Моделирование кривой бескупонных доходностей и её динамики на российском рынке государственных облигаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Макушкин Михаил Сергеевич

• Макушкин Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Макушкин Михаил Сергеевич

Введение

Глава 1. Теоретические основы моделирования кривой бескупонных доходностей

1.1. Понятие и природа кривой доходностей

1.2. Применение кривой доходностей

1.2.1. Ценообразование финансовых инструментов

1.2.2. Оценка процентного риска

1.2.3. Макроэкономический анализ

1.3. Модели кривой бескупонных доходностей

1.3.1. Бутстрэп

1.3.2. Параметрические модели

1.3.3. Сплайновые модели

1.4. Особенности оценки кривой доходностей на развивающихся рынках

Выводы по первой главе

Глава 2. Оценка КБД в статике

2.1. Обзор российского рынка ОФЗ

2.2. Оценка эффективности методики оценки КБД Московской Биржи

2.2.1. Концептуальный анализ методики

2.2.2. Количественный анализ методики

2.3. Сравнение эффективности альтернативных моделей КБД

2.4. Учет неоднородности данных при оценке КБД

2.4.1. Неоднородность данных на рынке ОФЗ

2.4.2. Фильтрация атипичных наблюдений

2.4.3. Взвешивание наблюдений при оценке КБД

2.5. Использование ОФЗ-ПК для оценки КБД

2.5.1. Типология ОФЗ-ПК

2.5.2. Согласованность котировок ОФЗ-ПК и ОФЗ-ПД

2.5.3. Волатильность и доходность ОФЗ-ПК

Выводы по второй главе

Глава 3. Моделирование динамики КБД

3.1. Динамика КБД на российском рынке гособлигаций

3.1.1. Динамика доходностей ОФЗ

3.1.2. Анализ динамики КБД в терминах изменения её формы

3.1.3. Закономерности в динамике КБД

3.2. Моделирование динамики КБД

3.2.1. Обзор моделей динамики процентных ставок

3.2.2. Динамическая модель Нельсона-Зигеля для российского рынка гособлигаций

3.3. Оценка VaR ОФЗ

3.3.1. Задача оценки процентного риска в облигации

3.3.2. Процедура оценки VaR

3.3.3. Бэктестирование VaR

Выводы по третьей главе

Заключение

Список литературы

Приложение

Приложение 1. Калибровка моделей КБД

Приложение 2. Модель цены ОФЗ-ПК

Приложение 3. Стабилизация динамики параметров КБД

Благодарности

Список рисунков

Список таблиц

Введение

Актуальность темы исследования

За последние три года российский рынок облигаций федерального займа (ОФЗ) претерпел серьёзные изменения. После февраля 2022 года рынок ОФЗ оказался изолированным от мировых финансовых рынков, что привело к изменению структуры инвесторов. Если на конец 2021 года нерезиденты отвечали за 20% вложений в ОФЗ, то к концу 2024 года их доля упала до 5%. Основными покупателями ОФЗ стали российские банки - на конец 2024 их доля на рынке ОФЗ составила практически 65%. Также выросла доля нефинансовых организаций (НФО) и физлиц.

После ухода нерезидентов рынок ОФЗ стал менее ликвидным. Если в январе-феврале 2022 года среднедневной объём торгов ОФЗ на Московской Бирже составлял 85 млрд. руб., то к 2024 году этот показатель уменьшился до 44 млрд. руб. Уход нерезидентов также изменил факторы, влияющие на ценообразование. Рынок стал менее зависим от внешних факторов - денежно-кредитная политика (ДКП) мировых центральных банков, настроения международных инвесторов, и стал более чутко реагировать на внутренние факторы - статистику по инфляции, текущую бюджетную политику и ожидания относительно её изменения.

На фоне роста бюджетных расходов после 2022 года выросла фактическая инфляция и инфляционные ожидания, что привело к ужесточению ДКП Центрального Банка РФ. После резкого увеличения ключевой ставки в феврале 2022 года до 20%, ЦБ вернул ставку к докризисному уровню 7.5% уже осенью 2022 года. Однако далее, по мере того как увеличивалось инфляционное давление, ЦБ РФ вновь вернулся к увеличению ключевой ставки, и к ноябрю 2024 года она достигла рекордного уровня в 21%.

Как следствие роста ставок изменилась и структура заимствований Минфина РФ. Если ранее в роли основного инструмента заимствований выступали облигации с фиксированным купоном (ОФЗ-ПД), то после февраля 2022 года Минфин стал выходить на рынок, в основном, с облигациями с плавающим купоном (ОФЗ-ПК, также известные как флоатеры). С одной стороны, ОФЗ-ПК упрощают обслуживание долга для Минфина (позволяют избежать переплаты фиксированного купона в долгосрочной перспективе, когда ставки вернутся к более низкому уровню). С другой стороны, ОФЗ-ПК выглядят более привлекательными для инвесторов, так как позволяют снизить процентный риск в условиях неопределённости монетарной политики. В результате, в структуре рынка ОФЗ доля ОФЗ-ПК выросла с 25% в конце 2021 года до практически 50% в 2024 году.

Перечисленные выше факторы сильно повлияли на кривую бескупонных доходностей (КБД) ОФЗ. Кривая бескупонных доходностей показывает соотношение между процентной ставкой и её срочностью и является важным индикатором состояния финансового рынка. Она имеет широкое практическое применение и используется для оценки финансовых инструментов, макроэкономического прогнозирования, риск-менеджмента и в целом как инструмент анализа экономики.

До 2022 года КБД ОФЗ имела в основном возрастающую форму (долгосрочные ставки выше краткосрочных). Однако на протяжении всего 2024 года и в начале 2025 года КБД остается сильно инвертированной. Спред между долгосрочными и краткосрочными доходностями достигал порядка 6%! Возрос и общий уровень процентных ставок. Если до 2022 года долгосрочные ставки находились на уровне 7-8%, то к 2024 году они достигли уровня в 15%.

На российском рынке эталонной кривой бескупонных доходностей является КБД Московской Биржи (G-Curve), методика оценки которой существенно не менялась с 2014 года. При этом российский рынок образца 2025 года существенно отличается от 2014. В этой связи актуальным выглядит вопрос - насколько применима модель КБД Московской Биржи в текущих условиях и нужны ли её доработки для лучшего отражения новых реалий?

Кроме того, возросшая волатильность процентных ставок делает актуальным вопрос анализа и моделирования её динамики. В ситуации, когда за последние 3 года краткосрочные ставки прошли путь от 7% до 20%, назад к 7% и затем вновь к 20%, инвестором в ОФЗ крайне актуально понимать, как происходит изменение формы КБД, а также как моделировать её динамику и оценивать связанные с ней риски своих вложений в ОФЗ.

Степень разработанности темы

Срочная структура процентных ставок привлекает внимание исследователей уже многие годы. Основы современной теории процентных ставок восходят к работе Ирвинга Фишера "Appreciation and Interest" (Fisher, 1896). Фишер показал, что текущие процентные ставки отражают рыночные ожидания будущих процентных ставок. Другой взгляд на феномен срочной структуры процентных ставок представляет теория предпочтений ликвидности. Основы этой теории восходят к работе Джона Мейнарда Кейнса «The General Theory of Employment, Interest and Money» (Keynes, 1936). Согласно

этой теории, инвесторы не безразличны между инвестированием в краткосрочные и долгосрочные инструменты. Инвесторы предпочитают высокую ликвидность и готовы за это платить, что сказывается на доходности рыночных инструментов. Теория ожидаемых процентных ставок и теория предпочтения ликвидности были дополнены теорией сегментации рынка, предложенной Джоном Мэтью Калбертсоном в работе "The Term Structure of Interest Rates" (Culbertson, 1957). Согласно этой теории, процентные ставки на разные срочности представляют собой отдельные сегменты долгового рынка. На разных сегментах этого рынка взаимодействуют разные типы инвесторов, со своими индивидуальными риск-профилями. В результате, процентные ставки на разные срочности формируются разными факторами спроса и предложения, что и приводит к возникновению кривой доходностей.

Современная экономическая наука признает, что в той или иной степени на форму кривой доходностей воздействуют все три перечисленные теории. Кривая доходностей может меняться во времени из-за изменений ожиданий участников рынка относительно траектории движения краткосрочной ставки. Кривая доходностей также зависит от предпочтений ликвидности инвесторов и их динамики. Немалый вклад в форму кривой доходности вносит и специфика поведения участников рынка, действующих на разных сегментах срочности долгового рынка. Иногда эти факторы могут дополнять друг друга, иногда - наоборот компенсировать. Многообразие факторов, влияющих на временную структуру процентных ставок, делает ее достаточно сложным, но при этом крайне интересным объектом для анализа и моделирования.

Во второй половине XX-ого века исследовательский фокус сместился с теоретических вопросов возникновения временной структуры процентных ставок на вопросы моделирования этой структуры по наблюдаемым рыночным данным. Было предложено множество моделей для оценки кривой бескупонных доходностей. Условно модели срочной структуры процентных ставок можно разделить на три большие категории - параметрические (Nelson, Siegel, 1987; Svensson, 1994), сплайновые (McCulloch, 1971; Vasicek, Fong, 1982) и методы последовательного определения процентных ставок (бутстрэп) (Fama, Bliss, 1987). Помимо этого, существуют риск-нейтральные модели - модели коротких ставок (Vasicek, 1977) и безарбитражные модели (Hull, White, 1990; Heath, Jarrow, Morton, 1992), использующиеся для оценки деривативов. Все эти модели имеют общий принцип - информация о ненаблюдаемой кривой бескупонных доходностей извлекается из цен наблюдаемых рыночных инструментов.

В последние годы возрос исследовательский интерес к прикладному аспекту кривой доходностей. В отличие от технической литературы, где оцененная кривая доходностей является результатом исследования, в прикладной литературе кривая доходностей является лишь входными данными. Так, форма кривой доходностей часто используется как предиктор рецессии (Estrella, Mishkin, 1998; Chauvet, Potter, 2001). Это объясняется тем, что кривая доходностей содержит в себе ожидания о траектории короткой ставки, которая тесно связана с монетарной политикой. Инвертированная кривая доходностей означает ожидание повышения ставок в краткосрочной перспективе (сдерживающая монетарная политика). Повышение ставки приведет к замедлению экономики и потребует от финансового регулятора снижения ставки в будущем (смягчение монетарной политики) для преодоления рецессии. Исследования показывают, что заложенная в кривой доходностей информация делает ее эффективным предиктором макроэкономических переменных, таких как экономический рост, инфляция и курс валюты (Ang et al., 2006; Mehl, 2009; Ishii, 2023).

Внимание исследователей также привлекает вопрос моделирования динамики кривой доходностей. Falkenstein, Hanweck, (1997) показали, что динамику кривой доходностей можно разложить на три основные компоненты - параллельный сдвиг, изменение наклона и изменение изгиба. Три этих фактора позволяют объяснить порядка 90% динамики процентных ставок. Ferreira, Lopez (2005) моделируют совместную динамику процентных ставок на нескольких срочностях с помощью векторной авторегрессии. Diеbold, Li (2006) предложили вариацию модели Нельсона-Зигеля для предсказания будущих процентных ставок в терминах уровня, наклона и изгиба кривой доходностей. Caldeira et al. (2015) адаптировали эту модель для оценки VaR облигаций, добавив в нее динамическую волатильность.

В то же время, на фоне роста важности развивающихся рынков в мировом финансовом секторе, появляется исследовательский и практический интерес к оценке КБД на рынках с низкой ликвидностью. Среди них - Индия (Dutta et al., 2005; Subramanian, 2001), Чили (Cortazar et al., 2007), Бразилия (da Silva, da Silva, 2008), Тайвань (Chou et al., 2009), Малайзия (Ali et al., 2015), Армения (Poghosyan, Poghosyan, 2019), Казахстан (Хакимжанов и др., 2019), Венгрия (Nagy, 2020), Молдавия (Speian et al., 2022). Традиционные модели КБД были разработаны западными исследователями применительно к ликвидным западным рынкам. На таких рынках качество и количество данных обычно не является проблемой. Однако на развивающихся рынках ликвидность ниже, из-за этого оценка кривой доходностей становится связана с дополнительными

особенностями, которые усложняют корректную оценку кривой. Среди них - пропуски в данных, неоднородная ликвидность и иногда попросту недостаточное количество рыночных данных. Поэтому исследователи развивающихся рынков фокусируются в основном на вопросах адаптации традиционных моделей КБД под уровень зрелости рынка.

Так, проблема неоднородной ликвидности в исследованиях иногда решается удалением наблюдений с атипичным объёмом торгов или добавлением весов в оптимизационный функционал модели. Распространённой практикой является взвешивание ошибок модели на обратную дюрацию (Bliss, 1997). Subramanian (2001) взвешивает ошибку предсказания в оптимизационной задаче на долю торгов по какой-либо бумаге в общедневных торгах. Dutta et al. (2005) углубляют данный подход и взвешивают модельные ошибки в задаче оптимизации пропорционально отклонению объёмов торгов по бумаге в конкретный день от максимального объёма торгов по какой-либо бумаге в этот же день. Lapshin, Sohatskaya (2020) сравнивают различные алгоритмы взвешивания наблюдений при оценке кривой доходности и приходят к выводу, что наилучший результат дает взвешивание ошибок модели на обратную дюрацию.

Наличие пропусков в данных по торгам может приводить к смещению оценок кривой доходностей, а также к излишней волатильности оцененных процентных ставок (Cortazar et al., 2007), поэтому пропуски в данных иногда предварительно заполняют. Для заполнения пропусков могут использоваться разные методы. Хакимжанов и др. (2019) заполняют пропущенные точки последним доступным наблюдением. Warga (1992) и Zhu (2006) используют EM (Expectation-maximization) алгоритм, чтобы учесть при заполнении динамику наблюдаемых данных. Косьяненко (2007) помимо EM-алгоритма для заполнения пропусков в данных использует более сложную байесовскую модель с использованием методов Монте-Карло для марковских цепей.

В контексте моделирования КБД на российском рынке ОФЗ важно отметить работы (Гамбаров, Шевчук, 2004; Гамбаров и др., 2004), которые одними из первых обратились к теме оценке временной структуры процентных ставок на российском рынке. Их выводы, во многом, легли в основу текущей методики КБД Московской Биржи (Московская Биржа, 2024), которая является эталонной кривой для российского долгового рынка. Авдеева и Цыплаков (2015) предложили метод адаптивного оценивания срочной структуры процентных ставок на рынке ОФЗ через динамическую модель Нельсона-Зигеля. Лапшин и др. (2015) предложили непараметрический метод оценки КБД ОФЗ. Курбангалеев и др. (2016) исследовали согласованность котировок

ОФЗ в контексте их применимости для оценки КБД. Лапшин и Терещенко (2018) обобщили модели временной структуры процентных ставок и предложили алгоритм выбора модели на основе её свойств. Бешенов и Лапшин (2019) предложили метод параметрической иммунизации процентного риска ОФЗ на основе модели КБД. Наконец, хотелось бы отметить другие работы автора этой диссертации, фокусирующиеся на вопросах оценки кривой доходностей в условиях ограниченной ликвидности (Макушкин, Лапшин, 2021; Макушкин, Лапшин, 2023 а), динамики КБД на российском рынке (Макушкин, Лапшин, 2023б; Курочкин, Макушкин, 2024) и особенностях моделирования ОФЗ-ПК (Макушкин, 2025).

Объект и предмет исследования

Объектом исследования российский рынок государственных облигаций.

Предметом исследования является оценка кривой бескупонных доходностей ОФЗ в новых реалиях российского рынка.

Цель и задачи исследования

Цель исследования - предложить методику оценки кривой бескупонных доходностей и её динамики на российском рынке государственных облигаций в условиях новых реалий российского рынка.

Для достижения поставленной цели ставятся следующие задачи:

1. Систематизировать существующие подходы к оценке КБД;

2. Оценить эффективность методики оценки кривой бескупонных доходностей Московской Биржи (G-Curve) и предложить рекомендации по улучшению методики;

3. Оценить применимость ОФЗ-ПК для оценки КБД на российском рынке;

4. Выявить закономерности в исторической динамике КБД на российском рынке;

5. Оценить модель динамики КБД на российском рынке и проиллюстрировать её практическое применение для оценки рыночного риска ОФЗ.

Теоретическую основу исследования составляют работы в области оценки кривой бескупонных доходностей. Приводится обзор литературы, изучающей природу временной структуры процентных ставок (Fisher, 1896; Keynes, 1936; Culbertson, 1957; Modigliani, Sutch, 1966). Систематизируются основные предложенные в академической

литературе модели оценки кривой бескупонных доходностей (McCulloch, 1971; Nelson, Siegel, 1987; Fama, Bliss, 1987). Используются выводы исследований, посвященных российскому рынку облигаций (Гамбаров, Шевчук, 2004; Гамбаров и др., 2004), а также рынкам облигаций других развивающихся стран (Cortazar et al., 2007; Ahi et al., 2018; Nagy, 2020).

Методологическая основа исследования - методы финансового моделирования и эконометрики. С помощью финансовых моделей информация о кривой бескупонных доходностей извлекается из наблюдаемой рыночной информации. В работе оценивается несколько распространенных моделей кривой бескупонных доходностей и предлагаются их модификации для рынков с низкой ликвидностью. Для этого был самостоятельно реализован функционал оценки модели на языке Python. Качество оценки КБД сравнивается с помощью среднеквадратичной ошибки, рассчитанной на основе кросс-валидации. Для моделирования динамики кривой доходностей используются эконометрические методы работы с временными рядам. Качество моделей оценки рыночного риска оцениваются с помощью бэктестирования.

Информационная база исследования

Для достижения целей исследования используется большой массив данных по российскому рынку. Используется три типа рыночных данных.

1. Временные ряды доходностей и параметров кривой бескупонных доходностей Московской Биржи (G-Curve) с 2014 года (начало публикации КБД Московской Биржи) по март 2025 года. В работе они используются для оценки эффективности модели КБД Московской Биржи и оценки динамики КБД на российском рынке. Выбранный временной промежуток позволяет сравнить модели КБД в старом режиме рынка (до 2022 года) и в текущем актуальном режиме (после февраля 2022 года). Длина выбранного временного интервала достаточна для формирования достоверных исследовательских выводов.

2. Дневные данные по торгам ОФЗ с фиксированным купоном (ОФЗ-ПД) в период с начала 2014 года по март 2025 года. Эти данные используются для оценки и сравнения альтернативных моделей КБД на российском рынке, а также для иллюстрации применения динамической модели КБД для оценки

рыночного риска облигаций. Выбранной временной промежуток соответствует доступности данных по КБД Московской Биржи. 3. Дневные данные по торгам ОФЗ с плавающим купоном (ОФЗ-ПК), начиная с 2024, когда доля ОФЗ-ПК на рынке стала значительной, а также кривая доходностей свопов на RUONIA с секции производных финансовых инструментов (СПФИ) Московской Биржи для моделирования плавающих купонов ОФЗ-ПК. Эти данные используются для ответа на исследовательский вопрос о применимости ОФЗ-ПК для оценки КБД на российском рынке.

Теоретическая значимость исследования состоит в создании формальной базы для анализа и сравнения статических и динамических моделей КБД на российском рынке ОФЗ.

Практическая значимость исследования заключается в сформулированных выводах относительно эффективности текущей методики эталонной КБД на российском рынке, а также рекомендациях по её улучшению. Предложенные в работе методы оценки КБД предоставляют практикам возможность более точной оценки их портфелей. Полученные выводы относительно динамики КБД на российском рынке ОФЗ могут быть полезны инвесторам в ОФЗ и участникам рынка, заинтересованным в усовершенствовании моделей оценки рыночного риска своих вложений в ОФЗ.

Научная новизна исследования

1. Получены новые выводы об эффективности методики оценки кривой бескупонных доходностей Московской Биржи в новых реалиях рынка после февраля 2022 года. Это важно наблюдение, учитывая роль G-Curve как эталонной КБД на российском рынке. Показано, что качество воспроизведения исходных рыночных данных в модели снизилось. На основе этого предложены новые рекомендации по актуализации методики расчёта G-Curve - упрощение функциональной формы модели, обновление подхода к учёту неоднородной ликвидности и атипичных наблюдений.

2. Для оценки КБД применен новый инструмент - ОФЗ-ПК. Это особо важно, учитывая возросшую популярность облигаций с переменным купоном на российском рынке в последние годы. Показано, что, теоретически, из цен ОФЗ-ПК можно извлечь информацию о срочной структуре процентных ставок. Однако

учитывая ограниченную степень развития российского рынка процентных деривативов и сложности с проекцией будущих переменных потоков, этот инструмент пока не подходит для целей моделирования КБД.

3. Получены новые выводы относительно динамики КБД на российском рынке облигаций. Это особенно актуально в текущий период высокой волатильности процентных ставок и смене режима ДКП. Для анализа динами КБД был использован новый инструментарий на основе топологического анализа формы кривой и расчёта матрицы переходов состояний КБД. Показано, что переход КБД из возрастающей формы в убывающую происходит через «горб» на средних срочностях. Подчёркнута важность среднесрочных процентных ставок как индикатора скорого изменения формы КБД.

4. Предложена новая методика оценки динамической модели Нельсона-Зигеля для оценки динамики процентных ставок на российском рынке. В отличие от распространённых в литературе подходов к оценке модели по ценам бескупонных облигаций, в работе предложен двухшаговый алгоритм оценки по ценам купонных облигаций. Это особенно актуально для российского рынка, где все ОФЗ размещаются в купонном формате. Предложенная модель была затем применена для целей оценки рыночного риска ОФЗ. Показано, что модель превосходит стандартный подход к оценке Value-at-Risk ОФЗ на основе дюрации.

Положения, выносимые на защиту

1. После 2022 года модель КБД Московской Биржи ^-Сигуе) стала работать хуже. Это проявляется в снижении точности воспроизведения исходных рыночных данных. Текущая версия модели КБД Мосбиржи была предложена в 2014 году и существенно не менялась с тех пор. Она основана на распространённой модели Нельсона-Зигеля, модифицированной с помощью гауссовских куполов. До февраля 2022 года модель КБД Московской Биржи работала лучше простых аналогов. Однако с ростом неоднородности рынка ОФЗ и снижением его эффективности после ухода международных инвесторов в 2022 году, точность модели ухудшилась.

2. Рекомендуется актуализировать методику оценки КБД Московской Биржи. В основе спецификации уравнения КБД предлагается оставить стандартную модель Нельсона-Зигеля. Для российского рынка она всё ещё работает лучше других распространенных альтернатив - бутстрэпа и сплайновых моделей. При этом,

стоит пересмотреть актуальность использования гауссовских куполов, поскольку КБД Московской Биржи после 2022 года по точности периодически уступает простой модели Нельсона-Зигеля без куполов. Одновременно с этим, необходимо актуализировать подход к учёту неоднородной ликвидности. Рекомендуется обновить методику взвешивания наблюдений, скалиброванную на основании состояния рынка в 2014-2016 годах, а также удалять атипичные наблюдения на ежедневной основе с помощью метрики отклонения доходностей от средних значений по сопоставимым выпускам.

3. ОФЗ-ПК, в теории, могут быть применены для целей оценки КБД. Для этого необходимо прогнозировать плавающие купоны ОФЗ по кривой доходностей свопов с корректировками на капитализацию процентов и волатильность процентных ставок. Однако на практике, учитывая текущее состояние рынка процентных деривативов, ОЗФ-ПК пока не подходят для целей оценки КБД. Плавающие потоки долгосрочных ОФЗ сложно корректно оценить, так как отсутствует рынок долгосрочных свопов на RUONIA. Дополнительную сложность вызывает неудобное свойство большинства находящихся в обращении ОФЗ-ПК, купон которых равен среднему арифметическому значению ставки RUONIA за определенный период. В результате, в цене облигации появляется компонент, связанный с волатильностью процентных ставок (convexity adjustment), который в условиях текущих реалий рынка процентных опционов невозможно изолировать от непосредственно бескупонных процентных ставок. Таким образом, ОФЗ-ПК нужно рассматривать, скорее, как отдельный сегмент рынка ОФЗ и не смешивать с ОФЗ-ПД при оценке КБД.

4. На рынке ОФЗ переход из возрастающей кривой доходностей в убывающую происходит через «горб» на средних срочностях. «Горб» в кривой доходностей возникает из-за того, что короткий конец кривой доходностей привязан к ключевой ставке и не может в полный мере реагировать на изменения ожиданий участников рынка, в то время как средний участок кривой доходностей более быстро реагирует под изменяющиеся рыночные условия. Переход из инвертированной кривой в возрастающую, наоборот, происходит через «яму» на средних срочностях. Таким образом, средний участок кривой доходностей служит важным индикатором относительно будущего изменения формы КБД.

5. Динамический вариант модели Нельсона-Зигеля (Diebold, Li, 2006) может быть использован для моделирования динамики КБД на российском рынке.

Предложенная в работе двухшаговая модель оценки динамики КБД по ценам ОФЗ позволяет получить множество реалистичных сценариев развития КБД. Эта информация полезна для задачи оценки рыночного риска вложений в ОФЗ. Оцененная модель VaR ОФЗ на основе динамической модели Нельсона-Зигеля успешно проходит бэктестирование на волатильном для рынка периоде после февраля 2022 года и превосходит простую модель VaR на основе дюрации облигации, что позволяет рекомендовать модель для практического применения в задачах риск-менеджмента торгового портфеля.

Апробация результатов исследования

Результаты диссертационного исследования были представлены в виде следующих презентаций, докладов и обсуждены на российских конференциях и семинарах:

1. «Моделирование взаимосвязей между квантилями доходностей российских и иностранных фондовых рынков для оценки рыночных рисков». IV Российский экономический конгресс. (21 - 25 декабря, 2020, Москва, Россия).

2. «Динамическая модель Нельсона-Зигеля для оценки рыночного риска облигаций». 12-я Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Статистические методы анализа экономики и общества Москва» (14 - 18 мая 2023 г., НИУ Высшая Школа Экономики, Москва, Россия).

3. «Дополнительный капитал первого уровня (AT1) и стоимость его привлечения для банков». XI Ежегодная международная научная конференция «Экономика и менеджмент» EMC (1 - 15 октября, 2025 г., СПбГУ, Санкт-Петербург, Россия).

4. «Динамика кривой бескупонных доходностей государственных облигаций на российском рынке». 14-я Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Статистические методы анализа экономики и общества» (13 - 16 мая, 2025 г., НИУ Высшая Школа Экономики, Москва, Россия).

Список работ, опубликованных автором по теме диссертационного исследования

1. Макушкин М. С., Лапшин В. А. Моделирование взаимосвязей между квантилями доходностей российских и иностранных фондовых рынков для оценки рыночных рисков // Прикладная эконометрика. T. 57. С

2. Макушкин М. С., Лапшин В. А. Кривые доходностей на низколиквидных рынках облигаций: особенности оценки // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2021. Т. 25. № 2. С

3. Макушкин М. С., Лапшин В. А. Обработка пропусков в рыночных данных на примере задачи оценки кривой доходностей облигаций // Финансы: теория и практика. 2023. Т. 27. № 6. С

4. Макушкин М. С., Лапшин В. А. Динамическая модель Нельсона-Зигеля для оценки рыночного риска облигаций: практические аспекты имплементации // Прикладная эконометрика. 2023. Т. 69. С

5. Курочкин, С. В., Макушкин М. С. Динамика формы кривой бескупонной доходности российских государственных облигаций // Экономика и математические методы. 2024. Т. 60. № 4. С

6. Макушкин М. С. Факторы доходности облигаций дополнительного первого уровня (АТ1) // Финансовый журнал. 2024. Т. 16. № 5. С

7. Макушкин М. С. Детерминанты доходности облигаций федерального займа с переменным купоном (ОФЗ-ПК) // Финансовый журнал. 2025. Т. 17. № 5. С

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование кривой бескупонных доходностей и её динамики на российском рынке государственных облигаций»

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений.

В первой главе вводится понятие кривой бескупонных доходностей, систематизируются основные встречающиеся в литературе модели оценки КБД, сравниваются основные подходы к оценке КБД на развивающихся рынках, обсуждаются особенности российского рынка ОФЗ.

Во второй главе подробно разбирается вопрос оценки КБД на рынке ОФЗ в статике. Сначала оценивается эффективность текущей методики оценки КБД Московской Биржи. Затем через сравнение альтернативных моделей КБД формулируются рекомендации по улучшению методики Московской Биржи. Кроме того, обсуждается вопрос применимости ОФЗ-ПК для оценки кривой доходностей на российском рынке гособлигаций.

В третьей главе оценка КБД на российском рынке рассматривается в динамике. Сначала проводится ретроспективный анализ динамики КБД и выявляются основные

закономерности в изменении формы КБД. Затем оценивается динамическая версия модели КБД Нельсона-Зигеля. Далее иллюстрируется практическое применение динамической модели КБД для задачи оценки рыночного риска ОФЗ.

В приложениях приводятся технические детали по калибровке моделей КБД и формальные доказательства некоторых утверждений из работы.

Глава 1. Теоретические основы моделирования кривой бескупонных

доходностей

В этой главе обобщается теоретическая база для дальнейшего исследования. Вводится понятие кривой доходностей и объясняются причины возникновения временной структуры процентных ставок. Обсуждаются основные сферы применения кривой доходностей. Систематизируются различные модели кривой доходностей - как статические, так и динамические. Приводится обзор основных сложностей, связанных с оценкой кривой доходностей на развивающихся рынках. Рассматривается российский рынок ОФЗ в контексте оценки КБД. Полученные выводы используются в следующих главах для решения поставленных исследовательских задач.

1.1. Понятие и природа кривой доходностей

Кривая доходностей отражает графическую зависимость между процентной ставкой по инструменту и его срочностью. В экономической науке хорошо известно, что процентная ставка - это фактически стоимость денег. Кривая доходностей таким образом отражает, что у денег на разную срочность есть разная стоимость.

Причины возникновения временной структуры процентных ставок интересовали экономистов достаточно длительное время. Всего можно выделить три взгляда на этот вопрос - теория ожидаемых процентных ставок, теория предпочтений ликвидности и теория сегментации рынка. В этом разделе развивается обзор литературы из работы (Курочкин, Макушкин, 2024).

Основы современной теории процентных ставок восходят к работе Ирвинга Фишера "Appreciation and Interest" (Fisher, 1896). Фишер показал, что текущие процентные ставки отражают рыночные ожидания будущих процентных ставок. Для обеспечения равновесия в условиях полной информации, необходимо чтобы стратегия инвестирования в долгосрочные бумаги должна обеспечивать такую же доходность, как стратегия инвестирования в краткосрочные бумаги с периодическим продлением позиции. Например, инвестор в облигацию срочности N может реплицировать доходность этой облигации через покупку облигации срочности М и покупку новой облигации со срочностью N — М после экспирации первой облигации. Таким образом, долгосрочные ставки являются функцией от текущих краткосрочных процентных ставок и ожидаемых будущих краткосрочных ставок. Говоря более формальным языком, в теории ожидаемых процентных ставок форвардные ставки являются ожиданием будущих спот-ставок.

Легко заметить, что в чистом виде теория ожидаемых процентных ставок не работает в реальном мире. Кривая доходностей в среднем имеет возрастающую форму (долгосрочные ставки выше краткосрочных). Это подразумевает, что краткосрочные ставки должны в среднем увеличиваться, чтобы стратегия инвестирования в краткосрочные бумаги обеспечила такую же доходность, как и стратегия инвестирования в долгосрочные бумаги. Однако краткосрочные ставки в среднем не увеличиваются. Они могут расти и снижаться, но в среднем они возвращаются к своему некоторому равновесному уровню.

Аналогичные результаты показывают и эконометрические исследования. Так, форвардные ставки являются слабым предиктором реальных будущих спот-ставок.

Кроме того, существует статистически значимая разница между доходностями стратегий инвестирования в короткие и длинные бумаги (Campbell, 1995).

Почему же теория ожидаемых процентных ставок не работает в чистом виде? Дело в том, что теория делает предпосылку о возможности использования ожидаемых процентных ставок. В реальности же, краткосрочная ставка - это стохастическая величина. Можно рассчитать ее математическое ожидание, однако у ставки есть и волатильность, которая в теории ожидаемых процентных ставок игнорируется.

Доходность стратегии инвестирования в краткосрочные облигации будет зависеть от будущих краткосрочных ставок, которые ex-ante неизвестны. Инвестор в краткосрочные бумаги подвержен риску волатильности своей доходности. У инвестора в долгосрочные бумаги такой волатильности нет, поскольку доходность стратегии известна изначально (игнорируя риск реинвестирования, не учитываемый в доходности к погашению). Теория ожидаемых процентных ставок работает только в риск-нейтральном мире, где инвесторы безразличны к волатильности. В реальном же мире инвесторы редко риск-нейтральны. Поэтому форма кривой доходностей будет зависеть в том числе от риск-предпочтений инвесторов.

Недостатки чистой теории ожидаемых процентных ставок частично корректируются теорией предпочтений ликвидности. Основы этой теории восходят к работе Джона Мейнарда Кейнса «The General Theory of Employment, Interest and Money» (Keynes, 1936), в которой было введено понятие «премии за риск». Как показывается в работе (Shiller, McCulloch, 1990), оно сходно понятию «премии за срочность», предложенному в работах (Lutz, 1940; Hicks, 1946). Согласно этой теории, инвесторы не безразличны между инвестированием в краткосрочные и долгосрочные инструменты. Инвесторы предпочитают высокую ликвидность и готовы за это платить. Предпочтение ликвидности объясняется тремя мотивами - транзакционный мотив (ликвидные инструменты проще использовать для оплаты товаров и услуг), защитный мотив (ликвидный инструмент можно использовать как подушку от будущих возможных убытков и экстренных ситуаций) и спекулятивный мотив (инвесторы предпочитают держать часть средств в ликвидных инструментах, чтобы иметь возможность использовать их будущем в случае появления привлекательной инвестиционной возможности).

Краткосрочные бумаги характеризуются большей ликвидностью, чем долгосрочные. Они торгуются в больших объемах, и их проще ликвидировать и превратить в наличные деньги. Кроме того, краткосрочные облигации меньше

подвержены риску переоценки по сравнению с долгосрочными, соответственно, инвесторы в такие бумаги имеют меньший риск потерь на переоценке облигации при выходе из позиции. В граничном случае, облигация с остающийся срочностью в один день будет практически аналогична наличным деньгам. Соответственно, инвесторы предпочитают краткосрочные бумаги над долгосрочными, и готовы отказаться от части доходности по сравнению с долгосрочными бумагами за возможность иметь более ликвидный инструмент.

Это положение можно сформулировать и наоборот. Инвесторы требуют премию за инвестирование в долгосрочно бумаги. В этой ситуации, временная структура процентных ставок будет возрастающая (долгосрочные доходности выше краткосрочных), даже если ожидаемые краткосрочные ставки остаются неизменными. Это позволяет объяснить традиционно наблюдаемую возрастающую форму кривой доходностей. Изменения в предпочтениях ликвидности могут также влиять на форму кривой доходностей, усиливая или, наоборот, компенсируя эффект от изменения ожиданий краткосрочных ставок.

Теория предпочтений ликвидности добавляет ясности к проблеме природы временной структуры процентных ставок. Однако она рассматривает случай гомогенных инвесторов, которые обладают одинаковыми предпочтениями. В реальности на рынке одновременно действуют множество групп и типов инвесторов, каждый из которых может иметь собственные инвестиционные цели и собственные предпочтения по срочности и ликвидности.

Многообразие участников рынка учитывает теория сегментации, предложенная Джоном Мэтью Калбертсоном в работе "The Term Structure of Interest Rates" (Culbertson, 1957). Согласно этой теории, процентные ставки на разные срочности представляют собой отдельные сегменты долгового рынка. На разных сегментах этого рынка взаимодействуют разные типы инвесторов, со своими индивидуальными риск-профилями. Так, на краткосрочном долговом рынке участвуют в основном банки, которые имеют длинные активы и фондируют их короткими пассивами. На дальних срочностях наибольшую активность проявляют страховые и пенсионные компании, которые имеют в основном длинные пассивы и фондируют их активами сопоставимой срочности. Как следствие, объемы и предпочтения ликвидности на рынках короткого и длинного долга будут разными.

Согласно теории сегментации рынка, кривая доходностей - это результат установления баланса спроса и предложения на разных сегментах срочности долгового

рынка. Равновесная процентная ставка определяется на каждом сегменте срочностей независимо силами спроса и предложениям. Соответственно, из долгосрочных ставок нельзя напрямую извлечь информацию о краткосрочных ставках, поскольку эти ставки не зависят друг от друга. Это идет в разрез с теорией ожидаемых процентных ставок, которая предполагает, что из долгосрочных ставок можно извлечь ожидания об ожидаемой динамике краткосрочных ставок.

Дополнением к теории сегментации рынка является теория предпочтительной среды обитания (Modigliani, Sutch, 1966). Согласно этой теории, у разных инвесторов есть определенные предпочтения по срочности финансовых инструментов. Традиционно инвесторы предпочитают более короткую срочность бумаг. Они готовы выйти за пределы своего предпочтительного региона срочности только за дополнительную премию.

Современная экономическая наука признает, что в той или иной степени на форму кривой доходностей воздействуют все три перечисленные теории (Cook, Hahn, 1990; Ilmanen, Iwanowski, 1997; Fisher M., 2001). Кривая доходностей может меняться во времени из-за изменений ожиданий участников рынка относительно траектории движения краткосрочной ставки. Кривая доходностей также зависит от предпочтений ликвидности инвесторов и их динамики. Немалый вклад в форму кривой доходности вносит и специфика поведения участников рынка, действующих на разных сегментах срочности долгового рынка. Иногда эти факторы могут дополнять друг друга, иногда -наоборот, компенсировать.

Количественные финансы дополнительно объясняют традиционно наблюдаемую выпуклую форму кривой доходностей (Rebonato, Putyatin, 2018). Это чисто техническое явление. Выпуклость кривой доходностей является следствием неравенства Йенсена. Поскольку цена облигации есть выпуклая функция от её доходности, то математическое ожидание цены облигации должна быть больше, чем цена облигации, рассчитанная от матожидания доходности. У долгосрочных бумаг convexity больше из-за более выпуклой зависимости от ставок. В результате их цена растет больше при увеличении риск-премии, что давит их доходности вниз. Из-за этого на дальних срочностях эффект от convexity компенсирует эффект от возрастающей риск-премии, что и придает кривой доходности выпуклую форму. Многообразие факторов, влияющих на временную структуру процентных ставок, делает ее достаточно сложным, но при этом крайне интересным объектом для анализа и моделирования.

Говоря о кривой доходностей, важно понимать о каких именно доходностях идет речь. Как правило, при анализе временной структуры процентных ставок оперируют понятием безрисковой ставки. Безрисковая ставка - это ставка для заёмщика с нулевым уровнем кредитного риска. В качестве индикатора таких ставок принять использовать государственные облигации в национальной валюте. Дефолт государства по облигациям в национальной валюте - это теоретически маловероятный сценарий, поскольку государство обладает правом эмиссии национальной валюты. Тем не менее, государственные дефолты даже в национальной валюте периодически всё же случаются (Beers et al., 2020). Поэтому правильнее говорить о государственных облигациях скорее как об условно безрисковых относительно других облигаций в этой же валюте. Кривая доходностей государственных облигаций служит индикатором уровня процентных ставок для всего рынка облигаций.

Существуют и другие индикаторы безрисковых ставок. Так, на деривативном рынке в качестве безрисковых ставок используются так называем OIS ставки (overnight index swap). Это ставки из свопов, где плавающие платежи привязаны к overnight ставке сделок РЕПО. Такие ставки обладают минимальным уровнем кредитного риска, так как они обеспечены и имеют минимальную срочность. Конкретное определение OIS ставки зависит от валюты. На практике между OIS ставками и доходностям гособлигаций в национальной валюте, как правило, существует базис.

OIS ставки пришли на смену так называем IBOR ставкам, которые долгое время тоже считались безрисковыми (Hull, White, 2012). IBOR ставка - это ставка рынка межбанковского кредитования, например, LIBOR на рынке США или ее российский аналог MOSPRIME. Предполагалось, что на краткосрочном горизонте крупные банки обладают около нулевым уровнем кредитного риска. Однако кризис 2008 года показал, что это не так. Кроме того, IBOR-ставки являются индикативными. Они не отражают реальной рыночной активности и рассчитываются на основе предоставляемой участниками рынка информации.

Далее в работе под безрисковыми ставки понимаются ставки доходностей государственных облигаций в национальной валюте. Изучение временной структуры процентных ставок деривативного рынка выходит за рамки анализа.

1.2. Применение кривой доходностей

Кривая доходностей имеет широкое применение - макроэкономический анализ, оценка финансовых инструментов, риск-менеджмент и другое. Широкое практическое применение кривой доходностей делает задачу её оценки всегда актуальной. В этом разделе приводится описание основных сфер применения кривых доходностей. Часть описанных сфер применения раскрыта более подробно в работах (Курбангалеев, Лапшин, 2015) и (Лапшин, Терещенко, 2018).

1.2.1. Ценообразование финансовых инструментов

Одной из основных сфер применения моделей кривых доходностей является оценка финансовых инструментов. Для многих инструментов цена наблюдается на рынке напрямую. Она определяется непосредственно из баланса спроса и предложения независимых участников рынка. Примерами инструментов с наблюдаемой ценой можно считать акции или облигации, торгующиеся на бирже, и стандартизированные деривативы, также котирующиеся на бирже, например, фьючерсы и некоторые опционы.

Однако не для всех финансовых инструментов доступна наблюдаемая рыночная цена. Часть инструментов торгуется вне организованных площадок на так называемом over-the-counter рынке. Такие инструменты обладают меньшей стандартизацией и меньшей ликвидностью. Примерами таких инструментов будут являться менее ликвидные корпоративные облигации или внебиржевые деривативы, например, свопы и более сложные опционы. Цену таких инструментов необходимо оценивать с помощью финансовых моделей.

Наблюдаемой цене с ликвидного рынка всегда должно отдаваться предпочтение над модельной. Тем не менее, даже для инструментов с наблюдаемой рыночной ценой полезно иметь теоретическую модель оценки. Это позволяет выявить арбитраж (найти переоценённый или недооцененный актив) и определить основные риск-факторы. Кроме того, для оценки активов с ненаблюдаемой рыночной ценой в любом случае требуется некоторая наблюдаемая рыночная информация. Ее можно извлечь с помощью финансовой модели из цен наблюдаемых рыночных инструментов и затем использовать для оценки ненаблюдаемых. Фактически, задача оценки финансовых инструментов сводится к задаче интерполяции, где цена ненаблюдаемого актива оценивается на основе других, наблюдаемых на рынке цен, а в качестве интерполятора используется некоторая финансовая модель.

При оценки финансовых инструментов кривые доходностей в первую очередь необходимы для дисконтирования будущих потоков. Текущая стоимость потока зависит от временной структуры процентных ставок и срока выплаты этого потока. Кривая доходностей так же нужна для прогнозирование будущих ставок. Для инструментов, выплаты по которым привязаны к плавающей ставки, величину будущих потоков можно оценить на основе форвардных ставок. В соответствии с принципами риск-нейтральной оценки, форвардная ставка должна быть риск-нейтральным ожиданием будущего значения базовой ставки для избежания арбитража. Аналогичные принципы используются и для оценки нелинейных финансовых инструментов на процентную ставку, например, кэпов, флоров и свопционов. В отличии от линейных инструментов (например, свопов и облигаций), здесь, однако, требуется не детерминистическая, а стохастическая модель динамики процентных ставок. Предположив некоторую риск-нейтральную модель динамики процентных ставок, можно оценить ожидания выплат по инструменту и затем продисконтировать их в дату оценки. Тема оценки финансовых инструментов получила широкое раскрытие в академической литературе (Vasicek, 1977; Cox, Ingersoll, Ross, 1985; Hull, White, 1990; Heath, Jarrow, Morton, 1992).

Главным требованием к кривой доходностей для оценки финансовых инструментов является отсутствие арбитража. Оценки инструментов, полученные на основе кривой доходностей, должны быть согласованы друг с другом и ценами других рыночных инструментов так, чтобы отсутствовала возможность для извлечения безрисковой прибыли. Кроме того, кривая доходностей для оценки финансовых инструментов должна быть максимально гибкой с точки зрения калибровки к наблюдаемым рыночным ценам. Она должна, как минимум, воспроизводить исходные рыночные данные. Устойчивость параметров не является обязательным требованием для оценки такой кривой доходностей. Оценка инструментов производится в статике, соответственно кривую доходностей необходимо откалибровать только на момент оценки. Из-за многообразия возможных базовых ставок, для оценки деривативов также нужна высокая гранулярность кривых доходностей по типу инструмента. Это позволяет оценивать инструменты наиболее близко к ценам наблюдаемых рыночных инструментов.

1.2.2. Оценка процентного риска

Другой сферой применения кривых доходностей является риск-менеджмент. Процентные ставки - это важный риск-фактор практически в каждом финансовом

портфеле. В связи с этим, важно понимать, как изменение процентных ставок может повлиять на прибыль/убыток по портфелю (Vlaar, 2000).

Для оценки процентного риска портфеля могут использоваться разные методы. Самый простой метод основан на дюрации (Dowd, 2002; Hull, 2021). Дюрация позволяет аппроксимировать изменение цены портфеля при изменении процентных ставок. Оценив волатильности процентных ставок на разных срочностях, можно оценить волатильность стоимости портфеля процентных инструментов.

Подход к основе процентного риска с помощью дюрации имеет ряд недостатков. Во-первых, он учитывает только параллельные сдвиги кривой доходностей. В реальности ставки на разных срочностях могут изменяться по-разному. Во-вторых, этот метод дает только линейную аппроксимацию риска. В реальности же зависимость стоимости портфеля от процентных ставок часто не линейна. При больших сдвигах кривой доходностей метод на основе дюрации может давать большую погрешность в оценках риска. Тем не менее, в периоды, когда кривая доходностей действительно движется в основном параллельно и плавно, метод оценки процентного риска на основе дюрации может давать адекватные результаты (Golub, Tilman, 1997).

Чтобы учесть риск непараллельных сдвигов кривой доходностей, можно использовать метод распределения денежных потоков по срочности (cashflow mapping). Суть метода состоит в распределении потоков с нестандартных срочностей на некоторые стандартные «корзины» срочности. Так, поток, ожидающийся через 4.5 года, можно условно поровну разделить на потоки через 4 и 5 года. Затем каждый из потоков можно моделировать как отдельную бескупонную облигацию со своей собственной волатильностью доходности и корреляцией между ними (J. P. Morgan / Reuters, 1996). Минусом метода маппинга денежных потоков является потеря части информации о срочной структуре портфеля на этапе агрегации потоков в корзины. Кроме того, маппинг достаточно сложно применить к инструментам с плавающими или условными денежными потоками.

Наибольшую гибкость при оценке процентного риска позволяют достичь модели динамики кривой доходностей. Оценив стоимость портфеля в различных сценариях кривой доходностей, можно получить распределение возможных цен портфеля. Далее это распределение можно использовать для расчета различных риск-метрик.

Более продвинутым вариантов являются факторные модели кривой доходностей (Falkenstein, Hanweck, 1997). Динамика кривой доходностей раскладывается на основные компоненты - параллельный сдвиг, изменение наклона и изменение изгиба.

Три этих фактора позволяют объяснить порядка 90% динамики процентных ставок. Далее каждый риск фактор моделируется по отдельности.

Начальной точкой для оценки процентного риска портфеля является история динамики процентных ставок. Она нужна и для оценки волатильности, и для оценки динамических моделей. Здесь делается предпосылка о релевантности истории. Иными словами, предполагается, что историческая динамика кривой доходностей актуальна для предсказания будущей динамики. В условиях резких рыночных изменений, когда история теряет релевантность, важно дополнять этот метод экспертными сценариями поведения кривой доходностей.

Основным условием для оценки процентного риска является корректное отображение чувствительности портфеля к процентным ставкам. По сравнению с задачей оценки финансовых инструментов, кривая доходностей не обязательно должна обладать высокой степенью точности. Оценка риска в любом случае является приблизительной величиной. В модели оценки риска есть и без того немало упрощенных предположений, которые будут перекрывать эффект от улучшения качества оценки кривой доходностей.

Удовлетворение критерию безарбитражности зависит от сферы применения модели. Если модели используется для целей управления риском по торговому портфелю, естественно, отсутствие арбитража является необходимым условием для обеспечения эффективности хеджирования. Однако для управления процентным риском банковской книги, инструменты которой не торгуются на рынке, условие безарбитражности на выглядит критически важным.

Также не требуется высокая гранулярность кривых доходностей. В рамках одной валюты допустимо моделировать динамику и волатильность лишь одной кривой доходностей, как правило, самой репрезентативной. Остальные кривые доходностей можно моделировать через спред к базовой кривой. При этом необходимо удостовериться, что портфель не сильно подвержен базисному риску (риск изменения соотношения между разными кривыми доходностей).

Большую важность для оценки процентного риска играет стабильность и интерпретируемость параметров кривой доходностей. Необходимо, чтобы кривые доходностей были очищены от модельного шума. Динамика кривой доходности, оценённая по шумным и нестабильным исходным данным, будет недостоверна. В таких случая лучше использовать упрощенную модель кривой доходностей, которая будет давать более устойчивые оценки.

1.2.3. Макроэкономический анализ

Процентные ставки - ключевой индикатор состоянии экономики. Согласно классической экономической теории, кривая доходностей содержит в себе ожидания относительно будущей траектории процентных ставок. Эта информация крайне полезна для макроэкономического анализа.

Форма кривой доходности часто рассматривается как индикатор экономической активности (Chauvet, Potter, 2005; Moench, 2012). Возрастающая кривая доходностей свидетельствует об ожиданиях роста экономики. Экономический рост неизбежно связан с инфляцией. Соответственно, инвесторы в долгосрочные инструменты будут запрашивать более высокие доходности для компенсации инфляционных рисков. Кроме того, в условиях ожидания роста экономики, инвесторы могут предпочесть вместо инструментов с фиксированной доходностью инструменты фондового рынка, поскольку акции более доходны в период экономического роста. Это приводит к распродаже долгосрочных облигаций и увеличению их доходности, что в свою очередь поддерживает возрастающую форму кривой доходностей.

Инвертированная кривая доходностей, наоборот, говорит об ожиданиях рецессии (Estrella, Mishkin, 1998; Estrella, Trubin, 2006). Кривая доходностей называется инвертированной, когда долгосрочные ставки оказываются ниже краткосрочных. Такая ситуация может произойти в условиях сдерживающей монетарной политики. Когда регулятор увеличивает базовую ставку, это неизбежно приводит к росту других краткосрочных ставок в экономике. При этом долгосрочные ставки реагируют слабее. Во-первых, потому что сдерживающая монетарная политика должна приводить к снижению инфляционную ожиданий, соответственно инвесторы будут запрашивать меньшую премия за инфляционный риск при инвестировании в долгосрочные бумаги. Во-вторых, потому что монетарная политика имеет цикличную природу. После окончания цикла сдерживания, регулятор вновь опустит базовую ставку. Эти ожидания уже заложены в долгосрочные процентные ставки. Альтернативное объяснение инвертированной кривой доходностей как предиктора рецессии лежит в области ожиданий компаний относительно экономического роста. Если реальный сектор ожидает замедление экономического роста, то спрос на заемные средства сокращается. Поскольку компании занимают в основном на долгий срок, долгосрочные ставки снижаются, что приводит к инвертированной форме кривой доходностей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макушкин Михаил Сергеевич, 2026 год

Список литературы

1. Авдеева, О. А., Цыплаков, А. А. (2015). Метод адаптивного оценивания срочной структуры процентных ставок. Экономический Журнал ВШЭ, 19(4), 609-639.

2. Арнольд В. И. (1978). Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Наука.

3. Банк России (2017). Указание Банка № 4482-У «О форме и порядке раскрытия кредитной организацией (головной кредитной организацией банковской группы) информации о принимаемых рисках, процедурах их оценки, управления рисками и капиталом».

4. Банк России (2022). Обзор российского финансового сектора и финансовых инструментов. https://www.cbr.ru/ec_research/analitics/

5. Банк России (2024). Обзор рисков финансовых рынков. https://www.cbr.ru/ec_research/analitics/

6. Банк России (2024). Рынок производных финансовых инструментов. https://www.cbr.ru/ec_research/analitics/

7. Бешенов, С. В., Лапшин, В. А. (2019). Параметрическая иммунизация процентного риска на основе моделей срочной структуры процентных ставок. Экономический журнал Высшей школы экономики, 23(1), 9-31.

8. Гамбаров Г. М., Шевчук И. В., Балабушкин А. Н. (2004). Оценка срочной структуры процентных ставок. Роль рынка государственных ценных бумаг в оценке срочной структуры процентных ставок. Рынок ценных бумаг, 13, 1-33.

9. Гамбаров, Г. М., Шевчук, И. В. (2004). Срочная структура процентных ставок: оценка в условиях неоднородной ликвидности рынка. Финансы и кредит, 30, 2739.

10. Косьяненко, А. В. (2007). Опыт восстановления пропущенной рыночной информации на основе Байесовского подхода. Финансовая инженерия, риск-менеджмент и актуарная наука. WP16/2007/02.

11. Курбангалеев М. З., Лапшин В. А., Шепелева И. С. (2016). Согласованность котировок государственных облигаций России. Управленческий учет и финансы. 45(1), 40-51.

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Курбангалеев, М. З., Лапшин, В. А. (2015). Анализ требований к оценке срочной структуры безрисковых ставок в финансовых задачах. Управление финансовыми рисками, 41(1), 50-60.

Курочкин, С. В., Макушкин М. С. (2024). Динамика формы кривой бескупонной доходности российских государственных облигаций. Экономика и математические методы, 60(4), 40-49.

Лапшин, В. А., Терещенко, М. Ю. (2018). Выбор модели срочной структуры процентных ставок на основе ее свойств. Корпоративные Финансы, 16(2), 5369.

Лапшин, В. А., Каушанский, В. Я., Курбангалеев, М. З. (2015). Оценка кривой бескупонной доходности на российском рынке облигаций. Экономический журнал Высшей школы экономики, 19(1), 9-29.

Макушкин М. С., Лапшин В. А. (2020). Моделирование взаимосвязей между квантилями доходностей российских и иностранных фондовых рынков для оценки рыночных рисков. Прикладная эконометрика, 57, 30-52. Макушкин М. С., Лапшин В. А. (2021). Кривые доходностей на низколиквидных рынках облигаций: особенности оценки. Экономический журнал Высшей школы экономики, 25(2), 177-195.

Макушкин М. С., Лапшин В. А. (2023а). Обработка пропусков в рыночных данных на примере задачи оценки кривой доходностей облигаций. Финансы: теория и практика, 27(6), 44-53.

Макушкин М. С., Лапшин В. А (2023б). Динамическая модель Нельсона-Зигеля для оценки рыночного риска облигаций: практические аспекты имплементации. Прикладная эконометрика, 69, 5-27.

Макушкин М. С. (2024). Факторы доходности облигаций дополнительного первого уровня (АТ1). Финансовый журнал, 16(5), 43-59.

Макушкин М. С. (2025). Детерминанты доходности облигаций федерального займа с переменным купоном (ОФЗ-ПК). Финансовый журнал, 17(5), 77-95. Московская Биржа (2016). Новая методика расчёта кривой бескупонной доходности государственных ценных бумаг. Презентация. https://www.moex.com/a3644

Московская Биржа (2024). Методика определения КБД Московской Биржи. https://www.moex.com/a3644

Постников М. М. (1971) Введение в теорию Морса. М.: Наука.

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

Райффайзен Банк (2017). RUONIA OIS кривая. Презентация для НФА. Хакимжанов, С., Мустафин, Е., Кубенбаев, О. (2019). Построение кривой доходности на рынке с низкой ликвидностью. Деньги и Кредит, 78(4). Чеботари Г., Кузьмина Т. (2017). Искусство возможного: как захеджировать флоатер ОФЗ. Cbonds Review, 3, 55-57.

Юкович, Н. (2017). Об оценке справедливой стоимости ОФЗ-ПК с привязкой к RUONIA. Cbonds Review, 3, 48-51.

Adams, K.J., van Deventer, D.R. (1994). Fitting Yield Curves and Forward Rate Curves with Maximum Smoothness. The Journal of Fixed Income, 4(1), 52-62. Ahi, E., Akgiray, V., Sener, E. (2018). Robust Term Structure Estimation in Developed and Emerging Markets. Annals of Operations Research, 260, 23-49. Ali, M. N., Ramli, S. N. M., Zainon, S., Kamal, S. N. I. M., Razak, M. I. M., Ali, N. M., Osman, S. (2015). Estimating the Yield Curve for the Malaysian Bond Market Using Parsimony Method. Procedia Economics and Finance, 31, 194-198 Ang A., Piazzesi M., Wei M. (2006). What Does the Yield Curve Tell us about GDP Growth? Journal of Econometrics, 131(1-2), 359-403.

Annaert, J., Claes, A. G., De Ceuster, M. J., Zhang, H. (2013). Estimating the Spot Rate Curve Using the Nelson-Siegel model: A Ridge Regression Approach. International Review of Economics & Finance, 27, 482-496. Arnold, V. I. (2006) Smooth Functions Statistics. Functional Analysis and Other Mathematics, 1, 111-118.

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M., Heath, D. (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, 9(3), 203-228.

Babbs, S. H., Nowman, K. Ben. (1999). Kalman Filtering of Generalized Vasicek Term Structure Models. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 34(1). Bank of International Settlements (2005). Zero-Coupon Yield Curves: Technical documentation. BIS Papers, 25.

Barber, J. R., Copper, M. L. (2012). Principal Component Analysis of Yield Curve Movements. Journal of Economics and Finance, 36(3), 750-765. Basel Committee on Banking Supervision (2016). Minimum Capital Requirements for Market Risk. www.bis.org/bcbs/publ/d352.htm

Beers, D., Jones, E., Walsh, J. (2020). How Frequently Do Sovereigns Default on Local Currency Debt? Bank of England.

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

Bliss, R. R. (1997). Movements in the Term Structure of Interest Rates. Economic Review, Federal Reserve Bank of Atlanta, 82(4).

Bollerslev, T. (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(3), 307-327.

Briggs, A., Clark, T., Wolstenholme, J., Clarke, P. (2003). Missing... presumed at random: Cost-analysis of Incomplete Data. Health Economics. 12(5), 377-392. Caldeira, J. F., Moura, G. V., Santos, A. A. P. (2015). Measuring Risk in Fixed Income Portfolios Using Yield Curve Models. Computational Economics, 46 (1), 6582.

Campbell, J. Y. (1995). Some Lessons from the Yield Curve. Journal of Economic Perspectives, 9.

Chauvet M., Potter, S. (2005). Forecasting Recessions Using the Yield Curve. Journal of Forecasting, 24(2), 77-103.

Chen, R. R., Scott, L. (2003). Multi-factor Cox-Ingersoll-Ross Models of the Term Structure: Estimates and Tests from a Kalman Filter Model. Journal of Real Estate Finance and Economics, 27(2), 143-172.

Chou, J. H., Su, Y. S., Tang, H. W., Chen, C. Y. (2009). Fitting the Term Structure of Interest Rates in Illiquid Market: Taiwan Experience. Investment Management and Financial Innovations, 6(1), 101-116.

Chouikh A., Yousfi, R., Chehibi, C. (2017). Yield Curve Estimation: An Empirical Evidence from the Tunisian Bond Market. Journal of Finance and Economics, 5(6), 300-309.

Christensen, J. H., Diebold, F. X., Rudebusch, G. D. (2009). An Arbitrage-Free Generalized Nelson-Siegel Term Structure Model. Econometrics Journal, 12(3). Christensen, J. H., Diebold, F. X., Rudebusch, G. D. (2011). The Affine ArbitrageFree Class of Nelson-Siegel Term Structure Models. Journal of Econometrics, 164(1), 4-20.

Christoffersen, P. F. (1998). Evaluating Interval Forecasts. International Economic Review, 39(4), 841-862.

Cont, R. (2001). Empirical Properties of Asset Returns: Stylized Facts and Statistical Issues. Quantitative Finance, 1(2), 223-236.

Cook, T., Hahn, T. (1990). Interest Rate Expectations and the Slope of the Money Market Yield Curve. FRB Richmond Economic Review, 76(5), 3-26.

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

Cortazar, G., Schwartz, E., Naranjo, L. (2007). Term-Structure Estimation in Markets with Infrequent Trading. International Journal of Finance & Economics, 17(2), 103— 123.

Cox, J. C., Ingersoll, J. E., Ross, S. A. (1985). A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica, 53(2), 385-407.

Culbertson, J. M. (1957). The Term Structure of Interest Rates. The Quarterly Journal of Economics, 71(4), 485-517.

Da Silva, A. L. C., Da Silva, B. R. (2008). Estimating and Comparing the Term Structure of Interest Rates for Assets with Frequent and Infrequent Trading. Open Business Journal, 1, 25-33.

Date, P., Bustreo, R. (2016). Value-at-Risk for Fixed-income Portfolios: A Kalman Filtering Approach. IMA Journal of Management Mathematics, 27(4), 557-573. Dec, M. (2021). Parsimonious Yield Curve Modeling in Less Liquid Markets. GRAPE Working Papers, 52.

Diaz, A., Jareno, F., Navarro, E. (2020). Yield Curves from Different Bond Data Sets. Review of Derivatives Research, 23(2), 191-226.

Diebold, F. X., Li, C. (2006). Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields. Journal of Econometrics, 130, 337-364.

Diebold, F. X., Rudebusch, G. D., Borag, S. (2006). The Macroeconomy and the Yield Curve: A Dynamic Latent Factor Approach. Journal of Econometrics, 131, 309-338. Diebold, F. X., Li, C., Yue, V. Z. (2008). Global Yield Curve Dynamics and Interactions: A Dynamic Nelson-Siegel Approach. Journal of Econometrics, 146(2), 351-363.

Dowd, K. (2002). Measuring market risk. John Wiley & Sons.

Du, W., Schreger, J. (2016). Local Currency Sovereign Risk. The Journal of Finance,

71(3), 1027-1070.

Duan, J. C., Simonato, J. G. (1999). Estimating and Testing Exponential-Affine Term Structure Models by Kalman Filter. Review of Quantitative Finance and Accounting, 13(2), 111-135.

Duffie, D., Pan, R. (1997). An Overview of Value at Risk. Journal of Derivatives, 4(3), 7-49.

Duffie, D., Singleton, K. J. (1997). An Econometric Model of the Term Structure of Interest-Rate Swap Yields. The Journal of Finance, 52(4), 1287-1321.

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

Dutta, G., Basu, S., Vaidyanathan, K. (2005). Term Structure Estimation in Illiquid Government Bond Markets: An Empirical Analysis for India. Journal of Emerging Market Finance, 4(1), 63-80.

Engle, R. F., Manganelli, S. (2004). CAViaR: Conditional Autoregressive Value at Risk by Regression Quantiles. Journal of Business and Economic Statistics, 22(4), 367-381.

Estrella, A., Mishkin, F. S. (1998). Predicting US Recessions: Financial Variables as Leading Indicators. Review of Economics and Statistics, 50(1), 45-61. Estrella, A., Trubin, M. (2006). The Yield Curve as a Leading Indicator: Some Practical Issues. Current issues in Economics and Finance, 12(5). Falkenstein, E., Hanweck, J. (1997). Minimizing Basis Risk from Non-Parallel Shifts in the Yield Curve. Part II: Principal Components. Journal of Fixed Income, 7, 85-90. Fama, E. F., Bliss, R. R. (1987). The Information in Long-maturity Forward Rates. The American Economic Review, 77(4), 680-692.

Fernández-Rodríguez, F. (2006). Interest Rate Term Structure Modeling Using Free-Knot Splines. The Journal of Business, 79(6), 3083-3099.

Ferreira, M. A. (2005). Forecasting the Comovements of Spot Interest Rates. Journal of International Money and Finance, 24(5), 766-792.

Ferreira M. A., Lopez J. A. (2005). Evaluating Interest Rate Covariance Models Within a Value-At-Risk Framework. Journal of Financial Econometrics, 3(1), 126168.

Fisher, I. (1896). Appreciation and Interest. Publications of the American Economic Association, 11(4), 1-98.

Fisher M., Nychka D., Zervos D. (1994). Fitting the Term Structure of Interest Rates

with Smoothing Splines. Federal Reserve Board Working Paper, 95(1).

Fisher, M. (2001). Forces that Shape the Yield Curve. Parts 1 and 2.

Golub, B. W., Tilman, L. M. (1997). Measuring Yield Curve Risk Using Principal

Components Analysis, Value at Risk, and Key Rate Durations. Journal of Portfolio

Management, 23(4), 72-84.

Grum, A. (2006). The Development of the Slovenian Government Debt Market and Estimation of the Yield Curve. Bank of Slovenia, Financial Stability Report, 55. Hagan, P. S., West, G. (2005). Interpolation Methods for Curve Construction. Applied Mathematical Finance, 13(2), 89-129.

85. Hagan P.S., West G. (2008). Methods for Constructing a Yield Curve. Wilmott Magazine. 2008, 3, 70-81.

86. Heath, D., Jarrow, R., Morton, A. (1992). Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation. Econometrica, 60(1), 77-105.

87. Hicks J. R. (1946). Value and capital. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press.

88. Hull, J., White, A. (1990). Pricing Interest-Rate-Derivative Securities. The Review of Financial Studies, 3(4), 573-592.

89. Hull, J., White, A. (2012). LIBOR vs. OIS: The Derivatives Discounting Dilemma. Journal Of Investment Management, 11(3), 14-27.

90. Hull, J. C. (2021). Options, Futures, and Other Derivatives (11th ed.). Pearson.

91. Ilmanen, A., Iwanowski, R. (1997). Dynamics of the Shape of the Yield Curve. The Journal of Fixed Income, 7(2).

92. Ishii, H. (2023). Yield Curve Shapes and Foreign Exchange Rates: The Term Structure of Interest Rates Model Approach. Applied Economics, 55(38), 4402-4414.

93. J. P. Morgan / Reuters (1996). RiskMetricsTM — Technical document. https://www.msci.com/documents/10199/5915b101-4206-4ba0-aee2-3449d5c7e95a.

94. Kalman, R. (1960). A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Transaction of the AMSE: Journal of Basic Engineering, 82, 35-45.

95. Karahan, C. C., Soykok, E. (2023). On Illiquidity of an Emerging Sovereign Bond Market. Economic Systems, 47(2), 101073.

96. Keynes, J. M. (1936). The General Theory of Employment, Interest and Money. London: Macmillan & Co. Ltd.

97. Koopman, S. J., Mallee, M. I. P., Van Der Wel, M. (2010). Analyzing the Term Structure of Interest Rates Using the Dynamic Nelson-Siegel Model with Time-Varying Parameters. Journal of Business and Economic Statistics, 28(3), 329-343.

98. Kupiec, P. (1995). Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models. The Journal of Derivatives, 3(2), 73-84.

99. Lapshin, V., Sohatskaya, S. (2020). Choosing The Weighting Coefficients for Estimating the Term Structure from Sovereign Bonds. International Review of Economics and Finance, 70, 635-648.

100. Li, B., DeWetering, E., Lucas, G., Brenner, R., Shapiro, A., (2001). Merrill Lynch Exponential Spline Model. Merrill Lynch Working Paper.

101. Liu, D. C., Nocedal, J. (1989). On the limited memory BFGS method for large scale optimization. Mathematical Programming, 45(1), 503-528.

102. Liu, Y., Wu, J. C. (2021). Reconstructing the Yield Curve. Journal of Financial Economics, 142(3), 1395-1425.

103. Lutz, F. A. (1940). The Structure of Interest Rates. Quarterly Journal of Economics, 55, 36-63.

104. Makarieva, M. (2021). Yield Curve Modelling and Forecasting in an undeveloped Financial Market: The Case of Bulgaria. Economic Thought Journal, 2, 84-104.

105. McCulloch, J. H. (1971). Measuring the Term Structure of Interest Rates. The Journal of Business, 44(1), 19-31.

106. Mehl, A. (2009). The Yield Curve as a Predictor and Emerging Economies. Open Economies Review, 20, 683-716.

107. Modigliani, F. R., Sutch, R. (1966). Innovations in Interest Rate Policy. American Economic Review, 56, 178-197.

108. Moench, E. (2012). Term Structure Surprises: The Predictive Content of Curvature, Level, And Slope. Journal of Applied Econometrics, 27(4), 574-602.

109. Nagy, K. (2020). Term Structure Estimation with Missing Data: Application for Emerging Markets. The Quarterly Review of Economics and Finance, 75, 347-360.

110. Nelder, J. A., Mead, R. (1965). A Simplex Method for Function Minimization. The Computer Journal, 7(4), 308-313.

111. Nelson, C. R., Siegel, A. F. (1987). Parsimonious Modeling of Yield Curves. Journal of Business, 473-489.

112. Nicolaescu, L. I. (2008). Counting Morse Aunctions on the 2-sphere. Compositio Mathematica, 144(5), 1081-1106.

113. Nymand-Andersen, P., (2018). Yield Curve Modelling and a Conceptual Framework for Estimating Yield Curves: Evidence from the European Central Bank's Yield Curves. European Central Bank, Statistics Paper Series, 27.

114. Poghosyan, K., Poghosyan, A. (2019). Yield Curve Estimation and Forecasting in Armenia. Armenian Journal of Economics, 4, 1-19.

115. Rebonato R., Putyatin, V. (2018). The Value of Convexity: A Theoretical and Empirical Investigation. Quantitative Finance, 18(1), 11-30. https://doi.org/10.1080/14697688.2017.1341639

116. Shiller, R. J., McCulloch, H. J. (1990). The Term Structure of Interest Rates.

B. M. Friedman & F. H. Hahn (ed.), Handbook of Monetary Economics, edition 1, Volume 1, Chapter 13, pages 627-722, Elsevier.

117. Speian, O., Ganea, V., Kyriakopoulos, C. (2022). Yield Curve Construction: A Note on the Moldovan bond market. Bulletin of Applied Economics, 9(1), 137-146.

118. Subramanian, K. V. (2001). Term Structure Estimation in Illiquid Markets. Journal of Fixed Income, 11(1), 77-86.

119. Takada, K. (2011). Valuation of Arithmetic Average of Fed Funds Rates and Construction of the US dollar Swap Yield Curve. Available at

SSRN: https://ssrn.com/abstract=1981668

120. Svensson, L. E. O. (1994). Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992-1994: Working Paper № 4871. National Bureau of Economic Research.

121. Vasicek, O. (1977). An Equilibrium Characterization of the Term Structure. Journal of Financial Economics, 5(2), 177-188.

122. Vasicek, O.A., Fong, H.G. (1982). Term Structure Modeling Using Exponential Splines. The Journal of Finance, 37(2), 339-348.

123. Venkatesh, P. C. (2003). Value at Risk for Corporate Bond Portfolios. The Journal of Fixed Income, 13(2), 19-32.

124. Vlaar, P. J. (2000). Value at Risk Models for Dutch Bond Portfolios. Journal of Banking & Finance, 24(7), 1131-1154.

125. Waggoner, D.F. (1997). Spline Methods for Extracting Interest Rate Curves from Coupon Bond Prices. Federal Reserve Bank of Atlanta Working Paper, 97(10).

126. Wahlstr0m, R. R., Paraschiv, F., & Schurle, M. (2022). A Comparative Analysis of Parsimonious Yield Curve Models with Focus on the Nelson-Siegel, Svensson and Bliss Versions. Computational Economics, 59(3), 967-1004.

127. Warga, A. (1992). Bond Returns, Liquidity, and Missing Data. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 27(4), 605-617.

128. Xie, C., Chen, H., Yu, X. (2006). Yield Curve Estimation in the Illiquid Market: Framework, Models and Empirical Study. International Journal of Information Technology & Decision Making, 5(3), 467-481.

129. Xu, M. (2021). SOFR Derivative Pricing Using a Short Rate Model. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=4007604

130. Yu, W. C., Zivot, E. (2011). Forecasting the Term Structures of Treasury and Corporate Yields using Dynamic Nelson-Siegel Models. International Journal of Forecasting, 27(2), 579-591.

131. Zhu, H. (2006). An Empirical Comparison of Credit Spreads Between the Bond Market and the Credit Default Swap Market. Journal of Financial Services Research, 29(3), 211-235.

132. Zoricic, D., Orsag, S. (2013). Parametric Yield Curve Modeling in an Illiquid and Undeveloped Financial Market. UTMS Journal of Economics, 4(3), 243-252.

Приложение Приложение 1. Калибровка моделей КБД

Задача оценки кривой доходностей в статике заключается в извлечении информации о кривой доходностей из цен наблюдаемых рыночных инструментов. Если на рынке есть бескупонные облигации, то на основе их цен можно напрямую оценить бескупонные доходности. На развитых рынках обычно доступны бескупонные доходности, поэтому калибровка модели достаточно проста и часто не обсуждается исследователями подробно.

На российском рынке бескупонные облигации не торгуются. Информацию о КБД необходимо таким образом извлекать из цен купонных облигаций. Это несколько более трудная задача, поскольку цена облигации есть сумма её будущих дисконтированных потоков. Поэтому видится необходимым более подробно описать механизм калибровки моделей.

Наиболее простой моделью оценки кривой доходностей с точки зрения калибровки является бутстрэп. Бутстрэп основан на принципе итеративного нахождения бескупонных ставок. Облигации ранжируются по срочности. Сначала рассчитывается доходность облигации с самой короткой срочностью. Полученная ставка затем используется для дисконтирования части потоков следующей облигации, срочность которых меньше, чем срочность первой облигации. Ставка дисконтирования для остальных потоков подбирается так, чтобы воспроизвести наблюдаемую цену второй облигации. Процедура повторяется для каждой облигации в выборке вплоть до облигации с самой длинной срочностью.

На каждом этапе бутстрэпа требуется найти только одну неизвестную. Это можно легко сделать с помощью метода касательных (метод Ньютона) либо любого другого метода численного поиска решений. Выбор начальной точки не так важен, поскольку цена облигации является монотонной функцией от доходности, поэтому решение однозначно определено. Для простоты можно выбрать начальную доходность в 10%.

Оценка параметрических и сплайновых является более сложной. Необходимо подобрать такие параметры модели, которые бы максимально близко воспроизводили цены наблюдаемых купонных облигаций. Однако поскольку цена облигации является нелинейной функцией от доходности, которая в свою очередь - нелинейная функция от параметров, аналитического решения этой задачи нет. Требуется использовать численные методы оптимизации. Проблема осложняется возможным наличием локальных минимумов и немонотонностью целевой функции (Ahi et al., 2018; Wahlstrom et al., 2022).

В работе для оценки моделей КБД используется целевая функция в терминах среднеквадратичной ошибки между модельными ценами Р* [у(£)] и наблюдаемыми ценами облигаций Р*:

N

С(р* )2^т;п (46)

¿=1

где 0 - вектор оцениваемых параметров модели.

Для выбора метода оценки модели было проведено сравнение нескольких алгоритмов численной оптимизации. Для тестирования различных численных методов оптимизации использовалась подвыборка данных за 2021 год (250 наблюдений). Далее приводится сравнение 5 различных алгоритмов оптимизации для модели Нельсона-Зигеля (Таблица 12). Алгоритмы отличаются выбором стартовых точек, методом оптимизации и наличием дополнительных ограничений. В качестве метрики качества используется доля дней в тестовой выборке, когда алгоритм оптимизации завершился успешно.

Таблица 12. Сравнение различных алгоритмов оптимизации для модели Нельсона-Зигеля по вероятности успешного завершения оптимизации.

#1 #2 #3 #4 #5

Алгоритм Нелдер-Мид Нелдер-Мид Нелдер-Мид Нелдер-Мид L-BFGS-B

Начальная точка ра = 0.1 ft = 0.1 ft = 0.1 А = 1 10 случайных точек из е [0.05,0.15] ft е [-0.05,-0.05] ft е [-0.05,-0.05] А е [1,5] ft, Р2 оценены методом МНК по купонным доходностям,А подбирается итеративно из диапазона А е [1,5] fto = 0.1 ft = 0.1 ft = 0.1 А = 1 fto = 0.1 ft = 0.1 ft = 0.1 А = 1

Дополнительные ограничения Регуляризация на сумму квадратов коэффициентов Границы е [0.03,0.2] ft е [-0.1,-0.1] р2 е [-0.1,-0.1] А е [0.1,10]

Доля успешного завершения 27% 78% 80% 90% 100%

Источник. Расчеты автора.

В качестве отправной точки был использован алгоритм Нелдера-Мида (Nelder, Mead, 1965). Алгоритм Нелдера-Мида — это численный метод оптимизации, который применяется для нахождения минимума функций без использования производных. Он основан на работе с симплексом — геометрической фигурой, содержащей п + 1 вершину в n-мерном пространстве. Каждая из вершин симплекса соответствует значению функции в определённой точке. Алгоритм последовательно преобразует симплекс через операции рефлексии, расширения, сжатия и редукции, чтобы находить области с меньшими

значениями функции. Алгоритм останавливается, когда размер симплекса становится очень малым (т.е. когда разница между значениями целевой функции в различных вершинах симплекса становится незначительной). Алгоритм Нелдера-Мида прост в реализации, так как не требует расчета градиента функции. Из-за этого он хорошо подходит для недифференцируемых целевых функций. Недостатком алгоритма является долгое время работы в задачах с большой размерностью и уязвимость к локальным минимумам.

Для начала, модель Нельсона-Зигеля была оценена с помощью алгоритма Нелдера-Мида с интуитивно выбранными начальными точками (Алгоритм #1). Параметр устанавливается на уровне 0.1, что примерно соответствует долгосрочному уровню процентных ставок в российской экономке. Параметры и предполагаются изначально равными нулю, а А = 1. Иными словами, в качестве начального приближения кривой доходностей используется прямая линия на уровне 10% на все срочности. Как видно из Таблицы 1, успешный результат с такими начальными точками достигается менее чем в трети случаев. В остальных случаях алгоритм не сходится к минимуму. Основной причиной несходимости алгоритма является ошибка из-за переполнения памяти при возведении в степень. Дело в том, что что параметр Я в модели Нельсона-Зигеля находится в экспоненте. При некоторых значениях параметра и р(, целевая функция начинает убывать по Я (Рисунок 27). Из-за этого алгоритм стремится увеличить Я, что приводит в конце концов к переполнению памяти.

Возможным решением проблемы может стать генерация нескольких случайных стартов и выбора такого, который дает наименьшее значения ошибки (Алгоритм #2). В таком случае у модели больше шансов сойтись в глобальный минимум и не «потеряться» в локальных минимумах целевой функции. При использовании 10 случайных стартов в окрестности выбранных начальных параметров, результат значительно лучше, чем при одном фиксированном старте, однако все еще оставляет желать лучшего. Вероятно, можно было бы еще немного улучшить результат, увеличив число стартов. Однако время реализации алгоритма увеличивается пропорционально числу стартов, поэтом это выглядит не лучшим решением.

Вместо этого, можно уделить больше внимания выбору начальных приближений параметров. Если инициировать оптимизационный алгоритм недалеко от глобального минимума, то вероятность успешной оптимизации должна увеличится. Для оптимизации параметров по ценам можно использовать начальное приближение коэффициентов по

результатам модели, оцененной по купонным доходностям (Алгоритм #3). В случае с моделью Нельсона-Зигеля можно подобрать полуаналитическое решение такой модели. Доходность облигации в модели Нельсона-Зигеля линейна по факторам наклона и выпуклости, если зафиксировать Я. Соответственно, можно оценить модель для множества значений Я, и далее методом наименьших квадратов оценить параметры р методм МНК. Такой «умный старт» позволяет значительно увеличить вероятность успешной сходимости алгоритма.

Отдельно стоит обговорить выбор параметра Я для оценки МНК. Дело в том, что для очень низких и очень высоких значений Я в модели может возникать мультиколлинеарность, из-за чего оценки МНК будут неэффективными. При Я = 0.1 корреляция между фактором наклона и выпуклости составляет практически 90% (Рисунок 28). Поэтому для умного старта предлагается перебираться значения Я в пределах от 1 и 5.

Другой способ улучшить вероятность сходимости оптимизационного алгоритма Нелдера-Мида - это регуляризация (Алгоритм #4). Основная причина несходимости алгоритма Нелдера-Мида на анализируемой выборке - это переполнение памяти при возведении в степень. Чтобы этого избежать, можно наказывать алгоритм за очень большие значения параметров (Аппаег! et а1., 2013). Это можно сделать за счет добавления в целевую функцию суммы квадратов параметров. Вероятность сходимости в таком случае на тестируемом временном промежутке составила практически 90%.

Наконец, стоит протестировать альтернативные оптимизационные алгоритмы. Метод Нелдера-Мида достаточно удобен в реализации, однако есть и другие более эффективные алгоритмы оптимизации, которые используют градиент для нахождения минимума функции. Градиент показывает направление убывания целевой функции, что позволяет быстрее находить её минимум. Однако в нашем случае аналитический градиент целевой функции отсутствует, и требуется рассчитывать градиент численно. Это увеличивает время выполнения алгоритма. Кроме того, алгоритма Неледра-Мида не поддерживает возможность задания границ для параметров. Как было показано ранее, для численной оптимизации целевой функции в модели Нельсона-Зигеля есть риск переполенения памяти из-за больших параметров Я, поэтому может быть полезно задать границы для оптимизируемых параметров.

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

Ье1а2

Рисунок 27. Визуализация оптимизации целевой функции для модели Нельсона-Зигеля на 30 декабря 2022 года.

Примечание: Параметры и зафиксированы на уровне 0.1 и 0 соответственно, параметры р2 и Я оптимизируются. Левый рисунок - в виде контурной карты, правый рисунок - в трехмерном пространстве.

Источник. Расчеты автора.

Л = 0.1, Согг = -0.99

Л = 0.25, Согг = -0.83

А = 0.5, Согг = -0.13

• Ье1а1 (Л=0.1) • Ье1а2 (Л=0.1)

•

•

• •

0 6 1 1

А = 1, Согг = 0.61

0.6

<и

| 0.5 | 0.4 £ 0.3 0.2

• Ье1а1 (А=1) Ье1а2 (А=1)

•

•

• •

• • ••

• •

•

0 2 4 6

10 12 14

А = 3, СОГГ = 0.96

•

с Ье1а2 (Л=3)

•

• я

•

• • •

Ч • • Ье1а1 (А=0.25) • Ье1а2 (Л=0.25)

• •

• •

•• • 1

• /

0 А = 1.5, Сс гг = 0 0 1 .82 1

• Ье1а1 (Л= • Ье1а2 (Л= 1.5) 1.5)

•

•

•

•

• • • Ье(а1 (А=0.5) Ье1а2 (А=0.5)

•

•

• :

• • •

0 2 4 6

10 12 14

А = 2, СОГГ = 0.90

• • Ье1а1 (А=2) • Ье1а2 (Л=2)

•

•

• •

•

• •

0 2 4 6

10 12 14

А = 5, Согг = 0.99

6 8 10 12 14

А = 10, Согг = 1.00

0.35 0.30 | 0.25 ! 0.20 | 0.15 0.10 0.05 0.00

• • Ье1а1 (А=5) Ье1а2 (А=5)

• •

•

•

• •

0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 0.000

: • Ье1а1 (А=10) • Ье1а2 (А=10)

•

•

• • •

0 2 4 6

10 12 14

0 2 4 6

10 12 14

0 2 4 6

10 12 14

Рисунок 28. Корреляция между факторами наклона и выпуклости в модели Нельсона-Зигеля.

Источник. Расчеты автора.

Один из алгоритмов, который обладает необходимыми характеристиками, является алгоритм L-BFGS-M (Liu, Nocedal, 1989). Он использует численное нахождение градиента и поддерживает возможность задания границ для оптимизируемых параметров. В качестве стартовых точек для этого алгоритма применительно к модели Нельсона-Зигеля были использованы те же значения, что и для Алгоритма #1. Границы были выбраны интуитивно исходя из экономической интерпретации параметров. Алгоритм #5 в тестируемой выборке практически всегда приводит к успешному решению для модели Нельсона-Зигеля. Недостатком является то, что иногда параметры упираются в границы заданного интервала, однако это скорее исключение, чем правило. Для модели Нельсона-Зигеля алгоритм L-BFGS-M дает лучший результат, поэтому для целей калибровки модели предлагается использовать его в комбинации с «умным» выбором стартовых точек на основе МНК-оценок по купонным доходностям.

Аналогичный анализ был проведен для модели экспоненциальных сплайнов (Таблица 13). В целом, выводы сходны с результатами, полученными для модели Нельсона-Зигеля. В случае модели экспоненциальных сплайнов интуитивный выбор стартовой точки несколько более сложен, так как отсутствует экономическая

интерпретация параметров. Параметры а0.....7 были выбраны на уровне 0.1, а а на уровне

0.01. тем не менее, даже простой алгоритма Нелдера-Мида с выбранными стартовыми точками (Алгоритм #1) приводит к успешному результату в более чем половине процентов случаев. При генерации 10 случайных стартовых точка в выбранных окрестностях (Алгоритм #2), успешный результат был получен уже в 90% случаев.

В отличие от модели Нельсона-Зигеля, «умный старт» с параметрами, оцененными МНК по купонным доходностям, в качестве стартовых точек (Алгоритм #3), не приводит к значительному увеличению вероятности успешной сходимости алгоритма. Дело в том, что все факторы в модели экспоненциальных сплайнов имеют одинаковую экспоненциальную форму. Из-за этого мультиколлинеарность еще сильнее, чем в модели Нельсона-Зигеля, и МНК-оценки параметров становятся неэффективными. Проблема мультиколлинеарности для модели экспоненциальных сплайнов проиллюстрирована на Рисунок 29. При низких значения параметра а, наблюдается очень высокая корреляция между сплайнами.

Таблица 13. Сравнение различных алгоритмов оптимизации для модели экспоненциальных сплайнов по вероятности успешного завершения оптимизации.

#1 #2 #3 #4 #5

Алгоритм Нелдер-Мид Нелдер-Мид Нелдер-Мид Нелдер-Мид L-BFGS-B

Начальная точка а0 & = 0.1 10 случайных точек из ао,.„& оценены «о.....& = 0.1 а0.....& = 0.1

а = 0.01 а0.....& е [-0.1,0.1] а е [-0.05,0.05] методом МНК по купонным доходностям,а подбирается итеративно из диапазона [-0.05,0.05] а = 0.01 а = 0.01

Дополнительные - - - Регуляризация Границы

ограничения на сумму квадратов коэффициентов а0.....4 е [-10,10] а е [-0.1,0.1]

Доля успешного 88% 67% 67% 99%

завершения

Источник. Расчеты автора.

а = -0.3, Согг = 0.92

а = -0.1, Согг = 0.91

а = -0.05, Согг = 0.96

8000 7000 6000

<и

■I 5000 £

о 4000 § 3000 2000 1000

• factorl (а=-0.3) • factor2 (а=-0.3)

20.0 17.5 15.0 ! 12.5

; ю.о

• factorl (а=-0.1) • factor2 (а—o.i;

• •

т*1 II • •

4 б 8 10 12 t

а = -0.025, Согг = 0.99

10 12 14

а = 0, Согг = nan

• factorl (а=-0.025) factor2 (а=-0.025) •

•

•

¿it* • •

10 12 14

а = 0.05, Согг = 0.97

а = 0.1, Согг = 0.93

• factorl (а=0.05) factor2 (а=0.05)

• • •

•

•

• factorl (а=0.1)

• factor2 (а=0.1)

• factorl (а=0)