Моделирование и оптимизация теплотехнических систем с фазовыми переходами на основе нелинейных интегральных уравнений и модификаций метода сквозного счета тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Арутюнян Роберт Владимирович

• Арутюнян Роберт Владимирович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Арутюнян Роберт Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ И ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ФАЗОВЫМИ

ПЕРЕХОДАМИ

1. 1 Общие понятия теории теплопроводности

1.2 Уравнение и краевые задачи теплопроводности

1.3 Проблема Стефана

1.4 Аналитический литературный обзор

1.4.1 Подходы к решению краевых задач, связанных с уравнением теплопереноса

1.4.2 Задача Стефана - история вопроса

1.4.3 Интегральные уравнения задачи Стефана

1.4.4 Прочие новейшие исследования на тему задачи Стефана

1.4.5 Обзор наиболее распространенных методов решения задачи Стефана

1.4.6 Современные вычислительные методики для решения задач Стефана

1.4.7 Имитация связанных граничных задач в области теплопроводности и электропроводности

1.4.8 Моделирование фильтрации, в том числе при наличии фазовых переходов

Выводы по главе

ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ СТЕФАНА: МЕТОДОЛОГИЯ РЕДУКЦИИ, АНАЛИЗ И ПОДХОД К РЕШЕНИЮ С УЧЕТОМ ФУНКЦИИ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОЧКИ ВРЕМЕНИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

2.1 Введение в задачу Стефана

2.2 Преобразование краевой задачи в интегральное уравнение с уменьшенной размерностью

2.3 Анализ интегрального уравнения

2.4 Методы численного решения нелинейного интегрального уравнения (2.16)

2.4.1 Метод ячеек

2.4.2 Исследование численного метода

2.4.3 Алгоритмы решения систем нелинейных уравнений (2.12) и (2.18)

2.4.4 Вычисление сингулярного слагаемого в суммах (2.12) и (2.18)

2.4.5 Обобщение метода на случай немонотонного движения фронта фазового перехода

2.4.6 Преимущества и ограничения предложенного метода

2.5 Примеры практического применения описанного метода

2.5.1 Задача Коши в Ет

2.5.2 Моделирование оттаивания мерзлых грунтов

2.5.3 Решение задачи методом интегральных уравнений

2.5.4 Оттаивание грунта при помощи поверхностного нагрева

2.5.5 Результаты расчетов

2.5.6 Сравнение численного решения методом интегральных уравнений и точного аналитического решений

2.5.7 Оттаивание грунта при помощи СВЧ нагрева

2.5.8 Расчет ЭМП в грунте при оттаивании

2.5.9 Краевые условия I рода для уравнения теплопроводности

2.5.10 Температурное распределение при нулевой теплоте таяния

2.5.11 Результаты расчетов

2.5.12 Краевые условия II рода

2.5.13 Результаты расчетов

2.6 Двумерная задача

2.6.1 Вычисление сингулярного слагаемого в (2.12), (2.18)

2.6.2 Аналитическое решение задачи Стефана

2.6.3 Результаты вычислений

Выводы по главе

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛО- И ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЛАЗЕРНЫХ

ИМПУЛЬСОВ НА ВЕЩЕСТВО

3.1 Исследование влияния свойств материала на теплофизические процессы при воздействии лазерного импульса

3.1.1 Математическая модель

3.1.2 Метод решения

3.1.3 Конечно-разностный метод

3.1.4 Результаты моделирования

3.2 Компьютерное моделирование и оптимизация оттаивания грунтов при помощи энергии СВЧ

3.2.1 Математическая модель

3.2.2 Конечно-разностный метод

3.2.3 Свойства грунта

3.2.4 Характеристики магнетрона

3.2.5 Результаты моделирования

3.2.6 Оптимизация

3.3 Другие подходы к решению обратной задачи и оптимизации

3.3.1 Численные методы решения

3.3.2 Особенности примененного метода решения к конкретной задаче

3.3.3 Замена переменных

3.3.4 Примеры результатов расчета

3.4 Асимптотические и численные методы моделирования диффузной фильтрации

3.4.1 Решение системы (3.3) - (3.4), (3.6) - (3.7) и его свойства

3.4.2 Исследование асимптотических свойств решения задачи Коши (3.6) -(3.7)

3.4.3 Плотность распределения длин палок типа дельта-функции: частные случаи

3.4.4 Равномерное распределение длин палок на выходе: частные случаи

3.4.5 Конечно-разностная схема для приближенного решения задачи Коши

(3.6) - (3.7)

Выводы к главе

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛО - И ЭЛЕКТРОПЕРЕНОСА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СИЛЬНОТОЧНОГО ИМПУЛЬСА НА ЭЛЕКТРОД

4.1. Математическая модель

4.2. Задача Стефана

4.3 Модель электрического поля

4.4 Конечно-разностный метод решения

4.5 Результаты моделирования

4.6 Результаты для первого варианта краевых условий (4.5а)

4.7 Результаты для второго варианта краевых условий (4.5б)

4.8 Инновационный метод трансформации многомерных линейных краевых задач в эквивалентные граничные интегральные уравнения

4.8.1 Описание метода

4.8.2 Анализ корректности

4.8.3 Методы решения ГИУ

4.8.4 Показательный пример применительно к уравнениям Максвелла

4.8.5 Пример редукции для симметризованной формы системы уравнений переменного ЭМП

4.8.6 Некоторые асимптотики

4.8.7 Связь с формулами Гюйгенса

4.8.8 Компьютерная реализация в системе аналитических вычислений на ЭВМ

4.9 Моделирование теплового и электрического полей в электродах с учетом плавления и теплового пробоя пленок

4.9.1 Математическая модель

4.9.2 Численный метод решения КЗ (4.82)-(4.88)

4.9.3 Исследование корректности конечно-разностного метода

4.9.4 Пример расчета

Выводы по главе

ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА О ВЛИЯНИИ РАДИАЦИИ НА ПОЛУПРОЗРАЧНЫЕ СРЕДЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СКВОЗНОЙ ЭНТАЛЬПИИ

5.1 Математическая модель

5.2 Метод решения

5.3 Конечно-разностный метод

5.4 Результаты моделирования

5.5 Математическое моделирование температурного поля электрического нагревателя для локального легирования полупроводников термомиграцией

5.5.1 Метод моделирования

5.5.2 Результаты моделирования и изменение конструкции нагревателя

5.6 Новый метод сведения многомерной линейной краевой задачи к одному интегральному уравнению с границей

5.6.1 Масштаб проблемы

5.6.2 Описание метода

5.6.3 Анализ корректности

5.6.4 Методы решения ГИУ

5.6.5 Пример для случая системы Максвелла

5.6.6 Пример редукции для симметризованной формы системы уравнений переменного ЭМП

5.6.7 Некоторые асимптотики

5.6.8 Связь с формулами Гюйгенса

5.6.9 Компьютерная реализация в системе аналитических вычислений на ЭВМ

Выводы к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Акты внедрения

Приложение Б. Программа компьютерного моделирования воздействия сильноточного импульса на электрод с учетом нелинейностей характеристик

материала и фазовых переходов

Приложение В. Программный комплекс для расчета оттаивания грунтов посредством различных видов нагрева на основе метода интегральных уравнений

Приложение Г. Разработка компьютерных моделей

277

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и оптимизация теплотехнических систем с фазовыми переходами на основе нелинейных интегральных уравнений и модификаций метода сквозного счета»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Целью диссертации является оптимизация существующих методик и разработка инновационных экономически эффективных подходов, методов и программ моделирования нестационарных температурных полей с учетом одного или нескольких фазовых переходов, лучистого и конвективного теплопереноса, джоулевых источников, нелинейностей теплофи-зических характеристик материал и его неоднородности. Математическое и цифровое представление соответствующих тепловых и электрических процессов, связанных с фазовыми изменениями первого рода, осложняется наличием Стефанов-ской нелинейности. Это требует использования передовых аналитических инструментов и предполагает значительную вычислительную сложность. Особенно это заметно при моделировании систем неограниченного объема и/или в трехмерной нестационарной постановке задачи.

При изучении фазовых переходов сталкиваются с проблемами, связанными с поиском корректного решения обратных задач. Использование тепловых потенциалов на поверхности связано со сложностью решения интегральных уравнений (ИУ) и выбора соответствующего алгоритма.

Такой подход способствует развитию различных областей, в том числе металлургии, где математические модели дают обширные и точные данные о тепловых процессах, сварочном производстве, позволяя оптимизировать процессы формирования сварных соединений, а также термическую обработку материалов, обеспечивая выбор оптимальных режимов обработки различных сплавов. Эти методы также используются при проектировании и эксплуатации зданий, особенно в условиях низких температур, где математические модели помогают прогнозировать поведение строительных конструкций, а также радиоэлектронных систем.

Степень разработанности темы исследования. За пятьдесят лет, начиная с середины ХХ века, в Советском Союзе, а затем и в России, были заложены основы и развиты престижные научные направления, ориентированные на решение сложных задач в области нелинейной и вычислительной теплофизики. Эти

направления стали важной частью научной промышленности страны, которая, в свою очередь, считалась одной из ведущих в мире и играла ключевую роль в экономическом развитии страны.

В этом процессе значимую роль сыграли выдающиеся ученые СССР и России. Среди них следует выделить А.А. Самарского, А.Н. Тихонова, Н.С. Бахвало-ва, А.В. Лыкова, Г.И. Марчука, С.Г. Михлина, И.И. Данилюка, ставшие основателями целых научных школ, занимающихся прикладной и вычислительной математикой. Другие ученые, такие как Л.И. Рубинштейн, А.М. Мейрманов, Б.М. Бу-дак, О.А. Олейник, О.А. Ладыженская, С.Л. Каменомостская, А.И. Вейник, В.И. Мажукин, Н.Л. Гольдман, В.Н. Васильева, А.Ф. Албу, В.И. Зубов, С.П. Городни-чев, С.Н. Харин, Н.И. Сидняев, О.М. Алифанов, Л.А. Коздоба и многие другие также внесли значительный вклад в развитие этих научных направлений.

Стоит также отметить вклад зарубежных ученых, в том числе таких выдающихся исследователей, как Stefan J., Lame G., Clapeiron B.P., Friedman A., Al-basiny E.L., Brillouin M., Weber H. и многих других, чьи исследования и открытия связи также повлияли на развитие мировой науки в этих областях.

Диссертационные исследования выполнялись в рамках отраслевых и региональных программ по энергоэффективности, согласно научному направлению кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Объектом исследования являются теплотехнические системы, функционирование которых зависит от изменяющихся во времени температурных полей при наличии процессов кристаллизации и плавления, а также испарения и конденсации. Кроме того, для них характерны явления лучистого и конвективного тепло-переноса, влияние джоулевых источников, а также нелинейные свойства теплофи-зических параметров материалов и их неоднородность.

Предмет исследования - математические модели и методы анализа и оптимизации поверхностей фазовых переходов первого рода в теплотехнических системах, в том числе в линейных и нелинейных, неоднородных средах.

Цель работы - уменьшение трудоемкости расчета и оптимизации теплотехнических систем, функционирование которых определяется фазовыми переходами I рода, на основе применения новых для теории задачи Стефана классов ИУ уменьшенной размерности, модификаций сквозного счета и методов решения обратной задачи Стефана.

Цель научного исследования была достигнута путем решения ряда конкретных задач:

1. Создание новой единой концепции упрощения многомерной и многофронтовой краевой задачи Стефана до эквивалентного нелинейного интегрального уравнения с использованием функции зависимости от точки времени фазового перехода представляет собой существенный шаг вперед в этой области. Такой подход позволяет уменьшить размерность задачи, упрощая ее решение.

2. Формулировка и доказательство теорем о существовании, единственности и стабильности решений впервые определенных ИУ для задачи Стефана.

3. Разработка и внедрение инновационного подхода к регулированию фазовых переходов в теплотехнических системах, основанного на предложенной концепции управляемого регулирования температурного профиля с учетом физических ограничений.

4. Разработка новых математических моделей, методов конечных разностей и соответствующего компьютерного программного обеспечения, открывающих возможности для более эффективного моделирования таких процессов, как тепловой пробой контактных пленок.

5. Разработка семейства высокоскоростных численных методов определения решений нового класса нелинейных систем управления, связанных с задачей Стефана, нового типа на основе метода ячеек.

6. Формулирование и обоснование теорем, касающихся существования, уникальности и стабильности решений в дискретной форме задачи ИУ Стефана.

7. Использование сформулированного теоретического аппарата для анализа и решения широкого круга практически значимых задач, связанных с фазовыми переходами в тепловых системах, путем различных модификаций интегрального

метода, используемого в задаче Стефана, включая процессы оттаивания грунта в строительной и горнодобывающей отраслях.

8. Разработка математической модели процессов тепло- и электропереноса при воздействии сильноточных импульсов на электроды и электрические соединения, с использованием комплексного подхода на основе «энтальпийного» метода. Особое внимание уделяется изучению нелинейных изменений теплофизиче-ских свойств материалов и их влиянию на фазовые переходы в процессе плавления и испарения, а также на электрические и тепловые процессы. В рамках работы проводится анализ условий воздействия сильноточных импульсов на металлические электроды и электрические соединения, а также исследование воздействия лазерного излучения на полупрозрачные среды, особенно в технических системах, использующих двухслойные кварц-железные структуры.

9. Разработка и реализация нового подхода к моделированию тепловых систем на основе многофазной задачи Стефана при наличии кипения с использованием идеи единого описания фронтов плавления и кипения с помощью условия Стефана.

10. Разработка программного комплекса, обеспечивающего на основе разработанных концепций и методов расчет и улучшение характеристик тепловых систем. Такие системы действуют под влиянием фазовых превращений первого рода с учетом процессов испарения и конденсации, лучистого и конвективного теплопереноса, эффектов джоулевого нагрева, а также нелинейности теплофизи-ческих свойств материалов и их неоднородности.

Научная новизна результатов, полученных в работе, состоит в том, что предлагаются новые эффективные идеи и подходы к моделированию широкого класса теплотехнических систем с фазовыми переходами, а именно:

В области математического моделирования:

1. Предложен и реализован новый эффективный универсальный подход к редукции многомерной и многофронтовой краевой задачи Стефана к эквивалентному нелинейному ИУ уменьшенной размерности в терминах функции зависимости от точки времени фазового перехода.

2. Доказана теорема существования, единственности и устойчивости решения впервые сформулированных ИУ задачи Стефана.

3. Обоснован и реализован эффективный метод оптимизации фазовых переходов в теплотехнических системах на основе корректировки температурного профиля в соответствии с физическими ограничениями.

4. Исследование впервые представило углублённый сравнительный анализ точности различных моделей, использующихся для расчёта электрических и тепловых процессов. Они характеризуются различными методиками учёта сложностей, связанных с нелинейными теплофизическими параметрами и фазовыми переходами, такими как плавление и испарение. Данные методы применяются к анализу нагрева электродов и контактов посредством мощных импульсных токов и лазерной обработки в технических системах, состоящих, в том числе, из полупрозрачных материалов, таких как двухслойная структура кварц-железо.

5. Математическая модель, а также конечно-разностный метод и компьютерные программы были созданы для проведения моделирования на ЭВМ процесса теплового пробоя пленок контакта. Уникальность этой разработки заключается в использовании гипотезы, предложенной Р. Хольмом.

В области численных методов:

1. Предложен и обоснован новый численный метод решения КЗ Стефана на основе дискретной аппроксимации методом ячеек эквивалентного нелинейного ИУ уменьшенной размерности в терминах функции зависимости от точки времени фазового перехода.

2. Доказана теорема существования, единственности и устойчивости численного решения, а также его сходимость к точному решению для сформулированных в работе ИУ задачи Стефана.

3. Сформулирован конечно-разностный вариант метода оптимизации фазовых переходов в теплотехнических системах, отличающийся применением корректировки температурного профиля в соответствии с физическими ограничениями.

В области разработки комплексов программ:

Разработан комплекс программ для моделирования и оптимизации теплотехнических систем, отличающийся от известных аналогов применением метода ИУ задачи Стефана в терминах функции зависимости от точки времени фазового перехода, что позволило уменьшить размерность краевой задачи при решении многомерных задач со стефановской нелинейностью, повысить быстродействие и снизить требования к затратам памяти.

Теоретическая значимость работы проявляется в углублении и детальном сопоставлении методик расчетов и усовершенствования теплотехнических систем, опирающихся на решение нелинейных граничных задач тепло- и электропереноса с учетом стефановской нелинейности при использовании ИУ в терминах функции зависимости от точки времени фазового перехода и сквозного счета. В частности:

- для успешного разрешения многомерной и многофронтовой краевой задачи Стефана, возникающей в процессе оттаивания грунтов, применён новый действенный метод. В основе его функционирования лежит редукция задачи к эквивалентно-нелинейной модели, оперирующей функцией, зависящей от фазы перехода и временных параметров;

- исследование динамики теплофизических процессов выявило существенное воздействие нелинейных характеристик материалов на тепловые и электрические явления. Лазерное облучение металлических электродов и полупрозрачных структур, совместно с применением мощных токовых импульсов, приводит к формированию сложных фазовых трансформаций, включая процессы плавления и парообразования. Комплексный анализ данных преобразований позволил установить закономерности распределения тепловых полей при различных режимах воздействия.

Практическая значимость. Разработаны компьютерные программы, реализующие предложенные и усовершенствованные модели и методы. Созданные математические модели, методы и программное обеспечение используются в задачах, связанных с оттаиванием грунтов, лазерной обработкой и плавлением металлов, а также в теории электрических контактов и электросварки. Разработан-

ный программный комплекс применим в различных прикладных областях. Программы для статистического моделирования активно используются в учебном процессе по таким направлениям, как «Программная инженерия», «Информатика и информатика», а также «Прикладная математика» в Южно-Российском государственном политехническом университете имени М. И. Платова. Подобные программы являются ключевым инструментом в образовательной деятельности, например, на кафедрах математического анализа МТУСИ и «Вычислительной математики и математической физики» МГТУ им. Н. Э. Баумана. Они используются при подготовке курсовых и выпускных квалификационных работ для студентов в области математического моделирования тепло-, массо- и электропереноса, а также в таких курсах, как «Численные методы решения уравнений математической физики» и «Методы приближенных вычислений». Результаты работы внедрены на ООО МЕТА-АТОМ (г. Ставрополь), ООО РФИ (г. Ереван), ООО «Промдревком» (г. Кострома), НПИ (Новочеркаск, Ростовская область).

Методы исследования включают области математического и компьютерного моделирования, вычислительных методов, математической физики и теплотехники.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Новый подход к расчету и оптимизации теплотехнических систем с фазовыми переходами на основе решения многомерной и многофронтовой краевой задачи Стефана с использованием редукции к эквивалентному нелинейному ИУ уменьшенной размерности по функции зависимости от точки времени фазового перехода.

2. Разработаны и теоретически обоснованы высокопроизводительные алгоритмы и семейства численных методов для решения для эффективного решения предложенных нелинейных ИУ, минимизированных по количеству измерений, с применением квадратурного метода.

3. Разработаны методики решения задач, имеющих практическое значение в области строительства и горной промышленности, связанных с процессами оттаивания грунтов. Эти методики основаны на применении магнетронов и других

высокоэффективных способов нагревания, а также используют ИУ, применяемые для решения задач по модели Стефана, ориентированных на фазовые переходы в течение определенного времени.

4. Исследован подход к совершенствованию систем теплотехники, учитывающий фазовые изменения и предлагающий концепцию искусственной корректировки температурных параметров, принимая во внимание физические ограничения.

5. В результате научного анализа было изучено, как разнообразные нелинейные теплофизические свойства и фазовые изменения, такие как переходы от твердого к жидкому состоянию и затем к газообразному, воздействуют на электрические и теплофизические процессы, проявляющиеся при нагревании металлических электродов и контактов. Исследования предусматривали использование высокоинтенсивных импульсов тока и методов лазерного термического воздействия в системах, в состав которых входили элементы из нескольких слоев, например, такие как кварце-железные структуры.

6. В рамках научного исследования использована математическая модель фриттинга. Благодаря методам конечных разностей и специализированным компьютерным программам, стало возможным успешно симулировать на цифровой платформе процесс теплового разрушения контактных пленок.

7. Создан комплекс программ, реализующий на основе разработанных моделей и методов расчет и оптимизацию теплотехнических систем при наличии процессов плавления, кристаллизации, испарения и конденсации, лучистого и конвективного теплообмена, джоулевых источников, нелинейностей теплофизи-ческих характеристик материала и его неоднородностей с высоким быстродействием и минимальными требованиями к объему памяти.

8. Разработан комплекс программ, который на основе созданных моделей и методов позволяет проводить расчет и оптимизацию теплотехнических систем, включающих процессы плавления, кристаллизации, испарения и конденсации, а также лучистый и конвективный теплообмен, джоулевы источники тепла, нели-

нейные теплофизические свойства материалов и их неоднородности, обеспечивая высокую скорость вычислений и минимальные требования к объему памяти.

Достоверность результатов, сформулированных в диссертации положений, обеспечивается:

- корректностью принимавшихся в расчетах допущений;

- применение основополагающих принципов теплотехники, электротехники, а также проверенных временем математических моделей и методик;

- согласование теоретических выводов и итогов расчетов с практическими наблюдениями и экспериментальными измерениями, проведенными другими авторами;

- верификация разработанных методологий на основе контрольных примеров, а также сопоставление модельных расчетов с существующими теоретическими и экспериментальными данными.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа удовлетворяет требованиям научной специализации в технической сфере, соответствуя коду специальности 1.2.2, который охватывает области, такие как математическое моделирование, численные методы и разработка программных комплексов:

- В соответствии с формулой паспорта специальности в данной работе используются математическое моделирование, численные методы и программные комплексы для решения задач научного и прикладного характера. В рамках диссертации проведена разработка новых и совершенствования известных подходов и программ для решения задач теплообмена с нелинейными характеристиками по Стефану, а также их использование для решения актуальных задач в различных секторах технического применения.

- Областям исследования паспорта специальности, в частности:

п. 1 - «Создание передовых математических подходов к моделированию явлений и объектов» находит свое выражение в разработке и использовании производительных методик для моделирования теплотехнических систем, в которых происходят фазовые переходы, с использованием ИУ задач Стефана с уменьшен-

ной размерностью относительно функции, зависящей от временных параметров процесса фазового перехода.

п. 2 - «Создание и внедрение инновационных вычислительных подходов, обоснованных и протестированных посредством современных компьютерных технологий», направлено на эффективное решение задач, связанных с оттаиванием почв в строительстве и горнодобыче.Методика состоит в преобразовании сложной многомерной краевой задачи Стефана с множеством фазовых интерфейсов в нелинейное интегральное уравнение, подходящее для анализа временных интервалов фазовых переходов. Кроме того, этот подход включает в себя компьютерное моделирование процессов теплопроводности и электропроводности в условиях воздействия сильных импульсов тока на электродах и лазерного нагрева полупрозрачных гетерогенных сред, используя универсальный метод на основе «энтальпийного» подхода. Изучение воздействия нелинейных теплофизических свойств и фазовых изменений, таких как плавление и испарение, дает возможность понять влияние на электрические и тепловые процессы.

п. 3 - «Разработанные численные методы находят свое применение в специализированных прикладных программах», которые используются для выполнения вычислительных экспериментов через внедрение действенных алгоритмов и методов.

п. 7 - «Качественные или аналитические методы исследования математических моделей» отражаются в содержаниях и методиках доказательств теорем о существовании, единственности и устойчивости решений сформулированных ИУ задачи Стефана. Также включено исследование численных решений для дискретных аналогов этих ИУ.

п. 8 - «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента» соответствует математическая модель фриттинга. В этой области применяется конечно-разностный метод и созданы программные комплексы, позволяющие моделировать процессы тепловых пробоев в контактных пленках с высокой степенью эффективности и точности.

Апробация результатов работы. На разнообразных конференциях и симпозиумах, охватывающих широкий диапазон научных мероприятий, ключевые аспекты и выводы проведённых исследований подвергались детальному анализу, всестороннему обсуждению и аргументированной защите:

- 12-я Международная научно-техническая конференция по актуальным вопросам электронного оборудования (АПЭП-2016), 22-23 сентября 2016 г., г. Саратов.

- XXVII Крымская осенняя математическая школа, 17-29 сентября 2016 г., Крым, пос. Батилиман.

- Саратовская математическая школа, СГУ, 2016 г.

- X Международная научно-техническая конференция по технологиям информационного общества.

- Ежегодные научные конференции профессорско-преподавательского состава МТУСИ 2012-2016 гг.

- Доклады по теме диссертации на заседаниях кафедр прикладной математики ЮРГПУ (НПИ), «Математический анализ» МТУСИ, и «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

- Международная конференция «Современные методы теории краевых задач». Воронежская весенняя школа математики. Понтрягинские чтения - XXX, г. Воронеж, 3-9 мая 2019 г.

Публикации. В рамках работы над диссертацией было выпущено 44 печатных издания, общий объем которых составил 4,58 печатных листа, с личным вкладом автора в размере 3,52 п.л. Это включает в себя 44 научные статьи, опубликованные в журналах, аккредитованных ВАК, 2 сертификата на программное обеспечение и еще 8 работ, размещенных в изданиях, входящих в базу данных SCOPUS.

Личный вклад соискателя. Достигнутые в ходе исследования результаты, перечисленные в диссертации, являются самостоятельной работой автора. В статьях, написанных совместно с другими научными сотрудниками, он внёс значительный вклад в развитие компьютерных экспериментов и создал методическую

основу для использования математических симуляций и вычислительных алгоритмов в построении и применении математической модели. Убедительность предложенной методологии была доказана её успешным применением.

Структура и объем работы. Данная диссертация включает в себя введение, пять основных глав, заключительный раздел, а также библиографический список, содержащий 206 источников. В общем, объем диссертации достигает 338 страниц. В работе присутствуют 25 иллюстраций и 10 таблиц.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ И ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ФАЗОВЫМИ

ПЕРЕХОДАМИ

1.1 Общие понятия теории теплопроводности

Теплопередача — это передача тепловой энергии между физическими объектами различной температуры. Этот процесс может происходить непосредственно, при физическом контакте, или через промежуточную среду или барьер из определенного материала. В ситуации, когда объекты системы обладают разными температурами, начинается процесс теплообмена от более нагретого объекта к менее нагретому, который продолжается до установления термодинамического баланса. Естественное направление теплообмена, от более горячего к более холодному объекту, является прямым следствием второго начала термодинамики [53, 69].

Теплопроводность - это физическое явление, при котором тепловая энергия передается от частей объекта или вещества с более высокой температурой к частям с более низкой температурой из-за случайного движения и взаимодействия микроскопических частиц, таких как атомы, молекулы и электроны. Этот процесс имеет место в любом объекте, где распределение температуры неравномерно. Механизм передачи тепловой энергии будет меняться в зависимости от агрегатного состояния вещества. Основной характеристикой этого процесса является теплопроводность, выражающая количество тепла, передаваемое через единицу площади за определенное время при данной разнице температур [138].

Коэффициент теплопроводности — это числовая величина, которая указывает на степень, в которой материал способствует передаче тепловой энергии. Этот параметр изменяется количеством тепла, передаваемого через определенную область материала за определенный период времени с градиентом температуры в 1 кельвин. В Международной системе единиц (СИ) теплопроводность выражается в ваттах на метр на кельвин (Вт/(мК)).

В условиях стационарного теплообмена тепловой поток, передаваемый за счет теплопроводности, прямо пропорционален градиенту температуры. Направление теплового потока противоположно вектору градиента температуры, то есть тепло передается в направлении, уменьшающем температуру. Это явление иллюстрируется законом Фурье о теплопроводности [138].

1.2 Уравнение и краевые задачи теплопроводности

Уравнение теплопередачи, будучи уравнением в частных производных второго порядка, играет ключевую роль в математических моделях, используемых в теплофизике. Оно детализирует, как распределяются температуры в пространственных областях и как они изменяются с течением времени. [149].

В многомерном пространстве любой системы координат уравнение нелинейного процесса теплопередачи можно описать следующим образом: дН

— = Шу (Л(Т, Л )УТ) + / (Т, х, г), X е V; г > 0. (1.1)

где Н — энтальпия, Т — температура, а Х(Т, х)— переменный коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры и положения. Функция / представляет интенсивность внутреннего источника тепла на единицу объема, а переменные х = (х1, х2, х3) являются пространственными координатами объема V, ограниченного поверхностью Б, имеющей кусочно-гладкий состав. Эти параметры предполагаются одинаковыми в каждой фазе, но могут различаться на границах раздела соседних фаз.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Арутюнян Роберт Владимирович, 2025 год

/ / / /

Тр. « Т(г., 0., tp), ^ ~ ^ (^), Р - номер временного слоя, тр - шаг по времени,

АЛ. - разностная аппроксимация лапласиана в сферической системе координат,

й у

коэффициенты £ , с , ^ , г в (4.91) вычисляются по правилам МКЭ.

ч ч ч ч

Преобразуем систему (4.90) к виду, удобному для итераций:

лР + 1

<2 R

0Р + 1 Гг + 1 Р + 1 Р 1 + / 1

;1=в и,/ я + ,аг/ +—-г 1п

Й +1 1, +1

R

+К+1( А Л-1, /+

Р

+В ЛР+1 + С ЛР+1 + В ЛР+1 )т + Р [£Р+1]т },

/ г +1, ] / г, ] - 1 / г, ] + V Р +1 г, Р +1 '

(4.94)

г = 2, т-1; / = 2, п-1; Р > 0, ( г - П2 + (/ - 2)2 * 0;

где

п

Г

г я

+1 = Я"2 )(А + В + С + £ )т , Т]р+1 = 1+-

i, ] р +1 ц у у у р +1 г, ]

\ г +1

g(£,h, - функция, обратная к ^ = ^А[Г(£■)] + ^.

4.9.3 Исследование корректности конечно-разностного метода

Методика доказательства корректности схемы основана на доказательстве

свойства, согласно которому чтобы оператор Б [0 ] и функционалы

я и

Я [0 ], и[0 ], I[0 ] принадлежат классу Липшица, при чем Яр+[<2и] должен

р +1 и и и +

иметь постоянную Липшица, меньшую единицы. Исследуем свойства оператора Fh [^ ].

Обозначим через {у } систему базисных функций для схемы (4.91), т.е. по

и

определению МКЭ:

Ф = у ф ш

—к г, ] е V

—я

V

| div(ygradФи )у. йV=0, i, j е —,

V с

где

7 = {(г, 0.}, г, ] > 1}, си = {(г, 0:), г=ТГ/о}.

С учетом краевых условий для Фи имеем:

—и

V

\YgradФhйУ=0,1,уе—.

V с

Проварьируем данное равенство по 0 :

и

—и

V

| SygradФи ^айу. йУ+1 ygradбФи ^айу ^ йУ=0, ¡, У е^

V V С

откуда, учитывая, что дФ^

h =0, получаем:

J дYgradФh gradSФh dV + J YgradдФh gradSФh dV = 0,

v v

следовательно

И1 hi <Y- д

11дФ,1 ^ <и

Yn

llsi

Yn

Фи

H1

dQ

где

S - пространство равномерно ограниченных функций,

S1 - пространство непрерывных функций с равномерно ограниченной производной первого порядка.

Соответствующие пространствам S и S1 нормы имеют вид:

f , = sup f , /||si = sup f + sup gradf

V

V V

Таким образом,

К||Я1 <C1 \Ы, 0 <Q <«.

Определим оператор Fh по правилу:

г2

F = ^v

i,j Л d2

2

J YWij gradФ dV

\WjdV

V

Заметим, что ^ijdV ~ к2, к ^ 0.

V

Очевидно, что данное определение удовлетворяет необходимым требованиям аппроксимации.

Проведем оценку нормы вариации каждого из сомножителей в формуле для

К.

2 1

gradФи —

2 Л Уу ёгайФи gradSФи йУ

V

<

<2|14 ФиН1 бФи„1 < С2 био , 0 < С2 <

Я

б\ЛуФ®!

дV

дп

б] } Ф ФЖ!

. дV

дп

б 11 уй(у(уФи gradФи )йУ

б] gradФи |2 йУ

V

би1 < и

II По

< С2 б£)и , ||б/|1 < |б[/|1 , 2 о 'II Ю ] II Но'

РАО бя

I

-+

Я0

- +

б

\уФ0у (г ,П)йг

\уФ0 (г,^

< б1

пЯ0

}гФ0 (г,П)йг

-1

> +

Ш К| О

Я0ш1п

+С2

X

2г

х<

]>|gradФh\ йУ\ <

2 ^ 1И1о|бЯ)|

2

Угшп Фи н1

+ -

при достаточно малых г, а именно У г < г*

]Я 2

я0(0) '

^гтп ||Фи ||:

\\SU\S < С 3||б0и|О + С4 |бЯ0 0<С4

Заметим, что и. > 0 т.к. Я0(0) > 0, уш[п > 0, Фи ^ > 4^(0), где учтено, что согласно принципу максимума

Л gradфи |2 йУ > 4R0(t).

V

Оценим согласно (4.93) норму бЯ0 на р+1 слое, учитывая, что

бЯ

р+1

<

Яр+1 О | С5 б0и

+

г0,2

4, Т,,2 = тпл ^р+1 = 0(т),

где предполагалось, что рассматриваются слои р=0, 1, ..., р0, на которых

и

+1

Си - Q(тnл+О)

К

> С > 0.

+1

Сделаем несколько замечаний по поводу данного допущения. Можно показать, что при условиях рассматриваемой задачи это требование всегда выполняется, поскольку поверхность фазового перехода лежит внутри цилиндра г < г = 1, а

точки (г +1,02) находятся в области г > 1.

Тем не менее, чтобы не снижать уровня строгости рассуждений, предложим следующий искусственный прием.

Предположим, что на р0 слое QP+12 - Qр2 = 0 и ЯР+1 > Яр, тогда осуществим

в схеме (4.90)-(4.93) замену

Qр - Qр+1 Qр+1 - Qр +1

Иг0 +1,2 Иг0,2 Иг0 +2,2 Иг0,2

- на

к

0 +1

к.

+2

Если и в этом случае отношение равно нулю, то используем выражение

Qр - Qр+1

Иг0 +3,2 Иг0,2

К,

+3

и т.д.

Используя выше полученные оценки для нормы вариации компонент К у находим, что

ЯК

р+1

<

(С7 ||Я/|1 + С8 ЗЯР+1 е + С9 SQh )

18 8 Р+1 8-9 ,0< с + с + с

к2

<ад,

откуда следует оценка ||Я^Р+1

1К+1

<

Сю SQI

'К

8 Г

8 1 - С ^ к2 1 41 к2

~ ,0<

Сю| + |Сп|

< ад.

Таким образом, функционал Яр+1 имеет постоянную Липшица, не превышающую величины

8

С

т

10 и2

1 - С

т

11 и2

где

С10 и С11 - некоторые константы, не зависящие от т и Я. При достаточно

т

малом отношении —: ]0 < 1 , т.е. оператор (4.93) является оператором сжатия.

Я

Для полного доказательства корректности схемы остается оценить норму вариации 8Би.

Согласно вышеизложенному, У г, , е Vи

<

(С12 ||бЯр+Цо + С13 И0и|о )

V

,0 <

С12 + С

"13

< да

или, учитывая выражение для постоянной Липшица функционала Яр+1

г л

<

С10С12 + С

1-С

1 41 и2

т и

13

ш

< С

б

14 Лш^у'

V V

0 и

Данная оценка показывает, что вариация бБи может быть равномерно ограниченной только в пространстве 11:

\\бЧ = У Н,|ЛШчМ < С14 бОи

1 г. jеУи'

V

В норме пространства О справедлива оценка:

С

о <

Я ( т ^ Заметим также, что, согласно (4.93) 1п р+1 = О

Я

р

и2

уП у

В итоге, осуществив технические выкладки, находим оценку параметра сжатия сеточного оператора (4.94) в виде

т

] < сотг-

и

3 •

Таким образом, при условии т = О(И3) для решения системы (4.91)-(4.93) применимы методы простой итерации и Зейделя.

Очевидно, что результаты анализа вычислительной схемы (4.90)-(4.92) распространяются без изменений на случай произвольной области V с кусочно-гладкой границей.

4.9.4 Пример расчета

На рисунках 4.11 и 4.12 представлены результаты расчетов температурных профилей для серебряных контактов при коммутируемом токе от 1 до 10 А.

Объем расплава имеет торообразную форму с эллиптическим сечением. На характер процесса влияет величина индуктивности цепи. Приведенные результаты относятся к активным цепям (то есть Ь = 0).

Рисунок 4.11 - Движение температурных профилей в радиальном направлении в плоскости контактной поверхности (1 - ¿=10 мкс,

2 - ¿=20 мкс, 3 - ¿=30 мкс)

Рисунок 4.12 - Динамика температурных профилей вдоль оси

(1 - ¿=10 мкс, 2 - ¿=20 мкс, 3 - ¿=30 мкс)

Графики, описывающие характер электрического поля в электроде, представлены на рисунках 4.13 и 4.14 (с шагом по времени 2,5 • 10-4с).

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 r,z,MM

Рисунок 4.13 - Зависимости потенциала на 2-м и 2000-м шаге (1 - г =

fixed, 2 - z = fixed)

Рисунок 4.14 - Плотность тока на 2 и 2000-м шаге (1 - г = fixed, 2 - z =

fixed)

Плотность тока на рассматриваемом интервале времени изменяется на порядок. Наибольшие значения плотности тока и температуры достигаются на краях проводящей ток площадки. Это согласуется с известным фактом теории контактов, что сваривание контактов часто происходит по краям контактного пятна.

Выводы по главе 4

В этой главе подробно анализируются разработка математической модели, конечно-разностного метода и программного обеспечения для компьютера с целью точного воспроизведения тепловых и электрических эффектов от сильного электрического импульса на металлические электроды.

Исследование акцентируется на анализе месторождений с внедрением методики полной энтальпии, завершающейся этапом проектирования. Железо является демонстрацией, выступая важным компонентом в металлургической отрасли, особенно в производстве стали.

В результате анализа обнаружено, что вариации нелинейных теплофизиче-ских свойств наряду с фазовыми переходами оказывают серьёзное воздействие на процессы плавления и испарения. Исследование показало: температурные параметры сильно зависят от среднего коэффициента вариации, а также от природы среднего и фазовых изменений. Стоит отметить, что при охлаждении потери, связанные с излучением и конвекцией, играют второстепенную роль.

Полученные данные могут быть применены в разработке электрооборудования и машин, а также в других сферах электротехники.

В данной научной работе предлагается инновационная техника, позволяющая трансформировать сложные задачи многомерного характера с линейной краевой структурой в эквивалентное уравнение интегрального типа с граничными условиями. Данный подход показывает наибольшую эффективность в контексте многомерных систем, облегчая автоматизацию процессов редукции с помощью компьютерных инструментов для аналитического расчета. Этот метод является особенно применимым при решении уравнений Максвелла и схожих задач, в частности, когда наблюдается изменение коэффициентов материального уравнения как в пространственном, так и во временном аспектах.

Метод, использованный в статье, расширяет традиционный интегральный подход к решению систем дифференциальных уравнений. Это включает уравнения Максвелла, аналогичные уравнениям Гюйгенса, и проблему упругости Соми-лиана.

Описанная процедура состоит из нескольких этапов. На первом этапе осуществляется поиск сингулярных решений с использованием стандартных методов интегрального преобразования, легко реализуемых в компьютерном геометрическом проектировании.

В случае многочисленных граничных сценариев возникают проблемы с количеством неизвестных и уравнений. На последующих этапах вводится новая система основных неизвестных. В зависимости от специфики граничных условий исходная система может быть преобразована в систему уравнений первого и второго порядков, ограниченную границей.

Описанная процедура предоставляет значительные преимущества при решении новых, малоизученных проблем в различных измерениях, особенно эффективна при работе с нестандартными границами. Реализация предложенного интегрального представления возможна даже когда дифференциалы уравнений системы задаются как функции пространства произвольной формы. Главной задачей является определение матричной функции основного решения

На третьем этапе осуществляется оценка точности системы интегральных уравнений в контексте границ с применением символического анализа. Важной частью является тщательный разбор граничных условий, где ключевым является определение ранга векторных пространств и основ линейного пространства, сформированного строками матрицы дифференциального оператора. Особенной результативностью отличается рассмотрение граничных условий через исследование минорных матриц, применительно к системам, обладающим постоянными коэффициентами.

В завершении процесса разработка связана с созданием системы линейных уравнений, нацеленной на численное решение граничных интегральных уравнений. Эти уравнения подлежат трансформации в форму, пригодную для решения с использованием метода Гаусса либо иного подходящего численного метода.

Созданы математическая модель, программы для ЭВМ и конечно-разностный метод, которые позволят осуществлять компьютерное моделирование теплового пробоя в контактных пленках с использованием гипотезы Р.Хольма.

ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА О ВЛИЯНИИ РАДИАЦИИ НА ПОЛУПРОЗРАЧНЫЕ СРЕДЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СКВОЗНОЙ

ЭНТАЛЬПИИ

Когерентная лазерная технология получила широкое распространение в технологических процессах современности, охватывая спектр задач от создания инновационных материалов до таких процессов, как лазерная резка и сварка [3033, 132,185,186]. В обширных научных работах представлены основные аспекты тепловых взаимодействий лазерного излучения с конденсированными средами, а также последние достижения в развитии методов лазерной обработки материалов

[33].

Одним из наиболее значимых исследований является работа [33], в которой выполнен теоретический анализ воздействия лазерного излучения на твердые материалы, что позволило предложить новые методы лазерной обработки для получения уникальных по своим свойствам материалов. В работе предложена комплексная трехмерная модель тепловых процессов, возникающих при лазерной сварке металлов и их сплавов, основана на расширенном уравнении теплопроводности, включающем конвекционные элементы. Это позволяет детально моделировать механизмы теплового переноса в металлических образцах, дополнительно учитываются эффекты, связанные с образованием парогазовых каналов под воздействием лазеров.

Для анализа трехмерного теплового уравнения используется консервативный метод распределений в сочетании с методом наименьших квадратов на специальной адаптивной сетке, обеспечивающей высокую точность расчетов вблизи парогазовых полостей. Сравнение с экспериментом показывает эффективность модели для описания реальных процессов при лазерной сварка, предложена математическая модель для исследования теплового воздействия наносекундных лазерных импульсов на композитные пленочные системы. Основное внимание уделено влиянию фазовых переходов в многослойной структуре на формирование температурного поля и удаление легирующих элементов в зоне облучения [185].

Продемонстрированы результаты моделирования лазерного нагрева системы пленок золота и никеля в вакууме и под прозрачным диэлектрическим покрытием.

В исследовании [30] уделяется внимание изучению температурного распределения в материалах с различными коэффициентами поглощения, подвергающихся лазерному воздействию. Обнаружено, что важные аспекты, такие как нелинейные свойства теплофизики и охлаждение поверхности, не были учтены. Настоящая работа намеревается расширить эти исследования, включив в анализ нелинейные теплофизические характеристики материалов и учёт фазовых превращений, к примеру, плавление и испарение, а также оценку тепловых потерь через конвекцию и излучение. Отдельный акцент делается на полупрозрачные среды, где эффекты охлаждения особенно значимы.

5.1 Математическая модель

Предполагается, что поглощение лазерного излучения в материалах происходит по закону Бугера-Ламберта:

I ( X ) = /0 ^, (5.1)

где 1(х) - интенсивность излучения, х - координата рассматриваемой точки тела (расстояние от его поверхности), /0 - граничная интенсивность лазерного излучения, Ь - характерная длина поглощения излучения веществом.

При относительно малой длительности импульсов, согласно данным работы [132], можно моделировать теплофизические процессы, происходящие в веществе, на основе одномерной модели теплопроводности.

При математическом моделировании рассматриваются три этапа теплового процесса:

1. Нагрев материала до температуры плавления (твердая фаза).

2. Нагрев расплава и дальнейшее проплавление твердой части материала (жидкая фаза).

3. Нагрев расплава, проплавление твердой части и начало интенсивного испарения и кипения материала (фаза испарения и кипения).

Мы рассматриваем двухслойную систему, состоящую из полупрозрачного слоя, нанесенного на слой металла. Соответствующим примером является система пленка-подложка, используемая при лазерном легировании [48].

Лазерное излучение

Поверхность полупрозрачного слоя и > и

кип

2-я межфазная граница

и > и„„

т

1 -я межфазная граница Поверхность подложки

Рисунок 5.1 - Схема процессов при лазерном нагреве двухслойной среды

г*

На первом этапе температура тела на поверхности изменяется от исходных значений около 300 К до температуры плавления (около 1500 К) и появления межфазной границы (фронта плавления). На этом первом этапе решается обычное

уравнение теплопроводности для двухслойной среды:

д_ д t

аЛ 1 1 1 ' ах

(а(2)42Ч2) ) =

4

(1) Эщ(1)

дх

+ q1(1)(x,Г), t > 0, 0 < X < 1Х,

_а_

ах

4

(2)

ди(2) дх

С начальным условием:

щ'' (х) = и0, / = 1,2; при t = 0, 0 < х < Ц + Ь2,

И граничными условиями:

4

(1)

аи1(1)

= а

(и1(1))4 - и4 ] + ^и1(1) - и0) + дЦЦ (и1(1)), х = 0,

(5.2)

+ д1(2)(х,I), t > 0, ¿1< х < ¿2, (5.3)

(5.4)

(5.5)

дх

42 = а [ 1 и 12) )4 - и04 ] + к<2)(и 1(2) - и0) + дЦ2) (и 1(2)), х = А + А (5.6)

где индекс внизу относится к номеру фазы (1 - твердая, 2 - жидкая), а индекс вверху - к номеру слоя (1 - полупрозрачный слой, 2 - металл); прочие обозначения (индексы для краткости опущены): с — удельная теплоемкость, р - плотность, X - теплопроводность, и - температура материала; * - время, х - координата (абсцисса) точки, о - постоянная Стефана-Больцмана, к - коэффициент конвективного теплообмена, д - удельная мощность лазерного нагрева.

Считается, что отражения от верхнего слоя нет, а г-я часть излучения отражается от подложки. Соответствующие плотности тепловыделения для верхнего слоя составляют:

'' (5.7)

д «(х,* ) = А (е^ * +

ге

] = 1,2; А = Ж0 Ь«/(50 гР), где г - коэффициент отражения излучения, Ж0 - энергия, а - время импульса, 5 - площадь основания луча; соответственно для нижнего слоя (подложки):

д?(х,г) = А, (1 -гу^'-^ = 1,2; (5.8)

На 2-м и 3-м этапах решается система уравнений теплопроводности с учетом плавления и испарения (то есть многофазная задача Стефана) вида:

-(А(1) с(1) ц(1) ) = — дЛ 1 1 1 ' д*

д дх

' (1) ди1(1)

-^(Г 41} и ? )=—

дЛ 2 ' д-г

д

дх

^2

(1)

дх ди(1)

дх

+ ^(х, О, * > 0, 0 < х < х(1 (*),

+ д?(х,0, * > 0, х™(*)<х <Ь^

(5.9)

(5.10)

Для области подложки при отсутствии плавления справедливо уравнение

(5.3), а при наличии плавления имеет место система: д ,(2)Л

% (г№42) )=-дх

д дх

ди (2) дх

+ д22)(х,0, * > 0, 0 < х < хП2 (*), (5.11)

дЛ 1 1 1 ' дх

д дх

ди(2) дх

+ 41(2)( х, I),

* > 0, хП2) (*)< х < Ь1 + ь

У '2,

(5.12)

Начальные условия и2 = ипл, и1 = и0, внешние граничные условия двухслойной системы:

дЩ;_ = а [ (щО) - и 4 ] + ¿и, (щ О) - и о) + (и™), X = (5.13)

^ 1ьГ = ^ и(2))4 _ и о4 ] + к1(2)( и!2) _ ио) + я™, ( и<2)), X = Ц + ¿2. (5.14)

Условиями Стефана:

Л(о _ М^ = Г ^ ^^, и« = и2г) = и«, X = х«(0,' = 1,2; (5.15) дх ох ш

И условиями сопряжения на границах слоев (индексы I и у соответствуют фазам, происходящим в рассматриваемый момент времени):

Эи?) „(2) ди(,2) дх

где априорно неизвестные функции х = хпл(1), I = 1, 2 определяют положение границы плавления и находятся в процессе решения системы дифференциальных уравнений; гпл - скрытая теплота плавления; яисп - удельные потери на испарение с поверхности материала: яисп = р2гисп, где гисп - скрытая теплота испарения, уисп -скорость фронта испарения в вакуум, определялась уравнением Герца-Кнудсена:

Лг(1) ^ , и(1) _ и(2) х _ г (5.16)

у дх иг _ иу , х _ ¿1,

М рн ( и8) _ .--^ , (5.17)

исп

у 2пЯи8 р2

где рн — давление насыщенного пара, соответствующее температуре поверхности щ = и(0, 1), М — молярная масса, Я — газовая постоянная. Давление насыщенного пара получается из уравнения Клаузиуса-Клапейрона, которое интегрируется в

предположении, что теплота испарения яисп не зависит от температуры:

Рн (us)_ Ро ехР

Г Мгисп _ Мгисп Л V Яикип Яи* У

(5.18)

где р0 — давление газа среды, окружающей объект, а икип — температура кипения под давлениемр0. Толщина слоя испарения хисп(0 определяется интегрированием:

t

(t)_ ¡Уисп dt. (5.19)