol. 334, no. 6052. — Pp. 61-65.

[89] Implementation of a Toffoli gate with superconducting circuits / Arkady Fedorov, Lucas Steffen, Matthias Baur et al. // Nature. — 2012. — Vol. 481, no. 7380. — Pp. 170-172.

[90] High-fidelity three-qubit i Toffoli gate for fixed-frequency superconducting qubits / Yosep Kim, Alexis Morvan, Long B Nguyen et al. // Nature physics.

— 2022. — Vol. 18, no. 7. — Pp. 783-788.

[91] Single shot i-Toffoli gate in dispersively coupled superconducting qubits / Aneirin J Baker, Gerhard BP Huber, Niklas J Glaser et al. // Applied Physics Letters. — 2022. — Vol. 120, no. 5.

[92] Fast multiqubit gates through simultaneous two-qubit gates / Xiu Gu, Jorge Fernandez-Pendas, Pontus Vikstal et al. // PRX Quantum. — 2021.

— Vol. 2, no. 4. — P. 040348.

[93] Effective nonlocal parity-dependent couplings in qubit chains / Maximilian Nagele, Christian Schweizer, Federico Roy, Stefan Filipp // Physical Review Research. — 2022. — Vol. 4, no. 3. — P. 033166.

[94] Synthesizing five-body interaction in a superconducting quantum circuit / Ke Zhang, Hekang Li, Pengfei Zhang et al. // Physical Review Letters. — 2022. — Vol. 128, no. 19. — P. 190502.

[95] Many-body interactions with tunable-coupling transmon qubits / A Mezza-capo, L Lamata, S Filipp, E Solano // Physical review letters. — 2014. — Vol. 113, no. 5. — P. 050501.

[96] Experimental demonstration of a resonator-induced phase gate in a multiqubit circuit-qed system / Hanhee Paik, Antonio Mezzacapo, Martin Sandberg et al. // Physical review letters. — 2016. — Vol. 117, no. 25. — P. 250502.

[97] Demonstration of tunable three-body interactions between superconducting qubits / Tim Menke, William P Banner, Thomas R Bergamaschi et al. // Physical Review Letters. — 2022. — Vol. 129, no. 22. — P. 220501.

[98] Superconducting Qubits: Current State of Play / Morten Kjaergaard, Maxwell E Schwartz, Jochen Braumüller et al. // Annual Review of Condensed Matter Physics. — 2020. — Vol. 11. — Pp. 369-395.

[99] Devoret M. H. Quantum Fluctuations in Electrical Circuits // Les Houches Session LXIII, 1995: Quantum Fluctuations / Ed. by S. Reynaud, E. Giacobi-no, J. Zinn-Justin. — Elsevier, 1997. — Pp. 351-386.

[100] Girvin S. M. Circuit QED: Superconducting Qubits Coupled to Microwave Photons // Les Houches Session XCVI: Quantum Machines / Ed. by M. Devoret, B. Huard, R. Schoelkopf, L. Cugliandolo. — Oxford University Press, 2014. — Pp. 113-256.

[101] Richer S. Design of an Inductively Shunted Transmon Qubit with Tunable Transverse and Longitudinal Coupling: Ph.D. thesis / RWTH Aachen University. — 2018.

[102] Josephson Brian D. Possible new effects in superconductive tunnelling // Physics Letters. — 1962. — Vol. 1, no. 7. — Pp. 251-253.

[103] Nakamura Y, Pashkin Y. A., Tsai J. S. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box // Nature. — 1999. — Vol. 398.

— Pp. 786-788.

[104] Superconducting persistent-current qubit / T. P. Orlando, J. E. Mooij, L. Tian et al. // Physical Review B. — 1999. — Vol. 60, no. 22. — Pp. 15398-15413.

[105] Josephson Persistent-Current Qubit / J. E. Mooij, T. P. Orlando, L. Levitov et al. // Science. — 1999. — Vol. 285, no. 5430. — Pp. 1036-1039.

[106] The flux qubit revisited to enhance coherence and reproducibility / F. Yan, S. Gustavsson, A. Kamal et al. // Nature Communications. — 2016. — Vol. 7.

— P. 12964.

[107] Measurement of the intrinsic dissipation of a macroscopic system in the quantum regime / Carlo Cosmelli, P Carelli, MG Castellano et al. // Physical review letters. — 1999. — Vol. 82, no. 26. — P. 5357.

[108] Universal fast-flux control of a coherent, low-frequency qubit / Helin Zhang, Srivatsan Chakram, Tanay Roy et al. // Physical Review X. — 2021. — Vol. 11, no. 1. — P. 011010.

[109] Fast and Unconditional All-Microwave Reset of a Superconducting Qubit / P. Magnard, P. Kurpiers, T. Walter et al. // Physical Review Letters. — 2018.

— Vol. 121, no. 6. — P. 060502.

[110] Planar architecture for studying a fluxonium qubit / Il'ya Nikolae-vich Moskalenko, Il'ya Stanislavovich Besedin, Ivan Andreevich Tsitsilin et al. // JETP Letters. — 2019. — Vol. 110, no. 8. — Pp. 574-579.

[111] Blueprint for a high-performance fluxonium quantum processor / Long B Nguyen, Gerwin Koolstra, Yosep Kim et al. // PRX Quantum.

— 2022. — Vol. 3, no. 3. — P. 037001.

[112] Scalable fluxonium qubit architecture with tunable interactions between non-computational levels / Peng Zhao, Guming Zhao, Shaowei Li et al. // arXiv preprint arXiv:2504.09888. — 2025.

[113] Quantum-information processing with circuit quantum electrodynamics / Alexandre Blais, Jay Gambetta, A. Wallraff et al. // Physical Review A. — 2007. — Mar. — Vol. 75, no. 3.

[114] Purcell Edward Mills. Spontaneous emission probabilities at radio frequencies // Confined Electrons and Photons: New Physics and Applications. — Springer, 1995. — Pp. 839-839.

[115] ac Stark Shift and Dephasing of a Superconducting Qubit Strongly Coupled to a Cavity Field / D. I. Schuster, A. Wallraff, A. Blais et al. // Physical Review Letters. — 2005. — Mar. — Vol. 94, no. 12.

[116] Controlling the Spontaneous Emission of a Superconducting Transmon Qubit / A. A. Houck, J. A. Schreier, B. R. Johnson et al. // Phys. Rev. Lett. — 2008.

— Aug. — Vol. 101. — P. 080502.

[117] Fast Accurate State Measurement with Superconducting Qubits / Evan Jeffrey, Daniel Sank, J. Y. Mutus et al. // Phys. Rev. Lett. — 2014. — May. — Vol. 112. — P. 190504.

[118] Fluxonium-Based Artificial Molecule with a Tunable Magnetic Moment / A. Kou, W. C. Smith, U. Vool et al. // Phys. Rev. X. — 2017. — Aug. — Vol. 7. — P. 031037.

[119] Arbitrary controlled-phase gate on fluxonium qubits using differential ac stark shifts / Haonan Xiong, Quentin Ficheux, Aaron Somoroff et al. // Physical Review Research. — 2022. — Vol. 4, no. 2. — P. 023040.

[120] Cnot gates for fluxonium qubits via selective darkening of transitions / Konstantin N Nesterov, Chen Wang, Vladimir E Manucharyan, Maxim G Vav-ilov // Physical Review Applied. — 2022. — Vol. 18, no. 3. — P. 034063.

[121] Proposal for entangling gates on fluxonium qubits via a two-photon transition / Konstantin N Nesterov, Quentin Ficheux, Vladimir E Manucharyan, Maxim G Vavilov // PRX Quantum. — 2021. — Vol. 2, no. 2. — P. 020345.

[122] Suppression of qubit crosstalk in a tunable coupling superconducting circuit / Pranav Mundada, Gengyan Zhang, Thomas Hazard, Andrew Houck // Physical Review Applied. — 2019. — Vol. 12, no. 5. — P. 054023.

[123] Characterization of loss mechanisms in a fluxonium qubit / Hantao Sun, Feng Wu, Hsiang-Sheng Ku et al. // Physical Review Applied. — 2023. — Vol. 20, no. 3. — P. 034016.

[124] Verifying the analogy between transversely coupled spin-1/2 systems and inductively-coupled fluxoniums / Wei-Ju Lin, Hyunheung Cho, Yinqi Chen et al. // New Journal of Physics. — 2025. — Vol. 27, no. 3. — P. 033012.

[125] Quantum computation of frequency-domain molecular response properties using a three-qubit iToffoli gate / Shi-Ning Sun, Brian Marinelli, Jin Ming Koh et al. // npj Quantum Information. — 2024. — Vol. 10, no. 1. — P. 55.

[126] Glaser Niklas J, Roy Federico, Filipp Stefan. Controlled-controlled-phase gates for superconducting qubits mediated by a shared tunable coupler // Physical Review Applied. — 2023. — Vol. 19, no. 4. — P. 044001.

[127] Simple pulses for elimination of leakage in weakly nonlinear qubits / Felix Mot-zoi, Jay M Gambetta, Patrick Rebentrost, Frank K Wilhelm // Physical review letters. — 2009. — Vol. 103, no. 11. — P. 110501.

[128] Analytic control methods for high-fidelity unitary operations in a weakly nonlinear oscillator / Jay M Gambetta, F Motzoi, ST Merkel, Frank K Wilhelm // Physical Review A—Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2011. — Vol. 83, no. 1. — P. 012308.

[129] Leakage reduction in fast superconducting qubit gates via optimal control / Max Werninghaus, Daniel J Egger, Federico Roy et al. // npj Quantum Information. — 2021. — Vol. 7, no. 1. — P. 14.

[130] Egger Daniel J, Wilhelm Frank K. Adaptive hybrid optimal quantum control for imprecisely characterized systems // Physical review letters. — 2014. — Vol. 112, no. 24. — P. 240503.

[131] Optimal quantum control using randomized benchmarking / Julian Kelly, Rami Barends, Brooks Campbell et al. // Physical review letters. — 2014. — Vol. 112, no. 24. — P. 240504.

[132] Haner Thomas, Roetteler Martin, Svore Krysta M. Factoring using 2n+2 qubits with Toffoli based modular multiplication // Quantum Information and Computation. — 2017. — Jun. — Vol. 17, no. 7&8. — Pp. 673-684.

[133] LEAP: Scaling Numerical Optimization Based Synthesis Using an Incremental Approach / Ethan Smith, Marc Grau Davis, Jeffrey Larson et al. // ACM Transactions on Quantum Computing. — 2023. — Feb. — Vol. 4, no. 1. — 23 pp.

[134] Efficient Z gates for quantum computing / David C. McKay, Christopher J. Wood, Sarah Sheldon et al. // Phys. Rev. A. — 2017. — Aug. — Vol. 96. — P. 022330.

[135] Nielsen Michael A. A simple formula for the average gate fidelity of a quantum dynamical operation // Physics Letters A. — 2002. — Oct. — Vol. 303, no. 4.

— Pp. 249-252.

[136] Wood Christopher J., Biamonte Jacob D., Cory David G. Tensor networks and graphical calculus for open quantum systems // Quantum Info. Comput.

— 2015. — Jan. — Vol. 15, no. 9-10. — P. 759-811.

[137] Nambu Yoshihiro, Nakamura Kazuo. On the matrix representation of quantum operations // arXiv preprint quant-ph/0504 091. — 2005.

[138] High-fidelity transmon-coupler-activated CCZ gate on fluxonium qubits / Ilya A Simakov, Grigoriy S Mazhorin, Ilya N Moskalenko et al. // Physical Review Applied. — 2024. — Vol. 21, no. 4. — P. 044035.

[139] Wigington R. L., Nahman N. S. Transient Analysis of Coaxial Cables Considering Skin Effect // Proceedings of the IRE. — 1957. — Vol. 45, no. 2. — Pp. 166-174.

[140] Impact of qubit anharmonicity on near-resonant Rabi oscillations / Grigoriy S. Mazhorin, Andrei A. Kugut, Artyom M. Polyanskiy et al. // Applied Physics Letters. — 2025. — 05. — Vol. 126, no. 20. — P. 204002.