Моделирование обратной задачи магнитостатики в случае нелинейного отклика ферромагнетика тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Никитин Андрей Владимирович

• Никитин Андрей Владимирович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Никитин Андрей Владимирович

Введение

Глава 1 Физические причины появления, характеристики и моделирование магнитных полей рассеяния поверхностных дефектов потери сплошности металла в ферромагнитных изделиях

1.1 Причины появления магнитных полей рассеяния поверхностных дефектов согласно теории классической магнитостатики

1.2 Классификация поверхностных дефектов по размерам

1.3 Моделирование магнитных полей рассеяния поверхностных дефектов в линейных и нелинейных магнитных средах

1.3.1 Аналитические модели магнитных полей поверхностных дефектов

1.3.2 Численное моделирование магнитного поля поверхностного дефекта методом конечных элементов

Глава 2 Условия существования решения обратной задачи магнитостатики, некоторые подходы к решению обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле

2.1 Математическая причина возможной неоднозначности решения обратных

задач магнитостатики

2.2 Вывод уравнений для численного решения обратной геометрической

задачи магнитостатики в полях насыщения ферромагнетика

2.3 Решение обратной геометрической задачи магнитостатики в двумерном линейном случае при помощи нахождения связи между коэффициентами рядов - полиномиального разложения формы края

дефекта; и полиномиального разложения потенциала магнитного поля этого дефекта

Глава 3 Методика решения обратной геометрической задачи магнитостатики

ферромагнитных объектов контроля с использованием построения векторных

линий магнитного поля

3.1 Условия существования устойчивого однозначного решения обратной геометрической задачи магнитостатики для поверхностных дефектов в

двумерном и трехмерном случаях, с учетом нелинейной зависимости

3.2 Методика решения обратной геометрической задачи магнитостатики для конфигурации, когда магнитные преобразователи находятся над бездефектной поверхностью металла. Линейный и нелинейный случаи

3.3 Локализация дефекта на одной из поверхностей ферромагнитной пластины, восстановление геометрических параметров его формы при одностороннем доступе к пластине

3.4 Методика решения обратной геометрической задачи магнитостатики для конфигурации, когда магнитные преобразователи находятся над поверхностью металла с дефектом. С учетом нелинейного отклика ферромагнетика на внешнее намагничивающее поле

Глава 4 Верификация методики восстановления формы поверхностных

дефектов в ферромагнетиках

4.1 Верификация методики восстановления формы двумерного поверхностного дефекта на натурном эксперименте

4.2 Верификация методики восстановления формы трехмерного поверхностного дефекта на численных и натурных экспериментах;

область применимости методики

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование обратной задачи магнитостатики в случае нелинейного отклика ферромагнетика»

Введение

В настоящее время трудно переоценить роль, которую играют изделия из ферромагнитных сталей в различных областях индустрии и на транспорте. Можно сказать, что стали являются ключевым материалом для развития современного общества. Поэтому увеличению времени надежной работы изделий из стали, уменьшению рисков техногенных катастроф, связанных с их эксплуатацией, уделяется огромное внимание во всем мире.

Важным орудием позволяющим решать вышеупомянутые задачи являются методы неразрушающего контроля [1]. О различных методах неразрушающего контроля, в том числе о физических принципах, на которых эти методы основаны написаны многочисленные обзоры и книги [1,35]. Поэтому, не останавливаясь на других методах неразрушающего контроля, сразу перейдем к методу регистрации магнитного потока рассеяния, создаваемого дефектом. Часто этот метод называют MFL методом, данная аббревиатура происходит от названия метода в англоязычной литературе -Magnetic Flux Leakage (утечка магнитного потока).

MFL метод является одним из самых недорогих, неприхотливых (не

требующих специальной подготовки изделия для исследования) экспресс

методов оценки состояния поверхности изделий из ферромагнетиков. К тому

же MFL метод можно автоматизировать [85]. Недостатком метода является его,

на данный момент, низкая информативность. В настоящее время метод

регистрации утечки магнитного потока дефекта - это индикаторный экспресс

метод, который показывает лишь проблемные области и, в некоторых случаях,

величину проблемы. В случае обнаружения проблемных областей в

ферромагнитном изделии в настоящее время часто требуется их

5

дополнительное исследование другими методами неразрушающего контроля (например, ультразвуковыми или радиационными), что приводит к увеличению времени проверки и её стоимости. Увеличение информативности метода позволит создать недорогие и эффективные приборы контроля ферромагнитных изделий, что существенно съэкономит время и финансы, выделяемые для их обследования.

Отсутствие в настоящее время методики, использующей информацию о локальном пространственном распределении магнитного поля для восстановления на основе этого распределения границы металла в области дефекта, определяют актуальность исследований в этом направлении.

Итак, с одной стороны теоретической основой исследования магнитостатических полей рассеяния, создаваемых дефектами потери сплошности металла во внешнем постоянном магнитном поле, несомненно является решение прямых задач магнитостатики. В связи с этим, начиная с первой трети прошлого века и практически до настоящего времени большое число исследователей во всем мире полагают, что решая, при помощи определенных математических моделей, большое количество прямых задач магнитостатики, затем можно, используя различные численные процедуры, путем сравнения топографии измеренного магнитного поля над поверхностью металла с дефектом, с топографией поля эталонного дефекта (модельного дефекта во внешнем намагничивающем магнитном поле, с рассчитанной топографией магнитного поля рассеяния) определить тип и геометрические параметры формы обнаруженного дефекта. Однако большое разнообразие форм дефектов, нелинейный отклик ферромагнетика на внешнее магнитное поле, ошибки в измерениях не позволяют устойчивым образом решить поставленную выше задачу. Даже использование технологии нейронных сетей до сих пор не привело к решению этой задачи.

Математические модели поверхностных дефектов имеют еще один

существенный недостаток: для сравнения результатов расчета и эксперимента

6

расчетные кривые должны быть приведены к экспериментальным, путем приравнивания значений компонент напряженности магнитного поля в точке над центром дефекта для каждого типа дефекта при изменении любого параметра формы дефекта (глубина, размеры по оставшимся декартовым осям), а также при каждом изменении намагничивающего поля [7].

С другой стороны, восстановление локальной геометрии границы ферромагнетика по топографии измеренного над металлом магнитного поля рассеяния связано с решением обратной геометрической задачи магнитостатики.

В общем случае, обратные задачи (ОЗ) являются некорректно поставленными задачами (в силу их возможной неоднозначности и неустойчивости решения к параметрам задачи).

Впервые понятие «корректно поставленная задача» было введено французским математиком Ж. Адамаром в [64]. Задача является корректной (корректно поставленной) если для любых исходных данных существует решение задачи, причем это решение единственно, а любым малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения в решении. Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, то задача называется некорректной. Существование множества прикладных задач физики, техники, геологии, астрономии и т.д., математически описываемых адекватно и при этом являющимися некорректными сделало важной проблему разработки методов их решения.

Теоретическим основам решения обратных задач посвящены исследования А.Н. Тихонова, D. Phillips, M.J. Friedman, М.М. Лаврентьева, В.Я. Арсенина, В.К. Иванова и других [37-41, 66-69, 96-97, 99]. Согласно классификации обратных задач, приведенной в [97], решаемая в работе обратная задача магнитостатики относится к классу обратных геометрических

задач магнитостатики. Поскольку в результате решения задачи находятся геометрические параметры граничной поверхности ферромагнетика.

Применительно к задачам неразрушающего контроля магнитным методом постановка обратной задачи была выполнена В.В. Дякиным с соавторами в 2018 г. Авторы, при помощи методов функционального анализа, показали математическую причину возможной неоднозначности решения обратной задачи магнитостатики в вещественном гильбертовом пространстве Ь2 (это пространство достаточно большое и в нем содержатся векторы магнитного поля для любых задач магнитостатики в классической электродинамике) [20, 48].

В данной работе с помощью аппарата классического математического анализа показана математическая причина возможной неоднозначности решения обратной задачи на множестве векторов (характеризующих магнитное поле) трехмерного евклидового пространства.

В работах [37-38, 66-67] были определены условия, позволяющие выделить из всего пространства функций, являющихся решениями ОЗ, множество функций для которых ОЗ корректна (существование такого множества функций и их представление является априорной, то есть дополнительной информацией). Такая ситуация получила название - условная корректность ОЗ, или корректность ОЗ по Тихонову, а множество функций, для которого ОЗ корректна - множеством корректности [37]. Существенным отличием корректности задачи по Тихонову от классической корректности задачи является введение множества корректности, что существенно сужает класс возможных решений. Отметим, что наиболее характерным примером множества корректности является компактное множество (при условии, что доказана единственность решения задачи на этом компакте) [43].

Таким образом возможность устойчивого однозначного решения некорректных задач основана на использовании априорной информации о

существовании определенного множества функций, на котором это решение возможно.

В работе [51] авторы рассматривают задачу о нахождении формы ферромагнитного тела, помещенного в постоянное внешнее магнитное поле такой величины, что ферромагнитный материал находится в состоянии насыщения. В этом случае априорной информацией является то, что намагниченность постоянна по всему объему тела, со-направлена напряженности внешнего поля и определяется только материалом изготовления тела (а потому считается известной). В результате такого математического упрощения используя основное интегро-дифференциальное уравнение магнитостатики, в трехмерном случае были получены уравнения, решения которых определяют локальную геометрию ферромагнитного тела. На настоящий момент разработка численного алгоритма для решения этих уравнений еще не завершена.

В [27] исследовалось решение обратной геометрической задачи магнитостатики для двумерного случая. Было доказано, что дефекты, чьи формы представимы с заданной точностью отрезком ряда Фурье с ограниченными коэффициентами являются классом корректности, на множестве таких форм ОЗ корректна по Тихонову. В результате численного эксперимента, было получено решение обратной геометрической задачи магнитостатики для линейного случая, Дферромагнетик >> 1, при «измерении» магнитного поля прямо над дефектом (уровень измерений проходил по границе металла со стороны воздуха), полагалось, что дефект имеет малую глубину и превышающее эту глубину раскрытие. При таких условиях впервые была показана взаимосвязь формы границы металла с пространственным локальным распределением магнитного поля рассеяния.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методики реконструкции границы металла на поверхностях ферромагнитной пластины

в трехмерном нелинейном случае, по данным ]]Ъ метода, при одностороннем доступе к любой из поверхностей пластины.

В соответствии с целью диссертационной работы исследования проводились по следующим направлениям.

1. Выбор класса корректности обратной задачи магнитостатики в трехмерном случае.

2. Создание математической модели решения обратной геометрической задачи магнитостатики при помощи вычисления формы векторных линий магнитного поля внутри ферромагнетика. В модели пренебрегается выходом магнитного поля за пределы ферромагнетика, граница металла представлена функцией из класса корректности ОЗ. Компоненты векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля в ферромагнетике вычислены в результате решения начальной задачи Коши, с учетом материальных уравнений.

3. Разработка численного метода восстановления границы трехмерного поверхностного дефекта, по измеренному магнитному полю над бездефектной поверхностью ферромагнетика.

4. Разработка численного метода восстановления границы трехмерного поверхностного дефекта, по измеренному магнитному полю над поверхностью металла с дефектом.

5. Создание комплекса программ для численной реализации общей методики реконструкции границы металла в зоне дефекта по измеренным компонентам векторов, характеризующих магнитное поле над бездефектной поверхностью металла, либо над поверхностью с дефектом.

6. Верификация общей методики на численных и натурных экспериментах. В результате, в работе впервые:

- в трехмерном случае определена область условной корректности по Тихонову обратной геометрической задачи магнитостатики;

- показано, что математическая модель использующая векторные линии, вычисленные с помощью восстановленных компонент вектора напряженности магнитного поля в ферромагнетике (выход магнитного поля за пределы ферромагнетика при вычислениях не учитывается) с хорошей точностью описывает границы ферромагнетика, при условии, что граница металла представлена функцией из класса корректности ОЗ; компоненты вектора напряженности магнитного поля восстановлены с учётом нелинейного характера зависимости д(|н|);

- создан численный метод приближенного восстановления границы ферромагнетика по измеренному магнитному полю над бездефектной поверхностью металла;

- создан численный метод приближенного восстановления границы ферромагнетика по измеренному магнитному полю над поверхностью металла с дефектом.

В работе была впервые приближенно решена трехмерная обратная геометрическая задача магнитостатики для широкого класса практически встречающихся дефектов с учетом нелинейного отклика ферромагнетика на внешнее магнитное поле. Задача решена при условии одностороннего доступа к поверхности металлической пластины — либо к бездефектной поверхности, либо к поверхности с дефектом. Разработаны и верифицированы на численных и натурных экспериментах методики решения обратной геометрической задачи магнитостатики на основе измеренных над поверхностью ферромагнитной пластины компонент векторов, характеризующих магнитное поле.

Создана лабораторная установка и программные комплексы для обнаружения дефектов в стальных пластинах. Две программы для управления

установкой и восстановления границы металла в области дефекта имеют государственную регистрацию. Созданные программно-аппаратные комплексы могут быть использованы для создания мобильных устройств осуществляющих дефектометрию протяженных изделий из ферромагнетиков.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные соискателем:

- класс корректности обратной геометрической задачи магнитостатики в трехмерном случае;

- математическая модель решения обратной геометрической задачи магнитостатики при помощи вычисления формы векторных линий магнитного поля внутри ферромагнетика;

- численный метод восстановления границы трехмерного поверхностного дефекта, по измеренному магнитному полю над бездефектной поверхностью ферромагнетика;

- численный метод восстановления границы трехмерного поверхностного дефекта по измеренному магнитному полю над поверхностью с дефектом;

- комплекс программ для численной реализации методики реконструкции границы металла в зоне дефекта по измеренным компонентам векторов, характеризующих магнитное поле над бездефектной поверхностью металла, либо над поверхностью с дефектом.

Глава 1 Физические причины появления, характеристики и моделирование магнитных полей рассеяния поверхностных дефектов потери сплошности металла в ферромагнитных изделиях

1.1 Причины появления магнитных полей рассеяния поверхностных дефектов согласно теории классической магнитостатики

В рамках классической электродинамики возникновение полей рассеяния дефекта обусловлено взаимодействием внешнего намагничивающего поля с ферромагнитным объектом контроля (ОК) определенной геометрической формы. Прямая задача о нахождении распределения полей в некоторой области пространства, содержащей ферромагнетик и воздух во внешнем однородном поле, связана с решением системы дифференциальных уравнений (уравнения Максвелла для случая магнитостатики) с граничными условиями плюс материальные уравнения, которые описывают свойства ферромагнетика. При решении прямой задачи необходимо учитывать нелинейную зависимость величины магнитной проницаемости от амплитуды напряженности магнитного поля (^(И)). Такие задачи сложны и требуют использования численных методов для их решения. Прямые задачи для конкретной геометрии ферромагнетика способны решать современные программы, такие как ANSYS, ELMER, ELCUT, FEMM.

С другой стороны, на практике привлекательно выглядит идея создания математической модели выбранного типа дефекта для получения аналитической формулы, связывающей распределение магнитного поля в области измерений с геометрическими параметрами формы дефекта. В

результате, аналитическая формула позволяет решить как прямую, так и обратную задачу — задачу определения геометрических параметров формы дефекта по измеренному магнитному полю рассеяния дефекта. Все зависит от того какие слагаемые формулы считать неизвестными, а какие известными.

Одним из способов создания математической модели трещины служит введение фиктивных магнитных зарядов на граничных поверхностях дефекта. Действительно, при намагничивании пластины на граничных поверхностях трещины (расположенных не вдоль намагничивающего поля) возникают магнитные полюсы. Это позволяет ввести фиктивные поверхностные магнитные заряды, плотность которых численно равна изменению намагниченности. Результирующее поле в области измерений состоит из суперпозиции полей от магнитных зарядов и внешнего постоянного намагничивающего поля. Учет нелинейной зависимости [¿(И) приводит к необходимости введения фиктивных объемных магнитных зарядов с плотностью

Рт = - (4йг>) (Ы)

где Н - амплитуда вектора напряженности магнитного поля. Вывод выражения для рт.

Отсутствие реальных магнитных зарядов выражено уравнением Шу(в)= 0.

Учтем правила действия оператора на произведение скалярной и векторной функции:

Ш\(в)= сИу(рН)= [ Ш\(Н)+ (н)дгас1(^)= 0 (1.2)

Учтем, что ц=ц(Н): дгай(^(Н))= (?J^-)grad(H) (1.3)

Подставив (2.3) в (2.2), получаем:

а™(Й)= - (-¡¡¿о) *Й*(м)* ~9^(Н) (14)

14

Сравнение уравнений (1.2) и (1.4) приводит к известному выводу о том, что линии потока магнитной индукции всегда замкнуты, но линии потока напряженности магнитного поля могут начинаться на положительных фиктивных магнитных зарядах и заканчиваться на отрицательных.

Поэтому для Н мы можем записать: Шу(н) = 4жрт, (1.5)

где рт определено уравнением (1.1).

Компоненты Н(г) от фиктивных обьемных магнитных зарядов (возникающих при учете зависимости ¡л(Н)) определены решением уравнения (1.5) с граничными условиями.

Результирующее поле в области измерений состоит из суперпозиции полей от поверхностных магнитных зарядов, объемных магнитных зарядов и внешнего намагничивающего поля (постоянного и однородного).

1.2 Классификация поверхностных дефектов по размерам

В начале опишем способ геометрической локализации дефектов, способ определения геометрических параметров дефекта (рисунок 1, рисунок 2) и отдельно определим трещину и трещиноподобный дефект согласно документу «Технические условия и требования к внутритрубному контролю трубопроводов (Specifications and requirements for in-line inspection of

pipelines)» выпущенному в 2021 году международной организацией Pipeline Operators Forum (POF) [2].

Рисунок 1 - Общепринятая система локализации дефекта на трубе; c - длина дефекта, 2a - ширина дефекта

На Рис. 1 С учетом направления движения обследования трубы - С -соответствует началу левого края дефекта. К — соответствует конечной точке правого края дефекта. Глубина дефекта (Ь) определяется в точке, где толщина стенки трубы минимальна, Рис. 2.

Рисунок 2 - Определение глубины дефекта; С — начало левого края дефекта; d — глубина дефекта; t — толщина стенки трубы

Направление движения при обследовании трубы

С

В таблице 1 и на рисунке 3 показана классификация дефектов по их размерам. При этом каждый такой класс допускает большой диапазон форм. В таблице 1 и на рисунке 3 величина А определена следующим образом. Если t < 10 мм, то А = 10 мм; если t > 10 мм, то А = 1

Таблица 1 - Определение класса дефекта по его размерам

Класс дефекта Определение

Общая коррозия {[2а > ЗА] и [1 > ЗА]}

Питтинговая коррозия {([1А<2а < 6А] и [1А<1 < 6А] и [0.5 < 1/2а < 2]) но нельзя ([2а > ЗА] и [1 > ЗА])}

Дефекты класса «Продольная {[1А < 2а < ЗА] и [1/ 2а > 2]}

канавка»

Дефекты класса «Поперечная {[1/ 2а < 0.5] и [1А < 1 < ЗА]}

канавка»

Небольшие коррозионые ямки {[0 мм <2а < 1А] и [0 мм < 1 < 1А]}

Дефекты класса «Продольный {[0 мм < 2а < 1А] и [1 > 1А]}

* разрез»

Дефекты класса «Поперечный {[2а > 1А] и [0 мм < 1 < 1А]}

* разрез»

* - Дефекты класса разрез иногда могут быть идентифицированны как трещиноподобные

Согласно [2] трещиной является плоская двумерная аномалия металлической стенки трубы с большим соотношением длины к ширине, раскрытием на поверхности (2а) менее 0.1 мм и заостренной от поверхности в глубину формой. Трещиноподобный дефект похож на трещину, но может не обладать заостренной формой. Раскрытие такой аномалии стенки трубы на поверхности составляет 0.1 мм и более. Ранее POF определял поверхностное

раскрытие трещиноподобного дефекта лежащим в интервале от 0.1 мм до 1 мм

[3].

Рисунок 3 - Графическое представление поверхностных дефектов потери сплошности металла по классам размеров; область 1 - коррозионые ямки

Под двумерностью трещины (далее, для краткости, будем обозначать словом трещина как непосредственно трещину, так и трещинообразный дефект) понимается тот факт, что трещины характеризуются следующими геометрическими соотношениями: ё/2а имеет значение не менее 10; 1/2а имеет значение не менее 100. Поскольку длина трещины в перпендикулярном к поверхностному раскрытию направлении больше поверхностного раскрытия минимум в 100 раз, то можно ожидать, что двумерная математическая модель трещины будет удовлетворительно описывать реальный трехмерный объект.

1.3 Моделирование магнитных полей рассеяния поверхностных дефектов в линейных и нелинейных магнитных средах

1.3.1 Аналитические модели магнитных полей поверхностных дефектов

Модель ленточного диполя

Получим пространственное распределение магнитного поля для одной из самых используемых моделей трещины — модели ленточного диполя. Впервые эта модель была предложена Н.Н. Зацепиным и В.Е. Щербининым [4-5].

В качестве первого шага рассмотрим пространственное распределение магнитного поля от линейного диполя образованного двумя бесконечными однородно заряженными нитями. Заряды на нитях противоположны по знаку, рисунок 4.

+ 7 / \ Г1 III / Н2 / П

Р1 О р? X

а а

Рисунок 4 - Линейный диполь

На рисунке 4 изображены две бесконечные (в направлении перпендикулярном плоскости рисунка) однородно заряженные нити. Ось ОУ направлена «от нас» перпендикулярно плоскости рисунка 4. Нить, расположенная в точке заряжена положительно, в точке Р2- отрицательно. Координаты положительно заряженной нити, проходит через точку Р± : (-а, у,

0); отрицательно заряженной нити:(а, у, 0). Запишем выражения распределения в пространстве компонент магнитного поля, созданного однородно заряженной бесконечной нитью. Компоненты поля от положительно заряженной нити обозначим индексом 1, а отрицательной — индексом 2. Пусть - постоянная линейная плотность зарядов на нитях.

гт (х+а) (х+а) ( .

НХ1= )-т-3 = 2°1 (х + а)2+г2 (1.6)

[(х+а)2+(у-у)2+г2]2 (х+а)

НУ1 = °1Я-<У-У"'У з = 0 (1.7)

[(х+а)2+(у-у)2+г2]2

-&-з = 2а,(х+а^2 (1.8)

[(х+а)2+(у-у)2+г2]2 (х+а)

гт (х+а) йу (х+а) ( .

Нх2=~°1)-т-3= ~2°1 (х + а)2+г2 (1.9)

[(х+а)2 + (у-у)2+г2]2 (х+а)

Ну2 = -«,С-^2^ = 0 (1.10)

[(х+а)2+(у-у)2+г2]2

Н^-^Г«,-&-з=-2*,—^ (1.11)

[(х+а)2 + (у-у)2+г2]2 (х+а)

Заметим, что положительно заряженная бесконечно длинная нить создает в произвольной точке в плоскости Х7, на расстоянии г от нее, поле:

Н = 2-£ (1.12)

Результирующее поле линейного диполя равно алгебраической сумме компонент поля от его нитей.

Горизонтальная составляющая:

= 4 а1а(х2-г2-а2) . .

х -[(х+а)2+г2\-[(х-а)2+г2\ ( . )

Вертикальная составляющая:

= „„^ах:^, (1.14)

Перейдем к ленточному диполю, рисунок 5. Ленточный диполь образуют две бесконечные ленты шириной Ь с постоянной плотностью поверхностного заряда о"т.Ось ОУ на рисунке направлена перпендикулярно плоскости рисунка в сторону «от нас».

Рисунок 5 - Ленточный диполь

На оси ОХ положительно заряженная лента проходит через точку Р± , отрицательно заряженная лента — через точку Р2.

Анализируя (1.117), можно записать выражение для определения напряженности магнитного поля в точке М от действия зарядов, расположенных на одной из лент ленточного диполя:

где п меняется в пределах от 0 до И.

представляет напряженность магнитного поля от бесконечно тонкой нити (толщиной ^ ). Просуммировав (точнее проинтегрировав) вклад в результирующее поле ленты всех таких нитей получим выражения для

¿х=^^ '1

(1.15)

компонент напряженности магнитного поля ленты. Если величины и отпостоянны, то очевидно, что для них выполняется соотношение: о"г = от/ Ь.

Для горизонтальной компоненты положительно заряженной ленты получим:

НХ1 = 2ат(х + о) ¡0 ((х+а)2а)Г,+(2+Г])2= 2ат (агсТап - агЯап

= ^гаж^х+а^^ (1.16)

Для горизонтальной компоненты отрицательно заряженной ленты получим:

Нх2 = -2атагсгап (х-ТЛ+ъ^ (1Л7)

Для вертикальных компонент получим:

Нг1 = &т.1п

'(х+а)2 + (г+ъУ

) (1.18)

(х+а)2+г2

Н22=-ат1п( (х-С1)2+гъ ) (119)

В результате, компоненты ленточного диполя имеют вид:

Нх = 2ат [агаап (х+Т+^+ъ^ - агсШп {х-ТЛ+ъ^] (1.20)

= , f[(х+а)2+(z+Ъ)2]■[(х-а)2+z2]\ Пг Gmin([(х+а)2+z2].[(х-а)2+(z+Ъ)2]) (1.21)

Для предельного перехода при Ь ^ Овыполняется Ит Ь ат = и выражения

ъ^о

для компонент напряженности магнитного поля ленточного диполя (выражения (1.20) и (1.21)) тождественно совпадают с компонентами напряженности магнитного поля линейного диполя (выражения (1.118) и (1.119)).

Трещины конечных размеров также можно описать моделью ленточного диполя [6], рисунок 6. Полученные выражения справедливы для трехмерных дефектов при условии, что их длина как минимум в двадцать раз превышает глубину.

Рисунок 6 - 3Б модель ленточного диполя

В 3Б модели ленточного диполя для компонент напряженности магнитного поля справедливы следующие выражения:

Нх = ^[агаап (-О+Н^Ю-1

471 \(х+а)-[(х+а)2+(у+с)2 + (г+Ь)2]2

((у+с)-г \ / (у-с)-(г+Ь) ,

-- I- агс £ ап I-- |+

(х+а)-[(х+а)2 + (у+с)2+г2]2/ \(х+а)-[(х+а)2 + (у-с)2 + (г+Ь)2]2 (_(у-с)-г_\ (_(у+с)-(г+Ь)_

аг^ап I-- I- аг^ап I-- |+

\(х+а)-[(х+а)2 + (у-с)2 +г2]2/ \(х-а)-[(х-а)2 + (у+с)2 + (г+Ь)2]2,

((у+с)-г \ I (у-с)-(г+Ь)

-- |+аг& ап I-!

(х-а)-[(х-а)2 + (у+с)2+г2]2/ \(х-а)-[(х-а)2+(у-с)2 + (г+Ь)2]2 ,

агаап(-(у-^--)] (1.22)

\(х-а)-[(х-а)2 + (у-с)2+г2]2

--

ат (у+с)+[(х+а)2+(у+с)2+г2]2 (у-с)+[(х+а)2+(у-с)2 + (г+Ь)2]2

Ну = — [1п I -----

471 \(у-с)+[(х+а)2+(у-с)2+г2]2 (у+с)+[(х+а)2+(у+с)2 + (г+Ь)2]2у

/1 ^ / (у+с)+[(х-а)2+(у+с)2+г2]2 (у-с) + [(х-а)2+(у-с)2 + (г+Ь)2]2

Ы — ^ У .V, ^ ■"—" ^ |] (1.23)

\(у-с)+[(х-а)2+(у-с)2+г2]2 (у+с) + [(х-а)2+(у+с)2 + (г+Ь)2]2^

1 1

(г+Ь)+[(х+а)2+(у-с)2 + (г+Ь)2]2 г+[(х+а)2+(у+с)2+г2]2

1 ' 1

г+[(х+а)2 + (у-с)2+г2]2 (г+Ь)+[(х+а)2+(у+с)2 + (г+Ь)2]2

(

11

Ы

(г+Ь)+[(х-а)2+(у-с)2 + (г+Ь)2]2 г+[(х-а)2 + (у+с)2+г2]2

] (1.24)

1 ' 1

г+[(х-а)2 + (у-с)2+г2]2 (г+Ь)+[(х-а)2+(у+с)2 + (г+Ь)2]2

Заметим, что в модели ленточного диполя не учитываются магнитные заряды на поверхности металла и в основании дефекта от вторичного поля заряженных граней дефекта, но они настолько малы, что ими можно пренебречь [4].

Модель магнитного диполя была расширена для расчета магнитного поля, создаваемого дефектами различной формы. Соответствующие обзоры приведены в [7,8]. В работе [28] изучена топография магнитного поля от соседних параллельных поверхностных щелей. В [29], [30], [31] вычислена и экспериментально проверена топография магнитного поля от цилиндрического отверстия. В [32] предложена дипольная модель для расчета топографии магнитных полей для конических, и эллипсоидальных дефектов. В [33] предложена модель для дефектов вогнутой и выпуклой формы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никитин Андрей Владимирович, 2026 год

Список использованной литературы

1. Клюев В.В. Неразрушающий контроль. Справочник в 8 томах. 6 том. М: Машиностроение, 2006 г. - 848 с.

2. Specifications and requirements for in-line inspection of pipelines. Standard Practice POF 100 November 2021. https://pipelineoperators. org/

3. Specifications and requirements for in-line inspection of pipelines. Version 2016. https://pipelineoperators.org/

4. Зацепин Н.Н., Щербинин В.Е. К расчету магнитостатического поля поверхностных дефектов. I. Топография полей моделей дефектов. // Дефектоскопия. 1966. № 5, сс. 50-59

5. Щербинин В.Е. Зацепин Н.Н. К расчету магнитостатического поля поверхностных дефектов. II. Экспериментальная проверка основных расчетных закономерностей // Дефектоскопия 1966. № 5, сс. 59-66

6. Щербинин В.Е., Пашагин А.И. Влияние протяженности дефекта на величину его магнитного поля. // Дефектоскопия. 1972. № 4, сс. 74-82

7. Кушнер А.В., Новиков В. А. Анализ моделей дефектов в теоретических исследованиях магнитных полей рассеяния, возникающих при намагничивании ферромагнитных объектов. // Вестник Белорусско-Российского университета. 2014. № 1 (42), с. 95-105. http ://e.biblio.bru.by/handle/1212121212/2115

8. Feng Bo, Wu Jianbo , Tu Hongming, Tang Jian, Kang Yihua A Review of Magnetic Flux Leakage Nondestructive Testing // Materials. 2022, 15, 7362. https://doi.org/10.3390/ma15207362

9. Франк Ф, Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Часть 2. ОНТИ Главная редакция общетехнической литературы. Ленинград 1937 Москва

10. Аркадьев В.К. Электромагнитные процессы в металлах. Часть 2. Электромагнитное поле. ОНТИ Главная редакция энергетической литературы. Москва 1936 Ленинград

11. Мужицкий В.Ф., Щербинин В.Е. Магнитное поле короткого дефекта типа прямоугольной щели. // Дефектоскопия. 2006, № 2, с. 58-63

12. Stumm W. Zersturungsfrei Werkstoffprufungen mit dem magnetschten Streuflussvefahren. // Konstrukteuer. 1974, Vol. 5, № 8, p. 40

141

13. Förster F. New results of NDT by the magnetic leakage field method. // NDT International 1971, Vol. 4, № 4, pp. 254-259.

14. Förster F Principi teoretici e experementali del controllo non destruttivo con rivelazione del flusso disperso // La Metallurgia Italiano 1972, № 4, pp. 137-147.

15. Ферстер Ф. Неразрушающий контроль методом магнитных полей рассеяния. Теоретические и экспериментальные основы выявления поверхностных дефектов конечной и бесконечной глубины. // Дефектоскопия. 1982. № 11, сс. 3-25

16. Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. Изд. «Наукова думка». 1970. Киев.

17. Тамм И.Е. Основы теории электричества. 2003. Москва. Изд. «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 616 стр.

1S. Мужицкий В.Ф. Модель поверхностного дефекта и расчет топографии его магнитостатического поля // Дефектоскопия. 1987. № 3, сс. 24-30

19. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. 1986. Киев: Наукова думка — 280 с.

20. Дякин В.В. Математические основы классической магнитостатики. 2016. Екатеринбург: Институт Физики Металлов УрО РАН - 403 с.

21. Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. Поле рассеяния пластины с поверхностным дефектом в однородном внешнем поле // Дефектоскопия. 2018. № 12, сс. 23-31.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. 720 с

23. Шур М.Л., Загидулин Р.В., Щербинин В.Е. Теоретические вопросы формирования поля поверхностных трещин // Дефектоскопия. 1988. № 3, сс. 14-25.

24. Шур М.Л., Загидулин Р.В., Щербинин В.Е. Самосогласованный расчет магнитного поля поверхностных дефектов // Дефектоскопия. 1988. № 10, сс. 313.

25. Загидулин Р.В., Мужицкий В.Ф., Курозаев В.П. Расчет магнитостатического поля внутреннего дефекта и дефекта внутренней поверхности в ферромагнитной пластине. II. Магнитное поле дефекта в воздухе. Нелинейная среда (ß = ß(H)) // Дефектоскопия. 1997. № 1, сс. 55-62.

26. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: в 2-х кн. Кн. 2 М.: Мир, 1989. - 264 с.

27. Кротов Л.Н. Диссертационная работа на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Моделирование обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле. 2004. Пермский Государственный Технический Университет

28. Uetake, I.; Saito, T. Magnetic Flux Leakage by Adjacent Parallel Surface Slots. NDT E Int. 1997, 30, 371-376.

29. Dutta, S.M.; Ghorbel, F.H.; Stanley, R.K. Simulation and Analysis of 3-D Magnetic Flux Leakage. IEEE Trans. Magn. 2009, 45, 1966-1972.

30. Dutta, S.M.; Ghorbel, F.H.; Stanley, R.K. Dipole Modeling of Magnetic Flux Leakage. IEEE Trans. Magn. 2009, 45, 1959-1965.

31. Mandache, C.; Clapham, L. A Model for Magnetic Flux Leakage Signal Predictions. J. Phys. D Appl. Phys. 2003, 36, 2427-2431.

32. Trevino, D.A.G.; Dutta, S.M.; Ghorbel, F.H.; Karkoub, M. An Improved Dipole Model of 3-D Magnetic Flux Leakage. IEEE Trans. Magn. 2016, 52, 1-7.

33. Huang, X.;Wu, J.; Sun, Y.; Kang, Y. 3D Magnetic Dipole Models of Magnetic Flux Leakage for "concave" and "Bump" Defects.Int. J. Appl. Electromagn. Mech. 2019, 59, 1305-1312.

34. Гобов Ю.Л. Идентификация трещин и математическая модель магнитостатического поля дефектов в пластине// Дефектоскопия. 2024. № 4, сс.28-37.

35. Костин В.Н. Электромагнитный контроль. Учебное электронное текстовое издание-Уральский федеральный университет, Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург, 2013г.

36. Кочин Н.Е Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 427 с.

37. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

38. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. Математическая физика. 1943. Т. XXXIX. № 5. С. 195—198.

39. Phillips D. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind // J. Assoc. Comp. Mash. 1962. № 9. Р. 84—97.

40. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501—504.

41. Тихонов А.Н., Глазко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. // Вычислительная математика и математическая физика 1964. Т. 4. № 3. С. 564—571.

42. Калиткин Н.Н. Численные методы. СПб. : БХВ-Петербург, 2011. 592 с.

43. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / Справочник. Киев: «Наукова думка», 1986. 544 с.

44. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: ЛКИ, 2009. 480 с.

45. Gobov Yu.L. Solving the Inverse Geometric Problem of Magnetostatics for Corrosion Defects / Yu.L. Gobov, A.V. Nikitin, S.E. Popov. - Текст непосредственный// Russian journal of nondestructive testing. — 2018. — V. 54 -No. 10. — P. 726—732.

46. Nikitin A. V. Method for Solving Inverse Geometric Problem of Magnetostatics for Surface Defects of a Soft Magnetic Ferromagnet /A. V. Nikitin, Yu.L. Gobov, A. V. Mikhailov, L.V. Mikhailov. - Текст непосредственный // Russian journal of nondestructive testing. — 2022. — V. 58 - No. 12. — P. 1107—1117.

47. Дякин В.В. Прямая и обратная задача магнитостатики // Дефектоскопия. 1996, № 3, сс. 3—6.

48. Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. К вопросу о корректности прямой и обратной задачи магнитостатики. Часть 2 // Дефектоскопия. 2018,

№ 10, сс. 15—24.

49. Раевский В.Я. О свойствах квазиэрмитовых операторов и их применении к исследованию операторов теории потенциала и основного уравнения электро -и магнитостатики. Препринт. Екатеринбург 2001 г. УрО РАН ИФМ, 48 с.

50 Бронштейн Семендяев Справочник по математике для инженеров

51. Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. Обратная задача магнитостатики в полях насыщения // Дефектоскопия. - 2019, №. 10. сс. 35-44.

52. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968. 207 с.

53. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

54. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса) // Математические заметки. 1973. Т. 14. № 5. С. 755—767.

55. Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 269 с.

56. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 3. № 1.С. 30—44.

57. Алексидзе М.А. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии. М.:Наука, 1987. 334 с.

58. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. 1. Исследование свойств решения вспомогательной прямой задачи // Дефектоскопия. 2004. № 2. С. 76—82.

59. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. 2. Постановка и метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики // Дефектоскопия. 2004. № 6. С. 76—82.

60. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. 3. Методика решения обратной геометрической задачи магнитостатики при малых возмущениях границы // Дефектоскопия. 2004. № 6. С. 45—51.

61. Математическая энциклопедия. Гл. ред. Виноградов И.М., т.3 М: Советская энциклопедия, 1977 г.

62. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М: Наука, 1988. - 286 с.

63. Ступаков И.М. Диссертационная работа на соискание ученой степени кандидата технических наук. Разработка алгоритмов решения задач магнитостатики с использованием метода граничных элементов. ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный технический университет». 2016.

64. Hadamard J. Sur les problèmes aux derivees partielles et leur signification physique. Bull. Univ. Princeton, 1902, v. 13, pp. 49-52.

65. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaires hiperboliques. Paris: Hermann, 1932. - 352 p.

66. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962, 68 с.

67. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М: Наука, 1980, 288 с.

68. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49—52.

69. Огородников И.Н. Введение в обратные задачи физической диагностики: специальные главы высшей математики для технологов. Екатеринбург: Издательство УрФУ. 2017. 199 с.

70. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М: Высшая школа, 1964. 559 с.

71. Nikitin A. V., Gobov Yu.L. Identification of defects in a ferromagnet by solving the inverse problem of magnetostatics // Journal of Physics: Conference Series, 2019, 1389 (2019) 012033, doi:10.1088/1742-6596/1389/1/012033

72. Nikitin A. V. Range of Applicability of a Technique for Constructing Magnetic Induction Lines for Flaw Sizing in Extended Objects / A.V. Nikitin, A. V. Mikhailov, L.V. Mikhailov, Yu.L. Gobov, V.N. Kostin, Ya.G. Smorodinskii. - Текст непосредственный // Russian journal of nondestructive testing. — 2023. — V. 59

- No. 12. — P. 1297—1305.

73. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М: МЦНМО, 2005

- 55 с.

74. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. — М.: Наука, 2005. — 644 с.

75. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976. 543 с.

76. ЭдвардсР., Функциональный анализ. Теория и приложения. М: Мир, 1969. 1072 с

77. Огородников И. Н. Введение в обратные задачи физической диагностики: специальные главы высшей математики для технологов: учебное пособие. Издательство Уральского университета: Екатеринбург, 2017. 199 с.

78. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека. М: Наука, 1972. 544 с

79. Штырев О.О. Причины разрушения тела бурильных труб при эксплуатации и преимущества бурильных труб с внутренним защитным покрытием // Территория Нефтегаз 2014, 12, c 92-94

80. Gobov Yu.L. Solving the Inverse Geometric Problem of Magnetostatics for Corrosion Defects with Allowance for Nonlinear Properties of Ferromagnet / Yu.L. Gobov, A.V. Nikitin, S.E. Popov. - Текст непосредственный// Russian journal of nondestructive testing. — 2018. — V. 54 - No. 12. — P. 849—854.

81. Nikitin A. V. Verification of a Technique for Reconstructing the Shape of Defects in Soft Magnetic Ferromag-nets Using MFL Data / A.V. Nikitin, A. V. Mikhailov, L. V. Mikhailov, Yu.L. Gobov, V.N. Kostin, Ya.G. Smorodinskii. - Текст непосредственный // Russian journal of nondestructive testing. — 2022. — V. 58 - No. 11. — P. 1011—1017.

82. Никитин А.В., Михайлов А.В., Гобов Ю.Л., Попов С.Э. Определение локализации дефекта, а также восстановление методом MFL его геометрических параметров при одностороннем доступе к ферромагнитной пластине. // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. 2021, Iss 6, P. 45—53 - DOI: 10.17804/2410-9908.2021.6.045-053

83. Внутритрубная диагностика с помощью магнитных дефектоскопов MFL/CDP и (или) TFI/AFD, в том числе HIGH RESOLUTION, НТЦ «НефтеГазДиагностика», 2013. URL: https://ntcngd.com/uslugi/article_post/vnutritrubnaya-diagnostika-spomoshchyu-magnitnykh-defektoskopov-vysokogo-razresheniya

84. Большакова В. В., Кукин Н. А., Дымкин Г. Я. О возможности применения магнитных методов неразрушающего контроля для оценки напряженно -деформированного состояния трубопроводов // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2014, No. 4 (41). - cc. 92-98.

85. Slesarev D. A., Abakumov A. A. Data processing and representation in the MFL method for nondestructive testing // Russian Journal of Nondestructive Testing. -2013. - Vol. 49 (9). - P. 493-498. - DOI: 10.1134/S106183091309009X

86. Nikitin A. V. Technique for Practical Reconstruction of the Form Parameters of Surface Two-Dimensional Defects Taking into Account Nonlinear Properties of a Ferromagnet / A.V. Nikitin, A. V. Mikhailov, A.S. Petrov, S.E. Popov, Yu.L. Gobov. -Текст непосредственный// Russian journal of nondestructive testing. — 2021. — V. 57 - No. 12. — P. 1103—1113. - 2021.

87. Gobov Yu. L., Popov S. E. Reconstructing the topography of surface defects of ferromagnets in a normal magnetization field // Russian Journal of nondestructive testing. - 2021. - Vol. 57. - P. 303-309. - DOI: 10.1134/S1061830921040057

88. Джексон Дж. Д. Классическая электродинамика / пер. с англ. - М.: Мир, 1965 - 702 с.

89. Трехосный цифровой датчик Холла, ALS31300, https://www.allegromicro.com/

90. Источник питания, 0-60V-10A 1xLED (КНР), https://www.chipdip.ru/product/qj6010e

91. Гистерезисограф Remagraph C-500,

https://www.magnet-physik.de/upload/18657995-Remagraph-C-e-3123.pdf

92. Никитин А.В., Михайлов А.В., Михайлов Л.В., Гобов Ю.Л., Костин В.Н., Смородинский Я.Г. Верификация методики восстановления формы дефектов в магнитомягких ферромагнетиках с использованием MFL-данных // Дефектоскопия. - 2022, № 11, сс 43-49.

93. Кайдриков Р.А., Виноградова С.С. Питтинговая коррозия металлов и многослойных систем (исследование, моделирование, прогнозирование, мониторинг) // Вестник Казанского технологического университета. - 2010,

№ 4, сс 212—227.

94. Никитин А.В., Михайлов Л.В., Михайлов А.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023618851

ЭД 1.0/ED 1.0, 02.05.2023 г.

95. Никитин А.В., Михайлов Л.В., Михайлов А.В., Гобов Ю.Л., Костин В.Н., Смородинский Я.Г. Восстановление формы дефекта ферромагнитной пластины путем решения обратной задачи магнитостатики и серии прямых задач // Дефектоскопия (только русский). — 2024. — № 60. - сс 56 - 60.

96. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник - 1963, т. 61, № 2, сс 211-223

97. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В., Экстремальные методы решения некорректных задач. - М: Наука, 1988, 286 с.

98. Förster F. New findings in the field of non-destructive magnetic leakage field inspection //NDT International. 1986. Vol. 19 № 1, pp. 3-14

99. Friedman M.J. Mathematical Study of the Nonlinear Singular Integral Magnetic Field Equation. 1 // SIAM J. Appl. Math. 1980. V. 39. N 1. P. 14 - 20.

100. Никитин А.В., Михайлов Л.В., Михайлов А.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024660347

ЭД 2.0/ED 2.0, 06.05.2024 г.

101. Nikitin A.V. Magnetic defectometry of surface defects in ferromagnet / A.V. Nikitin, Yu.L. Gobov, E. V. Olkhovskaya. - Текст электронный // AIP Conference Proceedings - 2019. - V. 2174. - P. 20232—20235. - Режим доступа по подписке.