Численно-аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Примкулов Алим Махмудович

• Примкулов Алим Махмудович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Примкулов Алим Махмудович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРЕДПОСЫЛКИ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

1.1. Текущее состояние проблематики

1.2. Рассматриваемые физические процессы в ограждающих конструкциях

1.3. Численные и аналитические методы решения уравнений тепло-массопереноса

1.4. Обзор методов решения обратных задач

1.5. Выводы

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. КРИТЕРИИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

2.1. Математическая модель процесса тепло-массопереноса

2.2. Численно-аналитическое решение задач по предложенной модели

2.3. Решение обратной задачи теплопроводности

2.4. Выводы

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС

3.1. Алгоритм вычислений

3.2. Оптимизация вычислительного процесса

3.3. Выводы

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

4.1. Апробация предложенной методики в одномерном пространстве

4.2. Двумерная задача

4.3. Решенные примеры обратных задач

4.3. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1. Вывод расчетных формул для вычисления температуры в любой точке одномерного пространства методом конечных элементов

Приложение 2. Вывод расчетных формул для вычисления температуры в любой

точке двумерного пространства методом конечных элементов

Приложение 3. Вывод формул для четырехугольного элемента произвольной формы

Приложение 4. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Приложение 5. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений

Приложение 6. Дополнительная элементная матрица для учета переменных в пространстве коэффициентов теплопроводности

Приложение 7. Вариационный метод для решения одномерной задачи

Приложение 8. Допущения и предположения при постановке задачи тепло-массопереноса

Приложение 9. Символы и обозначения

Приложение 10. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов»

ВВЕДЕНИЕ

Существенные достижения в вычислительной математике и значительный рывок в вычислительной мощности компьютерной техники, произошедшие в последние несколько десятилетий, позволили пересмотреть ранее трудоемкие и затратные расчетные методики и начать использовать их для решения различных прикладных задач. Сложные параллельно-протекающие и взаимосвязанные физические процессы могут математически моделироваться и рассчитываться по данным методикам с получением результатов, максимально близко соответствующим реальным данным. В настоящей работе на примере связанной, нелинейной, неоднородной задачи нестационарной теплопроводности разработан и представлен один из таких расчетных методов, по которому построены и реализованы в программном комплексе и практических приложениях алгоритмы решений задач.

Актуальность темы исследования. Выбранная для исследований задача нестационарной теплопроводности в применении к строительной практике имеет важное прикладное значение. Понимание и прогнозирование физических процессов, происходящих в строительных ограждающих конструкциях в период их эксплуатации, позволяет эффективно и надежно утеплять здания, поддерживать их стабильную тепловую защиту и, как результат, минимизировать потребление энергии. Расчетные методики по тепловой защите зданий широко представлены в нормативной базе Российской Федерации [38] и других стран. Основаны они на использовании статистических данных по климату соответствующих регионов и для экстремальных их значений устанавливают требования к теплотехническим характеристикам ограждающих конструкций. Данные методики гарантируют тепловую защиту зданий с установленной обеспеченностью. Использование же современных расчетных методик позволяет определять текущее состояние ограждающей конструкции, изменяющееся в результате действия различных параллельно-протекающих процессов, в том числе учитывать остаточные явления от воздействий предыдущих периодов. Такие расчетные методики позволяют предвидеть поведение неоднородной по составу и, соответственно, по

теплофизическим характеристикам конструкции при различных комбинациях испытываемых ими воздействий. В настоящей работе в математической модели неоднородной ограждающей конструкции объединены несколько различных уравнений в математическую модель, что позволило получить решения, учитывающие при моделировании нестационарного температурного поля такие факторы, как изменение и перенос влаги внутри конструкции за счет процессов конденсации, испарения и влагопереноса и связанное с ними изменение теплотехнических характеристик материалов конструкций.

Полученные результаты позволяют судить о текущем состоянии теплового контура зданий и, соответственно, использовать эти данные для создания адаптивных систем отопления или кондиционирования помещений, тем самым уменьшать потребление энергии на поддержание микроклимата помещений. На стадии проектирования предложенная методика позволяет моделировать возможные негативные явления, которые могут произойти внутри теплового контура зданий.

Еще одним важным результатом настоящей работы является возможность сгенерировать большое количество данных при различных комбинациях граничных условий в рассматриваемых задачах. Эти результаты, учитывающие влияние различных физических процессов, формируют объем данных, который может быть использован для разработок методик решения обратных задач, позволяющих при ограниченном объеме данных фактических наблюдений прогнозировать состояние материалов по их изменяющимся во времени характеристикам или определять характер и величины возможных воздействий на конструкции, приведших к такому их состоянию.

Все эти направления использования предложенной методики призваны увеличить энергоэффективность возводимых и эксплуатируемых зданий и обеспечить надежную работу применяемых в них теплоизоляционных материалов.

Для решения задач по предложенной математической модели методика использует в качестве опорного широко используемый и хорошо изученный метод конечных элементов. При решении задачи с его участием удается преобразовать

дифференциальные уравнения второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка и свести нестационарную задачу к ее аналитическому решению относительно временного аргумента. Данный подход позволяет выполнять моделирование состояния дискретизированной в пространстве модели в любой заданный момент времени при полном исключении какой-либо ошибки интегрирования во времени, вызванной некорректно выбранным временным шагом. Это преимущество становится еще более значимым при решении связанных задач, представленных несколькими дифференциальными уравнениями, объединенными в систему, устойчивость каждого из которых при численном интегрировании приходится контролировать индивидуально. В предложенной методике учтена нелинейность в дифференциальных уравнениях, что позволяет решать задачи в более сложной их постановке. Опять же наличие аналитического решения во времени уменьшает совокупную погрешность расчета.

При рассмотрении обратных задач нестационарной теплопроводности определены критерии регрессионного анализа, позволяющие с определенной точностью аппроксимировать параметры дифференциальных уравнений и функциональных зависимостей, описывающих закономерности строительной физики. Актуальность обратных задач крайне высока. Параметры дифференциальных уравнений и их возможное изменение в рассматриваемых координатах несут в себе информацию о пространственной среде, в которой протекают физические процессы. Для задач строительной физики это, например, способ определять характеристики материалов в рассмотренном случае -ограждающей конструкции, и по ним оценивать изменение их состояния.

Степень разработанности проблемы. Рассматриваемая тематика активно исследуется и обсуждается среди ученых в различных научных изданиях. Теоретические основы физических процессов освещены в фундаментальных работах термодинамики и теплофизики. Современные авторы развивают базовые законы под новые открытия и экспериментальные данные. В качестве фундаментальных трудов по теплофизике зданий и сооружений и методам решения прикладных задач можно отметить труды автора теории тепло-массопереноса

A.В. Лыкова [16], основоположников отечественной теории математического моделирования А.А. Самарского и П.Н. Вабишевича [23]. Из современных авторов, освещающих в своих трудах вопросы тепло-массопереноса, можно отметить

B.Г. Гагарина и В.В. Козлова [53], Н.А. Парфеньтеву [20], Т.А. Мусорину и М.Р. Петриченко [19], Ю. Яшимото [86], Х. Янсена и Я. Кармелита [59], М.А. Селия [51], Федосова С.В. [30], Котлова В.Г. [32].

По численным и численно-аналитическим методам решения задач, построенных на основе математических моделей, описывающих в том числе рассматриваемые физические процессы, можно отметить труды таких авторов как А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров [9], Г. Лиу [70], С.М. Мацкевич [18].

Вопросы решения обратных задач также имеют глубокую историю. Среди отечественных авторов, заложивших основы методов их решения, можно отметить труд А.Н. Тихонова [29], методики которого широко используются современными ученными при решении некорректных задач, в том числе с использованием методов машинного обучения. Также в этом направлении известны работы таких авторов, как А. Кирш [63], В. Исаков [58]. Решения некорректных обратных задач стали успешно находиться с использованием методов машинного обучения, получивших популярность в последние десятилетия. В их применении к задачам тепло-массопереноса стоит отметить труды таких авторов, как М. Раисси [78], [79], Ж. Кай [46]. Более детальный обзор работ ученых по рассматриваемой тематики приведен в первой главе настоящей диссертации.

Цель диссертационной работы - построение математической модели и разработка численно-аналитического метода решения прямой нестационарной, нелинейной, связанной задачи тепло-массопереноса для определения распределения во времени теплового и влажностного полей внутри неоднородной двумерной теплопроводящей среды, в приложении к проектируемой ограждающей конструкции. Метод должен учитывать такие физические явления, как теплоперенос, конденсацию и испарение, влагоперенос (массоперенос) и их взаимовлияние в условиях работы конструкции в период ее эксплуатации. Дополнительно поставлена цель совместным использованием методов

математического моделирования и машинного обучения решить обратную задачу, заключающуюся в прогнозировании изменения во времени теплофизических параметров теплоизоляционных материалов ограждающей конструкции под воздействием меняющегося температурно-влажностного режима.

Для достижения поставленных целей решены следующие задачи:

1. Изучение физических основ явления тепло-массопереноса и определение существенных факторов, влияющих на данный процесс, с постановкой соответствующей задачи с применением теории математического моделирования.

2. Изучение теоретических основ метода конечных элементов для численного решения задачи в одномерном и двухмерном пространствах с формированием системы дифференциальных уравнений первого порядка с учетом переменных граничных условий (нестационарная задача).

3. Изучение теоретических основ аналитического решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Изучение методов линеаризации систем дифференциальных нелинейных уравнений первого порядка.

5. Разработка алгоритма и написание программного комплекса для решения нестационарных, нелинейных, связанных задач тепло-массопереноса.

6. Разработка алгоритмов оптимизации вычислительного процесса с целью сокращения объема вычислений.

7. Унификация пространственной модели конструкции, используемой в анализе различных физических процессов для оптимизации использования оперативной памяти вычислительной техники.

8. Разработка объектно-ориентированного программного комплекса с его дальнейшим усовершенствованием и расширением возможностей.

9. Численно-аналитическое решение нестационарной, нелинейной, связанной задачи тепло-массопереноса для теплофизического расчета неоднородной ограждающей конструкции здания.

10. Разработка методики решения обратной связанной задачи нестационарной теплопроводности с целью мониторинга теплофизических характеристик материалов по данным наблюдений.

Научная новизна. Научная новизна исследуемой задачи заключается в использованном подходе к решению поставленной связанной задачи нестационарной теплопроводности. В частности, на основе подхода Галеркина применен метод конечных элементов для дискретизации и численного решения дифференциальных уравнений по пространственным переменным в двухмерном неоднородном пространстве, итерационный метод Пикара для линеаризации нелинейной системы дифференциальных уравнений и аналитический метод решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка по временной ординате. Методы применены для моделирования таких физических явлений, как теплопроводность, влагоперенос, паропроницание с учетом влияния процесса конденсации и испарения на влагоперенос и теплопроводность. Для решения обратных задач нестационарной теплопроводности вместе с подходами математического моделирования использованы современные вычислительные методы связанного машинного обучения для регрессионного анализа с целью поиска параметров функций, представленных нейронными сетями.

Разработаны алгоритм и программный комплекс, реализующие предложенную методику для решения прикладных задач, позволяющие рассчитывать температурное и влажностное поля внутри неоднородной конструкции, учитывающие изменяющееся положения зон с температурой ниже точки росы и меняющиеся значения коэффициентов теплопроводности материала. По результатам решения прямой задачи проведено обучение нейронных сетей и решена обратная задача нестационарной теплопроводности для определения теплофизических характеристик материалов и их изменения в пространстве и времени.

Теоретическая и практическая значимость работы. Данная работа в теоретической плоскости представляет собой совокупность математических методов и последовательность их совместного использования, позволяющая

решать три дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных одно из которых нелинейно, а именно:

- параболическое дифференциальное уравнение паропроницания с постоянными коэффициентами;

- параболическое дифференциальное уравнение влагопроницания с постоянными коэффициентами и с изменяющимся источником влаги;

- параболическое дифференциальное уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами и переменным источником тепла.

Решаемые уравнения связаны.

Предложена методика численно-аналитического решения нелинейной, связанной задачи нестационарной теплопроводности, основанная на совместном применении метода конечных элементов для решения задачи в пространственных координатах и аналитического решения системы дифференциальных уравнений во временной ординате.

Также предложены критерии для обучения нейросетей для решения обратных задач. В связи с тем, что в основу предложенных критериев положены математические модели физических закономерностей, они широко использованы при формировании данных критериев.

Данные методики имеют потенциал дальнейшего совершенствования и развития для решения задач, ставящихся в строительной практике.

В практической плоскости разработанная методика и программный комплекс позволяют решать нестационарные задачи теплопроводности с учетом указанных выше взаимосвязанных факторов. Так, например, имея прогноз по изменению наружной температуры и относительной влажности воздуха, а также задавая требуемые параметры внутреннего микроклимата помещений, предлагаемая методика позволяет рассчитать не только ожидаемые теплопотери при заданном конструктиве ограждающей конструкции, но и определять температурно-влажностное состояние этой конструкции и связанное с этим изменение в его теплоизоляционном поведении. Еще одним преимуществом предложенной методики является возможность изучать поведение данной конструкции с учетом

таких явлений, как увлажнение поверхности дождем, влиянием ветра, что делает данный комплекс универсальным. Методики решения обратных задач позволяют, по данным наблюдений, определять изменение во времени и по фрагментам неоднородной конструкции физических характеристик конструкций и их материалов в скрытых и недоступных для контроля зонах, и по этим изменениям судить об их состоянии.

Методология и методы исследования. Предложенная и использованная методология исследования включает в себя последовательность следующих действий.

Для постановки и решения прямой задачи нестационарной теплопроводности:

- по физическим законам тепло-массопереноса сформировать систему дифференциальных уравнений, описывающую данные физические явления в ограждающих конструкциях;

- принять коэффициенты теплопроводности зависимыми от различных факторов, и включить данные зависимости в уравнения теплопроводности;

- создать на основе метода конечных элементов дискретной пространственной модели конструкции с использованием подхода Галеркина в виде системы линейных и нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для трех физических явлений - теплопроводность, паропроницание и влагопроницание;

- в дискретную модель включить функцию влагопоступления и влагоубывания за счет конденсации и испарения. Данные функции построены по значениям парциального давления пара и текущего приближения значения температуры в расчетных узлах дискретной сетки расчетной модели;

- в дискретную модель включить функцию теплопоступления и тепло-отбора за счет процессов конденсации и испарения;

- для решения задачи по временной переменной использовать аналитический метод;

- виду нелинейности уравнения теплопроводности для решения полученной системы уравнений применить метод последовательных итераций Пикара.

Для постановки и решения обратной задачи нестационарной теплопроводности:

- разработаны критерии обучения нейросетей, как для обеспечения их соответствия математическим моделям теплофизических процессов, регуляризации и исходным данным;

- по результатам решения прямой задачи нестационарной теплопроводности, произведено обучение нейросетей для воссоздания процессов тепло-массопереноса.

Программный комплекс для решения прямой и обратной задач нестационарной теплопроводности разработан в среде Ма1ЬаЬ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Построены две математические модели. Первая описывает процесс нелинейной нестационарной теплопроводности. В модели нелинейность выражена зависимостью теплопроводности среды от ее температуры. Вторая - это связанная математическая модель, описывающая нестационарную линейную задачу паропроницания, нестационарную линейную задачу массопереноса и нелинейную нестационарную задачу теплопроводности. В модели массопереноса и теплопроводности учтены, соответственно, процессы конденсации и испарения, и соответствующая им энергия фазового преобразования. Теплопроводность среды принята зависимой от ее влажности.

2. Разработан численно-аналитический метод решения прямой нестационарной, нелинейной, связанной задачи теплопроводности.

3. Разработан метод решения обратной задачи, построенный на совместном использовании классических основ математического моделирования и метода машинного обучения.

4. Разработан программный комплекс решения прямой и обратной нестационарной нелинейной связанной задачи теплопроводности.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность предложенного метода обусловлена следующими факторами:

- соответствием решаемых уравнений и формируемых ограничений описываемым ими физическим явлениям;

- корректностью используемых граничных и начальных условий;

- апробацией предложенных методов на эталонной одномерной задаче;

- удовлетворительным сопоставлением результатов, полученных разными методами при численно-аналитическом решении нелинейной задачи.

Основные положения, результаты проведенной работы были доложены и обсуждены на следующих семинарах, конференциях и симпозиумах:

1. Научно-образовательный семинар кафедры общей и прикладной физики «Проблемы тепло-массопереноса в строительстве», МГСУ 2023 г., доклад на тему «Численно-аналитическое решение задачи тепло-массопереноса с взаимозависимыми теплотехническими характеристиками».

2. VIII Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», г. Тамбов 2023 г., доклад на тему «Численно-аналитическое решение связанной задачи тепло-массопереноса с взаимозависимыми теплотехническими характеристиками».

3. XII Международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»), МГСУ, г. Москва, 2024 г., доклад на тему «Использование методов машинного обучения для решения обратной задачи нестационарной, нелинейной теплопроводности в одномерном пространстве».

4. Международный байкальский инвестиционно-строительный форум «Цифровизация комплексных технологических процессов объектов градостроительной деятельности», ИРНИТУ, г. Иркутск, 2024 г., доклад на тему «Численно-аналитическое решение нестационарной связанной нелинейной задачи теплопроводности в двумерном пространстве».

5. Международная научно-техническая конференция «Долговечность строительных материалов, изделий и конструкций», проведенная в рамках

деятельности Научного Совета Российской Академии архитектуры и строительных наук «Механика разрушения бетона, железобетона и других строительных материалов», МГУ им. Н.П. Огарева, г. Саранск, 2025 г., доклад на тему «Совместное использование методов математического моделирования и методов машинного обучения при решении обратной связанной задачи теплопроводности».

6. XXVIII Международная научная конференция «Строительство -формирование среды жизнедеятельности», г. Брест, Республика Беларусь, 2025 г., доклад на тему «Совместное использование методов математического моделирования и машинного обучения при решении обратной задачи теплопроводности».

7. IX Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», г. Пенза 2025 г., доклад на тему «Нелинейная прямая и обратная задачи тепломассопереноса в ограждающих конструкциях»;

Личный вклад автора диссертации заключается в предложенной математической модели; в объединении нескольких численных и аналитического методов в общую методику численно-аналитического решения, позволяющую решать связанные нестационарные нелинейные задачи тепло-массопереноса в двумерном пространстве; в разработке программного комплекса; а также в определении критериев, включающих в себя методы математического моделирования, для подбора параметров нейросетей, при машинном их обучении для решения обратных задач.

Публикации. Материалы диссертации достаточно полно изложены в 5 научных публикациях, из которых 3 работы опубликованы в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, 2 статьи в сборниках трудов международных симпозиумов, получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка (89 наименований, в том числе 51 на иностранном языке), десяти приложений. Общий объем работы - 215 страниц, 25 рисунков (в т.ч. 1 в Приложении 2 и 1 в Приложении 3), 8 таблиц (в т.ч. 1 в Приложении 3).

ГЛАВА 1. ПРЕДПОСЫЛКИ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

В настоящей главе приведен обзор работ и научных результатов по рассматриваемой в диссертации тематике, на основании которых рассмотрены теоретические основы процесса тепло-массопереноса, построения математических моделей, используемых для его описания, численных и аналитических методов решения задач, построенных на основе данных моделей, а также методы решения обратных задач нахождения параметров моделей тепло-массопереноса.

1.1. Текущее состояние проблематики

1.1.1. Введение

В настоящем разделе приведен обзор литературы и научных публикаций по теоретическим основам физических процессов тепло-массопереноса в ограждающих конструкциях зданий и сооружений, подходам к математическому моделированию данных процессов в различных комбинациях и постановках и их сочетаниях. Рассмотрены работы по численным и аналитическим методам решения практических задач на основе предложенных математических моделей. Отдельно изучены как теоретические основы, так и современные методики решения обратных задач, в том числе с использованием методов машинного обучения. Цель настоящего раздела - определить текущее состояние развития методов математического моделирования физических процессов тепло-массопереноса, а также методик решения прямых и обратных задач, основанных на данных математических моделях.

1.1.2. Обзор литературы и публикаций

Физические процессы, взятые за основу для разработки математической модели, имеют широкое освещение как в фундаментальных работах термодинамики и теплофизики, так и в современных научно-исследовательских публикациях. Детальное описание процессов, происходящих в конструкциях подверженных воздействию температурного и других градиентов на противоположных своих поверхностях, а также их математическая интерпретация,

даны в работах А.В. Лыкова [16] и А.А. Самарского, П.Н. Вабишевича [23]. В частности, А.В. Лыков [16] рассмотрел процессы тепло-массопереноса в капиллярно-пористых телах и движущие их силы, с описанием форм связи воды внутри данных тел, ее фазовых переходов с выводом соответствующих уравнений.

Процессы фазового перехода влаги из парообразного состояния в жидкое и обратно с описанием данного явления на молекулярном уровне приведены в работе В.П. Керей [48]. В своем труде автор детально описал все этапы перехода влаги из одной фазы в другую с действиями, происходящими с молекулами воды в парообразном и жидком состоянии, и в переходной зоне. Т.А. Мусорина и М.Р. Петриченко [19] разработали математическую модель для определения влажности в стеновых конструкциях различной пористости с учетом распределения в них температуры, кроме прочего, они установили, что при постоянных коэффициентах температуропроводности и влагопереноса (диффузии) уравнение теплопереноса может быть рассмотрено в ее линейном виде. В работах же А.В. Лыкова [16] и В.Н. Куприянова [15], как для более общего случая, проведены зависимости коэффициентов температуропроводности различных материалов от их влажности. Ю. Яшимото с соавторами [86] смоделировали капиллярно-пористую среду из случайным образом расположенных сфер, в которой они далее смоделировали процесс конденсации и проанализировали его эффект на газопроницаемость среды. Исследователи обнаружили, что закупоривание капилляров начинается в более узких из них, так как конденсация происходит быстрее в ограниченных пространствах. Также отметили и влияние общей пористости материала и извилистости капилляров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Примкулов Алим Махмудович, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акимов П. А. Дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций. Московский государственный строительный университет. Диссертация на соискание ученной степени доктора наук. - Москва. - 2005.

2. Алоян Р. М. Федосов С. В., Мизонов В. Е. Теоретические основы математического моделирования механических и тепловых процессов в производстве строительных материалов»: монография, Ивановский государственный архитектурно-строительный университет. - Иваново: Ивановский государственный архитектурно-строительный университет, 2011. -255 с. - ISBN 978-5-88015-259-9. - EDN QNPIGL.

3. Батэ K., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - с. 448. - 269 с.

4. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика. Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. - Издательство Ленанд, 2018.

5. Болотов И.А., Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Жуков П.В. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса во вращающихся телах. Ивановский государственный химико-технологического университет. - Иваново: Ивановский государственный химико-технологический университет, 2010. - 68 с. - ISBN 978-5-9616-0365-1. - EDN SDVCBF.

6. Зайцев В.А., Мизонов В.Е., Елин Н. Моделирование, оптимизация и расчет тепловых процессов: (Опыт использования ячеечных моделей). - Министерство образования и науки Российской Федерации, Ивановский государственный химико-технологический университет, Ивановский государственный энергетический университет, Ивановский государственный архитектурно-строительный университет. - Иваново: Ивановский государственный химико-технологический университет, 2012. - 200 с. - ISBN 978-5-9616-0430-6. - EDN GKCVPI.

7. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

8. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике, издательство - М.: Мир,

1975.

9. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Архитектура-С, 2010. - 336 с.

10. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций, - М.: АСВ, 2009. -336 с.

11. Зуева Г. А. Системно-структурный анализ процесса переноса теплоты в твердом теле. - Ивановский государственный химико-технологический университет. - Иваново: Ивановский государственный химико-технологический университет, 2021. - 60 с. - EDN NQXFGH.

12. Зуева Г. А. Аналитическое решение задач тепло- и массопереноса для областей с подвижными границами методом дифференциальных рядов. -Ивановский государственный химико-технологический университет. - Иваново: Ивановский государственный химико-технологический университет, 2017. - 92 с.

- EDN ECVGAY.

13. Исаев В.Н., Липин А. Г., Каленова О. С. [и др.]. Интенсификация тепловых и массообменных процессов в гетерофазных средах, монография, Федеральное агентство по образованию, Гос. образовательное учреждение высш. проф. образования Ивановский гос. химико-технологический ун-т. - Иваново: Ивановский государственный химико-технологический университет, 2009. - 164 с.

- ISBN 978-5-9616-0318-7. - EDN QNEYAH.

14. Кудинов В. А., Карташов Э.М., Калашников В. В.; Кудинов В. А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям подгот. бакалавров и магистров в обл. техн. наук и по направлениям подгот. дипломир. специалистов в

обл. техники и технологии. - Москва : Высш. шк., 2005. - ISBN 5-06-004770-9. -EDN QMECXR.

15. Куприянов В.Н., Юзмухаметов А.М., Сафин И.Ш. Влияние влаги на теплопроводность стеновых материалов. Состояние вопроса // Известия КГАСУ. Строительные конструкции здания и сооружения, 2017. - №1 (39).

16. Лыков А. В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967.

17. Макарова Е.А. Численно-аналитическое решение нестационарной неоднородной задачи теплопроводности методом конечных элементов, Дипломная работа под руководством Сидорова В.Н. - Москва, 2024.

18. Мацкевич С.М. Численно-аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности в строительных конструкциях», Диссертация на соискание ученной степени кандидата технических наук, Москва, 2015.

19. Мусорина Т. А., Петриченко М. Р. Математическая модель тепло-массопереноса в пористом теле // Строительные материалы и изделия. Технологии производства строительных материалов. Наноматериалы и нанотехнологии. Строительная наука и образование, 2018. - Том 8. - Выпуск 3 (29). DOI: 10.22227/2305-5502.2018.3.3, 2018.

20. Парфентьева Н.А. Специальный курс «Термодинамика и теплопередача», МГСУ, 2013.

21. Рудобашта С.П. Массообмен в процессах сушки, адсорбции, экстрагирования, диффузионной паропроницаемости, монография, Москва, Колосс, 2024. - 571. ISBN 978-5-00129-408-5

22. Рудобашта С.П. Массоперенос в системах с твердой фазой. - М.: Химия, 1980. - 248 с. - EDN YIPZNT

23. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -Либроком, 2014.

24. Сидоров В.Н., Ахметов В.К. Математическое моделирование в строительстве, учебное пособие. - М.: Издательство АСВ, 2007

25. Сидоров В.Н., Вершинин В.В. Метод конечных элементов в расчёте сооружений. Теория, алгоритм, примеры расчётов в программном комплексе SIMULIA Abaqus. - М.: Издательство АСВ, 2015. - 288 с.

26. Сидоров В.Н., Примкулов А.М. Численно-аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности с переменными теплофизическими параметрами среды // Вестник МГСУ. 2023. - Т. 18. - Вып. 5. - с. 685-696. DOI: 10.22227/1997-0935.2023.5.685-696.

27. Сидоров В.Н., Примкулов А.П., Макарова Е.А. Использование методов машинного обучения для решения обратной задачи нестационарной, нелинейной теплопроводности в одномерном пространстве, Москва, 2024.

28. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. -Минск : Новое знание, 2013.

29. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Матем. сб., 1935. - Т 42. - С. 199-216.

30. Федосов С.В. Тепломассоперенос в технологических процессах строительной индустрии: монография. - Иваново: ИПК «ПресСто», 2010. - 363 с. - ISBN 978-5-903595-45-7. - EDN QNOQOV.

31. Федосов С. В., Баканов М.О., Грушко И.С. Предективное моделирование эксплуатационных свойств пеностекла с использованием моделей машинного обучения на основе линейной регрессии // Умные композиты в строительстве. Ярославский государственный технический университет, 2024. - Т. 5. - № 2. -С. 20-38, DOI: 10.52957/2782-1919-2024-5-2-20-38.

32. Федосов С.В., Котлов В.Г., Иванова М.А. Причины снижения работоспособности деревянных конструкций при эксплуатации в среде с циклически изменяющимися температурно-влажностными условиями // Жилищное строительство. 2017. -№ 12. - С. 20-25.

33. Федосов С.В., Котлов В.Г., Алоян Р.М., Бочков М.В., Иванова М.А., Методика экспериментального исследования массопроводных характеристик волокнистых и древесно-волокнистых материалов // Известия высших учебных

заведений. Технология текстильной промышленности. 2016. - № 5 (365). - С. 9093.

34. Фурье Ж. Аналитическая теория тепла. - Париж, 1822. - 632 с.

35. ГОСТ 30494-2011 «Здания жилые и общественные. Параметры микроклимата помещений». Межгосударственный совет по стандартизации, метрологии и сертификации (МГС).

36. ОАО «ЦНИИЭП жилых и общественных зданий (ЦНИИЭП жилища)», «ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко». Технические решения многослойных продольных и торцевых наружных стен, облицованных кирпичом толщиной 120мм (с утолщенной наружной стенкой или с пустотностью 13%), для строительства жилых и общественных зданий высотой до 75м" (методическое пособие для проектирования). - Москва, 2010 г.

37. СНиП II-3-79 «Строительная теплотехника», Строительные нормы и правила, Москва 1986.

38. СП 50.13330.2012 Тепловая защита зданий.

39. Badoo Peter J., Herrmann Benjamin, McKeon Beverley J., Kutz Nathan, Brunton Steven L. Physics-Informed Dynamic Mode Decomposition (piDMD), arXiv:2112.04307v1 [math.DS] 2021

40. Benkhaled Maroua, Salah-Eddine Ouldboukhitine, Amer Bakkour, Sofiane Amziane. A 1D Model for Predicting Heat and Moisture Transfer through a Hemp-Comcrete Wall Using the Finite-Element Method // Materials, 2021. - 14, 6903. https://doi.org/10.3390/ma14226903

41. Benzoni-Gavage S., Serre D. Multi-dimensional Hyperbolic Differential Equations. First-order Systems and Applications. - Oxford Science Publications, 2007.

42. Berardi Marco, Fabio V. Difonzo, Mateo Icardi. Inverse Physics-Informed Neural Networks for transport models in porous materials. - 2024. https://arxiv.org/pdf/2407.10654v1 2024

43. Bhatti M. Asghar. Advanced Topics in Finite Element Analysis of Structures. - John Wiley and Sons, 2006.

44. Bishop Christopher M. Pattern Recognition and Machine Learning, Springer Science+Business Media, LLC, 2006.

45. Brunton Steven L., Nathan J. Kutz. Data-Driven Science and Engineering: Machine Learning, Dynamical Systems, and Control, Second Edition, Cambridge University Press, 2022.

46. Cai Shengze, Wang Zhicheng, Wang Sifan, Perdikaris Paris, Karniadakis George. Phisics-Informed Neural Networks (PINNs) for Heat Transfer Problems // Journal of Heat Transfer, 2021. - Vol. 143, 060801.

47. Callen Hebert B. Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistic, Second Edition, University of Pensilvania, John Wiley and Sons, 1985.

48. Carey Van P. Liquid-Vapor Phase - Change Phonomena. An introduction to the Thermophysics of Vaporization and Condensation Processes in Heat Transfer Equipment. 3rd edition. CRC Press, 2020.

49. Cassel Kevin W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.

50. Catteneo C., A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation // Compte Rendus, 1958. - 247 (4). - Pp. 431-433.

51. Celia M.A., Bouloutas E.T., Zarba R.L. A general mass-conservative numerical solution for the unsaturated flow equation // Water Resources Research. 1990. - Vol. 26. - Pp. 1483-1496.

52. Forsberg Charles H. Heat Transfer Principles and Applications, Academic Press, Elsevier, 2021.

53. Gagarin V.G., Kozlov V.V., Zubarev K.P. Determination of maximum moisture zone on enclosing structures // Cold climate HVAC, 2019. - Pp. 925-932.

54. Hadamard Jacques. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Princeton University Bulletin. 1902.

55. Hasnain Muhammad, Gregory E. Gorbett, Jairo Casa, Hayri Sezer. 3D Mathematical Model for Heat and Mass Transfer Mechanism in Gypsum Board Exposed to Fire // 13th US National Combustion Meeting Organised by the Central States Section of the Combustion Institute, March 19-22, 2022.

56. He Zhili, Fuato Ni, Weigo Wang, Jiang Zhang. A physics-informed deep learning method for solving direct and inverse heat conduction problems of materials, El sevier, https: //doi. org/ 10.1016/j. mtcomm.2021.102719.

57. He Kaiming, Xiangyu Zhang, Shaouqing Ren. Deep Residual Learning for Image Recognition. https://arxiv.org/abs/1512.03385 2015

58. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations, Third Edition, Springer International Publishing AG, 1998, 2006, 2017.

59. Janssen Hans, Carmeliet Jan. Simulation of moisture and heat transfer in building components under atmospheric excitation: conservative modelling and numerical optimization, Conference paper, 2015.

60. John F. Numerical Solution of Heat Equation for Preceding Time // Ann. Mat. Pura. Appl., 1955. - 40. - Pp. 129-142.

61. Kendall Alex, Yarin Gal, Roberto Copolla. Multi-Task Learning Using Uncertainty to Weigh Losses for Scene Geometry and Semantics, arXiv:1705.07115v3 24.04.2018.

62. Khebchareon Morrakot, Kumar Ambit Pany, Pani Amiya K. An H1 - Galerkin mixed finite element method for identification of time dependent parameters in parabolic problems // Applied Mathematics and Computation, 2022. - Vol. 424, 127045.

63. Kirsch Andreas. An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Third Edition. Springer Nature Switzerland AG, 2021.

64. Koniorczyk M., W. Gaymin. Influence of the Thermal Conductivity and Ambient Temperature Uncertainty on the Heat Losses through the External Wall // Buildings, 2021. - 11, 84. https://doi.org/10.3390/buildings11030084.

65. Kutz N. J., Brunton S.L., Brunton B. W., Proctor J.L. Dynamic Mode Decomposition. Data-Driven Modeling of Complex Systems, Institute for Disease Modeling Bellevue, Washington Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, 2016.

66. Langtangen Hans Petter, Kent-Andre Mardal, Introduction to Numerical Methods for Variational Problems, Springer, 2019. https://doi.org/10.1007/978-3-030-23788-2.

67. Li Guangyao, Gua Shuaiping, Zhang Jianming, Li Yuan, Han Lei. Engineering Analysis with Boundary Elements // Engineering Analysis with Boundary Elements, 2015. - Vol. 60. - Pp. 81-88.

68. Liu Fang, Jia Binguang, Chen Baoming, Geng Wenguang. Moisture transfer in building envelope and influence on heat transfer // Procedia Engineering, 2017. - Vol. 205. - Pp. 3654-3661.

69. Liu Ghenjun, Cao Wei, Song Xuding, Wan Yipin. A semi-analytical method of three-dimentional dual-phase-lagging heat conduction model // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2024. - Vol. 218, 124720.

70. Monaco Simone, Daniele Apiletti. Training physics-informed neural networks: One learning to rule them all? https://doi.org/10.1016/j.rineng.2023.101023 2023.

71. Moseley Ben. Physics-informed machine learning: from concepts to real-world applications. A thesis submitted for the degree of Doctor of Phylosophy, Hilary 2022.

72. Nithiarasu P., Lewis W.R., Seetharamu K. N. Fundamentals of the Finite Element Method for Heat and Mass Transfer. Second Edition. Wiley, 2016.

73. O'Neil Peter V. Advanced Engineering Mathematics. Fourth Edition, PWS Publishing Company, 1995.

74. Okrasinska-Plociniczak Hanna, Plociniczak Lukasz. Second order scheme for self-similar solutions of a time-fractional porous medium equation on the half-line // Applied Mathematics and Computation, 2022. - Vol. 424, 127033.

75. Onsager Lars. Reciprocal Relations in Irreversible Processes I. Physical Review. - Vol 37, 15.02.1931.

76. Onsager Lars. Reciprocal Relations in Irreversible Processes II. Physical Review. -Vol 38, 15.12.1931

77. Pancheng Niu, Yongming Chen, Jun Guo, Yuqian Zhou, Minfu Feng, Yanchao Shi. Improved physics-informed neural network in mitigating gradient related failures. https://arxiv.org/pdf/2407.19421 2024.

78. Raissi M., P. Perdikaris, G.E. Karniadakis. Physics Informed Deep Learning (Part I): Data - driven Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations. arXiv:1711.10561v1 28.11.2017.

79. Raissi M., P. Perdikaris, G.E. Karniadakis. Physics Informed Deep Learning (Part II): Data - driven Discovery of Nonlinear Partial Differential Equations. arXiv: 1711.10566v1 28.11.2017.

80. Reddy J. N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis with applications to heat transfer, fluid mechanics, and solid mechanics", Second Edition, Oxford University Press, 2015.

81. Segerlind Larry J. Applied Finite Element Analysis, Second Edition, John Wiley and Sons, 1984.

82. Shukla Khemraj, Toscano Juan Diego, Wang Zhicheng, Zou Zongren, Karniadakis George. A comprehensive and FAIR comparison between MLP and KAN representations for differential equations and operator networks. arxiv:2406.02917v1 [cs.LG] 2024.

83. Sidorov V. N., Primkulov A. M. Coupled Heat and Mass Transfer Problem with Dependent Heat Conductivity Properties and Its Semi-Analytical Solution // IJCCSE, 2023. - Vol. 19. - Is. 3. - Pp. 69-82. DOI:10.22337/2587-9618-2023-19-3-69-82 2023.

84. Vernotte P, Les paradoxes de la th eorie continue de l' e quation de la chaleur, C. R. 246 (1958), pp. 3154-3155.

85. Wang, Sifan, Yujun Teng, Paris Perdikaris. Understanding And Mitigating Gradient Pathologies in Physics-Informed Neural Networks. https://arxiv.org/pdf/2001.04536v1 2020.

86. Yoshimoto Yuta, Hori Takuma, Kinefuchi Ikuya, Takagi Shu. Effect of capillary condensation on gas transport properties in porous media, physical Review E96, 043112, 2017.

87. Zobeiry Navid, Keith D. Humfeld. A Physics-Informed Machine Learning Approach for Solving Heat Transfer Equation in Advanced Manufacturing and Engineering Applications // Engineering Applications of Artificial Intellegence, 2021. DOI: 10.1016/j.engappai .2021.104232.

88. Zubarev K. Taking into Account Moisture in Increasing the Accuracy of Calculating Heat Losses of a Building // International Journal for Computational and Structural Engineering, 2024. - 20 (1). - Pp. 154-161.

89. Zubarev K. P. The Moisture Regime of Enclosing Structures in Different Construction Regions // International Journal for Computational and Structural Engineering, 2024. - 20 (3). - Pp. 159-166, 2024.

Приложение 1. Вывод расчетных формул для вычисления температуры в любой точке одномерного пространства методом конечных элементов.

Введение

Метод конечных элементов реализует два подхода к решению задач. Первый подход сводится к задаче приравнивания невязки функционала нулю и определению значений искомой функции в узловых точках решением системы алгебраических уравнений. Примером такого подхода является Метод Галеркина.

Второй подход заключается в минимизации функционала и в определении значений искомой функции в узловых точках. Как и в первом подходе, метод формирует систему алгебраических уравнений. Примером такого подхода является вариационный метод (К. Кассель [49]) для одномерной задачи (справочное Приложение 7).

Рассмотрим вывод расчетных формул методом Галеркина. 1. Стационарная задача.

1. Метод Галеркина

Уравнение, описывающее процесс передачи тепла в одномерном пространстве:

= (П1.1)

где

Э - постоянная учитывающая теплотехнические характеристики среды; О, Р - постоянные учитывающие поступление энергии и конвекцию.

2. Метод конечных элементов 2.1. Вид искомой функции.

Решением уравнения (1) является функция ф=ф(х), при которой следующая функция равна нулю:

Д(х) = - # Ш (х) (pd^-Gф + Q) ах, (П1.2) где W(x) - весовая функция.

Знак минус перед интегралом поставлен для более удобного написания окончательного уравнения.

Для решения уравнения Я(х) = 0, рассматриваемое пространство разбивается на №ое количество элементов. В пределах каждого элемента искомая функция представляется в виде некоего уравнения - базовой функции. Рассмотрим случай, когда в пределах элемента функция является линейной, то есть:

ф(х) = ах + Ь , (П1.3)

где а, Ь - некие константы. Если известно, что

Ф(хд = Фь, Ф(х1 + 1) = Ф1 + 1,

то коэффициенты а, Ь для промежутка [х^^^^] могут быть определены следующим образом:

ф^ = ах^ + Ь

Ф1+1 = ахь+1 + Ь

Ф1+1 -Фь = а(х1+1 - х1)

Ф1+1 - Фг а =-

хЬ + 1 — Х1

Фь+1 -Фь

ф^ =-XI + Ь

хЬ + 1 — Х1

, Фь+1-Фь

Ь = ф1--XI

хЬ + 1 — Х1

, х1+1 — Х1 , Ф1+1 — Ф1

Ь =--—Ф1---—XI

х1+1 Х1 х1+1 Х1

ь = х+ф^фгф^+фы = Х1+1ф1-ф1+1Х1 х1+1 Х1 х1+1 Х1

Используя значения для а, Ь функция (П1.3) может быть представлена в следующем виде:

Фь+1-Фь Х1+1Фь-Фь+1Х1

ф(х) =-х +--

х1+1 — Х1 х1+1 — Х1

хФ1+1-хФь+Х1+1Ф1- Ф1+1Х1 х1+1-х , , х — Х1 , Ф(х) =-=-Ф1 +-Фь+1

т 4 х у. _ у. у. _ у. у. _ У.

л-1+1 л-1+1 л-1+1

В матричной форме данная функция, определенная в промежутке [х^х^^] выглядит:

ф(х) =

х1+1 — X

-х1+1 -XI

I л1+1

ч-1

{ФиФ1+1}

Т

Функция, определенная в промежутке [0,1] где L - длина одномерного пространства, используемая для решения Я (х) = 0 имеет следующий вид:

ф(х) =

X X Хд

Хц Хд Хц Хд

х2-х х-х1

■Х2—Х1 Х2—Х1

х1+1 х X XI

х1+1 Х1 х1+1 Х1

{Фо'ФгУ Ух е [Хо,Х1] {Фо, ФгУ Ух е [х±, Х2]

{ФьФь+гУУх е [х1,х1+1]

(П1.4)

где

Х^-Х х-х^-1

{ФьФ1 + 1УУХ е [ХЫ-±,ХЫ]

Ф1 - значение функции в точке х^.

2.2. Весовая функция W(x).

При использовании метода Галеркина, весовая функция принимается аналогичной искомой функции. Примем ее также линейной, в пределах элемента, и имеющей значение равное 1 в узле, для которого данная функция используется, и равной 0 во всех прочих узлах.

Используя вывод для линейного уравнения (П1.3) взвешивающую функцию можно записать в следующем виде:

Х1 + 1-Х Х—Х±

Щ(х) = Ши1(х) =

.Х1+1 Х{ Х1+1 Х{

Х[ +1 X X X

.X / Л X / X / Л X / .

{1,0}т , {0,1}т

или

Шх)=Ухе[хиХ1+1],

х1 + 1-Х1

(П1.5)

ш1+1(х) = е [Хиъ+Л. (П1.6)

Подставляя в интеграл (П1.2) значения искомой функции (П1.4) по очередности для каждого элемента (промежутка) и соответствующие узлам этого элемента взвешивающие функции (П1.5) и (П1.6), и приравнивая значение интеграла нулю, можно получить систему линейных уравнений решение, которых даст значение функции (П1.4) в узлах элементов.

2.3. Вычисление интеграла

Обозначим значком (е) величины, уравнения и функции, относящиеся к элементу е, образованному узлами ( V) с координатой XI и (I + 1) с координатой х^+1 . Так, например функция (П1.2) для элемента (е) будет выглядеть:

Я^ОО = - С1 ^ (') (» ^теР - с*(е)(х) + ()«х> (П17а) Я+Ю = - С1 (*) (»^ф^1- + () «х. (П17Ь)

Рассмотрим интеграл функции (П1.7а) ^^(х) = -! 1+1 (х) (о < - Сф(е)(х) + о)йх =

= - ш™ (X) Б^ф^ах + ¡«+1 (х)Сф(е)(х)<х -

С1 Щ(е) (х) «X.

Рассмотрим каждое слагаемое данного выражения по отдельности.

Первое слагаемое:

- Р+1 (х) о <х = -о Г+ Щ(е) (х) —¥1 <х (П1.7а-1)

I к у ах2 I к у ах2 у '

Рассмотрим замену подынтегральной функции. Для этого представим производную произведения следующих функций:

< ( (е) <ф(е)(х)\ _ <Щ(е)(х) <ф(е)(х) (е) <2ф(е)(х) йх\ 1 <х ) <х <х 1 <х2

или

ш(е)(х) а2ф(е\х) = ±(ш(е)(х) аф(е\х)\ й]м1ре\х) дф(е\х) 1 ( ) ах2 ах( 1 ( ) ах ) ах ах ( . )

Подставляем в интеграл (П1.7а-1.1) функцию (П1.7а-1.2)

~х1+1ЛЛ/(е) г„л а2ф(е\х) ^ = п гх+1(йууг(е\х) йф(е\х) йх2

—О Г+1 (х)

йх

йх

йх )

йх.

(П1.7а-3)

Определим каждый член подынтегральной функции отдельно. Используя выражение (П1.5):

йШ(е)(х)

йх

_ й_ / Х1 + 1-ХЛ _ йх \Х1+1-Х1У

1

х1 + 1-Х1

Ь(еУ

(П1.7а-4)

где

Ь(е) = (х^+1 — х{) - длина элемента.

Используя выражение (П1.4) для промежутка [х^х^] вычисляем

йф(е)(х) й

йх

= £ (Шг^} {ф>,ф«1}т) = М {ф>,ф>+1}т (П17а-5)

Подставляем выражения (П1.7а-4) и (П1.7а-5) в (П1.7а-3) и вычисляем интеграл

в гХ+ийШ^М йф(еХх) ±(ш(е)(х) ¿ф(еХх)\\ йх = ( йх йх йх\ ¿ ( ) йх ))

йх

»С1 (тъ М {ф^ф^т)— 0 С1^^) = =

Б

Г^, —1] { фи ф+1}тах — б ш1(е)(х)

-( е).

Ф1+1*)

й

йх

йф(е)(х)\х1+1

Б

йх

■X/

(ьЩ2

( Фь* —

X;

Б

(е)( йф(е\х)

БШ1(е)(х)

йх

х1+1

X,-

йх

Б(х1+1-Х1)

(Ь(е))'

(Ф1Х1+1 Ф1 + 1Х1 + 1~)

х1+1

X;

(ь(е)У

( ф1 — ф+1) — ОШ()(х)

(е)( йф(е\х)

йх

х1+1

X,-

Б

-^[1,—1]{ф1>ф1+1}Т — вш1(е)(х)

г(е), ч йф(еХх)

йх

х1+1

Выражение (П1.7а-1) принимает следующий вид в матричном виде:

п гх+ийш^ю йф(е\х) й иле),) йФ(е)(хЛ\ах = ° м пи л. ( йх йх йх( 1 ( ) йх ))

(ь(е)У

[1,—1]{ ФьФ+1}Т —

1 к у йх

х1+1

(7а-6)

1

X

Второе слагаемое

Вторая часть интеграла (П1.7а) при подставлении выражений (П1.4) и (П1.5)

^М+1

ш^е) (х) сф(е\х) ах =

= с Г+1 ((х^-х)

х1+1 - х

-х1+1 -х1

{ ФиФ1+1Г )ах =

С Г 4+1

((х - х{) ((х1 + 1 - х)ф1 + (х- х^ф^ах = ((( х1+1 -х)(х- х{)ф1 + (х- х1)2ф1+1)ах =

(1(е)) ^ С ГХ1+1

'Х1

с гХ1+1

(Ь(е))

ГХ1+1

I (х1+1 х — х - х1х1+1 + х1х^ф1 ах

Х

+

с гХ1+1

(Ь(е)У

ГХ1+1

I (х2 - х1+1х1 + х{х)ф+1 ах =

Х

Г ( 2 3 2

с х х х Х

= (Ь(е))2 (х+ ~2 3 х х+ х^)ф11ХТ1

С ( 2 1 х2 _

+ (Ь(е)^2 (хх I — х 2 х1+1х1 + х1х ) =

с (х1+1 х1+1

3

2

2 3

у у" у ^

_ 2 , х1 + 1 4+ 2

(Ь(е))2\ 2 3 Ъ^+Ъ 2 х+ 2 + 3 +х1х+ с х3 х3

+ {ь(е))2 ( 3 х — х2+1х¿ + х1+1 х2 з" + х3 - х3 ) ф+1 =

с с

(х1+1 - х1)3ф1 + (х1+1 - х1)3ф1+1 =

6(Ь(е))

3(Ь(е)У СЬ(е) СЬ(е)

ф I ф 1+1

3

В матричной форме данное слагаемое выражения (П1.7а) имеет вид

¡ХХ:+1 (х) Сф(е\х) ах = с № Ф ф+1]Т

(П1.7а-7)

Третье слагаемое

2

Для вычисления третьего слагаемого интеграла (7а) также используем функцию (5)

ГХ1+1 -1

^х

Ъ I х2

х^1 - х

ах —

х1+1 х1

Ь(е)

Ъ ГХ1+1

I (х+1 -х) ах —

Х

1(е) \ х1 + 1х 2 ) 1-^ =

Ъ

х

22 Л1 + 1 : 1 + 1

х1

х,м1 _ х^х^+1 + „ ) —

Ъ(ь(е)У

Ь(е) У-1 + 1 2 х1х1 + 1 ' 2 ) 21(е) Третье слагаемое имеет следующий вид.

-¡ХХ^ж^ш ах —

QL(e)

(П1.7а-8)

>Х{ 1 + ' ^ 2

Объединяем (П1.7а-6), (П1.7а-7), (П1.7а-8) в (П1.7а) и определяем влияние элемента (е) на узел I

-2ф(е)(х)

*&(х) = - ¡ХХ'+1 ж+)(х) (о- Сф(е)(х) + Ъ) ах=

О

— й 1-ЫШФ+1)т - Щ+1(х)^ 1Х+ + у [ф,-

слагаемое - Б )(х)

(е)г , -ф(е\х)

-Х

Х1+1

Х

обеспечивает плавный переход функции в

узловых точках. Как правило оно используется при учете граничных условий, представленных как производная искомой функции (конвекция), в прочих случаях оно опускается, что подтверждает приблизительный характер метода. В этом случает функция (П1.7Ь) принимает следующий вид:

Р(+1(х) —^1-1Л][Ф1,Ф1+1]т + Ы(е) 1,1 [ф1,ф1+1}т -

О

1Се)

1 1 б' 3

QL(е)

(П1.8)

Аналогичным образом вычисляем интеграл выражения (П1.7Ь), при этом используем выражение (П1.6) в качестве взвешивающей функции.

Производная функции от х

—ы^Ах))—- (^ц.

-Х \ -Х\Х;+Л-Х1/ Х1+л-Х; Ь(е)

(П1.7Ь-1)

Первое слагаемое.

2

По аналогии с (П1.7а-3), но с использованием взвешивающей функции (6) и

ее производной (П1.7Ь-1) вычисляем первое слагаемое (П1.7Ь):

гх+ (е^ а2ф(е\х) -0^ Ш+±(х) ]1х2(^х =

<М+Л(х) йф(е\х)_ л ^Ф(е)(х}^

ах С^1 (х) ах ))ах

гх»ч а

=4 (

4+1

ах

ах

г**1/ 1

=°1 Ь

-1 1

Ь(е)'Ь(е)

[-1. ШФ,. Ф+1)тах - 0 ™+1(х)

х

0

(Ь(е))

2(-Ф,х + ф1+1х)\х*1 - ш =

о т (е) аф(е)(х)Х1+1

х

ч+^юг^ ах = ^ [-1.1Ш ф+1}т - о ш+:)(х)

-о IХЧ+1 Ц++1 (х)

(е)г л йф(е\х)

йх2

йх

Х1+1

х

(П1.7Ь-2)

Второе слагаемое

Гх1+1 г \

I щ(+е?(х)вф(е)(х)ах

х

в

= в

Гх1+1

I ((х - х,)((х,+1 - х)ф, + (х- х^ф^ах =

¿У: