Моделирование случайных векторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ильеня, Алексей Михайлович

• Ильеня, Алексей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильеня, Алексей Михайлович

Основные сокращения и обозначения

Введение

Глава 1. Анализ известных методов моделирования случайных векторов.

1.1. Моделирование случайных векторов с произвольно заданными функциями распределения

1.2. Моделирование случайных векторов с однотипными плотностями распределения и заданной корреляционной матрицей

1.3. Моделирование случайных векторов с распределением координат либо нормальным, либо близким к нормальному

1.4. О проблеме моделирования случайных векторов с заданными * произвольными распределениями координат и заданными корреляционными характеристиками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование случайных векторов»

Рассматриваемая в данной работе задача достаточно актуальна, поскольку моделирование случайных векторов широко применяется во многих прикладных задачах. Одна из них - проведение модельных (машинных) экспериментов. Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристик измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т. е. случайные величины и векторы с заданным законом распределения. Результаты экспериментов, как правило, представляют собой массивы отсчетов, которые в общем случае можно считать независимыми случайными величинами, поскольку средние значения отражают соответствующие физические закономерности, но к ним добавляются случайные погрешности. Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения могут быть коррелированы по времени.

Теоретико-вероятностные и статистические методы, в том числе моделирование случайных векторов и дискретных случайных процессов с заданной автоковариационной функцией применяется, например, в радиотехнике. Множество явлений (колебательные и волновые процессы, турбулентность атмосферы, волнение поверхности моря и т.д.) имеют случайный характер, поэтому одной из центральных задач статистической радиофизики в широком смысле является построение вероятностных моделей стохастических явлений в целях обработки сигналов. С развитием вероятностных методов появилась корреляционная и спектральнокорреляционная теория, предполагающая учет при обработке сигналов лишь информации о корреляционной функции и энергетическом спектре сигналов и полей. Программная реализация на ЭВМ стала одним из самых распространенных методов построения и исследования систем обработки сигналов.

Моделирование случайных векторов используется также в экономических задачах и задачах планирования. Здесь стохастические задачи имеют место, например, когда нельзя точно определить состояние системы на каждом этапе; если переменные, характеризующие состояние системы, являются случайными величинами с известной функцией распределения; если меняется цель задачи; при планировании на длительный период, поскольку в этом случае невозможно точно указать значения всех коэффициентов, так как они могут изменяться под влиянием непредвиденных причин. Для решения подобного рода многоэтапных экстремальных стохастических задач достаточно эффективен метод динамического программирования, при этом преобразование системы (и ее математической модели) от каждого предыдущего этапа к следующему содержит некоторую неопределенность, т. е. известный вектор состояния переходит в случайный вектор состояния ZM с функцией распределения GiS^Z^Uj), которая зависит от известного состояния S,., случайного состояния Z,, и управления U,. Поэтому, принимая решение на (/-1)-м этапе, необходимо положить, что действительное значение вектора состояния S, наблюдалось и известно, и, в общем случае, смоделировать вектор Z, хотя для получения некоторых характеристик (например, математического ожидания) этого не требуется.

Одной из важных экономических задач, для решения которых невозможно обойтись без моделирования случайных векторов, является исследование финансовых рынков и принятие соответствующих решений. С 50-х годов прошлого века появилась портфельная теория, направленная на решение практической задачи о рассредоточении капитала по различным видам операций в условиях неопределенности. Существенный момент этой теории - учет взаимных корреляционных зависимостей между доходностями операций.

Приведенные "выше рассуждения касались задачи моделирования случайных векторов вообще; существующие методы ее решения в основном связаны с моделированием многомерных нормальных случайных векторов, а это далеко не всегда является лучшей моделью для описания реально наблюдаемых многомерных случайных величин, поэтому есть необходимость моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат. Между тем, например, классический аппарат корреляционного анализа использует предположение о нормальности распределений координат многомерного вектора. На этой основе получены предельные распределения статистик, используемых в корреляционном анализе, и соответствующие оценки, позволяющие делать выводы о наличии и характере функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами. В последнее время ведутся исследования того, что происходит с распределениями различных статистик корреляционного анализа в ситуациях, когда наблюдаемый многомерный закон не является нормальным. Использование других математических моделей затруднено, поскольку чисто аналитические методы значительно усложняются. Впрочем, корреляционный анализ выходит за рамки предлагаемой работы, а исследуемые в ней методы имеют для него вспомогательный характер.

Цель диссертационной работы состоит в расширении возможностей моделирования случайных векторов. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- анализируются возможности известных методов моделирования случайных векторов;

- разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с произвольным распределением координат с использованием систем линейных уравнений со случайными коэффициентами и с использованием преобразования произвольных распределений координат к нормальному;

- разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с заданной автокорреляцией координат и взаимными корреляционными функциями;

- разрабатывается программный модуль, позволяющий моделировать случайные векторы с произвольным распределением координат и заданной корреляционной матрицей.

Список публикаций, на которые делаются ссылки, включает 32 наименования. Среди них - 6 публикаций автора.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ильеня, Алексей Михайлович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3

Предложенные методы позволяют моделировать последовательности случайных векторов с заданными автокорреляционными и взаимными корреляционными функции-ями для векторов с нормальным распределением координат.

ГЛАВА 4 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС

Программа моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат и заданной корреляционной матрицей, реализующая метод, изложенный в разделе 2.2, написана в среде Turbo Pascal для DOS (с использованием объектно-ориентированной библиотеки Turbo Vision). Основной экран программы выглядит так:

ISi»

ШИШ ililllll лотно

Щ11Ш

811 fllt-x Exit

Пользователь задает вначале вид распределений координат моделируемого вектора (реализованы только равномерные, нормальные и экспоненциальные распределения с разными параметрами) в режиме «Задание координат»:

CUME~l\ilienya\MOHflOK~l\Dissert\PROGAl\KORSV.EXE

Затем пользователь вводит корреляционную матрицу в режиме «Коэффициенты корреляции». При этом на диагонали матрицы должны стоять значения, равные 1 (если какое-либо из чисел не будет равно 1, программа заменит его на 1).

ЩГ:\ООСиМЕ~1\|1|епуа\МОИДОЙ;~ l\Dissert\PROGAl\KORSV.EXE

Затем при запуске режима «Сгенерировать векторы» рассчитываются коэффициенты матрицы системы; если хоть один из них будет отрицательным, программа выдаст сообщение о том, что смоделировать данный вектор невозможно, иначе будет получено 5000 реализаций вектора, и они запишутся в текстовый файл. После окончания работы этого режима на экране появляется корреляционная матрица, рассчитанная по полученным реализациям:

DOCUME~ I\ilienya\MOH Д ОК~ 1 \Dissert\PROGA 1\K0RSV.EXE а в режиме «Отобразить векторы» - графическое отображение реализаций на плоскости:

Далее в режиме «Отобразить плотности распределения» можно увидеть рассчитанные по полученным реализациям вектора плотности распределения:

При этом, если координат вектора больше 2, можно выбирать, какая координата отображается по оси Ох, а какая - по оси Оу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проанализированы методы моделирования случайных векторов, поставлена задача разработки методов моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат и заданными корреляционными характеристиками их координат. При этом получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы моделирования случайных векторов:

- с однотипным распределением координат и заданной корреляционной матрицей;

- с произвольными распределениями координат и заданной корреляционной матрицей;

- с произвольными распределениями координат, часть которых имеет заданные коэффициенты корреляции, а другие координаты являются независимыми; с- заданными совместными плотностями распределениями координат.

Проанализированы ограничения применимости этих методов.

2. Разработаны методы моделирования последовательностей случайных векторов с заданными автокорреляционными и взаимными корреляционными функциями координат:

- на основе подбора параметров ортогональных случайных коэффициентов системы линейных уравнений;

- с представлением взаимных корреляционных функций линейной комбинацией автокорреляционных функций.

3. Разработан комплекс программ, позволяющий пользователям анализировать реализуемость поставленных задач моделирования случайных • векторов на основе предложенных методов и определять параметры алгоритмов моделирования, а также получать статистические характеристики полученных векторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильеня, Алексей Михайлович, 2004 год

1. Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М., Советское радио, 1971.

2. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. -М., Наука, 1976.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М., Мир, 1976.-756 с.

4. Лукач Е. Характеристические функции. М., Наука, 1979. - 456 с.

5. Вероятностные разделы математики (под ред. Ю. Д. Максимова). -СПб, «Иван Федоров», 2001. 592 с.

6. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика (для втузов). М., Высшая школа, 1973.

7. Шалыгин А. С., Палагин Ю. И. Прикладные методы статистического моделирования. Л., Машиностроение, 1986.

8. Марченко Б. Г., Омельченко В. А. Вероятностные модели случайных сигналов в прикладной статистической радиофизике. Киев, УМК ВО, 1988.

9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -3-е изд., перераб. и доп. М., Радио и связь, 1989.

10. Лемешко Б.Ю., Помадин С.С. Корреляционный анализ наблюдений многомерных случайных величин при нарушении предположений о нормальности. Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. -Т.5. - № 3.-С.115-130.

11. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

12. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1977.

13. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М., Наука,1990.

14. Franklin J. N. Numerical simulation of stationary and non-stationary gaussian random processes. SIAM Review, 1965, v. 7, № 1, p. 68.

15. Cook J. M. Rational formulae for the production of a spherically symmetric probability distribution. Mathematical tables and other aids to computation, 1957, v. XI, № 58, p. 81.

16. Myers S.C. Interactions of Corporate Financing and Investment Decisions: Implications for Capital Budgeting//J. Finance. 1974. V.29. No 1.

17. Иванов M. А., Чугунков И. В. Метод генерации псевдослучайных последовательностей с произвольным законом распределения. Журнал «Безопасность информационных технологий», 1999, №2

18. Прохоров С. А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. Самара, 2001.

19. Песошин В. А. ,Бикмухаметов Р. Р., Глова В. И., Захаров В. М., Модели, методы и аппаратно-программные средства стохастических систем/ Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ), изд-во КГТУ, 1997 г., вып.З.

20. Глова В. И., Захаров В. М., Песошин В. А., Яхина 3. Т. Архитектура и модели систем статистического моделирования/ Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 1997, вып. 4.

21. Глова В. И., Захаров В. М., Песошин В. А., Шалагин С. В. Моделирование. Вероятностные дискретные модели/ Учебное пособие. Изд-во "АБАК", 1998.-50 с.

22. Малошевский С. Г. Двумерные показательные распределения в моделях надежности // Математика в ВУЗе, материалы международной научно-методической конференции. СПб. 2003,с. 168-170.

23. Малошевский С. Г. Теория вероятностей (пар. 4.4 «Моделирование случайных величин») СПб, «ОМ-Пресс», 2003.

24. Кирьянов Б. Ф. Микропроцессорные средства в задачах имитации и обработки случайных сигналов. Ч. 1 Новгород, НПИ, 1988. - 52 с.

25. Кирьянов Б. Ф. МикроЭВМ как средства имитации и обработки случайных сигналов. Деп. в ВИНИТИ 10.11.86, № 7646-В86.

26. Кирьянов Б. Ф. К проблеме моделирования случайных векторов. -Вестник НовГУ, серия «Естественные и технические науки», 1996, № 6, с. 87-90

27. Вестник НовГУ, № 17, 2001 г.

28. Вестник НовГУ, № 22, 2002 г., стр. 32-33

29. Сборник «Математика в вузе», 2000 г., стр. 139-140

30. Сборник «Математика в вузе», 2003 г., стр. 16131. «Прикладная и промышленная математика». М., 2002, Том 9, Вып. 1.

31. The Novgorod University Scientific papers. Great Novgorod: NovSU, 2004.