Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Стефанюк, Екатерина Васильевна

• Стефанюк, Екатерина Васильевна
• доктор технических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор технических наук Стефанюк, Екатерина Васильевна

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР РАБОТ В ОБЛАСТИ РАЗРАБОТКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

2. МЕТОД ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1. Неограниченная пластина алгебраические координатные функции)

2.2. Тригонометрические координатные функции

2.3. Неограниченная пластина (граничные условия третьего рода)

2.4. Бесконечный цилиндр (граничные условия первого рода)

2.5. Бесконечный цилиндр (граничные условия третьего рода)

2.6. Шар (граничные условия первого рода)

2.7. Шар (граничные условия 3-го рода)

2.8. Задачи теплопроводности при несимметричных граничных условиях третьего рода

2.9. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности для многослойных конструкций

3. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОНТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

3.1. Неограниченная пластина (граничные условия первого рода)

3.2. Цилиндр, шар (граничные условия первого рода)

3.3. Пластина, цилиндр, шар (граничные условия третьего рода)

3.4. Граничные условия второго рода

3.5. Задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты (граничные условия первого рода)

3.6. Внутренние источники теплоты при граничных условиях второго рода

3.7. Внутренние источники теплоты при граничных условиях третьего рода

3.8. Двумерные задачи теплопроводности с источником теплоты

3.9. Анализ решений уравнений теплопроводности при конечной и бесконечной скорости распространения теплоты

3.10. Приближенные аналитические решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

4. ПЕРЕМЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

И ИСТОЧНИКИ ТЕПЛОТЫ

4.1. Температура стенки - линейная функция времени

4.2. Граничные условия третьего рода с переменной во времени температурой среды

4.3. Граничные условия третьего рода с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи

4.4. Переменные во времени граничные условия второго рода

4.5. Переменные во времени внутренние источники теплоты

4.6. Переменное начальное условие

4.7. Несимметричные граничные условия

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

5.1. Коэффициент температуропроводности - линейная функция температуры

5.2. Коэффициент температуропроводности степенная функция температуры

5.3. Нелинейные задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты

5.4. Задачи теплопроводности с переменными физическими свойствами среды

6. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОТОКАХ ЖИДКОСТЕЙ

6.1. Общие сведения о пограничном слое. Гидродинамическая теория теплообмена

6.2. Динамический пограничный слой

6.3. Тепловой пограничный слой

6.4. Аналитические решения уравнений динамического пограничного слоя

6.5. Аналитические решения уравнений теплового пограничного слоя при граничных условиях первого рода на стенке

6.6. Аналитические решения уравнений теплового пограничного слоя при граничных условиях третьего рода на стенке

6.7. Теплообмен при течении жидкостей в плоскопараллельных каналах

7. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО И ТЕРМОНАПРЯЖЕНОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ПУТЕМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

7.1. Расчет коэффициентов теплоотдачи в барабане парового котла путем решения обратной задачи теплопроводности

7.2. Метод определения начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов ГТД

7.3. Аналитический метод диагностики толщины коксовых отложений на внутренних поверхностях трубопроводов

7.4. Основные положения метода конечных элементов применительно к расчету температурных напряжений в элементарной конструкции

7.5. Расчет напряженно-деформированного состояния барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы:

Известно, что точные аналитические решения краевых задач математической физики в настоящее время получены лишь для отдельных частных случаев и, к тому же, при весьма существенных допущениях (неучет нелинейности, переменности физических свойств и граничных условий и проч.). Кроме того, решения, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты. Исследования показывают, что сходимость точного аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье 10"12< Го < 10"7 наблюдается лишь при использовании от 1000 (Го = 10~7) до пятисот тысяч (Го = 10"12 ) членов ряда.

Эта проблема еще в большей степени характерна и для вариационных методов (Ритца, Треффтца, Л.В. Канторовича и др.), а также методов взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод моментов, коллокаций и др.). Эти методы (или их совместное использование с точными аналитическими методами) для получения решений нестационарных задач теплопроводности при малых значениях временной координаты практически неприменимы в виду того, что при большом числе приближений относительно неизвестных коэффициентов искомого решения получаются большие системы алгебраических линейных уравнений. Матрицы коэффициентов таких систем, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, как правило, плохо обусловлены. В связи с чем, весьма актуальной является проблема разработки новых более эффективных методов получения точных (или приближенных) аналитических решений краевых задач математической физики.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (интегральные методы теплового баланса). При их использовании процесс нагрева (охлаждения) тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным продвижением фронта температурного возмущения от поверхности к центру, а вторая - изменением температуры по всему объему тела вплоть до наступления стационарного режима. Перемещение фронта температурного возмущения учитывается введением новой функции д{ (Го), называемой глубиной проникания (глубиной термического слоя). Такая модель процесса теплопроводности используется в ряде методов: интегральном методе теплового баланса, методе осреднения функциональных поправок, методах Швеца М.Е., Био М., Вейника А.И. и др.

Несомненным их преимуществом является возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопроводности. Причем, они могут быть применены к задачам теплопроводности, точные аналитические решения которых в настоящее время не получены (нелинейные, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, задачи для многослойных конструкций и др.). Однако их серьезным недостатком является низкая точность. Всякие попытки повышения точности оказались неэффективными. Причина в том, что получаемое решение, точно удовлетворяя начальному и граничным условиям, основному дифференциальному уравнению удовлетворяет лишь в среднем. Это связано с тем, что в основу интегральных методов положено построение так называемого интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах глубины термического слоя (в пределах толщины пластины для второй стадии процесса). Следовательно, очевидным путем повышения точности интегральных методов является улучшение выполнения исходного дифференциального уравнения. С этой целью в настоящей работе избрано направление аппроксимационного представления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов основных граничных условий оказывается недостаточно. В связи с чем, возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения. Следовательно, в данном случае возникает необходимость включения граничных точек по пространственной координате в область определения основного дифференциального уравнения.

Физический смыл дополнительных граничных условий состоит в том, что их выполнение равносильно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Так как перемещение фронта температурного возмущения охватывает весь диапазон изменения пространственной переменной (0<£<1), следовательно, с увеличением числа приближений получаемые решения приближаются к точным аналитическим решениям, что подтверждается полученными в диссертации результатами.

Для задач, не связанных с определением фронта температурного возмущения (вторая стадия процесса, метод Фурье с дополнительными граничными условиями), дополнительные граничные условия определяются лишь в граничных точках пространственной координаты. Их применение в данном случае равнозначно выполнению исходного дифференциального уравнения, а также соотношений, полученных после взятия производных от него различного порядка, в граничных точках краевой задачи. В диссертации показано, что такой метод решения приводит к характеристическим уравнениям, из которых находятся собственные числа, совпадающие с собственными числами краевой задачи Штурма-Лиу вил ля.

Важнейшее преимущество такого способа получения аналитических решений краевых задач заключается в том, что он индифферентен к типу уравнения краевой задачи. Всякий раз составляется невязка этого уравнения (т. е. оно осредняется) и с помощью дополнительных граничных условий появляется возможность улучшать выполнение не осредненного, а исходного дифференциального уравнения. Таким путем можно получать аналитические решения краевых задач практически с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса ( 0 < < оо ) без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений.

Особо отметим тот факт, что в основе используемого в диссертации метода не лежит понятие конечной скорости распространения теплового возмущения. В данном случае решается параболическое уравнение нестационарной теплопроводности, выведенное из условия бесконечной скорости распространения теплоты. Полученные в диссертации результаты позволяют заключить, что вопрос скорости распространения теплоты связан с точностью получаемых решений. В частности, показано, что с увеличением числа приближений время перемещения фронта температурного возмущения по пространственной координате приближается к нулевому значению, а получаемое при этом аналитическое решение приближается к точному. Следовательно, использование такого метода решения подтверждает факт бесконечной скорости распространения теплового возмущения, лежащий в основе вывода параболического уравнения теплопроводности Фурье.

Цель работы:

Целью работы является решение важной научно-технической проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач математической физики, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих в аппроксимационном представлении приближенного решения определять любое число его слагаемых и получать аналитические решения сложных линейных и нелинейных нестационарных краевых задач, аналитические решения которых в настоящее время не получены, практически с заданной степенью точности.

Создание комплекса программ для реализации разработанных в диссертации аналитических методов решения краевых задач теплопроводности, а также для реализации численных методов с целью сравнения результатов для задач, не имеющих точных аналитических решений.

Для достижения указанных целей решались следующие основные задачи:

1. Обоснование необходимости применения и разработка методов построения дополнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения краевой задачи с использованием исходных (классических) граничных условий.

2. Применение дополнительных граничных условий с целью определения собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля при моделировании нестационарной задачи теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

3. Разработка математической модели получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработка методов построения изотерм и определение скоростей их перемещения по пространственной координате во времени на основе полученных в диссертации аналитических решений с использованием дополнительных граничных условий.

5. Разработка алгоритмов и программ, реализующих предложенные в диссертации аналитические методы решения, а также численные методы решения сложных линейных и нелинейных задач, не имеющих в настоящее кремя точных аналитических решений.

6. Разработка математической модели решения обратных задач теплопроводности с целью определения граничных условий теплообмена (коэффициентов теплоотдачи) на основе использования полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

Научное направление:

Научное направление, развиваемое автором диссертации: использование дополнительных граничных условий в краевых задачах математической физики с целью значительного упрощения как процесса получения, так и окончательных выражений для аналитических решений. При этом имеется возможность нахождения аналитических решений с любой заданной степенью точности для многих сложных задач математической физики (нелинейных, с переменными физическими свойствами, переменными по координатам и во времени граничными условиями и источниками теплоты, многослойных и др.), точные аналитические решения которых в настоящее время не получены. Подобный эффект оказывается возможным благодаря тому, что дополнительные граничные условия, включаемые в математическую постановку задачи, содержат дополнительную информацию о физической сущности рассматриваемого процесса. Их построение основано на использовании исходного дифференциального уравнения и заданных (классических) граничных условий. Достигаемый эффект обусловлен тем, что выполнение дополнительных граничных условий, отличающихся простотой конструкции, эквивалентно удовлетворению исходного дифференциального уравнения в фиксированных точках пространства и времени, и чем большее количество приближений (дополнительных граничных условий) будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное уравнение во всем диапазоне изменения пространственных координат и времени. Отсюда следует, что существенное упрощение процесса получения решений краевых задач и окончательных выражений для их решений при использовании дополнительных граничных условий связано со значительным возрастанием исходной информации о краевой задаче, содержащейся в ее математической постановке, причем, информации, полученной из исходного дифференциального уравнения краевой задачи и заданных граничных условий.

Научная новизна:

1. Решена важная научно-техническая проблема разработки нового научного направления математического моделирования аналитических решений краевых задач математической физики, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих применять аппроксима-ционное представление приближенного решения с определением любого числа его слагаемых и, как следствие, получать аналитические решения практически с заданной степенью точности.

2. Разработана математическая модель получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющая получать аналитические решения с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе и для сверхмалых значений пространственной координаты и времени.

3. Доказана необходимость применения и разработана модель построения дополнительных граничных условий, задаваемых в граничных точках краевой задачи, выполнение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне пространственной координаты и времени нестационарного процесса. В диссертации показано, что с увеличением числа приближений собственные числа, определяемые из характеристического уравнения, совпадают с собственными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лиувилля, что подтверждает выполнение исходного дифференциального уравнения по координате и времени.

4. На основе использования исходного дифференциального уравнения и основных граничных условий разработана модель построения дополнительных граничных условий, удовлетворение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Так как область перемещения фронта температурного возмущения включает весь диапазон изменения пространственной координаты, то, следовательно, чем большее количество дополнительных граничных условий будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное уравнение внутри области.

5. Разработаны методы решения обратных задач теплопроводности по восстановлению теплофизических коэффициентов, начальных и граничных условий теплообмена на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач и экспериментальных данных по температурному состоянию конструкций.

6. На основе использования дополнительных граничных условий впервые с заданной степенью точности получены аналитические решения нелинейных уравнений динамического и теплового пограничных слоев при граничных условиях первого и третьего рода на стенке. На основе полученных решений уточнены критериальные уравнения, используемые для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений в пограничном слое движущейся жидкости.

На защиту выносятся:

1. Результаты решения автором научно-технической проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач математической физики на основе введения дополнительных граничных условий, позволяющих получать аналитические решения практически с заданной степенью точности.

2. Результаты разработки математической модели построения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющей получать высокоточные аналитические решения задач теплопроводности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая сверхмалые значения времени и пространственной координаты.

3. Впервые полученный метод построения дополнительных граничных условий, необходимых для как можно более точного выполнения исходного дифференциального уравнения при аппроксимационном (модельном) представлении решения. Полученные в диссертации граничные условия приводят к характеристическим уравнениям, собственные числа которых эквивалентны собственным значениям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

4. Впервые полученная математическая модель построения дополнительных граничных условий, используемых при моделировании процессов теплопроводности с введением фронта температурного возмущения, позволяющих выполнять исходное дифференциального уравнение в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Применение таких условий позволяет при минимальном числе приближений получать высокоточные решения во всем диапазоне числа Фурье.

5. Впервые полученная в диссертации математическая модель построения аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений динамического и теплового пограничных слоев (уравнения Прандтля и Поль-гаузена) при граничных условиях первого и третьего рода на стенке, а также результаты уточнения критериальных уравнений по касательным напряжениям и теплоотдаче в движущейся жидкости.

6. Впервые полученные автором результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM Самарской ТЭЦ путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

7. Впервые полученные результаты расчетов по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива и толщины кокосовых отложений на внутренних стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных в диссертации методов решения прямых задач теплопроводности для многослойных конструкций.

8. Результаты расчетов температурного и термонапряженного состояния барабана парового котла БКЗ-420-140 HTM Самарской ТЭЦ на переходных режимах работы.

Достоверность разработанных автором математических моделей подтверждается соответствием математических моделей физическим процессам, протекающим в энергетических устройствах, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с приближенными решениями других авторов, с результатами натурного эксперимента.

Практическая значимость работы:

1. Полученные в диссертации аналитические решения отличаются заметной простотой конструкции при точности, вполне достаточной для инженерных приложений. Подобные решения особенно полезны в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточной стадией каких-либо • других исследований, например, решения обратных задач теплопроводности, задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления и др. И, в частности, аналитические решения задач теплового и динамического пограничных слоев были использованы при разработке компьютерных моделей и программных комплексов для теплосетей Самарской ТЭЦ и Привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении результатов работы приведены в приложениях диссертации).

2. На основе полученных в диссертации решений прямых задач теплопроводности путем решения обратных задач были найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-40 HTM Самарской ТЭЦ в процессах планового (или аварийного) останова, сопровождающихся сбросом давления. При сбросе давления происходит частичное вскипание жидкости, приводящее к увеличению коэффициентов теплоотдачи на границе жидкость - стенка до величин равных а = 470 Вт/(м2К).

3. Используя полученные в диссертации аналитические решения для многослойных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива (керосин) на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей, приводящего к отложению кокса на внутренних поверхностях стенок трубопроводов. Показано, что длительность кипения топлива, имеющего температуру 20°С и поступающего в нагретый (до 200°С) топливный коллектор, находится в пределах от 8 до 12 секунд. Величина коэффициентов теплоотдачи при этом составляет около 600 Вт/(м2К). После прекращения пленочного кипения (в результате л охлаждения стенки коллектора) они возрастают до 2500 Вт/(м К). По результатам выполненных исследований выданы рекомендации по исключению или уменьшению продолжительности пленочного кипения путем применения низкотеплопроводных материалов в качестве покрытий внутренних поверхностей трубок коллекторов, а также путем турбулизации потока в областях трубопроводов, наиболее подверженных пленочному кипению.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №551/02 (01.01.2002-31.12.2006 гг.) «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности»; (01.01.2006-31.12.2007 гг.) «Разработка нового направления получения аналитических решений линейных и нелинейных задач теплопроводности и термоупругости на основе введения фронта температурного возмущения»; (01.01.2008-31.12.2008 гг.) «Разработка нового направления получения аналитических решений задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий»; (01.01.2009-31.12.2010 гг.) «Разработка нового направления получения аналитических решений задач теплопроводности на основе теории обобщенных функций и дополнительных граничных условий». Исследования выполнялись также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» за 2002-2006 гг.

Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, в Самарских тепловых сетях. Полученный экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, составляет 400 000 рублей.

Личный вклад автора является определяющим на всех этапах исследований и заключается в постановке проблем исследований, непосредственном выполнении основной части работы, которая выполнена в соавторстве.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой и пятой Международной Конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление", Москва, МАИ, 2003, МЭИ, 2007; Пятом и Шестом Международном форуме по тепло - и массобмену, Минск, АНБ, 2004, 2008; Всероссийских научно-технических конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, СамГТУ, (2003, 2004, 2005, 2007, 2008); на Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006; на Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием, секция «Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами», Самара 2007; на Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», Ульяновск, 2009; на Школе-семинаре молодых ученых под руководством академика А.И. Леонтьева, Жуковский, 2009.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликованы 53 научные работы, в том числе 17 статей в центральных академических изданиях, 13 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета. Напечатаны две монографии и три учебных пособия, одно из которых с грифом Рособразования в издательстве «Высшая школа». В изданиях по перечню ВАК опубликовано 18 статей.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 321 странице основного машинописного текста, содержит 142 рисунка, 20 таблиц. Список использованной литературы включает 97 наименований.