Модели потребления и вопросы оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Меерсон, Алла Юрьевна

• Меерсон, Алла Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Меерсон, Алла Юрьевна

Введение.

Глава 1 Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накопленных сбережений на основе принципа максимума.

1.1. Задача оптимального управления домашнего хозяйства.

1.2. Реализация максимума функционала для найденных потребления и накопленных сбережений.

1.3. Выражения для потребления и накопленных сбережений в случае постоянного относительного отвращения к риску. Индикаторная функция.

1.4. Условия, когда описывающая накопленные сбережения домашнего хозяйства функция не меняет знак, сформулированные при помощи индикаторной функции.

1.5. Домашнее хозяйство в режиме отсутствия накопленных сбережений.

Глава 2 Эффективное решение различных задач максимизации потребления домашнего хозяйства.

2.1. Различные задачи максимизации потребления домашнего хозяйства в связи с общепринятой терминологией.

2.2. Ограничения на функцию потребления домашнего хозяйства, играющую роль управления.

2.3. Выход домашнего хозяйства за рамки режима отсутствия накопленных сбережений.

2.4. Элементарные решения задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого -А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства.

2.5. Алгоритм решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели потребления и вопросы оптимального управления»

В работе исследуется задача оптимального управления, основанная на принципе максимума Понтрягина [1], потреблением домашних хозяйств. Роль управления играет функция потребления с = c(t). Роль уравнения связи играет дифференциальное уравнение динамического баланса между доходами, расходами и накопленными сбережениями х = рх+Р-с, (1) где х = х(7)- накопленные сбережения, Р = Р(7) - зарплаты и пенсии, р = р(t) -процент по наличным деньгам .

При выполнении уравнения связи задача о рациональном поведении потребителей ставится как задача максимизации функционала, выражающего интегральную дисконтированную полезность потребления i

Ju(c(f))exp(-80df, (2) о где и - функция полезности, а 5 - коэффициент дисконтирования будущей полезности [2]. Кроме этого, справедливы условия х('о) = хо: (3) х(/,) = х,, (4) а

0<с<с<с< +оо. (5)

Исследование проводится на базе принципа максимума JI.C. Понтрягина. Основную трудность представляет собой исследование фазового ограничения, возникающего из условия неотрицательности накопленных домашним хозяйством сбережений. х > О,

Введение так называемой индикаторной функции

I }p(s)«/s J p(s)c/ s р(т)е' dx + xQe'"

Ф(0 = — u Г

5т-Jp(s)£/

Jp(s)t/ s eT d т

6)

7) позволяет получить достаточные условия выполнения этого фазового ограничения как в вариационной задаче:, так и в задаче JI.C. Понтрягина.

Под вариационной постановкой задачи максимизации потребления домашнего хозяйства понимается нахождение функции потребления максимизирующей функционал (2), и накопленных сбережений, удовлетворяющих уравнению (I) и условиям (3) и (4) на концах рассматриваемого временного промежутка. Однако, решение этой вариационной задачи не должно противоречить ограничению (5) на функцию потребления. Т. о., ограничение (5) не должно быть сдерживающим. Однако, эта вариационная постановка имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (6), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, ' задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (1), заданных, т. е. закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4) и справедливости фазового ограничения (6) мы называем вариационной постановкой задачи максимизации потребления домашнего хозяйства с закрепленными концами и фазовым ограничением.

В соответствии со сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией, задачу максимизации функционала (2) при условиях (3) и (4), к которым добавлено ограничение (5) на функцию потребления, которая, как нами уже отмечалось ранее, играет роль управления, мы должны назвать задачей Л. С. Понтрягина. В этом случае ограничение (5) является сдерживающим. Однако, и эта задача JI. С. Понтрягина имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (б), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (1), закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4), с ограничением (5) на функцию потребления, играющую роль управления, можно также рассматривать лишь при условии справедливости фазового ограничения (6). А такую задачу, согласно все той же сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией принято называть задачей А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.

Эффективность индикаторной функции (7) для получения достаточных условий, когда при решении вариационной задачи фазовое ограничение (6) выполняется автоматически основано на представлении для накопленных сбережений х(0= J(uT

-}p(S)</S

Jp(sVs б/т[ф(0-ф(/,)

X, f(uT г Л и

J p(s)i/s e! dx

8)

Это представление справедливо в предположении, что согласно известной теоретической схеме [3] домашние хозяйства оценивают полезность потребительских расходов монотонной вогнутой функцией и(с), входящей в (2), которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу-Пратту [4]: u'(c)

Функция потребления при этих условиях может быть записана в виде с(г) = (иУ А Л

5r-|p(s) ds

10)

Константа г)/А при этом определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка. Выражение для этой константы с учетом (9) будет иметь вид

Л Г '» А г i Jp(s)ds Jp(s)ds р(т)ег dx+x0e"

-х, а > 0. j(u У

8т- J p(s) ds

П) p(s)ds e1 d T

В более общем случае задачи JI. С. Понтрягина накопленные сбережения могут быть выражены формулой

Jp(s)ds J P(s)ds x(r) = J[p(x)-c(x)]e' d x+ x0e'"

12)

Заметим, что если мы в формулу (12) подставим (10), а затем (11), то получим представление (8).

Для решения задачи Л. С. Понтрягина в формулу (12) в качестве функции потребления нужно подставлять выражение c(t) = max' min

Н" А

6/-jfpfs)ds

Л с / ю ГП1ГК maxs u')' А

S/-Jp(s) ds

13)

Константа r|/A при этом также определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка jp(s)ds p(s) ds }p(s)ds с(т)е' dx = |р(т)е' d т + х0е,; -x,. (14) с.

Отметим также, что из формулы (14) при (9) и (10) получается формула (11).

В многочисленных примерах, для которых

Р(0 = Р0 ер', Р0 = const > 0, р = const > 0, р(Г) = р = const > О подробно рассмотрены случаи, когда уравнение (14) приводит к выражению для искомой константы г)/А, а когда из (14) для этой константы получается трансцендентное уравнение.

Определены и подробно разобраны: случай режима отсутствия накопленных сбережений домашнего хозяйства, а также случай выхода домашнего хозяйства за рамки режима отсутствия накопленных сбережений.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Меерсон, Алла Юрьевна

Основные результаты диссертации изложены в работах [71 - 81].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на то, что домашнее хозяйство существует с древних времен, экономика домашнего хозяйства стала популярной лишь в последние годы [17 -40].

Задачи оптимального управления являются эффективным математическим аппаратом в различных вопросах математической экономики [9, 10, 11, 41 -61].

Несмотря на некоторые различия в изложении принципа, максимума Понтрягина [1, 8, 16, 62 - 70] результаты настоящей работы, очевидно, не зависят от того, какую форму принципа максимума взять за основу.

Остановимся кратко на основных результатах настоящей работы.

В соответствии с общепринятой в задачах оптимального управления терминологией мы, в зависимости от наличия и характера ограничений на управление, роль которого играет потребление, и фазовых ограничений на накопленные домашним хозяйством сбережения сформулировали различные задачи максимизации потребления домашнего хозяйства: вариационную задачу, задачу JT. С. Понтрягина и задачу А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.

На основании принципа максимума Понтрягина [1] найдено точное решение задачи максимизации потребления домашнего хозяйства в вариационной постановке. Рассмотрены условия реализации максимума функционала, выражающего дисконтированную полезность потребления для точно найденных потребления и накопленных сбережений.

Найдена и исследована индикаторная функция, с помощью которой весьма удобно формулировать и изучать условия, при которых решение вариационной задачи автоматически удовлетворяет фазовому ограничению неотрицательности накопленных сбережений домашнего хозяйства. Детально разобран не только случай, когда домашнее хозяйство живет в режиме отсутствия накопленных сбережений, но и случай выхода домашнего хозяйства за рамки этого режима.

Введены и изучены так называемые элементарные решения задач JI. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина, которые можно также назвать решениями с гладкой функцией потребления. Исследованы условия, когда решение вариационной задачи автоматически является решением задачи Л. С. Понтрягина. В связи с этим возникают ограничения на функцию потребления, играющую роль управления.

После введения указанных выше элементарных решений найдено условие замыкания на правом конце временного промежутка задачи максимизации потребления домашнего хозяйства в общей постановке. Приведены примеры реализации этого условия и описан алгоритм получения решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства в общем случае.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Меерсон, Алла Юрьевна, 2004 год

1. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов - М.: Наука, 1983.-302 с.

2. Гуриев С.М., Поспелов И.Г. Модель общего равновесия экономики переходного периода 11 Математическое моделирование, 1994. Т. 6, №2. С. 3-21.

3. Гуриев С.М. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: I // Математическое моделирование, 1994. Т. 6, №7. С. 15-40.

4. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа.- М.: Наука, 1989. 736 с.

5. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.- М.: Наука, 1988. 816 с.

6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1964. 608 с.

7. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. Учебное пособие. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984. 288 с.

8. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. Московский физико-технический институт (государственный университет), 2001. 156 с.

9. Дикусар В. В., Гживачевский М., Кошька М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. Московский физико-технический институт (государственный университет), 2001. 55 с.

10. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Московский физико-технический институт (государственный университет), 2001. 141 с.

11. Милн-Томсон Л. М., Комри Л. Дж. Четырехзначные математические таблицы. М.: Наука, 1964. 248 с.

12. Дикусар В. В. Методика численного решения краевых вариационных задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореферат докт. дисс. Дубна: ОИЯИ, 1982.

13. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. Изд-во МГУ. 1970, 118 с.

14. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.480 с.

15. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978. 318 с.

16. Preferences, Utility and Demand. ed by Chipman J. S., Hurwicz L., Richter M. K., Sonnenschein H. F. / New York, 1971.510р.

17. Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителей. //Экономико математические методы. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1963, вып. 1. С. 241 -270.

18. Afriat S. N. The construction of utility function from expediture data. // International economic review, 1967. V. 8, № 1. P 67 77.

19. Varian H. Non-parametric tests of consumer behaviour. // The review of economic studies, 1983. V. L(l), № 1. P. 99- 110.

20. Шананин А. А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса. // Математическое моделирование, 1993. Т. 5, № 9. С. 3 -17.

21. Чернавский Д.С., Рахимов А.Х. Об экономической структуре общества (спектр накоплений). Препринт ФИАН. 1991. № 15.

22. Чернавский Д.С., Попков Ю.С., Рахимов А.Х. Математическая модель типологии семейных накоплений//Экономика и математические методы, 1994. Т. 30, вып. 2. С. 98-106.

23. Чернавский Д.С., Пирогов Г.Г., Чернавская О.Д., Щербаков А.В., Суслаков Б.А. Динамика экономической структуры общества (математическая модель) // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4, № 3. С. 67-76.

24. Жеребин В.М., Романов А.Н. Экономика домашних хозяйств. -М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. 231 с.

25. Жеребин В.М. Экономика домашних хозяйств и некоторые средства ее макромоделирования // Экономика и математические методы. 1997. Т.33, вып.1. С. 63-76.

26. Глущенко К., Топилина В. Об оценке численности домохозяйств //Вопросы экономики 1995, № 9.

27. Елизаров В., Зверева Н., Колабихина И. Основные направления комплексного подхода к исследованию семьи и домохозяйства. Определение понятий // Домохозяйство, семья и семейная политика. М. МГУ, 1997.

28. Жеребин В. М. Классификация, функции и значение деятельности домашних хозяйств // Вопросы статистики. 1997, № 2.

29. Беккер Г. Экономика семьи и макроповедение И США: экономика, политика, идеология. 1994, № 2, 3.

30. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 544 с.

31. Поспелова Л. Я., Шананин А. А. Анализ торговой статистики Нидерландов 1951 1977 гг. с помощью обобщенного непараметрического метода. -М.: ВЦ РАН, 1998.-36 с.

32. Гуриев С. М. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: II // Математическое моделирование, 1994. Т. 6, №7. С. 41 54.

33. Гуриев С. М. Математическая модель стимулирования экономического роста посредством восстановления сбережений // Математическое моделирование, 1996. Т. 8, №4. С. 21-46.

34. Гуриев С. М. Некоторые математические модели формирования инвестиций и сбережений. Диссертация на соискание учен. степ. канд. физ мат. наук.-М.: ВЦ РАН, 1994. - 118 с.

35. Гуриев С. М., Шахова М. Б. Модель адаптации поведения домашних хозяйств // Моделирование процессов управления и обработки информации. Междувед. сб. научн. тр. М.: МФТИ. 1994.

36. Петров А. А., Шананин А. А. Условия интегрируемости, распределения доходов и социальная структура общества // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 8. С. 3-23.

37. Айвазян С. А. Модель формирования распределения населения России по величине среднедушевого дохода// Экономика и математические методы. 1997. Т. 33, вып. 4. С. 74- 86.

38. Черняев А. П. Дифференциальные уравнения динамического баланса и их приложения // Соросовский Образовательный Журнал, 2000. Т. 6, № 11. С.117 -122.

39. Черняев А. П. Уравнения динамического баланса и их приложения в экологии и экономике // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Сб. научн. тр. М.: МФТИ, 2003, С. 101 108.

40. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для ВУЗов. -М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.

41. Петров А. А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент М.: Наука, 1996.- 251 с.

42. Канторович JT. В., Горстко А. Б. Математическое оптимальное программирование в экономике. М.: Знание, 1968. 96 с.

43. Хенкин Г. М., Шананин А. А. Теоремы Бернштейна и преобразование Радона. Приложения в теории производственных функций // Проблемы кибернетики / Под ред. И. М. Гельфанда, С. г. Гиндикина. М.: Наука, 1989. С. 200 -236.

44. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. -М.: Наука, 1986. С. 7- 196.

45. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121 -266.

46. Поспелов И. Г. Динамическая модель поведения контрагентов на рынке // Экономика и математические методы. 1988. Т. XXIV, вып. 3. С. 497 508.

47. Поспелов И. Г. Эволюционный принцип в описании экономического поведения: Дисс. доктора физ.-мат наук М.: ВЦ АН СССР, 1989. - 353 с.

48. Дикусар В. В., Синягин С. Ю. Качественные и численные методы в задаче оптимального управления внешним долгом. М.: ВЦ РАН, 2000. 48 с.

49. Абрамов А. П., Дикусар В. В. Нерегулярные точки в двусекторной экономической модели внешнего долга // Дифференциальные уравнения. Минск, 1997. Т. 33, № 12, С. 1203 1209.

50. Синягин С. Ю. Методы вычисления первого приближения в задаче оптимального управления о внешнем долге // Проблемы нелинейной динамики и управления. Сборник трудов ИСА РАН. М.: Эдиториал УРСС, 1999. С. 209-216.

51. Петров А. А., Шананин А. А. Об одной модели потребления продуктов текущего и длительного пользования. М.: ВЦ РАН, 1997. 60 с.

52. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А., Левин В. Л. Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. - 193 с.

53. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Теория принципа максимума// Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 6-47.

54. Евстигнеев И. В., Катышев П. К. Нестационарные оптимизационные модели экономической динамики // Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 48-71.

55. Зак Ф. Л. Устойчивость экономического равновесия // Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 72 - 106.

56. Левин В. Л. Теоремы выпуклого анализа и гарантированная прибыль в условиях неопределенности // Методы теории экстремальных задач в экономике. -М.: Наука, 1981. С. 107- 137.

57. Милютин А. А. О квадратичных условиях экстремума в гладких задачах с конечномерным образом // Методы теории экстремальных задач в экономике. -М.: Наука, 1981. С. 138 177.

58. Полтерович В. М., Спивак В. А. Сравнение равновесий при многозначном спросе//Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 178- 192.

59. Фридман А. А. Равновесие в модели смешанной экономики // Экономика и математические методы. 1993. Т. 29, вып. 1. С. 138 146.

60. Фридман А. А. Модели перехода к рыночной экономике и благосостояние потребителей // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30, вып. 4. С. 106-111.

61. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969. 408 с.

62. Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М. Основы оптимального и экстремального управления. М.: Высшая школа, 1969. 296 с.

63. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968. 192 с.

64. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. / Пер. с англ. Л. Л. Леонтьевой под ред. Я. Н. Ройтенберга. М.: Наука, 1972. 574 с.

65. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986. -328 с.

66. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

67. Дикусар В. В., Милютин А. А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. - 144 с.

68. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. Учебное пособие. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. - 576 с.

69. Корн Г, Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. 831 с.

70. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения денежного баланса для небогатых семей с фиксированным доходом // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1996. С. 142-145.

71. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения семейного баланса // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1997. С. 124-131.

72. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение уравнения динамического баланса для денежных семейных накоплений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб. М.: МФТИ, 1998. С. 94-98.

73. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Уравнения динамического баланса и их приложения в экологии и экономике // Моделирование процессов управления и обработки информации: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1998. С. 179-186.

74. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накоплений // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Вып. 9. М. 2001. С. 153.

75. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накоплений // Математика. Компьютер. Образование. Сб. научн. тр. Вып. 9. Ч. 1. Москва Ижевск. 2002. С. 199-203.

76. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Вариационная постановка задачи максимизации потребления домашнего хозяйства // Математика: фундаментальные вопросы, приложения, преподавание. Межвед. сб. научн. тр. Вып. 3. М.: МГУП, 2003. С. 222-230.