Моделирование и исследование нелинейных явлений в ферроиках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чаплыгин, Михаил Николаевич

• Чаплыгин, Михаил Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чаплыгин, Михаил Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ГЛАВА 1. ТЕМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ В ФЕРРОИКАХ

1.1. Методы теории групп 11 Спонтанное нарушение симметрии при непрерывном фазовом переходе

1.2. Доменные границы в ферроиках

1.3. Теория Морса

1.3.1. Индексы особых точек отображения

1.3.2. Клеточные комплексы системы особых точек 26 1.3. Моделирование нелинейных волн в твердых телах

2. ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ СТРУКТУРНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ФЕРРОИКАХ

2.1. Классификация структурных фазовых переходов в ферроиках

2.2. Термодинамическое описание ферроиков различной симметрии

3. ГЛАВА 3. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЕ

3.1. Моделирование возможных фазовых переходов на основе симметрии кристаллов

3.2. Фазовые переходы в доменной границе сегнетоэлектриков

3.2.1. Метод исследования

3.2.2. Фазовые переходы в доменной границе кристаллов, испытывающих объемный переход второго рода

3.2.3. Фазовые переходы в доменной границе кристаллов, испытывающих объемный переход первого рода

3.2.4. Метастабильные состояния в кристалле и фазовые переходы в доменных границах. Каскады фазовых переходов

4. ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОИКАХ

4.1. Нелинейные волны в сегнетоэластиках

4.1.1. Нелинейные волны в парафазе

4.1.2. Волны в ферроэластической фазе

4.1.3. Волны в метастабильном состоянии кристалла

4.2. Нелинейные волны в сегнетоэлектриках

4.2.1. Волны в параэлектрической фазе кристалла

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и исследование нелинейных явлений в ферроиках»

Актуальность темы. Термодинамический метод исследования различных нелинейных явлений в кристаллах, в частности, фазовых переходов в веществе и нелинейных волн в настоящее время нашел широкое применение [1] Он является первым шагом объяснения результатов экспериментального исследования общих свойств и особенностей фазового перехода в каждом конкретном веществе. Система соотношений между различными физическими характеристиками вещества, находящегося в условиях фазового перехода, которая получена в рамках термодинамического метода, позволяет развить классификацию всей совокупности фазовых переходов. Это дает возможность исследователю по относительно небольшому числу экспериментальных данных понять существенные черты фазового перехода в каждом конкретном случае и проводить осознанное планирование дальнейших исследований. Наиболее важной классификацией является выделение совокупности фазовых переходов фазовых и второго рода. В другой классификации принято разделение фазовых переходов на собственные и несобственные.

В результате, осмысливание экспериментальных данных методами термодинамики позволяет выработать отправные точки для последующего установления микроскопического механизма фазового перехода в конкретном материале.

Среди всей совокупности фазовых переходов в кристаллических твердых телах большую долю составляют структурные фазовые переходы. Определяющим признаком структурного фазового перехода является факт изменения системы элементов симметрии кристалла в результате фазового перехода. Для исследования структурных фазовых переходов термодинамическими методами важно установить физический смысл макроскопического параметра порядка, являющегося базовой характеристикой фазового состояния вещества. Для описания закономерностей нелинейных явлений в кристаллах удобными макроскопическими характеристиками являются тензоры различного ранга. Ранг тензорного параметра порядка служит еще одним основанием для классификации структурных фазовых переходов. Поскольку число групп точечной симметрии кристаллов ограничено, существует возможность дать полный список возможных фазовых переходов с изменением точечной группы и их классификацию по этому признаку. Аналогичный подход возможен для указания возможных структурных фазовых переходов в различных доменных границах ферроиков различных типов.

Достигнутые к настоящему времени успехи широкого использования термодинамических методов в исследовании фазовых переходов привлекают внимание исследователей к проблеме развития самого этого метода. Одним из его направлений является совершенствование методов исследования решения уравнений для равновесных значений параметра порядка, возникающих после варьирования термодинамического потенциала. Как математический объект, уравнения равновесия представляют собой систему алгебраических уравнений для компонент параметра порядка. Несмотря на большую историю развития науки об алгебраических уравнениях и значительному продвижению алгебраической геометрии, в настоящее время отсутствуют универсальные методы получения аналитических выражений для корней, пригодные для интерпретации физических закономерностей. Поэтому актуальной проблемой термодинамического подхода исследования фазовых переходов является создание и развитие новых подходов, позволяющих достичь понимания закономерностей фазовых переходов и возможностей корректного применения приближенных методов решения в каждом конкретном случае. Объектом исследования являются модели кристаллических ферроиков, а предметом исследования - теоретические методы и закономерности в различных нелинейных эффектах, которые могут быть получены при определенном выборе аналитических выражений для термодинамических потенциалов вещества.

Ферроики являются такими кристаллами, в которых сильно выражены нелинейные свойства. Поэтому они представляют собой интересные объекты для исследования различных нелинейных эффектов, в частности, распространения нелинейных волн. Успехи в развитии физики в этом направлении могут служить теоретической основой для построения приборов электроники нового поколения, в которой предполагается широкое использование нелинейных свойств материалов.

Цель и задачи работы

Разработка и применение новых теоретических методов исследования термодинамических потенциалов для кристаллических ферроиков, демонстрация их эффективности на ряде конкретных примеров. Для достижения указанной цели были сформулированы следующие задачи:

- получение полной классификации ферроиков на основе тензорных базисов теории представлений точечной кристаллографической группы, указание характерных свойств каждого класса ферроиков;

- нахождение списка возможных фазовых переходов в доменных границах сегнетоэлектриков;

- применение топологического метода Морса для нахождения строения доменных границ, возникающего после фазового перехода в этих границах;

- создание модели и установление закономерностей распространения нелинейных волн в сегнетоэлектриках, нахождение условий распространения волн различных типов и их характеристик.

Научная новизна

- На основе теории представлений точечной группы симметрии кристаллов составлен полный список возможных структурных фазовых переходов без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки:

- показано, что из 115 неединичных представлений точечной кристаллографической группы симметрии 76 представлений содержат в базисе компоненты вектора и симметричного тензора второго ранга, указаны конкретные компоненты базиса; 39 представлений имеют в своем базисе компоненты тензора третьего ранга и псевдотензоров второго и третьего ранга;

- найдены новые возможные типы структурных фазовых переходов в кристаллах, названных гирониками, параметром порядка в которых являются псевдотензоры второго и третьего ранга. Указан физический смысл этого параметра порядка и особенности отклика кристаллов такого типа на внешние силовые поля;

Получена классификация возможных фазовых переходов в 180° -доменной границе сегнетоэлектриков, новые аналитические выражения для условий перехода;

- указаны условия возникновения фазовых переходов первого и второго рода в доменной границе сегнетоэлектриков. Получены закономерности изменения вектора поляризации в несимметричной доменной границе при изменении температуры кристалла;

- найдены условия возникновения фазового перехода в границе домена ферроика, если для кристалла характерно наличие нереализованной другой фазы. Указан и исследован механизм захвата параметра порядка на доменной границе, по которому происходит указанный выше фазовый переход; построена модель распространения нелинейных волн в сегнетоэлектриках, учитывающая наличие электрострикционные напряжения в кристалле, получены формулы для зависимости скорости распространения волны от амплитуды колебаний и длины волны, указаны условия возникновения и характеристики солитонов.

Практическая значимость работы

Новый метод исследования термодинамического потенциала, основанный на топологических представлениях, может быть использован при решениях аналогичных задач для других физических систем.

Предсказание и исследование новых типов кристаллов - гироников может послужить исходным толчком для целенаправленного экспериментального поиска таких новых материалов.

Результаты исследования фазовых переходов в доменной границе могут быть использованы при интерпретации эффектов, обусловленных строением и движением доменных границ в сегнетоэлектриках.

Закономерности и условия распространения нелинейных волн в сегнетоэлектриках могут быть использованы для конструирования новых приборов электроники.

Предложенный метод исследования, дающий полную и наглядную систематику фазовых переходов в кристаллах, заслуживает его внедрения в учебных курсах для специальностей соответствующего профиля.

Положения, выносимые на защиту

- полная классификация возможных структурных фазовых переходов в кристаллах без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки;

- новый тип фазовых переходов с появлением оптической и акустической активности кристаллов;

- в доменных границах ферроиков, фазовое состояние которых характеризуется многокомпонентным параметром порядка, возможны фазовые переходы первого и второго рода, в результате которых меняется симметрия границы. Условия возникновения фазовых переходов второго рода реализуются не во всех кристаллах. В доменных границах кристаллов, испытывающих объемный фазовый переход первого рода, структурный фазовый переход в доменных границе происходит в обязательном порядке. В доменных границах таких кристаллах возможны фазовые переходы без изменения симметрии доменных границ;

- фазовые переходы в доменной границе вероятны в кристаллах, в которых имеются метастабильные фазовые состояния и происходят по механизму захвата параметра порядка в границе домена в метастабильную фазу. Такая ситуация складывается для кристаллов, претерпевающих каскад фазовых переходов; в сегнетоэлектрических кристаллах учет появления электрострикционных напряжений приводит к появлению новых типов нелинейных периодических волн, в которых скорость распространения имеет зависимость от длины волны и амплитуды колебаний, полученную в работе; существуют условия, при которых возможно распространение солитонов.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 5ой Международной конференции "Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов" (Воронеж 2003 г.), на 40м Международном семинаре по физике сегнетоэластиков (Воронеж, 2003 г.), на 21ой Международной конференции "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 2004 г.), на первой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке и технике» (Абхазия, Пицунда, 2005 г.) на научных конференциях ВГТУ (Воронеж 2003,2004,2005 г.).

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 10 печатных работах, из которых 5 статей - в реферируемых журналах, в т.ч. Изв. РАН . - Сер. Физ. [100].

Личный вклад автора

В работах, опубликованных в соавторстве лично соискателем предложена методика расчета таблицы для классификации кристаллов [94, 97, 100, 101, 103], автор диссертации активно участвовал в постановке всех задач и являлся исполнителем их решений [2, 3, 94, 97, 100, 101-103, 105], проводил вывод формул, представленных в работе, давал физическую интерпретацию получающимся эффектам, участвовал в обсуждении результатов, составлял программы для численного анализа, использовал стандартные , пакеты программ для графического представления результатов, проводил подготовку научных текстов для публикации в печати.

Структура и объем работы

Диссертация. состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы. Работа содержит 95 страниц основного текста, включая 13 рисунков, таблицы, список литературы из 120 наименований, а также приложение на 20 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чаплыгин, Михаил Николаевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

- На основе теории представлений точечной группы симметрии кристаллов составлен полный список возможных структурных фазовых переходов без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки:

- показано, что из 115 неединичных представлений точечной кристаллографической группы симметрии 76 представлений содержат в базисе компоненты вектора и симметричного тензора второго ранга; 39 представлений имеют в своем базисе компоненты тензора третьего ранга и псевдотензора второго и третьего ранга, что позволяет отнести соответствующие кристаллы к ферроикам высокого порядка;

- найдены новые возможные типы структурных фазовых переходов в кристаллах, названных гирониками, параметром порядка в которых являются псевдотензоры второго и третьего ранга. Указан физический смысл этого параметра порядка и особенности отклика кристаллов такого типа на внешние силовые поля;

- получена классификация возможных симметрий 180°-доменных границ в сегнетоэлектриках всех кристаллографических классов и фазовых переходов в этих доменных границах;

- указаны условия возникновения фазовых переходов первого и второго рода в доменной границе сегнетоэлектриков. Получены закономерности изменения вектора поляризации в низкосимметричной доменной границе при изменении температуры кристалла;

- найдены условия возникновения фазового перехода в границе домена ферроика, если для кристалла характерно наличие метастабильной нереализованной другой фазы. Указан и исследован механизм захвата параметра порядка на доменной границе, по которому происходит указанный выше фазовый переход; Найдены условия реализации этого процесса на примере термодинамической системы с двумя параметрами порядка. построена модель распространения нелинейных волн в сегнетоэластиках и сегнетоэлектриках, учитывающая наличие электрострикционных напряжений в кристалле, получены формулы для зависимости скорости распространения волны от амплитуды колебаний и длины волны, указаны условия возникновения и характеристики солитонов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чаплыгин, Михаил Николаевич, 2006 год

1. Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А., Крайник Н.Н., Пасынков Р.Е., Шур М.С. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. -Ленинград: Наука. - 1971. - 476 с.

2. Даринский Б.М. / Свойства геометрических моделей профилей волны солитонов в нелинейных процессах в кристаллах / Б.М. Даринский, А.В. Крутов, М.Н. Чаплыгин, С.В. Шершнев // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2006. - № 1. - С. 108-112.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. М. : Наука, 1976.-616 с.

4. Лифшиц Е.М. К теории фазовых переходов в кристаллах. ЖЭТФ, 1941, т. 11, с. 255; т. 11, С. 269.

5. Лифшиц Е.М. Методы теории групп в теории фазовых переходов в кристаллах. ЖЭТФ, 1944, т. 14, с. 353.

6. Любарский Г.Я. Теория групп и физика. М.: Наука, 1986.

7. Дзялошинский И.Е. Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках. ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 992.

8. Дзялошинский И.Е., Манько В.И. Нелинейные эффекты в антиферромагнетиках. Скрытый антиферромагнетизм. ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 1352 .

9. Дзялошинский И.Е. Модулированная магнитная структура одноосных антиферромагнетиков. ЖЭТФ, 1957, т. 32, с. 1547.

10. Инденбом В.Л. К термодинамической теории сегнетоэлектриков. Изв. АН СССР, сер. Физ., 1960, т. 24, с. 1180.

11. Леванюк А.П., Санников Д.Г. Аномалии диэлектрических свойств при фазовых переходах. ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 256.

12. Леванюк А.П., Санников Д.Г. Феноменологическая теория фазовых переходов в молебдате гадолиния. ФТТ, 1970, т. 12, с. 2997.

13. Леванюк А.П., Санников Д.Г., Несобственные сегнетоэлектрики. -УФН, 1974, т. 112, с. 561.

14. Dvorak V. Improper Ferroelectrics. - Ferroelectrics, 1974, v. 7, p. 1. 16 Леванюк А.П., Санников Д.Г. Температурные особенностидиэлектрической проницаемости в молебдате гадолиния. Письма в ЖЭТФ, 1970, т. II, с. 68.

15. Леванюк А.П., Санников Д.Г. Феноменологическая теория диэлектрических аномалий в сегнетэлектриках с несколькими близкими по температуре фазовыми переходами. ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1109.

16. Aizu К. Ferroelastics. J. Phys. Soc. Jap., 1978, v. 44, p. 683.

17. Инденбом В. Л. Термодинамика несобственных фазовых переходов. Кристаллография, 1956, т. 5, С. 115.

18. Желудев И.С., Шувалов Л.А. Термодинамика несобственных фазовых переходов. Кристаллография, 1956, т. I, с. 681.

19. Желудев И.С. Симметрия и ее приложения. - М. : Атомиздат,1976.

20. Birman J. Symmetry of Ferroelectrics. Phys. Rev. Lett., 1966, v. 17, p. 1216.

21. Гуфан Ю.М. К теории фазовых переходов, характеризуемых многокомпонентными параметрами порядка. ФТТ, 1971, т. 13, с. 22 - 25.

22. Гуфан Ю.М. К термодинамической теории резонансных частот в антиферрамагнетиков. ЖЭТФ, 1971, т. 60, С. 1537.

23. Гуфан Ю.М. Термодинамическая теория фазовых переходов. -Ростов: Изд-во Ростовск. ун-та, 1982.

24. Toledano J.C., Toledano P. Phase Transitions in Ferroelastics. Phys. Rev. B, 1980, v. 21, p. 113.

25. Michel L. The symmetry and renormalization group fixed points of quartic Hamiltonian, 1981,240 p.

26. Гинзбург В.Л. Термодинамика сегнетоэлектриков типа смещения. -ФТТ, 1960,т. 2, с. 2031.

27. Леванюк А.П. Температурные особенности. ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 810.

28. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. — М.: Наука, 1984.

29. Cowley R.A. Crystal Physics of Phase Transitions. Adv. in Phys., 1980, v. 29, p. 1-5.

30. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. -М.: Наука, 1975.

31. Инденбом B.JI. Кристаллография, 1960, т. 5, с. 115.

32. Александров К. С., Безносиков В. Б. Перовскитоподобные кристаллы. Новосибирск: Наука, 1996. - 216 с.

33. Aizu К. Domain Structures in Ferroelastics. Phys. Rev., 1970, v. 132, p. 754.

34. Ascher E. Domain Boundaries in ferroelectrics. Helv. Phys. Acta, 1966, v. 39, p. 466.

35. Janovec V. Improper Phase Transitions in Feroelectrics. Czech. J. of Phys. B, 1972, v. 22, p. 974.

36. Жирнов В.А. К теории доменных стенок в сегнетоэлектриках // ЖЭТФ. 1958. - т. 35. - № 5. - С. 1175 - 1180.

37. Булаевский JI.H. Термодинамическая теория доменных стенок в сегнетоэлектриках типа перовскита // ФТТ. 1963. - Т. 5. — В. 11. - С. 3183 -3187.

38. Даринский Б.М., Нечаев В.Н. Электрическое поле в 90-градусных доменных границах сегнетоэлектриков со структурой перовскита // ФТТ. -1979. Т.21. - В. 2. - С. 520 - 523.

39. Ishibashi Y., Dvorak V. Domain walls in improper ferroelectrics // J. Phys. Soc. Jpn. 1976. - V. 41. - № 5. - P. 1650 - 1658.

40. Ishibashi Y. Phenomenological theory of domain walls // Ferroelectrics. 1989. -V. 98. P. 193 - 205.

41. Залесский A.M., Саввинов A.M., Желудев И.С., Иванченко А.И. ЯМР в доменных границах в кристалле DyFe03 // ФТТ. 1973. - Т.15. - С. 93 -98.

42. Богданов А.Н., Галушко В.А., Телепа В.Т., Яблонский Д.А. Спиновая переориентация в 180-градусных доменных границах спин-флопфазы легкоосных ферромагнетиков. // Письма в ЖЭТФ. 1984. - Т. 40. - В. 11.-С. 453-455.

43. Богданов А.Н., Телепа В.Т., Шацкий П.П., Яблонский Д.А. Индуцированные внешним полем фазовые переходы в доменных границах ромбического антиферромагнетика (C2H5N03)2C4C14 // Письма в ЖЭТФ.- 1986. Т. 90. - С. 1738 - 1747.

44. Бульбич А.А., Гуфан Ю.М. О необходимости понижения симметрии доменной стенки вблизи фазовых переходов переупорядочения // ЖЭТФ. 1988. - Т. 94. - В. 6. - С 121-129.

45. Bullbich А.А., Gufan Yu. М. Phase transitions in domain walls // Ferroelectrics. 1989. V.98. - P. 277-290.

46. Sonin E.B., Tagantsev A.K. Structure and phase transition in antiphase boundaries of improper ferroelectrics // Ferroelectrics. 1989. V. 98. -P. 291-295.

47. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко A.T. Современная геометрия и методы ее приложения. М.: Наука. — 1986. - 760 с.

48. Постников М.М. Введение в теорию Морса. М. : Наука. - 1971. -567 с.

49. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука. - 1982. - 304 с.

50. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий М.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз. - 1963. — 248 с.

51. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.И., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высшая школа. - 1980. - 295 с.

52. Милнор Дж. Теория Морса. -М.: Мир. 1965. - 368 с.

53. Альшиц В.И., Сарычев А.В., Шувалов А.Л. // ЖЭТФ. 1985. - Т. 89.-№3.-С. 922.

54. Альшиц В.И., Шувалов А.Л. // Кристаллография. 1984. -г- Т. 29.- № 4. С. 692.

55. Даринский Б.М. Акустические оси сегнетоэластиков // Известия АН. Сер. физ. -1995. № 9. - С. 4 -10.

56. Борисович Ю.Г., Даринский Б.М., Кунаковская О.В. Применение топологических методов для определения числа продольных нормалей упругих волн в кристаллах // Теоретическая и математическая физика. -1993. Т. 94. - № 1. - С. 146 - 152.

57. Бестужева Н.П., Даринский Б.М. Продольные нормали упругих волн в кристаллах // Кристаллография. 1993. - Т. 38. - С. 15 - 25. № 5. -С. 15.

58. Даринский Б.М. Акустические оси в кристаллах // Кристаллография. 1994. - Т. 39. - № 5. - С. 773 - 780.

59. Даринский Б.М. Поляризация упругих волн в анизотропных твердых телах // Кристаллография. 1995. Т. 40. - № 4. - С. 581 - 588.

60. Монастырский М.И. Топология калибровочных полей. М. : ПАИМС.-1995.-478 с.

61. Толедано Ж. К., Толедано П. Теория фазовых переходов. М. : Мир.-1994.- 462 с.

62. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. — М.: Наука.-1981.-256 с.

63. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Ведение в нелинейную акустику. М.: Наука. — 1966. - 520 с.

64. Энгельбрехт Ю.К. Теория одномерных волн в нелинейных диссипативных средах // Механика полимеров. 1976. - № 1. - С. 41 - 48.

65. Руденко О.В., Солуян. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. - 1975. - 288 с.

66. Журавлев В. Ф. Об уходе волнового твердотельного гироскопа при наличии фазового сдвига в информационном канале. Изв. РАН. Мех. тверд, тела № 5,2001, с. 181-186.

67. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М. : Наука.-1975.-416 с.

68. Такер Дж., Ремптон В. Гиперзвук в физике твердого тела. М. : Мир.-1975.-453 с.

69. Руденко О.В. Нелинейные пилообразные волны // УФН. 1995. -38(9).-С. 965-990.

70. Андреев В.Г., Карабутов А.А., Руденко О.В. // Акуст. журн. 1985. -Т.30.-С.31.

71. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М. Теория звуковых пучков. М. : Наука. - 1982. - 264 с.

72. Виноградова Н.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука. 1990. - 245 с.

73. Новиков Б.К., Руденко О.В. Нелинейная гидроакустика. -Ленинград. Судостроение. - 1981. - 324 с.

74. Дмитриев В.Г. Нелинейная оптика и обращение волнового фронта. М.: Физматлит, 2003. - 256 с.

75. Брысев А.П., Ф.В. Бункин, М.Ф. Гамильтон, Л.М. Крутянский,

76. B.Л. К.Б. Кэннигхэм, Преображенский, Ю.В. Пыльнов, А.Д. Стаховский,

77. C. Дж. Янгхаус. Нелинейное распространение квазиплоского ультразвукового пучка с обращенным волновым фронтом // Акуст. журн., 1998, т. 44, №6, с. 738-748.

78. Брысев А.П., Крутянский Л.М. Улучшение качества фокусировки при параметрическом обращении фронта ультразвуковых пучков в элементе с рельефной рабочей поверхностью // Акуст. журн., 2000, 46, № 4.-С. 447-450.

79. Брысев А.П., Бункин Ф.В, Клопотов Р.В., Крутянский Л.М., Преображенский В.Л. Фокусировка нелинейной ультразвуковой волны с обращенным фронтом, прошедшей через фазово-неоднородный слой // Письма в ЖЭТФ, 2001, т.73, В. 8, с. 434 437.

80. Брысев А.П., Бункин Ф.В., Гамильтон М.Ф., Клопотов Р.В., Крутянский Л.М., Ян К. // Параметрическое обращение фронта второй гармоники нелинейного ультразвукового пучка // Акуст. журн. 2003. - Т. 49.-№ 1.С. 18-23.

81. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М. : Мир.-1987.-364 с.

82. Санюк В.И. Многомерные солитоны. Введение в теорию и приложения. М.: Изд-во РУДН. - 2001. - 481 с.

83. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М. : Физматлит. - 2003. - 256 с.

84. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. М.: Мир. - 1985. - 469 с.

85. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. - 1986. - 528с.

86. Буллаф Р., Корди Ф. Солитоны. М.: Мир, 1983. - 408 с.

87. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М.: Наука. 1982. - 620 с.

88. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта. М.: Наука. - 1985. - 247 с.

89. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит. - 2003. - 398 с.

90. Ахиёзер А.И., Баррьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука. - 1967. - 368 с.

91. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука. - 1971. - 1032 с.

92. Каганов М.И., Пустыльник Н.Б., Шалаева Т.И. Магноны, магнитные поляритоны, магнитостатические волны // УФН. — 1997. Т. 167.-№2.-С. 191.

93. Гуляев Ю.В., Дикштейн И.Е., Шавров В.Г. Поверхностные магнитоакустические волны в кристаллах в области ориентационных фазовьк переходов // УФН. 1997. - Т. 167. - № 7. - С. 735.

94. Адамов В.А., Даринский Б.М., Чаплыгин М.Н. Термодинамическое описание ферроиков различной симметрии // Конденсированные среды и межфазные границы. 2003. - Т. 5. - № 3. - С. 297 -302.

95. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М.: Мир, 1977. - 383 с.

96. Ishibashi Y. Phenomenological theory of domain walls // Ferroelectrics. 1989. V. 98. - P. 193 - 205.

97. Даринский Б. M., Чаплыгин М.Н. Модели фазовых переходов в доменных границах сегнетоэлектриков // Системы управления и информационные технологии // 2005. -№ 1. С. 85-87.

98. Современная кристаллография. М.: Наука. - 1979. - 384 с.

99. Даринский Б. М., Дьяченко А. А., Сигов А. С. Геликоидальные фазы в сегнетоэлектрических кристаллах // Конденсированные среды и межфазные границы. 2001. - Т. 3. - № 3. - С. 297 - 300.

100. Даринский Б. М., Дьяченко А. А., Сапронов Ю. И., Чаплыгин М. Н. Фазовые переходы в границах ферроиков // Изв. РАН. Сер. Физ. -2004. т. 68. № 7. С, 920-926).

101. Cyaplygin M.N., Darinskii В.М., D'jachenko A. A. Phase Transitions in Domain Boundaries in External Field. The XXI International Conference on Relaxation Phenomena in Solids. Voronezh, 2004. Abstracts. -P. 238.

102. Chaplygin M.N., Darinskii B.M., and Sidorkin A.S. Non Linear Waves in Ferroelastics // Ferroelectrics. 2004. - 307. - P. 1-6.

103. Даринский Б. M., Сапронов Ю. И., Чаплыгин М. Н. // The XXI International Conference on Relaxation Phenomena in Solids. Voronezh, 2004. -Abstracts.-P. 121.

104. Янке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука. -1964.-344 с.

105. Чаплыгин М.Н. / Модели нелинейных волн в ферроиках / М.Н.Чаплыгин // Высокие технологии в технике, медицине и образовании. Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2005 С. 250 - 259.

106. Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек: Реферативная информация. М.: Изд-во АСВ, 1995. - 273 с.

107. Сапронов Ю.И. Лекции по алгебре и геометрии. Воронеж: Воронеж, госуниверситет, 2000. - 145 с.

108. Редкозубое С.А., Крутов А.В. О связи обобщеннойгармонической пропорции с представлением функций // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. -Воронеж : Воронеж, гос. техн. ун-т, 2003. С. 248-253.

109. Лаврентьев М.А, Лаврентьев М.М. Об одном принципе создания тяговой силы для движения // ПМТФ. 1962. - С. 3 - 9.

110. Gennes P.G. Problems of DNA entry into a sell // Physica. 274, 1990.1. P. 1-7.

111. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. - 126 с.

112. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 496 с.

113. Морозов А.Н. Назолин А.Л. Динамические системы с флуктуирующим временем. М.: МГТУ, 2001. - 200 с.

114. Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. М.: МГТУ.-269 с.

115. Быков С.А. Модели и методы оптимизации в экономике / С.А. Быков. М.: РАО, 1997. - 106 с.

116. Терехов Ю.П. Компьютерное моделирование / Ю.П. Терехов, Е.В. Андропова. Елец: Изд-во ЕГУ, 2004. - 200. с.