Моделирование сильных возмущений ионосферы с разбиением по физическим процессам при помощи модифицированного сеточно-характеристического метода и метода Годунова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Васильев, Михаил Олегович

• Васильев, Михаил Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильев, Михаил Олегович

Введение

Глава 1. Методы

1.1 Система уравнений.

1.2 Численные методы.

1.2.1 Организация ячейки разностной сетки.

1.2.2 Организация элементарной сетки.

1.2.3 Организация шага по времени

1.2.4 О применимости разделения системы уравнений на части.

1.2.5 Повышение порядка аппроксимации.

1.2.6 Адаптивные иерархические сетки.

1.3 Особенности реализации программы.

1.3.1 Общие принципы организации программы

1.3.2 Структуры данных.

1.3.3 Итераторы

1.3.4 Передаваемые процедуры.

1.4 Методика распараллеливания программы.

1.4.1 Распараллеливание методов на однородных сетках

1.4.2 Распараллеливание методов на иерархических сетках

1.5 Методика тестирования программы.

1.5.1 Тесты на сходимость.

Глава 2. Физические особенности постановки задачи

2.1 Модель атмосферы.

2.1.1 Исходные данные для атмосферной модели.

2.2 Модель начального возмущения

2.3 Задача о желобковой неустойчивости

2.3.1 Геометрия задачи.

2.3.2 Аналитические оценки.

Глава 3. Результаты

3.1 Проверка корректировки метода Годунова

3.2 Проверка аппроксимации.

3.3 Тестирование на сходимость.

3.4 Задача о сильном возмущении.

3.5 Задача о желобковой неустойчивости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование сильных возмущений ионосферы с разбиением по физическим процессам при помощи модифицированного сеточно-характеристического метода и метода Годунова»

Актуальность работы

В диссертационной работе рассматривается задача моделирования последствий сильного локального возмущения ионосферы, вызванного воздействием взрывного типа или распылением высокотемпературной плазмы на высотах более 200 километров.

Задача детального исследования подобного рода возмущений интересна в связи с тем, что хотя с 60-х годов 20-го века и проводилось довольно много взрывных экспериментов над околоземной плазмой, математические модели, построенные на основании данных такого рода экспериментов, имеют тенденцию к упрощению и учету только параметров, относительно легко поддающихся регистрации. [1] [2] [3]

С другой стороны, появившиеся в последнее время вычислительные возможности и развитые численные методы позволяют достаточно детально промоделировать такого рода течения и возмущения ионосферы, основываясь на максимально возможно полной постановке задачи.

Первым шагом к построению аккуратной численной модели ионосферы, описывающей явления подобного рода, является построение консервативного метода решения уравнений магнитной газовой дннамики, применимого к задаче рассматриваемого типпа.

В качестве достаточно грубой модели процесса может выступать модель, основанная на уравнениях динамики идеально проводящего газа -уравнениях МГД. Понятно, что рассматриваемая модель описывает далеко не все аспекты проблемы, но по крайней мере позволяет проследить ударные волны и основные аспекты течения газа. Необходимо отметить, что такой подход оставляет за рамками рассмотрения распространение излучения п его воздействие на вещество, детали структуры ударных волн и особенности химических процессов, протекающих в ионосфере, воздействие на них ударных волн и продуктов эксперимента.

Известные модели не позволяют достаточно точно описать поведение сильных возмущений, так как строятся зачастую на неконсервативной форме уравнений. Действительно, к примеру, в работах [4],[5] T.Ogino использует неконсервативную разностную схему, что позволяет получить реалистичные результаты, но не позволяет говорить о количественном соответствии полученных результатов, так как известно [6], что использование неконсервативных схем приводит к появлению нефизичных источников энергии в расчетной области.

Модели же, основанные на консервативной форме и решении задачи Римана о распаде разрыва, являются неустойчивыми на нелинейном фоновом решении, имеющем место при ненулевой правой части, что будет показано ниже.

Таким образом, мы сосредоточимся исключительно на динамике идеальной плазмы, находящейся в гравитационном и магнитном полях, и возмущенной в начальный момент в небольшой подобласти области интегрирования.

Для решения уравнений идеальной магнитной газовой динамики в задачах физики ионосферы необходим метод, обладающий следующими свойствами:

• Высокая точность расчета параметров, связанных с магнитным полем;

• Точное соблюдение физических законов сохранения на сеточном уровне и выполнение условия бездивергснтности магнитного поля;

• Обеспечение стационарного решения в невозмущенной среде.

Плюс к тому, задача о развитии высокоэнергетичного возмущения накладывает на программу свои требования:

• Отслеживание нелинейной динамики течения

• Учет разномасштабных эффектов.

В разрабатываемом методе для увеличения точности расчета магнитного поля в каждой ячейке каждая компонента магнитного поля задана в 4-х точках, кроме того, при расчете потоков импульса и энергии на границах каждой из восьми "субъячеек" используется предположение о диполь-ности магнитного поля в пределах ячейки.

Для того, чтобы при применении численного метода, построенного для решения нестационарных задач, стационарное начальное состояние не приводило к росту возмущений, метод должен быть соответствующим образом скорректирован - нужно предельно аккуратно подойти к вопросу о реконструкции сеточной функции в пределах ячейки сетки.

Консервативность по переменным, входящим в систему уравнений МГД, достигается построением схемы типа Годунова. Для достижения невозникновения численного магнитного заряда применяется специальное смещение областей определенности компонент магнитного поля.

Для учета разномасштабных эффектов используются иерархические адаптивные сетки, они же позволяют безболезненно "наращивать" область интегрирования при приближении решения к границе. Методы этого типа подробно описаны в [7].

Цели настоящей работы

Целью данной работы является разработка консервативного метода, являющегося устойчивым на невозмущенном фоновом состоянии ионосферы.

Так же целью является разработка программного комплекса, реализующего указанный метод и позволяющего эффективно решать практические задачи на современных параллельных вычислительных машинах.

При этом разработанный программный комплекс должен быть расширяемым, гибким, переносимым и распределяемым.

Научная новизна

Для трехмерных уравнений МГД разработан новый численный метод, позволяющий строить решение, обладающее свойством консервативности по массе, энергии, импульсу, магнитному потоку и бездивергентностыо по магнитному полю. От существующих методов разработанный подход отличается более точной аппроксимацией магнитного поля и устойчивостью на нелинейном фоновом решении.

При этом разработанный подход позволяет использовать различные методики решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва и может быть относительно легко применен к другим системам уравнений.

Обзор существующих работ

Так как данная работа содержит несколько разноплановых модификаций существующих методов, рассмотрим по отдельности основные успехи в соответствующих направлениях развития численных методов.

В качестве очень широкого и вместе с тем достаточно глубокого обзора по общим и частным методам решения гиперболических систем уравнений следует отметить книгу "Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений" А.Г. Куликовского, Н.В. Погорелова и А.Ю. Семенова [8]. Изложенный в этой книге обзор методов, посвященных проблеме устранения численного магнитного заряда и изучение работы [9] привели автора к разработке изложенного подхода к решению этой проблемы.

Методы устранения численного магнитного заряда, описанные на данный момент в литературе, сводятся к нескольким подходам.

Исторически первым подходом такого рода является метод периоди чески корректирующий решение так, чтобы условие сНу В — 0 выполнилось (см, например, [10],[11]). К основным недостаткам такого подхода следует отнести пеконсервативность по энергии и магнитному потоку и большие вычислительные затраты на решение уравнения Пуассона.

Другой подход, описанный в [8], заключается в переходе от магнитного поля к вектор-потенциалу. Сложность и неоднозначность его применения состоит в том, что при таком подходе приходится решать негиперболическую систему уравнений, а также в том, что вектор-потенциал определен с точностью до градиента произвольной функции, и таким образом для минимизации численных ошибок может потребоваться периодически минимизировать его абсолютные значения с учетом такой инвариантности.

Третий подход, изложенный, например в [12], предлагает разнести компоненты магнитного поля по сетке так, чтобы пространство было разделено на замкнутые объемы, потоки через границы которых задаются значениями на сетке, а численный метод построить так, чтобы изменения потоков через все грани, имеющие общее ребро, всегда были одинаковы (с учетом знака). Оригинальный подход, предложенный, по всей видимости, авторами [12], позднее использовался другими авторами [9], в данной работе несколько модифицирован с целью хотя бы частично избавиться от осреднения магнитного поля п построить более-менее точную реконструкцию поля внутри ячейки.

Существующие модели атмосферы сводятся либо к моделям, обобщающим экспериментальные факты и наблюдения, либо построенные на основе физических уравнений динамики сплошной среды численные модели.

К моделям первого типа относятся, например International Reference Ionosphere [13], Стандартная атмосфера [14], MSISE Model [15]. Такого рода модели и положенные в их основу методики не могут быть непосредственно использованы для расчета возмущений атмосферы, но являются достоверным источником реалистичных начальных условий для задач моделирования возмущений.

Модели второго типа, например Parallel LArge-scale Self-adaptive Model of the Atmosphere [16] строятся с целью расчетов на продолжительные времена - для задач прогноза погоды, исследования климата, планетологии. Это требует от их создателей исключения из модели акустических волн, что недопустимо в задачах моделирования сильных возмущений, рассматриваемых в данной работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Васильев, Михаил Олегович

Заключение

Разработан новый метод решения нестационарных задач магнитной газовой динамики, позволяющий решать трехмерные задачи с сильными возмущениями, обладающртй свойством консервативности и обеспечивающий отсутствие численного магнитного заряда.

Разработан новый способ построения пространственной сетки для уравнений МГД, позволяющий строить решения, удовлетворяющие основным законам сохранения и условию бездртвергентности магнитного поля одновременно.

Разработан способ подсеточной реконструкции решения для уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики, учитывающий правую часть этих уравнений, и показана необходимость в подобной реконструкции при построении консервативных разностных схем.

Построен программный комплекс, реализующий описанные методы и позволяющий решать практические задачи моделирования ионосферных процессов в приближении идеальной МГД.

Решены задачи об эволюции сильного локального возмущения ионосферы и о желобковой неустойчивости фронта разлетающейся плазмы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильев, Михаил Олегович, 2008 год

1. Зецер, Ю.И. Геомагнитные эффекты от расширяющегося плазменного образования высотного ядерного взрыва /Ю.И. Зецер, Б.Г. Гав-рилов,В.А. Жмайло,К.Г. Гайнуллин,В.И. Селин // Физика горения и взрыва. 2004. - т. 40, №6, - с. 31-41.

2. Козлов, С.И. Методы и средства создания искусственных образований в околоземной среде и оценки характеристик возникающих возмущений/ С.И. Козлов, Н.В. Смирнова // Космические исследования. -1992. т.ЗО, вып.4. - с. 495-523.

3. Starfish Prime Электронный ресурс. / Wikimedia inc.// Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/StarfishPrime , свободный доступ

4. Т. Ogino A three dimensional MHD simulation of the interaction of the solar wind with the earth's magnetosphere: The generation of field aligned currents. / T. Ogino // Journal of Geophysical Research, 1986, vol. 91, p. 6791.

5. T. Ogino A Global Magnetohydrodynamic Simulation of the Magnetosheath and Magnetosphere When the Interplanetary Magnetic Field Is Northward. / T. Ogino, R.J. Walker, M. Ashour-Abdalla // IEEE transactions on plasma science, DECEMBER 1992, VOL. 20, NO. 6

6. А.А. Самарский Разностные методы решения задач газовой динамики/ А.А.Самарский, Ю.П. Попов. Москва: Наука, 1992.

7. M.J. Berger Adaptive Mesh Refinement for Hyperbolic Partial

8. Differential Equations/ M.J. Berger, J.Oliger. // Journal of Computational Physics, 1984 53, c.484-512.

9. А.Г. Куликовский Математические вопросы численного решения гиперболических систсм уравнений/ А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. Москва: Физматлит, 2001

10. D.S. Balsara A Staggered Mesh Algorithm Using High Order Godunov Fluxes to Ensure Solenoidal Magnetic Fields in Magnetohydrodynamic Simulations / D.S. Balsara, D.S. Spicer // Journal of Computational Physics, 1999 149, c.270-292.

11. D. Potter Computational physics / D. Potter New Yourk: John Wiley,1973. Рус.пер.: Поттер Д. Вычислительные методы в физике, М. Мир, 1975. :

12. Т. Tanaka Finite volume TVD schemes on an unstructured grid system for three-dimensional MHD simulation of inhomogeneous systems including strong background potential fields./ T. Tanaka // Journal of Computational Physics 1994, 111, 2,381-389. t

13. C.R. Evans Simulation of General Relativistic Magnetohydrodynamic Flows: A Constrained Transport Method /C.R. Evans, J. F. Hawley // Astrophysical Journal, 1988 332, 659.

14. D. Bilitza International Reference Ionosphere 2007: Improvements and new parameters / D. Bilitza and B. Reinisch // Advances in Space Research, 2008 -43, c.599-609, doi:10.1016/j.asr.2007.07.048.

15. ГОСТ 4401 81. Атмосфера стандартная. Параметры - ИПК Издательство стандартов, 2004.

16. А. Е. Hedin MSISE Model 1990 Электронный ресурс. / А. Е. Hedin, Website Mgr.: Dr. Natalia Papitashvili, NASA Official: Dr. Robert

17. McGuire // Электрон, текстовые дан. и граф. дан. - Режим доступа: http://modelweb.gsfc.nasa.gov/atmos/msise.html, свободный.

18. Cole R.H Underwater Explosions / R.H. Cole. Princeton University Press, Prinston, NJ. 1948. Рус. пер.: Коул P. Подводные взрывы -Иностр. лит., Москва, 1950.

19. С. Hirsch Numerical Computation of Internal and External Flows. / Chichester,UK:John Willey, 2001. 515 c.

20. Годунов C.K. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. М.: Наука, 1976, 400 с.

21. Y.A. Kholodov Numerical simulation of the convective plasma dynamics stage at the ionosphere motion by means of 3D MHD equations // Computer Physics Communications 2004 - Vol. 164, № 1-3, - P. 91-97.

22. K.M. Магомедов Сеточно-характеристические численные методы. / K.M. Магомедов, A.C. Холодов. M.:, Наука, 1988, 288 с.

23. S. Gershgorin Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix./ S. Gershgorin // Изв. АН. СССР, сер. физ.-матем. 1931. 6, c.749-754.

24. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики / В.П. Колган // Жуковский:Ученые записки ЦАГИ. 1972 - т.З, No 6, с.68-77.

25. Итератор Электронный ресурс. / Wikimedia inc.// Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/HTcpaTop , свободный доступ

26. James М. Stone Stone's code test page Электронный ресурс. / J.M. Stone, Princeton University Электрон, текстовые дан. и граф. дан. - Режим доступа: http://www.astro.princeton.edu/ jstone/tests/index.html, свободный

27. Sturrock, Р.А. Plasma Physics / P.A. Sturrock Cambridge:Cambridge University Press, 1994 - 335 c.

28. Shu, F.H. The Physics of Astrophysics, Volume II Gas Dynamics/ F.H. Shu Sausalito,CA: University Science Books, 1992 - 476 c.

29. Brio M. An Upwind Differencing Scheme for the Equations of IdealMagnetohydrodynamics / M. Brio C.C. Wu // Journal of Computational Physics, 75, 400-422 , 1988.

30. A. E. Hedin MSIS-86 Thermospheric Model. / A.E. Hedin. // Journal of Geophysical Research,1987 92, 4649.

31. A. E. Hedin Extension of the MSIS Thermospheric Model into the Middle and Lower Atmosphere/ A.E. Hedin. // Journal of Geophysical Research, 1991. 96, 1159.

32. E.JI. Ступицкий Поведение высокоэнергетичного плазменного сгустка в верхней ионосфере. Часть 1. Начальная стадия разлета и торможения плазменного сгустка./ E.JT. Ступицкий, А.Ю. Репин, А.С. Холодов,

33. Я.А. Холодов // Математическое моделирование 2004 г. том 16,номер 7, стр 43-58.

34. Кадомцев Б.Б. Вопросы теории плазмы. Вып. 2 / Кадомцев Б.Б. под ред. Леонтовича М.А. М.: Атомиздат, 1963.

35. В.И. Шевченко Неустойчивости плазмы Электронный ресурс. / В.И. Шевченко, astronet.ru Электрон, текстовые дан. и граф. дан. - Режим доступа: http://www.astronet.ru:8100/db/msg/1202032/text

36. Г. Бейнман МГД-неустончивости / Г. Бейнман Москва: Энергоиз-дат, 1982.

37. Ступицкий Е. Л. Формирование крупномасштабного струйного течения в результате развития желобковой неустойчивости./ Ступицкий E.JL, Васильев М.О., Репин А.Ю., Холодов А.С., Холодов Я.А. // Математическое моделирование. 2006. - Т. 18, №1. - С. 17-28.

38. Васильев M. О. Об одном подходе к численному решению уравнений магнитной газовой динамики // Моделирование и обработка информации: Сб.ст./Моск.физ.-тех. ин-т. М., 2008. - С. 10-14.

39. Полуосьмак В. В. Разработка алгоритмов параллельного счета для решения задач магнитной гидродинамики в применении к задаче о взрыве в верхней ионосфере //Полуосьмак В. В., Васильев М.О. /

40. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды ХЬУП научной конференции / Моск. физ. техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2004. - Т. 3. - С. 199-200.