Разработка численно-аналитических методов решения задач гидродинамики и теплообмена на основе параболических и гиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Еремин, Антон Владимирович

• Еремин, Антон Владимирович
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Еремин, Антон Владимирович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. ОБЗОР РАБОТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА.

2. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

2.1. Основные положения метода и его теоретическое обоснование

2.2.Теплообмен при ламинарном течении жидкости в круглой трубе (задача Гретца-Нуссельта).

2.3.Получение приближенного аналитического решения квазистатической задачи термоупругости.

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОНТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ.

3.1.Охлаждение пластины с внутренними источниками теплоты при граничных условиях третьего рода.

3.2.Нестационарный теплообмен в круглой трубе при ламинарном течении жидкости (задача Гретца-Нуссельта).

3.3.Теплообмен в плоском канале при граничных условиях третьего рода (задача Куэтга).

3.4.Получение аналитического решения задачи

Стефана с абляцией для полубесконечной области.

3.5.Аналитическое решение задачи Стефана для пластины при граничных условиях первого рода на неподвижной стенке.

4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ ИКАНАЛАХ.

4.1 .Исследование распределения скорости течения жидкости в условиях гидравлического удара.

4.2.Исследование распределения давления в движущейся жидкости в условиях гидравлического удара.

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ.

5.1.Исследование гидравлических режимов работы циркуляционных систем ТЭЦ на компьютерных моделях.

5.2.Исследование гидравлических режимов работы циркуляционной системы Тольяттинской ТЭЦ на компьютерных моделях.

6. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА.

6.1 .Реализация метода решения краевой задачи Штурма-Лиувилля на основе совместногоиспользования методов

Л .В. Канторовича и Бубнова-Гал еркина.

6.2.Реализация метода решения задач теплообмена на основе использования дополнительных граничных условий.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка численно-аналитических методов решения задач гидродинамики и теплообмена на основе параболических и гиперболических уравнений»

Актуальность работы. Теоретическое описание и решение проблем гидродинамики и теплообмена в движущихся и неподвижных средах является одним из важнейших направлений современной науки и техники. Для решения этих проблем необходимо объединение комплекса знаний из гидромеханики и термодинамики, молекулярной и статистической физики, теории переноса теплоты и массы вещества в различных средах. Решение указанных проблем существенно осложняется необходимостью совместного рассмотрения процессов гидродинамики и теплообмена.

Нестационарный перенос теплоты и массы описывается уравнениями параболического типа. Для их решения используются такие точные аналитические методы как методы разделения переменных Фурье, тепловых потенциалов (функций Грина), интегральных преобразований и др. При их практическом использовании возникают известные трудности: полученные решения, как правило, выражаются сложными функциональными зависимостями, в ряде случаев содержащими специальные функции. Особые трудности представляют нелинейные задачи, задачи с переменными по координатам физическими свойствами среды (включая многослойные конструкции), а также переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты. Для решения большей части указанных задач точные аналитические методы практически неприменимы.

В связи с этим, проблема разработки приближенных численно-аналитических методов их решения является одной из наиболее актуальных проблем современной математической физики. Эффективному решению именно этой проблемы и посвящена настоящая работа. В частности, применительно к решению краевых задач развивается эффективный гибридный приближенный численно-аналитический метод, основанный на совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (ортогональные методы Л.В. Канторовича, Бубнова-Галеркина и др.) аналитических методов в сочетании с дополнительными граничными условиями.

В ряде случаев сочетание этих двух важнейших направлений прикладной математики позволяет получать не только приближенные, но и точные аналитические решения. В настоящей работе такие решения получены для гиперболических уравнений, описывающих гидравлический удар в трубопроводах.

Цель диссертационной работы состоит в разработке численно-аналитических методов в задачах математического моделирования процессов теплопроводности в твердых телах, а также теплообмена и гидродинамики в движущихся жидкостях, описываемых параболическими и гиперболическими дифференциальными уравнениями.

Задачи исследований.

1. Разработка численно-аналитических методов математического моделирования процессов теплопереноса в цилиндрических и плоских каналах (задача Гретца-Нуссельта).

2. Получение приближенного аналитического решения краевой задачи Куэтта с учетом теплоты трения на основе использования ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина.

3. Разработка численно-аналитического метода математического моделирования краевой задачи теплопроводности с учетом теплоты фазового перехода на подвижной границе (задача Стефана с абляцией).

4. Математическое моделирование гидравлического удара в трубопроводах путем решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений исследуемой среды.

5. Разработка математической модели и программного комплекса для исследования гидродинамических процессов в сложных трубопроводных системах.

Объект исследований: процессы переноса теплоты в твердых телах; процессы теплообмена и гидродинамики в движущихся жидкостях.

Предмет исследований: модели и режимы теплопереноса и гидродинамики на основе дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типа.

Научная новизна диссертационной работы:

1. На основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий получено численно-аналитическое решение краевой задачи Гретца-Нуссельта, позволяющее выполнять исследования температурного состояния движущейся жидкости при малых и сверхмалых значениях продольной пространственной переменной.

2. Путем совместного использования ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина получено приближенное численно-аналитическое решение краевой задачи Куэтта с учетом диссипации энергии, позволившее впервые выявить асимметрию температурного поля на начальном участке продольной пространственной переменной.

3. Разработан численно-аналитический метод решения краевой задачи теплопроводности с учетом теплоты фазового перехода на подвижной границе, основанный на совместном использовании интегрального метода теплового баланса и дополнительных граничных условий.

4. На основе совместного использования метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина получены точные аналитические решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах.

5. Используя аналогию электрических и гидравлических процессов, построены компьютерные модели сложных трубопроводных систем, позволяющие определять давления, скорости, расходы, температуру, а также потери напора и расход энергии на перемещение теплоносителя. При расчетах температурного состояния потока использованы результаты, полученные при решении задачи Гретца-Нуссельта.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации:

1. Численно-аналитические методы решения задач теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий; оценка сходимости и погрешности решений.

2. Приближенный численно-аналитический метод решения краевой задачи Куэтта с учетом диссипации энергии на основе использования методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, позволяющий выполнять исследования температурного состояния среды для малых значений продольной пространственной переменной; оценка сходимости и погрешности решений.

3. Численно-аналитический метод решения задачи Стефана с учетом перемещения фронта плавления с удалением расплавляемой среды, основанный на совместном использовании интегрального метода теплового баланса и дополнительных граничных условий.

4. Аналитические решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах, основанные на совместном использовании метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Л.В. Канторовича; оценка сходимости и погрешности решений.

5. Математические модели и программный комплекс для расчетов гидравлики и теплообмена в сложных разветвленных трубопроводных системах различного назначения.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных автором диссертации решений подтверждается соответствием математических моделей реальным физическим процессам, протекающим в конкретных энергетических установках, сравнением полученных в диссертации результатов с точными и приближенными аналитическими решениями, полученными другими авторами, а также с решениями, найденными численными методами.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации аналитические и численно-аналитические решения отличаются простотой конструкции при точности, достаточной для инженерных приложений. Они весьма полезны при решении обратных задач, когда по известной из эксперимента температуре в какой-либо точке рассматриваемой конструкции могут быть определены физические свойства среды или граничные условия теплообмена. В частности, полученные в диссертации численно-аналитические решения задач теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах, были использованы для определения коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях стенок, а также толщины слоя отложений на них.

Полученные в диссертации результаты были использованы при разработке программных комплексов циркуляционных систем Тольяттинской ТЭЦ (ТоТЭЦ) и ТЭЦ Волжского автомобильного завода (ТЭЦ ВАЗ), позволяющих определить оптимальные режимы текущей работы циркуляционных систем, выполнить предварительные проекты их реконструкции, а также составить планы построения новых участков трубопроводов.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №1.21.11 «Разработка методов получения точных аналитических решений дифференциальных уравнений гиперболического типа», а также по направлению Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» по тематическому плану НИР №551/02 «Разработка нового направления получения аналитических решений задач математической физики на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий».

Внедрение результатов работы. Результаты работы использовались при выполнении энергетического аудита Самарского государственного технического университета в период с 01.02.2011 по 31.12.2012 гг., а также при выполнении работ с Волжской территориальной генерирующей компанией, Куйбышевским и Новокуйбышевским нефтеперерабатывающими заводами, ОАО «Самараоргсинтез», Новокуйбышевской ТЭЦ-1, Безымянской ТЭЦ, Самарской ТЭЦ, территориальным управлением по теплоснабжению г. Самары.

Экономический эффект от внедрения результатов работы, подтвержденный актом о внедрении, приведенным в приложениях диссертации, составляет 6,7 млн. руб. в год.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на Международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2007, 2009, 2011); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010, 2011, 2013); заседаниях школы-семинара академика РАН В.Е. Алемасова (г. Казань, 2010, 2013); Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании» (г. Самара, 2011); II международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2012); XIV Минском международном форуме по тепломассообмену (г. Минск, 2012); конференции «Инновационные технологии в области агроинженерии» (г. Москва, 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 35 печатных работах, из них 11 статей в журналах из перечня ВАК. Издано 1 учебное пособие.

Личный вклад автора. В работах [8-9, 11, 14-17, 22, 28] диссертанту принадлежит непосредственное выполнение основной части расчетной работы.

В работах [1-7, 10, 12-13, 18-21, 29-36], опубликованных в соавторстве, диссертанту в равной степени с другими авторами принадлежат постановки задач, получение решений и анализ результатов работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемой литературы, приложений; изложена на 145 страницах основного машинописного текста и 42 страницах приложений, содержит 59 рисунков, 2 таблицы. Список использованной литературы включает 93 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Еремин, Антон Владимирович

9. Результаты работы внедрены на следующих промышленных предприятиях г. Самары: Новокуйбышевская ТЭЦ-1, Самарская ТЭЦ, Самарская ГРЭС, Безымянская ТЭЦ. Экономический эффект, полученный от внедрения результатов работы, подтвержденный приведенными в приложениях диссертации актами внедрения, составляет 6,7 миллиона рублей в год.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Еремин, Антон Владимирович, 2013 год

1. Аверин Б.В. Математическое моделирование температурных полей и термических напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. канд. дисс. М.: Московская академия тонкой химической технологии, 1999. 22 с.

2. Аверин Б.В., Колотилкин Д.И., Кудинов В.А. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. ИФЖ, т.73, № 4, 2000. с.748-753.

3. Айзен A.M., Редчиц И.С. Расчет стационарной нелинейной теплопроводности через многослойные стенки с источниками тепла. Теплофизика и теплотехника. Ин-т Техн. теплофизики АН УССР, 1974, Вып. 27. С. 133-138.

4. Акаев A.B., Дулънев Г.Н. К вопросу о повышении точности первых приближений метода Л.В. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт, 1972, № 1.С. 154-158.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 297 с.

6. Абрамов H.H. Теория и методика расчета системы подачи и распределения воды. М.: Стройиздат, 1972.

7. Арамонович ИТ., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 286 с.

8. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа, 1978. 328 с.

9. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия.1975.

10. Волков А.Г. Радиопрозрачные укрытия для мощных передающих фазированных антенных решеток. Автореф. канд. дисс. М.: НИРФ, 1984. 18 с.

11. Булавин П.Е., Кащеев В.М. Решение неоднородного уравнения теплопроводности для многослойных тел. ИФЖ, т.12, № 9. 1964.ХЪ.Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. М. Л.: Госэнергоиздат, 1959. 184 с.

12. ВигакВ.М. О построении решения уравнения теплопроводности для кусочно-однородного тела. Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, №1. С. 30.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

14. Галонен Л.М. Нестационарная задача теплопроводности неоднородных слоистых плит. ИФЖ. 1963, т. 6, №12. с. 81-84.

15. Григорьев Л.Я., Манъковский О.Н. Инженерные задачи нестационарного теплообмена. JL: Энергия, 1968. 83 с.

16. Гелъфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

17. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена, Сб. науч. тр. М.: Атомиздат. 1967, С. 41-96.

18. Гейтвуд Б.В. Температурные напряжения применительно к самолетам, турбинам и ядерным реакторам ИЛ. М.: 1959.21 .Дулънев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 266 с.

19. Заричняк Ю.П., Муратова Б.Л. Расчет теплового сопротивления составных конструкций из теплоизоляционных материалов // Механика композиционных материалов. 1979, №6.

20. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

21. Зарубин В. С. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

22. Иванов A.B. Операционное решение задач теплопроводности для слоисто-однородных тел. ИФЖ,. 1958, т. 1, №2. С. 13-21.

23. Каган В.К., Эсмендяев С.А. Решение уравнения теплопроводности для двухслойного цлиндра и тепловой расчет двигателей постоянного тока. ИФЖ, т. 27, №1. 1974.

24. Канторович JI.B. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Прикл. мат. и механ. 1942, т. 6, № 1. С. 31 -40.

25. Канторович Я.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

26. Карслоу Г, Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

27. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 1985. 480 с.

28. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 2001. 550 с.

29. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир. 1978.

30. Коган М.Г. Применение методов Галеркина и Канторовича в теории теплопроводности // Исследование нестационарного тепло- и массообмена: Сб. тр. Минск, 1966. С. 42 51.

31. Коган М.Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича // ИФЖ. 1967, т. 12, № 1. С. 72 81.

32. Коган М.Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах. ЖТФ, 1957, т. 27, № 3. С. 522 531.

33. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел. В кн. Математические методы и физико-механиеские поля. Киев: Наукова думка. 1978. Вып. 7. С. 7-11.

34. Кудинов КВ. Построение компьютерных моделей систем теплоснабжения больших городов // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки. 2011. №1(29). С. 212-219.

35. Кудинов К. В. Использование компьютерной модели для проектирования тепловых сетей // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки. 2010. № 4 (27). С. 174-181.

36. Кудинов В.А., Кудинов КВ. Получение и анализ точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности для плоской стенки // Теплофизика высоких температур. 2012. - Т. 50. №1. - С. 118-125.

37. Кудинов В.А., Кудинов КВ. Исследование теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты // Теплофизика высоких температур. -2012. Т. 50. №4. - С. 127-136.

38. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Задачи теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения// Известия АН. Энергетика. -2018. -№5. -С. 141-157.

39. Кудинов В.А., Кудинов КВ. Получение точных аналитических решений гиперболических уравнений движения при разгонном течении Куэтта // Известия АН. Энергетика. 2012. - №1. - С. 119-133.

40. Кудинов В.А. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. Изв. АН Энергетика (обзор). 2004, №3. С. 82 104.

41. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно-физический журнал. Т.80, №3. 2007. С. 27 35

42. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. Учеб. пос. для втузов. М.: Высшая школа, 2005. 340 с.

43. Кудинов В.А., Кудинов К.В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности. М.: Книжный дом «Либроком», 2011.280 с.

44. Лазарян В.А., Конашенко С,И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев: Наукова думка, 1974. 190 с.

45. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.

46. Лыков A.B. Тепломассоперенос: Справочник. М.: Энергия, 1978.480 с.51 .Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.:Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

47. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

48. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985.

49. Меерович И.Г. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствами. ИФЖ, 1967, т. 12, № 4. С. 484 490.

50. Меерович И.Г., Мучник Г.Ф. Нестационарное температурное поле в многослойных системах. ТВТ, 1963, №2. С. 291-298.

51. Мучник Г. Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. 1. Общие решения для плоских систем. ИФЖ, 1962. № 12. С. 71-76.

52. Мучник Г.Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. III. Трехслойные и четырехслойные системы. ИФЖ, 1963, т.6, №3. С. 86-94.

53. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Сб. «Расчет пространственных конструкций». Вып. 7. Гостройиздат. 1962.

54. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. 659 с.

55. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функция и ее производных. Докл. АН СССР, 1970, т. 191, №5. С. 997-1000.

56. Павловский Г. И. Теплопроводность в двухслойной пластине при граничных условиях третьего рода. ИФЖ, 1962, т. 5, №4. С. 86-88.

57. Парку с Т. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физ-матгиз, 1963. 252 с.

58. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия, 1976.

59. Петухов B.C. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

60. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

61. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. М.: Судостроение, 1974. 342 с.

62. Постольник Ю. С. Метод осреднения функциональных поправок в задачах теплопроводности // Тепло- и массоперенос: Сб. тр. Минск, 1972, т. 8. С. 23-29.

63. Соколов Е.Я. Теплофикация и тепловые сети. М.: Энергоиздат, 1982. 360 с.

64. Сергеев В.А., Шашков А.Г., Сергеева Л.А. Влияния свойства колориметрического элемента на результаты измерения теплового потока. Инженерно Физический журнал. 1968. Т. 15. №4. С. 660-668.

65. Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР. 1958, т. 121, №2. С. 225-228.

66. Теория тепломассообмена. Учебник для вузов. Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Высшая школа, 1979. 495 с.

67. Тамуров Н.Г. Расчет нестационарных температурных полей в двухслойной пластине. ИФЖ, 1962, т.5, № 12. С. 108-112.

68. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

69. Тимофеев Ю.А. Об одном приближенном методе расчета температурных полей кусочно-однородных тел. Дифференциальные уравнения. 1980, т. 16, № 8. С. 1492-1503.

70. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Атомиздат, 1979. С. 569.

71. Тимошполъский В.И., Постолъник Ю.С. Андрианов Д.Н. Теоретические основы теплофизики и термомеханики в металлургии. Минск: Бел. Наука, 2006. 560 с.

72. ФормалевВ.Ф., РевизниковД.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.

73. Цирельман Н.М. Прямые и обратные задачи тепломассопереноса. Энергоатомиздат, 2005. 392 с

74. Цой П.В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971. 382 с.

75. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: «Недра», 1975. 296 с.

76. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 472 с.

77. Швец М.Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя. Прикладная математики и механика. Т. 13. №3,1949.

78. Шорин С.Н. Теплопередача. М.: Высшая школа, 1964. 490с.

79. Pohlhausen K.Z. Angew. Math. Mech., 1, 252 (1921)

80. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 15, 49 (1953)

81. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 15, 376 (1953)

82. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 19, 171 (1957)

83. MaceyR.I. Bull. Math. Biophys., 21,19 (1959)

84. Rashevsky N. «Mathematical Biophysics». Third Ed., Vol. 1, Chapter 1 Dover, New York, 1960.